Статика твердого тіла

Размещено на http://www.allbest.ru/

Приклади виконання завдань

Модуль1. Статика твердого тіла



Завдання 1. Рівновага системи збіжних сил

Задача 1.1 Визначення реакцій опор плоскої конструкції

Невагома плоска конструкція (балка,брус, рама :рис. С.1) знаходиться в рівновазі під дією сили F , точка прикладення і напрям якої надані в таблиці С-1 , де також вказані розміри, тип та місце (точки А,В,С,Д ) кріплення балки. Знайти реакції в'язей , якщо F=10 кН .

Задача С1.1. - на рівновагу тіла під дією трьох непаралельних сил . При розв'язанні задачі геометричним способом скористуватися теоремою про три сили. За цією теоремою : - якщо на тіло, якє знаходиться у рівновазі, діють три непаралельні сили (включаючи реакції в”язей - опор, стрижнів, гнучких ниток та інших закріплень ), то вони лежать в одній площині, лінії дії всіх сил перетинаються в одній точці, а силовий трикутник , побудова- ний на цих силах, має бути замкненим. З цього трикутника і визначають реакції в”язей або інші невідомі величини.

Приклад С1.1 Для рами АВСД , зображеної на рис.С1.1, визначити реакції опори А на стержня ВЕ яка з'являється під дією сили та прикладеної в точці С. Дано : F=10кН , а = 0,5м ,

Знайти: R_{A і} S_B.

Рис. С1



Розв'язання. I. Об'єкт рівноваги: рама АВСД

2.Активна сила F.

3.В'язі : нерухома опора в точці А, стрижень BЕ.

4 Рееакції в'язей: S_B напрямлена по стрижню ВЕ та прикладена в точці В; R_А - реакція опори А, напрям якої знаходять по теоремі про три непаралельні сили: лнія дії реакції R_A проходить через точку К перетину лінії дії інших сил F та S_B (рис. Cl.a ). Так як рама знаходиться у рівновазі, то рівнодіюча цих трьох сил повинна бути рівною 0, тобто

F+R_A+S_B=0

Далі задачу слід вирішувати геометричним або аналітичним способом .

1. Геометричний спосіб . З початку зображають раму у масштабі , потім знаходять точку К , з якої починають побудову трикутника сил :

-вибірають масштаб для сил , переносять силу F по лінії дії та прикладуть в точці К . Через початок та кінець цієї сили проводять прямі ,паралельні лініям дії двох інших сил .

Таким чином встановлюють напрям реакції R_A та S_B. Модулі цих реакцій знаходять як сторони в прямокутному трикутнику (рис. С1):

R_A = FкН

Sв = F=5 кН

Визначивши напрям реакції R_A та S_Bприкладаємо їх в точці А та точці В рами (рис. С1 б.)

2. Аналітичний спосіб. Реакції R_A та S_B які розташовані на прямих АК та КВ, напрамляють довільно на рис.С1.б. Сили F, R_A, S_B утворюють систему збіжних сил, для якої записують рівняння рівноваги в проекціях на координатні вісі А_Х та А_У:



F= 0, - Fsin30 + Rcos- Ssin30= 0, (3)

F= 0, Fcos30- Rsin- S cos30= 0. (4)

Рис.С1.а таб

З подібності трикутників АСК та АЕК встановлюють що кут = 30. Розв'язують систему рівнянь та знаходять відповідь Ra = 5 кH, Sв = 5 кH.



Задача 1.2 Визначення зусиль у стриженях просторовоі конструкції

Приклад С1.2 Конструкція складається з невагомих стрижнів 1,2, ... ,6 , з'єднаних один з одним (у вузлах К і М) та з нерухомими опорами А,В, С, D шарнірами .У вузлах К i М прикладені сили Р і Q, що утворюють з координатними осями кути , , та , , відповідно (на рисунку показані тільки кути, , ).

Дано: Р=100Н, =60°,=60°,=45°; Q=50H. =45°. =60°. =60°; =30°, =60°, =74°. Визначити зусилля у стрижнях 1-

Рис.1

Розв”язання.

1. Розглянемо рівновагу вузла К, у якій збігаються стрижні 1, 2 ,3. На вузел діють

сила Р i реакції N, N, N стрижнів, які напрамляємо по стрижням від вузла, вважаючи їх розтягнутими. Складемо рівняння рівноваги цієї просторової системи збіжних сил::

F= 0, Р cos + N sin + Nsin = 0 (1)

F= 0, Р cos- N- Ncos= 0 (2) F= 0, Pcos- Ncos= 0 (3) Вирішивши рівняння (1),(2) і(3) при заданих числових значеннях сили Р і кутів, одержимо: N= 349 Н, N= -345 Н, N=141 Н

2. Розглянемо рівновагу вузла М. На вузол діють сила Q i реакції N', N,N , N стрижней.При цьому, за законом про рівність дії та протидії, реакця N' спрямована протилежно N, чисельно N'=N . Складемо рівняння рівноваги:

F= 0, Q cos - Nsin - N- Nsin * sin = 0 (4)

F= 0, Q cos + Ncos + Nsin - cos = 0 (5)

F= 0, Q cos - N cos- N= 0 (6)

При визиаченні проєкцій сили N₅ на вісі i у рівняннях (4) i (5) зручніше спочатку знайти проєкцію N' цієї сили иа площину хОу (по величині N' = N sin ),а потім проєкції на вісі Ох і Оу. Вирішивши систему рівнянь (4), (5) та (6) i ,враховуючи що N' = N = -345 Н, знайдемо, чому piвні N,N , N. Відповідь: N =349 Н ; N = - 345 Н; N=141 Н; N=50 Н; N=329 Н;N = - 66Н . Знаки вказують, що стрижні 2 i 6 стиснуті; інші -- розтягнуті.

2 Довільна плоска система сил

Для рівновги плоскої системи сил, довільно розміщених на площині, необхідно і достатньо ,щоб алгебраічні суми проекцій всіх сил на дві взаємно перпендикулярні осі дорівнювали нулеві і алгебраічна сума моментів усіх сил відносно будь-якої точки(центра момнтів) також дорівнювала нулеві ( 1 форма ):

(1 форма ): або ( 2 форма ): або ( 3 Форма ):



1 форма: ? F_KX =0, ? F_KУ =0, ? M_А (F_K ) = 0 ( 1 )

2 форма ? F_KX =0, ? M_А (F_K ) = 0 , ? M_В (F_K ) =0, ( 2 )

3 форма ? M_А (F_K ) = 0 , ? M_В (F_K ) = 0 , ? M_С (F_K ) = 0 ( 3 )

У частковому випадку паралельних сил достатньо скласти два рівняння, що містять форми2 і 3.

Зауваження1.Центри моментів ( точки А, В. С ) доцільно вибірати в точці , в якій перетинаються лінії дії найбільшої кількості невідомих сил. Слід прийняти до уваги, що ценр моментів може належеть або неналежить розглядаємому об”екту рівноваги!Чому так?

Зауваження2. При розв”язуванні задач на рівновагу системи сил, що прикладені до тіла або системи тіл з внутрішними в”язями, можуть зустрітися випадки коли кількість невідомих в умові задачі перевищує кількість рівнянь рівноваги. Такі задачі називаються статично неозначеними і можуть бути розв”заними за двома варіантами:

-по1-му варіанту уявно роз”єднують конструкцію на дві або кілька частин з”єднаних між собою в”язями(контактна, стрижнева, гнучка, шарнирна, ковзаюча та інш. ) іскладаютьрівняння рівноваги у 1, 2 або 3 для визначення реакцій зовнішних вязей і реакцій у з”єднанні для кожної частини конструкції;

- по2-му варіанту спочатку складають рівняння рівноваги всіх сил ,що діють на конструкцію, і, крім того, рівняння рівноваги сил для однієї із відділених частин цієїконструкції. Складені рівняння можуть бути розв”язані послідовно аналітично або за допомогою ПЕОМ у діалоговому режимі за відповідно обраною програмою у системах MATLAB, MATCAD та інш.



Завдання 2. Вибір оптимального кріплення плоскої рами

Жорстка невагома конструкція (рама) закріплена у точках A i. В трьома різними способами (схеми а, б і в)

На раму діють сили i , пара сил з моментом М=30кНм, рівномірно розподілені по лінійному закону навантаження інтенсивністі =5 кH/м або розподілена по лінійному закону навантаження, для якої = 10 кН/м.

Схеми до задачи С2.1 - Визначення рекцій опор плоскої конструкції



Приклад 2.1.

Рама, що зображена на рис.С2а, закріплена трьома різними способами: 1. Схема С2а. Кінець А приєднаний до пересувної шарнірної опори, а кінець В - закріплений ковзаючим закладенням з однією ступенью рухомості.

СхемаС2.б Кінець А закріплений ковзаючим закладенням з двома ступенями

рухомості, а кінець В - нерухомою шарнірною опорою (одна ступень рухомості).

Схема С2в. Кінець А закріплений двоима стержнями, а кінець В спирається на

гладку поверхню.

На раму діють сили F = 10 кH i = 20 кН, зосереджені в точках Н i К, пара сил з моментом М, розподіленє навнтаження за лінійним законом на дільниці ДС і максимальною інтенсивністю = 10 кН/м.

Визначити: реакції в'язей для того закріплення рами, при якому реакция R_B має найменше числове значення.

Розв”зання.

1.Для визначення реакії R_B розглядають рівновагу сил прикладених до рами для кожного

випадку закріплення рами. Зображають діючі на раму сили: зосереджені сили і, пару сил з моментом М, розподілену згідно з лінійним законом навантаження q, яке замінюють cbkj. Q = q _max •DC, прикладеної точці Е, так що ED = DС.

2.Проводять координатні ocі X I У. Силаiпредставляютьїх складовими ,, , , модуля яких відповідно рівні: F_1x = F₁ cos 45, F_1y = F sin 45°, F_2x = F cos 30°, F_2y = F sin 30°.

3. Відкидають зв'язки і замінюють їх дію на раму реакціями або складовими цих реакцій:

Для схеми С2 а - Реакцію шарнірної опори А на котках направляють перпендикулярно опорній площині ,а в точці В - замінюють горизонтальною реакцією і моментом сил реакцій ; Для схеми С2 б - Ковзаюче закладення кінця А з двома ступенями рухомості замінюють моментом сил реакцій , а шарнірно нерухому опору в точці В - двома складовими і реакції ;

Для схеми С2 в - В стрижнях 1 і 2 - замінюють реакціями і , а гладку опорну поверхню в точці В - реакцією , яку напрамляють перпендикулярно опорнї площини .

4. Розрахункові схеми і розташування сил зображають для кожного з трьох випадків , що розглядаються , як це показано на рис. С2.

5. Складають рівняння рівноваги сил , діючих на раму , в які входить реакція що досліджується .

Для схеми С2 а:

F= 0, -+Q - ++sin60= 0, (1)

F= 0, cos60++ = 0 (2)

З рівняння (2) знаходять підставляють в (1) і отримують :

= Q- +(+)tg60 (3)

Враховуючи , що

Q = 3 = = 15кН ;

== cos45- 100,7 = 7 кН ;

=sin60 = 200,866 = 17,3 кН ;

3 рівняння (3): = 1,5 - 7 + 17,3 + (7 - 10 ) = 32,3 - 12,2 = 2,01 кН.

Для схеми С 2 б :

F= 0, -+Q - += 0, (4)

3(4) = Q - += 15 - 7 + 17,3 = 25,3 кН.

Для схеми С2 в.

() = 0, - 1,5 - 2 + 3 - М + 2Q + R cos303 = 0 . (5)

3 рівняння (5) : R = ( 17,31,5 + 7,2 - 7,3 + 30 - 30 ) = 5,12 кН.

Таким чином встановлюють , що найменше числове значення реакції , що досліджуються ,виходить при закріпленні рами по схемі С2 в.

Тому для цієї схеми визначають інші реакції , використовуючи два інших рівня рівноваги сил в формі

() = 0 : S1 - М + 6 + 4 - 4,5 - 6 + 3 + S6 = 0 ; (6)

() = 0 : S4 - 4 + 1,5 + 3 + 2 - М + Q2 + R cos302 - Rcos603 = 0 ; (7)



3 рівняння (7) :

S= ( 104 + 17,31,5 - 73 - 72 + 30 - 152 - 5,1+ 5,11,5) = 7 кН

= ( 15 + 30 -76 - 74 + 17,34,5 + 106 - 7,56 ) = 22,7 кН

Складаємо перевірочне рівняння :

F= 0, - + - + Q - Rcos60= 0 . (8)

Підставляємо числові значення і отримуємо помилку

-29,7 + 17,3 - 7 + 15 - 5,1 05 = - 32,25 + 32,3 = 0,05

Відповідь : оптимаьний варіант кріплення рами по схемі С в. Реакції в'язей : R= 5,12 кН , = 22,7 кН , S= 7 кН



Завдання 3. Визначення реакцій підшипників і опор системи тіл з урахуванням тертя

Визначить мінімальне значення сили Р та реакції опор механичної системи гальмувального гальмувального пристрою( рис. ) за умови, що вона знаходиться в стані спокою .Схеми варіантів показані на рисунках , а необхідні для розрахунків дані наведено в таблиці С3.

Приклад С3. Барабан лебідки (рис.С2. 1) радіусом R =0,3 i си-лою тяжіння G = 2 кН гальмується колодковим гальмом. На бара-бан навито канат, до кінця якого гадвішено вантаж Q = 10 кН, причому канат сходить дотично з ба-рабана під кутом = 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя f=0,4; висота гальмових колодок с= 0,05 м . Геометричні poзміри а = 0,5 м, b=0,8 м.

Визначити мінімальне значення прикладеної до гальма сили для того, щоб барабан знаходився в стані спокою, а також силу і реакції в опорах О и А.

Рис.С3.

Розв'язання. В piвнoвaзі знаходитьтя система твердих тіл, що складається з барабана S , важелів АВ, CD i невагомого стрижня ВС. На рис. 2. показано активні сили та реакції в'язей, япкі діють на кожнє з тіл механичної системи.

Аналітичні умови рівноваги системи сил мають вигляд:

-для барабана S (рис. 2а.}

F= 0, - + - + = 0 ; (1)

F= 0, - + - - = 0 ; (2) F= 0, - + + = 0 ; (3)

- для важеля АВ ( рис. 2б. )

F= 0, - - + = 0 : (4)

F= 0, + - = 0 ; (5)

МРазмещено на http://www.allbest.ru/

( ) = 0, - а + 2а + е = 0 ; (6)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.3

-для важеля CD (рис. С 2 в.).



F= 0, - + - - = 0 ; (7)

F= 0, - - = 0 ; (8)

М( ) = 0, а +е - Р ( а+в ) = 0 ; (9)

для стержня СВ ( рис. 2 г.)

F= 0, - + = 0 ; (10)

F= 0, - -= 0 ; (11)

М( ) = 0, ( 2R + e ) - ( 4R + 2e) = 0 ; (12)

У стані граничної рівноваги розглядаємої системи сила Р мінімальна , сила зчеплення ( тертя спкою ) між гальмовою колодкою і барабаном визначається рівняннями

= = , = =

Тоді система рівнянь (1 ) ...( 12 ) може буте доповненя двома рівняннями у такому вигляді:

- = 0 (13)

- = 0 (14)

Після підстановки відповідних величин у рівняннях ( 1......14 ) дістанемо значення шуканих величин , а саме :

Р = 2 кН , = 9,02 кН , = 4,1 кН , = 3,66 кН , = 3,22 кН .



Система рівнянь ( 1 )... ( 14 ) може бути перетворена до матричного виду (таблиця С3 ), що дає можливість скористатись типовими розв”язуваннями систем лінійних рівнянь засобами MATLAB або іншими програмами . З врахуванням значень велечин G, Q, a, b, e, f, б перепишимо систему ( 1 )...( 14 ) у матричні формі : Ах = b , де А - матриця коефіцієнтів при невідомих величинах , х -матриця-стовбець невідомих величин, b - матриця- стовбець відомих величин правої часті системи рівнянь.

Таблиця С3

№ стр	А - квадратная матриця коефіцієнтів при невідомих	Вектор правої часті системи
х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14	X0 Y0 XA YA XB YB XC YC XK N1 N2 F1 F2 P -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,6 0,6 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 -0,4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -0,05 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0,4 0 0 0 -0,5 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0,87 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,52 0 0 0 -1,1 0 0 0 0 -1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,3 0 0 0 0,65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,4 0 0 0	Q G b -8,66 0 -8,66 5 2 7 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0



Завдання 4. Зведення системи сил до найпростішого виду

Визначити голвний вектор і головний момент просторової системи сил відносно центра О, а також установити, до якога найпростішого виду зводиться задана система сил. Напрямки дії сил показано на рисунках Модулі сил i геометричні розміри наведені в таблиці до завдання

Приклад. Уздовж сторін паралелепіпеда (рисС3.1) діють чотири сили, модулі яких = 20 Н, = 30 Н, F= 40 Н, F₄ - 50 Н.

Звести цю систему сил до найпростішого виду, якщо а= 3 м, Ь = 6 м, с = 2 м.

Розв'язанния. Головний вектор i головний момент системи сил визначаютъся виразами

=; = ().

Окремі випадки зведения:

якщо ? 0 та = 0, то система сил

еквівалентна одній силі (тобто рівнодійні),

яка гуометрично дорівнює головному век--

тору i прикладена в центрі О. Напрямок

рівнодійної проходить через центр О;

Рис.С4



2) коли = 0 та ? 0, то система сил зводиться до одиіеї пари сил; 3) якщо ? 0 i ? 0, але ₊ (^. = 0), то система сил зводиться до рівнодійної, напрямок якої не проходить через центр зведення О; 4) коли ? 0 та ? 0 але вектор колінеарний до , то система сил зводиться до силового гвинта (динами); 5) якщо = 0 i = 0 то система сил знаходиться в pівновазі.

У вибраній системі координат (див. рис.4) головний вектор

R=,

R_x = F_ix = - F₁ = -20 kH;

R_y = F_iy = F₄ - F₃ = 10 kH;

R_z = F_iz = F₂ = 30 kH;

R = = 37,5 kH

а головний момент

M_o= ,

= М( ) = 0, -c = -50 2 = -100 Нм

=М( ) = 0, -c - -а = -202 - 303 = -130 Нм

=М( ) = - а = 206 - 403 = 0

= = 10 = 164 Нм

Напрямні косинуси цих векторів визначаються виразами :



cos(^O) = = = -20 / 37,5 = -0,533;

cos(^O) = = = 10 / 37,5 = 0,263 ; cos(^O) = = = 30 / 37,5 = -0,8;

cos(^O) = = = -100/ 164 = -0,609 ;

cos(^O) = = = -130/ 164 = -0,793 ;

cos(^O) = = =0;

Головний вектор і головний момент не дорівнюють нулеві і утворюють між собою кут , що визначається виразом :

cos= = = 0.114

Система сил зводиться до динами (силового гвинта),тобто до (головного вектора) і пари сил із моментом

= cos(,) = = 18,7 Нм

Рівняння прямої дії динами (центральної гвинтової осі)мають вигляд :

==



де - біжучі координати точки , що лежить на цій гвинтовій осі.

Підставляючи відповідні величини в рівняння центральної лінії дістанемо

==

Таким чином , центральна вісь має вигляд прямої типу двох площин:

6- 3+5-36 = 0 ; 10+2+-39 = 0



Завдання 5. Визначення реакці опор твердого тіла( плита, вал )

Задача 5.1 Прямокутні плити, на які діють сили , i пара сил із моментом М, закріплено відповідним способом, показаним на схемах

Значення сил та моментів наведено в табл.

Внзначити реакції опор.

Приклад 1 .Прямокутна плита силою тяжіня Р (рис.1.), що завкріплена в точці А кульковим шарніром, у точці В -- петлею й утримується в горизонтальному положенні стрижнем СЕ, знаходиться в рівновазі під дією снли F.

Визначити реакції в опорах, а також зусилля в стрижні, якщо

кН , = 6кН , = 1м.

Рис.1

Рис.1а



Розв'язання . До об'єкта рівноваги , яким є плита ,прикладаємо активні сили та ,а також реакції опор А , В і зусилля в стрижні. Реакція кульового шарніра А визначається трьома складовими , , , а петлі В - двома та (рис.1а)

Для довільної просторової системи сил записуємо шість рівнянь рівноваги у вибраній системі координат :

F= 0, + - = 0 ; (1)

F= 0, -+ = 0 ; (2) F= 0, + - + = 0 (3)

М( ) = 0, 2а - а -0,5 а = 0 (4)

М( ) = 0, а - 2а = 0 (5)

М( ) = - 2а + 2а - а -2 а = 0 (6)

Тут кути і введено для спрощення запису рівнянь .

=0,554 ; = 0,8.

sin= = = 0.137; cos= =

Із рівняння (5) маємо:

N = kH.

Із рівняння (4) маємо:



Z_A=

З рівняння (6) маємо:

Із рівняння (1) маємо:

X_B=Ncoscos_X_A=7.3

З рівняння (2) маємо:

Y_A=F_ Ncoscos=6_7.3

З рівняння (3) маємо:

Z_B=P_Nsin- Z_A=2-7,3- 1

Приклад 2 . Горизонтальна прямокутна плита вагою Р закріплена сферичним шарніром у крапці А ,циліндричним (підшипником) у крапці В і невагомим стержнем .На плиту в площині , паралельній , діє сила, а в площині рівнобіжної площині А- пара сил з моментом М.

Розв”язання.1. Розглянемо рівновагу плити .На плиту діють задані сили ,і пара з моментом М, а також реакції в'язей . Реакцію сферичного шарніра розкладаємо на три складові ,,, циліндричного (підшипника) - на дві складові ,(у площині , перпендикулярній осі підшипника ); реакцію стрижня направляємо уздовж стержня від до , припускаючи, що він розтягнутий. опір тертя підшипник рама

Рис.2

2.Для визначення шести невідомих реакцій складаємо шість рівнянь рівноваги діючої на плиту просторової системи сил :

F= 0, + + = 0 ; (1)

F= 0, - = 0 ; (2) F= 0, + - + - = 0 (3)

() = 0 : М - АВ/2 + АВ - АВ + АВ = 0 (4)

() = 0 : АС/2 - АС + АС/2-ВЕ = 0 (5)

() = 0 : -АВ - АС - АВ = 0 (6)

Підставивши в складні рівняння числові значення всіх заданих величин і вирішивши ці рівняння , знайдемо шукані реакції .Відповідь : = 3,4 кН, = 5,1 кН , = 4,8 кН , = -7,4 кН, = 2,1 кН , = 5,9кН. Знак „-” вказує , що реакція напрямлена протилежно показаній на рис. С3.2



Для визначення моментів сили щодо осей розділимо її на складові і , рівнобіжні осям і (=, = ) і застосовуємо теорему Вариньона (див. вказівки) . Аналогічно можна зробити при визначенні моментів реакції .

Приклад 3. Для плити ваги Р₁ і Р, жорстко сполучені під прямим кутом один до одного і закріплені в точці А сферичним шарніром , в точці В - циліндричним шарніром , в точці С - невагомим стержнем (рис. ) У точці Д на плиту 1 діє сила , розташована в площині в точці на плиту 2 діє сила , яка розташована в площині крім того на плиту 1 діє пара сил з моментом М .

Дано :

= 6кН , , = 9 кН ,

= 3 кН , = 2 кН , М = 4 кНм , = 2м ,

Знайти : реакції опор А і В та стержня СС.

Рішення: 1. Виділяють об'єкт рівноваги - плиту АВСД.

2.Зображають активні сили : , ,, і пару сил з моментом М.

3.Звільняють плиту від зв'язків і змінюють їх дію на плиту реакціями . Реакцію сферичного шарніра А представляють трьома складовими , , ; реакцію циліндричного шарніра (підшипника) на дві складові , (в площині перпендикулярній осі підшипника ).

Рис.3



4.Складають рівняння рівноваги просторової довільної системи сил :

F= 0, --= 0, (1)

F= 0, - + = 0 (2)

F= 0, - - - + ++ = 0 (3)

() = 0, - 1,5- 1,5-3+ 4-= 0

() = 0, -- 2 -2 = 0 . (5)

() = 0, 4+2М = 0 . (6)

У рівняннях системи (1)....(6) прийнято :

= , =,

=, =

Невідомі реакції знаходять з системи (1)....(6) .У результаті , з урахуванням числових значень всіх заданих величин , знаходять шукані реакції .

Відповідь :

=5,98кН ,=14,5 кН ,=9,2 кН =1,75 кН ,=5,2 кН , = - 11,6 кН

Задача 5.2 Визначення реакцій опор вала

Колінчастий вал або вал зі шкивами ( рис. ) закріплені в підшипниках і навантажені активними силами, числові значення яких наведено в таблиці. Визначить реакції опор.

Приклад .Визначення реакції наполегливого підшипника А , радіального підшипника В , а також момент пари сил М що втримує колінчастий вал АВ ( рис.1 ) у рівновазі , якщо в точках С, Д і Е діють сили :

= 1кН, = 30,= 2кН, = 45, = 3кН, = 60, причому ¦, ¦, ¦. При розрахунках прийняти =5 см., =10см., а= 20см., вагу дисків Р= 0,5кН, Р = 0,8кН.

Розв”зання:

1. Обирають об'єкт рівноваги - колінчастий вал з двома жорстко засадженими під прямим кутом до осі суцільними однорідними дисками 1 і 2 .

2. Зображують діючі на вал сили ,,, ,, пару сил з моментом М , а також реакції зв'язків .

3.

Рис2

Реакцію наполегливого підшипника в точці А вала розкладають на три складові , , , а реакцію підшипника В на дві складові ,,. В результаті отримують розрахункову схему - урівноважену , розташовану в довільному просторі систему сил , для якої становлять шість рівнянь рівноваги :



F= 0, + + + = 0, (1)

F= 0, + - = 0. (2)

F= 0, + - - - + = 0, (3)

( ) = 0, -3 +3 -5++7 = 0 ; (4)

( ) = 0, - М = 0 ; (5)

( ) = 0, - - 2 -3- 7= 0 ; (6)

При складанні рівнянь моментів (4)....(6) сили ,, були розкладені на дві що складають кожна і застосована теорема Варіньона . Беручи до уваги , що :

= , =, =

= , =, =

а також числові значення всіх заданих сил системи рівнянь (1).....(6) знаходять шукані реакції і момент М пори сил :

= (- - 2 - 3) = - 0,86кН

= -- - 0,86 = - 0,05 кН

= - - = 0,63 кН

= (3- 3+ 5-) = -0,03 кН

= + - + + 0,03 = 2,5 кН

М = = 2 0,05 = 0,1 кНм

Відповідь : = - 0,05 кН, =0,63 кН, = 2,5 кН

=- 0,86кН, = -0,03 кН ,М = 0,1 кНм

Знак „-” вказує на те що реакції і , мають напрями протилежні вказаним на рис.2.3.

Задача 5.3 Визначення реакцій опор (підшипник, підпятник) механичної системи

Механічну систему утворено колінчастими валами або валами з пасовою передачею , які закріплені в підшпниках і утримуються підп'ятниками. На систему діють активні сили та моменти, числові значення яких наведено в табл. . Відповідні схеми системи показано на рис. __ . Визначнти реакції опор

Приклад1. Колінчастий вал із жорстко закріпленим на ньому шківом К , радіус якого R - 4а, може обертатися в підшипниках A i В. Шків К за допомогою пасової передачі, що з'єднує шків L радіусом = а, передає обертальний рух валу СD. Диск Е, жорстко закріплений на валу CD, обмотано канатом, до кінця якого підвішено вантаж Р (рис.1)

Рис.1

Визначити реакції підшипників А, В, С, D і силу для зрівноваження вантажу Р=10кН в положенні, показаному на рисунку (розміри валів та іхніх ділянок зазначено на рис.2

Розв'язання. Виходячи з умови завдання, згдно з якою потрібно розглянути piвновагу системи двох валів, вивчимо окремо piвновагу валів АВ, CD i повзуна N. На вал CD діють активна сила Р та реакції підшипників С i D (X_c, Z_c, X_D, Z_D), а також сили , (=/2) , які чисельно дорівнюють эусиллям пасової передачі (рис.2)

На вал АВ діють сили натягу пасової передачі, та =, причому = , i реакції падшипників А i В (X_A, Z_A, Х, ), а також реакція шатуна (рис. ) . На повзун N діють сили , та , причому = (рис. 2 ).

Аналітичні умови рівноваги мають вигляд:

Для вала CD (див. рис. )

F= 0, + - - = 0 ; (1)

F= 0, + - Р + = 0 ; (2)

М( ) = 0, - Р2а + 4а - 6а= 0 (3)

М( ) = 0, - а +а + Ра = 0 (4)

МРазмещено на http://www.allbest.ru/

( ) = 0, 4а +4а + 6а = 0 (5)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.2.



Для вала АВ (див. Рис2)

F= 0, + - S+ + = 0 ; (6)

F= 0, + - S - = 0 ; (7)

М( ) = 0, - S5а + 8а +12а= 0 (8)

М( ) = 0, 4а +4а - S2а = 0 (9)

М( ) = 0, S5а - 8а - 8а - 12a= 0 (10)

Для повзуна :

F= 0, - + = 0 ; (11)

F= 0, - + = 0 ; (12)

Якщо врахувати значення відомих сил і геометрію валів, то на підставі систе рівнянь (1)- (12) дістанемо відповіді:

із (4) Т = 10 кН, Т= 20 кН; із (9) = 23,12 кН;

із (5) X_D = 13,3 кН; із (10) Х = -15,4 кН;

із (3) Z = -8,2 кН; із (8) Z_B = 20,18 кН;

із (2) Z = 0,9 кН; із (7) Z_A = 37,3 кН;

із(1) = 6,7 кИ; із (6) Х._А = 6,96 кН;

із (12) = 40 кН.

Размещено на Allbest.ru