Сложное сопротивление бруса

Размещено на http://www.Allbest.ru/

1. Сложное сопротивление бруса

До сих пор изучались простые виды деформации бруса: 1) центральное осевое растяжение (сжатие); 2) чистый сдвиг; 3) плоский изгиб, когда ; 4) кручение. Каждый вид этих деформаций вызывается своей нагрузкой.

На практике часто на конструкцию действует достаточно произвольная нагрузка, которая может вызвать несколько простых деформаций одновременно. В этом случае стержень (брус) будет испытывать сложную деформацию.

Определение внутренних силовых факторов (ВСФ)

При сложной деформации в поперечном сечении бруса могут возникнуть шесть компонент внутренних сил и моментов (ось всегда вдоль оси бруса, оси и - в поперечном сечении бруса и составляют правую систему координат ): продольная сила, поперечная (перерезывающая) сила вдоль оси , поперечная сила вдоль оси , изгибающий момент относительно (вокруг) оси , изгибающий момент относительно оси , крутящий (относительно оси ) момент. Для их определения в произвольном сечении бруса используют «метод сечений», который дает полученные ранее шесть уравнений, рассматривая одну из отсеченных частей бруса (левую или правую):

(1)

На рис. 1 показаны положительные направления всех ВСФ в сечении левой части бруса.

Рис. 1

Левой отсеченной частью условно будем считать ту часть бруса, у которой нормаль к сечению (внешняя) направлена вдоль оси (у правой части нормаль направлена против оси ).

В сечении левой части: направлены вдоль осей соответственно; , если с концов осей и эти моменты видны против хода часовой стрелки или от этих моментов правый винт (буравчик) перемещается вдоль направлений осей и соответственно.

В сечении правой части бруса, отброшенной на рис. 1, положительные направления ВСФ по III закону Ньютона (действия и противодействия) направлены противоположно показанным на рис. 1 направлениям. Составляющие (компоненты) по осям внешних сил для левой и правой частей в уравнениях (1) положительны, если они направлены вдоль осей; внешние моменты от них в сечении бруса относительно осей и положительны, если от них правый винт (буравчик) перемещается вдоль направлений осей и (совпадают с направлениями и на рис. 1).

С учетом этих правил по формулам (1) можно построить эпюры (графики) всех ВСФ по длине бруса, по которым определяется опасное сечение бруса.

При построении эпюр по формулам (1):

Рис. 2

Эп. строится в любой плоскости ( или ), обязательно указать знак;

Эп. в плоскости , положительные значения откладывать вдоль направления оси ;

Эп. в плоскости , вдоль оси ;

Эп. строится в плос-кости изгиба бруса ,

вдоль оси ;

Эп. в плоскости , вдоль направления оси ;

Эп. в любой плоскости ( или ), желательно указывать знак.

Часто ось бруса состоит из отрезков прямых, соединенных под углами 90(ломанный брус) и загружена произвольной нагрузкой. В этом случае брус разбивается на участки, границами которых служат точки излома оси бруса, точки приложения сосредоточенных нагрузок, начало и конец распределенных нагрузок. На каждом участке вводим правую систему координат (т. центр тяжести поперечного сечения бруса, оси и главные центральные оси сечения; оси правые, если кратчайший поворот оси к оси с конца оси виден против хода часовой стрелки).

Пример построения эпюр ВСФ

Рассмотрим «ломаный брус», показанный на рис. 2.

Исходные данные:

кН, кН, кН, кН/м, , ,

, , м

Из рис. 2 видно, что брус имеет четыре участка. За первый участок примем тот, который имеет свободный конец ( или ). Выберем участок длиной . Ось вдоль оси бруса от т. а. На этом участке возьмем произвольное сечение с ц.т. на расстоянии от т.а. и проведем оси и так, чтобы с осью они составили правую систему координат . Для записи уравнений (1) выгоднее рассмотреть часть бруса с известными нагрузками . Внешняя нормаль к сечению этой части направлена вдоль оси , поэтому эта часть считается «левой» при использовании формул (1). Правую часть рассматривать невыгодно, т.к. она более сложная и содержит в заделке «k» шесть опорных реакций (которые предварительно придется найти). Далее оси поступательно, без вращения вокруг оси (поворачиваются вокруг оси х), перемещаются на второй участок и в сечении оси и ось . Проще рассмотреть участки и эта часть бруса считается тоже левой, т.к. нормаль в сечении направлена вдоль оси . Положение сечения определим расстоянием , причем . Далее оси перемещаем на III участок и в сечении проводим оси и . Положение сечения определим расстоянием () и рассмотрим правую часть , т.к. нормаль в сечении направлена против оси . На IV участок оси переводим из положения поворачивая их в т. С вокруг оси , ось вдоль стержня . Проводим произвольно сечение в т., в котором располагаем оси и . Рассмотрим всю переднюю часть, поэтому сечение определим расстоянием (), эта часть бруса будет «левой», т.к. направлена вдоль оси (для правой части надо определить 6 опорных реакций в заделке «k»).

Для каждого участка бруса запишем формулы (1), по которым построим все эпюры ВСФ:

I участок (левая часть)

кН

кН

кН

- линейная зависимость:

Считаем:

Считаем

По этим данным строим эпюры (графики) всех ВСФ на I участке на рис. 3 по вышеуказанным правилам.

II участок (левая часть)

кН

кН

- линейная зависимость

Считаем:

квадратная парабола

Считаем

Считаем

Строим эпюры на II участке

III участок (правая часть)

Считаем

Считаем

Строим эпюры на III участке.

IV участок (левая часть)

линейная зависимость

Считаем

линейная зависимость

Считаем

Эпюры всех внутренних силовых факторов приведены на рис. 3 (1ч6).

По эпюрам можно определить тип сложного сопротивления бруса, найти опасное (расчетное) сечение на каждом участке «ломаного» бруса и величины всех ВСФ в них.

Рис. 3

Типы сложного сопротивления бруса:

Косой изгиб: обязательно .

Изгиб с кручением: обязательно или или оба .

Внецентренное растяжение (сжатие): обязательно , .

Другие комбинации ВСФ относятся к общему случаю сложного сопротивления бруса.

Определим тип сложного сопротивления, найдем опасное (расчетное) сечение на каждом участке бруса из анализа полученных эпюр рис. 7.3.

I участок:

Здесь косой изгиб и сжатие. Опасное сечение при , где:

, , ,

, ,

II участок:

Здесь косой изгиб с кручением и растяжением. Опасное сечение при , где:

, , ,

, ,

III участок:

Здесь косой изгиб. Опасное сечение ,

где: , , ,

, .

IV участок:

Здесь косой изгиб с кручением и растяжением. Опасное сечение при ,

где: , , ,

, , .

Т.к. в опасном сечении , то расчет этого сечения можно вести по формулам плоского изгиба.

Определение напряжений

Ранее получены формулы для определения от и : , . По аналогии можно записать формулу для от (а). В этих формулах х и у координаты точки сечения бруса, где определяется . Очевидно, что при (сжатие) получается. Поэтому в формуле (а) стоит знак минус. При одновременном действие в сечении бруса , и суммарные напряжения в любой точки сечения с координатами х и у можно определить так

(2)

Это одна из основных формул сопротивления материалов. В (2) , , и координаты точки сечения х и у надо подставлять со своими знаками. Если получится, значит в этой точке сечения - растяжение, если то сжатие. Это важно при оценке прочности хрупких материалов.

От в сечении бруса возникают , определяемые по известной формуле Журавского . Аналогично, от возникают , определяемые по формуле . От кручения круглых валов возникают , определяемые известной формулой . Направления касательных напряжений от , и были выяснены раньше. В каждой точки сечения эти напряжения надо суммировать геометрически (векторно), т.е. суммарные напряжения

Рис. 4

На рис. 4 показаны правила геометрического сложения напряжений , и в т.В круглого сечения бруса. Определив в этой же точке «В» от по (2), можно оценить прочность в точке «В» сечения по одной из теорий прочности. Например, по III теории прочности получим

Рассмотрим подробнее частные случаи сложного сопротивления бруса.

Косой изгиб

Здесь в поперечных сечениях бруса могут быть , , , а . Косой изгиб может быть чистым, когда вдоль бруса отсутствуют = и поперечным, когда и, а переменны по длине бруса. Косой изгиб может быть плоским, когда вся внешняя нагрузка лежит в одной плоскости и не плоским, когда нагрузки в плоскостях и изменяются произвольно по длине бруса. Величины и знаки , , и в любом сечении бруса определяются из эпюр. Введем понятие полный изгибающий момент, определяемый так

(3)

Если и представить в виде векторов (длина векторов определяет величину и , а направления по правилу правого «буравчика»), то есть геометрическая сумма и , что показано на рис. 5. Положение удобно определять углом , который он составляет с осью ( отсчитывается от оси против хода часовой стрелки). Из рис. 5 видно:

Рис. 5

(1)

Отсюда (2)

Нормальное напряжение в любой точки сечения с координатами и определяется по формуле (7.2), полагая в ней

(4)

С учетом (1) (5)

Рис. 6

В формулы (4) и (5) все надо подставить со своими знаками: знаки и берутся из эпюр, всегда. Величина и знак определяется из формулы (2). Во многих случаях известны величина и направление поперечной нагрузки ( или ), направлениях их будем определять углом , отсчитываемый от оси (рис. 6),

против хода часовой стрелки. В произвольном сечении балки на расстоянии от торца от возникнет , который с направлением составляет угол 90, а с осью угол , т.е. . Зная и , можно вычислять по (7.5). Но проще силу разложить по осям и , т.е. , (видно из рис. 6). От строят эпюру , а от эпюру и далее определяют по формуле (7.4). Аналогично и от погонной нагрузки : , от эпюру , от эпюру .

Нейтральная ось (Н.О). Нейтральная ось - линия в сечении балки, относительно которой сечение поворачивается, оставаясь плоским (гипотеза Бернулли). Обозначим координаты точек на нейтральной оси через . Согласно определения Н.О в этих точках . Подставляя , в (5), сокращая на получим

(3)

Это уравнение Н.О. Видно, что это уравнение прямой линии проходящей через начало координат, т.к. при должно быть . Положение Н.О удобно определять через угол ее наклона к одной из осей координат. Обозначим угол наклона Н.О к оси (рис. 7), против хода часовой стрелки.

Рис. 7

Из рис. 7 видно (4)

Из (3) следует

(5)

С учетом (4) получим

(6)

Плоскость изгибающей нагрузки перпендикулярна , а плоскость изгиба (прогибов) перпендикулярна Н.О. При эти плоскости не совпадают , поэтому эту деформацию и назвали «косой изгиб». При (сечение квадратное, круглое и т.д.) и косого изгиба не будет.

Определение напряжений. Расчеты на прочность

Рис. 8

Для исследования напряженного состояния в сечении бруса строят эпюры в аксонометрии (Эп. ) или в плоскости сечения (Эп. ), используя формулы (4) или (5), эпюры показаны на рис. 8.

Для построения эпюр вычисляют в угловых точках сечения () и откладывают их в масштабе с учетом знаков ( - растяжение, наружу от сечения, (-) - сжатие - противоположно).

Далее точки соединяют прямыми линиями, т.к. из (4) и (5) видно, что линейны по координатам и . Итак, Н.О делит сечение на две зоны, растянутую и сжатую (-) (рис. 8).

Для построение эпюры перпендикулярно Н.О проводят линию . В т. «» в масштабе откладывают , а в т. «а» и далее соединяют их прямой линией.

Из эпюр видно, что экстремальные напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от Н.О. Это будут т.1 и т.3. В них и по (4)

где

Итак, в т.1 и т.3 сечения равны по величине и противоположны по знаку

(7)

Здесь знак выбирают по физическому смыслу, в растянутой зоне, (-) в сжатой. Аналогично определяются в других сечения с выступающими углами.

Для балок из пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, условие прочности в опасном сечении бруса можно записать так с учетом (7.7)

(8)

При подборе размеров сечения балки используем вторую формулу (8), при этом надо задать отношение с учетом рационального расположения сечения: для прямоугольника при (размер вдоль оси ) если то ; если , то размер вдоль оси (т.е. повернуть на 90) и . Условие прочности одно, а неизвестных два и , поэтому сами задаем отношение . Зная по (7.8) вычисляем необходимый , а по нему размеры и с учетом отношения . При подборе стандартных двутавров и швеллеров аналогично: если сечение располагаем вертикально, как в таблицах ГОСТа и берем: для двутавров , для швеллеров ; если сечение располагаем горизонтально и для двутавров , для швеллеров . Далее по (8) находимый необходимый и по нему стандартный номер профиля (в первом случае , во втором ). Определив номер профиля, делаем его проверку по первой формуле (8), подставляя табличные значения и из ГОСТа с учетом вышеуказанного в скобках. Можно учесть , добавив .

Для произвольного сечения условия прочности имеют вид : надо найти наиболее удаленные от Н.О точки сечения, найти в них и сравнить их с допускаемыми.

Для балок из хрупких материалов отдельно делается проверка прочности в растянутой (р) и сжатой (сж) зонах, т.к. для них . Размеры произвольного сечения определяются методом попыток (подбором). При каждой попытке необходимо уточнить положение Н.О и координаты точек сечения с .

Определение прогибов

Определяют закон изменения прогибов в плоскости как указано в разделе 5, используя известное уравнение и метод Клебша. Далее определяют прогибы в горизонтальной плоскости используя метод Клебша и аналогичное уравнение . Полный прогиб «» в любом сечении балки найдем геометрическим сложеним прогибов и в каждом сечении: . Вычислив «» в нескольких сечениях по длине балки, строят изогнутую ось балки и проверяют ее жесткость.

2. Внецентренное сжатие (растяжение)

Рис. 9

Эта деформация возникает обычно в вертикальных брусьях и колоннах при действии на них продольных сил , приложенных в т. «Р» (полюс) не совпадающей с т. О - центром тяжести сечении (рис. 9).

При переносе силы в т. О брус нагрузится продольной силой и изгибающим моментом , причем все сечения бруса по его длине будут загружены одинаково.

Определение напряжений

Пусть на брус в т. «Р» с координатами и действует растягивающая сила (рис. 9). Перенесем силу сначала на ось (плечо ), а затем в т. О (плечо ). В итоге в поперечном сечении бруса возникнут:

(6)

В произвольной точке «В» сечения с координатами и найдем по (2)

(7)

Подставляя (6) в (7) получим

(9)

Учитывая, что и подставляя в (9)

(10)

В произвольных случаях нагружения в формулы (9) и (10) и надо подставлять со своими знаками в заданных главных центральных осях и . при растяжении бруса, при сжатии.

Эпюры в сечении строятся аналогично как при косом изгибе.

Нейтральная ось (Н.О)

Обозначим координаты точек на Н.О через . В этих точках . Подставляя и в (7.10) и сокращая на получим

(11)

Это уравнение Н.О. Видно, что это уравнение прямой ( и в первой степени), не проходящей через начало координат (т.к. при ). Положение Н.О удобно определять отрезками и , которые Н.О отсекает на осях координат (рис. 7.9) и проходит через т. «» и т. «». Допустим пока, что и . Точка «» в этом случае имеет координаты . Подставляем это в (11) получим

Отсюда

(12а)

Аналогично т. «». Подставляя найдем

Отсюда

(12в)

Из (12) видно, что при и получим и , т.е. наше допущение неверно и правильно Н.О показана на рис. 9.

Свойства нейтральной оси

Из формул (12) следует:

1. Положение Н.О не зависит от величины и знака .

2. Н.О и полюс т. «Р» лежат по разные стороны от центра тяжести сечения т. О.

3. При удалении полюса от т.о., Н.О приближается к нему и наоборот.

4. Если полюс расположен на одной из осей координат, то Н.О перпендикулярна к этой оси (при полюс на оси , , т.е. Н.О параллельна оси или перпендикулярна оси ).

5. При вращении Н.О вокруг произвольной точки «» на ней (рис. 9), полюс перемещается по прямой линии, не проходящей через т. О. Подставим в (11) . Получим уравнение, которое относительно координат и есть уравнение прямой не проходящей через т. О.

6. Н.О делит сечение на две зоны: растянутую и сжатую, заштрихованную на рис. 9 при .

Из соотношений (12) можно решить обратную задачу: зная положение Н.О (т.е. и ) найти положение полюса, т.е. и

(13)

Расчеты на прочность

Определив положение Н.О, проведем к контуру сечения касательные, параллельные Н.О. Получим т.1 с координатами и и т.2 с координатами и . Если в т. «Р» действует , то в т. 1 будут растягивающие (р), а в т. 2 сжимающие (сж). Обычно колонны изготавливают из хрупких материалов, поэтому прочность проверяется отдельно в растянутой и сжатой зонах по формулам (9) или (10):

(8)

При действии на колонну сжимающей силы в т. 1 будут , в т. 2 растягивающие.

Размеры сечения обычно определяются методом подбора: задают размеры, определяют положение Н.О, т.1 и т.2 и проверяют в них прочность по (8). Если эти условия не выполняются, меняют размеры сечения и снова проверяют.

Для брусьев с сечениями типа прямоугольника, двутавра или швеллера из пластичных материалов, у которых , первую попытку можно провести как при косом изгибе по второй формуле (8), определив и по (6), а пока не учитывать. Здесь подбор размеров сечения проводить так, как указано ниже формулы (8). Определив размеры сечения, делать проверку по (8) с учетом .

Ядро сечения

Для колонн из хрупких материалов (чугун, бетон, камень и т.д.), плохо работающих на растяжение желательно, чтобы от сжимающей силы во всех точках сечения были только сжимающие напряжения. Этого можно добиться, если Н.О не пересекает сечение колонны, а согласно свойства 3 Н.О. это получим, ограничивая удаление полюса «Р» от т. О.

Рис. 10

Ядро сечения - это некоторая область вокруг ц.т. (т. О) сечения, внутри которой можно располагать полюс т. «Р», не вызывая в сечении колонны напряжений разных знаков (только знака ).

Если полюс «Р» расположен на границе ядра сечения, то Н.О только касается контура сечения. На этом и основан порядок построения ядра сечения, показанный на рис. 10:

1. Даем Н.О все возможные положения, касательные к контуру сечения, учитывая симметрию сечения. Это Н.О (1) Н.О (4).

2. Для каждого положения Н.О (1) Н.О (3), т.е. вертикальных и горизонтальных, легко определить величины и знаки отрезков и (), зная размеры сечения и положение главных центральных осей .

Например, для Н.О (1) (Н.О (1) и ось параллельны), показан на рис. 10.

3. По формулам (13) вычисляем для каждого положения Н.О координаты полюса, т.е. и и определяем эти т.1 т.3 на рисунке сечения, выполненного в масштабе (рис. 10).

Для Н.О (4) - наклонной, определить и затруднительно. Поэтому здесь лучше использовать уравнение Н.О в виде (11). Н.О (4) проходит через т.т. «а» и «b» сечения, координаты которых и легко определить (величины и знаки). Подставляем их в (11) вместо и получим

(9)

Решаем эти два уравнения для вычисления и , это и будут координаты т. 4 на ядре. Из рис. 10 видно, что Н.О из одного положения в другое переводятся вращением вокруг точек сечения колонны, а согласно свойства 5 Н.О полюс при этом перемещается по прямой. Поэтому т.1 т.4 на рис. 10 надо соединить прямыми линиями. Получим половину ядра сечения, заштрихованную на рис. 10. Сечение колонны симметрично относительно оси , поэтому и ядро его сечения симметрично относительно оси (вторая половина ядра показана пунктиром).

Ядра сечений некоторых фигур

1. Прямоугольное сечение :

Ввиду двух осей симметрии и достаточно двух положений Н.О Н.О (1):

Рис. 11

,

,

т.е. т.1 на оси . Н.О (2):

,

т.е. т.2 на оси .

Строим т.2., т.3 симметрична т.1, а т.4 симметрична т.2. Соединяем т.1т.4 прямыми линиями, получим ядро сечения в виде ромба с размерами и .

2. Круглое сечение радиуса .

Рис. 12.- Ввиду осевой симметрии, достаточно одного положения Н.О

Получим т.1 на ядре. Ядро сечения здесь круг с радиусом

3. Изгиб с кручением

Эта деформация возникает в пространственных «ломанных» брусьях, в валах различных механизмов, передающие крутящие моменты. Здесь изгиб возникает от веса вала, веса шкивов, натяжения ремней, от зацепления зубчатых колес и т.д. Зная все нагрузки, можно построить все эпюры ВСФ. Опасное сечение определяется по эпюрам и . Как указано в разделе 6, брусья с некруглыми сечениями и тонкостенные незамкнутые сечения (двутавры, швеллера и т.д.), очень плохо работают на кручение. Поэтому, при наличии изгиба с кручением, желательно использовать брусья с круглыми или трубчатыми сечениями. Для них опасное сечение однозначно определяется по полному изгибающему моменту

(10)

Расчеты на прочность стержней, испытывающих изгиб с кручением, зависят от формы их поперечных сечений.

Расчет стержней круглого сечения

Для круглых стержней и косой изгиб для них невозможен, поэтому расчет можно вести на , определяемый по (10). Плоскость изгиба перпендикулярна (рис. 13) и

Рис. 13

(11)

где радиус сечения. Знаки зависят от направления вектора .

На рис. 13 в т. «а» будет сжатие (-), в т. «» - растяжение .

От кручения , как известно, возникают на контуре сечения и определяются так

(12)

где полярный момент

инерции сечения. Поэтому, наиболее опасными точками в сечении являются т. «а» и т. «», где действуют и и, следовательно, возникает плоское напряженное состояние (ПНС), которое излагается в разделе 12.

Главные напряжения при ПНС в осях определяются по (12.10)

(13)

В нашем случае надо подставлять: из зависимостей (11), (12) и условие прочности запишется так

(I)

А это, как известно, есть I теория прочности. (см. раздел 13)

Известны еще несколько теорий прочности, которые для ПНС в осях записываются так (см. раздел 13):

II теория прочности

.

В нашем случае подставляя: (коэффициент Пуассона),

получим

(II)

III теория прочности

В нашем случае

(III)

IV теория прочности

В нашем случае

(IV)

Формулы (I)-(IV) используются для проверки прочности валов с заданными размерами сечений. I и II теории прочности рекомендуются для валов из хрупких материалов (чугун), для которых (растяжение). III и IV теории прочности (т.п.) рекомендуется для валов из пластических материалов (стали и т.д.). При наличии в опасном сечении вала , вычисляется с ее учетом

(14)

Для проектирования вала, т.е. определения размеров его сечения, преобразуем формулы (I)-(IV): подставим формулы (11) и (12) в (I), получим

где расчетный (приведенный) момент по I теории прочности.

Подставляя (11) и (12) в другие теории прочности, легко убедится, что условия прочности I-IV можно записать одним обобщенным выражением

(14)

где расчетные моменты по ^ой теории прочности:

I т.п. ;

II т.п. ; (15)

III т.п. ;

IV т.п.

Из условия прочности (14) можно найти необходимый момент сопротивления сечения вала , а по нему размеры сечения:

1. Сплошное круглое сечение радиуса : , отсюда

2. Трубчатое сечение: наружный радиус, внутренний. Здесь две неизвестных, а условие прочности (7.14) одно, поэтому надо самим задаться отношением

.

Отсюда .

Далее, по сортаменту труб подбираем стандартную трубу с близкими размерами , вычисляем

,

,

находим по (14) и по (12) и подставляем их в ту же теорию прочности (I)-(IV), по которой определялся из (15). Если условие прочности не выполняется, берем другую стандартную трубу и снова все повторяем. Допускаемая перегрузка 5% от .

Трубчатые сечения при изгибе с кручением являются более экономичными по весу.

Примечание:

При наличии продольной силы размеры сечения определяются вначале без ее учета, т.е. на и , а проверка проводится с учетом по (14) и (12).

Размещено на Allbest.ru