Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учереждение высшего профессионального образования

«Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»

Расчётно-графическое задание

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

Составители:

Е.Г. РОЗИН

В.Г. КОМИН

Иваново 2005

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

1. Контрольные работы должны быть представлены до экзаменационной сессии.

2. Номера задач, которые студент должен включить в свою контрольную работу, определяются по таблицам вариантов.

3. В контрольной работе нужно привести сведения о студенте по следующему образцу:

4. Условия задач в контрольной работе надо переписать полностью без сокращений. Для замечаний преподавателя на страницах тетради оставлять поля.

5. Если контрольная работа при рецензировании не зачтена, студент обязан представить её на повторную рецензию, включив в неё те задачи, решения которых оказались неверными. Повторную работу необходимо представить вместе с незачтённой.

6. Зачтённые контрольные работы предъявляются экзаменатору. Студент должен быть готов во время экзамена дать пояснения по существу решения задач, входящих в контрольные работы.

7. Решения задач следует сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями; в тех случаях, когда это возможно, дать чертёж, выполненный с помощью чертёжных принадлежностей.

8. Решать задачу надо в общем виде, т.е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи. При таком способе решения не производятся вычисления промежуточных величин.

9. После получения расчётной формулы для проверки правильности её следует подставить в правую часть формулы вместо символов величин обозначения единиц этих величин, произвести с ними необходимые действия и убедиться в том, что полученная при этом единица соответствует искомой величине.

10. Числовые значения величин при подстановке их в расчётную формулу следует выражать только в единицах СИ.

11. При подстановке в расчётную формулу, а также при записи ответа числовые значения величин следует записывать как произведение десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на соответствующую степень десяти. Например, вместо 3520 надо записать 3,52Ч103, вместо 0,00129 записать 1,29Ч10-3 и т.п.

ПРОГРАММА ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ.

РАЗДЕЛ «ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК»

Электричество

Предмет классической электродинамики. Электромагнитное взаимодействие. Электрический заряд и его свойства. Закон сохранения электрического заряда. Микро- и макроскопические носители электрического заряда. Электризация тел. Электромагнитное поле. Способ описания электромагнитного поля. Пробный заряд и его свойства.

Электростатика

Предмет электростатики. Взаимодействие неподвижных зарядов. Закон Кулона. Электростатическое поле. Понятие напряжённости электрического поля как силовой характеристики поля. Напряжённость поля точечного заряда. Принцип суперпозиции электростатических полей. Поле диполя, равномерно заряженной нити, тонкого кольца. Графическое изображение электростатического поля. Силовые линии напряжённости. Геометрический смысл напряжённости. Понятие потока вектора напряжённости электрического поля. Теорема Гаусса для вектора напряжённости электрического поля и её физический смысл. Применение теоремы Гаусса для расчёта симметричных электрических полей (плоскости, сферы, шара, длинной нити и цилиндра). Работа электрического поля. Понятие потенциала как энергетической характеристики поля. Разность потенциалов. Потенциал поля точечного заряда. Принцип суперпозиции для потенциала. Связь между напряжённостью и потенциалом. Теорема о циркуляции вектора напряжённости. Эквипотенциальные поверхности. Расчёт потенциала поля точечного диполя и поля на оси тонкого кольца, разности потенциалов однородного поля, поля цилиндра и сферы. Проводники в электростатическом поле. Явление электростатической индукции. Распределение электрического заряда по поверхности проводника. Электрическое поле вблизи поверхности заряженного проводника. Электрическое поле в полости проводника. Электростатическая защита. Коэффициенты ёмкости и взаимной ёмкости проводников. Электроёмкость шара. Конденсаторы. Электроёмкость конденсаторов (плоского, сферического и цилиндрического). Соединение конденсаторов в батарею. Энергия взаимодействия электрических зарядов. Энергия заряженного проводника и системы заряженных проводников. Энергия заряженного конденсатора. Плотность энергии электрического поля. Энергия заряженного шара. Диэлектрики в электрическом поле. Явление поляризации диэлектриков. Механизм поляризации полярных и неполярных диэлектриков. Вектор поляризации. Диэлектрическая восприимчивость. Связь вектора поляризации с поверхностной плотностью связанных зарядов. Электрическое поле в диэлектрике.

Связь между диэлектрической проницаемостью и диэлектрической восприимчивостью. Вектор электрического смещения и его связь с вектором поляризации. Теорема Гаусса для вектора электрического смещения. Граничные условия на поверхности раздела разнородных сред.

Постоянный ток

Токи проводимости. Сила тока. Плотность тока. Условия существования тока. Закон Ома в дифференциальной форме. Закон Ома в интегральной форме для участка цепи с источником тока и для полной цепи. Понятие электродвижущей силы источника (ЭДС). Сторонние силы. Понятие напряжения и падения напряжения. Электрическое сопротивление проводников. Зависимость сопротивления от температуры. Явление сверхпроводимости. Соединение проводников. Закон Джоуля - Ленца в интегральной и дифференциальной форме. Классическая электронная теория проводимости металлов и её недостатки.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ФИЗИКЕ

Контрольные задания состоят из четырёх разделов.

В разделе 1 используются: закон Кулона, принцип суперпозиции для вычисления напряжённости электростатического поля системы электрических зарядов, теорема Остроградского-Гаусса для расчёта полей, обладающих плоской, сферической или цилиндрической симметриями.

В разделе 2 используются: понятие потенциала электростатического поля, принцип суперпозиции для потенциалов, связь напряжённости поля с его потенциалом.

В разделе 3 используются: понятие электроёмкости, формулы для расчёта электроёмкости конденсаторов при их последовательном и параллельном соединении, формулы для энергии и объёмной плотности энергии электростатического поля.

В разделе 4 используются: закон Ома в дифференциальной и интегральной формах, формулы для сопротивлений и токов при последовательном и параллельном соединениях резисторов, формулы для работы и мощности тока.

1. ЗАКОН КУЛОНА. НАПРЯЖЁННОСТЬ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ТЕОРЕМА ГАУССА

Основные формулы

Закон сохранения заряда в замкнутой системе

Q1+Q2+…+Qn=const.

Закон Кулона

,

где k=9.109 м/Ф; F - сила взаимодействия двух точечных зарядов Q1 и Q2; r - расстояние между зарядами; е - диэлектрическая проницаемость среды.

Напряженность электростатического поля

,

где - сила, действующая на точечный положительный заряд Q0, помещенный в данную точку поля.

Напряжённость электростатического поля точечного заряда Q на расстоянии r от заряда

.

вектора напряженности электростатического поля:

а) через площадку dS: ;

б) через замкнутую поверхность S: ,

где - вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью к площадке; Еn - проекция вектора на нормаль к площадке dS.

Принцип суперпозиции электростатических полей

,

где - напряженность поля, создаваемого зарядом Qi .

Плотность зарядов (линейная ф, поверхностная у, объемная с)

.

Теорема Гаусса для электростатического поля:

а) в случае дискретного распределения зарядов

;

б) в случае непрерывного распределения зарядов

,

где Еn - проекция вектора на нормаль к площадке dS;- алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности S; n - число зарядов; Ф/м - электрическая постоянная.

В случае диэлектрика и - свободные заряды внутри замкнутой поверхности S.

Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью,

,

где у - поверхностная плотность заряда.

Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом R с зарядом Q на расстоянии r от центра сферы,

Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечным цилиндром радиусом R на расстоянии r от оси цилиндра,

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура L

,

где - проекция вектора на направление элементарного перемещения .

Примеры решения задач

Пример 1

Два заряда Q1 = 27 мкКл и Q2 = -64 мкКл расположены на расстоянии 5 м друг от друга. Найти напряженность электрического поля в точке, удаленной на расстоянии = 3 м от первого и = 4 м от второго заряда. Найти силу, действующую на заряд Q3 = 2 мкКл, помещенный в точку А.

По принципу суперпозиции электрических полей

.

Поскольку , то угол САВ = 900. Следовательно, .

По теореме Пифагора , где ; .

В/м.

Сила F, действующая на заряд Q3,

F = .

Пример 2

По полуокружности радиусом R = 0,1 м равномерно распределен заряд с линейной плотностью ф = 0,2 мкКл/м. Найти напряженность электрического поля в центре полуокружности.

Мысленно разобьем полуокружность на бесконечно малые дуги. Пусть dQ - заряд дуги dl, тогда . Напряженность dE поля, создаваемого зарядом dQ в точке O,



- угол, который опирается на дугу dl.

Разложим вектор на две составляющие вдоль осей ox и oy:

По принципу суперпозиции электрических полей . Но т.к. горизонтальные вклады в напряженность поля от зарядов dQ и dQ' симметрично расположенных относительно OY, взаимно компенсируются.

Тогда

= В/м.

Ответ: E = В/м.

Пример 3

Бесконечная плоскопараллельная пластина толщиной d = 0,2 м равномерно заряжена по объему с плотностью электрического заряда с = 4 нКл/м3. Найти напряженность электрического поля на расстоянии r1 = 0,05 м от срединной плоскости пластины и напряженность поля вне пластины. Для пластины е = 4.

1. Для применения теоремы Гаусса выберем в качестве замкнутой поверхности S1 поверхность цилиндра высотой , который делится срединной плоскостью р пополам.

По теореме Гаусса

.

Вектор направлен от срединной плоскости р перпендикулярно пластине. Поэтому En=0 для всех точек боковой поверхности цилиндра и En=E1=const для всех точек обоих оснований. Тогда формула (1) принимает вид

;

заряд , расположенный внутри цилиндрической поверхности S1, .

Tогда

В/м.

2. Пусть S2 - поверхность цилиндра, высота которого больше толщины d пластины и который делится пополам срединной плоскостью р.

По теореме Гаусса

.

En = 0 для точек боковой поверхности; En = E2 = const для точек обоих оснований; Qвнутр= = - заряд пластины, находящийся внутри поверхности S2; е =1, т.к. оба основания цилиндра находятся вне пластины. Тогда по формуле (2)

В/м.

Ответ: Е1 = 56,5 В/м, Е2 = 45,2 В/м.

Пример 4

Вдоль диагонали куба с ребром 0,1 м. расположена длинная равномерно заряженная нить с линейной плотностью заряда 0,2 мкКл/м. Найти поток вектора напряженности электрического поля через поверхность куба.

,

где Qвнутр - заряд нити, расположенный внутри куба; - диагональ куба.

По теореме Пифагора ; , тогда

.

.

Ответ: ФЕ.

Пример 5

Показать с помощью теоремы Гаусса, что заряд заряженного проводника расположен лишь на поверхности проводника.

Решение

Выберем замкнутую поверхность S внутри проводника, очень близко отстоящую от его поверхности.

По теореме Гаусса

.

Поскольку внутри проводника, а значит, во всех точках поверхности S. Тогда Этот результат справедлив для поверхности S внутри проводника, сколь угодно близко расположенной к его поверхности. Следовательно, избыточный заряд проводника находится только на его поверхности.

Задачи для решения

1.1. Три точечных заряда 1 нКл каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы вся система зарядов находилась в равновесии ?

1.2. Два шарика массой 1 г каждый подвешены на нитях, верхние концы которых соединены вместе. Длина каждой нити 10 см. Какие одинаковые по величине заряды надо сообщить шарикам, чтобы нити разошлись на угол 600 ?

1.3. Два одинаковых заряженных шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на некоторый угол. Шарики погружаются в масло. Какова плотность масла, если угол расхождения нитей при погружении шариков в масло остался неизменным? Плотность материала шариков 1,5103 кг /м3, диэлектрическая проницаемость масла 2,2.

1.4. В двух противоположных вершинах квадрата расположены положительные заряды, а в третьей вершине - отрицательный заряд. Найти напряжённость электрического поля в четвёртой вершине, если величина каждого заряда 10-8 Кл, а сторона квадрата равна 50 см.

1.5. В вершинах правильного треугольника со стороной 10 см находятся положительные заряды 20 мкКл, 40 мкКл и отрицательный - 10 мкКл. Найти силу, действующую на первый заряд со стороны двух других зарядов.

1.6. Найти заряд шарика массой 0,1 г, если находящийся на некотором расстоянии от него шарик массой 0,01 г и с зарядом 0,1 мкКл находится в равновесии.

1.7. На шёлковой нити в воздухе подвешен шарик массой 0,01 г. Шарику сообщён заряд 108 Кл. На каком расстоянии снизу нужно поместить заряд 2108 Кл, чтобы сила натяжения нити уменьшилась в 2 раза?

1.8. Согласно модели Бора электрон в атоме водорода движется по круговой орбите. Найти скорость движения электрона, если радиус его орбиты 0,510-10 м.

1.9. Два точечных заряда находятся на расстоянии друг от друга. Если расстояние между ними уменьшается на 0,5 м, то сила взаимодействия увеличивается вдвое. Найти расстояние .

1.10. Два заряда, находясь в воздухе на расстоянии 5 см, взаимодействуют с силой 1,210-4 Н, а в некоторой жидкости на расстоянии 10 см - с силой 0,15 Н. Найти диэлектрическую проницаемость жидкости.

1.11. Определить напряжённость поля, создаваемого точечным диполем с электрическим моментом 4 нКлм, на расстоянии 10 см от центра диполя в направлении, составляющем угол 600 с вектором электрического момента.

1.12. Два точечных диполя с электрическими моментами 1 нКлм и 4 нКлм находятся на расстоянии 2 см друг от друга. Найти силу их взаимодействия, если оси диполей лежат на одной прямой.

1.13. Вычислить непосредственно интегрированием напряжённость поля бесконечной равномерно заряженной нити в точке, расположенной на расстоянии 0,2 м от нити. Линейная плотность заряда нити 1 мкКл/м.

1.14. Тонкое кольцо радиусом 0,2 м равномерно заряжено с линейной плотностью 0,1 мкКл/м. На каком расстоянии от центра кольца на оси, перпендикулярной к его плоскости, напряжённость электрического поля кольца максимальна? Какова эта напряжённость?

1.15. Стержень длиной 20 см имеет заряд 20 нКл. Найти напряжённость поля в точке, удалённой на расстояние 20 см от обоих концов стержня.

1.16. Найти напряжённость поля в центре заряженной полуокружности радиусом 10 см, линейная плотность заряда которой 1 нКл/см.

1.17. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью заряда 1,5 нКл/см. На продолжении оси стержня на расстоянии 12 см от его конца находится точечный заряд 0,2 мкКл/м. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

1.18. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равномерно распределён заряд с линейной плотностью 10 нКл/м. Определить напряжённость электрического поля, создаваемого таким распределением зарядов в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Радиус окружности дуги 5 см. Дуга составляет 1/3 полуокружности.

1.19. Заряд Q = 20 нКл равномерно распределён по четверти кольца радиусом 10 см. Определить напряжённость электрического поля в центре кольца.

1.20. Бесконечный тонкий стержень, ограниченный с одной стороны, равномерно заряжен с линейной плотностью 60 нКл/м. Определить напряжённость электрического поля в точке, лежащей на оси стержня на расстоянии 10 см от его начала.

1.21. Определить напряжённость Е поля заряда, равномерно распределённого по тонкому прямому стержню с линейной плотностью заряда 200нКл/м в точке, лежащей на продолжении оси стержня на расстоянии 20 см от одного из концов стержня. Длина стержня 40 см.

1.22. Точечный заряд 0,2 мкКл расположен в точке, удалённой на расстояние 40 см от обоих концов равномерно заряженного стержня. Длина стержня 20 см, его заряд 0,4 мкКл. Найти силу, действующую на точечный заряд со стороны заряда стержня.

1.23. Тонкий стержень длиной 10 см заряжен с линейной плотностью 400 нКл/м. Найти напряжённость электрического поля в точке, расположенной на перпендикуляре к стержню, проведённому через один из его концов, на расстоянии 8 см от этого конца.

1.24. Тонкая бесконечная нить согнута под прямым углом и равномерно заряжена с линейной плотностью 1 мкКл/м. Найти силу взаимодействия нити и заряда 0,2 мкКл, расположенного на продолжении одной из сторон и удалённого от вершины угла на 0,5 м.

1.25. Тонкий бесконечный провод согнут под углом 900 и равномерно заряжен с линейной плотностью = 0,1 мкКл/м. Найти напряжённость электрического поля в точке, расположенной на биссектрисе прямого угла на расстоянии a = 0,2 м от его вершины.

1.26. Точеный заряд 30 нКл расположен в центре куба. Определить поток вектора электростатической индукции через одну из граней куба.

1.27. Точечный заряд 24 нКл расположен в вершине куба. Определить поток вектора электростатической индукции через поверхность куба.

1.28. По объёму парафинового шара радиусом 5 см равномерно распределён заряд 2,78 пКл (пикокулон). Определить напряжённость электрического поля внутри шара на расстоянии 1 см от его центра. Диэлектрическая проницаемость парафина равна 2.

1.29. В области с равномерно распределённой по объёму плотностью заряда выделена кубическая поверхность, вписанная в сферу. Определить отношение потока вектора напряжённости электрического поля через поверхность куба к потоку через поверхность сферы.

1.30. Вблизи равномерно заряженной нити мысленно построим замкнутую поверхность, имеющую форму цилиндра, соосного с нитью. Во сколько раз изменится поток вектора напряжённости электрического поля через полную поверхность цилиндра, если нить наклонить на 450 и сохранить пересечение нити с основаниями цилиндра?

1.31. Парафиновый стержень диаметром 1 см равномерно заряжен по объёму. Плотность заряда 1,77 мкКл/м3, диэлектрическая проницаемость парафина 2. Определить напряжённость электрического поля на расстоянии 1 мм от оси стержня (внутри стержня).

1.32. Определить радиус равномерно заряженного по объёму диэлектрического шара ( = 2) , если на расстояниях 2,5 см и 10 см от центра шара напряжённости электрического поля одинаковы.

1.33. Определить радиус равномерно заряженного по объёму бесконечно длинного диэлектрического стержня ( = 2), если на расстояниях 1 см и 8 см от оси стержня напряжённости электрического поля одинаковы.

1.34. В диэлектрическую среду ( = 9) , равномерно заряженную по объёму с отрицательной плотностью электрического заряда - 2,3910-8 Кл/м3, поместили точечный заряд + 410-10 Кл. Определить напряжённость результирующего электрического поля на расстоянии 10 см от точечного заряда.

1.35. Бесконечная плоскопараллельная диэлектрическая пластинка толщиной 15 мм равномерно заряжена с объёмной плотностью заряда 5,910-7 Кл/м3. Определить напряжённость электрического поля вне пластины.

1.36. Плоскопараллельная диэлектрическая пластинка ( = 7) толщиной 4 мм равномерно заряжена по объёму. Напряжённость электрического поля вне пластины 700 В/м. Определить напряжённость электрического поля внутри пластинки на расстоянии 1 мм от её поверхности.

1.37. Шар радиусом 0,1 м равномерно заряжен с объёмной плотностью 0,2 мкКл/м3. Найти поток вектора напряжённости электрического поля через сечение шара, которое образовано плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 0,05 м.

1.38. Вычислить поток вектора напряжённости электрического поля через полусферу радиусом 0,2 м. Поле однородно и параллельно оси полусферы. Напряжённость поля 3 кВ/м.

1.39. Сферический слой с внутренним радиусом 0,1 м и внешним 0,2 м равномерно заряжен с объёмной плотностью 0,1 мкКл/м3. Вычислить напряжённость электрического поля в точке, расположенной на расстоянии 0,15 м от центра слоя. Принять = 1.

1.40. Длинная тонкостенная металлическая труба радиусом 0,2 м несёт на себе заряд с линейной плотностью = 20 кКл/м. Найти напряжённость электрического поля на расстояниях 0,1 м и 0,4 м от оси трубы.

1.41. Бесконечно длинный цилиндрический стержень радиусом 5 см равномерно заряжен по объёму с объёмной плотностью 0,1 мкКл/м3. Определить напряжённость электрического поля на расстоянии 10 см от оси стержня. Принять = 1.

1.42. Бесконечный диэлектрический ( = 2) слой толщиной 10 см равномерно заряжен с объёмной плотностью 0,4 мкКл/м3. Вычислить напряжённость электрического поля в точке, расположенной на расстоянии 2 см от середины слоя.

1.43. В каждой вершине куба находятся одинаковые точечные заряды 32 нКл. Определить поток вектора напряжённости поля через поверхность куба.

1.44. Вычислить поток вектора напряжённости поля через поверхность полусферы радиусом 0,5 м. Электрическое поле однородно и составляет угол 300 с осью полусферы. Напряжённость поля 5 кВ/м.

1.45. Вдоль диагонали куба с ребром 0,2 м расположена равномерно заряженная нить с линейной плотностью заряда 40 нКл/м. Определить поток вектора напряжённости электрического поля через поверхность куба.

1.46. Бесконечная равномерно заряженная плоскость с поверхностной плотностью 0,1 мкКл/м2 пересекает поверхность цилиндра радиусом 0,1 м и высотой 0,2 м так, что ось цилиндра перпендикулярна к плоскости. Вычислить поток вектора напряжённости электрического поля через поверхность цилиндра.

1.47. Бесконечная равномерно заряженная нить с линейной плотностью заряда 50 нКл/м пересекает поверхность сферы радиусом 0,3 м и отстоит на расстоянии 0,1 м от центра сферы. Найти поток вектора напряжённости электрического поля через поверхность сферы.

1.48. Равномерно заряженный шар радиусом 0,2 м имеет заряд 0,02 мкКл. Вычислить поток вектора напряжённости электрического поля через сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии, равном половине радиуса шара.

1.49. В центре сферы радиусом 0,2 м находится точечный заряд 40 нКл. Определить поток вектора напряжённости электрического поля через часть сферической поверхности площадью 20 см2.

1.50. Сфера радиусом 0,1 м пересекается равномерно заряженной плоскостью, отстоящей на расстоянии 0,05 м от центра сферы. Поверхностная плотность заряда плоскости 0,1 мкКл/м2. Найти поток вектора напряжённости электрического поля плоскости через поверхность сферы.

1.51. Полусфера равномерно заряжена с поверхностной плотностью =2 мкКл/м2. Найти напряжённость электрического поля в центре полусферы.

1.52. Тонкий диск равномерно заряжен с поверхностной плотностью заряда = 5 нКл/м2. Найти напряжённость поля на оси диска в точке, из которой диск виден под телесным углом = 1 стерадиан.

1.53. Тонкое кольцо радиусом 0,1 м заряжено с линейной плотностью = 0cos, где 0 = 20 нКл/м; - азимутальный угол. Найти напряжённость поля в центре кольца.

1.54. Круглая пластина радиусом 0,4 м равномерно заряжена с поверхностной плотностью =2 мкКл/м2. Найти напряжённость электрического поля в точке, лежащей на расстоянии 0,8 м от пластины на перпендикуляре к плоскости пластины, проходящем через её центр.

1.55. Система состоит из тонкого равномерно заряженного кольца радиусом R=5 см и очень длинной равномерно заряженной нити, расположенной по оси кольца так, что один из её концов совпадает с центром кольца. Заряд кольца Q = 40 нКл. Линейная плотность заряда нити = 20 нКл/м. Найти силу взаимодействия кольца и нити.

1.56. Равномерно заряженная очень длинная нить, расположенная по оси круга радиусом 0,1 м, упирается одним своим концом в его центр. Линейная плотность заряда нити 40 нКл/м. Найти поток вектора напряжённости электрического поля через площадь круга.

1.57. Шар радиусом R = 0,2 м имеет положительный заряд, объёмная плотность которого зависит только от расстояния r до его центра по закону = 8,8510-6 (1 - r/R)(Кл/м3). Полагая диэлектрическую проницаемость шара и окружающего пространства равной единице, найти напряжённость электрического поля на расстоянии r1 = 0,5 м от центра шара.

1.58. Система состоит из шара радиусом 0,1 м, заряженного сферически симметрично, и окружающей среды, заполненной зарядом с объемной плотностью = 210-8 r -1 (Кл/м3), где r - расстояние от центра шара. Найти заряд шара, при котором напряженность электрического поля вне шара не будет зависеть от r. Чему равна эта напряженность? Для шара и окружающей среды принять = 1.

2. ПОТЕНЦИАЛ. СВЯЗЬ НАПРЯЖЁННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ С ПОТЕНЦИАЛОМ

Основные формулы

Потенциал электростатического поля

,

где Wn - потенциальная энергия точечного положительного заряда Q0, помещённого в данную точку поля.

Разность потенциалов в двух точках поля

,

где А - работа по перемещению заряда Q из точки с потенциалом в точку с потенциалом .

Работа А

.

Потенциал поля точечного заряда Q на расстоянии r от заряда

,

где м/Ф; е - диэлектрическая проницаемость среды.

Принцип суперпозиции для потенциалов электростатических полей

,

где - расстояние от заряда Qi до точки, в которой вычисляется потенциал .

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов Q1 и Q2

.

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов Q1, Q2, …, Qn

,

где - потенциал поля, создаваемого всеми n-1 зарядами (за исключением i-го) в точке, в которой расположен заряд Qi.

Связь потенциала ц с напряжённостью электростатического поля

,

где grad - операция «градиент», действие которой на функцию ц(x,y,z) в декартовых координатах задаётся уравнением

,

где , , - орты координатных осей x, y, z.

В случае центрально симметричного электрического поля, а также поля цилиндрической симметрии

,

где r - расстояние от центра симметрии, или соответственно от оси цилиндрической симметрии до точки наблюдения.

В случае однородного поля

,

где d - проекция отрезка, соединяющего точки с потенциалами и , на направление силовой линии поля.

Примеры решения задач

Пример 1

Три точечных заряда Q1 = 1 мкКл, Q2 = -2 мкКл, Q3 = 4 мкКл находятся на бесконечно больших расстояниях друг от друга. Найти: а) работу, которую нужно совершить, чтобы расположить заряды в вершинах правильного треугольника со стороной а = 0,1 м;
б) потенциальную энергию заряда Q1 после перемешения зарядов.

а) Работа А равна изменению потенциальной энергии: А = |Wnкон - Wnнач|.

Wnнач = 0; Wnкон = W12 + W23 + W13;

.

Дж.

б) Дж.

Ответ: а) А = 0,54 Дж; б) Wn1 =0,45 Дж.

Пример 2

Бесконечная тонкая равномерно заряженная нить имеет линейную плотность заряда Кл/м. Какую скорость приобретет электрон, переместившись из точки на расстоянии r1 = 0,1 м в точку на расстоянии r2 = 0,2 м от нити? Отношение модуля заряда электрона к его массе Кл/кг. Начальная скорость электрона равна нулю.

По теореме о кинетической энергии работа , т.к..

С другой стороны, работа А

тогда .

Из уравнения, связываюшего потенциал и напряженность электрического поля в случае цилиндрической симметрии , следует: .

Напряженность Е поля нити

.

.

м/с.

Ответ: м/с.

Пример 3

Диэлектрический шар радиусом 0,2 м с равномерно заряжен по объему с объемной плотностью заряда мкКл/м3. Найти разность потенциалов между точками, расположенными на расстояниях r1 = 0,1 м и r2 = 0,4 м от центра шара.

Связь Е и для центрально симметричного поля

.

Напряженность электрического поля шара в зависимости от расстояния r до центра шара

- электрический заряд шара.

В.

Ответ: В.

Пример 4

Две тонкие концентрические металлические сферы радиусами R1 = 0,2 м и R2 = 0,4 м имеют заряды Q1 = 200 нКл и Q2 = -160 нКл. Найти потенциалы электрического поля в точках А, В и С, расположенных на расстояниях rA = 0,1 м; rB = 0,3 м; и rC = 0,5 м от общего центра сфер.

Потенциал внутри первой сферы одинаков во всех точках внутри этой сферы и по принципу суперпозиции для потенциалов

Потенциал ,

где совпадает с потенциалом поля точечного заряда, равного Q1 и расположенного в т. О; - потенциал поля, создаваемого сферой «2» во всех точках между сферами.

.

Потенциал в точке вне обеих сфер совпадает с потенциалом поля точечных зарядов, равных Q1 и Q2 , помещенных в т. O: , где , .

Тогда

В.

Ответ:В,В, В.

Пример 5

Тонкое кольцо радиуса R = 0,3 м равномерно заряжено с линейной плотностью заряда мкКл/м. Найти работу по перемещению точечного заряда Q = 20 нКл из центра кольца вдоль оси кольца на расстояние h = 0,4 м плоскости кольца.

Выберем ось координат, совпадающую с осью кольца с началом в центре кольца. Определим зависимость потенциала кольца от расстояния «Y» до его центра. По принципу суперпозиции для потенциалов

,

где ; м/Ф; .

Для всех зарядов dQ кольца расстояние r до точки А, в которой вычисляем потенциал, есть величина постоянная, следовательно,

,

,

Работа А по перемещению заряда Q из центра кольца в точку, расположенную на оси кольца на расстоянии h от его плоскости,

Дж.

Ответ: Дж.

Пример 6

Два электрона, находясь первоначально на бесконечном расстоянии друг от друга, движутся навстречу друг другу со скоростями, равными по величине 10 м/с. На какое минимальное расстояние сблизятся электроны?

По закону сохранения энергии

W1 = W2 , или ,

где кг, Кл - масса и заряд электрона.

м.

Ответ: rm = м.

Пример 7

В условиях предыдущей задачи один из электронов первоначально покоился. Найти минимальное расстояние между электронами.

а) По закону сохранения импульса или , где скорость каждого электрона в момент наибольшего сближения. Имеем .

б) По закону сохранения энергии W1 = W2 , или , или .

Отсюда м.

Ответ: м.

Замечание: равенство скоростей электронов в момент их наибольшего сближения, когда потенциальная энергия их взаимодействия максимальна, означает, что их кинетическая энергия минимальна, что достигается тогда, когда скорость относительного движения минимальна, т.е. равна нулю.

Задачи для решения

2.1. Уединенному проводящему шару диаметром 30 см сообщили заряд 910-8 Кл. Каким стал потенциал шара? Определить потенциал в центре шара и на расстоянии 15 см от его поверхности в воздухе.

2.2. Определить потенциал находящегося в вакууме шара радиусом 10 см, если на расстоянии 1 м от ого поверхности потенциал равен 20 В. Какой заряд сообщен шару?

2.3. До какого потенциала можно зарядить находящийся в воздухе металлический шар радиусом 310-8 м, если напряженность электрического поля, при которой происходит пробой в воздухе, равна 3106 В/м?

2.4. Два одинаково заряженных шарика, расположенных друг от друга на расстоянии 25 см (между центрами), взаимодействуют друг с другом с силой 10-4 Н. До какого потенциала заряжены шарики, если их диаметры равны 1 см?

2.5. 27 маленьких капель при слиянии образовали одну каплю, потенциал которой 18 В. Каков был потенциал каждой маленькой капли до слияния?

2.6. Два точечных заряда, положительный 2,510-8 Кл, помещены на расстоянии 5 см друг от друга. Определить потенциал поля в точке, находящейся посредине между зарядами.

2.7. В вершинах равностороннего треугольника расположены положительные точечные заряды 210-10 Кл, 410-10 Кл и отрицательный заряд 210-10 Кл. Найти потенциал поля в центре треугольника, если сторона его 0,4 м.

2.8. В вершинах квадрата расположены точечные заряды: положительные 10-9 Кл, 210-9 Кл и отрицательные - 310-9 Кл и - 410-9 Кл. Найти потенциал поля в центре квадрата, если диагональ его 20 см.

2.9. Две металлические концентрические сферы с радиусами 15 и 30 см расположены в воздухе. На внутренней сфере распределен заряд - 210-9 Кл, а потенциал внешней сферы 450 В. Вычислить потенциал поля в точках, удалённых от центра сфер на 10, 20 и 38 см.

2.10. Сфера радиусом 3 см, равномерно заряженная зарядом 710-8 Кл, окружена тонкой концентрической сферой радиусом 9 см. Какой заряд надо сообщить внешней сфере, чтобы потенциал внутренней сферы относительно бесконечности обратился в нуль?

2.11. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью 10 нКл/м. Определить потенциал электрического поля, создаваемого так распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.

2.12. По находящейся в вакууме круглой очень тонкой пластинке радиусом r = 12 см равномерно распределен заряд 1,810-8 Кл. Приняв ось пластинки за ось ОХ, вычислить в точке X = 8 см (начало оси ОХ совпадает с центром пластинки) потенциал поля.

2.13. На тонком стержне длиной равномерно распределен заряд с линейной плотностью 10 нКл/м. Найти потенциал электрического поля в точке, расположенной на оси стержня и удаленной от его ближайшего конца на расстояние .

2.14. Два одноименных точечных заряда 2,510-7 Кл и 410-7 Кл находятся на расстоянии 1 м друг от друга. Какую работу надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния 50 см?

2.15. Какую работу необходимо совершить, чтобы перенести точечный заряд 210-8 Кл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 10 см от поверхности проводящего шара радиусом 2 см, если потенциал шара равен 300 В? Шар находится в воздухе.

2.16. Потенциал проводящего шарика радиусом 4 см, погруженного в керосин, равен 180 В. Определить сообщённый шарику заряд. Вычислить работу, совершаемую полем при перемещении заряда 0.510-10 Кл от поверхности шарика на расстояние 8 см по силовой линии поля.

2.17. Электрон, обладающий кинетической энергией 5 эВ, влетел в однородное электрическое поле в направлении силовых линий поля. Какой скоростью будет обладать электрон, пройдя в этом поле разность потенциалов 2 В?

2.18. Электрон, двигаясь в вакууме по силовой линии, полностью теряет свою скорость между точками с разностью потенциалов 400 В. Определить скорость электрона при попадании его в электрическое поле.

2.19. Электрон с энергией 100 эВ (в бесконечности) движется вдоль силовой линии по направлению к поверхности металлической отрицательно заряженной сферы радиусом 5 см. Определить минимальное расстояние, на которое приблизится электрон к поверхности сферы, если заряд её - 10-9 Кл.

2.20. Пылинка массой 10-9 г, несущая на себе 5 избыточных электронов, прошла в вакууме ускоряюшую разность потенциалов 3108 В. Какова кинетическая энергия пылинки? Какую скорость приобрела пылинка?

2.21. Пылинка массой 20010-6 г, несущая на себе заряд 40 нКл, влетела в электрическое поле в направления силовых линий. После прохождения разности потенциалов 200 В пылинка имела скорость 100 м/с. Определить скорость пылинки до того, как она влетела в поле.

2.22. Определить потенциал электрического поля в центре полусферы радиусом 0,1 м, заряженной равномерно с поверхностной плотностью 0,2 мкКл/м2. электростатический заряд конденсатор проводник

2.23. Тонкий стержень длиной 20 см равномерно заряжен с линейной плотностью 0,1 мкКл/м. Найти потенциал электрического поля в точке, расположенной на перпендикуляре к стержню, проведенному через его середину, на расстоянии 10 см от стержня.

2.24. Найти потенциал электрического поля незаряженной проводящей сферы радиусом 0,1 м, вне которой на расстоянии 0,1 м от поверхности сферы находится точечный заряд 20 нКл.

2.25. Точечный заряд 50 нКл находится на расстоянии 5 см от центра незаряженного сферического слоя проводника, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно 10 см и 20 см. Найти потенциал в центре сферического слоя.

2.26. Капля масла диаметром 0,01 мм удерживается между горизонтальными пластинами, расстояние между которыми равно 25 мм. Какой заряд находится на капле, если разность потенциалов между пластинами равна 3,6104 В? Плотность масла 900 кг/м3.

2.27. Между двумя вертикальными пластинами, находящимися на расстоянии 1 см друг от друга, на нити висит заряженный бузиновый шарик массой 0,1 г. После того как на пластины была подана разность потенциалов 1000 В, нить с шариком отклонилась на угол l00. Найти заряд шарика.

2.28. Между пластинами плоского конденсатора, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга, приложена разность потенциалов 150 В. К одной из пластин прилегает плоскопараллельная пластинка фарфора ( = 6) толщиной 3 мм. Найти напряженность электростатического поля в воздухе и фарфоре.

2.29. Напряженность однородного электрического поля в некоторой точке равна 600 В/м. Вычислить разность потенциалов между этой точкой и другой, лежащей на прямой, составляющей угол 600 с направлением вектора напряженности. Расстояние между точками равно 2 мм.

2.30. Сплошной шар из диэлектрика ( = 3) радиусом 10 см заряжен с объемной плотностью 50 нКл/м3. Вычислить разность потенциалов между центром шара и точками, лежащими на его поверхности.

2.31. Слой диэлектрика толщиной 5 см равномерно заряжен с объемной плотностью заряда 10-6 Кл/м3. Найти разность потенциалов между поверхностью слоя и его серединой ( = 3).

2.32. Заряд равномерно распределен по бесконечной плоскости с поверхностной плотностью 10 нКл/м2 . Определить разность потенциалов двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от нее на расстоянии 10 см.

2.33. Две параллельные плоскости, заряженные с поверхностными плотностями, положительной 2 мкКл/м2 и отрицательной - 0,8 мкКл/м2, находится на расстоянии 0,6 см друг от друга. Определить разность потенциалов между плоскостями.

2.34. Электрическое поле образовано бесконечно длинной нитью, заряженной с линейной плотностью 20 нКл/м. Определить потенциал точки поля, отстоящей от нити на расстоянии 8 см.

2.35. Сплошной шар из диэлектрика ( = 2) радиусом 5 см равномерно заряжен с объемной плотностью заряда 2 мкКл/м3. Определить разность потенциалов между поверхностью шара и точкой, лежащей на расстоянии 10 см от центра шара.

2.36. Шар из диэлектрика ( = 6) равномерно заряжен с объемной плотностью заряда 10-9 Кл/м3. Определить разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях 5 см и 10 см от центра, если радиус шара 8 см.

2.37. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом 3 см, равномерно заряженным по объему с плотностью заряда 10-6 Кл/м3 . Найти разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях 1 см и 2 см от оси цилиндра. Принять = 1.

2.38. Металлический шар радиусом 5 см несет заряд 1 нКл. Шар окружен слоем эбонита ( = 3) толщиной 2 см. Вычислить разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях соответственно 6 см и 8 см от центра шара.

2.39. Плоская стеклянная пластинка ( = 7) толщиной 2 см заряжена равномерно с объемной плотностью заряда 10 мкКл/м3. Найти разность потенциалов между точкой, лежащей на поверхности пластины, и точкой, находящейся внутри пластины на расстоянии 0,5 см от поверхности.

2.40. Эквипотенциальная поверхность проходит через точку поля напряженностью 5 кВ/м, отстоящую на расстоянии 2,5 см от точечного заряда, создающего поле. На каком расстоянии от заряда нужно провести другую эквипотенциальную поверхность, чтобы разность потенциалов между поверхностями была равна 25 В?

2.41. Металлический шар радиусом 2 см с зарядом 310-8 Кл окружен вплотную примыкающим к нему концентрическим слоем парафина ( =25), наружный радиус которого 4 см. Найти разность потенциалов между точками, находящимися на расстоянии 1 см и 5 см от центра шара.

2.42. Длинный цилиндр из диэлектрика ( = 2) равномерно заряжен по объему с плотностью заряда 2 мкКл/м3. Найти разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии 1 см и З см от оси цилиндра, если радиус цилиндра равен 2 см.

2.43. Заряд 0,5 нКл равномерно распределён на поверхности полого металлического шарика радиусом 2,5 см. Найти потенциал электрического поля в центре, на поверхности шарика и на расстоянии 5 см от центра.

2.44. В однородном электрическом поле две точки расположены на расстоянии 3 мм друг от друга на прямой, составляющей угол 300 с направлением силовых линий. Найти напряжённость поля, если разность потенциалов между точками равна 2 В.

2.45. Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого имеет вид = , где - постоянный вектор; - радиус-вектор точки поля.

2.46. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстояниях 0,5 см и 2 см от поверхности цилиндра вблизи средней его части.

2.47. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой, приобрел скорость 105 м/с. Расстояние между пластинами 8 мм. Найти: 1) разность потенциалов между пластинами; 2) поверхностную плотность заряда на пластинах.

2.48. Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора до другой. Разность потенциалов между пластинами 3 кВ, расстояние между пластинами 0,8 см. Найти скорость, с которой электрон подходит ко второй пластине, и поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора.

2.49. В однородное электрическое поле напряженностью 2 кВ/м влетает вдоль силовой линии электрон со скоростью 2106 м/с. Определить расстояние, пройденное электроном до точки, в которой его скорость будет равна половине начальной.

2.50. Протон влетел в пространство между пластинами плоского конденсатора параллельно пластинам со скоростью 4106 м/с. На сколько приблизится протон к отрицательно заряженной пластине за время движения внутри конденсатора, если расстояние между пластинами 1 см, разность потенциалов 200 В и длина пластин 10 см.

2.51. Круглая тонкая пластинка радиусом R=0,2 м равномерно заряжена с поверхностной плотностью =0,1 мкКл/м2. Найти потенциал электрического поля на оси пластинки на расстоянии h=0,2 м от ее центра.

2.52. Определить потенциал электрического поля на краю тонкого диска радиусом R=20 см, по которому равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью =0,02 мкКл/м2.

2.53. Тонкое кольцо с внутренним радиусом 5 см и внешним 10 см равномерно заряжено с поверхностной плотностью 2 мкКл/м2. Найти потенциал электрического поля в точке, расположенной на оси кольца на расстоянии 10 см от плоскости кольца.

2.54. Расстояние между закреплёнными точечными зарядами (отрицательным 10 нКл и положительным 20 нКл) равно 10 см. Частица массой 510-6 г, имеющая заряд 25 нКл, летит по прямой, соединяющей закрепленные заряды, со стороны отрицательного заряда. Какую наименьшую скорость должна иметь частица на большом расстоянии от зарядов, чтобы достичь отрицательного заряда?

2. 55. Частица массой 0,1 мг, имеющая заряд 40 нКл, движется по оси заряженного тонкого кольца, приближаясь к нему. Какую наименьшую скорость должна иметь частица на очень большом расстоянии от кольца, чтобы пролететь сквозь него? Масса кольца равна 0,5 мг, его радиус 0,5 см, а заряд 200 нКл. Кольцо не закреплено.

2.56. Определить вектор напряженности электрического поля, потенциал которого зависит от координат x, у по закону: а) = а(х2 - у2); б) = аxу, где а - постоянная.

2.57. Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид = а(x2 - y2) + bz2, где а и b - постоянные (а > 0 и b > 0). Найти вектор напряженности поля (модуль и направление). Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности?

2.58. Найти потенциал (x,y) электростатического поля = а (y+ x), где а - постоянная; и - орты осей х и у.

2.59. Определить потенциал (х,у) электростатического поля = 2аху+ а (х2 - у2) , где а - постоянная; и - орты осей х и у.

2.60. Между двумя большими параллельными пластинами, отстоящими друг от друга на расстоянии 0,5 см, находится равномерно распределенный объемный заряд. Разность потенциалов пластин равна 120 В. При каком значении объемной плотности заряда напряженность поля вблизи одной из пластин будет равна нулю? Какова будет при этом напряженность поля у другой пластины?

3. КОНДЕНСАТОРЫ. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Основные формулы

Электроёмкость конденсатора

,

где Q - заряд конденсатора (т.е. заряд одной из его пластин); Дц - разность потенциалов ; U - напряжение на конденсаторе.

Электроёмкость плоского конденсатора

где е0 = Ф/м - электрическая постоянная; е - диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего конденсатор; S - площадь одной пластины конденсатора; d - расстояние между пластинами.

Электроёмкость сферического конденсатора

,

где R1, R2 - радиусы внутренней и внешней концентрических сфер; м/Ф.

Электроёмкость цилиндрического конденсатора

,

где l - длина соосных цилиндров; R1, R2 - радиусы внутреннего и внешнего цилиндров.

Электроёмкость «С» последовательно соединённых конденсатором определяется из равенства

.

Общее напряжение U и заряд Q системы последовательно соединённых конденсаторов в количестве «n»:

U=U1+U2+…+Un;

Q=Q1=Q2=…=Qn.

Электроемкость «С», общее напряжение U и заряд Q системы «n» параллельно соединённых конденсаторов

С=С1+С2+…+Сn;

U=U1=U2= …=Un;

Q=Q1+Q2+…+Qn.

Энергия W конденсатора (энергия его электрического поля)

.

Объёмная плотность энергии электрического поля



Примеры решения задач

Пример 1

Три конденсатора, имеющие электроёмкости С1 = 1 мкФ, C2 = 3 мкФ, С3 = 6 мкФ, соединены последовательно и подключены к источнику с напряжением U = 120 B. Найти напряжение на третьем конденсаторе.

Общую электроёмкость определим из формулы

Ф.

Общий заряд Q равен каждому из зарядов Q1, Q2 и Q3:

Кл.

Тогда Q3 = Кл.

Напряжение на третьем конденсаторе U3 = В.

Ответ: U3 = 13,3 B.

Пример 2

К конденсатору электроемкостью С1 = 200 пФ, заряженному до напряжения U1 = 100 В и отключенному от источника, подключили параллельно незаряженный конденсатор электроемкостью С2 = 300 пФ. Какое общее напряжение установится на обоих конденсаторах?

По закону сохранения электрического заряда

Qнач = Qконеч или ,

где .

Тогда .

В.

Ответ: U = 40 В.

Пример 3

Плоский воздушный конденсатор подключен к источнику напряжения U = 50 В. Какой заряд пройдёт по цепи, если пластины конденсатора сблизить до расстояния, втрое меньше первоначального, и заполнить конденсатор диэлектриком с е = 4? Начальная электроемкость воздушного конденсатора 0,6 мкФ.

Дq = qкон. - qнач..

Начальный заряд qнач. = С.U, конечный заряд qкон = С1.U.

Электроемкость плоского конденсатора:

а) начальная ,

б) конечная .

Сравнивая выражения «а» и «б», получим .

Тогда

Ответ: Дq = 3,3.10-4 Кл.

Пример 4

Два конденсатора электроемкостями С1=3 нФ и С2=6 нФ соединены параллельно, а последовательно к ним подключен конденсатор С3=8 нФ. Заряд на конденсаторе С1 равен q1=12000 нКл. Найти заряды и напряжения на остальных конденсаторах.

Решение

Из определения электроемкости конденсатора напряжение U1 на первом конденсаторе

В.

Поскольку 1-й и 2-й конденсаторы соединены параллельно, то U1 = U2. Следовательно, U2 = 400 В. Общая электроемкость 2-х параллельно соединенных конденсаторов С1 и С2

Ф.

Общий заряд конденсаторов С1 и С2: q1,2 = C1,2.U1 = 2.10-9.400 = 8.10-7 Кл. При последовательном соединении q1,2 = q3, тогда q3 = 8.10-7 Кл.

Напряжение В.

Заряд 2-го конденсатора q2 = C2.U2 = 6.10-9.400 = 2.4.10-6 Кл.

Ответ: q2 = 2.4.10-6 Кл; q3 = 8.10-7 Кл; U2 = 400 В; U3 = 100 В.

Пример 5

Плоский воздушный конденсатор электроемкостью С1=4?10-8 Ф, имеющий заряд q1=8.10-6 Кл, соединен параллельно с таким же конденсатором, но заполненным диэлектриком с е=6, заряженным до напряжения U2=100 В. Найти количество теплоты, выделившееся в проводах при соединении конденсаторов.

Решение

Искомое количество теплоты равно разности энергий конденсаторов до их соединения и после соединения:

Q = W1 + W2 - W3,

где - энергия 1-го конденсатора до соединения; - энергия 2-го конденсатора до соединения

Заряд q2 2-го конденсатора до соединения

q2 = C2.U2 = е.C1.U2 = 6.4.10-8.100 = 2,4.10-5 Кл.

После соединения конденсаторов общий заряд q = q1 + q2 (по закону сохранения заряда).

Общая электроемкость С = С1 + С2, тогда . Получим

Дж.

Ответ: Q = 1.9.10-3 Дж.

Пример 6

К пластинам плоского конденсатора, находящимся на расстоянии d = 5 мм, приложено напряжение 120 В. К одной из пластин прилегает пластина из слюды (е = 7) толщиной d1=2 мм. Найти плотность энергии электрического поля в слое слюды и воздушном слое конденсатора.

Решение

Двухслойный плоский конденсатор можно заменить эквивалентной системой двух последовательно соединенных конденсаторов с расстояниями между пластинами, равными толщине слоев, поэтому будем рассматривать систему «б» вместо системы «а» (см. рисунок).

Плотность электрического поля w1 и w2 в слое слюды и воздуха конденсатора:

Напряженность Е1 и Е2 электрического поля в слюде и воздушном промежутке:

тогда .

Подставим в уравнение (1), получим

,

 В.

В.

Дж/м3.

Дж/м3.

Ответ: w1 = 8.4.10-4 Дж/м3, w2 = 5.9.10-3 Дж/м3.

Задачи для решения

Расстояние между пластинами плоского конденсатора равно 1,2 мм, площадь пластин - 40 см2. В пространстве между пластинами конденсатора находятся два слоя диэлектриков: слой парафина толщиной 0,8 мм и слой стекла толщиной 0,2 мм. Какой заряд находится на конденсаторе, если разность потенциалов между его пластинами равна 100 В?