Общая электротехника и электроника

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Российской Федерации

Рыбинская государственная авиационная

технологическая академия

ПОСОБИЕ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

ПО КУРСУ

«ОБЩАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА»

Составил:

Доц. Каф. РТС Станевко В.Н.

Рыбинск - 2010



УДК 621.396.6

Станевко В.Н. Пособие по выполнению расчётно-графической работы по курсу «Общая электротехника и электроника». - Рыбинск, РГАТА имени П.А.Соловьёва, 2011 - уточнить объём.

Пособие по выполнению расчётно-графической работы написано в соответствии с образовательным стандартом специальности «Проектирование и технология радиоэлектронных средств».

В пособии по расчётно-графической работе на примере конкретной схемы рассматриваются решения всех вопросов, сформулированных в задании. Так в пособии выполнен расчёт конкретной схемы тремя методами - методом эквивалентного преобразования, с помощью законов Кирхгофа и методом контурных токов. В каждом методе расчёта проводится анализ точности расчёта. В пособии показано построение векторной диаграммы по результатам расчёта схемы.

В пособии в разделе «Приложение» представлены материалы, помогающие решению вопросов сформулированных в задании на расчётно-графическую работу.

Изложенные материалы могут использоваться студентами радиотехнических и электротехнических специальностей, а также инженерами соответствующих специальностей.

кирхгоф векторный диаграмма эквивалентный



Оглавление

Предисловие

Введение

Пример выполнения расчётно-графической работы

1. Определение величины нагрузки

2. Расчёт электрической цепи

2.1 Расчёт электрической цепи методом эквивалентного преобразования

2.2 Расчёт электрической цепи с помощью законов Кирхгофа

2.3 Расчёт электрической цепи методом контурных токов

Библиографический список

Приложения



Предисловие

Курс «Общая электротехника и электроника» является одним из трудно усваиваемых предметов. Данный курс является базовым для дальнейшего изучения радиотехнических дисциплин. Слабое знание этого курса отразится на том, что все далее изучаемые предметы будут так же слабо усвоены.

Усвоению новой информации всегда способствует опыт практического её применении. В данном курсе это решается с помощью практических занятий, выполнения лабораторных работ и путём выполнения расчётно-графической работы.

В данном пособии по выполнению расчётно-графической работы рассматриваются три способа расчёта одной и той же электрической цепи - методом эквивалентного преобразования, с помощью законов Кирхгофа и методом контурных токов, даются рекомендации по вопросам достижения требуемой точности расчёта и построения векторной диаграммы.

В пособии в разделе «Приложение» представлены материалы, помогающие решению вопросов сформулированных в задании на работу.



Введение

Выполнение расчётно-графической работы позволяет получить навык практического применения методов расчёта цепей переменного тока, закрепить и далее развить навыки применения комплексных величин при анализе цепей переменного тока, получить навык построения векторной диаграммы для электрической цепи и с помощью её анализировать электрический режим цепи.

Темой расчётно-графической работы является электрический анализ цепи второго порядка. Работа выполняется в соответствии с заданием, куда входит определение величины согласованной нагрузки, электрический расчёт цепи, определение погрешности расчёта, построение векторной диаграммы и анализ режима цепи с помощью векторной диаграммы.

Перед началом расчёта целесообразно ознакомиться с рекомендациями по выполнению расчётно-графической работы, которые изложены в Приложении 1. В Приложении 2 даются рекомендации по построению векторной диаграммы. В случае возникновения затруднений в применении комплексных величин в процессе анализа рекомендуется ознакомиться с Приложением 3, где представлены основные сведения о комплексных величинах и действий над ними. Рекомендации по оформлению отчёта по расчётно-графической работе и титульный лист представлены в Приложении 4.



Пример выполнения расчетно-графической работы

Задание на расчётно-графическую работу:

Выполнить электрический анализ цепи при гармоническом входном воздействии:

1.Определить величину нагрузки для заданной цепи, при которой в неё будет передаваться максимум мощности на заданной частоте. Принять

.

2.Расчитать заданную электрическую цепь с учётом п.1 при гармоническом входном сигнале:

.

3.Оценить точность расчёта методом баланса мощностей. Погрешность расчёта не должна превышать 1%.

4.По результатам расчёта построить векторную диаграмму и с помощью векторной диаграммы проверить выполнение законов Кирхгофа в рассчитанной схеме.



Исходные данные:

f = 1·103 Гц; R1 = 10 Ом; R2 = 100 Ом;

С = 5·10-6 Ф; L = 5·10-3 Гн; Um = 10 В.

1.Определение величины нагрузки.

Из условия задания, величина нагрузки, при которой в неё будет передаваться максимум мощности, должна равняться модулю сопротивления схемы относительно точек 22'. Схема в комплексной форме для определения величины нагрузки представлена на рис.2.

Для дальнейшего расчета понадобятся расчетные значения следующих величин:

рад.

Ом

Ом

Определяем сопротивление цепи между точками 22'. Из схемы видно, что элементы , и соединены параллельно, а они, в свою очередь, соединены последовательно с . Тогда сопротивление между точками 22' определяется по формуле:

Подставляем в формулу численные значения.

Приведем к общему знаменателю это выражение:

Теперь можно сразу найти модуль от . Известно, что модуль дроби комплексного числа равен модулю числителя, деленного на модуль знаменателя:

Ом

Округлим полученное значение в меньшую сторону и за величину сопротивления нагрузки возьмем:

Ом.

Отметим, что такое округление допустимо только здесь, так как оно не влияет на точность расчета, который будет далее выполняться.



2. Расчет электрической цепи

При выполнении п.2 задания необходимо осуществить электрический расчёт цепи, при этом в задании не сказано, каким методом расчёта можно воспользоваться. Это значит, что расчёт можно выполнять любым из пригодных для этого методов. В инженерной практике часто используются следующие методы расчёта - метод эквивалентного преобразования, расчёт с помощью законов Кирхгофа и метод контурных токов. В названной последовательности ниже будет показано применение этих методов к расчёту заданной цепи.

2.1 Расчёт электрической цепи методом эквивалентного преобразования

Прежде чем приступить к расчёту названным методом, рассмотрим основные положения этого метода и последовательность расчёта этим методом в соответствии с .

Основная идея метода состоит в том, что электрическая цепь последовательно преобразуется ("сворачивается") до одного эквивалентного элемента, и определяется входной ток. Затем осуществляется постепенное возвращение к исходной схеме ("разворачивание") с последовательным определением токов и напряжений.

Последовательность расчёта:

1. Расставляются условно-положительные направления токов и напряжений.

2. Поэтапно эквивалентно преобразуются участки цепи. При этом на каждом этапе во вновь полученной после преобразования схеме расставляются токи и напряжения.

3. В результате эквивалентного преобразования определяется величина эквивалентного сопротивления цепи.

4. Определяется входной ток цепи с помощью закона Ома.

5. Поэтапно возвращаясь к исходной схеме, последовательно находятся все токи и напряжения.

В соответствии с рассмотренной последовательностью расчёта, на исходной схеме (рис.3) указываем условно-положительные направления токов и напряжений.

Первым эквивалентным преобразованием будет объединение последовательно соединённых Rн и (рис.4), которое обозначим через .

Находим и представляем его в показательной форме:

(1)

Далее эквивалентно преобразуем (объединяем) три параллельно соединенных элемента , и , заменяя их сопротивлением (рис.5).

(2)

Подставляем численные значения в (2) и выполняем очевидные преобразования. С целью уменьшения преобразований целесообразно в числителе (2) комплексное сопротивление (1) представить в показательной форме, а весь знаменатель представить в алгебраической форме:

.

.

Входное сопротивление цепи обозначим через и оно будет равно (рис.5):

Подставляя численные значения и выполняя очевидные преобразования, находим :

Находим входной ток по закону Ома. Входное напряжение в комплексной форме имеет вид:

Частоту в выражениях для электрических величин (токи и напряжения) принято не обозначать конкретным числом.

В соответствии со схемой на рис.5, находим напряжения и по закону Ома:



(3)

Далее возвращаемся к схеме на рис.4. Сравнивая её со схемой на рис.5, видим, что

(4)

Исходя из (4) находим токи , , в параллельных ветвях, используя значение (3):

Возвращаемся к исходной схеме на рис.3 и определяем напряжения и :



Оценка погрешности расчета.

В соответствии с заданием погрешность расчета будет оцениваться методом баланса мощностей. В соответствии с этим методом погрешность расчета определяется по формуле:

,

где Рист - мощность, выделяемая источником,

Рн - суммарная мощность, потребляемая всеми диссипативными элементами.

Эти мощности определяются по формулам:

,

где - фаза входного тока .

Подставляем численные значения в эти формулы, находим значения мощности:

Вт

Вт

Подставляем найденные значения мощностей в формулу для определения погрешности:

Полученная погрешность удовлетворяет условию задания.

Построение векторной диаграммы.

При построении векторной диаграммы и при её анализе удобно располагать отдельно выписанными результатами расчетов.

Результаты расчетов:

Входное напряжение:

Построение векторной диаграммы следует выполнять в соответствии с требованиями, изложенными в приложении 2.

Векторная диаграмма представлена на рис.6.



В соответствии с требованием задания, на векторной диаграмме показано выполнение первого и второго законов Кирхгофа, в соответствии со следующими уравнениями:

,

На этом расчёт электрической цепи заканчивается.

2.2 Расчёт электрической цепи с помощью законов Кирхгофа

Прежде чем приступить к расчёту названным методом, рассмотрим основные положения этого метода и последовательность расчёта этим методом в соответствии .

При расчете этим методом первоначально определяются токи в ветвях, а затем напряжения на всех элементах. Токи находятся из уравнений, полученных с помощью законов Кирхгофа. Так как в каждой ветви цепи протекает свой ток, то число исходных уравнений должно равняться числу ветвей цепи. Число ветвей принято обозначать через n. Часть этих уравнений записываются по первому закону Кирхгофа, а часть - по второму закону Кирхгофа. Все полученные уравнения должны быть независимыми. Это значит, чтобы не было таких уравнений, которые могут быть получены путем перестановок членов в уже имеющемся уравнении или путем арифметических действий между исходными уравнениями. При составлении уравнений используются понятия независимых и зависимых узлов и контуров.

Независимым узлом называется узел, в который входит хотя бы одна ветвь, не входящая в другие узлы. Если число узлов обозначим через К, то число независимых узлов равно (К-1).

Независимым контуром называется контур, который отличается от других контуров хотя бы одной ветвью, не входящей в другие контура. В противном случае такой контур называется зависимым.

Если число ветвей цепи равно n, то число независимых контуров равно

[n-(К-1)].

Последовательность расчёта:

1. Расставляем условно - положительные направления токов и напряжений.

2. Определяем число неизвестных токов, которое равно числу ветвей (n).

3. Определяем число независимых узлов и контуров и выбираем их на схеме.

4. С помощью первого закона Кирхгофа составляем (К-1) уравнений для независимых узлов.

5. С помощью второго закона Кирхгофа составляем [n - (К-1)] уравнений для независимых контуров. При этом напряжения на элементах выражаются через токи, протекающие через них.

6. Решаем составленную систему уравнений и определяем токи в ветвях. При получении отрицательных значений для некоторых токов, необходимо их направления в схеме изменить на противоположные, которые и являются истинными.

7. Определяем падения напряжений на всех элементах схемы.

В соответствии с рассмотренной последовательностью расчёта, расставляем на схеме условно-положительные направления токов и напряжений. Это уже было сделано и показано на рис.3, поэтому воспользуемся этой схемой и повторим её на рис.7.

На схеме имеют место две ветви, содержащие и , которые включены параллельно и, как бывает у параллельно соединённых ветвей, у них должны быть общие узлы с обеих сторон соединения. Однако на схеме каждая ветвь имеет свой узел, между которыми находится перемычка. Такие узлы принято называть распределёнными и на схеме они воспринимаются как один узел. В схеме в этих случаях токи в перемычках не представляют интереса и их не определяют. Исходя из сказанного, в схеме имеется четыре ветви, а значит в схеме четыре неизвестных тока.

С учётом сказанного, в схеме только два узла, а в качестве независимого узла выберем верхний распределённый узел и для него, в дальнейшем будет записано уравнение по первому закону Кирхгофа.

В схеме три независимых контура. Выбираем контура, содержащие такие элементы: , . Для каждого контура составляются уравнения по второму закону Кирхгофа. Все составленные уравнения образуют следующую систему уравнений (5)

(5)

Расчёт системы можно проводить методом Крамара или методом последовательного исключения. Воспользуемся методом последовательного исключения. Подставим первое уравнение системы во второе уравнение. После эквивалентного преобразования система принимает вид (6):

(6)

Из третьего уравнения системы (6) находим ток:



. (7)

Подставляем найденный ток (7) в первое уравнение системы (6) и после эквивалентного преобразования система принимает вид (8):

. (8)

Из второго уравнения системы (8) находим ток :

. (9)

Подставляем найденный ток (9) в первое уравнение системы (8) и после эквивалентных преобразований, получаем:

.

Решаем полеченное уравнение относительно тока :

.

В полученное выражение подставляем численные значения:

.

Осуществляя необходимые преобразования, получаем решение для в показательной и алгебраической форме:

А. (10)

Ток находим по формуле (9), подставляя в неё численные значения:

.

После необходимых преобразований находим значение тока в показательной и алгебраической форме:

А. (11)

Ток находим по формуле (7), подставляя в неё численные значения:

.



После необходимых преобразований находим значение тока в показательной и алгебраической форме:

А. (12)

Ток находим в соответствии с первым законом Кирхгофа по формуле:

Подставляем в это выражение значения токов в алгебраической форме (10), (11), (12) и, суммируя вещественные и мнимые составляющие, находим в начале ток в алгебраической форме, а потом и в показательной:

А.

Находим напряжения на элементах:

В.

В.

В.

В.

Сравнивая полученные здесь результаты с результатами предыдущего расчёта, видим, что имеет место достаточно хорошее их совпадение. Однако определим погрешность выполненного расчёта.

Определение погрешности расчёта

Определим мощность, выделяемую источником:

Вт.

Определим мощность, потребляемую диссипативными элементами схемы по известной формуле:

.

Подставляя численные значения найденных токов, находим:

Вт.

Погрешность определяем по известной формуле:

.

Подставляем найденные значения мощностей:

.

Как видим, полученная погрешность удовлетворяет требованию задания.



2.3 Расчёт электрической цепи методом контурных токов

Прежде, чем приступить к рассмотрению примера расчёта схемы методом контурных токов, рассмотрим основные положения этого метода и последовательность расчёта в соответствии с.

Сложные схемы характеризуются наличием значительного числа ветвей. В случае применения предыдущего метода это приводит к необходимости решать систему из значительного числа уравнений. Метод контурных токов позволяет уменьшить число исходных уравнений, а значит несколько облегчить расчёт.

При расчёте методом контурных токов используются понятия не зависимого контура и зависимого контура, которые использовались в предыдущем методе. Кроме них в этом методе используются ещё следующие понятия:

- собственный элемент контура - элемент, относящийся только к одному контуру;

- общий элемент контура - элемент, относящийся к двум и более контурам цепи.

Обозначаем, как и раньше, через К число узлов, а через n число ветвей цепи. Тогда число независимых контуров цепи определяется по уже известной формуле [n-(К-1)].

Метод основывается на предположении, что в каждом не зависимом контуре течёт собственный контурный ток, и вначале находят контурные токи в не зависимых контурах. Токи в ветвях цепи определяют через контурные токи. При этом исходят из того, что в собственных элементах контура токи совпадают с контурным током данного контура, а в общих элементах ток равен алгебраической сумме контурных токов тех контуров, к которым принадлежит данный элемент.

Последовательность расчёта:

1. Определяется число ветвей (n) и число узлов (К) цепи. Находится число независимых контуров [n-(К-1)].

2. Выбирается [n-(К-1)] не зависимых контура.

3. Выбирается условно-положительное направление контурных токов в каждом из независимых контуров (обычно показывается стрелкой).

4. Для каждого из независимых контуров составляется уравнение по второму закону Кирхгофа. При этом падение напряжения на собственных элементах определяется как произведение контурного тока на величину сопротивления, а на общих элементах - как произведение алгебраической суммы всех контурных токов, протекающих через данный элемент, на величину его сопротивления. Обход контура производится, как правило, в направлении собственного контурного тока.

5. Решается система из [n-(К-1)] уравнений и находятся контурные токи.

6. Токи в ветвях схемы находятся следующим образом:

- в собственных элементах контура ток равен контурному току;

- в общих элементах контура ток равен алгебраической сумме токов, протекающих через данный элемент.

Пример применения метода контурных токов при расчёте электрических цепей рассмотрим на той же схеме (рис.3) и представим её на рис.7. Как рассматривалось выше, в этой схеме три независимых контура. Тогда в каждом независимом контуре выбираем направления контурных токов и показываем эти контурные токи.



Вставить контурные токи

Для дальнейшего удобства расчёта расставим в схеме условно-положительные направления токов и напряжений. Далее, в соответствии с п.4 «последовательности расчёта», для каждого независимого контура составляем уравнения по второму закону Кирхгофа. В результате этих действий получаем систему (13) из трёх уравнений:

(13)

В полученных уравнениях раскрываем скобки и приводим подобные:

(14)

Из третьего уравнения системы (14) находим ток :

(15)

Подставляем выражение тока (15) во второе уравнение системы (14), в результате чего, после приведения подобных членов, эта система принимает вид:



(16)

Во втором уравнении системы (16) коэффициент при токе имеет довольно громоздкий вид. Для дальнейшего анализа будет удобно обозначить его какой-нибудь буквой, например , т.к. этот коэффициент имеет размерность сопротивления:

. (17)

Подставим численные значения в формулу (17) и найдём значение в алгебраической и показательной форме:

(18)

С учётом (17) система уравнений (16) принимает вид:

(19)

Из второго уравнения системы (19) найдём ток :

. (20)

Подставим выражение для тока (20) в первое уравнение системы (19) и после приведения к общему знаменателю, получим:

.

Из этого уравнения находим ток :

.

В полученное выражение для тока подставляем численные значения и находим значение тока в алгебраической и показательной форме:

. (21)

Для определения тока воспользуемся формулой (20), подставляем в неё численные значения и находим значение тока в алгебраической и показательной форме:

. (22)

Теперь определяем ток , для чего используем формулу (15). Здесь удобнее будет использовать ток в показательной форме. Подставляем численные значения в (15) и в результате очевидных преобразований получим значение в показательной форме:

.

В алгебраической форме ток имеет вид:

.

После определения контурных токов переходим к определению токов в ветвях. В соответствии с методом расчёта токи в собственных ветвях контуров равны контурным токам этих контуров. В соответствии с этим находим токи и :

Токи в общих ветвях определяются как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих через эти ветви. Ток равен разности контурных токов и , так как они протекают через эту ветвь в противоположные стороны:



Подставляем численные значения контурных токов и в алгебраической форме и находим значение тока в алгебраической и показательной форме:

Ток равен разности контурных токов и , так как они протекают через эту ветвь в противоположные стороны:

Подставляем численные значения контурных токов и в алгебраической форме и находим значение тока в алгебраической и показательной форме:

Находим напряжения на элементах:

В.

В.

В.

В.

Определение погрешности расчёта

Определим погрешность выполненного расчёта. В начале определим мощность, выделяемую источником:

Вт.

Далее определим мощность, потребляемую диссипативными элементами схемы по известной формуле:

.

Подставляя численные значения найденных токов, находим:

Вт.

Погрешность определяем по известной формуле:

.

Подставляем найденные значения мощностей:

.

Как видим, точность расчёта этим методом выше точности расчёта предыдущих методов и на порядок выше точности расчёта с помощью законов Кирхгофа. Недостатком этого метода является меньшая наглядность по сравнению с другими методами. Воспользоваться рекомендациями приложения 2 в нём можно только после определения всех токов в ветвях.

Наибольшею наглядностью обладает метод эквивалентного преобразования. В нём видно как формируется полное сопротивление цепи, которое определяет входной ток и как этот ток далее распределяется по ветвям.



Библиографический список

1. Станевко В. Н. Основы теории цепей: Учебное пособие. Часть 1. - Рыбинск, РГАТА имени П. А. Соловьёва, 2009 - 172 с.

2. Атабеков Г. И. Основы теории цепей: Учебник для вузов. - М.: Энергия,1969. - 424с.

3. Араманович И.Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э. Функции комплексного переменного, операционное исчисление, теория устойчивости: Учебное пособие для вузов. - М.: Наука, 1985. - 392 с.



Приложение 1

Рекомендации по выполнению расчётно-графической работы.

Практика выполнения РГР показывает, что требуемую точность расчёта не всегда удаётся достичь с первой попытки. В процессе расчётов полезно придерживаться следующих рекомендаций.

1.При эквивалентных преобразованиях цепи необходимо правильно понимать какие элементы включены последовательно, а какие параллельно. Необходимо помнить, что в последовательно соединённых элементах протекает один и тот же ток, а к параллельно соединённым элементам прикладывается одно и тоже напряжение.

2. При переходе от алгебраической формы комплексного числа к показательной его форме следует оценивать с количественной стороны получаемые результаты. Очевидно, что модуль комплексного числа будет больше его мнимой и вещественной составляющей.

Фаза комплексного числа тем больше, чем больше мнимая составляющая превышает вещественную составляющую. Положительное значение мнимой составляющей комплексного числа даёт положительное значение угла, а отрицательное - даёт отрицательный угол.

3. В процессе расчёта полезно контролировать правильность получаемых результатов. Это можно осуществлять путём проверки выполнения законов Кирхгофа в рассчитываемой части цепи. Так после того, как для схемы рис.5 найдены напряжения и , рекомендуется проверить выполнение второго закона Кирхгофа, в соответствии с которым должно выполняться равенство:

.

Проверку выполнения этого равенства можно осуществить как аналитически (по формулам), так и с помощью векторной диаграммы. Последний способ часто оказывается менее трудоёмким.

При расчётах необходимо проверять выполнение известных фазовых соотношений между током и напряжением на элементах схемы. Так на резисторе напряжение и ток должны совпадать по фазе, на конденсаторе ток опережает напряжение на 900, а на индуктивности ток отстаёт от напряжения на 900. Эту проверку можно осуществить и для схемы на рис.5. Здесь на резисторе ток и напряжение должны иметь одинаковые фазы, что в действительности имеет место в расчёте.

Возвращаясь в процессе расчёта к схеме рис.4, после определения токов в ветвях целесообразно проверить выполнение первого закона Кирхгофа, в соответствии с которым должно выполниться следующее соотношение:

.

Проверку выполнения этого равенства удобно выполнить с помощью векторной диаграммы. На векторной диаграмме (рис.6) эта проверка представлена. Здесь же можно проверить и выполнение фазовых соотношений между током и напряжением на резисторе и на катушке индуктивности .



Приложение 2

Рекомендации по построению векторной диаграммы

1. Векторная диаграмма располагается на отдельном листе формата А4.

2. Вектора напряжений и токов строятся на одной векторной диаграмме.

3. На векторной диаграмме обязательно должно присутствовать сетка.

4. Масштабы берутся отдельно для векторов напряжений и для векторов токов.

5. Масштабы должны быть кратными 10-и (0,01; 0,1; 1; 10 и т.д.), 2-м или 5-и.

6. Располагать векторную диаграмму необходимо так, чтобы вектора занимали максимально площадь листа. Так в рассматриваемом примере из результатов расчета по фазовым углам напряжений и токов видно, что вектора будут располагаться в первом и четвертом квадратах, а второй и третий квадраты будут не заняты. Поэтому, как видно на рис.6, векторная диаграмма сдвинута влево, чтобы максимально представить площадь листа для первого и четвертого квадратов.

7. Могут иметь место случаи, когда значения токов или напряжений сильно отличаются по величине, т.е. имеются достаточно большие значения тока и не значительные. Тогда вектор малой величины имеет малый размер и по нему трудно судить о его направлении, в этом случае необходимо сделать вынос этого участка векторной диаграммы на этом же или на отдельном листе. Для этого на основной векторной диаграмме произвольно показывается граница выносимой части, а затем такая же граница показывается на вынесенной части. На вынесенной части берется более крупный масштаб для токов и напряжений. Это приводит к тому, что вектор малых размеров становится различимым и будет видно его фазовое положение относительно других векторов, а остальные вектора будут выходить за границы этой векторной диаграммы. В качестве примера на рис.6 показано как это выполняется относительно тока , хотя в данном примере в этом нет необходимости, т.к. этот вектор хорошо просматривается на основной векторной диаграмме.



Приложение 3

Комплексные величины и действия над ними

При анализе электрических и радиотехнических цепей широко используются комплексные величины. Рассмотрим основные сведения о комплексных величинах.

Комплексное число имеет следующие формы представления: алгебраическую, показательную, геометрическую и тригонометрическую.

Алгебраическая форма представления комплексного числа:

, (П.1)

где - вещественная составляющая, - мнимая составляющая комплексного числа.

Комплексное число в показательной форме имеет вид:

, (П.2)

где - модуль комплексного числа,

- фаза комплексного числа.

Комплексное число может быть представлено в виде вектора на комплексной плоскости (рис.П. 1). Под комплексной плоскостью понимается плоскость, на которой ось абсцисс является осью вещественных составляющих комплексного числа и обозначается единицей (+1), а ось ординат является осью мнимых составляющих комплексного числа и обозначается . Как видно из рис.П.1, вектор, соответствующий комплексному числу, характеризуется модулем и фазой, как при показательной форме.

Рис.П.1 Представление комплексного числа на комплексной плоскости

Проекция вектора на вещественную ось комплексной плоскости равна вещественной составляющей комплексного числа в алгебраической форме, а проекция этого вектора на мнимую ось равна мнимой составляющей комплексного числа в алгебраической форме (П.1).

Исходя из векторной диаграммы рис.П.1, вытекает тригонометрическая форма представления комплексного числа:

(П.3)

В процессе расчётов возникает необходимость перехода из одной формы представления комплексного числа в другую. Остановимся на этих действиях. Сравнивая (П.2) и (П.3), можно сделать вывод, что из показательной формы представления комплексного числа (П.2) можно перейти к тригонометрической форме (П.3), выполняя очевидные действия.

Сравнивая формулы (П.1) и (П.3), видно, что:

, . (П.4)

Соотношения (П.4) показывают, что если необходимо перейти из показательной формы представления комплексного числа (П.2) в алгебраическую форму его представления (П.1) необходимо выполнить действия (П.4).

В процессе расчета возникает необходимость суммирования, вычитания, деления и умножения комплексных чисел. Рассмотрим эти действия над комплексными числами.

Очевидно, что два комплексных числа равны, если равны их, соответственно, вещественные и мнимые части при алгебраической форме представления (П.1), или равны их модули и фазы при показательной форме представления (П.2).

Рассмотрим два комплексных числа в алгебраической форме:

, .

Эти же числа в показательной форме (П.2) имеют вид:

, .

Для суммирования или вычитания комплексных чисел их необходимо представить в алгебраической форме. Процесс суммирования (вычитания) состоит в суммировании (вычитании) отдельно вещественных составляющих и отдельно мнимых составляющих комплексных чисел. Тогда сумма (разность) этих чисел будет равна:

. (П.5)

Суммирование и вычитание комплексных чисел можно осуществлять и в геометрической форме на комплексной плоскости по правилу параллелограмма, т.е. так же, как суммируются вектора (рис. П.2).

Умножения комплексных чисел.

Рассмотрим вначале умножение комплексного числа на постоянное число.

При умножении комплексного числа на положительное постоянное число изменяется только его модуль. Рассмотрим пример при показательном представлении комплексного числа.

. (П.6)

При умножении комплексного числа на отрицательное число () модуль его изменяется так же, как в предыдущем случае, но так же изменяется и его фаза на .

. (П.7)

При перемножении комплексных чисел они могут быть представлены или в алгебраической форме или в показательной форме. При представлении комплексных чисел в алгебраической форме (П.1) происходит обычное перемножение алгебраических величин с дальнейшей группировкой вещественных и мнимых составляющих. Результаты перемножения имеют вид:

. (П.8)

При представлении комплексных чисел в показательной форме (2) перемножаются их модули, а их фазы суммируются алгебраически, т.е. с учётом знака и результаты перемножения имеют вид:

. (П.9)

Деление комплексных чисел.

При делении комплексного числа на положительное постоянное число изменяется только его модуль. Рассмотрим пример при показательном представлении комплексного числа.

. (П.10)

При делении комплексного числа на отрицательное число () модуль его изменяется так же, как в предыдущем случае, но так же изменяется и его фаза на .

. (П.11)

При делении комплексных чисел они должны быть представлены в показательной форме (П.2). В процессе деления модуль числителя делится на модуль знаменателя, а фаза результирующего числа равна разности фаз числителя и знаменателя:

. (П.12)

Извлечение корня из комплексного числа.

При необходимости извлечения квадратного корня из комплексного числа необходимо подкоренное выражение представить в показательной форме (П.2). В результате извлекается квадратный корень из модуля, а фаза делится на два:

. (П.13)

Умножение и деление комплексного числа на мнимую единицу.

В соответствии с теорией функций комплексного переменного, умножение комплексного числа на мнимую единицу эквивалентно изменению его фазы на . Это значит, что если в комплексном выражении, представленном в показательной форме (П.2), есть мнимая единица в виде сомножителя, то она может быть отброшена, а в место неё фаза изменена на угол .

(П.14)

Деление комплексного числа на мнимую единицу эквивалентно изменению его фазы на . Это значит, что если в комплексном выражении, представленном в показательной форме, есть мнимая единица в виде делителя, то она может быть отброшена, а в место неё фаза изменена на .

. (П.15)

Переход от комплексного числа в виде дроби к комплексному числу в алгебраической форме.

При расчётах часто встречается комплексное выражение в виде дроби

,

которое необходимо представить в алгебраической форме. Решение этой задачи можно выполнить двумя путями. Первый состоит в том, что числитель и знаменатель представляют в показательной форме (П.2), затем выполняется операция деления комплексных чисел (П.12), которая даёт результат в показательной форме (П.2). Для достижения конечного результата необходимо полученное выражение перевести в алгебраическую форму, пользуясь формулами (П.3) и (П.4).

Второй способ состоит в умножении знаменателя и числителя на комплексно-сопряжённое знаменателю число. Знаменатель становится вещественным числом, а в числителе выполняется перемножение комплексных чисел и группировка вещественных и комплексных составляющих. Далее деление вещественной составляющей на знаменатель даёт вещественную составляющую, а деление мнимой составляющей на знаменатель даёт мнимую составляющую комплексного числа.



Приложение 4

Оформление Расчётно-графической работы

При выполнении работы необходимо обратить внимание на следующие требования.

Расчётно-графическая работа выполняется на листах формата А4 в соответствии с требованиями к оформлению технической документации РГАТА. Содержание работы может быть выполнено в компьютерном, рукописном или в компьтерно-рукописном вариантах. В последнем случае какая то часть работы может быть выполнена на компьютере, а остальная рукописно. Так, при затруднении с помощью компьютера показать, что число комплексное (точка над ним) или правильно указать его индекс, это можно сделать рукописно.

Последовательность изложения материалов следующая:

-титульный лист (показан ниже);

- содержание расчётно-графической работы - оглавление;

- задание на расчётно-графическую работу;

- исходные данные, содержащие сведения об электрических параметрах элементах схемы и принципиальная схема для расчёта;

- разделы, содержащие анализ и решения в соответствии с требованиями пунктов задания;

- список литературы, используемой при выполнении работы.

Разделы должны быть пронумерованы и должны иметь наименования в соответствии с пунктом задания. В каждом разделе необходимо пояснить суть рассматриваемого в нём вопроса. По поводу выполняемых математических действий необходимо давать пояснения. Принципиальные схемы должны быть выполнены в соответствии с требованиями к начертанию схем. Каждая схема должна быть пронумерована и иметь подпись. Удобной является сквозная нумерация схем, т.е. когда нумерация схемы выполняется последовательно от первой до последней. Формулы, на которые делается ссылка при объяснении, необходимо нумеровать. Нумерацию формул, как и рисунков, удобно делать сквозной.

Размещено на Allbest.ru