Определение действительной (натуральной) величины углов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Модуль 1. Начертательная геометрия

Подмодуль 2

Метрические задачи

Лекция 9

Определение действительной /натуральной/ величины углов

При определении действительной величины углов должны быть рассмотрены следующие три задачи.

1. Определение угла между двумя пересекающимися прямыми.

2. Определение угла между прямой и плоскостью

3. Определение угла между двумя плоскостями

1 Определение натуральной величины угла между двумя пересекающимися прямыми

Для того, чтобы угол между прямыми проецировался в натуральную величину необходимо, чтобы обе стороны этого угла были параллельны данной плоскости проекций, т.е. чтобы плоскость угла была плоскостью уровня.

При решении этой задачи наиболее рациональным, а поэтому, наиболее распространенным путем решения, является преобразование чертежа способом вращения плоскости вокруг одной из ее прямых уровня /см. лекции №6/. При этом способе плоскость общего положения сразу преобразуется в плоскость уровня.

рис.9.1

Задача.

Определить истинное значение угла между пересекающимися прямыми m и n /рис.9.1/.

Решение.

В плоскости угла строим произвольную горизонталь h(h, h), которая принадлежит плоскости h (n m) по I признаку принадлежности /1,2/. Вращая плоскость (n m) вокруг горизонтали h до положения параллельного плоскости 1, находим натуральную величину плоскости (n m), и, следовательно, натуральную величину искомого угла при вершине K - угол . При решении находим центр вращения O точки K и натуральную величину радиуса вращения R точки K двумя способами. Один способ - способ вращения, другой - метод прямоугольного треугольника.

2 Определение натуральной величины угла между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью можно определить двумя разными путями.

1.Путем определения непосредственно самого угла.

2.Путем определения дополнительного угла.

Путь определения непосредственно самого угла. При решении первой задачи отыщем непосредственно угол - угол между прямой и плоскостью.

Задача 1. Определить угол между прямой BD и плоскостью треугольника ABC /рис. 9.2/.

угол пересекающийся прямой плоскость

рис.9.2а

рис 9.2б

рис.9.2в

Угол между прямой BD и плоскостью ABC проецируется в натуральную величину на одну из плоскостей проекций в том случае, если заданная плоскость будет по отношению к этой плоскости проекций проецирующей, а прямая - прямой уровня, т.е. будет параллельной этой плоскости проекций.

Преобразуя чертеж с целью достижения такого расположения плоскости и прямой, следует следить за тем, чтобы в результате такого преобразования не произошло относительного перемещения прямой и плоскости, при котором искомый угол изменит свою величину.

Решение.

На рис.9.2а, рис.9.2б, рис.9.3в даны разные приемы преобразования чертежа для определения непосредственно самого угла .

Вводим новую плоскость проекций 21, по отношению к которой плоскость треугольника ABC будет проецирующей. Однако, угол между прямой BD и плоскостью треугольника не будет проецироваться на 21 в натуральную величину, т.к. прямая BD не будет параллельна плоскости 21. Введем еще новую плоскость проекций 11, параллельную плоскости треугольника ABC. В системе плоскостей проекций 21/11 плоскость треугольника стала горизонтальной плоскостью. Введем еще одну плоскость проекций 22 параллельную прямой B1D1, учитывая, что предыдущее положение плоскости ABC было проецирующим, то и последующее положение этой плоскости после замены плоскостей проекций также будет проецирующим. Следовательно, после третьей замены плоскостей проекций, мы получим плоскость ABC в проецирующем положении, а прямую BD в положении линии уровня. Мы получили сам угол между прямой BD и плоскостью треугольника ABC , используя только способ перемены плоскостей проекций./рис.9.2а/.

На рис.9.2б используем комбинированный прием. Мы можем повернуть прямую BD вокруг оси, перпендикулярной к 11 до положения, при котором она станет параллельной плоскости 21 . Поскольку ось вращения, перпендикулярная к 11 , будет, одновременно, перпендикулярна к плоскости треугольника, то при таком вращении прямой BD, ее угол наклона к плоскости треугольника не будет менять свою величину. Повернув прямую BD до положения, параллельное 21 , мы добились того, что угол между прямой BD и плоскостью треугольника ABC проецируется на эту плоскость проекций в натуральную величину.

На рис.9.2в используем комбинированный прием, так называемого двойного вращения. В плоскости 21 выбираем ось вращения i перпендикулярную к плоскости ABC, которая находится в проецирующем положении. Находим траекторию вращения конца отрезка BD точки D - это плоскость параллельна плоскости треугольника ABC, а отрезок будет описывать коническую поверхность, очерковая образующая которой будет натуральной величиной отрезка BD. Находим эту величину отрезка путем вращения вокруг другой оси, перпендикулярной к плоскости проекций 1 в точке B. Находим натуральную величину отрезка BD в плоскости проекций 21. Находим очерковую образующую конической поверхности, а, следовательно, и угол .

К решению задачи на определение угла между прямой и плоскостью можно подойти с иных позиций.

Рис.9.3

На рис.9.3 мы видим, что если прямая l образует с плоскостью угол , то та же прямая l с перпендикуляром к этой плоскости - прямой n образует угол . Поскольку треугольник ABC прямоугольный, то сумма углов 90 равна прямому углу, т.е. 90. Видим, что угол дополняет угол до 90.

Эта простая зависимость позволяет нам, в некоторых задачах на отыскание угла между прямой и плоскостью, отыскивать не сам угол , а дополнительный угол . Рассмотрим такую задачу/рис.9.4/.

рис.9.4

Задача 2. Определить натуральную величину угла между прямой l и плоскостью (1, 2), заданной следами./рис.9.4/.

Решение.

Взяв на прямой l произвольную точку A, опускаем из этой точки перпендикуляр на плоскость - прямую n. Угол между прямыми l и n, и будет искомым углом . Проводим в плоскости этого угла произвольную горизонталь h. Находим горизонталь h на 1, используя I признак принадлежности точки 1-2. Затем, вращая вершину A вокруг горизонтали h, находим центр O вращения точки A и натуральную величину радиуса вращения R вершины A. Если в плоскости найдется хотя бы одна прямая линией уровня, то и плоскость будет в натуральную величину. Соединяем вершину A2 с точками 1 и 2 получаем плоскость уровня, в которой в натуральную величину будет угол . Угол, дополняющий угол до 90, и будет , который нам требуется определить по условию задачи.

Последний путь решения можно применить не только в тех случаях, когда плоскость задана следами. В общем случае, в плоскости, как бы она не была задана, всегда можно провести горизонталь и фронталь . Наличие этих прямых позволит нам легко провести перпендикуляр к этой плоскости, а затем, как в настоящем примере, определить угол , а затем, и угол .

3 Определение натуральной величины угла между двумя плоскостями

Эта задача, как и предыдущая, может быть решена двумя путями.

1.Путем определения непосредственно самого угла.

2.Путем определения дополнительного угла.

Вначале рассмотрим первый путь решения.

Рис.9.5

На рис.9.5 изображен двугранный угол между плоскостями и . Он будет проецироваться на одну из плоскостей проекций, в нашем примере на 1, в натуральную величину в том случае, если линия пересечения этих плоскостей - прямая m будет перпендикулярна к этой плоскости проекций 1.

В том случае, если, по условиям задачи, прямая m окажется прямой общего положения, то чертеж следует преобразовать так, чтобы прямая m стала проецирующей /вторая основная задача на преобразование чертежа/.

Задача 1.

Определить натуральную величину угла между треугольниками AMN и BMN /рис.9.6/.

рис.9.6

Решение.

В данной задаче нет необходимости отыскивать линию пересечения плоскостей, т.к. такая линия на чертеже уже есть - ею является общая сторона треугольников - прямая M N (MN, MN). Преобразуем чертеж способом замены плоскостей проекций. В новой системе плоскостей проекций 21/11 прямая M N становится горизонтально - проецирующей прямой, а плоскости треугольников AMN, BMN - горизонтально - проецирующими плоскостями. Угол , который мы видим на плоскости 11, является мерой натуральной величины двугранного угла между заданными треугольниками.

Теперь рассмотрим второй путь решения задачи, при котором отыскивается не угол - угол между плоскостями, а угол - угол между перпендикулярами к этим плоскостям. Такой путь решения в некоторых случаях является более рациональным.

Рис.9.7

Из рис.9.7 мы видим, что угол изображен двугранный угол между перпендикулярами m и n, проведенными к плоскостям и через произвольную точку A, в сумме с искомым углом составляет 180 . Т.е. можно сказать, что угол дополняет угол до 180 . Отсюда становится очевидным, что, зная угол , мы всегда сумеем легко определить и угол .

Рассмотрим этот путь решения на примере следующей задачи.

рис.9.8

Задача 2.

Определить натуральную величину угла между плоскостями и /рис. 9.8/.

Решение

Из произвольно выбранной точки A проводим перпендикуляры к заданным плоскостям: m - к плоскости , n - к плоскости . В плоскости, заданной перпендикулярами, проводим произвольную горизонталь h, используя 1признак принадлежности /точки 1,2/, находим горизонталь на 1. Путем вращения вокруг этой горизонтали определяем натуральную величину плоскости, заданной пересекающимися прямыми n m . Определяем натуральную величину . Дополняя этот угол до 180, находим натуральную величину искомого угла .

Содержание лекции №9 изложено в учебнике С.А.Фролова /изд. 1978/ на стр. 162-163, 168-172.

Размещено на Allbest.ru