Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство железнодорожного транспорта.

Уральский государственный университет путей сообщения.

Кафедра физики

Курс лекций по физике

Механика

Основы молекулярной физики и термодинамики

Учебно-методическое пособие для студентов очной и заочной формы обучения

Екатеринбург 2011 г.

Оглавление

Глава 1. Кинематика материальной точки

1.1 Понятия и определении

1.2 Уравнение движения

1.2.1 Равномерное, прямолинейное

1.2.2 Ускоренно прямолинейное

1.3 Кинематика вращательного и колебательного движения

1.4 Для самостоятельного изучения

1.5 Задания для самоконтроля знаний

Глава 2. Динамика

2.1 Законы Ньютона

2.2 Динамика поступательного движении

2.3 Динамика вращательно движения

2.4 Динамика колебательного движения

2.5 Принцип относительности Галилея

2.6 Для самостоятельного изучения

2.6.1 Понятие силы. Равнодействующая сила

2.6.2 Силы гравитационного взаимодействии

2.6.3 Сила трения

2.6.4 Сила вязкого трения

2.6.5 Сила упругости

2.6.6 Колебания материального и физического маятника

2.7 Задания для самоконтроля знаний

Глава 3. Работа и энергия

3.1 Работа. Мощность

3.2 Энергия поступательного движения

3.3 Энергия взаимодействия

3.4 Работа и энергия вращательного движения

3.5 Энергия колебательного движения

3.6 Для самостоятельного изучения

3.6.1 Потенциальная энергия тела относительно поверхности Земли

3.6.2 Работа силы тяжести

3.6.3 Потенциальная энергия пружины

3.6.4 Потенциальный барьер и яма

3.7 Задания для самоконтроля знаний

Глава 4. Законы сохранения в механике

4.1 Закон сохранения импульса

4.2 Закон сохранения момента импульса

4.3 Закон сохранения энергии

4.4 Применение законов сохранения к упругому и неупругому соударению двух тел

4.5 Задания для самоконтроля знаний

Глава 5. Механические волны

5.1 Продольные и поперечные волны

5.2 Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение

5.3 Задания для самоконтроля знаний

Глава 6. Молекулярное движение

6.1 Размеры и масса молекул

6.2. Движение и столкновение молекул газа

6.3 Давление и температура

6.4 Скорость и энергия молекул [распределение Максвелла]

6.5 Давление идеального газа на стенку

6.6 Уравнение состояния идеального газа

Глава 7. Основы термодинамики

7.1 Термодинамическая система. Внутренняя энергия идеального газа

7.2 Работа и теплопередача

7.3. Первое начало термодинамики, термодинамические изопроцессы

7.4 Теплоемкость

7.5 Обратимые и необратимые процессы. Термодинамическая вероятность

7.6 Изменение энтропии в изопроцессах

7.7 Тепловая машина. Цикл Карно

7.8 Для самостоятельного изучения

Основные понятия в механике

Основные законы

Обозначения

Глава 1. Кинематика материальной точки

Лекция 1. Кинематика поступательного движения

1.1 Понятия и определения

Механика - изучает движение тел в пространстве с течением времени.

Движение без учета сил действующих на тело, рассматривается в кинематике, а с учетом их в динамике.

В кинематике тела размерами которых можно пренебречь в условиях данной задачи, представляются в виде материальных точек (м.т) являющихся их моделью. Положение м.т. в пространстве определяется с помощью системы координат X,Y,Z, связанной с неподвижным телом (телом отсчета)

Совокупность тела отсчета, жестко связанной с ним системы координат и часов, называется системой отсчета.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Положение материальной точки в декартовой системе координат задается ее координатами x, y, z или радиус-вектором , проведенный в заданную точку из начала координат (рис 1.1). Радиус-вектор и его проекции на оси координат определяются из соотношений:

, (1.1)

где -

единичные векторы осей координат.

Модуль вектора

(1.2)

При движении м.т. относительно выбранной системы отсчета ее радиус-вектор и его координаты зависят от времени.

(1.3)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Траектория движения м.т в пространстве определяется совокупностью всех ее последовательных положений в пространстве. Уравнение траектории z=z (x,y) находится в результате решения системы уравнений (1.3) путем исключения параметра t.

Движение называется прямолинейным, если его траектория - прямая линия, и криволинейным во всех других случаях. Вид траектории не зависит от выбора системы отсчета. При движении м.т. по криволинейной траектории в выбранной системе отсчета, за интервал времени радиус-вектор изменяется на величину , а точка проходит пусть s.

Путь может быть больше модуля вектора перемещения или равен ему. Равенство наблюдается только в частных случаях - при прямолинейном движении тела в одном направлении, и для бесконечно малых промежутков времени . кинематика относительность соударение галилей

Для характеристики движения м.т. вводят понятие средней и мгновенной скорости.

Средней скоростью называется вектор, равный отношению вектора перемещения к промежутку времени , в течение которого произошло перемещение м.т.

Направление , совпадает с направлением вектора перемещения , () (рис 1.2)

Мгновенной скоростью называется предельное значение вектора средней скорости при стремлении к нулю

Размещено на http://www.allbest.ru/

(1.4)

Вектор перемещения и скорость направлены по секущей и при стремлении к нулю образуют к касательную в точке 1 (рис. 1.3).

Модуль мгновенной скорости путевая скорость определяется из соотношения

, (1.5)

где - путь пройденный точкой за интервал времени dt

Путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t₁ до t₂

(1.6)

С учетом соотношений (1.1)

(1.7)

где - проекции скорости точки на оси координат.

Модуль вектора скорости в декартовой системе координат

(1.8)

В процессе движения направление и модуль вектора скорости м.т. могут изменяться. Изменение скорости определяется векторам ускорения .

Размещено на http://www.allbest.ru/

По аналогии со средней и мгновенной скоростью вводят понятие среднего и мгновенного ускорения. Пусть в момент времени t₁ м.т. имеет скорость , а в момент t₂ - скорость (рис. 1.4) . Тогда за промежуток времени вектор скорости изменится на величину , а среднее ускорение

(1.9)

Вектор, совпадает с вектором .

Мгновенное ускорение

(1.10)

где (рис. 1.4)

С учетом соотношений (1.1) и (1.7)

(1.11 )

где - проекции ускорения точки на оси координат.

Модуль вектора ускорения

(1.12)

Вектор ускорения можно разложить на два вектора (рис. 1.5) .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Составляющая ускорения, характеризующая изменение мгновенной скорости по величине, называется касательным (тангенциальным) ускорением , совпадающим с касательной в точке траектории, а

Составляющая ускорения, направленная к центру кривизны траектории перпендикулярно и характеризующая изменение вектора скорости по направлению, называется нормальным ускорением ,

где R-радиус кривизны траектории,

Вектор полного ускорения

, (1.12)

а его модуль (1.13)

1.2 Уравнения движения

1.2.1 Равномерно, прямолинейно движение

В зависимости от векторов скорости и ускорения различают равномерное и ускоренное движения.

Движение называется равномерным и прямолинейным, если точка движется по прямой линии с постоянной скоростью .

Пусть в начальный момент времени t=0 координата точки х = х₀, а скорость постоянно и совпадает с направлением движения (рис. 1.7).

Размещено на http://www.allbest.ru/

За малый интервал dt перемещение точки

,

где - проекция вектора скорости на ось ОХ,

Проинтегрируем левую и правую часть последнего равенства в пределах изменения переменных x и t

,

, (1.14)

.

В случае когда вектор скорости не совпадает с направлением движения

.

При прямолинейном равномерном движении пройденный точкой

.

1.2.2 Ускоренное, прямолинейное движение

Движение по прямолинейной траектории с постоянным ускорением , совпадающим со скоростью называется равноускоренны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть в начальный момент времени координата точки x=х₀, скорость совпадает с направлением оси ОХ. За время t пройденный точкой путь.

(1.15)

где - модуль проекции вектора скорости на ось OX находится из соотношения интегрированием его левой и правой части в пределах изменения переменных и t

Подставим в соотношение (1.19) скорости и определи пройденный путь и координату точки

,

(1.16)

Если вектор противоположен скорости , то движение будет bи путь равнозамедленный то проекция скорости, координата точки пройденной точкой определяются из соотношений:

.

. (1.17)

где.

Лекция 2. Кинематика вращательного и колебательного движения

Вращательное движение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим движение м.т. по окружности радиусом R с постоянной линейной скоростью вокруг неподвижной оси Z (рис. 1.8).

Положение точки определяется радиус-вектором , проведенным из начала координат. За малый интервал времени радиус-вектор повернется на угол . Направление поворота м.т. вокруг оси Z задается вектором , который определяется правилом правого винта: поступательное движение правого винта и вектора совпадают, если вращение точки и винта совершается в одинаковом направлении. Модуль вектора равен углу поворота за интервал времени . Линейное перемещение вектора за время dt

(1.18)

Вектор линейной скорости

, (1.19)

где - вектор угловой скорости.

Вектор угловой скорости совпадает с направлением вектора .

Модуль вектора линейной скорости

(1.20)

Где - угол между векторами и

Вектор линейного ускорения

, (1.21)

где - вектор углового ускорения, - вектор касательного ускорения, - вектор нормального ускорения.

Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора (), , если угловая скорость возрастает, и противоположно () , если она уменьшается.

Модули векторов ,

.

. (1.22)

Угловой путь м.т., движущейся по окружности за время dt

.

Угловой путь точки за интервал времени t при начальном угле

.

При постоянной угловой скорости , угловой путь и угол поворота определяется из равенств:

,

(1.23)

При равноускоренном вращении точки для t=0, , угловая скорость определяется из соотношения



,

Для равноускоренного вращения за время t угловой путь и угол поворота определяются из соотношений

,

,

,

. (1.24)

Для равнозамедленного вращения

,

, (1.25)

.

Согласно определению угловая скорость измеряется в рад/с, угловое ускорение - рад/с².

Колебательное движение

Движение будет колебательным, если его кинематические характеристики повторяются с течением времени.

Если движение тела повторяется через равные промежутки времени, то оно называется периодическим.

Наименьший промежуток времени Т, через который значение изменяющейся величины повторяется (по величине и направлению, если эта величина векторная, по величине и знаку, если она скалярная), называется периодом колебаний этой величины.

Число полных колебаний, совершаемых колеблющейся величиной за единицу времени, называется частотой колебаний и обозначается н. Период и частота колебаний связаны соотношениями .

Простейшим из периодических колебаний являются гармонические колебания.

Гармонические колебания - это колебания, в которых координата, скорость и ускорение изменяются с течением времени по закону синуса или косинуса.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Примером гармонического колебательного движения является изменение координат материальной точки, движущейся по окружности радиусом R (рис. 1.9).

В системе отсчета связанной с центром окружности координаты точки и ее угловой путь в момент вращения t=0 определяются:

(1.26)

где: - угол между радиус-вектором и одной из координат системы отсчета (начальная фаза колебания)

в момент времени t

(1.27)

Размещено на http://www.allbest.ru/

где - фаза колебания; - циклическая частота.

Вдоль оси X и Y скорость и ускорение м.т изменяются как:

(1.28)

(1.29)

(1.30)

При гармонических колебаниях координаты и проекции скорости и ускорения изменяются с течением времени по гармоническому закону, с той же частотой , с одинаковой частотой .

Максимальная амплитуда колебаний скорости вдоль осей координат , ускорения . Скорость опережает координату по фазе на , а ускорение на (рис. 1.10)..

Начальная координата x₀, и скорость гармонических колебаний в момент времени t=0

(1.31)

где А- амплитуда, равная максимальному значению координаты x.

Возведем в квадрат левую и правую часть равенств (1.31) и выделим cos²ц₀ и sin² ц₀

Сложим в полученной системе уравнений их левые и правые части и после преобразований получим формулы для вычислений А и ц₀.

или

, (1.37)

.

1.3 Для самостоятельного изучения

1.3.1 Модуль касательного и нормального ускорения

Модули касательного и нормального ускорения находятся из соотношения

, (1.38)

где единичный вектор, направленный по касательной к точке траектории в сторону движения м.т. (рис 1.11), а - вектор мгновенной скорости .

Первое слагаемое в (1.11) равно касательному ускорению,

,

Размещено на http://www.allbest.ru/

второе - нормальному

(1.39)

Вектор касательного ускорения может совпадать с вектором мгновенной скорости и может быть ему антипараллелен . В первом случае движение будет ускоренным, а во втором - замедленным.

Рассмотрим перемещение материальной точки по траектории из точки в точку. (рис 1.7) За малый интервал времени единичный вектор в точке А₂ равен сумме

,

где - единичный вектор, определяющий направление движения в точке А₁, - вектор изменения направления движения. Треугольник , образованный векторами и , равнобедренный, т.к. =1. При , угол между векторами и уменьшается и стремится к нулю, а угол между векторами и увеличится до . Следовательно, вектора и направлены к центру кривизны траектории и совпадает с вектором нормали к скорости ().

Модуль вектора нормального ускорения определяется из треугольников и DC. Эти треугольники равнобедренные и подобные, т.к. при где - радиус кривизны траектории. Из соотношения сторон треугольников

. (1.40)

Для бесконечного малого интервала времени,

Вектор можно представить в виде . Тогда вектор нормального ускорения

, (1.41)

1.3.2 Равномерное криволинейное движение

Частным случаем ускоренного движения является движение тела брошенного со скоростью под углом к горизонту и падающего с постоянным ускорением свободного падения (рис 1.12). Положение тела в пространстве определяется путем разложения его движения на равномерное прямолинейное по оси OX со скоростью и равнопеременное по оси OY с ускорением свободного падения g и начальной скоростью .

В момент времени t координаты тела

Размещено на http://www.allbest.ru/

(1.42)

вектор скорости

. (1.43)

Модуль вектора скорости

(1.44)

где .

Уравнение траектории найдём путем исключения параметра t из равенств (1.44)

. (1.45)

Ускорение свободного падения в любой точке траектории можно разложить на его касательную и нормальную составляющие, где модуль касательного ускорения

, (1.46)

где б-угол между векторами скорости и ускорения g в заданной точке траектории

Модуль нормального ускорения

. (1.47)

Из сравнения уравнения параболы и равенства (1.22) следует, что тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболе.

1.3.3 Сложение гармонических колебаний

Материальная точка может участвовать одновременно в нескольких колебательных движениях. Сложить два или несколько колебаний - значит найти закон, которому подчиняется результирующее движение, найти траекторию этого движения материальной точки.

Сложение колебаний м.т. проводится геометрически, введением понятия амплитуды.

Вектор амплитуды - это вектор, модуль которого равен амплитуде рассматриваемого колебания.

Если вектор амплитуды привести во вращение вокруг точки О, с угловой скоростью , то проекция конца этого вектора на ось х будет совершать гармонические колебания с циклической частотой :

,

где - угол, образованный вектором амплитуды и осью х в начальный момент времени. Сложим два гармонических колебания вдоль оси X (рис 1.13.

;

;

где

Размещено на http://www.allbest.ru/

Так как колебания происходят вдоль одной прямой, то результирующая координата:

.

Вектор результирующей амплитуды равен геометрической сумме векторов и . Проекция конца вектора определяет результирующая координате x. Так как оба вектора, и , вращаются в процессе колебаний с угловой скоростью , с такой же скоростью будет вращаться и вектор результирующей амплитуды .

Для времени t=0



для произвольного момента времени t

,

где и - амплитуда и начальная фаза результирующего колебания.

Из по теореме косинусов находим амплитуду и начальную базу колебания:

,

,

, (1.48)

где .

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз слагаемых колебаний. Если , где , то и . Колебания усиливают друг друга.

Если , то и Если разность фаз равна нечётному числу , колебания гасят друг друга. В зависимости от разности фаз амплитуда колебаний может принимать любые значения, лежащие в интервале

.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний слегка отличающимися частотами, происходящих вдоль одной прямой для нескольких условий:

1. Пусть , причём (или ), и

Уравнение колебаний:

Координата результирующего колебания

(1.49)

Так как , то векторы амплитуды вращаются с разными угловыми скоростями.

Сумма косинусов и координата определяются из соотношений:

Выделенный множитель изменяется с течением времени гораздо медленнее, чем второй множитель. За время, в течение которого второй множитель совершает полное колебание, первый почти не изменяется (так как по условию <<). Это позволяет рассматривать колебание как гармоническое с частотой , у которого амплитуда .

Гармонические колебания с периодически изменяющейся амплитудой называются биениями.

Частота и период биений

,

где - частоты слагаемых колебаний. Следовательно, чем меньше отличаются частоты, тем меньше частота биений.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль координатных осей x и y, причём

Уравнения для координат точки.

Разделив второе уравнение на первое, получим

Размещено на http://www.allbest.ru/

Полученное соотношение представляет прямую, проходящую

через начало координат и наклонённую к оси х под углом

.

Точка будет совершать гармоническое колебание вдоль этой прямой:

где - амплитуда колебания.

2. При сложении колебаний, когда

Уравнение для координат точки.

Разделив одно уравнение на другое, получим уравнение прямой с отрицательным тангенсом угла наклона.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для

Перепишем эти уравнения в виде



Возведём в квадрат и почленно сложим:

Полученное уравнение есть уравнение эллипса. Полуоси этого эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний и . При эллипс превращается в окружность.

Если равность фаз слагаемых колебаний равна то движение по эллипсу (или по окружности) будет происходить по часовой стрелке.

Если , движение происходит против часовой стрелки.

При сложении взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с неодинаковыми циклическими частотами результирующее движение будет происходить по сложным траекториям, называемым фигурами Лиссажу. Форма фигур Лиссажу зависит от соотношения частот складываемых колебаний и разности их начальных фаз.

1.4 Задания для самоконтроля знаний

1.Дайте определение средней и мгновенной скорости.

2.Совпадают ли векторы средней и мгновенной скорости материальной точки, движущейся по окружности?

3.Определите физический смысл понятий скорости и ускорения движения материальной точки.

3. Запишите выражения для векторов скорости и ускорения материальной точки в декартовой системе координат.

4. Определите модуль вектора скорости и ускорения в декартовой системе координат.

5. Дайте определение тангенциального, нормального и полного ускорения.

6. Определите модуль вектора ускорения движения точки по окружности радиусом R=1м, в момент времени t=2с от начала движения, если зависимость модуля вектора скорости от времени задается уравнением .

7. Определить путь пройденный автомобилем за 2 часа его движения со скоростью 90 км/ч.

8. Определить время обгона легковым автомобилем грузовика, если водитель совершает этот маневр при начальной скорости 80 км/ч с ускорением 2 м/с².

9. Определить тормозной путь поезда движущегося со скоростью 36 км/ч при времени торможения 1 минуты.

10. Определить максимальную высоту подъема снаряда имеющего начальную скорость 100м/с и выкатившего из орудия под углом 45° к горизонту.

11. Определить модуль вектора угловой скорости и ускорение точки движущейся по окружности, если ее угол зависит от времени ц=10+5t.

12. Определить тангенциальное а_ф и нормальное ускорения а_n точки движущейся по окружности радиусом R=1 м, если ее угловая скорость щ=5 рад/сек, ускорение е=р рад/с².

13. Определить максимальное значение скорости гармонического колебания м.т, если ее период колебания T=1 м·с, а амплитуда А=1 см.

14. Определить начальную фазу ц₀ гармонического колебания м.т. с частотой н=1 Гц при x₀=1 см и =1 м/с.

Глава 2. Динамика

2.1 Законы Ньютона

При изучении движения тел в пространстве важно выбрать такую систему отсчета, в которой бы перемещение тела в отсутствии действия на него сил происходило равномерно и прямолинейно.

Ньютон, обобщая результаты опытов и наблюдений, установил, что существует система отсчета, в которой тело сколько угодно долго может находится в состоянии покоя или двигаться равномерно и прямолинейно, если другое тело не выведет его из этого состояния.

Свойства тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью, а существование систем отсчета, в которых тело при отсутствии действия на него сил находится в покое или движется прямолинейно и равномерно - первым законом Ньютона или законом инерции. Система отсчета, в которой выполняется закон инерции, называется инерциальной.

Инерциальная система отсчета в своем составе имеет свободное тело, не взаимодействующее с другими телами (см. главу 1, п. 1.1). В природе свободных тел не существует. Однако, если в качестве свободного тела выбрать Солнце, то такую систему отсчета можно считать инерциальной. Система отсчета, в которой свободное тело - Солнце, называется гелиоцентрической.

Система отсчета, связанная с Землей из-за взаимодействия ее с Солнцем и вращения вокруг своей оси, не является строго инерциальной. Для решения большинства задач динамики неинерциальность системы отсчета, связанной с Землей, не приводит к существенным ошибкам.

При действии на тело результирующей силы его геометрическое приращение количества движения, отнесенное к единице времени действия на него силы равно этой силе

(2.1)

где m, - масса и скорость тела, - количество движения.

Импульс тела (количество движения) - это векторная величина, являющаяся мерой механического движения, равная произведению массы m на скорость .

Масса m - положительная скалярная величина, определяющая инертность тела в его поступательном прямолинейном движении.

В классической механике (механике Ньютона) масса аддитивна (масса тела m любой системы м.т. равна сумме масс всех точек этой системы), не зависит от скорости, температуры, агрегатного состояния, электрических и магнитных свойств тела. В системе СИ масса измеряется в килограммах (кг). Масса тела объемом V и плотностью вещества определяется интегрированием

,

В равенстве =, соотношение называется импульсом силы. Тогда, второй закон Ньютона можно сформулировать: изменение импульса тела равно импульсу, действующей на него силы.

Для тела с постоянной массой импульс силы:

,

. (2.2)

Ускорение тела прямо пропорционально действующей на тело силе, обратно пропорционально массе и совпадает по направлению с силой.

Второй закон Ньютона справедлив для инерциальных систем отсчета. Масса тела m в равенстве (2.2) называется инерционной, является мерой инертности тела, которое под действием результирующей силы , приобретает конечное ускорение , а в отсутствии ее находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно. Для тела, у которого масса изменяется с течением времени (например, при полете ракеты) сила зависит от изменения скорости и массы

. (2.3)

Из соотношения (2.2) определяется единица измерения силы. В системе единиц СИ масса m измеряется в кг, ускорение в м/с². Единица измерения силы - называется ньютон (Н). Один ньютон - это такая сила, под действием которой тело массой 1 кг приобретает ускорение 1 м/с².

Все тела взаимодействуют друг с другом. Опыт показывает, что одно (рис 2.1) тело действует на другое с силами, совпадающими по модулю и противоположными по направлению (рис. 2.1).

, (2.4)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис 2.1

Силы, с которыми взаимодействуют тела равны по величине и противоположны по направлению

где - сила, действующая на первое тело со стороны второго,

- сила, действующая на второе тело со стороны первого.

Поскольку силы взаимодействия приложены к разным телам, то они не могут вызывать их перемещение в одном направлении. Силы взаимодействия проявляются в паре, приложены к взаимодействующим телам и являются силами одной природы. Равенство (2.4) называется третьим законом Ньютона.

В третьем законе Ньютона предполагается, что обе силы равны по модулю в любой момент времени. Это утверждение соответствует ньютоновскому представлению о мгновенном распространении взаимодействий, которое носит название принципа дальнодействия. Согласно этому принципу, взаимодействие между телами распространяется в пространстве с бесконечно большой скоростью.

2.2 Динамика поступательного движения тела

Твёрдое тело (ТТ) - это тело, которое не деформируется при действии на него сил. Масса ТТ представляется в виде суммы материальных точек связанных между собой внутренними силами взаимодействия f. Различают поступательное, вращательное и колебательное движение ТТ.

Размещено на http://www.allbest.ru/

При поступательном движении любая прямая проведенная в теле перемещается параллельно самой себе, а точки совершают равные по величине и направлению перемещения с одинаковой скоростью и ускорением. Поэтому, движение ТТ можно заменить одной материальной точкой С определяемой радиус-вектором . Точка С - называется центром инерции тела и совпадает с его центром тяжести рис (2.2).

Радиус-вектор и скорость центра инерции определяются из соотношений:

(2.5)

(2.6)

где - масса тела, состоящая из n материальных точек.

Импульс Т.Т. связан со скоростью центра инерции соотношением

. (2.7)

Под действием внешних сил все точки тела движутся с ускорением

(2.8)

где =0, так как внутренние силы взаимодействия равны по величине и противоположны по направлению.

Ускорение центра инерции

(2.9)

Так как согласно второго закона Ньютона , то .

2.3 Динамика вращательного движения

Размещено на http://www.allbest.ru/

При вращательном движении ТТ все его точки движутся по окружностям с центрами на оси вращения ( рис. 2.3).

Угловые скорости щ всех точек тела одинаковы, а линейные зависят от их расстояний r до оси вращения.

Рассмотрим вращение тела под действием внешней силы (рис 2.4). Через точку приложения силы перпендикулярно оси вращения проведем плоскость А. Разложим силу на параллельную оси вращения и перпендикулярную ей _. Сила не вызывает вращения, так как действует вдоль оси. Тело вращается под действием силы , которая в плоскости А имеет составляющие и . Сила действует вдоль направления радиуса и не может вызвать вращение тела. Следовательно, тело вращается под действием силы

Размещено на http://www.allbest.ru/

=,

где б - угол между направлениями радиус-вектором и силой .

В соответствии со вторым законом Ньютона касательное ускорение точки m_i

Умножим левую и правую часть последнего равенства на r_i и

. (2.10)

В равенстве (3.6) соотношение - момент инерции материальной точки, r_i·sinб = h - плечо а =М - момент силы .

Момент инерции тела массой m, объемом V и плотностью вещества с определяется из соотношений:

(2.11)

В таблице приведены моменты инерции тел правильной геометрической формы

Таблица 1

Тело	Обруч, кольцо	Диск, сплошной цилиндр	Полый цилиндр	Шар	Стержень
Геометрия
Момент инерции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Момент инерции тела находящихся на расстояния d от оси вращения (рис. 2.5) определяется по теореме Штейнера

J=J_c+md² . (2.12)

Если d=0 и ось проходит через центр инерции, то момент инерции определяется по формуле (3.7)

Вектор момента силы находится на оси вращения, а его направление определяется правилом правого винта поворотом вектора к вектору по кратчайшему пути.

В соответсвии с равенством (2.10) на тело с моментом инерции J вращающееся вокруг оси с угловым ускорением действует момент силы:

(2.13)

Произведение - называется моментом импульса тела, так как для точки m_i справедливо равенство .

Для изменения момента импульса справедливы равенства:

(2.14)

Для конечного промежутка времени ?t изменение момента импульса тела.

(2.15)

Размещено на http://www.allbest.ru/

2.4 Динамика колебательного движения

Рассмотрим динамику колебательного движения на примере колебания груза массой m, подвешенного к пружине (рис 2.6). В состоянии равновесия, сила тяжести груза уравновешивается силой упругости пружины . Для выбранного направления оси х:

,

F_упр =mg,

где F_упр = kДl (закон Гука), Дl=l-l₀ , l₀ - длина пружины без груза.

Выведем груз из положения равновесия и дадим ему возможность двигаться вдоль оси Х. Под действием сил тяжести и упругости груз будет совершать движение с ускорением а согласно уравнениям:

(2.16)

Введём обозначение , тогда

. (2.17)

Равенство (2.17) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний. Координата смещения груза относительно его положения равновесия, определяется из решения уравнения (2.17) и равна

(2.18)

где А - амплитуда (максимального смещения груза от положения равновесия),

- циклическая частота, - фаза колебания, - начальная фаза колебания.

Период колебания

(2.19)

частота . (2.20)

Если груз колеблется в среде, то он испытывает ее сопротивление.

При малых смещениях груза от положения равновесия сила сопротивления

, (2.21)

где r - коэффициент сопротивления. Среды, v - скорость движения груза

С учетом силы сопротивления дифференциальное уравнение движения груза имеет вид

. (2.22)

Разделим обе части уравнения (2.22) на m, перенесем все слагаемые умножим на 1 в левую часть и введем обозначения ,, тогда

(2.23)

где - коэффициент затухания.

В результате решения дифференциального уравнения (2.23) координата смещения груза

(2.24)

где и - амплитуда колебаний и фаза в момент времени t=0,

- циклическая частота затухающих колебаний (рис 2.7).

Затухающие колебания не являются гармоническими, так как амплитуда этих колебаний убывает по экспоненциальному закону. (2.25)

Размещено на http://www.allbest.ru/



Циклическая частота щ и период Т затухающих колебаний определяются из соотношений:

, (2.26)

(2.27)

где щ₀ частота свободных колебаний тела.

Период определённый из последнего соотношения называется условным периодом затухающих колебаний.

Условный период затухающих колебаний - наименьший промежуток времени Т, за который груз дважды проходит через положение равновесия, двигаясь в одном и том же направлении.

Период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний.

Отношение двух амплитуд затухающих колебаний в моменты времени t и

(2.28)

называется декрементом затухания. Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания

(2.29)

Логарифмический декремент затухания характеризует затухание колебаний за период, а коэффициент затухания за единицу времени.

Время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз называется временем релаксации ф.

,

(2.30)

Коэффициент затухания - это величина, обратная времени релаксации и определяет число колебаний за единицу времени.

За время ф система совершит колебаний.

Логарифмический декремент затухания равен обратному числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.

(2.31)

Если на груз, кроме упругой силы и силы сопротивления, будет действовать внешняя периодическая сила, то он будет совершать вынужденные колебания.

При внешней силе дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид

, (2.32)

В результате решения дифференциального уравнения (2.32) координаты смещения груза х = х₁ + х₂,

где - соответствует затухающему колебанию,

- вынужденному.

Затухающие колебания происходят в начальный момент времени и их амплитуда уменьшается с течением времени.

Поэтому в результате действия внешней периодической силы долгое время совершаются колебания

(2.33)

где , (2.34)

(2.35)

Амплитуда колебаний зависит от частот внешней силы Щ и свободных колебаний щ_0.

Для Щ << щ₀,

Размещено на http://www.allbest.ru/

, (2.36)

Щ >> щ₀,

, (2.37)

.

Для частоты внешней силы

(2.38)

наступает резонанс, когда амплитуда максимальна и зависит от коэффициента затухания и частоты свободных колебаний

(2.39)

2.5 Принцип относительности Галилея. Неинерциальные системы отсчета

Размещено на http://www.allbest.ru/

Механическое движение в инерциальных системах отсчета одинаково и никаким опытом невозможно установить, покоится данная система отсчета или движется прямолинейно и равномерно.

Рассмотрим систему отсчета , движущуюся относительно инерциальной системы X,Y,Z с постоянной скоростью (рис. 2.9). Пусть в начальный момент времени t = 0 системы отсчета совпадают. При движении системы отсчета Х`Y`Z`, радиус-вектор материальной точки в момент времени t в системе X,Y,Z равен

, (2.5)

где - вектор перемещения системы по оси OX.

Продифференцируем полученное соотношение и запишем соотношение для скорости м.т. в системе X,Y,Z

(2.40)

Равенство (2.41) называется правилом сложения скоростей. Ускорения материальной точки в системах отсчета, движущихся относительно друг друга прямолинейно с постоянной скоростью будут равны:

(2.41)

На м.т. в системе X,Y,Z действует сила а в системе Х`Y`Z` . Из-за равенства ускорений следует, что эти силы равны. Следовательно, законы динамики не изменяются при переходе от одной системы к другой, а система отсчета, находящаяся в покое или движущаяся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы, сама является инерциальной. Рассмотрим другой случай, когда система движется относительно системы X,Y,Z со скоростью изменяющейся со временем u(t). В соответствии с правилом сложения скоростей

. (2.42)

Продифференцируем последнее равенство по времени

(2.43)

где а₀ - ускорение движущейся системы отсчета, Х`Y`Z`,

а' - ускорение материальной точки в ней.

Ускорение материальной точки в системах отсчета, движущихся относительно друг друга с изменяющейся скоростью неодинаково, и, следовательно, неодинаковы и силы , действующие на нее.

Если обозначить силу, действующую на материальную точку массой m через , то в системе ее ускорение

. (2.44)

При умножении левой и правой части последнего равенства на m получим

,

где при ,

.

Из последних соотношений следует, что при отсутствии силы , материальная точка в движущейся системе все равно будет двигаться с ускорением , то есть так, как если бы на нее действовала сила. Эта сила называется силой инерции, обозначается .

Систему отсчета, движущуюся с ускорением относительно инерциальной системы, называют неинерциальной.

Для неинерциальных систем отсчета справедливо соотношение

. (2.45)

2.6 Для самостоятельного изучения

2.6.1 Понятие силы. Равнодействующая сила

Сила - это векторная величина, характеризующая взаимодействие тел, в результате которого они приобретают ускорение или деформируются.

Если на тело действуют несколько сил, то каждая из них сообщает ему ускорение независимое от других сил (принцип независимости действия сил или принцип суперпозиции).

Действие на тело n сил эквивалентно действию одной равнодействующей силы . Направление равнодействующей силы определяется векторным (геометрическим) сложением всех сил , действующих на тело.

. (2.46)

Модуль равнодействующей силы

, (2.47)

где , , - проекции равнодействующей силы на координатные оси, равные алгебраической сумме соответствующих проекций ее составляющих сил.

2.6.2 Силы гравитационного взаимодействия

Гравитационное взаимодействие проявляется в притяжении друг к другу тел. Объясняется это взаимодействие наличием гравитационного поля вокруг каждого тела.

Модуль силы гравитационного взаимодействия между двумя материальными точками массой m₁ и m₂ расположенными на расстоянии r друг от друга

(2.49)

где F_1,2,F_2,1- силы взаимодействия направленные вдоль прямой соединяющей материальные точки, G = 6,67 - гравитационная постоянная.

Соотношение (2.3) носит название закона всемирного тяготения открытого Ньютоном.

Гравитационное взаимодействие справедливо для материальных точек и тел со сферически-симметричным распределением масс, расстояние между которыми отсчитывается от их центров.

Если принять одно из взаимодействующих тел Землю, а второе - тело с массой m, находящееся вблизи или на её поверхности, то между ними действует сила притяжения

, (2.50)

где M₃, R₃ - масса и радиус Земли.

Соотношение - постоянная величина равная 9,8 м/с², обозначается g, имеет размерность ускорения и называется ускорением свободного падения.

Произведение массы тела m и ускорения свободного падения , называется силой тяжести

. (2.51)

В отличие от силы гравитационного взаимодействия модуль силы тяжести зависит от географической широты места расположения тела на Земле. На полюсах , а на экваторе уменьшается на 0,36%. Это различие обусловлено тем, что Земля вращается вокруг своей оси.

С удалением тела относительно поверхности Земли на высоту уменьшается сила тяжести

, (2.52)

где - ускорение свободного падения на высоте h от Земли.

Масса в формулах (2.3-2.6) является мерой гравитационного взаимодействия.

Если подвесить тело или положить его на неподвижную опору, оно будет покоиться относительно Земли, т.к. сила тяжести уравновешивается силой реакции, действующей на тело со стороны опоры или подвеса.

Сила реакции - сила, с которой действуют на данное тело другие тела, ограничивающие его движение.

Сила нормальной реакции опоры приложена к телу и направлена перпендикулярно плоскости опоры.

Сила реакции нити (подвеса) направлена вдоль нити (подвеса) (рис. 2.10).

Вес тела - сила, с которой тело давит на опору или растягивает нить подвеса и приложена к опоре или подвесу.

Вес численно равен силе тяжести если тело находится на горизонтальной поверхности опоры в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. В других случаях вес тела и сила тяжести не равны по модулю.

2.6.3 Силы трения

Силы трения возникают в результате взаимодействия движущихся и покоящихся тел, соприкасающихся друг с другом.

Различают внешнее (сухое) и внутреннее (вязкое) трение.

Внешнее сухое трение делится на:

Размещено на http://www.allbest.ru/

трение покоя;

– трение скольжения;

– трение качения.

Перечисленным видам внешнего трения соответствуют силы трения, покоя, скольжения, качения.

Сила трения покоя действует между поверхно-стями взаи-мо-действую-щих тел, когда величина внеш-них сил недостаточна, чтобы вызвать их от-носи-тель-ное перемещение.

Если к телу, находящемуся в соприкосновении с другим телом, приложить возрастающую внешнюю силу , параллельную плоскости соприкосновения (рис. 2.2.а), то при изменении от нуля до некоторого значения движение тела не возникает. Тело начинает движение при FF_тр.max.

Максимальная сила трения покоя

, (2.53)

где- коэффициент трения покоя, N - модуль силы нормальной реакции опоры.

Коэффициент трения покоя можно определить экспериментально, нахождением тангенса угла наклона к горизонту поверхности, с которой начинает скатываться тело под действием его силы тяжести.

При F > происходит скольжение тел относительно друг друга с некоторой скоростью (рис. 2.11 б).

Сила трения скольжения направлена против скорости . Модуль силы трения скольжения при малых скоростях движения вычисляется в соответствии с законом Амонтона

, (2.54)

где - безразмерный коэффициент трения скольжения, зависящий от материала и состояния поверхности соприкасающихся тел, и всегда меньше .

Сила трения качения возникает тогда, когда тело, имеющее форму цилиндра или шара радиусом R, катится по поверхности опоры. Численное значение силы трения качения определяется в соответствии с законом Кулона

, (2.55)

где k [м] - коэффициент трения качения.

2.6.4 Сила вязкого трения и сопротивления среды

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сила вязкого трения возникает между слоями одного и того же сплошного тела (жидкости или газа). Сила вязкого трения за-висят от относительной скорости смещения отдельных слоев газа или жидкости друг относительно друга. Например, вязкое трение возникает при течении жидкости или газа по трубам со скоростью (рис. 2.3).

Скорость слоев жидкости уменьшается при приближении их к стенкам трубы. Отношение разности скоростей в двух близких слоях, расположенных на расстоянии , называется средним градиентом скорости.

В соответствии с уравнением Ньютона модуль средней силы вязкого трения

(2.54)

где -коэффициент вязкости, S - площадь взаимодействующих слоев среды, расположенных на расстоянии ?x друг от друга.

Коэффициент вязкости зависит от агрегатного состояния и температуры вещества.

Коэффициент вязкости

Вещество	Вода	Водяной пар	Машинное масло	Воздух
t0C	20	100	30	20
	1,0	0,013	200	0,018

Сила сопротивления возникает при движении твердых тел в жидкости или газе. Модуль силы сопротивления пропорционален плотности среды , площади поперечного сечения движущегося тела S и квадрату его скорости

, (2.55)

Размещено на http://www.allbest.ru/

где [кг/м] - коэффициент сопротивления среды.

Тело, движущееся в среде испытывает действие силы вязкого трения (F_тр) и силы сопротивления (F_сопр). При небольших скоростях сила сопротивления меньше силы вязкого трения, а при больших - значительно превосходит ее (рис. 2.4).

При некотором значении скорости силы F_тр и F_сопр становятся равными по модулю.

Сила сопротивления среды зависит от формы движущегося тела. Форму тела, при которой сила сопротивления мала, называют обтекаемой. Ракетам, самолетам, автомобилям и другим машинам, движущимся с большими скоростями в воздухе или в воде, придают обтекаемую, каплеобразную форму

2.6.5 Сила упругости. Закон Гука

Размещено на http://www.allbest.ru/

При действии на тело внешних сил, возникает упругая и неупругая деформация.

При упругой деформации тело после прекращения действия внешних сил полностью восстанавливает свою форму и размеры. При неупругой деформации форма и размеры тела не восстанавливаются.

Упругая деформация пружины

При растяжении пружины (рис 2.14) на величину относительно её равновесного состояния (х₀ = 0) возникает упругая сила , которая возвращает пружину в прежнее положение после прекращения действия внешней силы. Модуль упругой силы, возникающей при линейном растяжении или сжатии пружины определяется законом Гука.

, (2.56)

где - проекция силы упругости на ось x, знак минус учитывает противоположные направления силы и перемещения пружины .

Деформация стержня

Стержень длинной l₀ и сечением S при действии сил и перпендикулярно его торцам в противоположных направлениях деформируется (растягивается или сжимается) (рис 2.15). Деформация стержня определяется относительной величиной

(2.57)

где ?l = l - l₀ , l-длинна стержня после деформации.

Рис. 2.15

Опыт показывает, что

, (2.58)

где б - коэффициент упругости стержня,

=у - нормальное напряжение, измеряемое в (паскаль).

Наряду с коэффициентом упругости для характеристики упругих свойств тел при нормальных напряжениях используют модуль Юнга Е = 1/, который, как и напряжение, измеряется в паскалях.

Относительное удлинение (сжатие) и модуль Юнга в соответствии с равенствами (2.13 и 2.14) определяется из соотношений:

, . (2.59)

Модуль Юнга равен такому нормальному напряжению, при котором деформация стержня l равна его первоначальной длине l₀. В действительности при таких напряжениях происходит разрушение стержня.

Решая уравнение (2.58) относительно F, и подставляя вместо = l/l₀, = 1/Е, получим формулу для определения силы деформирующей стержень с сечением S на величину

, (2.60)

где - постоянный для стержня коэффициент, который в соответствии с законом Гука соответствует коэффициенту упругости стержня при его сжатии и растяжении.

При действии на стержень касательного (тангенциального) напряжения

силы F₁ и F₂ приложены параллельно противоположным граням площадью S прямоугольного стержня вызывают деформацию сдвига (рис 2.16).

Рис. 2.16

Если действие сил равномерно распределено по всей поверхности соответствующей грани, то в любом сечении, параллельном этим граням, возникает тангенциальное напряжение . Под действием напряжений тело деформируется так, что одна грань сместиться относительно другой на некоторое расстояние а. Если тело мысленно разбить на элементарные, параллельные рассматриваем граням слои, то каждый слой окажется сдвинутым относительно соседних с ним слоев.

При деформации сдвига любая прямая, первоначально перпендикулярная к слоям, отклонится на некоторый угол ц. тангенс которого называется относительным сдвигом

, (2.61)

где b - высота грани. При упругих деформациях угол ц очень мал, поэтому можно считать, что и .

Опыт показывает, что относительный сдвиг пропорционален тангенциальному напряжению

, (2.62)

где G - модуль сдвига.

Модуль сдвига зависит только от свойств материала и равен тангенциальному напряжению при угле ц = 45?. Модуль сдвига так же, как и модуль Юнга измеряется в паскалях (Па). Сдвиг стержня на угол вызывает сила

=G S ц, (2.63)

где G·S - коэффициент упругости стержня при деформации сдвига.

Колебания математического и физического маятников

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математический маятник

Математический маятник представляет собой материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, например, небольшой шарик, подвешенный на тонкой длинной нити (рис. 3.8). Отклонение маятника от положения равновесия определяется углом . При отклонении маятника от положения равновесия действует момент силы , модуль которого равен , где - масса шарика;

- длина нити. Направление момента силы таково, что он стремится вернуть маятник в положение равновесия, т.е. по своему действию момент аналогичен упругой силе. Поэтому по аналогии с колебанием груза на пружине противоположный знак следует приписать угловому смещению .

Тогда вращательный момент .

Вращательный момент, действующий на маятник, сообщит маятнику угловое ускорение . Уравнение движения маятника

(2.64)

где J=ml²,

Для малых колебаний =

(2.65)

Обозначим и запишем уравнение колебания математического маятника

(2.66)

Результат решения уравнения (3.38) аналогичен уравнению (3.14) для колебания груза на пружине:

 (2.67)

Период и частота колебаний математического маятника

, (2.68)

(2.70)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Физический маятник

Физический маятник состоит из твёрдого тела, совершающего малые колебания.

При отклонении тела от положения равновесия возникает момент силы тяжести М=mglsinб, где l - расстояние между точкой подвеса О и центром инерции С (рис.3.9).

Уравнения колебаний физического маятника:

(2.71)

где , J- момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку подвеса О.

Период колебаний физического маятника:

(2.72)

Из сравнения формул (3.43) и (3.40) следует, что математический маятник с приведённой длиной и с подвесом в точке О будет иметь такой же период колебаний, как и физический.

2.7 Задания для самоконтроля знаний

1. Определить скорость центра инерции автомобиля массой 3т и количеством движения 6·10 кг м/с.

2. Определить ускорение автомобиля массой 3т, если его импульс 6·10кг м/с в течение одной минуты уменьшился в два раза.