Поведение равновесных и неравновесных носителей в кристалле
Распределение электронов в твёрдом теле по энергиям и распределение Ферми. Квазистационарные уровни Ферми. Равновесное распределение электронов по энергиям. Величина и физический смысл постоянной, которая входит в функцию распределения Ферми-Дирака.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.03.2017 |
| Размер файла | 363,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Контрольная работа
Поведение равновесных и неравновесных носителей в кристалле
Содержание
1. Распределение электронов в твёрдом теле по энергиям (распределение Ферми)
2. Проводимость и уровень Ферми
3. Квазистационарные уровни Ферми (квазиуровни Ферми)
4. Демаркационные уровни
Литература
1. Распределение электронов в твёрдом теле по энергиям (распределение Ферми)
Установим распределение электронов по энергиям. Нужно найти, сколько электронов обладает энергией от значения W до значения W+dW.
В статистике Ферми-Дирака полагается, что электроны неразличимы, т.е. обмен состояниями между і-тым и k-тым электронами не изменяет состояния системы в целом. Выполняется принцип Паули [на одном энергетическом уровне может находиться лишь 2 электрона с противоположными спинами].
Пусть система имеет N электронов. Из них dn находится в состоянии с энергиями от W до W+dW. Вероятность того, что dn электронов находится в этом состоянии, равна отношению числа электронов dn, в действительности имеющих энергию в интервале W до W+dW, к числу всех электронов системы
dw(W) = (1)
Пусть в интервале энергии dW содержится dZ электронных состояний (уровней). Из них лишь dn ? dZ занято электронами. Отношение = f(w) является функцией энергии и называется функцией распределения. Эта величина выражает вероятность того, что какое-либо состояние в интервале dW занято электроном.
Подставим в эту формулу значение dn, определяемое из выражения (1)
dn = dw· N.
Получаем
f(w) = N (2)
Зная f(w), мы будем знать равновесное распределение электронов по энергиям.
Рассмотрим систему из n1 электронов, находящихся в состоянии с энергией W1 (от W1 до W1+dW1) и n2 электронов, находящихся в состоянии с энергией W2 (от W2 до W2+dW2).
Энергии W1 соответствует число состояний Z1;
Энергии W2 соответствует число состояний Z2.
n1 электронов можно разместить по Z1 состояниям (уровням) w1 способами, которые определяются числом сочетаний из Z1 элементов по n1. Это число сочетаний представляется в виде дроби, числитель которой есть число перестановок из Z1 элементов, а знаменатель - произведение чисел перестановок из n1 и Z1 - n1 элементов:
w1 =
w1 - по сути вероятность заполнения Z1 состояний n1 электронами.
n2 электронов можно разместить по Z2 состояниям w2 способами:
w2 = =
Это - вероятность заполнения Z2 состояний n2 электронами.
Рассмотрим вероятность для общей системы, т.е. число способов, соответствующих одновременному заполнению Z1 + Z2 состояний n1 + n2 электронами. Она равна произведению
w = w1· w2 =
Обозначим Z1 - n1 = p1 - число дырок
Z2 - n2 = p2
Тогда запишем w = (3)
Пусть в результате некоторого внешнего возмущения часть электронов dn1 из первой системы перешла во вторую систему. Число электронов в первой системе уменьшается на dn1, а во второй системе увеличивается на dn2. А дырок - наоборот - в первой системе увеличивается на dn1, а во второй - уменьшается на dn2, т.е.
- dn1 = dn2 = dp1 = - dp2
В результате этого энергия системы изменится на величину
dW = (W1 - W2)dn1
При этом изменится и вероятность распределения w.
Найдём изменение логарифма вероятности в результате этого процесса. Прологарифмируем (3):
ln w = ln Z1! + ln Z2! - ln n1! - ln p1! - ln n2! - ln p2!
Величины n1, n2, Z1 и Z2 могут принимать только целочисленные значения.
Перед тем как дифференцировать это соотношение, отметим следующее:
Пусть имеется функция ln x! и х очень велико. Поскольку считаем, что х принимает только целочисленные значения, то dx=1. Имеем
= = ln = ln = ln (x + dx) ? ln x
dx=1 x велико
Итак, d (ln x!) = ln x · dx
Учитывая это, продифференцируем выражение для ln w
d (ln w) = ln Z1 dZ1 + ln Z2 dZ2 - ln n1 dn1 - ln n2 dn2 - ln p1 dp1 - ln p2 dp2
dZ1 и dZ2 - приращение числа состояний. Но мы их не меняли, поэтому
dZ1 = 0 и dZ2 = 0. Поскольку dn1 = dp2 = - dp1 = - dn2, то запишем выражение, используя обозначение dn1
= - ln n1 dn1 + ln n2 dn1 + ln p1 dn1 - ln p2 dn1 = ln dn1 ;
Поскольку dW = (W1 - W2) dn1, то, поделив почленно последнее выражение на это, получим
= ln = в обозначим
Тогда получим вW1 - вW2 = ln
Или вW1 - вW2 = ln - ln
Сгруппируем
вW1 - ln = вW2 - ln
Для двух подсистем выражения одинаковы, т.е. можем записать, что вообще для любого числа подсистем уровней
вW - ln = сonst = в (4)
После вычленения из константы величины в, остаток по размерности - это энергия, обозначим её через .
Вспомним связь между Z и n: n = Z · f(W)
Кроме того, можем записать p = Z - n = Z - Z f = Z (1 - f)
Подставляя значения n и p в (4), получим:
вW - ln= в ;
вW - ln= в
Или: ln= в(W - ); = e в(W - )
Либо - 1 = e в(W - )
Отсюда = e в(W - ) + 1
Тогда f(W) = (5)
Итак, мы нашли выражение для функции Ферми - Дирака !
Нужно определить величину и физический смысл постоянной в, входящей в функцию распределения Ферми - Дирака.
Согласно I-го начала термодинамики
dQ = dW + dA
Количество полученной Приращение внутренней Произведённая
системой теплоты энергии системы системой работа
При этом доказано, что теплота, получаемая системой, связана с возрастанием энтропии соотношением
dQ = T ·dS
где T - абсолютная температура, dS - изменение энтропии. Учитывая это:
dA = T dS - dW
Т.к. процесс изотермический, то Т = const и в этом случае мы можем записать
dA = - d(W - TS) = - dF
где F = W - TS называется свободной энергией системы, потому что она может быть превращена в работу. В состоянии равновесия свободная энергия должна быть минимальной, т.е.
dF = dW - T dS = 0
Тогда dW = T dS
Известно из статистической физики, что энтропия
S = k ln w
где k - постоянная Больцмана, w - вероятность состояния.
Учитывая это, запишем
dW = kT d(ln w) отсюда =
Тогда в = =
Учитывая это, для случая равновесного распределения электронов по энергиям функция Ферми-Дирака запишется в виде
f (W) = (6)
Эта функция, как уже было сказано, выражает вероятность заполнения электронами энергетических состояний с энергией W.
Величина , как видно из формулы (6), имеет размерность энергии. Поэтому на энергетической диаграмме она характеризует определённый уровень, который называют уровнем химического потенциала или уровнем Ферми.
Исследуем графически, как зависит функция распределения от энергии.
По оси ординат откладываем энергию W. По оси абсцисс - функцию распределения f(W). Величину отложим в центре запрещённой зоны.
I. T = 0 oK
а) При W > значение > ? ,
е? > ? и величина f (W) > 0;
б) W < значение > - ? ,
е-? > 0 и величина f(W) > 1.
Т.о., при абсолютном нуле все состояния ниже уровня Ферми заполнены, а выше уровня Ферми - свободны. Функция распределения переходит скачком от значения f (W) = 0 до значения f(W) = 1 при W = .
II. Т ? 0 a) W - » kT ; e? = ? ; f(W) = > 0;
б) W- « kT ; e-? = 0; f(W) = = 1;
в) W = ; e0 = 1; f(W) = = .
Размещено на http://www.allbest.ru/
При значениях энергии, больших энергии, соответствующей уровню Ферми, f(W) принимает значения
W > 0 < f(W) < ,
При энергиях, меньших
W < < f(W) < 1.
Чем выше температура (Т2 > Т1), тем более “расплывается” функция распределения.
Как видим из графика, уровню Ферми всегда соответствует состояние, вероятность заполнения которого равна .
С ростом расстояния какого-либо уровня над уровнем Ферми, вероятность его заполнения экспоненциально убывает.
При комнатной температуре, т.е. при Т ? 300 оК kT ? 0,025 эВ. Величина же W - ? 1 эВ для полупроводников. Исходя из этого, для полупроводников обычно
W - » kT .
Поэтому в формуле (6) можем пренебречь единицей, и тогда она запишется в виде
f(W) = (7)
Размещено на http://www.allbest.ru/
Т.е. получим распределение Максвелла - Больцмана. Этому распределению cоответствуют места захода в зоны:
Определим число состояний электронов в кристалле в зоне проводимости, к которым относятся значения энергии в интервале от W до W + dW .
Число состояний, приходящихся на единичный интервал энергий (плотность состояний)
g(W) =
Предварительно вспомним следующее. Известна формула
W =
где P - импульс электрона, mn - эффективная масса электрона.
Отсюда следует, что данному значению энергии соответствует определённая величина импульса, т.е. сфера в пространстве импульсов. Энергии W соответствует сфера радиуса P, а энергии W + dW соответствует сфера радиуса P + dP. Изменению энергии от W до W + dW соответствует разность объёмов указанных сфер. Объём шарового слоя толщиной dP равен
Размещено на http://www.allbest.ru/
V = р(P + dP)3 - рP3 = рP3 + 4рP2 dP + 4рP dP2 + р dP3 - рP3
Если пренебречь членами, содержащими dP2 и dP3, то получим
V = 4рP2 dP.
Итак, найдём число состояний в указанном сферическом слое. Для этого объём слоя разделим на объём элементарной ячейки. Объём элементарной ячейки в Р-пространстве для кристала единичного объёма (из курса физики твёрдого тела) равен h3. Тогда для кристалла произвольных размеров
v =
где h - постоянная Планка, L - длина (размер) кристаллической решётки.
Итак, число состояний
dZ = g(W) dW = = =
т.к. P = и dP = dW, то
=
Значит, получим
g(W) dW = 2р··(2mn)3/2·dW = A W1/2 dW
обозначим = А
Отсюда g(W) = A W1/2 (8)
Т.е. плотность состояний возрастает прямо пропорционально энергии в степени . Плотность заполненных состояний (т.е. число электронов) на расстоянии W от дна зоны проводимости равно
g(W) ·f(W) =
Подставим значение g(W) из (8), а также f(W) из (7). Причём учтём, что, так как энергия электронов превышает энергию нижнего края зоны проводимости, формула (7) в данном случае запишется как
f(W) = .
Получим:
= A W1/2 (9)
Здесь W - переменная величина, которая отсчитывается от дна зоны проводимости.
Определим значение энергии, вблизи которой плотность электронов максимальна. Для этого находим максимум функции (9):
Размещено на http://www.allbest.ru/
AW -1/2 - A W1/2 = 0
Или AW -1/2 = A W1/2
откуда W -1/2 = W1/2 .
Окончательно Wmax=.
Следовательно, плотность заполненных состояний максимальна на расстоянии над дном зоны проводимости.
При термическом возбуждении электроны не размазываются, а концентрируются вблизи дна зоны проводимости.
Подсчитаем теперь общее число электронов, находящихся в зоне проводимости, для единицы объёма кристалла. Оно равно
плотность состояний с
энергией в интервале W,W+dW
n = 2 g(W) ·f(W) dW
вероятность их заполнения
L3 - это объём кристалла в см3. Множитель 2 появляется, т.к. на каждом энергетическом уровне, согласно принципа Паули, может находиться по 2 электрона.
Подставим сюда значение g(W) и f(W). При этом учтём, что по мере роста энергии W функция f(W) быстро стремится к нулю. Поэтому верхний предел интегрирования можно сменить на бесконечность.
n = =
Вынесем всё, что не зависит от энергии W за знак интеграла и умножим и поделим на (kT)3/2
= 4р=4р
обозначим = x ; d = dx
тогда = =
табличный интеграл, он равен
Итак, учитывая это
n = 4р
Окончательно получим, что концентрация электронов в зоне проводимости
n = 2 (10)
Аналогично предыдущему можно подсчитать равновесную плотность дырок в валентной зоне.
Вероятность того, что уровень с энергией W не будет занят электроном (т.е. занят дыркой) определяется как
1 - f(W) = 1 - = =
Домножим числитель и знаменатель на , получим
= =
По аналогии с предыдущим, плотность свободных дырок
(11)
Обозначим Nc = 2. Рассмотрим размерность выражения, стоящего перед экспонентой в формулах для n и p.
[m] = г ; [k] = ; [T] = град; [h] = эрг·сек
Поэтому [Nc] = =
Но эрг = (т.к. эрг = дина·см = = )
Поэтому [Nc] = = =
Таким образом, выражение (10) представляет собой произведение некоторой величины Nc (с размерностью концентрации) на множитель
=
где Efn - абсолютная величина энергетического расстояния от уровня Ферми до дна зоны проводимости.
Следовательно, при вычислении концентрации мы можем заменить всю зону проводимости энергетическими состояниями, совпадающими с её нижним краем, причём концентрация таких состояний должна быть равной Nc. В связи с этим Nc называется эффективной плотностью электронных состояний в зоне проводимости.
Аналогично этому величину
Pv = 2
называют эффективной плотностью дырочных состояний в валентной зоне.
Итак, если помнить, что - Wv = Efp представляет собой абсолютную величину энергетического интервала от уровня Ферми до верхнего края валентной зоны, то уравнения (10) и (11) можно представить в виде:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
2. Проводимость и уровень Ферми
А) Собственная проводимость
Считаем, что запрещённая зона свободна от примесных уровней и
свободные электроны и дырки появляются за счёт теплового переброса носителей из зоны в зону. В этом случае n = p, т.е.
Откуда
Прологарифмируем
Отсюда
Если эффективные массы носителей равны (), тогда
Размещено на http://www.allbest.ru/
Т.е. уровень Ферми расположен примерно в центре запрещенной зоны (т.к. есть среднее арифметическое между и ).
Подставим это значение в формулу для концентрации электронов (10). Находим для случая , что
(13)
Размещено на http://www.allbest.ru/
- плотность свободных электронов при собственной проводимости,
- ширина запрещенной зоны.
Из формулы (13) видно, что зависимость
изображается прямой линией с наклоном, равным .
Так можно определить ширину запрещенной зоны.
Если , то отношение > 1 и .
Тогда уровень Ферми проходит ближе к V-зоне, т.к. .
Если , то отношение < 1 и и , т.е. уровень Ферми проходит ближе к с-зоне.
Б) Примесная проводимость
Если в полупроводнике имеются примесные уровни, энергетическое расстояние которых от дна зоны проводимости гораздо меньше ширины запрещённой зоны ,то концентрация электронов в зоне проводимости определяется выражением
n = Nc ,
но теперь зависит от концентрации примеси.
Аналогично, концентрация дырок определяется старой формулой
p = Pv,
где зависит от концентрации примеси.
Следовательно ,
где - концентрация носителей в собственном полупроводнике.
Значит: Произведение плотности свободных электронов на плотность
свободных дырок в полупроводнике не зависит от концентрации примеси.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рассмотрим полупроводник, содержащий N донорных центров, расположенных на энергетическом расстоянии E ниже дна с-зоны.
На этих центрах содержится n электронов. Пусть ширина запрещенной зоны велика и электроны проводимости могут возникать только благодаря тепловой ионизации доноров.
Изменение концентрации носителей в зоне проводимости происходит за счёт двух процессов:
1) теплового заброса электронов с доноров и рекомбинации электронов и пустых доноров.
Интенсивность процесса возбуждения может быть записана в виде где - коэффициент теплового заброса в С-зону.
Как было показано ранее (см. Гл.1, § 2), число соударений за одну секунду одного электрона с рекомбинационными центрами концентрации Pr равно vSnPr. Если же концентрация электронов n, то число соударений будет vSPrn. В данном случае число рекомбинационных центров Pr равно концентрации незаполненных электронами доноров, т.е. N - n. Поэтому интенсивность
рекомбинации (т.е. число актов рекомбинации в единицу времени в единице объема) будет равно
vSn(N - n)
Поэтому изменение концентрации носителей в зоне проводимости
В стационарном состоянии . Поэтому
(14)
Или:
Откуда
С другой стороны в тепловом равновесии число заполненных электронами донорных уровней n равно произведению числа этих уровней N на функцию распределения f, т.е.
nd = Nf(w),
где ,
- энергетическое расстояние между уровнями Ферми и уровнем донора.
Приравнивая правые части выражений для n, получим
Разделив числитель и знаменатель правой части на :
Тогда , откуда
Подставляя сюда значение n равное:
получим:
Но - расстояние от донорного уровня от дна зоны проводимости.
Поэтому можем записать, что коэффициент теплового заброса
Величина имеет размерность сек-1, т.е. размерность частоты, и поэтому называется частотным фактором. Когда электрон «сидит» на донорном уровне, он находится в потенциальной яме. Его волновая функция гармоническая. V раз в единицу времени он подходит к стенкам, т.е. пытается «выскочить». Вероятность освобождения его тем больше, чем больше значение частотного фактора.
Найдем выражение, определяющее положение уровня Ферми. Как мы уже говорили, в случае равновесия интенсивность возбуждения равна интенсивности рекомбинации, т.е. [запишем формулу (14)]
Число неионизованных доноров (доноров, заполненных электронами nd) можно выразить как
Кроме того, разность между концентрацией доноров и числом электронов на них можно представить так
Учитывая это, записанное равенство можно представить в таком виде:
В случае когда n <<, можно записать
Подставляя значения и n, получим:
>
Прологарифмируем:
Откуда
Отсюда (15)
Учитывая, что Nc = 2, выражение (15) можно записать в виде:
Посмотрим, как зависит от температуры, т.е. как зависит от температуры положение уровня Ферми.
Размещено на http://www.allbest.ru/
А) При Т=0: , т.е. уровень ферми проходит посередине между донорным уровнем и дном c-зоны.
Б) При малых температурах когда < 1, логарифм этого выражения меньше нуля. Тогда . Значит , т.е. уровень Ферми поднимается вверх.
В) Температура достигает такого значения, что > 1, тогда > 0. А значит , т.е. уровень Ферми смещается вниз.
Подставляя в выражение n = Nc значение из формулы (15), получим концентрацию электронов и ее зависимость от концентрации и энергетического положения доноров.
Или
Следовательно, , как и раньше, представляет собой прямую линию с наклоном .
3. Квазистационарные уровни Ферми (квазиуровни Ферми)
Для равновесных носителей
n = Nc , p = Pv, .
Если считать, что неравновесные носители настолько быстро приходят в равновесие с решёткой, что к ним применимо распределение Ферми, то при освещении:
n = Nc , p = Pv
где - энергетическое расстояние от т.н. электронного квазиуровня Ферми до дна зоны проводимости, а - энергетическое расстояние от т.н. дырочного квазиуровня Ферми до потолка валентной зоны.
Логарифмируем
;
отсюда ;
Суммируем:
Вспомним, что произведение концентрации электронов на концентрацию дырок
Следовательно
Отсюда
Выражение для суммы квазиуровней Ферми можно записать в виде (разделив и умножив правую часть на ):
Т.е.
Следовательно, сумма энергетических расстояний квазиуровней Ферми от соответствующих зон меньше ширины запрещенной зоны. Это говорит о том, что существует два квазиуровня Ферми: для электронов и для дырок.
Й. Как было показано в предыдущем случае, в темноте сумма расстояний уровней Ферми (см. рисунок).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Темнота Слабое освещение Сильное освещение
ЙЙ. Слабое освещение, концентрация неравновесных носителей (np) незначительно больше концентрации равновесных , поэтому невелико. Расстояние между квазиуровнями Ферми мало.
ЙЙЙ. Сильное освещение, , - велико, расстояние между квазиуровнями Ферми велико. Т.о., при увеличении интенсивности света расстояние между квазиуровнями Ферми увеличивается; они приближаются к соответствующим зонам.
Посмотрим, как зависит положение квазиуровней Ферми от температуры.
Анализировать выражение при определении температурной зависимости не корректно, т.к. также резко растёт с её увеличением, поэтому рассматриваем выражение n = Nc .
По определению ;
При освещении .
(или ) резко зависит от температуры. А не зависит от температуры. Обычно ~.
Таким образом, слабо зависит от температуры, поэтому ~ кТ.
Т.е. с ростом температуры растёт, т.е. электронный квазиуровень Ферми удаляется от С-зоны. Аналогично с ростом Т дырочный квазиуровень Ферми удаляется от V-зоны. Т.е. расстояние между квазиуровнями убывает.
4. Демаркационные уровни
Примесные уровни могут играть роль либо уровней прилипания, либо центров рекомбинации.
Центром прилипания (ловушкой) называется центр, находясь на котором захваченные носители имеют бульшую вероятность перейти снова в свободное состояние в результате теплового возбуждения, чем рекомбинировать с носителями противоположного знака.
Центры рекомбинации - это центры, на которых захваченный носитель имеет бульшую вероятность рекомбинировать с носителем противоположного знака, чем снова перейти в свободное состояние.
Для разделения центров прилипания и центров рекомбинации в полупроводниках с большой шириной запрещенной зоны (изоляторах) вводятся так называемые демаркационные уровни.
Пусть у нас имеется уровень, лежащий на глубине от дна зоны проводимости. Концентрация электронов на этих центрах . Термическое возбуждение электронов с этого уровня в С-зону определяется выражением
где - сечение захвата электронов центром.
Рекомбинация дырок с электронами на этих центрах:
где - сечение захвата дырки центром, на котором находятся электроны.
Если рассматриваемый уровень является ловушкой, то вероятность теплового заброса намного больше вероятности рекомбинации
Если уровень является рекомбинационным центром, то наоборот:
Если указанный центр расположен на энергетической глубине, равной глубине залегания демаркационного уровня, т.е. , то тогда
Т.е. электрон, находящийся на уровне с энергией, равной энергии демаркационного уровня, имеет равные вероятности быть термически заброшенным в С-зону и рекомбинировать со свободной дыркой.
Найдём связь между положением электронного демаркационного уровня и электронного квазиуровня Ферми. Подставляя вместо его значение
(т.к. ),
получим
>
Прологарифмируем:
.
Отсюда .
Аналогично получим соотношение для дырочного демаркационного уровня:
.
Т.к. , то: .
.
Отсюда:
Или: .
Итак, для данного типа центров с поперечными сечениями захвата Sn и Sp мы имеем два демаркационных уровня.
Вычертим зонную схему, содержащую квазиуровни Ферми и демаркационные уровни (учитываем, что согласно формулам, и для электронов и для дырок квазиуровень Ферми проходит выше демаркационного уровня).
Можно разбить запрещенную зону на пять областей со следующими свойствами:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Область I. Электронные ловушки находятся в термическом равновесии с С-зоной.
Область II. Уровни, находящиеся в термическом равновесии с зоной проводимости, но значительно заняты электронами т.к. находятся ниже , следовательно, имеющие тенденцию стать рекомбинационными центрами.
В общем: области I и II являются областями электронных ловушек.
Область III. Рекомбинационные центры. Занятость их определяется кинетикой рекомбинации (тепловой баланс для них роли не играет).
Область IV. Уровни в этой области ещё являются центрами рекомбинации. Но они заполнены дырками слабо, т.к. находятся ниже , поэтому являются «плохими» центрами рекомбинации. Но и вероятность теплового обмена с V-зоной тоже мала.
Область V. Дырочные ловушки, находящиеся в тепловом равновесии с валентной зоной.
Следует ясно понимать, что т.к. положение демаркационного уровня зависит от величин и , которые определяются природой центров, то центрам различных типов, характеризующихся определенными значениями и , соответствуют разные демаркационные уровни.
Положение электронного квазиуровня Ферми зависит от концентрации свободных электронов. В то же время и положение демаркационного уровня для дырок тоже зависит от концентрации электронов. Поэтому можно получить соотношение между и .
Из определения дырочного демаркационного уровня
Подставив значение справа и сократив на p1v:
Прологарифмируем
Отсюда:
В этой формуле учтено
Pv = 2 и Nc = 2.
Подобное же соотношение существует между дырочным квазиуровнем Ферми и электронным демаркационным уровнем. Получим его.
Отсюда
Литература
1. Ансельм, А. И. Введение в теорию полупроводников / А.И. Ансельм. - Л.: Наука, 1978. - 616 c.
2. Ансельм, А. И. Введение в теорию полупроводников / А.И. Ансельм. - М.: Лань, 2008. - 624 c.
3. Ансельм, А.И. Введение в теорию полупроводников / А.И. Ансельм. - Москва: Огни, 1978. - 770 c.
4. Атья, М. Геометрия и физика узлов / М. Атья. - Москва: СПб. [и др.] : Питер, 1995. - 963 c.
5. Борисов, Е. Ключ к солнцу. Рассказы о полупроводниках / Е. Борисов, И. Пятнова. - Л.: Молодая Гвардия, 1997. - 304 c.
6. Данлэп, У. Введение в физику полупроводников / У. Данлэп. - М.: Издательство иностранной литературы, 2011. - 430 c.
7. Зельдович, Я.Б. Высшая математика для начинающих и её приложения к физике / Я.Б. Зельдович. - Москва: РГГУ, 1983. - 794 c.
8. Зельдович, Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников / Я.Б. Зельдович, И.М. Яглом. - Москва: ИЛ, 1982. - 108 c.
9. Иоффе, А.Ф. Избранные труды (том 2). Излучение, электроны, полупроводники: моногр. / А.Ф. Иоффе. - Москва: Наука, 1976. - 552 c.
10. Курчатов, И. В. И. В. Курчатов. Собрание научных трудов в 6 томах. Том 1. Ранние работы. Диэлектрики. Полупроводники / И.В. Курчатов. - Л.: Наука, 2005. - 576 c.
11. Ладыженская, О.А. Краевые задачи математической физики / О.А. Ладыженская. - Москва: Гостехиздат, 1975. - 810 c.
12. Левинштейн, М. Е. Знакомство с полупроводниками / М.Е. Левинштейн, Г.С. Симин. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 1984. - 240 c.
13. Левинштейн, М. Е. Знакомство с полупроводниками / М.Е. Левинштейн, Г.С. Симин. - М.: Институт компьютерных исследований, 2004. - 208 c.
14. Михлин, С.Г. Курс математической физики / С.Г. Михлин. - Москва: Высшая школа, 2005. - 947 c.
15. Новые полупроводниковые приборы: Химия, физика, техника полупроводников. - М.: Гостехиздат, 1975. - 748 c.
16. Ормонт, Б. Ф. Введение в физическую химию и кристаллохимию полупроводников / Б.Ф. Ормонт. - М.: Высшая школа, 1975. - 490 c.
17. Ректорис, К. Вариационные методы в математической физике и технике / К. Ректорис. - Москва: Высшая школа, 1985. - 363 c.
18. Слэтер, Дж. Диэлектрики. Полупроводники. Металлы / Дж. Слэтер. - М.: Мир, 2001. - 648 c.
19. Угай, Я. А. Введение в химию полупроводников / Я.А. Угай. - М.: Высшая школа, 1975. - 302 c.
20. Франк, Ф. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики (ч. 2) / Ф. Франк, Р. Мизес. - Москва: ИЛ, 1990. - 467 c.
21. Хорстхемке, В. Индуцированные шумом переходы: теория и применение в физике, химии и биологии / В. Хорстхемке, Р. Лефевр. - Москва: Мир, 1987. - 947 c.
22. Шаповалов, А.В. Введение в нелинейную физику / А.В. Шаповалов. - Москва: СИНТЕГ, 2002. - 435 c.
23. Шубин, М.А. Лекции об уравнениях математической физики / М.А. Шубин. - Москва: ИЛ, 2003. - 754 c.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Эффект Холла и магнетосопротивление в модели Друде. Высокочастотная электропроводность металла. Распределение Ферми-Дирака и его применение. Сравнительный анализ статистики Максвелла-Больцмана и Ферми-Дирака. Недостатки теории свободных электронов.
курсовая работа [723,0 K], добавлен 21.10.2014Парамагнетизм и ферромагнетизм в системе коллективизированных электронов. Рассмотрение явления диамагнетизма электронного газа. Изучение влияния температуры на распределение Ферми-Дирака. Ознакомление со статистиками Бозе-Эйнштейна и Максвелла-Больцмана.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 01.06.2014Функции классического идеального газа. Распределение атомов идеального газа в пространстве квантовых состояний. Распределения Ферми и Бозе. Сверхплотный ферми-газ и гравитационное равновесие звезд. Связь квантовых и классических распределений Гиббса.
контрольная работа [729,7 K], добавлен 06.02.2016Скорости газовых молекул. Понятие о распределении молекул газа по скоростям. Функция распределения Максвелла. Расчет среднеквадратичной скорости. Математическое определение вероятности. Распределение молекул идеального газа. Абсолютное значение скорости.
презентация [1,1 M], добавлен 13.02.2016Классификация веществ по электропроводности. Расчёт эффективной массы плотности состояний электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне, концентраций свободных носителей заряда. Определение зависимости энергии уровня Ферми от температуры.
курсовая работа [913,5 K], добавлен 14.02.2013Порядок и основные этапы взаимодействия электронов с веществом. Процесс рассеяния электронов, отличительные признаки упругих и неупругих столкновений. Метод Монте-Карло в задачах переноса частиц в веществе. Этапы алгоритма решения поставленной задачи.
реферат [84,4 K], добавлен 23.12.2010Равновесное состояние идеального газа. Краткая характеристика главных особенностей распределения Максвелла. Барометрическая формула, распределение Больцмана. Микро- и нанозагрязнения. Понятие о термодинамическом равновесии. Внутренняя энергия системы.
презентация [106,8 K], добавлен 29.09.2013Нулевые граничные условия. Зависимость энергии низших мод от времени в задаче Ферми-Пасты-Улама. Явление возвращаемости, эволюция системы. Начальное возбуждение в виде второй моды. Распад синусоидального профиля волны на солитоны. Неоднородная А-цепочка.
контрольная работа [822,4 K], добавлен 04.01.2014Расчет температурной зависимости концентрации электронов в полупроводнике акцепторного типа. Определение и графическое построение зависимости энергии уровня Ферми от температуры: расчет температур перехода к собственной проводимости и истощения примеси.
курсовая работа [3,1 M], добавлен 15.02.2013Методика численного решения задач нестационарной теплопроводности. Расчет распределения температуры по сечению балки явным и неявным методами. Начальное распределение температуры в твердом теле (временные граничные условия). Преимущества неявного метода.
реферат [247,8 K], добавлен 18.04.2011
