Теоретические основы электротехники

Размещено на http://allbest.ru

Теоретические основы электротехники

1.Расчёт токов во всех ветвях цепи

электрический цепь схема

L₂ = 49,75мГн; L₃= 500 мГн; R₂=25 Ом;

C₁=10 мкФ; С₂= 79,6 мкФ; С₃= 4 мкФ;

F= 80 Гц; e?₁= 566 cos(wt-90? ); e ? ?₁= 0;

e ?₃ = 705 sin(wt+180? )

1. На основании законов Кирхгофа составить в общем виде систему уравнений для расчёта токов во всех ветвях цепи, записав её в двух формах:

а) дифференциальной

б) символической

Угловая частота

щ=2рf=2рЧ80=502.4 рад/с

Сопротивление реактивных элементов в схеме

Х_L2= щL₂=25Ом

Х_L3= щL₃=251 Ом

Х_C1= 1/(щC₁)=199 Ом

Х_C2= 1/(щC₂)=25 Ом

Х_C3= 1/(щC₃)=4976.6 Ом

a)

б)

2. Определить комплексы, действующих значений токов во всех ветвях, воспользовавшись одним из методов расчёта линейных электрических цепей.

Рассчитаем комплексы действующих значений токов во всех ветвях, воспользовавшись методом узловых потенциалов.

В первую очередь, необходимо от мгновенных значений ЭДС перейти к комплексам действующих значений ЭДС. Переход осуществляется только от положительной синусоиду.

Любой узел схемы можно заземлить. Токораспределение при этом не изменится.

Комплексные сопротивления ветвей:

= -48954- 11125j

= -88425j+17450

= 79401- 39098j

= -96851+ 49327j

Определим комплексы токов в ветвях:

I₁ = =

I₂= =

I₃= =

3. По результатам, полученным в пункте 2 определить показания ваттметра двумя способами: а) с помощью выражения для комплексов тока и напряжения на ваттметре; б) по формуле U·I·cosц . С помощью векторной диаграммы тока и напряжения, на которые реагирует ваттметр, пояснить определение угла ц=ц_u-ц_{i .}Составить баланс активной и реактивной мощности.

а) Напряжение между узлами с-f



Полная комплексная мощность

,

где =0,05+0,72j= 0,72e^j86є комплексное сопряжение значение тока I₁;

Ваттметр показывает активную мощность

P=254,7Вт

б) Определяем показатели ваттметра по формуле P=U_cf·I₁·cosц .

U_cf=

I₁=

Диаграмма (векторная) тока и напряжения.

ц =ц_u-ц_i=arctgU_cf- arctgI₁ =-140,8є+ 86є= -54,8є

P=612,5*0,72*cos(-54,8 є)=254,2 Вт



Составим баланс мощности

4. Построить топографический диаграммы совместно с векторной диаграммой токов

Определим потенциал точек, обозначенных на схеме.

2.Расчет трехфазной системы

На рисунке приведена схема трехфазной цепи. В ней имеется трехфазный генератор (создающий трехфазную синусоидальную систему Э.Д.С.) и симметричная нагрузка. Действующие значения Э.Д.С. фазы генератора E_A,период T,параметры R₁,R_2,L, C₁ и C_2.(данные берем из таблицы 3.1) Начальную фазу Э.Д.С. e_A принять нулевой.

Требуется : определить мгновенное значение напряжения между заданными точками и подсчитать активную мощность трехфазной системы.

Указания:

А)сопротивления обмоток генератора полагать равным нулю;

Б)для вариантом , в которых нагрузка соединена треугольником , рекомендуется при расчете преобразовать её в соединение звездой;

В)при расчете символическим методом рекомендуется оперировать с комплексами действующих значений (не с комплексными амплитудами).

Дано: E?_A=60 B; T=0,015c; L₁=23,92 мГн; С₁=478,5мкФ; R₁=17,32 Ом; C₂= - ..

Требуется: Определить мгновенное значение напряжения между заданными точками (U_вс) и подсчитать мощность трехфазной системы.

Решение

Комплексное действующие значение Э.Д.С. генератора равна:

1)E?_A=E_A=60B; E?_B=E_A*e^-j120? =60e^-j120? = -30 -51,97j B ; E?_c=E_A*e^j120? =60e^j120? = -30+51,97j B;

2)Найдем Z_э эквивалентное комплексное сопротивление одной фазы, включающее как сопротивление приемника ,так и элементов в линейных проводах.

Здесь Z?'=(jX_L*(-j X_c1))/(jX_L-j X_c1)

X_L=wL=418,7*23,92*10^-3=10 Ом ; X_c1=1/wc=10⁶/418,7*478,5=5Oм;

Z?'=j*10*(-j*5)/(j*10-j*5)=50/ 5*j= 10/j = -10j Ом ;

Z?_э=R₁+Z?'=17,32+(-10j)=20e^-30j Ом.

3)Определим линейные токи:

I?_A=E_A/Z?_э=60/20e^-30j =3 *e ^30j =2,6+1,5j A;

I?_B= E_B/Z?_э = 60 e^{-j120 ?} /20e^{-j30 ?} = 3 e^{-j90 ?} =-3j A;

I?_C= E_c/Z?_э = 60 e^{j120 ?} /20e^{-j30 ?} =3 e^{j150 ?} = -2,6+1,5 j A.

Определим фазные токи:

I?_ab=( I?_A /) *е^j30?=3/1,73*e ^j30? *e ^j30? =1,73 * е ^j60? A;

I?_bc=I_ab*e ^-j120? = 1,73* e ^j60? * е -^j120? = 1,73* e ^-j60? A;

I?_ac= I_ab*e ^j120? = 1,73* e ^j60? * е ^j120? = 1,73* e ^j180? A;

4)Рассчитаем потенциалы всех точек системы, приняв ц₀=0.

ц?_А= ц?₀ + E_A=0+60=60 B; ц?_a= ц?_А + I?_A R₁=60+(2,6+1,5j)*(17,32) =105+26 jB;

ц?_B= ц?₀ +E_B=-30-51,97j B; ц?_в= ц?_B+ I?_BR₁=(-30-51,97j)* (-3j)*17,32= -30-103,93j B;

ц?_C= ц?₀ +E_C=-30+51,97j B; ц?_с= ц?_C + I?_CR₁= (-30+51,97j)+(-2,6+1,5j)*17,32= -75+77,95j B;

5)Найдем напряжение U?_bc

U?_вc= ц?_в- ц?_с=-30-103,93 j +75-77,95j= 35-182j=185,3 e -^j79є B.

Такому комплексному действующему значению напряжения соответствует синусоидальное напряжение .

U_вс(t)=185,3**sin(w*t-79є) B.

6)Составим уравнение баланса активной и реактивной мощностей.

Полная мощность генератора:

S_г= E?_A *I_А'+E_B*I_B'+E_C*I_C' ,

где ' -сопряжённый комплексный ток.

I'_A= 2,6-1,5j A;

I'_B=3j A; I'_C= -2,6-1,5 j A.

S_г=60*(2,6-1,5j ) + (-30 - 51,97j)*( 3j ) + (-30 + 51,97j)*( -2,6-1,5 j) =

= 156- 90j - 90j+ 155,91+ 78- 135,1j+ 45j+ 77,95 =467,86-270,1 j B*A.

Полная активная мощность генератора:

P_г=Re[S_г]=Re[467,86-270,1j]=467,86 Вт.

Полная реактивная:

P_пр=I_A²*Re[Z?_эa] + I_B²*Re[Z?_эb] + I_C²*Re[Z?_эc] =863,9 Вт., где Z?_эa= Z?_эb= Z?_эc=17,32 Ом.

Допускается расхождение баланса активных мощностей:

ДP= *100% = *100%=0,04%.

Погрешность связана с округлением чисел при вычислении.

Расчет электрической цепи при периодических несинусоидальных напряжениях и токах.

Разложение периодической несинусоидальной функции напряжения в ряд Фурье

Дано: R=10 Ом ; L=51 мГн ; С=195мкФ ; T= 16 мСек ; a=65 B ; в==32,5 B ; c=0,3*a=19,5 B ;

Требуется: Разложить периодическую несинусоидальную функцию напряжения в ряд Фурье ( при разложении учитывать только те гармоники , амплитуда которых составляет более 5% от максимального значения функции).Определить параметры эквивалентного синусоидального тока и напряжения на входе цепи, если на выходе подключено активное сопротивление R_Н=10 Ом.



Решение

t₀= 0c ; t₁===0,004 c ; t₂===0,008 с ; w===392,5 рад/c

P…	1	2	3
	19,5	65	32,5

Где, p- текущий индекс ; f_p(x)-значение функции.

Так как функции симметрична относительно оси абсцисс, то А=0 и ряд будет состоять только из нечетных гармоник.

A_m'=f_p(x) sin_pm(x)= f_p(x) sin_pm(x),

где m- номер гармоники.

W_t0=0 рад; W_t1=1,57 рад; W_t2=3,14 рад.

А'₁=(19,5sinwt₀+65sinwt₁+32,5sinwt₂)=3/2*(0+65*0.9999+32,5*0,00159)=43,3

А'₃= (19,5sin3wt₀+65sin3wt₁+32,5sin3wt₂)=2/9*(0+65*(-0,9999)+32,5*0,0048)= -14,4

А'₅= (19,5sin5wt₀+65sin5wt₁+32,5sin5wt₂)==2/15*(0+65*0,9999+32,5*0,008)=8,69

Амплитуда косинусной составляющей первой, третей, пятой гармоники:

B_m'= f_p(x) cos_pm(x);

B'₁=(19,5cos

wt₀+65coswt₁+32,5coswt₂)=(2/3)*(19,5+65*0.0008+32,5*(-0,9999))= =13+ 0,0346-21,665= -8,63

B'₃= (19,5cos3wt₀+65cos3wt₁+32,5cos3wt₂)=(2/9)*(19,5+65*(-0,0024)+32,5*(-0,9999))=4,33- 0,035-7,22=-2,93

B'₅==(19,5cos5wt₀+65cos5wt₁+32,5cos5wt₂)=(2/15)*(19,5+65*0,004+32,5*(-0,9999))=2,6+0,035-4,333=-1,7

Определим Амплитуды гармоний:

А₁₌(А'₁)²+(B'₁)²= 44,2

А₃₌(А'₃)²+(B'₃)²=14,7

А₅₌(А'₅)²+(B'₅)²=8,86

Определим смещение гармоники относительно начала координат:

tgш₁₌ B'₁/ A'₁= => ш₁=arctg(-0,2)=-11,3 ?

tgш₃₌ B'₃/ A'₃==> ш₃=arctg(0,2)=11,3 ?

tgш₅₌ B'₅/ A'₅ ==> ш₅=arctg(-0,2)=-11,3 ?

U(t)=44,2sin(wt-11,3 ? )+14,7sin(wt+11,3 ? )+8,86sin(wt-11,3 ? ).-Периодическая несинусоидальная функция напряжения разложена в ряд Фурье.

Определим действующее значение напряжения:

U===33,53 B.

X_L=392,5*51*10^-3=20,02 Ом;

Х_с==13,07 Ом;

Определим входное сопротивление каждой гармоники.

Z?₁=10+j20,02+()=15,99+10,86j=19,3e^j34,2є Ом;

Z?₃=10+3j*20,02+()=10,9+55,9j=56,9e ^j79є Ом;

Z?₅=10+5j20,02+()=10,33+97,53=98,1 e ^j84є Ом.

Определим комплексное значение токов:

I?_mk=.

I?_m1===2,3e ^-j34,2? А (по аналогии находим другие)

I?_m3== = 0,26 e -^j79є А;

I?_m5== = 0,1 e -^j84є А .

i(t)=2,3sin(wt+34,2 °)+ 0,26sin(wt-79є)+0,1sin(wt-84є).

Определим действующие значение тока:

I==1,64 A.

4. Расчет четырехполюсника

Дано: R=10 Ом ; L=51 мГн ; С=195мкФ ; T= 16 мСек

Требуется: Записать уравнение в (A,Y,Z,H,G и B) формах четырехполюсника.

Решение

w==392,5 рад/c.

X_L=392,5*51*10^-3=20,02 Ом;

Х_с==13,07 Ом;

Пассивный четырехполюсник представим в виде трехэлементной эквивалентной Т-образной схемы замещения.

R+jX_L= Z₁=10+j20,02 Ом;

Z₂=R=10 Ом ; Z₃=-jX_c=-13,07j Ом.

Для определения коэффициентов четырехполюсника, использует I и II законы Кирхгофа, выразим U?₁ и I?₁ через U?₂ и I?_2.

I?₁=I?₂+=U?₂+(1+)*I?₂ ;

U?₁=U?₂ + I?₂ Z₂ + I?₁ Z₁=(1 + )* U?₂ + ( Z₁+Z₂+)* I?₂

A=1+ =1+(-1,532+0,765j)=-0,532+0,765j ;

B= Z₁+Z₂+=10+j20,02-15,318+7,651j+10=4,682+27,671j ;

C==0+0,077j ;

D=1+=1+0,765j ;

Значит => U?₁ =AU?₂ + BI?₂ , где A,B,C,D -коэффициенты четырехполюсника.

I?₁ =CU?₂ + DI?₂

Форма A:

U?₁=A₁₁ U?₂+A₁₂ I?₂

I?₁=A₂₁ U?₂+A₂₂ I?₂

A₁₁=A=-0,532+0,765j ; A₁₂=B=4,682+27,671j ;

A₂₁=C=0+0,077j; A₂₂=D=1+0,765j;

Форма Y:

I?₁=Y₁₁ U?₁+Y₁₂ U?₂

I?₂=Y₂₁ U?₁+Y₂₂ U?₂

Y₁₁==0,033-0,031j;

Y₁₂ =-= Y₂₁=-0,006+0,035j; Y₂₂==0,024+0,023j;

Форма Z?:

U?₁= Z?₁₁ I?₁+ Z?₁₂ I?₂

U?₂= Z?₂₁ I?₁+ Z?₂₂ I?₂

Z?₁₁==9,935+6,909j ;

Z?₁₂= Z? ₂₁==-12,987j ;

Z?₂₂==9,935-12,987j;

Форма H:

U?₁=H₁₁ I?₁+H₁₂ U?₂

I?₂=H₂₁ I?₁+H₂₂ U?₂

H₁₁==16,307+15,196j;

H₁₂= =0,631-0,483j;

H₂₁=-H₁₂=-0,631+0,483j;

H₂₁==0,037+0,049j

Форма G:

I?₁=G₁₁ U?₁+G₁₂ I?₂

U?₂=G₂₁ U?₁+G₂₂ I?₂

G₁₁==0,068-0,047j; G₁₂=-=0,613+0,881j;

G₂₁=- G₁₂= -0,613-0,881j; G₂₂==21,512- 21,08j

Форма B:

U?₂=B₁₁ U?₁+B₁₂ I?₁

I?₂=B₂₁ U?₁+B₂₂ I?₁

B₁₁=D=1+0,765j ;

B₁₂=B=4,682+27,761j ;

B₂₁=C=0+0,077j;

B₂₂=A=-0,532+0,765j.

Размещено на Allbest.ru