Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

В технике и в окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени: качание маятника часов, переменный электрический ток, восход и заход солнца, волнение на море, (примеры можно было бы продолжать до бесконечности), которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Но различные колебательные процессы характеризуются одинаковыми физическими параметрами и одинаковыми уравнениями. Отсюда вытекает целесообразность единого подхода к исследованию колебаний различной физической природы.

Возможны случаи, когда тело участвует одновременно в нескольких колебаниях, происходящих вдоль одного и того же или вдоль различных направлений. Если, например, подвесить шарик на пружине к потолку вагона, качающего на рессорах, то движение шарика относиться поверхности Земли будет складываться из колебаний вагона относительно Земли и колебаний шарика относительно вагона.

Если колебательная система одновременно участвует в двух (или более) независимых колебательных движениях, возникает задача - найти результирующее колебание. В случае однонаправленных колебаний, под этим понимается нахождение уравнения результирующего колебания; в случае взаимно перпендикулярных колебаний - нахождение траектории результирующего колебания.

При сложении колебаний можно пользоваться аналитическим, графическим методами и методом векторных диаграмм.

Нахождения результирующего колебания в случаи однонаправленных колебаний, реализуется при наложении колебаний скалярных физических характеристик колебательных систем.

Методы алгебраического и графического сложения амплитуд позволяет решить ряд задач на дифракцию света.

Колебания, обычно, связаны с попеременным превращением энергии одной формы (вида) в энергию другой формы (другого вида). В механическом маятнике энергия превращается из кинетической в потенциальную. В электрических LC контурах (то есть индуктивно-емкостных контурах) энергия превращается из электрической энергии ёмкости (энергии электрического поля конденсатора) в магнитную энергию катушки индуктивности (энергию магнитного поля соленоида).

Все реальные колебания являются затухающими. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний постепенно уменьшается (затухает).

Цель работы: изучение особенностей движения материальной точки, участвующих в двух одинаково направленных колебательных движениях. Решаются задачи на сложение одночастотных и разночастотных колебаний, построение векторных диаграмм, сложение колебаний в аналитическом виде по заданным параметрам. А также рассматриваются сложения колебаний в теории интерференции. колебание гармонический векторный диаграмма



1. Описание колебательных процессов

Гармонические колебания - периодические изменения во времени физических величин, характеризующих колебательную систему, происходящие по закону синуса или косинуса.

Гармоническое колебание может быть задано в стандартной форме

, (1)

в виде или в комплексном виде х(t) = А е ^it, или в графической форме.

Рассмотрим скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания.

Смещение тела относительно положения равновесия в произвольный момент времени определяется уравнением движения (1), записанным для этого момента времени.

Вектор скорости направлен всегда вдоль прямой линии (ось OX) и определяется из выражения:

, (2)

нахождения предела отношения при Дt > 0 называется вычислением производной функции x (t) по времени t и обозначается как x'(t). Вычисление производной приводит к следующему результату:

(3)



- амплитуда скорости

Аналогичным образом определяется ускорение , тела, ускорение равно производной функции х(t) по времени t, или второй производной функции x(t):

(4)

- амплитуда ускорения ,

Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a (t) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x(t), и по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).

Начальные условия задают запас механической энергии в системе. Поэтому начальные условия определяют запас потенциальной и кинетической энергии.

где Е - полная энергия гармонических колебаний тела (Дж), -потенциальная энергия (Дж), - кинетическая энергия (Дж).

Распишем кинетическую и потенциальную энергию



Запишем полную энергию гармонических колебаний

Учтем, что

Гармонические колебания относительно смещенного положения равновесия описываются соотношениями вида:

Часто тело может участвовать одновременно в нескольких независимых колебательных движениях, поэтому возникает необходимость найти результирующие параметры сложного колебательного процесса. В ряде случаев анализ сложных колебаний удобнее выполнять, представляя сложные колебания набором нескольких простейших.

1.1 Первый тригонометрический способ описание гармонических колебаний

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнениями:



, , (5)

где - смещение колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t (м), - амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия (м), щ - циклическая частота (число колебаний за ):

где Т - период колебаний (с), это наименьший промежуток времени через которые будут повторяться все кинематические характеристики (перемещение, скорость, ускорение) движения тела, - частота колебаний, равная числу колебаний в единицу времени (Гц),

t время (с), фаза гармонического процесса, начальная фаза, которая определяет при известной амплитуде положения тела в начальный момент времени

Начальные условия могут быть заданы через начальное смещение и начальную скорость , , или через амплитуду и начальную фазу A , , или же через постоянные интегрирования B и C.



1.2 Второй тригонометрический способ описания гармонических колебаний

Рассмотрим выражение

(6)

преобразуем выражение (5) следующим образам :

х(t) =( (7)

Выражение (6),преобразование называется метод вспомогательного угла.

Заметим, что

,

Тогда по своим свойствам эти дроби напоминают синус и косинуса угла. Поэтому введем обозначения

, (8)

Выражение (6) можно переписать в виде

х(t)=( (9)



Полученное выражение (8) вместе с (6) дает еще одну форму представления гармонического колебания. Смысл коэффициентов B и C в формуле (6) легко устанавливается из начального условия.

Начальное условие - это значение физической величины в момент времени (t = 0), и значение ее скорости изменений t = 0.

,

где--начальные условия.

Замечание по формуле (8): мы могли принять за sin первое выражение, а за cos второе выражение. При этом в конечной формуле (9) функция косинус заменилась бы на формулу sin перед стояло бы значение t.

Поскольку в физике и технике значение фазы имеет принципиальное значение, то в одной и той же задачи следует использовать одну из функций либо синус, либо косинус.

, (10)

Тогда введем дополнительный угол по формуле (10), получим

(11)

Из формулы (10) следует, что результатом сложения одночастотных и однонаправленных колебаний являются колебания той же частоты ,что и складываемая, то есть с другой амплитудой и фазой.



1.3 Представление гармонических колебаний в комплексном виде

Основой для комплексного представления колебаний служит формула Эйлера

(12)

где = - мнимая единица.

Поэтому гармоническое колебание описывающие по закону (12) можно записать в виде экспоненциальной форме:

, (13)

где - комплексная амплитуд, не изменяется с течением времени, но её введение имеет глубокий физический смысл. Она изображается постоянным вектором на диаграмме колебаний. Этот вектор даёт возможность отображать сдвиги фаз между колебаниями различных физических величин.

Введение комплексного представления колебаний и комплексных амплитуд позволяет обойтись без векторных диаграмм.

Комплексная амплитуда результирующего колебания равно сумме комплексных амплитуд слагаемых, т.е. просто сумме комплексных чисел.

Физический смысл имеет только действительная часть комплексной функции обозначаемая Re :



Начальная фаза колебаний, при использовании комплексного представления колебаний принципиально важно установить знак перед экспонентом exp (± i).

1.4 Графическое представление гармонических колебаний

Векторные диаграммы

Колебания одного направления и одинаковой частоты становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.

Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x. Из взятой на оси точки О отложим вектор длины A, образующий с осью угол . Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью , то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x в пределах от -А до +A, при этом координата этой проекции будет изменяться со временем по закону

,

где - угол, который образовывается с осью и вектором А (.

Проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

Длина вектора равна амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний.



2. Сложение колебаний

2.1 Сложение двух гармонических колебаний одного направления одинаковой частоты

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты, которые происходят с некоторой разностью фаз и имеют разные амплитуды. Смещение x₁ от положения равновесия колеблющегося тела будет равно сумме смещений x₁ и x₂ :

, (15)

Поскольку вектор в начальный момент времени располагается под углом к оси x, а вектор - под углом , то в результате сложения оба вектора будут вращаться против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью . Получаем, что угол между векторами и все время остается постоянным и равным

По правилам сложения векторов построим суммарный вектор . Вектор представляет суммарное колебание. Он вращается с той же угловой скоростью , что и векторы и . Проекция этого вектора на ось X равна сумме проекций слагаемых векторов: x= х₁+х₂.

Приходим к выводу, что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой щ₀, амплитудой A и начальной фазой б.

. (16)



Выразим с уравнения (16) амплитуду А

(17)

Амплитуда A результирующего колебания зависит от разности начальных фаз б₀₂?б₀₁ слагаемых колебаний. Получаем, что разность б₀₂?б₀₁ с течением времени не изменяется (такие синхронные колебания называются когерентными), по формуле (17) можно получить значения амплитуды A . Поскольку косинус любого угла не может быть больше +1 и меньше -1,то возможные значения амплитуды заключены в пределах: A₁+A₂? A ? ?A₂?A₁ ?.

2.2 Сложение двух гармонических колебаний одного направление с разными частотами

Рассмотрим случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. Как мы сейчас покажем, результирующее движение при этих условиях можно рассматривать гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется биениями.

Обозначим частоту одного из колебаний буквой , частоту второго колебания через . По условию . Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными . Поскольку частоты колебаний несколько отличны, всегда можно выбрать начало отсчета времени так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю.

Практически это означает, что мы должны дождаться, пока смещения в обоих колебаниях достигнут одновременно наибольшего положительного значения, и в этот момент «запустить секундомер». Тогда уравнения обоих колебаний будут иметь следующий вид:



(t) = Аcosщt ,

(t) = Аcos(?щ) (18)

Складывая выражения (18) и применяя тригонометрическую формулу для суммы косинусов, получаем:

х(t) = + = ( 2Аcos t ) cosщt. (19)

(во втором множителе пренебрегаем членом по сравнениюс).

Заключенный в скобки множитель в формуле (19) изменяется гораздо медленнее, чем второй множитель. Ввиду условия за то время, за которое множитель совершает несколько полных колебаний, множитель, стоящий в скобках, почти не изменится. Это дает нам основание рассматривать колебание (19) как гармоническое колебание частоты , амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону. Выражением этого закона не может быть множитель, стоящий в скобках, так как он изменяется в пределах от -2а до +2а, в то время как амплитуда по определению -- положительная величина. Аналитическое выражение амплитуды, очевидно, имеет вид:

(20)

Функция (20) -- периодическая функция с частотой, в 2 раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля, т. е. с частотой . Получаем, частота пульсаций амплитуды -- ее называют частотой биений -- равна разности частот складываемых колебаний.

Отметим, что множитель не только определяет амплитуду, но и влияет на фазу колебания. Это проявляется, например, в том, что отклонения, соответствующие соседним максимумам амплитуды, имеют противоположные знаки.



3. Два характеристических случая сложения колебаний

3.1 Сложение одночастотных колебаний одинакового направления колебаний

Сложим два колебания одной частоты, совершаемые по одному направлению аналитическим методом:

x₁(t) = 9sin(щt + ); x₂(t) = 4sin(щt + ). (31)

Приводим колебания к одному виду описания, через синусы или через косинусы.

;

;

.

По правилам сложения векторов построим суммарный вектор .

По теореме косинусов найдём величину .

(32)

A=

Следовательно, результирующая амплитуда равно (см).

Определим результирующий угол .



(33)

Следовательно, результирующий угол (между результирующей амплитудой и осью x) равен

Получаем результирующее уравнение

x = 11,53cos(щt + 3,18).

x = 11,53cos(щt + 3,18)

x₁(t) = 9cos(щt + 90⁰);

x₂(t) = 4cos(щt + 30⁰);

x = 11,53cos(щt + 3,18)

t,c	щ,рад/c	x1,м	x2,м	x,м
0	1,5	-4,033	0,617	-11,52
0,25	1,5	-6,699	2,0217	-10,56
0,5	1,5	-8,435	3,1454	-8,128
0,75	1,5	-8,998	3,8319	-4,568
1	1,5	-8,311	3,9859	-0,373
1,25	1,5	-6,469	3,5859	3,8735
1,5	1,5	-3,727	2,6875	7,582
1,75	1,5	-0,468	1,4155	10,237
2	1,5	2,8569	-0,053	11,469
2,25	1,5	5,7843	-1,514	11,107
2,5	1,5	7,9078	-2,765	9,201
2,75	1,5	8,9322	-3,632	6,0166
3	1,5	8,7152	-3,993	1,9959
3,25	1,5	7,287	-3,8	-2,302
3,5	1,5	4,8459	-3,079	-6,28
3,75	1,5	1,7313	-1,929	-9,386
4	1,5	-1,624	-0,512	-11,19
4,25	1,5	-4,753	0,9768	-11,43
4,5	1,5	-7,222	2,3296	-10,09
4,75	1,5	-8,687	3,3587	-7,344
5	1,5	-8,945	3,921	-3,578
5,25	1,5	-7,959	3,9383	0,6848
5,5	1,5	-5,868	3,4082	4,8529
5,75	1,5	-2,96	2,4045	8,3465
6	1,5	0,3584	1,0666	10,68
6,25	1,5	3,6273	-0,42	11,529
6,5	1,5	6,3921	-1,847	10,776
6,75	1,5	8,2685	-3,019	8,5252
7	1,5	8,9957	-3,77	5,0894
7,25	1,5	8,4726	-3,998	0,9463
7,5	1,5	6,772	-3,67	-3,328
7,75	1,5	4,1301	-2,832	-7,14
8	1,5	0,9143	-1,6	-9,96
8,25	1,5	-2,429	-0,146	-11,4
8,5	1,5	-5,434	1,3283	-11,25
8,75	1,5	-7,684	2,6179	-9,535
9	1,5	-8,866	3,5437	-6,499
9,25	1,5	-8,816	3,977	-2,558
9,5	1,5	-7,541	3,8575	1,7372
9,75	1,5	-5,217	3,2019	5,7914
10	1,5	-2,169	2,1013	9,0406

3.2 Сложение двух гармонических колебаний одного направления с разной частотой

Рассмотрим уравнения, которые имеют вид

(34)

Приводим колебания к одному виду описания, через синусы или через косинусы.



;

;

;

Зависимость смещения материальной точки в плоскости по координатам х₁ и х₂ от времени,

Определим результирующую амплитуду. Для разночастотных колебаний оно имеет вид

(35)

Где A₁ - амплитуда первого колебания, A₂ - амплитуда второго колебания, - угловая скорость первого колебания, - угловая скорость второго колебания.

Из уравнений колебания (34),найдем амплитуду и частоту каждого из них

А₁=0,05 (м), н₁=2 (Гц), А₂= 0,06 (м), н₂=5 (Гц). (40)

Каждый спектр, представляющий собой монохроматическое колебание входит в спектр не только со своей определенной частотой, но и с амплитудой, и фазой.



Выводы

В работе было рассмотрено сложение двух одинакового направления колебаний одинаковой частоты, а также сложение разночастотных колебаний. Представление гармонических колебаний по средствам векторов даёт возможность свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов. В работе рассмотрены биения, как результат сложения колебаний одинакового направления с разными частотами. По заданным параметрам была построена векторная диаграмма, произведено аналитическое исследование колебаний и на основе этого построены графики процессов. А также в работе было рассмотрено сложение колебаний в теории интерференции.



Список использованных источников

1. Савельев И.В. Курс общей физики т.1: учебное пособие/ И.В. Савельев. - Москва: Наука, 1988. - 238 с.

2. Яворский Б.М. и Детлаф А.А. Справочник по физике. М.: Наука. Главная редакция физик-математической литературы, 1980. - 255-261 с.

3. Зисман Г.А. Курс общей физики т.1: учебное пособие/ Г.А. Зисман, О.М. Тодес. - Москва: Наука, 1965. - 366 с.

4. Ю.Н.Дубнищев Колебания и волны:/учебное пособие/Ю.Н.Дубницщев -- Новосибирск: Издательство, 2004. - 323 с.

5. Т.И. Трофимова Курс физики : учебное пособие/ Т.И. Трофимова - Москва: Высшая школа,2001 - 255 с.

Размещено на Allbest.ru