Моделирование движения электрона вблизи потенциальной ступеньки

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Рассмотрим модель рассеяния электрона на потенциальном рельефе, описываемом следующим выражением:

(1)

Рис. 1. Энергетическая диаграмма потенциальной ступеньки

Обозначим область слева от порога (x0) цифрой 1, справа от порога (x0) обозначим цифрой 2. Будем считать, что источник электронов находится в области 1 и бесконечно удален от границе раздела между областями 1 и 2.

Уравнение Шредингера для частицы в таком силовом поле имеет вид:

В области 1:

В области 2:

1) Рассмотрим сначала случай, когда энергия частицы E меньше высоты потенциального порога , т.е.

Сделаем замену на :

Получаем уравнения Шредингера для областей 1 и 2:

1) Решим уравнение Шредингера (6) для области 1:

Решение уравнения (6):

2) Решим уравнение Шредингера (7) для области 2:

Получим решение:

Волновая функция представляет собой сумму падающей и отраженной волны де Бройля, - амплитуда волны, распространяющейся от источника электронов к потенциальной ступеньки, - амплитуда волны,отраженной от потенциальной ступеньки.

В том, что выражение действительно описывает плоскую волну, легко убедиться, вспомнив про временной множитель для волновой функции в стационарном состоянии. Умножая на , получаем , т.е. плоскую волну де Бройля, распространяющуюся вдоль оси в положительном направлении. Аналогично, представляет плоскую волну де Бройля, распространяющуюся вдоль оси в отрицательном направлении.

Тогда как волновая функция , характеризующая движение частицы в области 2, представляет собой сумму двух экспонент с действительными показателями степени. Учитывая однородность среды в области 2 (по постановке задачи в области 2 нет источников электронов и нет однородностей, от которых они могли бы отразиться ) и поскольку волновая функция должна быть ограниченной, а первое слагаемое в волновой функции при , неограниченно возрастает, то необходимо потребовать, чтобы коэффициент .

Решение уравнения Шредингера в области 2 можно записать в виде:

Далее, в силу того, что высота порога имеет конечную величину, волновая функция на границе раздела областей 1 и 2 должна быть не только непрерывной, но и гладкой, т.е. иметь непрерывную производную.

Сшиваем волновые функции и их производные. В данном случае условия сшивки имеют вид:

Система уравнений (11) позволяет выразить коэффициенты и через коэффициент .

Найдем

Положим :

Найдем

Положим .

Таким образом, волновые функции частицы в случае высокого порога имеют вид:

Найдем коэффициент отражения, определяющий вероятность того, что частица отразится от высокого порога. Согласно физическому смыслу, коэффициент отражения есть:

где и - векторы плотности потока вероятности соответственно для падающей (первое слагаемое в ) и отраженной (второе слагаемое в) волн. Вектор плотности потока вероятности определяется через волновую функцию следующим образом:

Получаем:

где .

Где:

.

Следовательно:

Коэффициент прохождения частицы через порог D, определяющий вероятность того, что частица пройдет в область II (коэффициент прозрачности порога), имеет вид:

где - вектор плотности потока вероятности для прошедшей волны . Подставляя в, получаем, что:

а, следовательно и , и прошедшая волна.

Таким образом, в случае высокого порога:

и выполняется условие:

.

Рассмотрим поведение частицы в области II высокого потенциального порога. Волновая функция частицы отлична от нуля и спадает с по экспоненциальному закону, а это означает, что существует отличная от нуля вероятность пребывания частицы под порогом, т.е. в области, в которой полная энергия частицы <. С точки зрения классической механики эта область для частицы является запрещенной, т.к. условие означает, что кинетическая энергия частицы должна быть отрицательной. Однако, с точки зрения квантовой механики никакого противоречия здесь нет. Кинетическая энергия является функцией импульса частицы, а потенциальная энергия - функцией ее координаты, но, согласно соотношению неопределенностей, одновременное точное определение координаты и импульса невозможно. Поэтому в квантовой механике представление полной энергии частицы в виде суммы одновременно точно определенных кинетической и потенциальной энергий не имеет смысла.

Полученный результат означает, что микрочастицы могут проникать в области, которые для макроскопических частиц запрещены. Плотность вероятности нахождения частицы в области II определяется выражением

и зависит от эффективной массы частицы m, разности энергий и расстояния от границы порога , не зависит от времени.

Оценим величину экспоненциального множителя для случая электрона, полагая эВ. При м, т.е. при расстоянии от порога, сравнимом с размерами атома:

что означает, что вероятность пребывания электрона на таком расстоянии от порога ничтожно мала. Полученные оценки показывают, что электрон с заметной вероятностью может проникать в область II лишь на расстояния, сравнимые с размером атома.

Таким образом, хотя коэффициент отражения частицы от высокого барьера , т.е. отражение является полным, оно не обязательно происходит на самом пороге, т.е. на границе раздела областей I и II. С определенной вероятностью частица может проникнуть в область II и затем выйти из нее.

2) Рассмотрим случай, когда энергия частицы E больше высоты потенциального порога , т.е.

В этом случае уравнение Шредингера для областей I и II имеет вид:

где и определяются соотношениями:

Будем считать, что частица движется слева направо. При этом первое слагаемое в описывает падающую на порог волну де Бройля, а второе слагаемое в - волну, отраженную от порога. Аналогично, первое слагаемое в соответствует прошедшей через порог волне де Бройля. Поскольку отраженная волна в области II отсутствует, то коэффициент. .

Условие сшивки волновых функций и их производных на границе (при ) приводит к следующим уравнениям для коэффициентов , и :

Полагаем, как и в предыдущем случае :

Для того чтобы найти коэффициенты отражения и прохождения частицы через порог, найдем векторы плотности потока вероятности для падающей, отраженной и прошедшей (преломленной) волн де Бройля. Подставляя найденные волновые функции, получаем:

где .

Коэффициент отражения частицы R от низкого потенциального порога:

волновой энергетический силовой шредингер

Следовательно, что при существует отличная от нуля вероятность отражения частицы от низкого потенциального порога, т.е. возможно так называемое надбарьерное отражение. Этот результат является чисто квантовым и объясняется наличием у частицы волновых свойств.

Коэффициент прохождения D частицы через порог:

Таким образом, и в случае низкого порога , что естественно было ожидать с точки зрения сложения вероятностей - падающая на порог частица либо отразится от него, либо пройдет в область II.

Подведем краткий итог:

1) для E<U0:

Положим , тогда:

Найдем коэффициенты отражения и прохождения :

И выполняется условие:

.

2) для E>U0:

Положим , тогда :

Найдем коэффициенты отражения и прохождения :

И выполняется условие:

Размещено на Allbest.ru