Кинематический анализ рычажных механизмов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кинематический анализ рычажных механизмов



Задача кинематического исследования механизма состоит в определении:

1. Положений механизма в различные моменты времени.

2. Траекторий некоторых точек механизма.

3. Величин линейных и угловых скоростей всех точек механизма.

1. Построение положений механизма и траекторий его точек

Для изучения движения механизма необходимо знать его кинематическую схему и основные размеры.

Кинематической схемой называют его изображение в выбранном масштабе

где l - истинная длина звена в метрах,

- изображение этого звена на чертеже в миллиметрах.

с применением условных обозначений звеньев и кинематических пар.

Схема позволяет определить движение ведомых звеньев по заданному движению ведущих.

Кинематические пары обозначают большими буквами латинского алфавита. Звенья обозначают арабскими цифрами, начиная с кривошипа.

При проектировании механизма обычно бывают заданными схема механизма и условия, которые могут быть самого различного характера.

Проектирование начинается с выбора размеров звеньев наиболее полно удовлетворяющих поставленным условиям. Выбор размеров звеньев путем решения задачи с одним из условий называется синтезом механизма. Синтез механизмов см. Кореняко "Курсовое проектирование по теории механизмов и машин".скорость полярный кинематический рычажный

Планом механизма называется графическое изображение в масштабе кинематической схемы механизма, соответствующее определенному положению главного звена.

При построении планов механизма сначала следует найти его крайние положения, соответствующие возвратному движению точек ведомого звена.

В механизме четырёхтактного двигателя внутреннего сгорания (рис. 2.23) одно крайнее положение ведомого звена 3 (ползуна) находят, производя на направляющей Х-Х засечку дугой радиусом, равным длине кривошипа ОА и шатуна АВ (положение 0) из центра вращения кривошипа. Второе крайнее положение находим, производя засечку из центра вращения кривошипа радиусом, равным разности длин шатуна АВ и кривошипа АО (положение 6).

За начальное положение механизма удобно принять одно из крайних положений.

Если требуется построить 12 положении механизма, то окружность, описываемую точкой А кривошипа, начиная от начального положения, делят на 12 равных частей. Соответствующие положения остальных звеньев (2,3) находят путем засечек из точки В на направляющую механизма.

Рис. 2.23

Соединяя между собой соответствующие точки в каждом из положений, получаем двенадцать планов механизма.

Построение траектории какой-либо точки механизма производят следующим образом:

В начерченных положениях механизма отмечают положения точки траектория, которой должна быть построена.

Найденные положения точки соединяют последовательно между собой плавной кривой (рис. 2/23) точка S.

2. Определения аналогов величин скоростей и ускорений

Аналог линейной скорости какой-либо точки М есть

где - радиус-вектор, определяющий положение точки М на ее траектории,

- обобщенная координата,

- элементарный угол поворота главного звена.

Аналог линейного ускорения точки М

где - линейная скорость точки М.

Аналог угловой скорости

где - элементарный угол поворота звена "К".

Аналог углового ускорения



3. Связь между аналогами и величинами скоростей и ускорений

Линейная скорость выразится через аналог скоростей так

Линейное ускорение выразится через аналог скорости и ускорения

Угловая скорость выразится через аналог угловой скорости следующим образом

Угловое ускорение выразится через аналог угловой скорости и ускорения

Отношение элементарных углов поворотов двух звеньев называется передаточным отношением

4. Аналог скорости и ускорения главного звена

Аналог угловой скорости главного звена, т.е. К=1

т.е. аналог линейной скорости точек главного звена равен расстоянию от точки вращения до МЦВ.

Аналог повернутой на скорости точки М

(2.3)

где - расстояние от точки М до МЦВ.

5. Аналог относительной скорости двух точек М и N

(2.4)

Возьмем какое-либо звено MN (рис. 24), вращающееся вокруг полюса Р.

Рис. 2.24



Из (2.4) ясно, что аналог повернутой относительной скорости равен расстоянию между точками т.к.

6. Аналог относительного ускорения точек звена

Полный аналог относительного ускорения

Аналог центростремительного (нормального) ускорения найдем по формуле

Рис. 2.25

и примем равным отрезку ВС т.к.

Аналог вращательного ускорения т.к. тогда

т.е. аналог относительного ускорения двух точек главного звена равен расстоянию между этими точками.

В то же время отсюда

следовательно аналоги абсолютных ускорений точек В и С сходятся в т. А, которая называется полюсом поворота (рис. 2.25).

Если известен полюс поворота, то аналог ускорения любой точки находят как расстояние от этой точки до полюса поворота.

7. Построение полярных планов аналогов скоростей

Полярным планом скоростей механизма называется совокупность векторов линейных скоростей, отложенных из одной точки, называемой полюсом.

Рассмотрим построение полярного плана аналогов скоростей для кривошипно-ползунного механизма, (рис. 2.26).

Рис. 2.26

Из полюса Р - точки произвольно выбранной на чертеже, откладываем аналог скорости точки В. Направление этого вектора перпендикулярно кривошипу, длина его равна длине кривошипа.



Для нахождения аналога скорости точки С напишем два векторных уравнения.

В этих уравнениях вектор уже известен аналог относительной скорости точки С вокруг В следует направить перпендикулярно радиусу вращения ВС. Решив совместно эти два уравнения получаем на полярном плане аналог скорости точки С - .

Решение этих уравнений производится в такой последовательности:

Из конца вектора проводим прямую перпендикулярную отрезку ВС на механизме.

Из полюса Р проводим прямую параллельную направляющей х-х ползуна С.

Пересечение указанных прямых линий определяет конец аналога скорости точки С.

Отрезок, соединяющий буквы плана скоростей (вс) изображает аналог относительной скорости.

Величина скорости точек В и С:

Итак, план скоростей является планом скоростей в масштабе



Рассмотрим построение полярного плана аналогов скоростей для кулисного механизма, (рис. 2.27).

Вектор аналога скорости , принадлежащей кривошипу направлена перпендикулярно кривошипу. Из произвольного выбранного полюса Р откладываем этот вектор в размере равном длине кривошипа.

Рис. 2.27

Векторы аналогов скоростей точек и равны, т.к. объединены вращательной кинематической парой, т.е. .

Для нахождения вектора скорости точки В3, принадлежащей кулисе, запишем систему векторных уравнений

В этих уравнениях вектор - это релятивная (относительная скорость) точки относительно . Направлена эта скорость по кулисе, решив совместно эти два уравнения получаем точку "", - вектор аналога скорости точки .

Аналог скорости точки D найдется из пропорции

Аналог угловой скорости кулисы найдем из выражения , тогда

Угловая скорость кулисы определится по формулам

Истинная скорость точек механизма найдем через аналог скоростей, как и т.д.

8. Построение планов аналогов скоростей методом эпюр

Рассмотрим определение скоростей подобным методом в четырехзвеннике ABCDE, (рис. 2.28).



Рис. 2.28

На схеме механизма, вычерченной в масштабе , отмечаем МЦОВ (,,). Затем откладываем вектор аналога повернутой скорости точки В первого звена так, чтобы . Аналог скорости точки В первого звена равен аналогу скорости точки В второго звена, имея вектор переходим к нахождению аналога скорости точки С второго звена. Направление повернутой скорости совпадает с линией, соединяющей точку С с МЦОВ () этого звена. Начало вектора в самой точке С, конец на эпюре .

Вектор аналога повернутой скорости точки D совпадает по направлению с линией, соединяющей эту точку с . Начало вектора лежит в точке D, конец на эпюре .

Итак - изображение аналога скорости

Скорость точек В, С, и D определяется как



Аналог угловой скорости найдем из выражения

Рассмотрим пример построения плана аналогов скоростей методом эпюр для кулисного механизма, (рис. 2.29)

Кривошип АВ совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси А.

Кулиса 3 совершает колебательное движение вокруг центра С.

Наносим МЦВ всех звеньев (). Точка ползуна совершает вращательное движение вместе с точкой кривошипа поэтому .

Направление аналога повернутой скорости точек и совпадает с направлением кривошипа, начало вектора - в точке В, конец - в МЦОВ -

Скорость точек и разные, т.к. траектории их разные.

Точка перемещается по траектории , точка - по траектории

Эти скорости связаны следующим соотношением:



Рис. 2.29

Где - вектор относительной повернутого аналога скорости точек относительно на плане этот вектор необходимо направить перпендикулярно направляющей кулисы.

И в то же время абсолютная скорость точки , вращающейся вокруг неподвижного центра , направлена , т.е. радиусу вращения.

Тогда аналог повернутой скорости

Решая совместно эти два уравнения, находим конец вектора .

Аналог повернутой скорость точки D находим с помощью вспомогательной точки К, произвольно отмеченной и принадлежащей звену 3. Вектор повернутой скорости этой точки направлен по линии проходящей через МЦОВ звена 3 и саму точку К. Начало вектора - в точке К,

конец - на эпюре . Далее соединим точку К с точкой D. Вектор аналога повернутой скорости точки D направлен по звену 3, начало - в точке D, конец на эпюре .

Таким же способом можно найти вектор повернутой скорости центра тяжести звена 3.

Скорость точек определяют как

Аналог угловых скоростей определяем

9. Определение аналогов ускорений в механизме

Рассмотрим построение плана аналогов ускорений для кривошипно-ползунного механизма, (рис. 30)

Рис. 2.30



Определяем сначала аналоги угловых скорости звеньев. Они могут быть определены с помощью МЦВ звена, либо с помощью построения полярного плана аналогов скоростей.

Затем строим план аналогов ускорений в такой последовательности:

От произвольно выбранного полюса откладываем вектор центростремительного ускорения точки В в размере кривошипа АВ в направлении от В к А.

Для определения вектора аналога абсолютного ускорения точки С решаем совместно 2 векторных уравнений

(2.5)

Здесь вектор аналога центростремительного относительного ускорения и направление его совпадает с направлением СВ от С к В (центру вращения звена). Конец вектора обозначаем "n". Из n проводим вектор аналога тангенциального ускорения до пересечения с направлением вектора аналога абсолютного ускорения . Точка пересечения этих двух направлений и даст нам конец вектора аналога абсолютного ускорения точки С ().

Величина аналога ускорения определится так

Величина ускорения определится так

Вектор аналога ускорений точки определится построением точки на плане аналогов ускорений.

Аналоги угловых ускорений звеньев определятся из равенств

Угловое ускорение звена определится как

Рассмотрим построение плана ускорений для кулисного механизма, (рис. 2.31).

Рис. 2.31

Порядок построения плана:

Из полюса откладываем вектор аналога центростремительного ускорения точку , направление которого совпадает с направлением кривошипа, а длина равна радиусу кривошипа

Аналог ускорение точки ползуна равен ускорению точки , т.к. они соединены вращательной парой.

Ускорение точки , принадлежащей кулисе, находим, решив совместно два векторных уравнения

где, - изображение на чертеже аналога кориолисова ускорения.

Аналог кориолисова ускорения находится по формуле

Вектор кориолисова ускорения всегда перпендикулярен кулисе и направлен в ту же сторону, что и аналог повернутой относительной скорости , если . Если (то есть вектор направлен от центра вращения), то кориолисово ускорение направлено в сторону противоположную .

Если пользоваться полярным планом аналогов скоростей, то для нахождения направления нужно аналог относительной скорости повернуть на в сторону вращения кулисы.

- изображение аналога релятивного ускорения, направленного по кулисе.

Из конца вектора проводим вектор . Из конца последнего проводим прямую линию, параллельную кулисе. Эта прямая определяет геометрическое место релятивного ускорения .

В соответствии со вторым векторным уравнением из полюса откладываем вектор аналога центростремительного ускорения точки относительно С, причем

и совпадает с кулисой, то есть . Затем из конца вектора проводим прямую линию перпендикулярно кулисе, эта прямая является направлением аналога вращательного ускорения .

Точку пересечения последней линии с направлением релятивного ускорения обозначим "". Таким образом, отрезки

Аналоги ускорения найдутся следующим образом

и т.д.

Величина ускорений найдется так

и т.д.

Аналог углового ускорения кулисы

величина углового ускорения равна

10. Определение скоростей и ускорений методом построения кинематических диаграмм

Кинематической диаграммой принято называть зависимость какого-либо параметра движения звена от времени или параметра перемещения ведущего звена, представляемую графически кривой в прямоугольной системе координат.

Наивысший интерес представляют графики перемещения S, скорости V, ускорений W ведомых звеньев. В качестве параметра перемещения S ведущего звена могут быть выбраны, либо угол поворота , либо одна из координат принадлежащей ему точки. Эти параметры связаны с параметром времени.

Как известно, функции S,V и W движения какой-либо точки могут быть определены при помощи дифференцирования или интегрирования.

Построение диаграммы перемещения.

Строим 12 положений.(см.рис. 2.23)

За начало отсчета принимаем положение поршня Во.

Затем, выбрав систему координат ,t по оси абсцисс откладываем отрезок L(мм) соответствующий времени Т одного оборота кривошипа.

Откладываем ; и т.д., где ; и т.д. отрезки, отражающие перемещения т.В на планах механизма.

k-коэффициент кратности ординат графика и отрезков изображающих перемещения , т.В на планах механизма.

Между масштабом плана механизма и масштабом ординат диаграммы перемещений существует зависимость:

Масштаб времени, откладываемого по оси абсцисс:



Рис. 2.32

где Т - время одного оборота ведущего звена в секундах.

Если число оборотов кривошипа равно , то

Аналогично строится график угловых перемещений звена совершающее вращательное движение. В этом случае по оси ординат откладываются отрезки пропорциональные величинам угловых перемещений.

Построение графиков скорости и ускорения по графику перемещения

Построение графиков и по графику осуществляется методом графического дифференцирования, сущность которого заключается в следующем.

Пусть есть перемещение некоторой точки за малый промежуток времени. Проведем секущую ВС, а из полюса Р, выбранного произвольно на расстоянии Н от начала координат луч, параллельный ВС. Из подобия РАО и ВОД следует:

Действительное значение перемещения за время отображается отрезком:



Отрезок оси абсцисс - отображает длительность интервала времени в масштабе.

Подставив эти значения и в равенство найдем:

(2.6)

отношение представляет среднее значение скорости движения точки на пути длинной , то следует:

(2.7)

Если принять масштаб скорости

то из равенства (4) отрезок ОА отображает величину средней скорости движения точки.

Допуская некоторую погрешность, считают, что это среднее значение скорости соответствует среднему мгновению промежутка t, т.е. точке F.

При изложенном способе дуга ВС заменилась хордой ВС. Допустима также замена дуги соответствующим отрезком касательной. В обоих случаях результаты получаются с погрешностью.

(Рассмотрим на примере рис. 2.32)

График ускорения строится аналогично, путем дифференцирования графика V. При этом новое полюсное расстояние

Определение масштаба графика получаем, заменив величину , а вместо

Вследствие двукратного дифференцирования, диаграммы могут получиться со значительными искажениями.

11. Кинематическое исследование рычажных механизмов аналитическим методом

Аналитическое исследование дает возможность получить зависимости кинематических параметров механизма и, следовательно, достичь более точных результатов, чем при графическом методе. В настоящее время этот метод получает все большее распространение благодаря внедрению в практику ЭВМ.

Аналогии скоростей и ускорений, при кинематическом исследовании механизмов, скорости и ускорения ведомых звеньев и точек, удобно выражать в функции поворота или перемещения S ведущего звена.

Функцией положения ведомого звена называется зависимость его перемещения от перемещения ведущего звена. Вид функции положения зависит от схемы механизма, а значения постоянных, которые входят в нее - от размерных параметров механизма. Для того чтобы составить функцию положения механизма, следует рассмотреть фигуру, которую образуют оси его звеньев. Из геометрических свойств этой фигуры находят искомую зависимость.

Аналогом скорости точки называется первая производная радиуса - вектора точки по обобщенной координате.

Аналогом ускорением точки называется вторая производная радиуса - вектора точки по обобщенной координате механизма.

Кинематическое исследование проведем на примере кривошипно-ползунного механизма (рис 2.33).

Пусть заданы размеры центрального кривошипно-ползунного механизма

; ;

и угловая скорость .

Независимым параметром является угол поворота

.

Рис. 2.33

Выведем формулы для определения скорости , и ускорения ползуна.

За время поворота кривошипа на угол перемещение т. B будет:



Или

(2.8)

по теореме синусов можно написать:

откуда

- коэффициент шатуна

, a

Разложим двучлен в ряд по формуле Бинома Ньютона

тогда

Пренебрегаем всеми членами, начиная с третьего в виду их малости. Подставляем значение в формулу для перемещения S, получим:



Последовательно дифференцируя получим скорость т.В

Ускорение т. В

Формулы для шатуна

Размещено на Allbest.ru