Исследование гравитационных волн в атмосфере

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Исследование гравитационных волн в атмосфере



Содержание

1. К теории линейных гравитационных волн в атмосфере при отсутствии завихренности

1.1 Постановка задачи

1.2 Основные уравнения

1.3 Волны в протяженных слоях атмосферы

1.4 Приземные волны (длинные волны)

2. Альтернативный вывод скорости распространения линейных гравитационных волн в атмосфере

2.1 Постановка задачи

2.2 Основные уравнения

3. К теории линейных волн во вращающейся атмосфере в приближении мелкой воды

3.1 Постановка задачи

3.2 Основные уравнения

4. К теории линейных волн во вращающейся атмосфере конечной толщины

4.1 Постановка задачи

4.2 Основные уравнения

Литература



1. К теории линейных гравитационных волн в атмосфере при отсутствии завихренности

гравитационный волна атмосфера

Классические теории распространения волн в атмосфере, развитые в приближении мелкой воды, не дают удовлетворительного количественного совпадения скорости волны с наблюдаемыми значениями скорости распространения барических возмущений в атмосфере. В настоящей статье теория линейных волн в приближении мелкой воды развита с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева. Получено выражение для скорости волны, зависящее от функции перегрева. Полученное выражение для скорости волны дает лучшее совпадение с данными наблюдений в отличие от классической теории.

1.1 Постановка задачи

При анализе волновых движений в атмосфере часто пользуются результатами теории волн в приближении мелкой воды [1, 4]. Согласно этой теории скорость распространения волн определяется выражением

, (1)

где - ускорение силы тяжести (ускорение свободного падения); - волновое число, - длина волны; - эффективная толщина атмосферы. В приближении глубокой воды скорость волны соответственно записывается в виде



. (2)

А в приближении длинных волн скорость волны описывается выражением

. (3)

Если провести расчеты по формуле (3) для высоты , то для скорости волны получим . Здесь речь идет о гравитационных волнах такого масштаба, в которых можно пренебречь влиянием силы Кориолиса. Под волнами понимается распространение возмущений изобарической поверхности. Характерное значение скорости распространение барических возмущений в атмосфере порядка . Очевидно, что выражения для скорости распространения волны, представленные формулами (1) - (3), не могут количественно описывать распространение барических возмущений в атмосфере. А именно это представляет практический интерес при исследовании волновых процессов.

Целью настоящего раздела является применение приближения мелкой воды к волновым процессам в атмосфере.

1.2 Основные уравнения

Рассмотрим движение сухого воздуха, описываемого уравнением движения идеальной жидкости в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли, без учета силы Кориолиса:



. (4)

В проекциях на оси координат (рис. 1) оно записывается в виде:

, (5)

, (6)

. (7)

Рисунок 1. К теории волн в атмосфере в приближении мелкой воды.

В состоянии равновесия (статики):

, , , . (8)

В уравнениях (4) - (7) - плотность воздушной частицы; - плотность окружающей воздушную частицу атмосферы. Параметры окружающей атмосферы мы рассматриваем как невозмущенное состояние. Из уравнения состояния сухого воздуха (уравнения Менделеева - Клапейрона для идеального газа) следует:

, , (9)

где , - давление внутри и снаружи воздушной частицы; , - температура, соответственно, внутри и снаружи воздушной частицы; - удельная газовая постоянная сухого воздуха.

Будем считать, что температура окружающей атмосферы изменяется по закону [2]:

, , ,

, (10)

где - вертикальный градиент температуры окружающего воздуха; - температура окружающего воздуха у поверхности земли. Будем также считать, что движение воздушной частицы происходит адиабатически. Тогда температура поднимающейся воздушной частицы будет изменяться по закону [2]:

, , ,

, (11)

где - температура поднимающейся воздушной частицы у поверхности земли; - сухоадиабатический градиент температуры. Представим [3]:

, (12)



где - функция перегрева. С учетом формул (10) - (12) функция перегрева запишется в виде [3]:

, (13)

где - значение функции перегрева у поверхности земли; .

Сделаем следующее допущение: . В этом приближении Буссинеска для плотности движущейся воздушной частицы можно записать выражение [1]:

, (14)

где - коэффициент теплового расширения воздуха, равный , .

Уравнение неразрывности в декартовой системе координат:

. (15)

В приближении Буссинеска зависимостью плотности воздуха от температуры в уравнении неразрывности мы пренебрегаем. В этом случае уравнение неразрывности сведется к выражению:

. (16)

В проекциях на оси координат отсутствие дивергенции запишется в виде:

. (17)

Предположим, что движение носит безвихревой характер, то есть:

. (18)

Запишем выражение для вихря скорости в проекциях:

, , . (19)

Так как ротор от градиента произвольной скалярной функции равен тождественно нулю, то можно ввести потенциал скорости :

, (20)

, , . (21)

Непосредственной подстановкой формул (21) в выражения (19), убеждаемся, что:

.

Из формул (16) и (20) следует, что потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа. Действительно:



или . (22)

Подставив выражение (20) в уравнение движения (4), получим:

. (23)

Сделаем преобразование правой части уравнения (23), для чего запишем ее в проекции на вертикальную ось (рис. 1):

.

Тогда уравнение (23) можно записать в виде:

, где

.

Из векторного анализа известно соотношение:

.

Подставляя его, запишем уравнение движения:

.

Интегрируя последнее уравнение, получим:

, или

.

Константу найдем из условия, что при значении и в состоянии покоя: ,

Поэтому:

. (24)

Таким образом, получаем систему уравнений (22) и (24). Запишем граничные условия у поверхности земли и на поверхности волны. Уравнение поверхности запишем в виде (рис. 1):



. (25)

Дифференцируя обе части (25) по времени , получим:

, или , . (26)

Применяя уравнение (24) к поверхности волны, запишем:

. (27)

Вертикальная составляющая скорости у плоской поверхности земли (без учета орографии) равна нулю:

или . (28)

Применяя процедуру линеаризации к (26) и (27), получим:

при , (29)

при . (30)

Дифференцируя уравнение (30) по времени , получим:

.

С учетом (29), получим уравнение для потенциала скорости в виде:



. (31)

Решим полученное уравнение для двух частных случаев: глубокой и мелкой воды или в случае атмосферы назовем их приближениями протяженной и тонкой атмосферы.

1.3 Волны в протяженных слоях атмосферы

В общем случае допущение о независимости плотности воздуха от давления в протяженных слоях атмосферы не имеет места. Поэтому можно говорить только об однородной атмосфере с некоторой средней плотностью.

Волны в атмосфере в этом случае описываются системой уравнений (22) и (31):

,

.

Решение данного уравнения ищем в виде:

. (32)

Подставляя данное решение в уравнение Лапласа (22), получим:

, (33)

где . Или: .

Общее решение данного уравнения имеет вид:

. (34)

Для волн в протяженной атмосфере возмущения при (т.е. к поверхности земли) должны стремиться к нулю, т.е.. Этому условию удовлетворяет первое слагаемое в уравнении (34). Поэтому для волн в протяженной атмосфере мы должны положить:

. (35)

Тогда для потенциала скорости получим выражение:

. (36)

Подставляя его в формулу (31), получим дисперсионное соотношение:

. (37)

Для скорости волны в протяженной атмосфере получим выражение:

. (38)

Отсюда следует, что в волновое движение вовлекается только холодный воздух. Для частоты колебаний точек поверхности волны получим:

. (39)

Полученные выражения для скорости волны и частоты колебаний точек поверхности волны зависят от функции перегрева.

Из выражения (36) для потенциала скорости следуют формулы для проекций скорости: горизонтальной по оси и вертикальной по оси :

, (40)

. (41)

Обе проекции скорости меняются по синусоидальному закону с одинаковой амплитудой , убывающей с приближением к поверхности земли. Однако в любой точке проекции скорости отличаются фазами колебаний. Проекция скорости по оси отстает по фазе на 90° от вертикальной составляющей скорости (что выражается множителем ). Это означает, что вектор скорости вращается по часовой стрелке. Действительно, из формул (40) и (41) следует, что при значении и :

,

.

Тогда, для реальных частей этих выражений получим:

, .

Отсюда видно, что, если в начальный момент времени имело место:



, ,

т.е. вектор скорости был направлен вертикально вверх, то в следующий момент времени, обе проекции остаются положительными, но вертикальная проекция уменьшается, а горизонтальная проекция растет, а это возможно, если вектор скорости вращается по часовой стрелке. Модуль скорости равен:

. (42)

Частицы воздуха вращаются по окружности радиусом:

. (43)

Из полученного выражения следует, что радиус вращения частиц воздуха зависят от функции перегрева.

В широких слоях атмосферы длина волны при значении меньше - короткие волны. Скорость распространения волн в протяженной атмосфере при значении , : , частота колебаний точек поверхности волны . При значении , : , . Численный расчет по полученным выражениям находится в хорошем согласии с данными наблюдений [2].



1.4 Приземные волны (длинные волны)

В невозмущенном состоянии атмосферы изобарическая поверхность некоторого уровня (например, 500 мбар) повторяет форму геоида. Так как начало координат совпадает с невозмущенной поверхностью, то для условия неглубокой конвекции давление изменяется по гидростатическому закону:

, (44)

где - атмосферное давление на определенном уровне. Обозначим толщину слоя атмосферы . Тогда у земли при значении , давление будет равно:

, .

Уравнение поверхности запишем в виде (25):

. (45)

Тогда давление возмущенной атмосферы будет равно:

, (46)

,

,

, ,

,



где - возмущение давления, вызванное образованием волны на невозмущенной изобарической поверхности. Так как на поверхности волны давление равно , то отсюда следует, что:

, . (47)

Согласно уравнению (31):

. (48)

Согласно граничному условию (28), вертикальная составляющая скорости у плоской поверхности земли равна нулю:

или . (49)

Так как

, (50)

.

Тогда

.

Отсюда следует, что:

, .

Подставляя полученные значения констант в формулу (50), запишем:

. (51)

Итак

, (52)

, (53)

где по определению гиперболических функций записано:

, .

Подставляя выражение (51) в формулу (48), получим:

.

Для уровня :

.

Дисперсионное соотношение получим в виде:

, (54)

где по определению гиперболического тангенса записано . Отсюда для скорости волны получим выражение:

. (55)

Запишем эту формулу в предельном случае, когда . Это значит, что: ,

т.е. толщина слоя атмосферы намного меньше длины волны (условие длинных волн на поверхности воды). Найдем предел:

.

Здесь мы применили правило Лопиталя. Отсюда следует, что при малых имеет место приближенное равенство . Тогда из формулы (55) следует:

. (56)

Оценим значение скорости волны при следующих значениях параметров: , . Подставляя численные значения, для скорости волны получим , а для перегрева скорость волны будет . Заметим, что, если бы мы применили известное выражение для скорости волны в баротропной атмосфере , то мы получили бы явно завышенное значение .

Из формулы (55) следует, что при , т.е. при значении гиперболический тангенс порядка единицы и формула (55) принимает вид:

. (57)

Отсюда следует, что для протяженной атмосферы, например высотой , волна длинной движется со скоростью порядка при перегреве .



Выводы

Таким образом, в разделе разработана теория линейных волн для бароклинной атмосферы и получена система уравнений, описывающая их в приближении Буссинеска. С ее помощью описаны волны в протяженных слоях атмосферы и приземные (длинные) волны. Речь идет о гравитационных волнах такого масштаба, в которых можно пренебречь влиянием силы Кориолиса. Под волнами понимается распространение возмущений изобарической поверхности. Классические теории распространения волн в приближении мелкой воды не могут количественно описывать распространение барических возмущений в атмосфере. Полученные в настоящей статье выражения для скорости распространения волн дают значения скорости, совпадающие с характерным значением скорости распространение барических возмущений в атмосфере.



2. Альтернативный вывод скорости распространения линейных гравитационных волн в атмосфере

2.1 Постановка задачи

Выше мы привели вывод для скорости распространения волны в атмосфере, заранее предполагая, что движение воздуха носит безвихревой характер. Ниже мы дадим альтернативный вывод, в котором безвихревой характер движения заранее не предполагается.

2.2 Основные уравнения

Уравнение движения. Рассмотрим движение сухого воздуха, описываемого уравнением движения идеальной жидкости в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли, без учета силы Кориолиса:

. (4)

В проекциях на оси координат (рис. 1) оно записывается в виде:

, (5)

, (6)

. (7)



В состоянии равновесия (статики):

, , , . (8)

В уравнениях (4) - (7) - плотность воздушной частицы; - плотность окружающей воздушную частицу атмосферы. Параметры окружающей атмосферы мы рассматриваем как невозмущенное состояние. Из уравнения состояния сухого воздуха (уравнения Менделеева - Клапейрона для идеального газа) следует:

, , (9)

где , - давление внутри и снаружи воздушной частицы; , - температура, соответственно, внутри и снаружи воздушной частицы; - удельная газовая постоянная сухого воздуха.

Будем считать, что температура окружающей атмосферы изменяется по закону [4]:

, (10)

где - вертикальный градиент температуры окружающего воздуха; - температура окружающего воздуха у поверхности земли. Будем также считать, что движение воздушной частицы происходит адиабатически. Тогда температура поднимающейся воздушной частицы будет изменяться по закону [4]:

, (11)

где - температура поднимающейся воздушной частицы у поверхности земли; - сухоадиабатический градиент температуры. Представим [3]:

, (12)

где - функция перегрева. С учетом формул (10) - (12) функция перегрева запишется в виде [3]:

, (13)

где - значение функции перегрева у поверхности земли; .

Сделаем следующее допущение: . В этом приближении для плотности движущейся воздушной частицы можно записать выражение [1]:

, (14)

где - коэффициент теплового расширения воздуха, равный , . Выражение (14) называется приближением Буссинеска.

Давление можно представить в виде . Тогда уравнения (5) - (7) запишутся в виде

, (15)

, (16)

. (17)

Уравнение неразрывности в декартовой системе координат:

. (18)

В приближении Буссинеска зависимостью плотности воздуха от температуры в уравнении неразрывности мы пренебрегаем. В этом случае уравнение неразрывности сведется к выражению:

. (19)

В проекциях на оси координат отсутствие дивергенции запишется в виде:

. (20)

Уравнение поверхности запишем в виде:

. (21)

Дифференцируя обе части (21) по времени , получим:

, (22)

Линеаризуем систему уравнений (15) - (27), пренебрегая в них вертикальным ускорением:

, (23)

, (24)

. (25)

Линеаризуем уравнение (22):

, . (26)

Интегрируем уравнение (25) по переменной :

. (27)

Линеаризуем полученное выражение:

. (28)

С учетом выражения (28) система уравнений (23) - (25) запишется в виде

, (29)

, (30)

. (31)

Вертикальная составляющая скорости у плоской поверхности земли (без учета орографии) равна нулю:

. (32)

Таким образом, мы получаем систему уравнений (20), (29), (30). Отличие полученной системы уравнений от выражений, приведенных, в частности, в [2], заключается в уравнениях (29) - (31), где вместо выражения получено. Заметим, что это уточнение связано с тем, что нами учтена зависимость плотности воздуха от функции перегрева.

Далее поступим также как и в [5], возьмем производную по переменной от (29) и по переменной от (30) и сложим:

С учетом уравнения неразрывности (20) запишем

. (33)

Уравнение переноса вихря получается из уравнений движений (29) и (30) дифференцированием (29) по переменной , а (30) по переменной и вычитанием полученных выражений:

,

. (34)

Отсюда следует, что в линейной теории волн вертикальная составляющая вихря скорости остается постоянной во времени. Поэтому можно положить её равной нулю:

.

В общем случае компоненты скорости можно представить в виде

, , . (35)

Здесь первое слагаемое описывает потенциальную составляющую скорости, а второе слагаемое - соленоидальную составляющую. При этом выполняется уравнение неразрывности (20), из которой следует

, (36)

т.е. потенциал скорости подчиняется уравнению Лапласа. Вертикальная составляющая вихря равна

. (37)

Будем искать решение полученной системы в виде:

, , , . (38)

Тогда

. (39)

Из уравнений (29), (30) и (20) получим

, (40)

, (41)

. (42)

Отсюда:

, (43)

. (44)

Сравнивая полученные равенства с выражениями (35), для амплитуд потенциала скорости и функции тока находим

, . (45)

Отсюда, для амплитуды вертикальной составляющей скорости получим

. (46)

Из уравнения Лапласа для потенциала скорости следует:

. (47)

Решение этого уравнения будем искать в виде

. (48)

Тогда для амплитуды возмущения поверхности получим уравнение

, (49)

где . Это уравнение имеет решение

, (50)

где , - константы, - волновое число, величина положительная.

Из граничного условия (32) и уравнения (46) следует, что

, . (51)

Подставляя выражение (50) для амплитуды в граничное условие (51), получим

.

Отсюда следует, что

, .

Подставляя эти равенства в выражение (50), для амплитуды возмущения получим

. (52)

Подставляя в уравнение (33) выражение для величины из формул (38) , получим

. (53)

Из уравнения (26) следует

.



Подставляя полученное выражение в уравнение (53), получим

.

С учетом уравнения (47) получим

.

Так как амплитуда согласно формуле (52) описывается гиперболическим косинусом, то в правой части полученного выражения множителем будет гиперболический косинус, а в левой части - гиперболический синус. Но при отрицательных значениях переменной гиперболический косинус положителен, а гиперболический синус отрицателен. Поэтому с учетом правила знаков запишем выражение в виде

.

Один раз проинтегрируем и запишем

.

С учетом выражения (52) для значения получим дисперсионное соотношение



,

,

. (54)

Отсюда для скорости волны запишем

. (55)

Таким образом, для возмущенной поверхности волны получим

, . (56)



Вывод

Таким образом, заранее не предполагая, что движение воздуха носит безвихревой характер, мы получили выражение для скорости распространения волны в атмосфере, аналогичное тому, что нами было получено в предыдущем разделе.



3. К теории линейных волн во вращающейся атмосфере в приближении мелкой воды

Классические теории распространения волн во вращающейся атмосфере, так называемых планетарных волн, развитые в приближении мелкой воды, не дают удовлетворительного количественного совпадения скорости волны с наблюдаемыми значениями скорости распространения барических возмущений в атмосфере. В данном разделе контрольной работы теория линейных планетарных волн в приближении мелкой воды развита с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева. Получено выражение для скорости планетарной волны, зависящее от функции перегрева. Полученное выражение для скорости волны дает лучшее совпадение с данными наблюдений в отличие от классической теории.

3.1 Постановка задачи

При анализе планетарных волн часто пользуются результатами теории волн в приближении мелкой воды [1, 3]. Согласно этой теории скорость распространения волн определяется выражением

, (1)

где - ускорение силы тяжести (ускорение свободного падения); - эффективная толщина атмосферы.

Если провести расчеты по формуле (1) для высоты , то для скорости планетарной волны получим . Под волнами понимается распространение возмущений изобарической поверхности. Характерное значение скорости распространение барических возмущений в атмосфере порядка . Очевидно, что выражение для скорости распространения планетарной волны, представленное формулой (1), не может количественно описывать распространение барических возмущений в атмосфере. А именно это представляет практический интерес при исследовании планетарных волн.

Целью настоящей статьи является применение приближения мелкой воды к теории планетарных волн с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева.

3.2 Основные уравнения

Уравнение движения. Рассмотрим движение сухого воздуха, описываемого уравнением движения идеальной жидкости в неинерциальной системе отсчета, с учетом вращения Земли:

. (1)

Рассмотрим плоскость, касательную к поверхности геоида в данной точке поверхности Земли (рис. 1). Ось направим перпендикулярно поверхности геоида. Запишем уравнение (1) в проекциях на оси координат:

, (2)

, (3)

, (4)

где - угол между касательными к геоиду и к сфере в данной точке поверхности Земли. На полюсах и на экваторе касательные плоскости сферической и геоидальной модели параллельны, следовательно , а значит . На широте : .

Проекции угловой скорости вращения Земли:

, , .

В случае геоида имеет место равенство:

,

которое является условием формирования геоида. Тогда получим систему уравнений

, (5)

, (6)

, (7)



В состоянии равновесия (статики):

, ,

. (8)

Здесь - плотность воздушной частицы; - плотность окружающей воздушную частицу атмосферы; - ускорение свободного падения.

Давление можно представить в виде . Тогда уравнения (5) - (7) запишутся в виде

, (9)

, (10)

, (11)

Уравнение состояния. Параметры окружающей атмосферы мы рассматриваем как невозмущенное состояние. Из уравнения состояния сухого воздуха (уравнения Менделеева - Клапейрона для идеального газа) следует

, , (12)

где , - давление внутри и снаружи воздушной частицы; , - температура, соответственно, внутри и снаружи воздушной частицы; - удельная газовая постоянная сухого воздуха.

Будем считать, что температура окружающей атмосферы изменяется по закону:

, (13)

где - градиент температуры окружающего воздуха; - температура окружающего воздуха у земли. Будем также считать, что движение воздушной частицы происходит адиабатически. Тогда температура поднимающейся воздушной частицы будет изменяться по закону:

, (14)

где - температура поднимающейся воздушной частицы у земли; - сухоадиабатический градиент температуры. Представим

, (15)

где - функция перегрева. С учетом формул (13) - (15) функция перегрева запишется в виде:

, (16)

где - значение функции перегрева у земли; .

Сделаем следующее допущение: . В этом приближении для плотности движущейся воздушной частицы можно записать выражение:

, (17)

где - коэффициент теплового расширения воздуха, равный , .

Правую часть уравнения (11) можно представить в виде

.

Таким образом, мы получим систему уравнений

, (18)

, (19)

. (20)

Уравнение неразрывности. Запишем уравнение неразрывности

(21)



в виде

. (22)

При условии

, (23)

уравнение неразрывности сведется к выражению

. (24)

В проекциях на оси координат отсутствие дивергенции запишется в виде

. (25)

Уравнение поверхности запишем в виде:

. (32)

Дифференцируя обе части (32) по времени , получим:

, (33)

Линеаризуем систему уравнений (18) - (20), пренебрегая в них вертикальной скоростью по сравнению с горизонтальными проекциями скорости и вертикальными ускорениями:

, (34)

, (35)

. (36)

Линеаризуем уравнение (33):

, . (37)

Интегрируем уравнение (36) по переменной :

.

Линеаризуем полученное выражение:

. (38)

С учетом выражения (38) система уравнений (34) - (36) запишется в виде

, (39)

, (40)

. (41)

Интегрируя уравнение неразрывности (25), считая, что горизонтальные проекции скорости не зависят от вертикальной координаты, получим

.

Вертикальная составляющая скорости у плоской поверхности земли (без учета орографии) равна нулю:

. (42)

Учитывая, что возмущения малы по сравнению с высотой атмосферы , уравнение неразрывности запишем в виде

. (43)

Таким образом, мы получаем систему уравнений (39), (40) и (43). Отличие полученной системы уравнений от выражений, приведенных, в частности, в [2], заключается в уравнениях (39) - (41), где вместо выражения получено. Заметим, что это уточнение связано с тем, что нами учтена зависимость плотности воздуха от функции перегрева.

Поступим также как и в [3], возьмем производную по переменной от (39) и по переменной от (40), считая , и сложим:

.

С учетом уравнения неразрывности (43) запишем

.

Введем обозначение

. (44) Тогда

. (45)

В это уравнение вошла вертикальная составляющая вихря скорости . Заметим, что, хотя уравнение (45) внешне похоже на уравнение, которое получил Кельвин [1], но отличается оно выражением для скорости распространения волны. Согласно Кельвину

скорость волны зависит только от высоты слоя атмосферы, а согласно формуле (44) скорость волны зависит также от функции перегрева.

Уравнение переноса вихря получается из уравнений движений (39) и (40) дифференцированием (39) по переменной , также считая , а (40) по переменной и вычитанием полученных выражений:



,

.

С учетом уравнения неразрывности (43) запишем

,

. (46)

Таким образом, задача свелась к системе уравнений (45) и (46). Будем искать решение этой системы в виде:

, , . Тогда

.

Отсюда

, (47)

. (48) Отсюда получаем

,

. (49)



Решение ищем в виде . Подставляя это выражение в уравнение (49), получим

,

, ,

, , (50)

, . (51)

Таким образом, мы пришли к известному результату [4], что вращение Земли приводит к появлению дисперсии у длинных гравитационных волн. Отличие нашего результата заключается в выражении (44) для скорости волн в приближении мелкой воды в отсутствии вращения Земли.

Уравнение (49) можно получить другим способом. Для этого из уравнений (39), (40) и (43) получим

, (52)

, (53)

. (54)

Запишем систему уравнений (52) - (54) в виде системы линейных неоднородных уравнений:

, (55)

, (56)

. (57)

Дискриминант уравнения равен

.

Найдем определители для решения системы (55) - (57) по формулам Крамера:

,

,

.

, (58)

, (59)

. (60) Подставляя (58) и (59) в (60), получим

. Отсюда получаем уравнение (49):

.

Таким образом, для возмущенной поверхности волны получим

, . (61)

Подставляя выражение (60) в уравнения (58) и (50), получим



, (62)

. (63)



Вывод

Аналогично тому, как мы учли влияние функции перегрева на скорость распространения волн в атмосфере, в этом разделе мы учли влияние функции перегрева на скорость распространения волны во вращающейся атмосфере в приближении мелкой воды.



4. К теории линейных волн во вращающейся атмосфере конечной толщины

Классические теории распространения волн во вращающейся атмосфере, так называемых планетарных волн, развитые в приближении мелкой воды, не дают удовлетворительного количественного совпадения скорости волны с наблюдаемыми значениями скорости распространения барических возмущений в атмосфере. В настоящей статье теория линейных планетарных волн в приближении мелкой воды развита с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева. Получено выражение для скорости планетарной волны, зависящее от функции перегрева. Полученное выражение для скорости волны дает лучшее совпадение с данными наблюдений в отличие от классической теории.

4.1 Постановка задачи

При анализе планетарных волн часто пользуются результатами теории волн в приближении мелкой воды [1, 3]. Согласно этой теории скорость распространения волн определяется выражением

, (1)

где - ускорение силы тяжести (ускорение свободного падения); - эффективная толщина атмосферы.

Если провести расчеты по формуле (1) для высоты , то для скорости планетарной волны получим . Под волнами понимается распространение возмущений изобарической поверхности. Характерное значение скорости распространение барических возмущений в атмосфере порядка . Очевидно, что выражение для скорости распространения планетарной волны, представленное формулой (1), не может количественно описывать распространение барических возмущений в атмосфере. А именно это представляет практический интерес при исследовании планетарных волн.

Целью настоящего раздела является применение теории гравитационных волн к распространению планетарных волн с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева.

4.2 Основные уравнения

Уравнение движения. Рассмотрим движение сухого воздуха, описываемого уравнением движения идеальной жидкости в неинерциальной системе отсчета, с учетом вращения Земли:

. (1)

Рассмотрим плоскость, касательную к поверхности геоида в данной точке поверхности Земли (рис. 1). Ось направим перпендикулярно поверхности геоида. Запишем уравнение (1) в проекциях на оси координат:

, (2)

, (3)

, (4)

где - угол между касательными к геоиду и к сфере в данной точке поверхности Земли. На полюсах и на экваторе касательные плоскости сферической и геоидальной модели параллельны, следовательно , а значит . На широте : .

Проекции угловой скорости вращения Земли:

, , .

В случае геоида имеет место равенство:

,

которое является условием формирования геоида. Тогда получим систему уравнений

, (5)

, (6)

, (7)



В состоянии равновесия (статики):

, ,

. (8)

Здесь - плотность воздушной частицы; - плотность окружающей воздушную частицу атмосферы; - ускорение свободного падения.

Давление можно представить в виде . Тогда уравнения (5) - (7) запишутся в виде

, (9)

, (10)

, (11)

Уравнение состояния. Параметры окружающей атмосферы мы рассматриваем как невозмущенное состояние. Из уравнения состояния сухого воздуха (уравнения Менделеева - Клапейрона для идеального газа) следует

, , (12)

где , - давление внутри и снаружи воздушной частицы; , - температура, соответственно, внутри и снаружи воздушной частицы; - удельная газовая постоянная сухого воздуха.

Будем считать, что температура окружающей атмосферы изменяется по закону:

, (13)

где - градиент температуры окружающего воздуха; - температура окружающего воздуха у земли. Будем также считать, что движение воздушной частицы происходит адиабатически. Тогда температура поднимающейся воздушной частицы будет изменяться по закону:

, (14)

где - температура поднимающейся воздушной частицы у земли; - сухоадиабатический градиент температуры. Представим

, (15)

где - функция перегрева. С учетом формул (13) - (15) функция перегрева запишется в виде:

, (16)

где - значение функции перегрева у земли; .

Сделаем следующее допущение: . В этом приближении для плотности движущейся воздушной частицы можно записать выражение:

, (17)

где - коэффициент теплового расширения воздуха, равный , .

Правую часть уравнения (11) можно представить в виде

.

Таким образом, мы получим систему уравнений

, (18)

, (19)

. (20)

Уравнение неразрывности. Запишем уравнение неразрывности

(21) в виде

. (22) При условии

, (23) уравнение неразрывности сведется к выражению

. (24)

В проекциях на оси координат отсутствие дивергенции запишется в виде

. (25)

Уравнение поверхности запишем в виде:

. (32)

Дифференцируя обе части (32) по , получим:

, (33)

Линеаризуем систему уравнений (18) - (20), пренебрегая в них вертикальной скоростью по сравнению с горизонтальными проекциями скорости и вертикальными ускорениями:

, (34)

, (35)

. (36)

Линеаризуем уравнение (33):

, . (37)

Интегрируем уравнение (36) по :

.

Линеаризуем полученное выражение:

.

С учетом правила знаков запишем полученное выражение в виде:

. (38)

С учетом выражения (38) система уравнений (34) - (36) запишется в виде

, (39)

, (40)

. (41)

Вертикальная составляющая скорости у плоской поверхности земли (без учета орографии) равна нулю:

. (42)

Таким образом, мы получаем систему уравнений (25), (39), (40). Отличие полученной системы уравнений от выражений, приведенных, в частности, в [1], заключается в уравнениях (39) - (41), где вместо выражения получено. Заметим, что это уточнение связано с тем, что нами учтена зависимость плотности воздуха от функции перегрева.

Далее поступим также как и в [3], возьмем производную по переменной от (39) и по переменной от (40) и сложим:

.

Введем обозначение для вертикальной проекции вихря

. (43) Тогда

. (44)

Уравнение переноса вихря получается из уравнений движений (39) и (40) дифференцированием (39) по переменной , а (40) по переменной и вычитанием полученных выражений:



,

,

. (45)

Отсюда следует, что в линейной теории изменение вертикальной скорости с высотой является причиной зарождения вихря.

Подставляя выражение (45) в уравнение (44), получим

,

,

. (46)

Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений (39), (40) и (46).

В общем случае компоненты скорости можно представить в виде

, , . (47)

Здесь первое слагаемое описывает потенциальную составляющую скорости, а второе слагаемое - соленоидальную составляющую. При этом выполняется уравнение неразрывности (24), (25). В частности, из уравнения (25) следует

, (48)

т.е. потенциал скорости подчиняется уравнению Лапласа. Вертикальная составляющая вихря равна

. (49)

Будем искать решение полученной системы в виде:

, , , . (50) Тогда

. (51)

Из уравнений (39), (40) и (25) получим

, (52)

, (53)

. (54)

Запишем систему уравнений (52) - (53) в виде системы линейных неоднородных уравнений:

, (55)

, (56)

Дискриминант уравнения равен

. (57)

Найдем определители для решения системы (55) - (56) по формулам Крамера:

,

. Отсюда

, (58)

. (59)

Сравнивая полученные равенства с выражениями (47), для амплитуд потенциала скорости и функции тока находим

, (60)

. (61)

Отсюда, для амплитуды вертикальной составляющей скорости получим

. (62)

Из уравнения Лапласа для потенциала скорости следует:

. (63)

Решение этого уравнения будем искать в виде

. (64)

Тогда для амплитуды возмущения поверхности получим уравнение

, (65)

где . Это уравнение имеет решение

, (66)

где , - константы, - волновое число, величина положительная.

Из граничного условия (42) и уравнения (62) следует, что

, . (67)

Подставляя выражение (66) для амплитуды в граничное условие (67), получим

. Отсюда следует, что

, .

Подставляя эти равенства в выражение (66), для амплитуды возмущения получим

. (68)

Подставляя в уравнение (46) выражения для величин и из формул (50) и (51), получим

.

С учетом выражения для амплитуды возмущенной поверхности (64) запишем

,

,

. (69) Из уравнения (45) следует

. С учетом (62) получим

,

. (70) Из уравнения (37) следует

.

Подставляя полученное выражение в уравнение (62), получим

,

. (71)

С учетом выражения (68) запишем для условия :

,

,

,

. (72)

Дисперсионное соотношение (72) представим в виде

,

, где

(73)

- скорость волны в отсутствии вращения Земли.

Фазовая скорость волны равна

, . (74)

Таким образом, мы пришли к известному результату [4], что вращение Земли приводит к появлению дисперсии у длинных гравитационных волн.

Из условия найдем скорость волны в приближении мелкой воды. Так как при этом условии , то получим выражение для скорости планетарной волны в приближении мелкой воды:

. (75)

Таким образом, для возмущенной поверхности волны получим

, . (76)

Найдем скорость планетарной волны в приближении бесконечно протяженной по высоте атмосфере. В этом случае и , поэтому получим

, .



Вывод

Традиционно описание волн во вращающейся атмосфере проводится в приближении мелкой воды. В этой главе контрольной работы мы получили выражение для скорости волны во вращающейся атмосфере конечной толщины, кроме того, мы учли также влияние функции перегрева.



Список литературы

Основная литература

1. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. - М.: Мир, 1986, Т. 1, 399 с.; Т. 2, 416 с.

2. Динамическая метеорология. Теоретическая метеорология. /Под ред. Д. Л. Лайхтмана. - Л.: Гидрометеоиздат, 1976, 607 с.

3. Должанский Ф.В. Лекции по геофизической гидродинамике. М.: ИВМ РАН, 2006, 378 с.

4. Лоренц Э. Н. Природа и теория общей циркуляции атмосферы. - Л.: Гидрометеоиздат, 1970, 259 с.

5. Матвеев Л.Т. Теория общей циркуляции атмосферы и климата Земли. - Л.: Гидрометеоиздат, 2011, 295 с.

6. Монин А.С. Теоретические основы геофизической гидродинамики. - Л.: Гидрометеоиздат, 1988, 424 с.

7. Пальмен Э., Ньютон Ч. Циркуляционные системы атмосферы. - Л.: Гидрометеоиздат, 1973, 616 с.

8. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. - М.: Мир, 1984, т.1, т.2, 811 с.

9. Погосян Х.П. Общая циркуляция атмосферы. - Л.: Гидрометеоиздат, 1972, 394 с.

10. Хргиан А.Х. Физика атмосферы. - М.: изд-во МГУ, 1986, 328 с.

11. Хук У.X., Госсард Э.Э. Волны в атмосфере. - М.: Мир, 1978, 532 с.

12. Эккарт К. Гидродинамика океана и атмосферы. - М.: Научный мир, 2014, 328 с.

Дополнительная литература

1. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. - М.: Мир, 1986, Т. 1, 399 с.; Т. 2, 416 с.

2. Грицаева М.Н., Волочай М.А., Закинян Р.Г. Влияние центробежной силы инерции на градиентный ветер в крупномасштабных вихревых процессах. Материалы 54-й научно-методической конференции преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука - региону». - Ставрополь: СГУ, 2009, С. 78 - 79.

3. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. - М.: Мир, 1984, т.1, т.2, 811 с.

4. Хук У.X., Госсард Э.Э. Волны в атмосфере. - М.: Мир, 1978, 532 с.

Размещено на Allbest.ru