Розрахунок енергетичних зон та поверхонь Фермі натрію і магнію

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВІННИЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра електроніки

КУРСОВА РОБОТА

з "Фізики твердого тіла"

на тему: Розрахунок енергетичних зон та поверхонь Фермі натрію і магнію

Студента

Фурмана В.А.

Вінниця

2014



ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ

на курсову роботу з дисципліни "Фізика твердого тіла"

студенту Фурману В.А групи МЕ-12

ТЕМА: "Розрахунок енергетичних зон та поверхонь Фермі натрію і магнію"

1. проаналізувати існуючі методи розрахунків енергетичних зон і поверхонь Фермі.

2. провести розрахунок енергетичних зон і поверхонь Фермі для магнію і натрію.

3. розробити програму розрахунку енергетичних зон і поверхонь Фермі.

Вихіднідані: Валентність натрію, атомна масса натрію А=23, атомна маса магнію=24, валентність магнію, радіус іона натрію, радіус іона магнію , густина натрію , густина магнію .

Зміст ПЗ до курсової роботи



ЗМІСТ

Анотація

Вступ

1. Аналіз теоретичної бази методів розрахунку енергетичних зон і Поверхонь Фермі

2. Розрахунок енергетичних зон і Поверхонь Фермі

3. Приклад програми розрахунку енергії Фермі

3.1 Інструкція КОРИСТУВАЧА

3.2 Лістинг програми

3.3 Тестування програми

Висновки

Перелік посилань



АНОТАЦІЯ

Проаналізовано існуючі методи розрахунку енергетичних зон та поверхонь Фермі. Проведено розрахунок поверхні Фермі двох металів: натрію і магнію, в процесі якого обчислено: енергію Фермі цих металів, швидкість електронів на поверхні Фермі, хвильовий вектор поверхні Фермі; побудовано графіки залежностей енергії Фермі від кількості валентних електронів та від об'єму "порожнеч", приходячого на один валентний електрон. Розроблено програму в середовищі С++ для обчислення за основною формулою.



ВСТУП

Безліч людей вважають, що вони знають, що таке метал і які його властивості. При відповіді на питання, що таке метал, практично кожен знає його основні ознаки, такі, наприклад, як електро-і теплопровідність. Фізик повинен відповісти на питання, з якими особливостями структури металу пов'язані ці властивості і чи можна їх змінити. Для цього будується вихідна модель металу - це сукупність позитивно заряджених вагається іонів і системи порівняно вільних колективізованих валентних електронів. Але можна визначити метал і як тверде тіло, що володіє фермі-поверхнею, це фізичне визначення відображає сутність металевих властивостей. Розрахунок поверхні Фермі - одне з фундаментальних в квантовій механіці, він дозволяє зрозуміти і пояснити основні фізичні властивості металу, такі як здатність проводити електричний струм і тепло, його твердість і зовнішній блиск і деякі інші.

Метою роботи є розрахунок енергетичних зон і поверхонь Фермі двох металів: натрію і магнію.

Задачі дослідження:

· проаналізувати існуючі методи розрахунків енергетичних зон і поверхонь Фермі;

· провести розрахунок енергетичних зон і поверхонь Фермі для магнію і натрію;

· розробити програму розрахунку енергетичних зон і поверхонь Фермі.

Об'єктом дослідження є процесутворення енергетичних зон і поверхонь Ферміметалів.

Структура курсової роботи.

Курсова робота складається з трьох основних розділів. В першому розділі наведено аналіз теоретичної бази методів розрахунку енергетичних зон і поверхонь Фермі. У другому розділі наведено розрахунок енергетичних зон і поверхні Фермі двох металів: натрію і магнію, а також побудовано графіки залежностей енергії Фермі від різних чинників. Третій розділ містить інструкцію користувача, лістинг програми, та результати програми.



1. АНАЛІЗ ТЕОРЕТИЧНОЇ БАЗИ МЕТОДІВ РОЗРАХУНКУ ЕНЕРГЕТИЧНИХ ЗОН І ПОВЕРХОНЬ ФЕРМІ

Часто виникає питання, визначенняхарактеру руху електронів з енергією, близькою до (1.1). Характер ж руху електронів, у свою чергу, визначає фізику різних явищ, які спостерігаються при впливі на метал магнітного поля. Це можна здійснити за допомогою розрахунку поверхні Фермі.

Поверхнею Фермі називається ізогернетична поверхня в просторі. У разі вільних електронів ця поверхня має форму сфери. Форма поверхні для електронів провідності металу залежить від властивостей кристалічної решітки і має складний, часом химерний вигляд. Для ряду металів форма поверхні Фермі встановлена ??експериментально з великою точністю. Завдяки цій поверхні існують енергетичні зони.[1]

Енергетична зона - обмежена область значень енергії електронів у твердому тілі (діелектрику, ПП, металі), що включає допускання (дозволена зона) або заборону (заборонена зона) значення енергії. Існування енергетичних зон дозволяє пояснити з точки зору існування металів, напівпровідників і діелектриків [1-2].

Щоб з'ясувати питання визначення характеру руху електронів, можна скористатися розрахунком енергетичних зон і поверхонь фермі. Розрахунок енергетичних зон і поверхонь Фермі можна здійснити за двома методами.

Перший полягає в тому, що можна взяти рівняння Шредінгера в наближенні невзаємодіючих частинок

(1.1)

і спробувати сконструювати ab initio деяку реалістичну форму потенціалу , що діє на електрони в металі. Вихідною точкою при конструюваннізазвичай служить потенціал вільного іона, знайдений з рішення рівнянь Хартрі-Фока [3].Після того як потенціал «сконструйований», можна скористатися деякими готовими методами розв'язання рівняння (1.1) з відповідними граничними умовами, існуючими в реальному металі. На жаль, точне визначенняускладнене тим, що розрахунок багатьох вкладів в вимагає знання хвильових функцій електронів провідності, які можна найти, лише вирішуючи рівняння (1.1). Іншими словами, точне визначення Е(к) і з основних принципів вимагає вирішення надзвичайно складного завдання самоузгодження, подібної задачі розв'язання рівнянь Хартрі-Фока для атома або іона, але ставши набагато більш складною через набагато більшого числа частинок і рівнянь. В даний час самоузгоджені розрахунки для електронів в металі тільки починаютьвиконувати.

Другий метод, особливо широко застосовувався для розрахунку зонних структур в простих металах, пов'язаний з використанням псевдопотенціала; цей метод зобов'язаний своїм успіхом тому факту, що модель свободних електронів дає дуже гарне перше наближення для зонних структур і поверхонь Фермі багатьох простих металів. Послідовно, розсіяння електронів провідності на атомах в будь-якому з цих металів незначне. Однак звідси не випливає, що істинний потенціал сам по собі незначний; це, очевидно, не так, хоча б поблизу атомних ядер в металі. Незначність розсіювання означає, однак, що реалістичний псевдопотенціал можна описати за допомогою досить невеликого числа коефіцієнтів Фур'є , які можна потім розглядати як підганяльні параметри і змінювати їх до тих пір, поки розрахована для даного металу поверхню Фермі не дасть найкращого збігу з набором експериментально певних екстремальних розмірів або площ поперечних перерізів для поверхні Фермі цього металу. Можна розглядати метод псевдопотенціалу як ускладнену інтерполяційну схему, засновану, швидше, на фізичних, ніж на математичних уявленнях, і дающу можливість визначити чисельно форму всієї поверхні Фермі по досить малому числу експериментально певних екстремальних розмірів і екстремальних площ поперечних перерізів.

Розглянемо більш детально другий метод. Цим методом можна розраховувати за кількома способами,один з яких метод Вігнера-Зейтцева.

Метод Вігнера-Зейтцева або метод осередків, введений Слетером і з тих пір досить широко використовується в розрахунках зонних структур. Вігнер і Зейтцев припустили, що електрони в металі рухаються незалежно всередині регулярної системи неподвижних позитивних іонів. Оскільки хвильові функції електронів задовольняють теоремі Блоха, необхідно знайти хвильові функції тільки в одній елементарній комірці Вігнера-Зейтца для даної структури, такої, як показана на рис.1.1 для о.ц.к.-структури.

Рисунок 1.1. Елементарна комірка Вігнера Зайтцева для о.ц.к структури[1]

Ця елементарна комірка була потім замінена сферою, іноді званої сферою Вігнера-Зейтца з обсягом, рівним обсягу елементарної комірки і потенціалом , який передбачався сферично-симетричним; всі ці значні спрощення володіли тою превагою, що ефективно зводили складну ситуацію до одномірного квантовоме-ханічного завдання. Потім на одно електроннухвильову функціюнакладалася гранична умова: і непреривної на поверхні сфери Вігнера-Зейтца. Такий розгляд дає задовільні результати для точки Г в центрі зони Бриллюена, де . Для інших точок зони Бріллюена метод менш успішний.

Рисунок 1.2[4]

У методі осередків, запропонованому Слетером [4], враховуються форма і симетрія елементарної комірки Вігнера-Зейтца замість заміни їїсферою.Відповідно рис. 1.2 гранична умова для на кордоніміж осередком 1 і осередком 2 виглядає наступним чином:

(1.2)

а можна виразити через хвильову функцію в точці А комірки 1 за допомогою теореми Блоха, використовуючи фазовий множник:

(1.3)

де -вектор оберненої гратки. Тому граничне рівняння прийме наступний вигляд:

Необхідно передбачити, що потенціал сферично-симетричний, так що

можна розкласти по системі радіальних функцій і сферичних функцій

; якщо

то можна записати

(1.5)

Звичайно, припущення про сферичну симетрію потенціалу у зовнішніх областях осередки є всього лише наближенням, як було показано раніше. Якщо хвильову функцію такого виду підставити в граничні умови, описувані рівняннями (1.3) і (1.4), можна отримати

(1.6)

I також

(1.7)

У перших роботах отримували хвильові функції лише в певних точках симетрії зони Бріллюена, в яких багато хто з коеффіціентів можна спростити або повністю виключити, застосовуючи теорію груп [14, 9], хоча це не є головною частиною даного методу. Використовуючи декілька різних пар граничних точок і в рівняннях (1.6) і (1.7), можна отримати систему лінійних алгебраїчних рівнянь для невідомих коефіцієнтів . Однак величини

++

і залежать від значення, а визначення , є, звичайно, основною метою розрахунку. Це означає, що потрібно взяти кілька різних пробних значень , поки не вийде найкраща відповідність рівнянням, що описує граничні умови. Більш надійні результати можна отримати, якщо взяти надлишкове число граничних умов і використовувати для визначення та коефіцієнтів метод найменших квадратів [5]. У роботі [8] показано, що, якщо покласти V (r) рівним нулю, в результаті розрахунку повинні вийти енергетичні зони вільних електронів; цей спосіб іноді називають перевіркою за допомогою порожньої решітки. В роботі [15] перевірка методу осередків за допомогою порожньої гратки дозволила відтворити значення енергії для вільних електронів (або порожньої решітки) в спеціальних точках симетрії зони Бріллюена з похибкою до 2-10^-5 Ry. Метод осередків використовували для розрахунків зонних структур досить великого числа реальних металів.

Але для деяких металів цей метод не дає точні результати, так як їхня структура дуже складна і тоді використовують метод організованих плоских хвиль (ОПВ). Розглянемо його детальніше. Якщо рішення рівняння Шредінгера записати у вигляді

(1.8)

то, як було показано, в наближенні вільних електронів функція сама є плоскою хвилею

(1.9)

де - деякий вектор оберненої гратки кристала. Для реальнoго металу, в якому не можна покласти рівним нулю, простого виразу для , що визначається рівністю

(1.16), недостатньо, оскільки при розкладанні не була використана повна система базисних функцій . Щоб використовувати при розкладанн

і повну систему функцій, необхідно представити у вигляді лінійної комбинации плоских хвиль, які відповідають усім можливим векторах оберненої гратки, тобто записати

(1.10)

Це відповідає розкладанню в ряд Фур'є для трьох вимірів. Якщо є рішенням одноелектронного рівняння Шредінгера, що має, наприклад, вид (1.1), то коефіцієнти і відповідають власним значення енергії Е (к) можна визначити обичним методом. Записавши ліву частину рівняння (1.1) у вигляді ,отримаємо

(1.11)

Множачи потім на і інтегруючи, знаходимо

Це нескінченна система лінійних рівнянь,можна знайти невідомі коефіцієнти. Умова існування рішення:

(1.13)

Рівняння (1.13), звичайно, аналогічно рівнянню (1.3), і, обриваючи розкладанняна потрібному значенні, можна знайти значеннята коефіцієнтів. Нажаль, збіжність розкладання по плоским хвилями формі, відповідній висловом дуже погана, і зі збільшенням числа доданківв розглядані разкладання рішення рівняння (1.13) для визначення стає все більш довгим і виснажливим.

Знову, як і у випадку методу осередків, можна використовувати теорію груп, щоб зменшити число незалежних і відмінних від нуля коефіцієнтів в розкладанні по плоским хвилях (див., наприклад, [7]), проте, навіть якщо це зроблено, збіжність розкладання буде все ще занадто повільною для використання в реальних розрахунках зонної структури. Два можливі виходи з цього утруднення були запропоновані Слетером і Херрінгом. Хоча пропозиція Слетера, що стало відомим як метод ППВ (приєднаних плоских хвиль), було висловлено раніше пропозиції Херрінга, який став відомим як метод ОПВ (ортогоналізованних плоских хвиль), більш широко використовувався протягом довгого часу саме метод ОПВ, і лише порівняно недавно його змінив метод ППВ. Детальний обговорення методу ППВ проведено Лауксом. енергія фермі метал електрон

Раніше було показано, що хвильові функції в методі сильного зв'язку, які визначаються виразом

(1.14)

є гарним наближенням для хвильових функцій внутрішніх електронів, хоча вони часто не підходять для електронів провідності. Херрінгзапропонував сконструювати хвильові функції для електронів провідності з плоских хвиль, використовуючи той факт, що ці хвильові функції повинні бути ортогональні до хвильовим функціям всіх внутрішніх електронів. Якщо почати з плоскої хвилі, що має хвильовий вектор , цю функцію можна зробити ортогональною до хвильової функцї серцевини іона:

(1.15)

де V - об'єм елементарної комірки кристала. Визначивши коефіцієнти з умови ортогональності

Знайдемо

(1.16)

У такому випадку ортогоналізованні плоскіхвиліутворюють повну систему базисних функцій для розкладання хвильової функціїелектронапровідності, так що можна записати

(1.17)

На практиці виявилося, що розкладання виду (1.17) по ортогоналізованним плоским хвилям сходяться значно швидше, ніж розкладання по звичайним плоским хвилям виду (1.8). Власні значення енергії визначаються підстановкою розкладання для виду (1.17) у рівняння (1.9); це призводить до секулярного рівняння, аналогічного рівнянню (1.16):

(1.18)

Після того як знайдено , можна отримати, якщо потрібно, коефіцієнти, вирішуючи систему рівнянь, пов'язану з визначником в рівнянні (1.18). Тут, як у випадку методу осередків, описаного раніше, в перших розрахунках зонної структури мали справу лише з тими хвильовими функціями, для яких до відповідалаодна з виділених точок або ліній симетрії в зоні Бріллюена. У точках симетрії можна використовувати теорію груп, щоб побудувати сіметрізовані комбінації плоских хвиль, що належать відповідній групі , і тим самим зменшити число невідомих коефіцієнтів у виразі (1.17), показавши, що для цього приватного значення до деяких з коефіцієнтів зникають або що між різними існують деякі спрощують співвідношення. Вперше метод ОПВ був застосований в розрахунках берилію, а згодом, використовувався і для деяких інших металів.

Характерною рисою методу ОПВ, як і методу сильного зв'язку, являеється те, що матричні елементи в секулярному рівнянні можна обчислити безпосередньо, якщо припустити, що хвильові функції серцевини іона відомі. Неявна залежність матричних елементів від власного значення відсутня. Тому визначення Е (к) полягає у безпосередньому вирішенні рівняння (1.18) з набором матричних елементів, що мають певні чисельні значення. У деякихінших методах, таких, як метод ППВ або метод функцій Гріна, значення матричних елементів залежать від , тому безпосередньо вирішити секулярне рівняння неможливо. У такому випадку доводиться вибирати значення енергії і оцінювати визначник, а потім повторювати всю цю процедуру для різних значень енергії до тих пір, поки не вдасться знайти значення енергії, що перетворює визначник в нуль.

Повернемось тепер до розгляду методу ППВ, введеного Слетером. Якщо електрон знаходиться біля центру елементарної ячейки Вігнера-Зейтца в кристалі, діючий на нього потенціал можна досить точно описати за допомогою екранованого кулонівського потенціалу, тому можна очікувати, що використовуються в методі осередків розкладання сходяться досить швидко. З другого боку, якщо електрон провідності знаходиться в області поблизу кордонів елементарної комірки Вігнера-Зейтца, діючий на нього потенціал є майже постійним, так що в цій області можна вважати, що хвильові функції електронів провідності мають вигляд плоских хвиль. Тому Слетер припустив, що хвильову функцію електрона провідності можна розкласти по функціях , маючи ту властивість, що всередині сферичної області радіусу має вигляд (1.5), а поза цією сферичноюобластюявляється плоскою хвилею типу ; можна записати

(1.19)

де -ступінчаста функція, визначена наступним чином:

(1.20)

Використання функції виду (1.19) відповідає використанню секційного потенціалу. Тому функцію називають приєднаною плоскою хвилею. Бажано вибрати коефіцієнти таким чином, щоб була беззупинна на сферичній поверхні радіусу . Оскільки плоску хвилю можна представити у вигляді розкладання

(1.21)

безперервність досягається при

(1.22)

де - сферична функція Бесселя, а представляється в сферичних координатах як . Потрібно відзначити, що, оскількизалежить від , коефіцієнт , відповідний виразу (1.22), також залежить від значення , а є якраз тією величиною, яку потрібно знайти при розрахунку зонної структури.

Хвильову функцію електрона з хвильовим вектором можна потім розкласти по цим приєднаним плоским хвилям:

(1.23)

де підсумовування проводиться по всіх векторах (), які отримуються з трансляцією оберненої гратки. Власні значення енергії можна в такому випадку знайти за допомогою способу, аналогічного описаному раніше у зв'язку з методом ОПВ, вирішуючи секулярне рівняння, подібне рівнянню (1.12):

(1.24)

Визначивши , можна знайти, якщо потрібно, коефіцієнти , вирішуючи систему рівнянь, пов'язану з визначником з рівняння (1.24). Є, однак, трудність, не виникає в методах сильного зв'язку і ОПВ і яка полягає в тому, що значення матричних елементів та залежать від самої , оскільки, згідно висловлюванню (1.29), коефіцієнти залежать від .

Не можна тому безпосередньо вирішити рівняння (1.31), а необхідно вибрати деяке пробне значення енергії і оцінити всі матричні елементи, а потім визначник; цей процес потрібно потім повторювати до тих пір, поки не вдасться знайти таке значення енергії, при якому визначник перетвориться в нуль. Є ще утруднення в оцінці матричних елементів для будь-якого заданого значення енергії, пов'язане з відсутністю безперервності в точці . Якщо похідна хвильової функції розривнa, член в , відповідний кінетичній енергії, потребує спеціального розгляду.

При визначенні кінетичної енергії часто використовують два види інтегралів:

з яких перший більш звичний. Однак саме другий з цих рівнянь є більш суворим. За допомогою інтегрування по частинам можна показати, що в більшості випадків ці два вирази тотожні; але, якщо похідна хвильової функції терпить розрив, ці два вирази розрізняються поверхневим інтегралом, який в даному випадку береться по поверхні сфери з радіусом . Детальності усунення цього утруднення при оцінці матричних елементів в методі ППВ розглянуті, наприклад, у Додатку 6 книги Слетера.

Після першої роботи Слетера метод ППВ був застосований для міді, а потім був майже зовсім забутий на два десятиліття. Проте останнім часом цей метод досить широко використовувався для декількох металів.

Але можна обмежитися тіки деякими обрахунками і розрахунок провести графічно. Вище сказані методи, які використовують при обчисленні власних значень гамільтоніана для електронів в металі в одночастковому наближенні. В принципі можна було б визначити з будь-яким ступенем точності потенціал , а потім, для даного , знайти також власні значення для всіх хвильових векторів до в зоні Бріллюена. Припустимо, що для деякого заданого металу обчислені власні значення енергії або безпосередньо, або за допомогою якої-небудь інтерполяційної схеми для всіляких і для всіх аж до деякого досить більшого номера .Тоді можна безпосередньо зобразити поверхності постійної енергії, що визначаються рівнянням

(1.25)

де -деяка константа, і, отже, виділену поверхність постійної енергії, поверхність Фермі, для якої

(1.26)

Отже, весь процесс теоретичного визначення виду поверхні Фермі металлу полягає в обчисленнідля всієї зони Брилюенa і наступній побудові виділено її поверхні постійної енергії, відповідноїумові.При цьому припускається, однак, що відомо істинне число везначення енергіїФермі, щонезавжди має місце. Експериментальні значення , визначені, наприклад, з спектроскопічних вимірювань за допомогою довгохвильового рентгенівського випромінювання, виявлялися зазвичай не дуже задовільними. У самійсправі, навіть теоретичні значення , визначені за допомогою різних розрахунків зонної структури одного і того ж металу, часто сильно розрізняються між собою. Причина в тому, що досить малі зміни потенціалу дуже часто можуть призвести до несподівано великим змінам фактичних чисельних значень , не вплинувши істотно на загальний вигляд різних зон, а отже, і на форму обчисленої поверхности Фермі. Тому дуже бажано при використанні визначеної певним чином зонної структури для теоретичної побудови поверхні Фермі деякого заданого металу визначити за результатами тих же обчислень, а не брати значення , отримане з якогось іншого джерела. Для обчислення можна використовувати той факт, що число станів з < повинно в точності дорівнює повному числу електронів провідності в металі; для проведення такого обчислення зазвичай визначають щільність станів , так що рівне повному числу станів, для яких , незалежно від значення , лежить між E. Якщо кристалічний зразок металу містить N елементарних комірок, число дозволених хвильових векторів в зоні Бріллюена буде в точності дорівнює N, так що з урахуванням двох різних спінових станів кожна зона може містити не більше 2N електронів. Якщо повне число електронів провідності віддаються всіма атомами елементарної комірки металу, рівне х, то загальне число заповнених зон рівне (xN/2N) = х/2, а енергію Фермі можна визначити з наступної умови:

(1.27)

У наближенні вільних електронів густина станів приймає особливо простий вигляд. Так як на кожну зону доводиться 2N дозволених станів в кожній зоні Бріллюена і так як обсяг зони Бріллюена дорівнює , число станів в одиниці об'єму k-простору дорівнює

(1.28)

де - об'єм елементарної комірки. У розширеній зонної схемi поверхні постійної енергії, відповідні

і у представляют собою сфери з радіусами Число станів між тому рівне, де

(1.29)

а число станів між одно , де

(1.30)

Такщо

(1.31)

і тому

(1.32)

Отже, в наближенні вільних електронів густина виражається параболою. У реальномуметалі, точно так само як в наближенні вільних електронів, власні значення є квазінепреривними функціями , які ми привикли називати зонами. За допомогою індексу нумерують різні власні значення в точці , приписувані чисельні значення являють собою речові позитивні цілі числа починаючи з 1; індекси приписують таким чином, щоб для будь-якого даного значення величина була монотонно зростаючою функцією . Необхідно, щоб величина була безперервною в зоні Бріллюена, в той же час відсутня вимога, щоб величина була безперервною, принаймні в наближенні вільних електронів; тому в ситуації, схематично зображеної на рис. 1.3, похідні зони 1 і зони 2 терплять розрив у точці . Але величина являє собою швидкість електрона в кристалі, так що в ситуації,

Рисунок 1.3[6]

відмінною від випадку вільних електронів, у зонної структурі реального металу розрив величини буде тим або іншим способом усунутий. Наприклад, може існувати якaсь взаємодія, яке викличе невеликий поділ двох зон, відповідних рис. 1.3. Або ж, якщо є дворазове виродження в точці , що є закономірним з точки зору теорії груп, це майже напевно означає, що лежить на поверхні першої зони Бріллюена з площиною симетрії або віссю симетрії другого порядку, нормальної до , так що зони

Рисунок 1.4[7]

вздовж напрямку стають плоскими при наближенні до точці , у самій точці їх похідні звертаються в нуль, як показано на рис. 1,4. Тому знову відсутній розрив похідної, або швидкості електрона, в точці . Існування плоскої ділянки енергетичної зони в деякій області зони Бріллюена означає, що в дуже невеликому інтервалі енергій є велика кількість станів; це може призвести до появи піку на кривій щільності станів. Такий пік іноді називають особливістю ван Хова, ці особливості є топологічним наслідком періодичної структури кристала. Для двовимірного кристала ці особливості призвели б до логарифмічної росходимості, але в тривимірному кристалі залишається кінцевою, а логарифмічна розбіжність є у величини . На практиці, однак, піки на кривій можуть виявитися неспостережними через погане рышення експериментальної або теоретичної методики, використовуваних для визначення .

Припустимо тепер, що власні значення для реального металу обчислені для всіх значень і всіх значень аж до , де істотно більше, чим . Оскільки величина доводиться розраховувати чисельно і не вдається отримати аналітичної залежності від , криву щільності станів неможна знайти як явну функцію ,а слід визначати наближено чисельними методами, включаючи побудову гістограми. Таку гістограму можна побудувати, вибираючи сітку значень в зоні Бріллюена і працюючи послідовно з кожним значенням по черзі, обчислюючи в кожній точці значення для всіх зон, поступово створюючи гістограму. Або ж можна будувати гістограму, використовуючи програму генерації випадкових векторів і знову в кожній точці обчислюючи значення для всіх зон, створюючи тим самим гістограму. Побудувавши гістограму для , можна потім знайти енергію Фермі за допомогою рівняння (1.28). У наближенні вільних електронів густина станів виражалася б параболою, але для більшості реальних металів вона дуже істотно відрізняється від параболи.

До цих пір в цьому підрозділі розглядалися методи розрахунку зонних структур, засновані на використанні звичайної нерелятивістської квантової механіки, а саме на рівнянні Шредінгера

(1.33)

У даному розділі розглядається формальне релятивістске трактування руху електрона в періодичному полі, існуючому в кристалічному твердому тілі, і визначаються різні виникаючі при цьому додаткові члени, які відсутні в нерелятивістському гамільтоніані, використаному при побудові рівняння (1.33).

Щоб отримати деяке уявлення про цю проблему, спочатку коротко розглянемо релятивістське хвильове рівняння - рівняння

Дірака для вільного електрона, а потім перейдемо до випадку, коли електрон рухається в періодичному полі , існуючому в кристалічному твердому тілі.

Під терміном «вільний електрон» в даному контексті розуміється не модель порожньої решітки, а електрон, що вільно рухається в зовсім пустій в інших відносинах області простору.

Розглянемо залежне від часу рівняння Шредінгера

(1.34)

для вільної частинки. У нерелятівістському трактуванні гамільтоніан виражається наступним чином:

(1.35)

Отже, залежне від часу релятивістське хвильове рівняння таке:

(1.36)

і тому відповідне релятивістське хвильове рівняння, не залежне від часу, має такий вигляд:

(1.37)

Провівши деякі перетворення, ми отримаємо вираз:

(1.38)

що має знайомий вид нерелятивістської хвильової функції з урахуванням спіна. У літературі з релятивістської квантової механіки використовують систему одиниць, в якій ; в цій системі одиниць вираз (1.38) зводиться до наступного:

(1.39)

Де

в цих одиницях. Однак ця система одиниць, зручна для макроскопічних релятивістських завдань, не співпадає з системою одиниць, іноді званих одиницями Хартрі, або атомними одиницями, що зазвичай використовуються при розрахунках атомів або зонних структур, в якій і тому рівне 137 атомним одиницям швидкості. Оскільки вираз - безрозмірна величина, можна вибрати таку систему одиниць, в якій з усі рівні 1.

Розрахунок зонної структури металлу з урахуванням релятивістських ефектів зводиться рівняння Дірака

, (1.40)

Тобто необхідно побудувати потенциал, а потім вирішити рівняння (1.35) з наявними в металі граничнимиумовами. Повчально розглянути вид рішень рівняння (1.40) для твердого тіла в наближенні вільних електронів, або порожньої решітки, тобто коли спочатку вимагають, щоб володів періодичністю решітки Браве кристала, а потім предполагаютьрівним нулю. Як можна було очікувати, рішення в цій ситуації являють собою плоскі хвилі безпосередньо связані плоскими хвилями, відповідними вислову (1.38):

(1.41)

Функція з формули (1.41) являє собою релятивістський аналог плоскої хвилі, що є рішенням рівняння Шредінгера в наближенні вільних електронів.

Метод приєднаних плоских хвиль (ПІВ) був пристосований до релятивістських розрахунків зонних структур металів Лауксом. Розрахунок проводиться способом, аналогічним описаному в попередньому розділі, за тим винятком, що використовуване для розкладання в областях поблизу ядер атомів металу проводиться по релятивістським атомним хвильовим функціям, визначенимвиразом

, (1.42)

а в області, де потенціал передбачається постійним, являє собою плоску хвилю Дірака виду (1.42).

Релятівістскій метод ППВ був дотеперішнього часу застосований для розрахунку зонних структур декількох металів, включаючиРЬ, W, Рd,Pt і Rе.



2. РОЗРАХУНОК ЕНЕРГЕТИЧНИХ ЗОН І ПОВЕРХОНЬ ФЕРМІ

Проведемо розрахунок енергетичних зон і поверхні Фермі для двох металів: для натрію і для магнію,враховуючи недоступний валентними електронами обсяг кристала, займаний іонними остовами атомів.

У кристалі об'ємом 1 см³ число валентних електронів складе значення

тутс_m-густина кристалу, А - атомна маса хімічного елемента валентностю z₀, N_A - число Авогадро. Обрахуємоза формулою (1) число валентних електронів для наших металів

Об'єм, займаний іонами в 1 cм³ кристала, дорівнюватиме

де - радіус іона,

отже для натрію буде:

відповідно для магнію:

Тоді обсяг порожнеч в 1 см³кристалазнайдемо як

V_п = 1 -V_і,(3)

отже обсяг порожнеч для натрію:

відповідно для магнію:

Як випливає з таблиці 1, обсягумовних «порожнеч» у кристаллах металів, що приходять на один валентний електрон досить великий. Якщо, наприклад, його представити у формі куба, то сторона цього куба буде мати розмір

см,

в той же час як геометричні характеристики електрона приблизно рівні його комптонівській довжині хвилісм.

Однак про вільне переміщення електрона в цьому, як ми будемо вважати на порожньому просторі, говорити не доводиться, оскільки його рух формується фізичними параметрами (щільністю, поляризацією) ефірного середовища.

Знаючи обсяг порожнеч, розрахуємо реальний обсяг вільного простору, приходячий на один валентний електрон за формулою (4)

Знайдемо за формулою (4) реальний обсяг вільного простору для натрію:

відповідно і для магнію:

Переміщення електронів у кристалах металів розглядається як хвильовий процес, довжина хвилі якого л пов'язана з хвильовим вектором k відомим співвідношенням

.

Електрон з хвильовим вектором k володієімпульсом і, отже, швидкістю поступального руху

v = •k.

Тут

m - масса електрона,- постійна Планка.

Процедура розміщення валентних електронів в уявному k просторі приводить до наступних розрахункових співвідношень для електрона, що знаходиться в енергетичних зонах на поверхні Фермі:

де V - реальний обсяг зразка кристала, в якому знаходяться N валентних електронів.

Тепер обчислимоточне значення енергії Фермі згідно із співвідношенням (5). Для натрію енергія Фермі буде:

для магнію

Результати розрахунку енергії Фермі в такий спосіб наведені в таблиці 1 разом з вхідними параметрами для металів 1-4 групи таблиці Менделєєва. [2]

Таблиця 1 - Енергія Фермі деяких металів[2]

Метал, z0	r0,	сm,	А, а.е.м.	Vп , см3	n, 1022, cм?3	Еф, эВ
Li, 1	0,68	0,534	6,941	0,9390	4,633	4,91
Na, 1	0,98	0,971	22,9898	0,8997	2,543	3,38
K, 1	1,33	0,862	39,0983	0,8692	1,328	2,25
Rb, 1	1,49	1,532	85,4678	0,8504	1,079	1,98
Cs, 1	1,65	1,873	132,9054	0,8403	0,849	1,70
Cu, 1	0,98	8,96	63,546	0,6652	8,491	9,25
Ag, 1	1,13	10,50	107,8682	0,6457	5,862	7,37
Au, 1	1,37	19,32	196,9665	0,3638	5,907	10,9
Be, 2	0,34	1,848	9,01218	0,9797	24,70	14,6
Mg, 2	0,74	1,738	24,305	0,9269	8,612	7,48
Ca, 2	1,04	1,55	40,078	0,8903	4,658	5,10
Sr, 2	1,20	2,63	87,62	0,8692	3,615	4,38
Ba, 2	1,38	3,594	137,33	0,8265	3,152	4,13
Zn, 2	0,83	7,133	65,39	0,8427	13,14	10,6
Cd, 2	0,99	8,65	112,41	0,8117	9,270	8,58
Hg, 2	1,12	14,193	200,59	0,7492	8,520	8,56
Al, 3	0,57	2,6889	26,98154	0,9534	18,00	12,0
Ga, 3	0,62	5,904	69,723	0,9491	15,30	10,8
In, 3	0,92	7,31	114,82	0,8749	11,50	9,43
Tl, 3	1,05	11,85	204,383	0,8307	10,47	9,17
Sn, 4	0,67	7,29	118,710	0,9534	14,79	10,5
Pb, 4	0,76	11,336	207,2	0,9394	13,18	9,85
Si, 4	0,39	2,33	28,0855	0,9876	19,98	12,6
Ge, 4	0,44	5,323	72,59	0,9842	17,66	11,6

Порівнявши наші розрахунки з розрахунками, взятими з таблиці, ми бачимо, що вони точно не співпадають. Це зумовлено тим, шо при даних розрахунках проводилися заокруглення. А також ми брали не досить точні вхідні параметри наших металів, які в подальших обрахунках впливали на їх результат.

На рисунку 1 показано залежність енергії Фермі деяких металів від розташування їх в періодичній таблиці Менделєєва.

Рисунок 1 -Залежність енергії Фермі металів від розташування їх у таблиці Менделєєва[5]

З даного рисунку можна побачити, що енергія Фермі металів першої підгрупи таблиці Менделєєва спадає, а металів другої підгрупи - різко зростає, третьої і четвертої підгрупи відповідно.

Якщо у формулі (5) змінювати кількість валентних електронів , ми отримаємо залежність енергії Фермі від кількості валентних електронів, яка показана на рисунку 2.

Рисунок 2 - Залежність енергії Фермі від кількості валентних електронів[5]

З рисунка 2 можна побачити, що при зростанні кількості валентних електронів енергія Фермі різко зростає, отже чим більше метал має валентних електронів, тим більша його енергія Фермі.

Якщо ж у формулі (5) змінювати об'єм «порожнеч», що приходить на один валентний електрон, ми отримаємо іншу залежність енергії Фермі, зображену на рисунку 3.

Рисунок 3 - Залежність енергії Фермі від реального об'ємувільного простору, приходячого на один валентний електрон[6]

З рисунка 3 видно, що при зростанні об'єму «порожнеч», приходячи його на один валентний електрон, енергія Фермі падає, тобто чим більш пустий валентний електрон, тим менша його енергія Фермі.

Обчислимо хвильовий вектор поверхні Фермі за формулою (6). Для натрію:

для магнію:

Обчислимо швидкість електронів на поверхні Фермі за формулою (7). Швидкість електронів натрію:

швидкість електронів магнію:

Розрахована таким способом швидкість електронів на поверхні Фермі має порядок см / с, що складає приблизно 1% від швидкості світла. Однак такою швидкістю при низьких температурах має тільки невелика частина валентних електронів, що підтверджується розрахунками електронної теплоємності і електропровідності металів в повній згоді з експериментальними даними.

Це дозволяє вважати, що при температурах близьких до 0 К, валентні електрони повинні здійснювати кругові обертальні рухи з радіусами кривизниr_ф ? r< ?і лінійними швидкостями 0 <v ? v_фза умови збереження сталості моменту кількістю руху

m•v•r= , (8)

отже, розумно вважати, що мінімально можливий радіус кривизни траєкторії електронівr_ф при 0 К визначатиметься вільним від іонів об'ємом простору в кристалі, що приводиться на один валентний електрон.



3. ПРИКЛАД ПРОГРАМИ РОЗРАХУНКУ ЕНЕРГІЇ ФЕРМІ

3.1 ІНСТРУКЦІЯ КОРИСТУВАЧА

Після виклику C++ із середовища Windows на екрані з'являється командне вікно середовища C++.

Це вікно є основним у C++. У ньому відображаються символи команд, що набираються користувачем на клавіатурі, результати виконання цих команд, текст програми, що виконується, а також інформація про помилки виконання програми, яка розпізнана системою.

Ознакою того, що програма C++ готова до сприйняття і виконання чергової команди, є наявність в останньому рядку текстового поля вікна миготливоївертикальної риски.

У верхній частині командного вікна (безпосередньо під заголовком C++) розташований рядок меню, що складається з 11 меню - Файл, Правка, Пошук, Вигляд, Проект, Виконати, Налаштування, Сервіс, CVS, Вікно, Довідка. Під головним меню розміщена панель інструментів з піктограмами, що дозволяють виконувати деякі найбільше часто використовувані операції.

1. Відкриття меню здійснюється натисненням миші. Щоб вибрати будь-яку команду меню, досить установити курсор на імені команди і натиснути ліву кнопку миші.

2. Текст програми міститься в одному файлі: файл основної програми з іменем Kyrsova. Для відкриття його необхідно вибрати у меню Файл команду Відкрити, що відкриває діалог новее вікно з переліком PAS- файл і в поточної папки.

3. Вибір необхідного файлу з цього списку і наступ ненатискання кнопки OK приводить до появи вікна Редактора/Налагодження, який дає змогу не тільки коректувати програму, але і проводити її відладку. Запуск програми здійснюється вибором в меню Виконати команди виконати, або натисненням клавіші F9.

4. В результаті запуску програми з'явиться командне вікно, в якому необхідно ввести значення необхідних для роботи програми. По завершенні введення значень в командному вікні буде зазначено значення енергій Фермі.

3.2 ЛІСТИНГ ПРОГРАМИ

#include<stdio.h>

#include<conio.h>

#include<math.h>

#include<cstdlib>

#include<iostream>

usingnamespacestd;

intmain(intargc, char *argv[])

{

doublek,n,m,j,d;

system("chcp 1251");

system("cls");

cout<<"Введіть атомну масу даного елемента"<<endl; //Введення даних

cin>>k;

cout<<"Введіть кількість електронів"<<endl;

cin>>n;

cout<<"Введіть густину крисалу в г/см³"<<endl;

cin>>m;

cout<<"Введіть радіус іона даного металу "<<endl;

cin>>j;

cout<<"Введіть валентність металу"<<endl;

cin>>d;cout<<endl;

float N=6.02*pow(10,23)*d*m/k; //Обрахунок кількості валентних електронів

floatVi=N/d*4*3.14*6.02*pow(10,23)*m*pow((j*pow(10,-16)),3)/3/k; // Обрахунок об'єму заповненого іонами

floatVp=(1-Vi)/N; //Обрахунок об'єму пустот

float p=3*3.14*3.14*d/Vp;

float E=6.58*pow(10, -16)*6.58*pow(10, -16)/

18.2*pow(10, 34)*pow(p,0.67)*1.6*pow(10, -19)*10; //Обрахунок енергії Фермі

cout<<"Енергія Фермі складає "<<E<<endl;

system("PAUSE"); //Зупиняє роботу програми

return EXIT_SUCCESS; //Вихід з програми

}

3.3 ТЕСТУВАННЯ ПРОГРАМИ

На рисунку 3.1 показано екранне зображення результатів обчислення програми, розробленої в середовищі системи С++.

Рисунок 3.1 - Результати обчислення програми, розробленої в середовищі системи С++[8]



ВИСНОВКИ

1. Проаналізовано існуючі методи розрахунку енергетичних зон і поверхонь Фермі та обгрунтовано преваги деяких методів над іншими.

2.Проведено розрахунок енергетичних зон і поверхонь Фермі двох металів: натрію і магнію. За даними розрахунку ми отримали енергію Фермі для натрію, яка складає 3.34 [еВ], а також для магнію - 7.32 [еВ], що в порівнянні з табличними даними, складає похибку в [еВ].

3. Розраховано хвильовий вектор поверхні Фермі, який для натрію складає для магнію - .

4. Обраховано швидкість електронів на поверхні Фермі, яка має порядок [см/с].

5. Побудовано графіки залежності енергії Фермі від кількості валентних електронів,а також від об'єму "порожнеч", одного валентного електрона.Як видно з графіків, при збільшенні кількості валентних електронів енергія Фермі збільшується, а при збільшенні об'єму "порожнеч" валентного електрона, навпаки, зменшується.

6. Розроблено програму розрахунку енергії Фермі та проведено її тестування.



ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

1. Киттель Ч. А. Введение в физику твёрдого тела. / Ч. А. Киттель. - М.: Наука, 1978. - 792с.

2. Ашкрофт Н. К. Физика твёрдого тела. / Н. К. Ашкрофт, Н. П. Мермин. т. 1. -М.: Мир, 1979. -399 с.

3. Боровкін І. Б. Фізичні основи фізики твердого тіла. / І. Б. Боровкін. - М.: МГУ, 1956. - 463с.

4. АбаренковИ. В. Физика твёрдого тела. / И. В. Абаренков, М. В. Ведерников. - М.: т. 8, 1966. - 236с.

5. Займан Д. К. Принципы теории твердого тела. / Д. К. Займан. - М.: Мир, 1966. - 287с.

6. Займан Д. К. Физикаметаллов. / Д. К. Займан. - М.: Мир, 1966. - 456с.

7. Каллуэй Д. В. Теорияэнергетическойзонной структури. / Д. В. Каллуэй. - М.: Мир, 1969. - 417с.

8. Киттель Ч. О. Квантоваятеория твердого тела. / Ч. О. Киттель. - М.: Наука, 1967. - 161с.

9. Луцкий В. Н. Физика твердого тела. / В. Н. Луцкий, Е. П. Фесенко. - 1968. - т. 8, 366с.

10. Хейне В. В. Физикаметалов. / В. В. Хейне. - М.: Мир, 1972. - 984с.

11. Крэкнелл А. Н. Поверхность Ферми. / А. Н. Крэкнелл, К. В. Уонг. - М.: АТОМИЗДАТ, 1978. - 351с.

12. Эллис М. М. Справочноеруководство по языку С++. / М. М. Эллис, Б. Г. Строуструп. - М.: Мир, 1992. - 445с.

13. ПодбельскийВ. В. Язык С++. Учебноепособие. / В.В. Подбельский. - М.: Финансы и статистика, 1995. - 560 с.

Размещено на Allbest.ru