Деформування ізотропного півпростору з пружно закріпленою границею під дією нормальних зусиль

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Деформування ізотропного півпростору з пружно закріпленою границею під дією нормальних зусиль

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Проблеми визначення напружено-деформованого стану півнескінчених пружних середовищ є тривалий час предметом досліджень багатьох фахівців у галузі механіки деформівного твердого тіла. Вони стимульовані як внутрішньою логікою розвитку фундаментальних досліджень у зазначеній царині, так і широким колом прикладних застосувань при розрахунках експлуатаційних характеристик, параметрів міцності та надійності споруд, деталей машин і приладів. Найбільш інтенсивно досліджуваними класами тривимірних задач теорії пружності для півпростору є змішані контактні задачі, а також задачі про силове навантаження півпростору з вільною граничною площиною. Водночас, попри зазначене, певні класи просторових задач для пружного півпростору є майже недослідженими, як зокрема задачі про силове навантаження півпростору з змішаними крайовими умовами пружного закріплення граничної поверхні. Поряд з фундаментально-науковим значенням створення методик їх розв'язання, задачі даного класу становлять вельми значний практичний інтерес, оскільки згідно з використовуваною фахівцями гірничої механіки моделлю вони пов'язані з дослідженням локалізованого напружено-деформованого стану гірських порід при підземній розробці пластових родовищ корисних копалин. Аналогічні за постановкою задачі виникають і при оцінці міцності конструкційних елементів, що містять тонкі перфоровані прошарки.

Таким чином, розробку підходів до розв'язання крайових задач про напружено-деформований стан ізотропного півпростору з пружно закріпленою границею під дією зосереджених та розподілених зусиль на підставі чисельно-аналітичних методів, дослідження і узагальнення провідних закономірностей формування відповідних механічних полів при варіюванні параметрів, можна віднести до актуальних наукових задач механіки деформівного твердого тіла на сучасному етапі її розвитку.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Викладені в дисертації результати пов'язані з науково-дослідними роботами Інституту прикладної математики і механіки НАН України за бюджетними темами «Пружнопластичні задачі механіки гірських порід» (1999-2003 рр, № держреєстрації 0199U001610), «Чисельно-аналітичні методи дослідження процесів перерозподілу напружень і руху газу в околі підземних виробок» (2004-2008 рр., № держреєстрації 0104U000862), «Дослідження напружено-деформованого стану масиву та його впливу на рух метану поблизу гірничих виробок і дегазаційних свердловин» (2005-2006 рр., № держреєстрації 0105U000268), «Розробка аналітичних методів дослідження розподілу напружень та фільтрації газу в пружних середовищах з порожнинами і тріщинами» (2009-2011 рр., № держреєстрації 0109U002773). Провідні результати роботи включено до звітів за вказаними науково-дослідними проектами.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є побудова чисельно-аналітичних розв'язків тривимірних змішаних задач теорії пружності про дію зосереджених і розподілених нормальних зусиль на ізотропний півпростір з пружно закріпленою границею та дослідження на їх основі закономірностей розподілу напружень і пружних переміщень при варіюванні фізико-механічних сталих, а також типу зовнішнього навантаження і форми області його дії.

Досягнення мети передбачає розв'язання таких завдань:

· побудову методом інтегральних перетворень точного аналітичного розв'язку осесиметричної задачі про дію нормальної зосередженої сили, прикладеної у центрі циліндричної системи координат на поверхні пружного півпростору, в точках якої виконується умова пропорційності нормальних напружень і переміщень та відсутні дотичні напруження;

· визначення аналітичних представлень у прямокутних координатах для компонентів напружено-деформованого стану півпростору у випадку довільного розташування точки дії зосередженої сили на поверхні півпростору за розглядуваних крайових умов;

· побудову інтегрального рівняння Фредгольма другого роду, що визначає розв'язок задачі про дію на границю півпростору нормального навантаження, розподіленого в області довільної форми, поза якою виконується умова пропорційності нормальних напружень і переміщень та відсутні дотичні напруження; дослідження властивостей його ядра;

· розробку алгоритму застосування методу послідовних наближень для побудови у рядах Неймана розв'язків інтегральних рівнянь в задачах про дію розподілених навантажень;

· побудову розв'язку осесиметричної задачі про дію на півпростір нормальних зусиль, рівномірно розподілених по круговій області;

· побудову розв'язку задачі про дію на півпростір нормальних зусиль, рівномірно розподілених по прямокутній області;

· розробку алгоритмів числової реалізації побудованих розв'язків при розрахунках компонентів тензору напружень і вектору переміщень у внутрішніх точках і на границі пружного півпростору;

· дослідження і узагальнення основних закономірностей розподілу напружень і переміщень в ізотропному півпросторі при варіюванні фізико-механічних і геометричних параметрів задач у випадку дії зосередженої сили або розподілених нормальних навантажень.

Об'єкт дослідження - процеси деформування ізотропного півпростору з пружно закріпленою граничною поверхнею при дії зосереджених і розподілених нормальних зусиль.

Предмет дослідження - закономірності зміни характеристик тривимірного напружено-деформованого стану ізотропного півпростору при варіюванні виду прикладеного навантаження і форми областей його дії, пружних властивостей середовища і параметрів, що входять в граничні умови задач.

Методи дослідження. Аналітичний розв'язок осесиметричної задачі про дію зосередженої сили на півпростір при заданих змішаних умовах на границі одержано за допомогою інтегрального перетворення Ханкеля. Для побудови розв'язку змішаної задачі про розподілене навантаження, що діє на півпростір, використано метод суперпозиції розв'язків для зосереджених сил, а також окремі положення теорії інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду, рядів Неймана і спеціальних функцій Бесселя. Числовий розв'язок інтегральних рівнянь здійснено за допомогою методу послідовних наближень.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що в роботі

- вперше одержано точні аналітичні та чисельно-аналітичні розв'язки класу просторових змішаних задач теорії пружності, що включає

· осесиметричну задачу для півпростору, на границі якого діє зосереджена сила, нормальні напруження пропорційні переміщенням, дотичні напруження відсутні;

· задачу про осесиметричне деформування ізотропного півпростору під дією рівномірно розподілених по круговій області нормальних зусиль у випадку, коли на усій граничній площині дотичні напруження дорівнюють нулю, а поза областю навантаження нормальні напруження і переміщення пропорційні;

· задачу про деформування ізотропного півпростору під дією рівномірно розподілених по прямокутній області нормальних зусиль у випадку, коли на усій граничній площині дотичні напруження дорівнюють нулю, а поза областю навантаження нормальні напруження і переміщення пропорційні.

- запропоновано і обґрунтовано алгоритми побудови та числової реалізації розв'язків змішаних задач досліджуваного класу;

- вперше здійснено дослідження розподілу всіх компонентів тензору напружень і вектору переміщень у глибині ізотропного півпростору для випадків, коли на нього діє зосереджена сила або розподілене рівномірне навантаження;

- встановлено нові закономірності, які характеризують вплив зовнішнього навантаження, параметрів закріплення граничної поверхні і пружних властивостей середовища на розподіл напружень і переміщень в глибині ізотропного півпростору і на його границі.

Достовірність наукових результатів і висновків забезпечується: коректністю постановок розглядуваних змішаних задач на підставі апробованих моделей деформування; застосуванням апробованих математичних методів при побудові чисельно-аналітичних розв'язків сформульованих задач; перевіркою виконання граничних умов; прямою підстановкою побудованих розв'язків в систему основних рівнянь теорії пружності; виділенням в отриманих аналітичних розв'язках складових, які у окремих частинних випадках співпадають з опублікованими в науковій літературі; підтвердженням результатів розрахунків в окремих частинних випадках на підставі порівняння з відомими якісними закономірностями і числовими даними інших авторів.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблені алгоритми розрахунків і комплекси програм для здійснення числової реалізації аналітичних розв'язків дозволяють дослідити просторовий напружено-деформований стан у

- конструкційних елементах машин і приладів, які містять тонкі перфоровані прошарки з метою визначення їх оптимальних робочих параметрів;

- гірничому масиві з виробками з метою обґрунтування оптимізованих технологічних схем розробки пластових родовищ корисних копалин.

Результати роботи можуть бути використані конструкторськими бюро, академічними і проектними науково-дослідними інститутами, а також вищими навчальними закладами при викладанні спеціальних навчальних курсів з механіки деформівних середовищ і гірничої механіки.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 15 наукових робіт, з яких 4 статті у фахових наукових виданнях, включених до переліку ВАК України за відповідним розділом фізико-математичних наук, 7 статей у збірниках праць Міжнародних наукових конференцій, 4 публікацій у збірниках матеріалів і тез доповідей на Міжнародних наукових конференціях.

Усі провідні результати роботи отримані автором самостійно. З 15 наукових публікацій за темою дисертації 4 роботи [1, 2, 3, 10] підготовлені без співавторів. В роботах [4-9, 11-15], підготовлених зі співавторами, автору належить отримання аналітичних розв'язків, розробка алгоритмів, виконання розрахунків, встановлення закономірностей, участь у постановці задач. У статтях [4-9, 13] співавтору В.І. Сторожеву належить участь у постановці задач, виборі методів розв'язання та аналізу результатів; в роботі [14] співавторам Н.С. Хапіловій, Є.А. Нескоромній, А.В. Зенченкову належать розв'язки плоских задач, які в дисертацію не включено; в інших роботах співавтору Н.С. Хапіловій [5-6, 8, 11-12, 15] належить участь в обговоренні і виборі конкретних варіантів числових досліджень.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати дисертації доповідалися на Міжнародному науково-методичному семінарі «Математичні моделі фізичних процесів та їх властивості» (Таганрог, Росія; 1996 р.), на IX, X, ХІІ Міжнародних конференціях «Сучасні проблеми механіки суцільного середовища» (Ростов-на-Дону, Росія, 2005 р., 2006 р., 2008 р.), на VI Міжнародній конференції «Математичні моделі та алгоритми для імітації фізичних процесів» (Таганрог, Росія; 2006 р.), на IV Міжнародній науково-технічній конференції «Проблеми механіки гірничо-металургійного комплексу» (Дніпропетровськ, 2004 р.), на Українсько-Польському колоквіумі «Математичні проблеми механіки» (Донецьк, 2004 р.), на науковій конференції за підсумками науково-дослідної роботи професорсько-викладацького складу ДонНУ у секції фізичних та комп'ютерних наук (Донецьк, 2001 р.); на IV Міжнародній науковій конференції «Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла» (Донецьк, 2006 р.), на Міжнародній науково-технічній конференції пам'яті академіка НАН України В.І. Моссаковського (Дніпропетровськ, 2007 р.), на Міжнародній науковій конференції «Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки» (Львів, 2009 р.), на VIII Міжнародній науковій конференції «Математичні проблеми механіки неоднорідніх структур» (Львів, 2010 р.), на IV Міжнародній конференції молодих учених «Комп'ютерні науки та інженерія CSE-2010» (Львів, 2010 р.).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалась на об'єднаних наукових семінарах кафедр теорії пружності і обчислювальної математики, прикладної механіки і комп'ютерних технологій Донецького національного університету та відділу аналітичних методів механіки гірничих порід Інституту прикладної математики і механіки НАН України (м. Донецьк, 2010-2011 рр.); на науковому семінарі механіки деформівного твердого тіла Запорізького національного університету (м. Запоріжжя, 2010 р.).

Структура та обсяг дисертації. Робота складається з вступу, п'яти розділів, висновків, списку літератури з 170 найменувань та додатку. Загальний обсяг роботи становить 202 сторінок, з яких 128 сторінки основного тексту. Дисертація містить 3 таблиці, 51 малюнок.

Основний зміст роботи

непман алгоритм інтегральний ізотропний

У вступі обґрунтовано вибір та актуальність теми; сформульовано мету та завдання дослідження, визначено його об'єкт, предмет і методи; охарактеризовано наукову новизну результатів, їх наукове та практичне значення і зв'язок з науковими темами та програмами; наведено характеристики обґрунтованості і достовірності наукових положень та висновків роботи; охарактеризовано особистий внесок здобувача, дані про апробацію та публікацію матеріалів дослідження; викладено коротку анотацію змісту дисертаційної роботи.

У першому розділі наведено огляд чисельно-аналітичних методів та провідних результатів розв'язання різноманітних класів просторових задач лінійної теорії пружності для півнескінчених областей. Зазначено, що сучасний стан досліджень за цією проблематикою визначається роботами В.М. Александрова, А. Є. Андрейківа, В.А. Бабешко, І. І. Воровича, О.М. Гузя, Г.С. Кіта, В.Д. Кубенко, В.Д. Купрадзе, В.В. Лободи, А.М. Михайлова, В. І. Моссаковського, Г.Я. Попова, А.К. Приварникова, І. Т. Селезова, А.Ф. Улітко, Я.С. Уфлянда, М.О. Шульги, W. Chen, D. Clements, T. Cruse, F. Erdogan, U. Heise, W. Koiter, J. Lachat, D. Penrod, M. Shi, G. Sinclair, Y. Sneddon, E. Sternberg, F. Szelagowski, L. Tang, A. Teong, X. Tian, ??J. Watson, M. Williams, C. Youngdahl та низки інших вчених. У роботах A.P.S. Selvadurai, J. Li, E. Berger, J.G. Simmonds, P.G. Warne представлено дослідження за декількома узагальненими аналогами задачі Бусінеска з ускладненими крайовими умовами, моделями деформування, структурними особливостями будови пружного півпростору, зміною типології зовнішнього навантаження. Підкреслено, що провідними методами для побудови аналітичних розв'язків задач даних класів є методи інтегральних перетворень, розвиток яких на сучасному етапі дано у роботах А.С. Гольцева, В.В. Лободи, В. І. Моссаковського, А.Ф. Улітко, Я.С. Уфлянда, В.П. Шевченко та низки інших вчених.

Разом з тим, аналітичний огляд публікацій засвідчує, що на теперішній час недостатньо розробленими можна визнати методики розв'язання змішаних задач про розподіл напружень і переміщень в ізотропному півпросторі з пружно закріпленою границею при дії на нього зосереджених або розподілених нормальних навантажень. Це стосується й варіанту умов закріплення, що полягають у пропорційності на граничній поверхні нормальних напружень та переміщень при відсутності дотичних напружень (умов контакту поверхні півпростору з пружною основою вінклеровського типу). Дослідження деформування півпростору за такою моделлю проведено у роботах М.В. Кавлакана, А.М. Михайлова за спеціальною частинною методикою, яка дозволяє визначати лише розподіл нормальних напружень виключно на граничній площині півпростору й унеможливлює аналіз напружено-деформованого стану у довільній точці у глибині півпростору.

Необхідність побудови та дослідження розв'язків зазначеного класу змішаних задач, поряд з внутрішньою логікою розвитку фундаментальних досліджень, стимулюється також їх зв'язком з актуальними прикладними проблемами геомеханіки, машинобудування, будівельної механіки, що й зумовило вибір тематики дисертаційної роботи.

Надалі у першому розділі наведено математичні постановки досліджуваних у дисертації просторових змішаних задач лінійної теорії пружності для ізотропного півпростору V={-<x, y< , z?0}, віднесеного до циліндричних Оrиz або до прямокутних декартових Оxyz координат, з наступними крайовими умовами на граничній площині z = 0:

· задача OCF - осесиметрична задача з визначення у довільній точці півпростору компонентів u_r, w вектору переміщень і компонентів у _r,у _и, у _z,ф _rz тензору напружень за умов дії прикладеної у центрі координат нормальної зосередженої сили, пропорційності на граничній поверхні нормальних напружень та переміщень та відсутності дотичних напружень

 ; (1)

задача TDL

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

- задача з визначення у довільній точці півпростору компонентів u, v, w вектору переміщень і компонентів у _x, у _y, у _z, ф _xy, ф _xz, ф _yz тензору напружень за умов дії прикладених на його границі у скінченній прямокутній області V₁ нормальних розподілених зусиль інтенсивності q (x, y); в області V₂, яка доповнює V₁ до повної площини, виконується умова пропорційності нормальних напружень і переміщень; на всій граничній поверхні дотичні напруження відсутні

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(2)

· задача ODL - осесиметричний варіант задачі визначення у довільній точці півпростору компонентів u_r, w вектору переміщень і компонентів у _r,у _и, у _z,ф _rz тензору напружень за умов дії прикладеного в області V₁ у формі кола радіусу розподіленого навантаження q₀(r); поза V₁ в області V₂, яка доповнює V₁ до повної площини, виконується умова пропорційності нормальних напружень _z і переміщень w та вважається, що на всій граничній площині границі дотичні напруження відсутні.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(), (),

(). (3)

Частинними випадками сформульованих змішаних задач є задача Бусінеска (задача OCF у випадку k = 0) і тривимірні задачі про концентрацію напружень в околі прямокутної або дископодібної тріщини в пружному середовищі (задачі TDL та ODL у випадку k ?). Параметр k в наведених граничних умовах характеризує жорсткість пружного закріплення (є характеристикою пружної основи); наявними є експериментальні дані щодо його значень, а також прикладні співвідношення для його розрахунку у задачах гірничої і будівельної механіки.

Сформульовані задачі є вкрай актуальними з точки зору прикладних застосувань у гірничій механіці з огляду на одну з провідних апробованих моделей визначення напруженого стану породних масивів в околі вугільних пластів, при розробці яких утворюються виробки. За припущенням, що напружений стан масиву визначається сумою характеристик *_x,…, *_xy, обумовлених гірничим тиском (зокрема сталими напруженнями *_z на глибіні розташування пласту) та характеристик _x,…, _xy поля, локалізованого в околі пласту з виробітками, то згідно із зазначеною моделлю у точках вільної покрівлі над виробітками z=0 має виконуватись умова _z|_z=0 = -*_z, _xz|_z=0=_yz|_z=0 = 0, а у точках площини контакту порід з пластом поза покрівлею виробіток за припущенням апробованої моделі задається умова _z|_z=0= kw|_{z=0, xz}|_z=0=_yz|_z=0 = 0.

Нарешті, у першому розділі роботи визначено концепцію дослідження розглядуваних задач на підставі одержання точного аналітичного розв'язку задачі про дію на півпростір зосередженого нормального зусилля з використанням методів інтегральних перетворень і подальшого використання зазначеного розв'язку для зведення задач про дію розподілених нормальних зусиль до інтегральних рівнянь.

У другому розділі роботи з використанням методу інтегральних перетворень Ханкеля отримано аналітичний розв'язок осесиметричної задачі OCF. При побудові розв'язку використовується відповідний варіант представлень пружних переміщень та компонентів тензору напружень через бігармонічну функцію Лява Ф (r, z)

, ,

, , (4)

, ,

у яких E - модуль Юнга, - коефіцієнт Пуассона матеріалу півпростору.

За побудованим розв'язком одержано наступні співвідношення для шуканих напружень і переміщень

,

,

, (5)

,

,

,

де = 2k (1 - ²)/E, J₀(rt), J₁ (rt) - функції Бесселя нульового і першого порядку. Співвідношення (4) мають форму, яка при завданні = 0 трансформується у розв'язок задачі Бусінеска про дію зосередженої сили на пружний півпростір з вільною граничною поверхнею.

Надалі з використанням співвідношень (5) одержано представлення характеристик компонентів u, v, w вектору переміщень і компонентів у _x,у _y, у _z,ф _xy,ф _xz,ф _yz тензору напружень для випадку, коли зосереджена сила прикладена у довільній точці (о, ?, 0) на поверхні півпростору. Коректність одержаних представлень обґрунтовано шляхом їх прямої підстановки у співвідношення основної системи рівнянь теорії пружності. Показано також, що при ч = 0 одержані формули збігаються з розв'язком задачі Бусінеска в прямокутній системі координат.

У третьому розділі роботи з використанням побудованого аналітичного розв'язку змішаної задачі OCF вивчено і узагальнено закономірності розподілу напружень та переміщень у пружному півпросторі і на його границі. При розрахунках параметр ч (м ^-1), що характеризує сукупність пружних властивостей ізотропного півпростору та жорсткості закріплення його границі, варіювався у характерних для задач гірничої механіки межах від 0 до 1.8. Зокрема, на рис. 1.а наведено графіки розподілу напружень у_z, МПа у площинах z = 0.2, 0.4, 0.6 м при значеннях параметру ч = 0.8 м^-1 та ч = 0 (задача Бусінеска); на рис. 1.b представлено розподіл ізоліній напружень у_z в області Щ = {r ? 0.4 м, z ? 0.6 м} півпростору при ч = 0.8 м^-1 (у подальшому показники розмірності для значень напружень, координатних змінних та параметру ч не наводяться). Розрахунки здійснено для значень параметрів = 0.25, P =1.0 MН. З порівняльного аналізу результатів розрахунків випливає, що в області Щ картини розподілу напружень у _r, у _и, ф _rz у розглядуваному випадку пружного закріплення граничної поверхні та у випадку задачі Бусінеска в цілому якісно збігаються, але кількісні розбіжності у зонах змін знаків напружень сягають 25 - 40%. На відміну від розв'язку задачі Бусінеска, згідно з яким в області Щ виникають тільки напруження стискання у_z, при пружному закріпленні границі виникає область дії напружень розтягу, що зі збільшенням значення параметру ч поширюється від граничної площини z = 0 вглиб півпростору.

a) b) ізолінії уz = const

Рис. 1. Розподіли напружень у_z (МПа) у внутрішніх точках півпростору

a) b) ізолінії уr = const

Рис. 2. Розподіли напружень у_r (МПа) у внутрішніх точках півпростору

a) b) ізолінії у_и = const

Рис. 3. Розподіли напружень у_и (МПа) у внутрішніх точках півпростору

a) b) ізолінії ф_rz = const

Рис. 4. Розподіли напружень ф_rz (МПа) у внутрішніх точках півпростору

На рис. 2 - рис. 4 наведено відповідні характеристики розподілів напружень у_r, у_и, ф_rz для областей у внутрішніх точках півпростору. З аналізу результатів здійснених у роботі розрахунків зокрема випливають наступні узагальнення:

· На відносно невеликих глибинах, зокрема у площині z = 0.2, при r [0.05, 2] з ростом значень параметру ч від 0.2 до 1.8 рівні стискаючих напружень у _z зменшуються; значення координати r*, при якому напруження у_z змінює знак, також зменшується; максимуми напружень розтягу збільшуються і точка їх виникнення пересувається вздовж осі r до осьового напрямку Оz. Напруження у _r на розглядуваному інтервалі зміни r двічі змінюють знак: при r = r₁* з додатних на від'ємні і при r = r₂*, навпаки, з від'ємних на додатні; зі зростанням величини параметру ч значення r₁* збільшується, а значення r₂* зменшується, що у сукупності призводить до зменшення довжини відрізку [r₁*, r₂*], в межах якого напруження у_r є від'ємними; у цьому випадку значення стискаючих напружень зменшуються, а напруження розтягу, що виникають у точках r інтервалів r [0.05, r₁*], r [r₂*, 2], навпроти збільшуються. Напруження розтягу у_и на відрізку [0.05, r_и*] збільшуються; значення координати r_и*, при якому у_и змінює знак, також збільшується; максимум стискаючих напружень зменшується і точка їх виникнення пересувається вздовж осі r від осьового напрямку Оz. Дотичні напруження ф_rz зменшуються та не змінюють знаку на досліджуваному відрізку r [0.05, 2].

· При віддаленні від границі півпростору локальні напруження досить швидко зменшуються. Так, зокрема, у площині z = 0.2 максимальні значення напружень є на порядок більшими, ніж у площині z = 0.6, у точках якої епюри напружень стають більш рівномірними.

· Радіальні переміщення u_r (r, z) у площинах z = const є додатними при r[0.05, r*]

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

і від'ємними при r [r

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

*, 2]. З наближенням до границі півпростору максимум додатних переміщень збільшується (зокрема, в площині z = 0.2 він майже у 3 рази більшим, ніж у площині z = 0.6) і пересувається до осі Oz; значення координати r*, при якому переміщення u_r дорівнює нулю, при цьому зменшується. З розрахунків випливає закономірність, за якою зі збільшенням ч, відповідно зменшуються абсолютні величини переміщень u_r(r, z). Вертикальні переміщення w (r, z) в пружному півпросторі при обраних інтервалах зміни параметрів є на порядок більшими за радіальні. Зі зростанням ч рівні переміщень w (r, z) зменшуються, при цьому вплив параметру ч на розподіл вертикальних переміщень є вельми істотним. Наприклад, у площині z = 0.2 переміщення w у точці r = 0.4 при зміні ч від 0.2 до 1.8 зменшуються приблизно у 2 рази, у точці r = 1 - у 4.5 рази.

· На граничній поверхні півпростору із зростанням ч від 0.2 до 1.8 значення напружень у_z(r, 0) збільшуються в інтервалі r[0.05, 0.6]

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

і зменшуються при r > 0.6. В околі точки центру координат (при r ? 0.05) числові значення напружень у_r, у_и практично збігаються зі значеннями, які визначаються розв'язком задачі Бусінеска. Істотна залежність для напруження у_и від

9

параметру ч на поверхні півпростору має місце при r > 0.4, для напруження у _r - при r > 0.7, для радіального переміщення u_r - при r > 0.25.

У четвертому розділі дисертації побудовано та досліджено чисельно-аналітичний розв'язок змішаної крайової задачі TDL з визначення компонентів тензора напружень в ізотропному півпросторі при дії на його границі навантаження, рівномірно розподіленого по прямокутній області. З використанням принципу суперпозиції зосереджених сил, прикладених в точках (о, з) двовимірної області V₁ з шуканою невідомою щільністю в (о, з),

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

та одержаних у другому розділі роботи співвідношень для компонентів у _x, у _y, у _z, ф _xy, ф _xz, ф _yz тензору напружень для випадку, коли діюча зосереджена сила прикладена у довільній точці (о, ?, 0) на поверхні півпростору, введено формули для напружень і переміщень

,

,

,

(6)

,

У співвідношеннях (6) використано позначення

, .

Невідома функція щільності (х, у) визначається з неоднорідного інтегрального рівняння Фредгольма другого роду

, (7)

з ядром

,

яке має властивості: ; монотонно прямує до нуля при ; функція при має інтегровану особливість ; задовольняє співвідношенням

, (8)

які використовуються при одержанні оцінки для норми інтегрального оператора рівняння (7), що є меншою одиниці. З врахуванням зазначених властивостей розв'язок (7) будується за алгоритмом методу послідовних наближень

,

у формі ряду Неймана

. (9)

Числову реалізацію розв'язання інтегрального рівняння (7) здійснено у разі навантаження сталої інтенсивності q, рівномірно розподіленого по прямокутній області V₁ = {x[-5,5], y[-3,3]}. При цьому вивчено вплив значення параметру ч на напружений стан у точках ізотропного півпростору, та обґрунтовано достовірність результатів розрахунків.

На рис. 5 - рис. 9 наведено картини розподілу безрозмірних напружень = у_x

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

/q,…ф_yz

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

/q для різних областей вглибині півпростору (у площині z = 6) та на поверхні півпростору z = 0 при =0.25, ч = 1 м^-1. З огляду на рівномірність навантаження та симетрію області дії навантаження відносно координатних осей, характеризовані рисунками області є у випадку заглибленої площини областями V^* ={x[0,10], y[0,10]}, а у випадку граничної площини півпростору - областями V^**={x[5,10], y[3,10]}.

a) Область V^*, площина z=6 b) Область V^**, площина z=0

Рис. 5. Розподіл нормованих напружень в областях вглибині та на поверхні півпростору

a) Область V^*, площина z=6 b) Область V^**, площина z=0

Рис. 6. Розподіл нормованих напружень в областях вглибині та на поверхні півпростору

а) Область V^*, площина z=6 b) Область V^**, площина z=0

Рис. 7. Розподіл нормованих напружень в областях вглибині та на поверхні півпростору

a) Область V^*, площина z=6 b) ОбластьV^**, площина z=0

Рис. 8. Розподіл нормованих напружень в областях вглибині та на поверхні півпростору

a) Область V^*, площина z=6 b) Область V^*, , площина z=6

Рис. 9. Розподіл нормованих напружень в областях вглибині півпростору

Характер поданих на рисунках розподілів нормованих напружень засвідчує, що має місце їх якісна розбіжність для площин z = 6 і z = 0. Аналіз усієї сукупності здійснених розрахунків дозволяє зробити висновок, що у площинах z = сonst розподіл напружень безпосередньо під областю дії розподіленого рівномірного нормального навантаження V₁ визначається, у першу чергу, його інтенсивністю. Залежність розподілу напружень від ч зростає також з наближенням до граничної площини.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нормальні напруження у_x, у_y з ростом ч від 0.2 до 1 збільшуються у 2 - 4 рази, дотичні напруження змінюються на 20-30%. При віддаленні від V₁ у горизонтальних напрямках також збільшується вплив на аналізовані розподіли параметру ч .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

У п'ятому розділі побудовано та досліджено чисельно-аналітичний розв'язок осесиметричної крайової задачі ODL про дію рівномірно розподіленого по колу радіусу =1 нормального навантаження на півпростір з пружно закріпленою границею з крайовими умовами (3). З використанням наступних представлень, що у даному випадку за принципом суперпозиції зосереджених зусиль з невідомою шуканою щільністю визначають напруження у півпросторі при дії розподіленого по колу осесиметричного навантаження

 (10)

,

побудовано відповідне інтегральне рівняння для визначення

. (11)

Розв'язок рівняння (11) для випадку сталого нормального навантаження інтенсивності q=const, як і у розділі 4, одержано із застосуванням методу послідовних наближень у вигляді ряду Неймана. З використанням розробленого алгоритму чисельної реалізації побудованого розв'язку здійснено розрахунки низки нормованих віднесених до q характеристик напруженого стану півпростору з пружно закріпленою границею, матеріал якого характеризується коефіцієнтом Пуасона = 0.25. Окремі характерні результати розрахунків напруженого стану наведено на рис. 10 - рис. 16.

a) ч = 0.2 b) ч = 1

Рис. 10. Розподіл нормованих напружень вглибині пружного півпростору при z = 6.0

a) ч = 0.2 b) ч = 1

Рис. 11. Розподіл нормованих напружень на поверхні пружного півпростору при z =0

a) ч = 0.2 b)ч = 1

Рис. 12. Розподіл нормованих напружень вглибині пружного півпростору при z = 6.

a) ч = 0.2 b)ч = 1

Рис. 13. Розподіл нормованих напружень на поверхні пружного півпростору при z =0

a) ч = 0.2 b)ч = 1

Рис. 14. Розподіл нормованих напружень вглибині пружного півпростору при z = 6.

a) ч = 0.2 b)ч = 1

Рис. 15. Розподіл нормованих напружень на поверхні пружного півпростору при z =0

a) ч = 0.2 b)ч = 1

Рис. 16. Розподіл нормованих напружень вглибині пружного півпростору при z = 6

Наведені розподіли засвідчують суттєву залежність рівнів досліджуваних напружень від показника жорсткості закріплення граничної поверхні ч. З розрахунків випливає, що при варіюванні значення ч від 0.2 до 1 абсолютні величини напружень , _,збільшуються більш ніж у три рази, напруження приблизно у два рази, а дотичні напруження - у 1.2 рази. З рис. 10-16 також випливає, що розподіли напружень , , мають ідентичні форми за суттєвих кількісних відмінностей. Слід також зазначити, що точками на рис. 15 b позначено напруження, одержані у роботі М.В. Кавлакана, А.М.Міхайлова за методикою, яка дозволяє визначати для задач з даною постановкою суто розподіли напружень на граничній площині півпростору. Близькість одержаних у даній дисертаційній роботі результатів визначення з результатами зазначеної публікації слугує додатковим аргументом щодо достовірності результатів здійснюваного дослідження.

Основні результати і висновки

Дисертацію присвячено побудові чисельно-аналітичних розв'язків тривимірних змішаних задач теорії пружності про дію зосереджених і розподілених нормальних зусиль на ізотропний півпростір з пружно закріпленою границею (за варіанту умов закріплення, що полягають у пропорційності на граничній поверхні нормальних напружень та переміщень при відсутності дотичних напружень - умов контакту поверхні півпростору з пружною основою вінклеровського типу) та дослідження на основі одержаних розв'язків закономірностей розподілу напружень і пружних переміщень при варіюванні фізико-механічних сталих, а також типу зовнішнього навантаження і форми області його дії. Основні результати полягають у наступному:

1. Вперше одержано аналітичні розв'язки змішаної задачі про розподіл напружень і переміщень в ізотропному півпросторі при дії на нього нормальної зосередженої сили, що прикладається до граничної площини, в точках якої нормальні напруження і переміщення пропорційні, а дотичні напруження відсутні. Встановлено, що в окремому випадку, коли коефіцієнт пропорційності k дорівнює нулю, формули для компонент напружень і переміщень збігаються з відомими розв'язками задачі Бусінеска. Розв'язок досліджуваної змішаної задачі представлено у вигляді суми, першій доданок якої збігається з розв'язком задачі Бусінеска, а другій - залежить від параметру ч, що характеризує вплив коефіцієнта k і пружних властивостей ізотропного півпростору. Показано, що одержаний розв'язок зазначеної змішаної задачі задовольняє основним рівнянням тривимірної теорії пружності.

2. На основі аналітичного розв'язку осесиметричної задачі про дію зосередженого нормального навантаження числово досліджено закономірності розподілу напружень і переміщень у пружному півпросторі.

· Встановлено, що в околі осі z абсолютні величини напружень у_z, у_r, у_и, що визначаються розв'язком змішаної крайової задачі для півпростору з пружно закріпленою границею є меншими в областях дії стискаючих напружень і більшими в областях виникнення розтягуючих напружень за їх значення у випадку задачі Бусінеска;

· Дано кількісну оцінку зменшення напружень у_r, у_и, у_z, ф _rz при віддаленні від граничної площини півпростору з пружно закріпленою поверхнею;

· Встановлено закономірності перерозподілу напружень у різних площинах вглибині півпростору при збільшенні параметра ч(м^-1) від 0.2 до 1.8.

· Вивчено залежність розподілу переміщень у пружному півпросторі від величини параметру ч і відстані між площиною z = const і граничною площиною z = 0. Зокрема встановлено що, у випадку дії зосередженого навантаження з інтенсивністю Р=1МН радіальні переміщення u_r(r, z) у площинах z = const є додатними при r[0.0

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

5 м, r*] і від'ємними при r [r

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

*, 2 м]. З наближенням до границі півпростору максимум додатних переміщень збільшується (зокрема, в площині z = 0.2 м він є майже у 3 рази більшим, ніж у площині z = 0.6 м) і пересувається до осі Oz; значення координати r*, при якому переміщення u_r дорівнює нулю, при цьому зменшується. З розрахунків випливає закономірність, за якою зі збільшенням ч відповідно зменшуються абсолютні величини переміщень u_r (r, z). Вертикальні переміщення w (r, z) в пружному півпросторі при обраних інтервалах зміни параметрів є на порядок більшими за радіальні. Зі зростанням ч рівні переміщень w (r, z) зменшуються, при цьому вплив параметру ч на розподіл вертикальних переміщень є вельми істотним. Наприклад, у площині z =0.2 м переміщення w у точці r = 0.4 м при зміні ч від 0.2 до 1.8 зменшуються приблизно у 2 рази, у точці r = 1 м - у 4.5 рази.

3. Вперше розв'язано тривимірну змішану задачу для пружного півпростору, до границі якого прикладене нормальне навантаження, яке розподілено по скінченній області V, поза областю V - нормальні напруження і переміщення пропорційні, дотичні напруження в точках граничної площини дорівнюють нулю.

4. На підставі числових досліджень зроблено висновок, що у площинах z = сonst розподіл напружень безпосередньо під прямокутною областю V дії розподіленого рівномірного нормального навантаження визначається у першу чергу його інтенсивністю. Залежність розподілу напружень від ч зростає також з наближенням до граничної площини. Нормальні напруження

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

у_x, у_y з ростом ч від 0.2 до 1 збільшуються у 2 - 4 рази, дотичні напруження змінюються на 20-30%. При віддаленні від V у горизонтальних напрямках також збільшується вплив на аналізовані розподіли параметру ч .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

5. Вперше одержано і досліджено чисельно-аналітичний розв'язок змішаної задачі про осесиметричну деформацію ізотропного півпростору, на границі якого діє рівномірно розподілене по круговій області V нормальне осесиметричне навантаження, поза областю V нормальні напруження пропорційні переміщенням, а дотичні напруження в точках граничної площини відсутні.

6. З розрахунків характеристик напруженого стану у півпросторі з пружно закріпленою границею за дії нормального навантаження, рівномірно розподіленого у круговій області, випливає, що при варіюванні значення ч(м^-1) від 0.2 до 1 абсолютні величини напружень у_r, у_, збільшуються більш ніж у три рази, напруження у_z - приблизно у два рази, а дотичні напруження ф_rz - у 1.2 рази. З аналізу результатів розрахунків також випливає, що розподіли напружень у_r, у, у_z у плоскостях на різних глибинах в півпросторі мають ідентичні форми за суттєвих кількісних відмінностей.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Залётов В.В. Осесимметричная задача теории упругости для изотропного полупространства, лежащего на упругом основании, при действии сосредо - точенной силы / В.В. Залётов // Труды ИПММ НАН Украины. - Т.9. - 2004. - С. 61-67.

2. Залётов В.В. Распределение напряжений в изотропном полупространстве при заданных граничных условиях смешанного типа / В.В. Залётов // Труды ИПММ НАН Украины. - Т.13. - 2006. - С. 83-91.

3. Залётов В.В. Аналитическое решение смешанной задачи теории упругости для изотропного полупространства / В.В. Залётов // Труды ИПММ НАН Украины. - Т.14. - 2007. - С. 74-82.

4. Сторожев В.И. Распределение напряжений и смещений в изотропном полупространстве на упругом основании при действии сосредоточенной силы / В.И. Сторожев, В.В. Залётов // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела. Материалы IV Международной научной конференции. - Донецк: Юго-Восток, 2006. - С. 124-126.

5. Сторожев В.И. Численное исследование напряженного состояния изотропного полупространства на упругом основании при действии сосредоточенной силы / В.И. Сторожев, Н.С. Хапилова, В.В. Залётов // Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов. - Таганрог, Россия: ТГПИ, 2006. - С. 274-278.

6. Залётов В.В. Смешанная задача теории упругости для изотропного полупространства при действии на границе сосредоточенной силы / В.В. Залётов, В.И. Сторожев, Н.С. Хапилова // Современные проблемы механики сплошной среды. Тр. X Международной конференции. - Ростов-на-Дону, Россия: ООО «ЦВВР», 2006. - С. 120-124.

7. Сторожев В.И. Пространственное напряженно-деформированное состояние массива горных пород при проведении выработок в пласте полезного ископаемого / В.И. Сторожев, В.В. Залётов // Сб. научных трудов Национального горного университета. - Днепропетровск. - 2004. - Т. 4. - №19. - С. 108-113.

8. Залётов В.В. Решение смешанной задачи теории упругости для изотропного полупространства в цилиндрической системе координат / В.В. Залётов, В.И. Сторожев,

Н.С. Хапилова // Современные проблемы механики сплошной среды. Тр. XII Международной конференции. - Ростов-на-Дону, Россия: ЮФУ, 2008. - Т.1. - С. 81-85.

9. Сторожев В.И. Смешанная задача теории упругости для изотропного полупространства / В.И. Сторожев, В.В. Залётов // Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій. Тези доповідей Міждународної науково-технічної конференції пам?яті академіка НАН України В.І. Моссаковського. - Дніпропетровськ, 17-19 жовтня, 2007. - С. 134-135.

10. Залётов В.В. Распределение напряжений в изотропном полупространстве, лежащем на упругом основании, при действии на границе нормальной нагрузки / В.В. Залётов // Украинско-польский коллоквиум «Математические проблемы механики»/ Механика твердого тела. - 2004. - Вып. 34. - С. 211.

11. Залетов В.В. Закономерности распределения перемещений в изотропном полупространстве, лежащем на упругом основании, при действии сосредоточенной силы/ В.В. Залетов, Н.С Хапилова // Труды ИПММ НАН Украины. - 2010. - Т.20. - С. 65 - 73.

12. Залетов В. Розрахунок переміщень на пружно закріпленій границі півпростору при дії зосередженої сили/ В.В. Залетов, Н.С. Хапілова // Компґютерні науки та інженерія /Матеріали IV Міжнародної конференції молодих вчених CSE-2010, 25 - 27 листопада 2010. - Львів: Видавництво Львівської політехніки, 2010. - С. 266 - 267.

13. Сторожев В.И. Пространственное напряженно-деформированное состояние массива горных пород с призматическими выработками / В.И. Сторожев, В.В. Залётов // Тезисы докладов IV Международной научно-технической конференции. «Проблемы механики горно-металлургического комплекса». - Днепропетровск: НГУ, 2004. - С. 31-32.

14. Хапилова Н.С. Основные задачи математической физики при расчёте напряжений в горном массиве / Н.С Хапилова, В.В. Залётов, А.В. Зенченков, Е.А. Нескоромная // Праці наук. конф. ДонНУ за підсумками науково-дослідницької роботи (секція фізичних і комп'ютерних наук). - Донецьк. - 2001. - С. 41-44.

15. Хапилова Н.С. Симметричная деформация упругого полупространства при смешанных граничных условиях/ Н.С. Хапилова, В.В. Залетов // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. VIII Міжнародна наукова конференція, 14 - 17 вересня 2010 р. - Львів: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача, 2010. - С. 96 - 97.

Размещено на Allbest.ru