, , (6)

де ; - сталі, які визначаються з конформних відображень для контурів включень. Невідомі сталі , , , , , , які входять до функцій (5), (6), а також кути поворотів абсолютно жорстких включень визначаються з відповідних граничних умов. На всіх контурах вибирається набір точок, в яких задовольняються граничні умови з отриманням перевизначених систем, що містять рівняння від кожної точки. Система термопружності для включень доповнюється рівняннями рівностей нулю головних моментів зусиль, прикладених до включень. Для отримання псевдорозв'язків зазначених систем використовується сингулярне розвинення. Після розв'язання цих систем функції (5), (6), які шукалися, стають відомими, і по них можна обчислювати напруги в будь-якій точці пластинки-матриці та пружних включень, а у випадку тріщин або лінійних включень також КІН для їх вершин. У цьому розділі наведено також розв'язок періодичної задачі для пластинки з пружними включеннями.

У третьому розділі для великої кількості задач описано результати чисельних досліджень з їхнім аналізом і встановленням низки нових закономірностей; розглянуто випадки, коли на контурах отворів задана температура або вони теплоізольовані. Тут описано деякі з отриманих результатів. При цьому значення всіх величин наведено з точністю до значення густини однорідного потоку тепла як множника або до різниці температур на контурах.

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Для випадку дії однорідного потоку тепла в пластинці з двома круговими отворами на рис. 7, 8 для різних значень відношення відстані між отворами до їх радіусу наведені графіки розподілу напружень біля контуру лівого отвору, коли на контурах задана нульова температура (рис. 7) та коли вони теплоізольовані (рис. 8). Аналогічні графіки для випадку, коли на лівому та правому контурах отворів задаються різні значення температури та , при відсутності однорідного потоку тепла зображені на рис. 9. Видно, що при дії однорідного потоку тепла, перпендикулярного лінії центрів отворів, зближення отворів один з одним призводить до зменшення концентрації напружень у зоні між отворами і до її зростання поза отворів. При завданні на контурах різних значень температури зближення контурів один з одним призводить до зростання концентрації напружень у зоні між отворами. Концентрація напружень в пластинці з ізотропного матеріалу М1 значно менша, ніж у пластинці з М5: вона менша на 1-2 порядки при дії однорідного потоку тепла та на 3 порядки, коли на контурах отворів задаються різні значення температури.

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

На рис. 10 для пластинки з матеріалу М5 з круговим отвором радіуса та тріщиною напівдовжини при дії однорідного потоку тепла, перпендикулярного лінії тріщини, в залежності від відношення відстані між отвором і тріщиною до радіусу наведені графіки зміни КІН для випадку, коли на границях задається нульова температура (у цьому випадку ). Видно, що при зближенні отвору та тріщини один з одним значення КІН по модулю зростають.

термонапружений анізотропний пластина

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

На рис. 11 для пластинки з матеріалу М5 з круговими отвором і пружним включенням (однакових радіусів ) для випадку , , та дії однорідного потоку тепла, перпендикулярного лінії центрів отвору та включення, зображені графіки розподілу напружень біля контуру отвору, коли на ньому задається нульова температура (суцільна лінія) або він теплоізольований (штрихова лінія). На рис. 12 для різних значень та наведені графіки розподілу напружень біля контуру теплоізольованого отвору в пластинці з отвором і включенням. З наведених та інших отриманих результатів випливає, що в зоні між контурами на ТНС біля отвору великий вплив має параметр деформованості включення, поза контурами вплив цього параметра на ТНС поблизу отвору є незначним. Зі збільшенням у випадку, коли на контурі отвору задається температура, концентрація напружень зростає, у випадку теплоізольованого отвору - спочатку зменшується, потім зростає.

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

У випадку, коли на контурі отвору задається температура, при зближення контурів веде до зростання концентрації напружень поблизу отвору в зоні між контурами і лише за дуже малими відстанями - до їх зменшення, при зближення отвору з включенням веде до зменшення цієї концентрації напружень; поза контурами зміна концентрації напружень при зближенні контурів є незначною. Якщо контур отвору теплоізольований, то зближення отвору і включення один з одним веде до зростання концентрації напружень біля отвору в зоні між контурами, до її зростання при та до зменшення при поза контурами. Зміна напружень поблизу отвору при зближенні отвору з включенням особливо помітна, якщо контур отвору теплоізольований, причому концентрація напружень біля теплоізольованого контуру більша, ніж біля контуру з нульовою температурою.

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Для пластинки з матеріалу М5 з круговим включенням радіусу та тріщиною з теплоізольованими берегами напівдовжини на рис. 13 для випадку , та дії однорідного потоку тепла, перпендикулярного лінії тріщини, зображені графіки зміни для вершин тріщини в залежності від параметра (у цьому випадку ). Видно, що зі збільшенням цього параметра значення для найближчої до включення вершини тріщини спочатку зменшуються, потім зростають, значення для протилежної вершини по модулю зменшуються. При цьому приймає найменше значення для , тобто коли механічні сталі включення та пластинки збігаються. Якщо при цьому також збігаються їхні коефіцієнти теплопровідності (), то значення КІН набувають таких же значень, як для пластинки з однією тріщиною ().

Для пластинки з матеріалу М5 з двома однаковими круговими пружними включеннями радіусів при дії однорідного потоку тепла, перпендикулярного лінії центрів включень, на рис. 14 при зображені графіки розподілу напружень в пластинці біля лівого включення для різних значень відношення та параметра деформованості . Видно, що зближення включень один з одним призводить до зростання концентрації напружень у зоні між ними.

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Для пластинки з матеріалу М5 з двома однаковими лінійними пружними включеннями при дії потоку тепла вздовж лінії включень для різних значень , коли відношення відстані між включеннями до їх напівдовжини дорівнює 0,1, на рис. 15 зображені графіки зміни КІН (у цьому випадку ) для лівого включення в залежності від параметра . Видно, що, як і у випадку пластинки з одним лінійним пружним включенням, при значення відмінних від нуля КІН при будь-яких значеннях дуже малі та ними можна знехтувати (при вони взагалі дорівнюють нулю).

У третьому розділі дисертації також наведено розв'язки задач та описано результати докладних чисельних досліджень для пластинки з двома тріщинами або абсолютно жорсткими круговими (або лінійними) включеннями, зі скінченним і нескінченним числом пружних включень.

У четвертому розділі наведено розв'язок задачі термопружності для нескінченної пластинки з отворами та пружними кільцями. У цьому випадку комплексні потенціали теплопровідності та термопружності для пластинки-матриці отримані у вигляді

, (7)

де , . Комплексні ж потенціали для пружних кілець мають вигляд

, (8)

де

Невідомі сталі, які входять до функцій (7), (8), визначаються з граничних умов теплопровідності та термопружності на контурах, в т.ч. на внутрішніх контурах кілець. З цією метою задовольняються граничні умови на множині точок границь з отриманням перевизначених систем лінійних алгебраїчних рівнянь, псевдорозв'язки яких шукаються з використанням сингулярного розвинення. У цьому розділі наведено також точний розв'язок задачі для ізотропної пластинки з круговим кільцем під дією потоку тепла.

У четвертому розділі також описані результати проведених чисельних досліджень з їхнім аналізом і встановленням нових закономірностей зміни ТНС. Нижче описані деякі з отриманих результатів для пластинки з матеріалу М5. При цьому значення напружень наведені з точністю до значення густини потоку тепла (який діє в напрямку осі ) як множника або до різниці температур на внутрішніх контурах та кілець та .

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

На рис. 16 для пластинки з одним круговим кільцем при дії потоку тепла зображені графіки розподілу напружень в пластинці біля кільця для різних значень відношення внутрішнього радіуса кільця до зовнішнього , коли для кільця параметри , . Вважалося, що на внутрішньому контурі кільця задана нульова температура (суцільні лінії) або він теплоізольований (штрихові лінії). Графіки для значень , які дорівнюють 1 і 0, відповідають пластинці з отвором і пластинці із суцільним включенням. Видно, що якщо на внутрішньому контурі кільця задана температура, то зі збільшенням його ширини (зі зменшенням відношення ) концентрація напружень спочатку зменшується, потім зростає; якщо ж внутрішній контур кільця теплоізольований, то зі збільшенням його ширини концентрація напружень спочатку зростає, потім зменшується. З чисельних досліджень випливає, що при значення напружень є такими ж, як в пластинці з непідкріпленим отвором (отже, для таких впливом кільця на напруги в пластинці можна знехтувати), при вони такі ж, як в пластинці з ядром.

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Для пластинки з двома однаковими круговими кільцями радіусів (зовнішнім) та (внутрішнім) на рис. 17-19 при , , , де - відстань між кільцями, зображені графіки розподілу напружень в пластинці біля лівого кільця для різних значень відношення . Дані для значень , які дорівнюють 1 та 0, відповідають пластинці з двома отворами та пластинці з двома суцільними включеннями. Графіки на рис. 17 та 18 відповідають випадку дії однорідного потоку тепла при заданій нульовій температурі на внутрішніх контурах кілець (рис. 17) і для теплоізольованих внутрішніх контурів (рис. 18); дані рис. 19 відповідають випадку, коли на внутрішніх контурах лівого та правого кілець задаються значення температури та . Видно, що у випадку, коли на внутрішніх контурах кілець задається температура, із збільшенням їх ширини (із зменшенням ) концентрація напружень в пластинці біля кілець спочатку зменшується, потім зростає. У разі теплоізольованих внутрішніх контурів зі збільшенням ширини кілець концентрація напружень в пластинці в зоні між кільцями спочатку зростає, потім зменшується, поза кільцями зменшується постійно. З проведених досліджень випливає, що при зближенні один з одним кілець, на внутрішніх контурах яких задаються значення температури та , концентрація напружень в пластинці для вузьких кілець (при ) спочатку зростає, потім зменшується, для широких кілець (при ) спочатку зменшується, потім зростає.

У четвертому розділі дисертації також наведені розв'язки задач та описані результати докладних чисельних досліджень для пластинки з включенням, що містить тріщину, з отвором (або тріщиною) і кільцем, з отвором (або тріщиною) і включенням, що містить тріщину.

Зауважимо, що у всіх задачах отримані для ізотропної пластинки (із матеріалу М1) результати добре узгоджуються з відомими в літературі, знайденими іншими методами, наприклад, для пластинки з теплоізольованою тріщиною та пружним включенням (М.П. Саврук, В.М. Зеленяк), з включенням, що містить центральну теплоізольовану тріщину (Г.С. Кіт, М.Г. Кривцун; М.П. Саврук, В.М. Зеленяк). Результати розрахунків для анізотропної пластинки з круговим кільцем у випадку матеріалу М1 збігаються з відповідними значеннями, отриманими за наведеним у роботі точним розв'язком задачі для ізотропної пластинки.

Основні результати та висновки

Внаслідок проведених у роботі досліджень одержали подальший розвиток методи розв'язання задач термопружності для багатозв'язних анізотропних пластин та їхнє застосування до проблеми вивчення ТНС кусково-однорідних анізотропних пластин з отворами, тріщинами та включеннями.

Основні наукові результати та висновки, отримані в роботі, наступні:

1. З використанням узагальнених комплексних потенціалів теплопровідності та термопружності, методів конформних відображень, розвинень функцій в ряди Лорана та за поліномами Фабера, розв'язання перевизначених систем лінійних алгебраїчних рівнянь застосуванням сингулярного розвинення запропоновано методику визначення ТНС кусково-однорідних анізотропних пластин з отворами, тріщинами та включеннями.

2. Застосуванням запропонованої методики отримано теоретичні розв'язання низки нових задач.

3. Складено комплекси програм з чисельної реалізації на ЕОМ отриманих теоретичних розв'язків.

4. Чисельними дослідженнями встановлено високу ефективність розроблених підходів розв'язання задач для багатозв'язних кусково-однорідних пластин і стійкість одержуваних результатів, а для окремих задач і їхнє узгодження з відомими, знайденими іншими авторами. Останнє поряд із застосуванням строгих математичних методів підтверджує вірогідність отриманих результатів.

5. На основі чисельних досліджень виявлено низку нових термомеханічних закономірностей впливу геометричних характеристик отворів, тріщин і включень, їхньої кількості, поєднання і місця розташування, теплофізичних властивостей матеріалів пластинок і включень на їхнє ТНС. Зокрема, встановлено, що на значення напружень в пластинці та характер їхнього розподілу суттєвий вплив мають теплофізичні сталі її матеріалу. На значення напружень в пластинці з включеннями великий вплив має параметр відносної теплопровідності матеріалів включень , менший вплив параметра їхньої відносної деформованості і зовсім незначний вплив параметра відносної теплової розширюваності . Якщо параметр (), то включення можна вважати «абсолютно теплопровідними» («тепло непровідним»). Якщо параметр (), то включення можна вважати абсолютно м'яким (абсолютно жорстким). У випадку лінійних пружних включень, якщо параметр знаходиться у межах , то значення КІН дуже малі, та їх можна не вивчати. Зближення пружних включень один з одним призводить до зростання концентрації напружень в пластинці. У випадку пластинок з пружними кільцями на значення напружень суттєвий також вплив має ширина кілець, причому в залежності від жорсткості матеріалів, умов на внутрішніх контурах кілець і відстаней між кільцями або між отворами та кільцями із зменшенням ширини кілець концентрація напружень в пластинці може як зростати, так і зменшуватися.

Результати наведених у дисертаційній роботі досліджень мають як теоретичний, так і практичний інтерес. Запропоновані методики можуть бути використані при розв'язанні різноманітних інженерних задач.