Тауберові теореми для випадкових полів із сингулярностями у спектрі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тауберові теореми для випадкових полів із сингулярностями у спектрі

Теорія випадкових процесів та полів переживає бурхливий розвиток протягом останніх років. Один з напрямків, який викликає особливий інтерес, це процеси і поля з так званою довгою пам'яттю (сильною залежністю).

Протягом останніх років велика кількість робіт була присвячена граничним теоремам для процесів з довгою пам'яттю. Перші результати такого типу належать М. Розенблату, М. Такку, Р. Добрушину і П. Майєру, та пов'язані з гаусовими залежними послідовностями з довгою пам'яттю. Aналогічні задачі були розглянуті Л. Гірайтісом та Д. Сургайлісом для поліномів від лінійних негаусових процесів. Найбільш вагомі нові результати були отримані в останні роки для емпіричних процесів та пов'язаних з ними статистик, таких як U -- статистики: Х. Дехлінг та М. Такку вивчали гаусовий випадок; Х. Хо, Т. Сінг, Л. Гірайтіс та Д. Сургайліс - лінійні процеси.

Вивчення асимптотичної поведінки широкого класу функціоналів від гаусових полів із особливістю спектра в нулі було одним із об'єктів досліджень М. Й. Ядренка, М.М. Леоненка, О.В. Іванова та інших представників створеної ними української школи з теорії випадкових полів.

У роботах М.Й. Ядренка та М.М. Леоненка було розпочато дослідження асимптотичних властивостей дисперсій інтегралів від випадкових полів з особливостями спектру в нулі. Дослідження у цьому напрямку були продовжені у роботах А.Я. Оленка. Зокрема, розглядались кореляційні властивості випадкових полів, спектр яких має особливість на сфері Основна частина дисертаційної роботи присвячена вивченню цієї тематики, зокрема властивостей дисперсій вагових функціоналів від випадкових полів типу та функцій Одержані результати важливі при одержанні тауберових та абелевих теорем для функціоналів від випадкових полів.

Серед широкого кола літератури про випадкові процеси з довгою пам'яттю, лише відносно невелика кількість робіт пов'язана з циклічною або сезонною довгою пам'яттю. У 1981 році Д. Хоскінг запропонував вигляд перетворюючого оператора, який породжує ефект довгої пам'яті та періодичну поведінку. З того часу декілька різних типів моделей сезонної поведінки з'явилися в літературі, наприклад GARMA, ARFIMA, ARUMA тощо.

Параметричні та напівпараметричні моделі сезонних часових рядів розглядались Д. Анделем, Д. Карліном, А. Демпстером, Ф.Чунгом, Л. Гірайтісом, Р. Лейпусом, Х. Греєм, Ю. Хасслером, С. Портер-Худаком, Д. Хоскінгом, М. Оумсом, Б. Рейем та П. Робінсоном.

У випадку, коли спектральна щільність випадкового поля має особливість в точці відмінній від нуля, для отримання граничних теорем, що залежать від точки у якій є особливість, потрібно замість класичних функціоналів типу розглядати зважені функціонали. Наприклад, у дисертації вивчається випадок Отримана в дисертації гранична теорема - перший результат такого роду для полів з особливістю спектру на множині відмінній від початку координат.

Інший клас задач, який розглянуто в дисертації, стосується проблем пов'язаних з наявністю лише скінченої кількості спостережень випадкових полів у прикладних статистичних дослідженнях. Один з підходів, при дослідженні таких полів, полягає в отриманні умов за яких ми можемо перетворити нестаціонарне випадкове поле до стаціонарного за допомогою деформації простору. У прикладній статистиці метод деформації був вперше застосований П. Гутторпом і П. Семпсоном. У роботах В. Мейрін, П. Монесті, П. Семпсона, П. Гутторпа, М. Клерка, А. Шмідта, О. Перріна було розглянуто широкі класи автоморфізмів простору, досліджено ряд умов, за яких перетворення до стаціонарного випадку має місце. У дисертації досліджено метод деформації для дискретного випадку і встановлено умови існування перетворення до стаціонарної моделі.

Іншим важливим питання у прикладній статистиці є умови існування двох різних кореляційних функцій, які, проте, мають однакові значення на деякій підмножині простору У досить загальній постановці проблема вивчалась М. Крейном та його учнями. А. Калдерон та П. Пепінський показали, що у випадку багатовимірних просторів таке продовження не завжди можливе. Результати А. Калдерона та Р. Пепінського були оновлені і розширені до випадку простору У. Рудіним. Для однорідних випадкових полів проблема розглядалась Й. Шонбергом та пізніше Т. Гнейтінгом та З. Сашварі. У дисертації доведено неоднозначність продовження для дискретного випадку і коваріаційних функцій Пойа.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Робота виконана у рамках державної бюджетної наукової дослідницької теми № 06БФ038-03 «Аналітичні та стохастичні методи дослідження динамічних систем», що виконується на кафедрі теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики механіко-математичного факультету Київського Національного університету імені Тараса Шевченка, і входить до комплексного тематичного плану науково-дослідних робіт «Математичні проблеми природознавства та економіки» (номер державної реєстрації № 0106U005864).

Мета і задачі дослідження. Метою та основними задачами дисертаційної роботи є дослідження різноманітних властивостей вагових функцій у інтегралах від випадкових полів, які фігурують у тауберових і граничних теоремах, отримання граничної теореми для полів з особливістю ізотропної спектральної щільності в довільній точці відмінній від нуля, вивчення певних коваріаційних властивостей скінченої множини спостережень випадкового поля.

Об'єктом дослідження є випадкові поля, зокрема випадкові поля із сингулярністю спектра у довільній точці відмінній від нуля.

Предметом дослідження є гранична поведінка випадкових полів із сингулярністю у спектрі та кореляційні властивості полів.

Методи дослідження. Дослідження проводились методами стохастичного та функціонального аналізу.

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертації отримано нові теоретичні результати, основними з яких є такі:

- доведена гранична теорема для полів, спектральна щільність яких має особливість на n - вимірній сфері;

- встановлено асимптотичні властивості вагових функцій у тауберових та абелевих теоремах, побудовано рекурентні формули для вагових функцій у різних розмірностях простору та досліджено швидкість збіжності рядів у зображенні цих функцій;

- досліджено властивості дискретного аналога метода деформації коваріаційної структури;

- встановлено існування двох різних кореляційних функцій з однаковими значеннями на заданій скінченій множині точок.

Практичне та теоретичне значення результатів. Дисертація має як теоретичне, так і практичне значення. Отримані результати є важливими з теоретичної точки зору, оскільки вони дають можливість дослідити поведінку випадкових полів з особливостями спектру в довільній точці простору. З практичної точки зору важливими є нові приклади кореляційних функцій та дослідження коваріаційної структури, заданої лише на скінченій множині точок.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи одержані здобувачем самостійно. У спільних статтях з науковим керівником доц. Оленку А.Я. належить постановка задач, аналіз здобутих результатів та загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації

Результати дисертаційної роботи доповідались на наукових семінарах

* кафедри теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики механіко - математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка;

* кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей Національного технічного університету України ``КПІ'' ;

* відділу математичних методів дослідження операцій Інституту кібернетики НАН України;

а також на міжнародних наукових конференціях:

* ``Український математичний конгрес - 2009'' (27-29 серпня 2009 р., м. Київ);

* ``Stochastic Analysis and Random Dynamical Systems '' (14-20 червня 2009 р., м. Львів);

* ``International Summer School. Insurance and finance: Science, Practice and Education '' (23 - 30 червня 2007 р., м. Форос);

* ``Міжнародна конференція. Сучасна стохастика: Теорія і застосування.'' (19-23 червня 2006 р., м. Київ);

* ``Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука '' (18-20 травня 2006 р., м. Київ);

* ``Десята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука '' (13-15 травня 2004 р., м. Київ);

* ``Eight international school on mathematical and statistical methods in economics, finance and insurance.'' (21 - 26 липня 2004 р., м. Форос).

Публікації

За результатами дисертаційної роботи опубліковано 7 статей [1-7] у фахових виданнях, та 7 тез доповідей на наукових конференціях [8-14].

Структура та обсяг дисертації.

Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації становить 168 сторінок, список викоританих джерел займає 15 сторінок і містить 121 найменування.

Перший розділ містить короткий огляд літератури за тематикою дисертації та висвітлює сучасний стан вивчення проблем, схожих до тих, що розглядаються в дисертаційній роботі.

Другий розділ вводить основні поняття і твердження, на яких грунтуються результати дисертаційної роботи.

Спочатку у другому розділі сформульовано відомі тауберові теореми, які дають зв'язок асимптотичної поведінки спектра в нулі та дисперсій середньоарифметичних функціоналів по сфері чи кулі від випадкових полів на нескінченності. Асимптотична поведінка описана в термінах функціональних класів Наведено необхідні означення та властивості функціонального класу

Оскільки кореляційні функції однорідних ізотропних випадкових полів є інтегральними перетвореннями ганкелевого типу, то, на відміну від характеристичних функцій, відомо досить мало явних формул кореляційних функцій. Подано нові приклади полів та кореляційних функцій, які демонструють різні типи асимптотичної поведінки і кореляційних властивостей.

Ці приклади показують, що для асимптотичних досліджень доцільно використовувати не кореляційні функції, а саме дисперсії інтегральних функціоналів від випадкових полів, які фігурують у тауберових теоремах. Адже, навіть якщо спектральна щільність належить класу , функцій, що змінюються регулярно, то кореляційна функція не обов'язково з цього класу. Проте із абелевих і тауберових теорем випливає, що дисперсії середньоарифметичних функціоналів по сфері чи кулі від випадкових полів належать класу тоді і тільки тоді, коли спектральна щільність належить до цього класу також.

Зокрема, наведено цікаві приклади, у яких спектральні щільності належать саме класу функцій , не класу , а дисперсії середньоарифметичного функціоналу по сфері від випадкового поля потрапляє в клас Це не суперечить загальній теорії, а показує, що відображення дає зв'язок асимптотик не обов'язково з в , а може бути з в Показано існування поля, для якого і дисперсія середньоарифметичного функціоналу від поля, і спектральна щільність поля належать але не є з класу .

Приклади кореляційних функцій, які допускають зображення за допомогою елементарних функцій а не інтегралів, мають чисельні застосування у прикладній просторовій статистиці. Тому, отримані у другому розділі нові явні приклади кореляційних функцій і дисперсій інтегралів від випадкових полів можуть становити інтерес з прикладної точки зору.

У третьому розділі досліджуються властивості вагових функцій в інтегралах від випадкових полів, які фігурують у тауберових і граничних теоремах. А саме: вивчено їх асимптотичну поведінку, отримано різні зображення вагових функцій, побудовано рекурентні формули для вагових функцій у просторах різної розмірності. Одержані результати можуть бути застосовані не тільки у теорії випадкових полів, а також у теорії потенціалу, де виникають подібні перетворення Ганкеля і функціональні ряди.

Вивчаються неперервні в середньому квадратичному однорідні та ізотропні випадкові поля з нульовим математичним сподіванням, кореляційною функцією і спектральною функцією

Розглянуто випадок полів із сингулярністю спектра у довільній точці

Нехай

Функції та теж є спектральними функціями. За таких позначень дослідження асимптотичної поведінки чи зводиться до вивчення поведінки чи відповідно в нулі.

Позначимо

Відомо, що для випадку (поля з сильною залежністю) функції та допускають зображення за допомогою дисперсій середніх випадкового поля:

Для довільного існують аналогічні зображення з такими дійснозначними функціями , що

Вивченню саме властивостей цих вагових функцій та присвячено третій розділ. Отримано зображення у вигляді суми нескінченного функціонального ряду. Теорема 3.1 Функція може бути визначена як сума функціонального ряду:



Якщо то а якщо то Вважаємо, що якщо

А.Я. Оленко запропонував обчислювати функції за допомогою сум функціональних рядів:

де

У зв'язку з цим постає проблема оцінки швидкості збіжності відповідних рядів. Наступні дві теореми демонструють асимптотику функціональних рядів у зображенні

Теорема 3.2 Для

Для довільного

Теорема 3.3 Для

Для довільного

Для функції також існує визначення через суму функціонального ряду. Аналогічно до попереднього випадку позначимо доданки сум через та . Тоді



Асимптотику відповідних рядів досліджено в двох наступних теоремах.

Теорема 3.4 При

для довільного

Теорема 3.5 При

Отримані результати про асимптотичну поведінку залишків функціональних рядів дають можливість обчислювати значення вагових функцій з заданою точністю.

Для вагової функції побудовано рекурентні формули.

Лема 3.9 Для довільного



де і визначено наступним чином:

Наслідок 3.1 При

(і) якщо і парні, то

(іі) якщо і непарні, то

Для використання рекурентних формул необхідно знати вираз для функції у випадку розмірностей простору та

Лема 3.10 При функцію визначено як:



а при

Лема 3.11 При

Теорема 3.6 Якщо -непарне, то

де визначено у Лемі 3.10; якщо -парне, то



де визначено у Лемі 3.11. Функції та визначено за формулами з Леми 3.9.

У дисертації досліджено також асимптотичні властивості вагових функцій.

Теорема 3.7 При фіксованих значеннях і

Випадок, коли розглянуто в наступному твердженні.

Теорема 3.8 При фіксованих значеннях і

Теорема 3.9 При вагова функція має розрив. Якщо , то цей розрив першого роду, інакше - другого.

Теорема 3.10 При

У четвертому розділі отримано граничну теорему для полів з особливістю ізотропної спектральної щільності в довільній точці відмінній від нуля.

У цьому розділі ми будемо використовувати змінну як індекс у граничному процесі, а - як індекс випадкового поля. М.М. Леоненко та О.В. Іванов розглядали випадкові поля зі спектральною щільністю

де - обмежена функція визначена на і неперервна в деякому околі з Для таких полів були отримані граничні теореми для функціоналів усереднення по різних множинах.

Нас цікавить випадок однорідного та ізотропного поля з особливістю ізотропної спектральної щільності в довільній точці

У порівнянні з випадковими процесами для полів маємо принципову відмінність у особливостях спектру. Для випадкових процесів спектр має особливість лише в одній точці. Для випадкових полів маємо особливість в одній точці лише якщо При спектральна щільність має особливість у всіх точках - вимірної сфери

Нас цікавить асимптотична поведінка при функціоналу від випадкового поля

де функція із зображення (1) дисперсій у тауберових теоремах:

У випадку маємо добре відомий частковий випадок:

Тоді функціонал від поля перетворюється на середнє поля по кулі

де -- куля радіуса в

Умова A. -- середньо квадратично неперервне однорідне ізотропне гаусове поле з спектральною щільністю

де - обмежена функція визначена на неперервна в деякому околі з

Зауважимо, що ми розглядаємо лише випадок, коли функція неперервна в деякому околі і степінь у зображенні (3) однаковий для обох випадків і Проте результати легко узагальнити на випадок, коли існують різні ліва і права границі функції в нулі, і коли степені різні для i

Щоб отримати інтегровану спектральну щільність у (3) при має бути скінченим такий інтеграл з особливістю в точці

Це пояснює чому степінь у зображенні спектральної щільності (3) становить

Різниця у степенях у (2) та (3) пов'язана з тим, що у випадку сильної залежності спектральна щільність має особливість лише в одній точці а якщо то маємо особливості спектральної щільності в усіх точках вимірної сфери

Теорема 4.1 Нехай виконується yмова А і Тоді при скінченовимірні розподіли процесу

слабко збігаються до скінченовимірних розподілів процесу

де - білий шум в

У п'ятому розділі розглядаються властивості кореляційних функцій, значення яких відомі лише на скінченій множині точок.

Добре відомо, що дві додатньо визначені функції можуть бути однакові на множині, яка включає початок координат, але допускати різне продовження на весь простір Декілька прикладів різних характеристичних функцій, які збігаються на певних відрізках наведено у відомій книзі В.Феллера. Аналогічною важливою проблемою у прикладній статистиці є дослідження існування двох різних кореляційних функцій, які мають однакові значення на деякій дискретній скінченій множині точок простору

Для класу кореляційних функцій Пойа, для будь-якої наперед заданої скінченої множини точок, ми будуємо явні приклади кореляційних функцій, які збігаються саме у цих точках, але є різними. На відміну від вищезгаданих загальних результатів існування, наведена процедура є конструктивною.

Нехай - неперервна кореляційна функція однорідного ізотропного поля, опукла, диференційована, і така, що:

де позначає похідну порядку функції

Теорема 5.1 Для довільного і набору точок існують дві різні неперервні кореляційні функції однорідних ізотропних полів, такі що задовольняють умову (4) і

Один з фундаментальних методів сучасної прикладної просторової статистики полягає в відшуканні такої деформації простору, що просторово коваріаційна структура стає стаціонарною в термінах нової системи координат.

Позначатимемо через значення коваріації між спостереженнями у скінченій множині точок . Нехай де Метод деформації полягає у зображенні функції коваріації у вигляді

(5)

де - деяка відома ізотропна коваріаційна функція, -- бієктивна трансформація простору .

Постає важливе питання, чи завжди можемо звести деформацією статистичну модель до однорідної та ізотропної. Тобто, чи можемо для довільної скінченої множини точок і довільної побудувати відображення що задовольняє (5).

Матриця називається матрицею відстаней, якщо вона симетрична і виконується:

Матриця відстаней називається евклідовою якщо існує конфігурація точок в деякому евклідовому просторі, відстань між якими задається матрицею , тобто якщо для деякого існують точки такі, що

Якщо наша коваріаційна функція має обернену, то тоді зображення (5) можна переписати у вигляді

Якщо матриця евклідова, то існує набір такий, що

У цьому разі можемо визначити відображення таким чином:

Теорема 5.2 У загальному випадку не для кожної однорідної ізотропної коваріаційної функції і матриці кореляцій матриця евклідова.

Досліджено також деякі випадки у яких деформація до стаціонарної коваріаційної структури існує. Очевидно, що у випадку довільної конфігурації з двох точок така деформація можлива.

У випадку маємо наступний результат.

Теорема 5.3 Для того, щоб матриця була евклідовою достатньо щоб виконувались наступні умови:

Висновки

тауберовий теорема кореляційний

У дисертації отримано наступні результати:

* побудовано нові приклади випадкових полів, які демонструють різні типи асимптотичної поведінки і кореляційних властивостей;

* показано доцільність використання у тауберових теоремах не кореляційних функцій, а саме дисперсій інтегральних функціоналів від випадкових полів;

* встановлено зображення вагових функцій у функціоналах, що фігурують у тауберових теоремах на площині через суми функціональних рядів;

* досліджено швидкість збіжності рядів у зображенні вагових функцій, у функціоналах в тауберових теоремах, побудовано рекурентні формули для таких вагових функцій;

* досліджено асимптотичні властивості вагових функцій;

* доведено граничну теорему для випадкових полів з особливістю ізотропної спектральної щільності у довільній точці відмінній від нуля;

* досліджено перетворення дискретної нестаціонарної просторової коваріаційної структури до стаціонарної за допомогою методу деформації простору;

* досліджено існування різних кореляційних функцій Пойа з однаковими значеннями на заданій скінченій множині точок.

Список опублікованих праць

тауберовий теорема кореляційний

1. Оленко А.Я. Гранична теорема для полів з сингулярністю у спектрі / А.Я. Оленко, Б.М. Кликавка // Теор. ймов. та мат. стат. - 2009. - № 81. - C. 128-138.

2. Кликавка Б.М. Асимптотичні властивості вагових функцій / Б.М. Кликавка, А.Я. Оленко // Вісник Київського ун-ту. Серія: фізико-математичні науки. - 2008. - № 4. - C. 20-23.

3. Кликавка Б.М. Зображення і властивості вагових функцій у Тауберових теоремах / Кликавка Б.М. // Теор. ймов. та мат. стат. - 2007. - № 77. - С. 64-81.

4. Кликавка Б.М. Про кореляційні функції Пойа / Кликавка Б.М. // Вісник Київського ун-ту. Серія: фіз.-мат. науки - 2007. - № 1. - C. 11-13.

5. Оленко A.Я. Тауберова теорема для полів на площині / А.Я. Оленко, Б.М. Кликавка // Доп. НАН України. - 2006. - № 6. - С. 19--25.

6. Olenko A. Ya. Some properties of weight functions in Tauberian theorems. I / A. Ya. Olenko, B. M. Klykavka // Theory Stoch. Proc. - 2006. - Vol. 12 (28), - №. 3-4. - P. 123--136.

7. Кликавка Б.М. Про дискретний варіант методу деформації / Кликавка Б.М. // Вісник Київського ун-ту. Серія: математики і механіки. - 2005. - № 13-14. - C. 35-38.

8.Klykavka B. M. Some generalized asymptotic properties of long-memory random fields with singular spectrum / B. M. Klykavka, A. Ya. Olenko : Abstracts : [ « Ukrainian mathematical congress - 2009» ],( Kyiv, August 27 - 29, 2009), - Kyiv, 2009.

9. Klykavka B. M Asymptotic properties of random fields with singular spectrum / B.M. Klykavka, A. Ya. Olenko: Abstracts. International conference [ «Stochastic Analysis and Random Dynamics» ], ( Lviv, Ukraine, June 14 - 20, 2009.) - Київ, 2009. - P. 110.

10. Кликавка Б.М. Граничні теореми для вагових функціоналів від випадкових полів: Abstracts. International Summer School [ «Insurance and finance: Science, Practice and Education» ], ( Foros, Crimea, Ukraine, June 23 - 30, 2007 ) / - Kyiv, 2007. - P. 20.

11. Klykavka B. M. Some properties of weight functions in Tauberian theorems / B. M. Klykavka, A. Ya. Olenko: Conference materials. International Conference [«Modern Stochastics: Theory and Applications» ], ( Kyiv, Ukraine, June 19 - 23, 2006), - Kyiv, 2006. - P. 162.

12. Кликавка Б.М. Тауберова теорема для полів на площині / Б. М. Кликавка, А. Я. Оленко : Матеріали конференції [ «Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука» ], ( Київ, Україна, 18 - 20 травня, 2006) / - Київ, 2006. - С. 709.

13. Кликавка Б.М. Про дискретний варіант методу деформації /Б. М. Кликавка, А.Я. Оленко: Abstracts [ «Eight international school on mathematical and statistical methods in economics, finance and insurance» ], ( Foros, Crimea, Ukraine, July 21 - 26, 2004 )/ - Kyiv, 2004. - С. 25.

14. Кликавка Б.М. Властивості дискретного методу деформації: Матеріали конференції [ «Десята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука» ], ( Київ, Україна, 13 - 15 травня, 2004) . - Київ, 2004. - С. 603.

Размещено на Allbest.ru