Термопружний стан трансверсально-ізотропних пластин при зосереджених теплових впливах

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Термопружний стан трансверсально-ізотропних пластин при зосереджених теплових впливах

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Бондаренко Наталія Сергіївна

Донецьк-2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі прикладної механіки і комп'ютерних технологій

Донецького національного університету Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Гольцев Аркадій Сергійович,

Донецький національний університет,

завідувач кафедри диференціальних рівнянь

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Марчук Михайло Володимирович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики iм. Я.С. Підстригача НАН України, м. Львів,

завідувач відділу механіки тонкостінних елементів конструкцій

доктор фізико-математичних наук, професор

Шалдирван Валерій Анатолійович,

Донецький національний університет, м. Донецьк,

професор кафедри математичної фізики

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У сучасній техніці широко застосовуються інженерні споруди з тонкостінних елементів конструкцій, які зазнають значних теплових впливів. Інтенсивне впровадження нових композиційних матеріалів зі значною анізотропією теплових і механічних властивостей призводить до необхідності побудови узагальнених теорій пластин і оболонок. Додаткові труднощі в розрахунок тонкостінних елементів конструкцій вносить зосереджений характер теплових впливів.

Класична теорія Кірхгофа-Лява задовільно описує напружено-деформований стан тонких анізотропних пластин, але не враховує явищ, зумовлених зсувами і стисненням. З іншого боку, розв'язування задач термопружності для пластин і оболонок у тривимірній постановці приводить до значних математичних труднощів. Тому питання побудови узагальнених теорій тісно пов'язане з проблемою зведення тривимірних задач до двовимірних.

Таким чином, дослідження на базі узагальнених теорій термопружного стану трансверсально-ізотропних пластин за дії зосереджених теплових впливів є актуальним і важливим науково-технічним завданням.

У роботі для зведення тривимірної задачі термопружності трансверсально-ізотропних пластин до двовимірної використовується метод розвинення шуканих функцій у ряди за поліномами Лежандра від поперечної координати. Цей підхід дозволяє врахувати поперечні дотичні і нормальні напруження, що дуже актуально для сучасних композиційних матеріалів, котрі мають низьку трансверсальну жорсткість. На основі отриманих за допомогою цього підходу рівнянь термопружності податливих до поперечних зсувів та стиснення трансверсально-ізотропних пластин розроблена методика їх розрахунку за дії зосереджених теплових впливів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано у рамках конкурсних держбюджетних тем «Розробка методів дослідження тіл із композиційних матеріалів з отворами, тріщинами і включеннями за дії механічних сил, температурних і електромагнітних полів» (2007-2009 рр., номер держреєстрації 0107U01459), «Дослідження пружно-деформованого стану анізотропних пластин і оболонок з концентраторами напружень при дії силових і температурних полів» (виконується з 2010 р.), згідно з координаційними планами Міністерства освіти і науки України.

Мета і завдання дослідження. Метою даної дисертаційної роботи є розвиток одного з варіантів прикладної теорії, яка використовує метод І.Н. Векуа розвинення невідомих функцій за поліномами Лежандра від поперечної координати, стосовно задач теплопровідності та термопружності анізотропних пластин, підданих зосередженим тепловим впливам. Досягнення поставленої мети передбачає:

1) зведення тривимірних рівнянь теплопровідності та термопружності до двовимірних шляхом розвинення шуканих функцій у ряди Фур'є за поліномами Лежандра від поперечної координати;

2) побудову фундаментальних розв'язків отриманих рівнянь;

3) дослідження впливу термомеханічних параметрів на термопружний стан пластини.

Об'єктом дослідження є трансверсально-ізотропні пластини в термопружному стані, обумовленому дією зосереджених теплових впливів.

Предметом дослідження є узагальнена теорія термопружності трансверсально-ізотропних пластин за дії зосереджених теплових впливів на основі {m,n}-апроксимації.

Методи дослідження. У роботі використано метод апроксимації температури, переміщень, напружень і деформацій рядами Фур'є за поліномами Лежандра від поперечної координати для виведення двовимірних рівнянь теплопровідності та термопружності трансверсально-ізотропних пластин. Фундаментальний розв'язок виведених рівнянь знайдено за допомогою двовимірного інтегрального перетворення Фур'є та методики обернення, побудованої за допомогою спеціальної G-функції.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в такому:

1) побудовано наближення порядку N тривимірного рівняння теплопровідності для анізотропних (трансверсально-ізотропних і ортотропних) пластин, що дозволяє визначати температуру для довільної апроксимації у випадку довільного теплообміну;

2) знайдено фундаментальний розв'язок наближення порядку N рівняння теплопровідності для анізотропних (трансверсально-ізотропних і ортотропних) пластин для довільного N; для різних наближень досліджено вплив теплофізичних параметрів на розподіл температури за товщиною пластини;

3) побудовано фундаментальний розв'язок рівнянь термопружного згину трансверсально-ізотропних пластин за узагальненою теорією С.П. Тимошенка у випадку симетричного теплообміну; досліджено вплив термомеханічних параметрів на величину та характер розподілу температурних моментів;

4) знайдено фундаментальні розв'язки рівнянь термопружності {1,0}- і {1,2}-апроксимації для трансверсально-ізотропних пластин у випадку довільного теплообміну; досліджено закономірності термопружного стану в залежності від термомеханічних параметрів та умов теплообміну.

Достовірність наукових результатів забезпечується коректністю постановок задач і строгим математичним підходом до їх розв'язання; аналітичними граничними переходами, що призводять до результатів, отриманих за допомогою інших теорій; узгодженістю результатів чисельних розрахунків із відомими результатами, отриманими іншими авторами.

Практичне значення отриманих результатів полягає в можливості використання розроблених методів розв'язання задач та програмних засобів при розрахунках, пов'язаних із проектуванням та визначенням робочих параметрів тонкостінних елементів конструкцій з анізотропних матеріалів за дії зосереджених теплових впливів. Результати роботи можуть бути використані в науково-дослідницьких інститутах, проектних організаціях та інших дослідницьких установах, пов'язаних із розрахунками тонкостінних елементів конструкцій.

Особистий внесок здобувача полягає в участі в побудові вихідних рівнянь, знаходженні фундаментальних розв'язків отриманих рівнянь, проведенні чисельних досліджень і в участі в обговоренні отриманих результатів [1-12]. У роботах [1-4, 6-11] співавтору А.С. Гольцеву належить постановка задачі, вибір методики розв'язання й участь в обговоренні отриманих результатів. У роботах [1, 6, 7] співавтору В.П. Шевченку належить загальний підхід методу фундаментальних розв'язків до дослідження термопружного стану трансверсально-ізотропних пластин за дії зосереджених теплових впливів, і участь в обговоренні отриманих результатів. теплопровідність фур'є термомеханічний тривимірний

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, наведені в дисертації, доповідалися на наукових конференціях професорсько-викладацького складу Донецького національного університету (2006 р., 2009 р.); на IV і V Міжнародній науковій конференції «Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла» (Донецьк-Мелекіно, 2006 р., 2008 р.); на Науковій конференції молодих учених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвяченої 100-річневому ювілею Я.Б. Лопатинського (Донецьк, 2006 р.); на Другій Міжнародній конференції молодих учених з диференціальних рівнянь та їх застосувань імені Я.Б. Лопатинського (Донецьк, 2008 р.); на Міжнародній конференції з математичного моделювання МКММ_2008, присвяченої 120-річчю зо дня народження Р. Куранта (Херсон, 2008 р.); на Міжнародній науковій конференції «Актуальні проблеми прикладної механіки і міцності конструкцій» (Ялта, 2009 р.); на Конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (Львів, 2009 р.).

В цілому дисертація доповідалася на об'єднаних наукових семінарах «Механіка суцільних середовищ» кафедр теорії пружності і обчислювальної математики, прикладної механіки і комп'ютерних технологій Донецького національного університету та відділу аналітичних методів механіки гірничих порід ІПММ НАН України під керівництвом академіка НАН України В.П. Шевченка і професора С.О. Калоєрова (2006 р., 2009 р., 2010 р.); на спільному науковому семінарі відділу термомеханіки та відділу механіки тонкостінних елементів конструкцій ІППММ ім. Я.С. Підстригача під керівництвом члена-кор. НАН України Р.М. Кушніра і д. ф.-м. н. М.В. Марчука (Львів, 2010 р.); на науковому семінарі відділу реології Інституту механіки НАН України ім. С.П. Тимошенка під керівництвом д. ф.-м. н. І.Ю. Хоми (Київ, 2010 р.).

Публікації. Результати дисертаційної роботи подані в 12 наукових публікаціях. Серед них 7 статей у наукових журналах [2-8], одна стаття в збірнику наукових робіт [1], 4 тез доповідей на наукових конференціях [9-12]. 7 статей відповідають вимогам ВАК України до публікацій результатів дисертаційних робіт у спеціалізованих виданнях [1-7].

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку літератури та додатка. Загальний обсяг дисертації складає 169 стор., обсяг основного тексту -- 125 стор. Дисертація містить також 36 рисунків, 3 таблиці, список літератури з 248 найменувань на 26 стор.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі подано загальну характеристику роботи: обґрунтовано актуальність обраної теми; зазначено зв'язок із науковими програмами, планами і темами; сформульовано мету і завдання дослідження; визначено наукову новизну отриманих результатів, їх достовірність і практичне значення; наведено відомості про публікації і особистий внесок здобувача; дано загальну характеристику дисертації і описано її структуру.

У першому розділі подано огляд робіт, присвячених узагальненим теоріям пластин; дано класифікацію таких теорій. Узагальнені теорії, що враховують явища, пов'язані з поперечними зсувами та стисненням, були запропоновані А.Т. Василенком, Я.М. Григоренком, М.К. Галімовим, С.В. Козловим, М.О. Кільчевським, Б.Л. Пелехом та ін. Особливу увагу приділено узагальненим теоріям, які використовують метод розвинення шуканих функцій у ряди за поліномами Лежандра від поперечної координати. Суттєвий внесок у розвиток аналітичних теорій розрахунку пластин і оболонок та методів розв'язання прикладних задач із використанням поліномів Лежандра зробили І.Н. Векуа, Д.А. Високовський, Ю.М. Волчков, М.К. Галімов, В.І. Гуляєв, В.А. Лазько, К.А. Леонтьєв, О.В. Максимук, М.В. Марчук, Б.Л. Пелех, В.В. Понятовський, І.Ю. Хома, В.К. Чибіряков, P. Cicala та інші вчені. При цьому тривимірна задача теорії пружності зводилася до двовимірної із застосуванням варіаційних принципів або ж проекційних методів. Задачі теплопровідності та термопружності за допомогою методу розвинення за товщиною за поліномами Лежандра розв'язували Г.Г. Бурцев, В.І. Гуляєв, В.С. Жгенті, В.В. Зозуля, Б.Л. Пелех, Б.М. Польовий, М.А. Сухорольський, І.Ю. Хома, В.К. Чибіряков та ін.

Також у даному розділі міститься огляд публікацій, в яких розглядаються задачі про дію зосереджених джерел тепла на тонкостінні елементи конструкцій. Це роботи Д. Бардзокаса, В.В. Болотіна, А.С. Гольцева, Ю.П. Жигалка, В.М. Кобзаря, Ю.М. Коляно, Р.М. Кушніра, С. Лукасевича, Е. Мелана, І.О. Мотовіловця, Б.Ф. Нерубайла, Г. Паркуса, Я.С. Підстригача, І.О. Прусова, М.А. Сухорольського, А.І. Уздальова, Л.А. Фільштинського, В.П. Шевченка, С.Я. Яреми та ін.

Внаслідок аналізу літературних джерел виявлено області можливого застосування теорій пластин і оболонок, які до цього часу залишалися мало дослідженими. Зокрема, метод розвинення шуканих функцій у ряди за поліномами Лежандра від поперечної координати практично не використовувався для дослідження термопружного стану пластин, що перебувають за дії зосереджених джерел тепла.

У другому розділі міститься постановка задачі; побудовано наближення порядку N тривимірного рівняння теплопровідності для анізотропних (трансверсально-ізотропних і ортотропних) пластин; наведено рівняння термопружності {m,n}-апроксимації та їх окремі випадки (рівняння {1,0}- і {1,2}-апроксимації) для трансверсально-ізотропних пластин.

Наближення порядку N рівняння теплопровідності для анізотропних (трансверсально-ізотропних і ортотропних) пластин. Розглядається ортотропна пластина товщини 2h у прямокутній декартовій системі координат , , , яка містить джерела тепла об'ємної густини . У перетворених головних осях ; ; ; л₁ = л_x /л_z; л₂ = л_y/л_z, де л_x, л_y, л_z -- головні коефіцієнти теплопровідності) температура T(x,y,z) пластини повинна задовільняти рівняння теплопровідності для ізотропного тіла та граничні умови на лицевих площинах пластини , які відповідають конвективному теплообміну із зовнішнім середовищем постійної температури за законом Ньютона.

За допомогою методики, запропонованої Б.Л. Пелехом, М.А. Сухорольським, отримано наближення порядку N тривимірного рівняння теплопровідності для анізотропних (трансверсально-ізотропних і ортотропних) пластин. При цьому розглядуване наближення побудовано із використанням часткових сум рядів Фур'є за поліномами Лежандра P_k = P_k(z/h) для температури :

. (2.1)

Рівняння термопружності {m,n}-апроксимації для трансверсально-ізотропних пластин. Розглядається трансверсально-ізотропна пластина товщиною 2h у прямокутній декартовій системі координат x, y, z. Зроблено припущення, що шукані компоненти термопружного стану пластини розвивні в рівномірно збіжні ряди Фур'є за поліномами Лежандра від нормальної координати z. Метод {m,n}-апроксимації передбачає розвинення шуканих функцій у такі ряди; при цьому m характеризує кількість утримуваних членів у рядах для компонент термопружного стану у площині ізотропії, а n -- кількість утримуваних членів у рядах для функцій у нормальному напрямку.

Рівняння термопружності {m,n}-апроксимації для трансверсально-ізотропних пластин отримано за допомогою множення рівнянь термопружності трансверсально-ізотропного тіла на P_k, усереднення отриманих співвідношень за товщиною пластини й врахування подань для компонент розвинення шуканих функцій у ряди Фур'є.

У третьому розділі знайдено фундаментальний розв'язок наближення порядку N рівняння теплопровідності для анізотропних (трансверсально-ізотропних і ортотропних) пластин.

Математичною моделлю зосереджених впливів у механіці є дельта-функція Дірака. Вона стоїть на місці функцій навантаження в правих частинах розв'язувальних рівнянь. Тому розподіл об'ємних джерел тепла беремо у вигляді:

. (3.1)

Температуру зовнішнього середовища беремо нульовою (и⁺ = и- = 0). Тоді наближення порядку N рівняння теплопровідності (2.1) у безрозмірній декартовій системі координат , , , набувають такого вигляду з урахуванням подання (3.1):

.(3.2)

Фундаментальний розв'язок рівнянь теплопровідності (3.2) отримано із застосуванням двовимірного інтегрального перетворення Фур'є. Показано, що вигляд розв'язку залежить від дійсності характеристичних коренів матриці A_N, їхнього знака й кратності. Доведено

Твердження 3.1. 1) Усі характеристичні корені матриці A_N дійсні та від'ємні; 2) кратність власних значень матриці A_N не перевищує 2.

Зображуючи розв'язок рівнянь (3.2) в просторі трансформант у вигляді суми елементарних дробів, та застосовуючи методику обернення, що ґрунтується на використанні спеціальної G-функції, отримаємо розв'язок розглядуваної задачі в просторі оригіналів

а) за відсутності кратних власних значень м_j у матриці A_N

, ;

б) за наявності s власних значень м_j кратності 2 в матриці A_N

 ;

де C_kj, , -- коефіцієнти розкладення розв'язку в просторі трансформант на суму елементарних дробів, які знаходяться відомими методами; ; K₀(z), K₁(z) -- функції Макдональда.

Також у даному розділі знайдено фундаментальний розв'язок рівнянь термопружного згину трансверсально-ізотропних пластин за узагальненою теорією С.П. Тимошенка у випадку симетричного теплообміну.

Фундаментальний розв'язок рівнянь термопружності {1,0}- і {1,2}-апроксимації для трансверсально-ізотропних пластин.

Розглядається трансверсально-ізотропна пластина товщини 2h у прямокутній декартовій системі координат x, y, z, яка знаходиться в умовах конвективного теплообміну із зовнішнім середовищем нульової температури за законом Ньютона. Пластина піддана впливу джерел тепла об'ємної густини W₀(x,y,z).

У рамках даних наближень мають місце такі подання компонент вектора переміщень, тензора напружень і температури:

u_x = uP₀ + г_xhP₁, u_y = vP₀ + г_yhP₁, ;

Тут і надалі суцільною лінією підкреслено вирази й рівняння, що присутні лише у випадку {1,2}-апроксимації; пунктирною лінією підкреслено рівняння, слушні тільки в рамках {1,0}-апроксимації.

Рівняння термопружності {1,0}- і {1,2}-апроксимації для трансверсально-ізотропних пластин, записані в безрозмірній системі координат x₁ = x/h, x₂ = y/h, x₃ = z/h, містять у собі

1) перше наближення рівняння теплопровідності

, ;(3.3)

2) рівняння Дюгамеля-Неймана, виражені через компоненти вектора переміщень,

,

,(3.4)

Моменти у співвідношеннях (3.4) і надалі на всіх графіках визначені у відношенні до величини Eh², а узагальнені зусилля -- у відношенні до Eh.

3) Рівняння рівноваги

4)

, , ;(3.5)

Підставляючи рівняння Дюгамеля-Неймана (3.4) у рівняння рівноваги (3.5), отримаємо розв'язувальні системи, що описують:

а) безмоментний термопружний стан

(i=1,2), ;(3.6)

б) стан термопружного згину

; (3.7)

Після інтегрування систем диференціальних рівнянь (3.6)-(3.7) узагальнені зусилля й моменти визначаються за формулами (3.4).

Із застосуванням двовимірного інтегрального перетворення Фур'є до рівнянь теплопровідності (3.3), рівнянь фізичного закону (3.4) та систем рівнянь рівноваги в узагальнених переміщеннях (3.6)-(3.7) отримано фундаментальний розв'язок розглядуваних рівнянь у просторі трансформант. Вигляд розв'язку в просторі оригіналів знайдено за методикою обернення, що ґрунтується на використанні спеціальної G-функції. При цьому всі шукані функції переведено в полярну систему координат (r, ц).

а) Фундаментальний розв'язок рівнянь термопружності {1,0}-апроксимації:

, u_ц = 0; , г_ц = 0,

б) Фундаментальний розв'язок рівнянь термопружності {1,2}-апроксимації:

, u_ц = 0, , г_ц = 0, ,

Із урахуванням властивостей спеціальної G-функції при аргументі, що прямує до нуля, отримано асимптотичну поведінку розв'язків наближення порядку N рівняння теплопровідності, рівнянь термопружності {1,0}- і {1,2}-апроксимації. Так, T_k , N_r,ц, М_r,ц мають особливість типу ln r. Асимптотична поведінка u_r, г_r, Q_r1, Q_r2 описується функцією rln r, а .

У четвертому розділі проведено чисельні дослідження температури для трансверсально-ізотропних і ортотропних пластин за дії найпростішого «плоского» (f(x₃) = 1) або «згинного» (f(x₃) = 3x₃) зосередженого джерела тепла одиничної інтенсивності . Результати досліджень зображено на рис. 4.1 у вигляді графіків зміни температури T за товщиною пластини у випадку симетричного теплообміну (Bi = Bi⁺ = Bi- = 1) при r = 1, де взято . Графіки на рис. 4.1 демонструють вплив параметра відносної теплопровідності в площині ізотропії л^* = л₁ = л₂ на значення температури в трансверсально-ізотропній пластині. Функції на рис. 4.1, а -- парні, а на рис. 4.1, б -- непарні. Також наведено графіки розв'язку опублікованих раніше рівнянь теплопровідності, отриманих Я.С. Підстригачем операторним методом.

На рис. 4.2 зображено графіки зміни температури на верхній лицевій площині пластини (x₃ = 1) від радіальної координати у випадку симетричного теплообміну. Ці графіки ілюструють вплив параметра теплообміну Bi = Bi⁺ = Bi- на значення температури в п'ятому наближенні в трансверсально-ізотропній (л^* = 1/2, суцільні лінії) і в ортотропній пластині (л₁ = 2; л₂ =1/2 ; Bi = 10^-2). Пунктирними лініями позначено криві для температури на осі Ox, а штриховими -- на осі Oy при Bi = 10^-2.

Також у даному розділі побудовано графіки переміщень та зусиль на основі зсувної моделі С.П. Тимошенка, що демонструють вплив теплофізичних параметрів л^*, Bi; проведено порівняння з класичною теорією. Розглянуто вплив відносного коефіцієнта лінійного температурного розширення б^* на величину нормального прогину пластини. На рис. 4.3 зображено графіки зміни радіального (M_r) і кільцевого (M_ц) моментів від радіальної координати r за дії зосередженого «згинного» джерела тепла.

У четвертому розділі побудовано графіки зусиль N_r,ц за дії «плоского» джерела тепла й моментів M_r,ц за дії «згинного» джерела тепла в рамках {1,0}- і {1,2}-апроксимації у випадку симетричного теплообміну. Ці графіки демонструють вплив параметрів л^*, Bi на розглядувані компоненти термопружного стану трансверсально-ізотропних пластин. Характер поведінки радіальних і кільцевих зусиль і моментів на базі {1,0}- і {1,2}-апроксимації такий же, як і характер поведінки моментів за узагальненою теорією С.П. Тимошенка на рис. 4.3.

Було досліджено вплив теплофізичних параметрів л^*, Bi на компоненти розвинення поперечних дотичних ф_rz і нормальних напружень у_z у ряди Фур'є (рис. 4.4) і вплив параметра зсувної піддатливості E/G' на ці компоненти тензора напружень (рис. 4.5). Рис. 4.4, а відповідає дії зосередженого «плоского» джерела тепла, а на рис. 4.4, б і рис. 4.5 зображені узагальнені зусилля за дії зосередженого «згинного» джерела тепла.

Рис. 4.4-4.5 відповідають випадку симетричного теплообміну. Параметри трансверсально-ізотропного матеріалу на цих рисунках бралися такими: E^* = 5; н=0,3; н'=0,07; б^* = 10; при цьому на рис. 4.4 взято E/G' = 40, а на рис. 4.5 -- л^* = 1/2; Bi =0,1. Для матеріалу, ізотропного за тепловими властивостями, на рис. 4.4 взято такі сталі: E^* = 5; н=0,3; н'=0,07; л^* = 1; б^* = 1; Bi =0,001; а для ізотропного матеріалу на рис. 4.5 -- такі: E/G' = 2,6; E^* = 1; н = н' = 0,3; л^* = 1; б^* = 1.

У випадку однобічного теплообміну досліджено вплив параметрів л^*, б^* на компоненти стану термопружного згину за дії зосередженого «плоского» джерела тепла та на компоненти безмоментного термопружного стану за дії зосередженого «згинного» джерела тепла (побічні термопружні стани). Установлено, що несиметричний характер теплообміну не змінює особливості поведінки компонент побічного термопружного стану порівняно з компонентами основного термопружного стану при симетричному теплообміні.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вирішено наукове завдання: із використанням уточненої теорії {m,n}-апроксимації розроблено методику дослідження термопружного стану трансверсально-ізотропних пластин за дії зосереджених джерел тепла. При цьому отримані такі результати:

I. Отримано наближення порядку N тривимірного рівняння теплопровідності для анізотропних (трансверсально-ізотропних та ортотропних) пластин.

II. За допомогою двовимірного інтегрального перетворення Фур'є побудовано такі фундаментальні розв'язки:

- розв'язок наближення порядку N рівняння теплопровідності для анізотропних пластин для довільного N у випадку довільного теплообміну;

- розв'язок рівнянь термопружного згину трансверсально-ізотропних пластин за узагальненою теорією С.П. Тимошенка;

- розв'язки рівнянь термопружності {1,0}- і {1,2}-апроксимації для трансверсально-ізотропних пластин у випадку довільного теплообміну.

III. Чисельні дослідження виявили такі закономірності температурних полів в анізотропних (трансверсально-ізотропних та ортотропних) пластинах при зосереджених теплових впливах:

- Температура в транстропних пластинах при параметрі відносної теплопровідності в площині ізотропії л^* < 1 більше, ніж в ізотропних пластинах за дії «плоского» джерела тепла. При збільшенні теплопровідності в нормальному напрямку в 2 рази температура зростає в середньому на 25% при r > 1.

- В анізотропних пластинах зі збільшенням параметра теплообміну Bi значення температури спадають. За дії «плоского» джерела тепла збільшення Bi на 2 порядки призводить до зменшення температури в 2 рази. Температура спадає значно скоріше за дії «згинного» джерела тепла.

- Температура в ортотропних пластинах більше на тій головній осі теплопровідності, де коефіцієнт теплопровідності більше. Збільшення теплопровідності вздовж осі в 4 рази призводить до зростання температури в середньому на 30%.

- Для розрахунку температури з інженерною точністю (похибка 5%) із використанням наближення порядку N рівняння теплопровідності достатньо використовувати третє наближення (4 члена в розвиненні за поліномами Лежандра).

IV. Досліджено закономірності термопружного стану транстропних пластин при зосереджених теплових впливах:

- Трансверсальна ізотропія не змінює асимптотичну поведінку внутрішніх силових факторів (логарифмічна особливість).

- Узагальнена теорія С.П. Тимошенка та {1,0}-апроксимація не дозволяють виявити ефекти, пов'язані з поперечними зсувами й стисненням.

- Досліджено вплив термомеханічних параметрів на компоненти термопружного стану. Виявлено такі термомеханічні ефекти:

· Зі зростанням параметра відносної теплопровідності в площині ізотропії л^* всі внутрішні силові фактори зменшуються за абсолютною величиною. Зі збільшенням л^* у 2 рази компоненти безмоментного термопружного стану (N_r, Q_r1, R₀) спадають за модулем у середньому в 1,5 рази, а компоненти стану термопружного згину (M_r, Q_r2, R₁) -- у середньому на 30%.

· Зі збільшенням параметра теплообміну Bi узагальнені зусилля й моменти зменшуються за абсолютною величиною. Зростання Bi на 2 порядки за дії «плоского» джерела тепла викликає зменшення зусиль N_r, N_ц у середньому в 3 рази; напружень ф_rz -- у середньому на 30% при r > 2. Така ж зміна Bi за дії «згинного» джерела тепла викликає зменшення моментів M_r, M_ц у середньому на 30% при Bi > 0,01 та не впливає на M_r, M_ц, Q_r2, R₁ при .

· Відносний коефіцієнт лінійного температурного розширення б^* істотно впливає лише на компоненти поперечних дотичних ф_rz і нормальних у_z напружень: зі зростанням б^* ці величини збільшуються за модулем. Напруження ф_rz, у_z зростають у середньому в 5 разів, якщо б^* збільшується на порядок.

· Параметр зсувної піддатливості E/G' впливає лише на компоненти ф_rz, у_z: зі збільшенням ці величини спадають за абсолютною величиною. Зі зростанням E/G' в 2 рази модулі ф_rz, у_z зменшуються в діапазоні від 30% до 50%.

V. При зосереджених теплових впливах великої інтенсивності напруження ф_rz, у_z можуть досягти достатньо великих значень. У цьому випадку розрахунок анізотропних тонкостінних елементів конструкцій необхідно проводити за уточненими теоріями, що дозволяють оцінити ефекти, пов'язані з поперечними зсувами й стисненням.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ ВІДОБРАЖЕНИЙ У ПУБЛІКАЦІЯХ

1. Бондаренко Н.С. Влияние теплообмена на термоупругое состояние трансверсально-изотропной пластины, содержащей сосредоточенный «изгибный» источник тепла / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев, В.П. Шевченко // Методи розв'язування прикладних задач механіки деформівного твердого тіла: Зб. наук. праць; Дніпропетровський національний університет.- Дніпропетровськ: ІМА-прес.- 2009.- Вип. 10.- С. 27-33.

2. Бондаренко Н.С. Дослідження впливу теплообміну на термопружний стан трансверсально-ізотропних пластин, що перебувають під дією «плоских» джерел тепла, із використанням {1,2}-апроксимації / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев // Прикл. проблеми механіки і математики.- 2009.- Вип. 7. - С. 133-141.

3. Бондаренко Н.С. Решение задачи теплопроводности для анизотропных пластин при сосредоточенных температурных воздействиях с использованием полиномов Лежандра / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев // Мат. методи та фіз.-мех. поля.- 2009.- Т. 52, № 4.- С. 193-203.

4. Бондаренко Н.С. Термоупругий изгиб трансверсально-изотропных пластин при сосредоточенных температурных воздействиях на базе теории типа Тимошенко / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. А.- 2008.- № 1.- С. 127-131.

5. Бондаренко Н.С. Фундаментальное решение дифференциальных уравнений термоупругости {1,0}-аппроксимации для трансверсально-изотропных пластин / Н.С. Бондаренко // Труды ИПММ НАН Украины.- 2009.- Т. 18.- С. 11-18.

6. Бондаренко Н.С. Фундаментальное решение уравнений {1,2}-аппроксимации безмоментного термоупругого состояния трансверсально-изотропных пластин / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев, В.П. Шевченко // Доповіді НАН України.- 2009.- С. 46-52.

7. Бондаренко Н.С. Фундаментальные решения уравнений термоупругости трансверсально-изотропных пластин / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев, В.П. Шевченко // Прикл. механика.- 2010.- Т. 46.- С. 51-60.

8. Бондаренко Н.С. Фундаментальное решение уравнений теплопроводности трансверсально-изотропных пластин / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев // Вестн. Херсон. нац. техн. ун-та.- 2008.- Вып. 2 (31).- С. 77-81.

9. Бондаренко Н.С. Дослідження впливу теплообміну на термопружний стан трансверсально-ізотропних пластин, що перебувають за дії «плоских» джерел тепла, із використанням {1,2}-апроксимації / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача. Львів, 25-27 травня 2009 р.- Львів, 2009.- С. 17-19.

10. Бондаренко Н.С. К оценке уточнения решений уравнений теплопроводности изотропных оболочек / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела: Матер. IV Междунар. науч. конф., посвященной памяти акад. НАН Украины А.С. Космодамианского. Донецк-Мелекино, 12-14 июня 2006 г.- Донецк, 2006.- С. 28-30.

11. Бондаренко Н.С. Методы фундаментальных решений в задачах локального термоупругого изгиба изотропных пластин / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев // Тези доповідей Всеукраїнської наукової конференції молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвяченої 100-річневому ювілею Я.Б. Лопатинського. Донецьк, 6-7 грудня 2006 р.- Донецьк, 2006.- С. 20-21.

12. Бондаренко Н.С. Фундаментальное решение дифференциальных уравнений термоупругости {1,0}-аппроксимации для трансверсально-изотропных пластин / Н.С. Бондаренко // Second International Conference for Young Mathematicians on Differential Equations and Application dedicated to Ya.B. Lopatinskii. Donetsk, November 11-14, 2008.- Донецк, 2008.- С. 47-48.

АНОТАЦІЇ

Анотація. Бондаренко Н.С. Термопружний стан трансверсально-ізотропних пластин при зосереджених теплових впливах.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла.- Донецький національний університет, Донецьк, 2010.

У дисертації поширено уточнену теорію, що ґрунтується на методі розвинення шуканих функцій у ряди Фур'є за поліномами Лежандра, на дослідження термопружного стану анізотропних пластин при зосереджених теплових впливах. На базі даної теорії отримано наближення порядку N рівняння теплопровідності для анізотропних (трансверсально-ізотропних і ортотропних) пластин. Наведено рівняння термопружності {m,n}-апроксимації для трансверсально-ізотропних пластин, з яких випливають окремі випадки рівнянь {1,0}- і {1,2}-апроксимації. У випадку довільного теплообміну побудовано фундаментальний розв'язок наближення порядку N рівняння теплопровідності для довільного N і рівнянь термопружності {1,0}- і {1,2}-апроксимації. Також у випадку симетричного теплообміну отримано фундаментальний розв'язок рівнянь термопружного згину за узагальненою теорією С.П. Тимошенка. Виявлено основні закономірності поведінки температури й компонент термопружного стану в залежності від термомеханічних параметрів.

Ключові слова: поліноми Лежандра, метод {m,n}-апроксимації, узагальнена теорія С.П. Тимошенка, трансверсально-ізотропна пластина, зосереджений тепловий вплив, зосереджене джерело тепла, фундаментальний розв'язок.

Аннотация. Бондаренко Н.С. Термоупругое состояние трансверсально-изотропных пластин при сосредоточенных тепловых воздействиях.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела, Донецкий национальный университет, Донецк, 2010.

В диссертации для исследования термоупругого состояния трансверсально-изотропных пластин при сосредоточенных тепловых воздействиях использовано уточненную теорию, основанную на методе разложения искомых функций в ряды Фурье по полиномам Лежандра. На базе данной теории получено приближение порядка N трехмерного уравнения теплопроводности для анизотропных (трансверсально-изотропных и ортотропных) пластин. В работе приведены уравнения термоупругости {m,n}-аппроксимации для трансверсально-изотропных пластин, из которых следуют частные случаи уравнений {1,0}- и {1,2}-аппроксимации.

Фундаментальное решение уравнений термоупругости является решением задачи термоупругости при сосредоточенных тепловых воздействиях. Путем применения двумерного интегрального преобразования Фурье и методики обращения, основанной на использовании специальной G-функции, построено фундаментальное решение приближения порядка N уравнения теплопроводности для произвольного N и уравнений термоупругости {1,0}- и {1,2}-аппроксимации. При этом предполагался произвольный теплообмен с внешней средой. В случае симметричного теплообмена получено фундаментальное решение уравнений термоупругого изгиба по уточненной теории С.П. Тимошенко.

Оценено уточнение, вносимое использованием приближения порядка N уравнения теплопроводности вместо уравнений, полученных Я.С. Подстригачом операторным методом, и уточнение, вносимое применением уравнений термоупругости {m,n}-аппроксимации вместо уравнений классической теории и уравнений теории С.П. Тимошенко. Достоверность полученных результатов подтверждено аналитическими предельными переходами от уравнений {1,2}-аппроксимации и их решений к уравнениям и решениям {1,0}-аппроксимации и классической теории. Проведено аналитическое и численное сравнение результатов, полученных на базе {1,0}-аппроксимации с результатами по уточненной теории С.П. Тимошенко и по классической теории. Отмечено, что асимптотическое поведение радиальных и окружных усилий и моментов по теории С.П. Тимошенко, {1,0}- и {1,2}-аппроксимации такое же, как и по классической теории, т.е. описывается функцией ln r.

Численные исследования позволили выявить закономерности поведения температуры и компонент термоупругого состояния трансверсально-изотропных пластин, находящихся под действием сосредоточенного «плоского» или «изгибного» источника тепла. При действии «плоского» источника тепла температура в трансверсально-изотропной пластине при л^* < 1 больше, чем в изотропной пластине. С увеличением параметра теплообмена Bi значения температуры убывают. Причем затухание температуры при действии «изгибного» источника тепла происходит значительно быстрее, чем при действии «плоского» источника тепла. Показано, что в разложении температуры в ряд Фурье по полиномам Лежандра достаточно ограничиться четырьмя членами.

Из результатов численных исследований видно, что с увеличением параметра относительной теплопроводности в плоскости изотропии л^* или критерия Био Bi все силовые компоненты термоупругого состояния уменьшаются по абсолютной величине. Параметр податливости E/G' и относительный коэффициент линейного температурного расширения б^* существенно влияют лишь на компоненты поперечных касательных ф_rz и нормального у_z напряжений. С возрастанием б^* компоненты ф_rz, у_z увеличиваются по модулю, а с увеличением E/G' эти компоненты тензора напряжений убывают по абсолютной величине.

Проведенные исследования показали, что расчет анизотропных тонкостенных элементов конструкций, находящихся под действием сосредоточенных тепловых нагрузок, необходимо проводить по уточненным теориям, позволяющим оценить температурные напряжения, связанные с поперечным сдвигом и обжатием.

Ключевые слова: полиномы Лежандра, метод {m,n}-аппроксимации, уточненная теория С.П. Тимошенко, трансверсально-изотропная пластина, сосредоточенное тепловое воздействие, сосредоточенный источник тепла, фундаментальное решение.

Abstract. Bondarenko N.S. The thermoelastic state of transverse-isotropic plates at the concentrated heat influences. - Manuscript.

The thesis presented for a Candidate Degree in Physics and Mathematics by speciality 01.02.04 - Mechanics of Deformable Solids. - Donetsk National University, Donetsk, 2010.

In thesis the precise theory which is based on the method of expansion the unknown functions in the series of Legendre polynomials is spread on the investigation of thermoelastic state of transverse-isotropic plates at the concentrated heat influences. On the base of this theory the N order approximation of heat conductivity equation for anisotropic (transverse-isotropic and orthotropic) plates is obtained. The thermoelastic equations of {m,n}-approximation for transverse-isotropic plates are presented. From them the particular cases of {1,0}- and {1,2}-approximation equations follow. The fundamental solutions of the N order approximation of heat conductivity equations for arbitrary N and thermoelastic equations of {1,0}- and {1,2}-approximation equations are constructed in the case of arbitrary heat exchange. The fundamental solution of thermoelastic bend equations on the precise S.P. Tymoshenko theory is also obtained in the case of symmetric heat exchange. The main behaviour features of temperature and thermoelastic state components in dependence on heat and thermomechanical parameters are revealed.

Key words: Legendre polynomials, method of {m,n}-approximation, precise theory of S.P. Tymoshenko, transverse-isotropic plate, concentrated heat influence, concentrated heat source, fundamental solution.

Размещено на Allbest.ru