Квазістатичні двовимірні задачі термопружності для циліндрично-шаруватих тіл

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача

УДК 539.3

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Квазістатичні двовимірні задачі термопружності для циліндрично-шаруватих тіл

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Галазюк Оксана Віталіївна

Львів - 2010

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка МОН України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, Турчин Ігор Миколайович, Львівський національний університет імені Івана Франка МОН України, м. Львів, старший науковий співробітник кафедри механіки.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Козлов Володимир Ілліч, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, м. Київ, провідний науковий співробітник відділу термопружності теплопровідність осесиметричний циліндричний

доктор технічних наук, професор, Попович Василь Степанович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, заступник директора з наукової роботи.

Захист відбудеться "31" травня 2010 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3б.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (79060, м. Львів, вул. Наукова, 3б).

Автореферат розіслано " 28 " квітня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор фізико-математичних наук, професор Максимук О.В.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Розвиток сучасних технологій у машинобудуванні та енергетиці передбачає розробку і застосування нових конструкційних матеріалів. Одними із найперспективніших матеріалів є композитні матеріали. Поряд із багатьма технічними перевагами, як, наприклад, висока питома міцність, композитні матеріали мають і ряд недоліків. Погана узгодженість фізико механічних характеристик окремих складових композита в умовах високоінтенсивного локального температурного чи силового навантаження може спричиняти специфічні види руйнування (розшаровування, місцеві розриви, тощо). Тому достовірний розрахунок змінних в часі фізико-механічних полів у шаруватих композитних структурах з точним урахуванням контактної взаємодії між окремими складовими композита є актуальним завданням механіки неоднорідних тіл. Крім того існує проблема діагностики багатошарових конструкцій тривалої експлуатації, що полягає у обґрунтуванні прогнозу поведінки конструкції за збереження актуального стану та тенденцій розвитку процесу. Це стало причиною значного інтересу вітчизняних і зарубіжних вчених до таких досліджень, розробки ефективних методів їх проведення, а також використання при цьому сучасних засобів математичного моделювання і обчислювальної техніки.

Основні результати вирішення такого роду проблем відображені в низці монографій та статей, зокрема, у працях Я.Й.Бурака, В.М.Вігака, О.Р.Гачкевича, В.Г.Карнаухова, А.Д.Коваленка, В.І.Козлова, Ю.М.Коляно, В.Д.Кубенка, Г.О.Мотовиловця, В.Новацького, Г.Паркуса, Я.С.Підстригача, Б.Ю.Победрі, Ю.М.Подільчука, В.Л.Рвачова, Ю.М.Шевченка, М.О.Шульги та інших.

Основи механіки композиційних матеріалів і розрахунку неоднорідних і, зокрема, шаруватих тіл та елементів конструкцій, розглядалися в працях С.А.Амбарцумяна, А.Т.Василенка, Я.М.Григоренка, О.М.Гузя, В.О.Ломакіна, Л.П.Хорошуна та інших.

Водночас із традиційними підходами до розв'язування задач механіки кусково-однорідних тіл Ю.М.Коляно був запропонований новий підхід, який ґрунтується на використанні апарату узагальнених функцій для їх опису як цілісних структур та інтегральних перетворень. Ним та його учнями і співробітниками Р.М.Кушніром, В.С.Поповичем, Б.В.Процюком та іншими цей підхід був розвинутий та апробований на багатьох класах задач термопружності неоднорідних тіл.

Проте, при застосуванні інтегрального перетворення Лапласа до двовимірних початково-крайових задач термопружності багатошарових тіл виникають значні труднощі обчислювального характеру, оскільки корені характеристичного рівняння, що використовуються при оберненні інтегрального перетворення Лапласа залежать не тільки від кількості шарів композита, а ще й від параметра обраного інтегрального перетворення за просторовою змінною. Тому обернення інтегрального перетворення Лапласа та інтегрального перетворення за просторовою змінною (Фур'є, Ганкеля, тощо) в таких випадках доводиться здійснювати числовим способом, що може істотно впливати на точність та достовірність одержаних результатів.

Таким чином, дослідження квазістатичного термонапруженого стану в циліндрично-шаруватих тілах, зумовленого змінним в часі тепловим навантаженням є актуальною і разом з цим недостатньо вивченою проблемою механіки деформівного твердого тіла.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дослідження за темою дисертації викликано в межах держбюджетних наукових тем кафедри механіки Львівського національного університету імені Івана Франка МОН України: «Нові моделі та методи досліджень термопружних процесів у неоднорідних середовищах із дефектами структури» (номер державної реєстрації 0105U002224, 2005-2007 рр.), «Нові моделі та методи досліджень статики, динаміки та міцності структурно-неоднорідних тіл» (номер державної реєстрації 0108U004133, 2008-2009 рр.).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка ефективної аналітико-числової методики побудови розв'язків нестаціонарних двовимірних задач теплопровідності та відповідних квазістатичних задач термопружності радіально-шаруватих циліндричних тіл та дослідження нестаціонарних температурних полів та напружено-деформованого стану в них, викликаних змінними в часі тепловими навантаженнями в плоскому та осесиметричному випадках.

Досягнення вказаної мети передбачало вирішення таких завдань:

· з використанням методу поліномів Лагерра та методу інтегральних перетворень звести вихідні початково-крайові задачі термопружності в плоскому та осесиметричному випадках до послідовностей крайових задач для звичайних диференційних рівнянь;

· побудувати загальний розв'язок одержаних трикутних послідовностей крайових задач в плоскому та осесиметричному випадках;

· одержати розв'язок систем алгебричних рівнянь, що моделюють в загальному вигляді теплове навантаження граничних поверхонь та умови термомеханічного контакту для довільної кількості складових циліндричного тіла;

· побудувати розв'язок плоскої задачі термопружності для порожнистого циліндра методами інтегральних перетворень Лапласа та Лагерра і провести порівняльний аналіз одержаних розв'язків;

· адаптувати розроблену методику до побудови розв'язків квазістатичних задач термопружності для циліндричних тіл, виготовлених з функційно-градієнтних матеріалів.

Об'єктом дослідження є радіально-шаруваті тіла циліндричної форми, що перебувають в умовах нестаціонарного локального теплового навантаження.

Предметом дослідження є аналітико-числовий аналіз нестаціонарних температурних полів та квазістатичних напружень в радіально-шаруватих циліндричних тілах, викликаних локальним нагріванням їх граничних поверхонь.

Методи досліджень. Використано основні рівняння і співвідношення квазістатичної задачі термопружності з крайовими умовами загального виду. Вирішення поставлених у дисертаційній роботі проблем проводилось із використанням методів інтегральних перетворень Фур'є, методу поліномів Лагерра та методу Гаусса розв'язування систем лінійних алгебричних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. Вперше для побудови розв'язків двовимірних квазістатичних задач термопружності радіально-шаруватих циліндричних тіл застосовано інтегральне перетворення Лагерра, що дало змогу звести вихідну початково-крайову задачу до трикутної послідовності крайових задач, загальний розв'язок яких в плоскому та осесиметричному випадках одержано у вигляді алгебричної згортки послідовності фундаментальних розв'язків і невідомих, які моделюють крайові умови та умови ідеального термомеханічного контакту. Знайдено рекурентні співвідношення, які дають змогу одержати ці невідомі для довільної кількості складових циліндричного тіла.

Досліджено неусталені двовимірні температурні поля і напружено-деформовані стани в циліндричному тілі шаруватої структури, викликані змінним в часі (імпульсним, рухомим) тепловим навантаженням граничних внутрішніх і зовнішніх поверхонь;

З використанням кусково-сталої апроксимації фізико-механічних властивостей та розробленої методики побудовано числово-аналітичний розв'язок квазістатичної осесиметричної задачі термопружності для циліндра виготовленого з функційно-градієнтного матеріалу.

Практичне значення отриманих результатів полягає у можливості їх використання під час проведення аналізу квазістатичного напружено-деформованого стану циліндрично-шаруватих деталей радіотехнічних та електронних приладів, шаруватих елементів конструкцій та споруд, прогнозування їх термомеханічної поведінки в умовах локального теплового навантаження. Отримані результати можуть використовуватися при опрацюванні неруйнівних методів діагностики конструкційних елементів та матеріалоємних споруд в умовах тривалої експлуатації.

Вірогідність одержаних результатів забезпечується використанням загальновизнаних положень механіки деформівного твердого тіла, коректністю і строгістю постановки крайових задач, побудова розв'язків якої здійснюється відомими та апробованими методами математичної фізики. Числові результати у часткових випадках добре узгоджуються з результатами, отриманими за допомогою інших методів та відомими в літературі.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 18 наукових праць, серед яких 5 [1 - 5] у фахових виданнях із переліку ВАК України; 13 тез доповідей та наукових праць в матеріалах міжнародних та всеукраїнських наукових конференцій [6 - 18].

Основні результати дисертаційної роботи отримано здобувачем самостійно. У публікаціях, які написані у співавторстві з науковим керівником, дисертантці належать участь у формулюванні задач та розробці методики побудови їх розв'язку, самостійні числові дослідження температурних полів та напружено-деформованого стану, участь в обговоренні одержаних результатів.

У роботах [3, 5] дисертантка брала участь у формулюванні задачі, обговоренні результатів, виконала всі аналітичні викладки при побудові розв'язку та здійснила його числову реалізацію.

Апробація результатів. Результати досліджень за темою дисертації доповідались і обговорювались, зокрема, на: 7-му Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків (Львів, 2005), VI та VII Українсько-польському науковому симпозіумі «Сучасні проблеми механіки неоднорідних тіл» (Варшава, 2005, Львів, 2007), VII Міжнародній науковій конференції «Математичні проблеми механіки неоднорідних структур» (Львів, 2006 р.), Міжнародній науково-технічній конференції пам'яті акад. В. І. Моссаковського «Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій» (Дніпропетровськ, 2007 р.), Міжнародній науковій конференції «Сучасні проблеми механіки та математики» (Львів, 2008 р.), 5-ій міжнародній конференції з механіки руйнування матеріалів і структур (Августов, Польща, 2009).

Дисертація у повному обсязі доповідалась на науковому семінарі кафедри механіки Львівського національного університету імені Івана Франка, на семінарі відділу термомеханіки та на загальноінститутському семінарі „Механіка взаємозв'язних полів” Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України; семінарі відділу термопружності Інституту механіки ім С.П. Тимошенка НАН України.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел зі 190 найменувань. Робота містить 38 рисунків та 4 таблиці. Повний обсяг роботи становить 130 сторінок, 19 сторінок з яких - список використаних джерел.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету та задачі досліджень; охарактеризовано новизну, вірогідність та практичну значимість отриманих результатів, наведено дані про їх апробацію; вказано кількість публікацій за темою дисертації та особистий внесок здобувача; викладено короткий зміст роботи.

У першому розділі наведено огляд наукових праць, в яких вивчено проблеми, що безпосередньо стосуються та близькі за напрямком до теми дисертації; висвітлено стан досліджень температурних напружень в циліндрично-шаруватих тілах за змінного в часі теплового навантаження, окреслено місце роботи серед сучасних досліджень з даної проблематики.

У другому розділі розглядаються основні співвідношення просторової квазістатичної задачі термопружності в циліндричній системі координат. З використанням функцій обємної деформації , осьового переміщення та функції кручення -го елемента композитного тіла проводиться некласичне розщеплення рівняння рівноваги в циліндричній системі координат за умов ідеального термомеханічного контакту складових. В термінах ключових функцій сформульовано першу та другу основні задачі термопружності. В кінці розділу розглядаються основні співвідношення методу поліномів Лагерра та проілюстровано методику його застосування до квазістатичних задач термопружності на прикладі початково-крайової задачі теплопровідності для циліндричного тіла.

Після застосування інтегрального перетворення Лагерра, одержано послідовність крайових задач, загальний розв'язок якої записано у вигляді алгебричної згортки. Знайдені дають змогу відновити функцію .

Параметр при цьому відіграє роль масштабного множника і слугує для оптимізації числового підсумовування ряду (5) на різних інтервалах, що пробігає змінна .

В третьому розділі розглядається плоска нестаціонарна задача теплопровідності та відповідна квазістатична задача термопружності для радіально-шаруватого циліндричного тіла, що складається з складових різної товщини та з різними фізико-механічними властивостями. Циліндр з індексом «» є внутрішнім циліндричним шаром, а з індексом «» - зовнішнім. Причиною виникнення нестаціонарного температурного поля в композиті, вважається змінне в часі теплове навантаження його граничних поверхонь, причому розподіл цього теплового навантаження є локальним за кутовою змінною, а вздовж твірної циліндричного тіла є незмінним. Нестаціонарне температурне поле в цьому випадку визначатиметься розв'язком початково-крайової задачі.

Після застосування до задачі (5)-(8) інтегрального перетворення Лагерра за змінною та скінченного перетворення Фур'є за змінною , одержано трикутну послідовність крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з відповідно трансформованими крайовими умовами та умовами спряження:

Загальний розв'язок трикутної послідовності (9) подається у вигляді алгебричної згортки:

, (12)

Невідомі , які входять у (12) визначаються з трансформованих крайових умов (10) та умов спряження (11), які приводять до трикутних послідовностей систем лінійних рівнянь

. (15)

Коефіцієнти матриці не залежать від , а її структура дає змогу звести її до трикутного вигляду і, таким чином, знайти рекурентний розв'язок систем (15) для довільного числа складових композита .

Послідовно знайшовши невідомі із систем (15), остаточний розв'язок задачі теплопровідності (9)-(12) запишеться у вигляді подвійного ряду за поліномами Лагерра та тригонометричними функціями.

Для визначення напружено-деформованого стану, викликаного температурним полем (16), за припущення, що граничні поверхні циліндричного тіла вільні від навантажень, а на поверхнях поділу шарів виконуються умови ідеального механічного контакту, слід знайти розв'язок рівнянь Пуассона відносно ключових функцій , , крайових умов та умов ідеального механічного контакту:

Після застосування до рівнянь (17) інтегрального перетворення Лагерра-Фур'є, їх розв'язок одержано у вигляді:

За відомими та знайдено вирази для трансформант компонент вектора переміщень , і, відповідно, тензора напружень. Задовольняючи трансформовані крайові умови та умови спряження складових циліндра, отримано систему алгебричних рівнянь на відшукання невідомих, які входять у ці вирази. Система цих рівнянь, як і у задачі теплопровідності після певних перетворень дозволяє записати рекурентний розв'язок для будь-якої кількості складових композита і таким чином отримати замкнутий аналітичний розв'язок задачі термопружності у вигляді подвійного ряду.

З метою апробації розробленої методики в роботі розглянуто тестовий приклад розрахунку нестаціонарного температурного поля в порожнистому циліндрі за допомогою інтегрального перетворення Лапласа. Порівняльний числовий аналіз отриманих результатів засвідчив хорошу збіжність методу поліномів Лагерра - відмінність між результатами, одержаними цими методами не перевищувала 0,5% вже при утриманні 40 членів в ряді за Лагерром.

Відповідно до розробленої методики проведено числове дослідження термонапруженого стану в трьохшаровому композиті, зовнішній і внутрішній шар якого виготовлений із кераміки, а серединний із алюмінієвого сплаву (рис. 1). Вибір цих матеріалів зумовлено тим, що по-перше вони широко використовуються в сучасній інженерній практиці як елементи композитних матриць, а, по-друге, істотні відмінності практично усіх фізико-механічних властивостей дозволяють виявити більшість основних механічних ефектів, що відбуваються при змінному в часі нагріванні неоднорідних тіл.

При цьому було покладено, що на зовнішній поверхні циліндра задано температуру в області , яка змінюється по за законом, а по часовій змінній відповідає імпульсному навантаженню. Зовні області нагрівання та на внутрішній граничній поверхні композита температура вважається рівною нулю

На рис. 2 та рис. 3 подано результати розрахунку безрозмірних дотичних напружень в композиті в різні моменти часу відповідно за радіальною та кутовою змінними. Характерні точки зламу графіків на рис. 2 відповідають поверхням спряження складових циліндра . З рис. 2 видно, що дотичні напруження змінюють свій знак всередині композита і максимального за абсолютною величиною значення набувають поблизу поверхні нагріву в момент часу, що є більший за час прикладення максимального імпульсу.

Результати розрахунків, зображені на рис. 3 свідчать про зміну знаку дотичних напружень і за кутовою змінною. В області зони нагріву вказані напруження є від'ємними і максимальними за абсолютним значенням, а поза неї - є додатніми і значно меншими.

На відміну від результатів для дотичних напружень, радіальні напруження (рис. 4) свого максимуму досягають на лінії спряження внутрішнього і серединного шару циліндра і також змінюють свій знак як за радіальною, так і за кутовою змінними.

У четвертому розділі розглядається квазістатична задача термопружності для -шарового циліндра, що перебуває в умовах осесиметричного локального теплового навантаження за нульових початкових умов, крайових умов теплового навантаження загального вигляду та умов ідеального теплового контакту

Розв'язок трансформованої за Лагерром і Фур'є трикутної послідовності крайових задач відповідно до запропонованої методики отримано у вигляді.

Із трансформованих крайових умов та умов спряження циліндричних складових у вигляді рекурентних співвідношень отримано замкнуті розв'язки трикутних послідовностей систем лінійних алгебричних рівнянь відносно невідомих і для довільної кількості складових.

Остаточний розв'язок вихідної задачі теплопровідності має вигляд:

(19)

Для визначення напружено-деформованого стану, зумовленого температурним полем (19), слід відшукати розв'язки рівнянь Пуассона відносно ключових функцій.

В результаті застосування до рівнянь (20) інтегрального перетворення Фур'є-Лагерра побудовано їх розв'язок, за яким одержано трансформанти компонент вектора пружного переміщення та компонент тензора напружень.

Задовольняючи трансформованим крайовим умовам та умовам спряження, отримано та побудовано розв'язок систем алгебраїчних рівнянь відносно невідомих, які входять у вирази для переміщень та напружень. Остаточно замкнутий аналітичний розв'язок вихідної квазістатичної задачі термопружності подається у вигляді рядів за поліномами Лагерра.

За результатами, отриманими у цьому розділі, було проведено числове дослідження термонапруженого стану в трьохшаровому композиті, виготовленого з кераміки і алюмінієвого сплаву. При цьому вважалося, що внутрішня гранична поверхня циліндра знаходиться під дією теплового потоку інтенсивності , що наростає за законом , а зовнішня гранична поверхня знаходиться в умовах теплообміну за законом Ньютона.

З метою визначення впливу взаємного розміщення шарів в роботі розглянуто два випадки: коли серединний шар виготовлено з алюмінієвого стопу, а внутрішній та зовнішній із Al2O3 та навпаки. За результатами обчислень безрозмірних дотичних напружень за радіальною змінною в першому випадку розміщення шарів (рис. 5) можна зробити висновок, що максимального за модулем значення дотичні напруження набувають на поверхні поділу між серединним та зовнішнім шаром в стаціонарному режимі, причому під час перехідного періоду вказані напруження змінюють знак. В другому випадку розміщення шарів (рис. 6) дотичні напруження набувають максимуму у внутрішніх точках серединного шару та з часом теж змінюють знак, причому їх абсолютні значення практично на порядок перевищують аналогічні значення для першого випадку розміщення циліндрів. Як в першому так і в другому випадку розміщення шарів існує певний момент часу коли ці напруження близькі до нуля практично в усіх точках композитного тіла. Подібні закономірності спостерігаються і при дослідженні інших компонент тензора напружень (рис.7).

З метою апробації розробленої методики на задачах для багатошарових циліндрів, в останньому підрозділі запропоновано розвинути дану методику стосовно квазістатичних задач термопружності для циліндричних тіл, виготовлених з функційно-градієнтних матеріалів, в яких фізико-механічні властивості є функціями змінної .

У зв'язку з цим розглядається циліндр , теплофізичні та механічні властивості якого змінюються по за певними довільними законами. Вважається, що циліндр перебуває в умовах осесиметричного теплового навантаження, аналогічного до навантаження у попередньому підрозділі.

Побудова розв'язку задачі здійснюється шляхом уведення кусково-сталої апроксимації теплофізичних та механічних параметрів шару за формулами:

де - значення функції в точці . Вибір значень та їх кількість залежить від градієнтальності функції та точності наближення.

Відповідно до вищесказаного в області вводяться в розгляд підобласті , в яких вимагається, щоб шукані характеристики термонапруженого стану задовольняли рівнянням термопружності, крайовим умови на поверхнях і , а на поверхнях були неперервними, що відповідає умовам ідеального теплового і механічного контакту.

За такого підходу постановка наближеної задачі для функційно-градієнтного циліндра повністю відповідає осесиметричній квазістатичній задачі термопружності, розглянутій в попередніх підрозділах.Як показав числовий розрахунок температури, компонент вектора переміщень (табл.1) та тензора напружень, що проводився для досить різних залежностей фізико-механічних характеристик від радіальної змінної (лінійної, квадратичної, експоненціальної) з ростом кількості розбиттів , розв'язок прямує до певного значення, яке ми можемо вважати розв'язком вихідної задачі.

Основні результати та висновки

У дисертаційній роботі розв'язано наукове завдання - розробити ефективну аналітико-числову методику побудови розв'язків нестаціонарних двовимірних задач теплопровідності та відповідних квазістатичних задач термопружності радіально-шаруватих циліндричних тіл та з використанням розробленої методики дослідити нестаціонарні температурні поля та напружено-деформований стан в них, викликаний змінними в часі плоскими та осесиметричними тепловими навантаженнями.

Отримано такі основні наукові результати:

Із застосуванням некласичного розщеплення векторного рівняння рівноваги термопружного середовища в циліндричній системі координат, що використовує фізичні функції - об'ємне розширення, нормальну компоненту вектора переміщення та компоненту вектора кручення сформульовано першу та другу основні задачі термопружності для радіально-шаруватих тіл циліндричної форми за умов ідеального механічного контакту шарів.

Розвинуто метод поліномів Лагерра для квазістатичних задач термопружності радіально-шаруватих тіл циліндричної форми та розроблено аналітичну методику визначення двовимірного температурного поля та напружено-деформованого стану багатошарових тіл за умов локального температурного навантаження.

Із застосуванням цієї методики побудовано точний розв'язок систем лінійних рівнянь, що моделюють в загальному вигляді умови теплового навантаження та умови спряження елементів за довільної кількості складових.

Проаналізовано нестаціонарні температурні поля та напружено-деформовані стани у тришаровому циліндрі в плоскому випадку за імпульсного нагрівання граничної поверхні.

Досліджено термонапружений стан в шаруватому циліндрі в осесиметричному випадку для різних випадків розташування шарів. Виявлено, що порядок взаємного розміщення шарів істотно впливає на розподіл напружено-деформованого стану, максимальні за модулем значення напружень та їх стрибків на поверхнях поділу шарів протягом усього перехідного періоду.

З використанням кусково-сталої апроксимації фізико-механічних властивостей та розробленої методики побудовано аналітичний розв'язок осесиметричної квазістатичної задачі термопружності для циліндра, виготовленого з функційно-градієнтного матеріалу. Встановлено, що для досить різних залежностей фізико-механічних характеристик від радіальної змінної (лінійної, квадратичної, експоненціальної) результати обчислення температури збігаються з точністю до 1% вже при 15-20, а компоненти вектора пружних переміщень та тензора напружень при 25-30 рівномірних розбиттях.

Одержані результати можна поширити на нові класи задач, у тому числі з урахуванням динамічних ефектів і, зокрема, для сферично-шаруватих тіл і середовищ. Поширення розробленої методики на задачі для кусково-однорідних тіл з тонкими дефектами може знайти широке застосування у неруйнівному діагностуванні композитних тіл як на стадії їх виготовлення, так і під час їх тривалої експлуатації.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Галазюк О. Квазистатическая задача термоупругости радиально-слоистого пространства / Галазюк О. В., Турчин И. Н. // Теоретическая и прикладная механика. - 2005. - Вып. 41. - С. 63-69.

Галазюк О. Метод поліномів Лагерра в нестаціонарній задачі теплопровідності для радіально-шаруватого циліндра / Галазюк О. В., Турчин І. М. // Вісник Львів. ун-ту. Серія мех.-мат. - 2006. - Вип. 65. - С. 24-32.

Сулим Г. Т. Плоске стаціонарне поле в тілі з теплонепроникним циліндричним включенням за існування теплового шару на межі контакту / Сулим Г. Т., Галазюк О. В. // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2007. - 50, № 3. - С. 160-165.

Галазюк О. В. Квазістатична плоска неосесиметрична задача термопружності радіально-шаруватого циліндричного тіла / Галазюк О. В., Турчин І. М. // Вісник Дніпр. ун-ту. Серія механіка. - 2007. - №2/2. -Вип. 11, том 2. - С. 58-65.

Сулим Г. Т. Плоска термопружна деформація циліндра з поверхневим межовим шаром за локалізованого нагрівання його поверхні / Сулим Г. Т., Галазюк О. В. // Вісник Дніпр. ун-ту. Серія механіка. - 2008. - №5. -Вип. 12, том 2. - С. 136-143.

Галазюк О. Метод поліномів Лагерра в нестаціонарній задачі теплопровідності для циліндрично-шаруватих тіл // Галазюк О. В., Турчин І. М. // Сучасні проблеми механіки: Всеукраїнська наукова конференція, 2-5 лист. 2004 р.: тези доп., - Львів, 2004. - С. 74-75.

Галазюк О. Квазістатична плоска задача термопружності для двошарового циліндра / Галазюк О., Турчин І. // 7-ий Міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у Львові, 18-20 травня 2005. : тези доп. - Львів, 2005. - С. 51.

Галазюк О. Квазистатическая термоупругость радиально-слоистого цилиндра / Галазюк О., Турчин И. // Mechanika Zniszczenia Materialov і Konstrukcij : III Sympozjum, 1-4 czerwca, 2005.: materially. - Augustow, 2005. - St. 95-98.

Галазюк О. Нестаціонарне температурне поле в радіально-шаруватому циліндрі / Галазюк О., Турчин І. // Current problems of mechanics of nonhomogeneous media : The Sixth Polish-Ukrainian Conference, 6-10 September 2005. : abstracts. - Warszawa, 2005. - p. 47-48.

Галазюк О. Метод поліномів Лагерра в квазістатичній задачі термопружності для радіально-шаруватого циліндра / Галазюк О. В., Турчин І. М. // Сучасні проблеми механіки : всеукраїнська наукова конференція, 5-8 грудня 2005.: тези доп. - Львів, 2005. - С. 81.

Галазюк О. Нестаціонарне температурне поле в шаруватому циліндрі зумовлене рухомим джерелом нагріву / Галазюк О. В., Турчин І. М. // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур : VII Міжнародна наукова конференція, 20-23 вересня, 2006 р.: матер. конф. - Львів, 2006 : - Т. 1 - С.189-191.

Галазюк О. Нестаціонарне температурне поле в шаруватому циліндрі зумовлене рухомим джерелом тепла / Галазюк О. В., Турчин І. М. // Актуальні задачі механіки неоднорідних структур: 7-й українсько-польський науковий симпозіум, 5-9 вересня, 2007.: тези доп., - Львів, 2007. - С. 87.

Галазюк О. В. Плоске стаціонарне поле в циліндрі за частково детермінованих крайових умов / О. Галазюк // Проблеми і перспективи розвитку економіки і комп'ют. технологій в Україні: III міжвуз. наук.-техн. конференції наук.-педагог. працівників, квітень, 2008.: матер. конф. - Львів, 2008. - С. 47.

Галазюк О. В. Квазістатична плоска неосесиметрична задача термопружності радіально-шаруватого циліндричного тіла / Галазюк О. В., Турчин І. М. // Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності кострукцій : Міжнар. наук.-техн. конференція пам'яті акад. В. І. Моссаковського, 17-19 жовтня, 2007.: тези доп., - Дніпропетровськ, 2007. - С. 102-103.

Галазюк О. Нестаціонарна плоска задача теплопровідності для шаруватого циліндра з рухомим джерелом нагріву / Галазюк О. В., Турчин І. М. // Сучасні проблеми механіки та математики : в 3-х т. - Львів, 2008. - Т. 1. -С. 146-148.

Галазюк О. Метод поліномів Лагерра в квазістатичних двохвимірних задачах термопружності для радіально-шаруватих циліндричних тіл / О. Галазюк, І. Турчин // Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки: зб. наук. праць - Львів, 2009. - С. 100-101.

Галазюк О. Квазистатическое плоское термоупругое состояние радиально-слоистого цилиндра при неосесимметрическом нагреве / О. Галазюк, И. Турчин // Mechanikа Zniszczenia Materiaіуw i Konstrukcji: V Miкdzynarod. Sympozjum, 3_6 czerwca, 2009.: Materiaіy - Biaіystok, 2009. - S. 121.

Галазюк О. Квазистатическое плоское термоупругое состояние радиально-слоистого цилиндра при неосесимметрическом нагреве / О. Галазюк, И. Турчин // Failure Mechanics of Materials and Structures: The 5th Int. Symp., 3_6 June, 2009.: Аbstracts - Biaіystok, 2009. - S. 111_120.

Анотація

Галазюк О.В. Квазістатичні двовимірні задачі термопружності для циліндрично-шаруватих тіл. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, Львів, 2010.

В дисертаційній роботі із використанням інтегрального перетворення Лагерра за часовою змінною та інтегрального перетворення Фур'є за просторовою змінною розроблено аналітико-числову методику розв'язування квазістатичних задач термопружності для радіально-шаруватих тіл циліндричної форми. Розв'язки задачі теплопровідності та відповідної задачі термопружності подаються у вигляді ряду за поліномами Лагерра, коефіцієнти якого рекурентним чином моделюють в загальному вигляді теплове навантаження граничних поверхонь та умови ідеального термомеханічного контакту для довільної кількості складових циліндричного тіла.

Досліджуються нестаціонарні температурні поля та напружено-деформовані стани у циліндрично-шаруватих тілах і середовищах, що перебувають в умовах локального осесиметричного та плоского змінного в часі теплового навантаження. З використанням кусково-сталої апроксимації фізико-механічних властивостей та розробленої методики побудовано аналітичний розв'язок осесиметричної квазістатичної задачі термопружності для порожнистого циліндра, виготовленого з функційно-градієнтного матеріалу.

Ключові слова: циліндрично-шаруваті тіла, квазістатичні задачі термопружності, локальне теплове навантаження, метод інтегральних перетворень, поліноми Лагерра, трикутні послідовності крайових задач.

Аннотация

Галазюк О.В. Квазистатические двумерные задачи термоупругости для цилиндрически-слоистых тел.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2009.

В диссертации работе решена научная задача - разработать эффективную аналитико-числовую методику построения решений двумерных задач квазистатических задач термоупругости радиально-слоистых цилиндрических тел и исследовать нестационарные температурные поля и напряженно-деформированные состояния в них, обусловленные переменными во времени плоскими и осесимметричными тепловыми нагрузками.

Получены следующие основные научные результаты:

* с применением неклассического расщепления векторного уравнения равновесия термоупругой среды в цилиндрической системе координат, использующего физические функции - объемное расширение, нормальную компоненту вектора перемещения и компоненту вектора кручения сформулированы первая и вторая основные задачи квазистатической термоупругости для радиально-слоистых тел цилиндрической формы при идеальном термомеханическом контакте слоев;

* развит метод полиномов Лагерра для квазистатических задач термоупругости радиально-слоистых тел цилиндрической формы и разработана аналитическая методика определения двумерного температурного поля и напряженно-деформированного состояния многослойных тел при локальной температурной нагрузке;

* с применением этой методики построено точное решение систем линейных уравнений, моделирующих в общем виде условия тепловой нагрузки и условия сопряжения элементов при произвольном количестве составляющих;

* проанализированы нестационарные температурные поля и напряженно-деформированные состояния в трехслойном цилиндре в плоском случае при импульсном нагреве граничной поверхности;

* исследованы термонапряженные состояния в слоистом цилиндре в осесимметрическом случае для различных случаев расположения слоев и выявлено, что порядок взаимного размещения составляющих существенно влияет на распределение напряженно-деформированного состояния, максимальные по модулю значения напряжений и их разрывов на поверхностях раздела слоев течение всего переходного периода;

* с использованием кусочно-постоянной аппроксимации физико-механических свойств и разработанной методики построено аналитическое решение осесимметрической квазистатической задачи термоупругости для цилиндра, изготовленного из функционально-градиентального материала

* для различных зависимостей физико-механических свойств от радиальной переменной (линейной, квадратичной, экспоненциальной) установлено, что результаты для температуры сходятся с точностью до 1% уже при 15-20, а для компонент вектора упругих перемещений и тензора напряжений при 25-30 равномерных разбиениях.

Ключевые слова: цилиндрически-слоистые тела, квазистатическая задача термоупругости, локальная тепловая нагрузка, метод интегральных преобразований, полиномы Лагерра, треугольные последовательности краевых задач.

Summary

Halazyuk O.V. Quasi-static two-dimensional thermoelasticity problems for cylindrically-layered solids. - Manuscript.

The thesis presented for a Candidate's degree in physics and mathematics by speciality 01.02.04 - mechanics of deformable solid. - Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Lviv, 2010.

In the thesis the analytically numerical method (approach) of solving quasi-static problems of thermoelasticity for radially layered cylindrical bodies using Laguerre integral transformation of a time variable and Fourier integral transformation of a spatial variable is developed . The solutions of the problem of heat conduction and corresponding problem of thermoelasticity are represented as Laguerre polynomial series where coefficients model in general case heat loading of boundary layers and conditions of ideal thermomechanical contact for arbitrary quantity of components of cylindrical body.

Transient temperature field and stress-strain state in cylindrically layered bodies and mediums which are in the conditions of local axisymmetric and plain nonstationary thermal loading. Using piecewise constant approximation of physical-mechanical properties and developed methodology the analytical solution of axisymmetric quasi-static problem of thermoelasticity for hollow cylinder made of functional gradient material is found.

Keywords: layered cylindrical bodies, quasi-static problems of thermoelasticity, local temperature loading, integral transformation method, Laguerre polynomials, triangular sequence of boundary problems.

Размещено на Allbest.ru