Взаємодія товстої плити із системою гладких штампів за невідомих областей контакту

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

ЛУЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

01.02.04 - Механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Взаємодія товстої плити із системою гладких штампів за невідомих областей контакту

Мельник Катерина Вікторівна

Луцьк - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Луцькому національному технічному університеті МОН України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук,

професор Максимович Володимир Миколайович,

Луцький національний технічний університет

МОН України,

завідувач кафедри технічної механіки.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук,

доцент Кундрат Микола Михайлович,

Національний університет водного господарства та природокористування, м. Рівне,

професор кафедри обчислювальної математики;

доктор технічних наук,

професор Когут Микола Степанович,

Львівський національний аграрний університет,

завідувач кафедри машинобудування.

Захист відбудеться 10 грудня 2010 р. о 15-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 32.075.01 в Луцькому національному технічному університеті за адресою: 43018, м. Луцьк, вул. Львівська, 75.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Луцького національного технічного університету за адресою: 43018, м. Луцьк, вул. Львівсь, 75.

Автореферат розіслано « 9 » листопада 2010 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

кандидат технічних наук, доцент О.Г. Бондарський

Размещено на http://www.allbest.ru//

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В інженерній практиці оцінка міцності контактуючих деталей машин та елементів конструкцій є складною як з математичної, так і з практичної точок зору. Такі оцінки можуть бути проведені за умови повного вивчення розподілу напружень у зонах контактної взаємодії деталей, на основі яких досліджують зносостійкість, переміщення та інші фактори контактної міцності та жорсткості. Особливо важливе врахування цих факторів при проектуванні зубчатих зчеплень, різних типів підшипників, при розрахунку контактних напружень між фундаментами і основою та визначенні прогинів, що виникають у товстих плитах, які лежать на опорах.

При дослідженні контактних задач просторової теорії пружності виникають значні математичні труднощі, особливо при розгляді штампів складної форми або їх систем. Найбільш вивченими є задачі, коли тіло, що навантажене штампом, моделюють півпростором. Значний внесок у розвиток методів визначення контактного тиску під системою штампів, що діють на пружний півпростір, здійснили праці В.М. Александрова, О.Є. Андрейківа, І.І. Аргатова, Л.О. Галіна, Д.В. Гриліцького, В.С. Гудрамовича, М.Я. Леонова, О.М. Гузя, В.Т. Грінченка, А.Н. Динника, В.І. Моссаковського, М.М. Стадника, А.О. Сяського, І.Н. Снеддона, Г.М. Савіна, А. Н. Подгорного, М.В. Хая, Я.С. Уфлянда, В.В. Панасюка, Г.Я. Попова, В.Л. Рвачова, М.А. Сумбатяна, І.Я. Штаєрмана, G. Duvaut, G. Fichera, K. L. Johnson, J. J. Kalker, J. L. Lions, I.N. Sneddon та інших.

Для практики дуже важливим є врахування додаткового навантаження, що прикладене поза штампом. Вперше розв'язок такої задачі отримано в роботах Л.А. Галіна для плоского кругового штампа. В працях І.Г. Горячової, В.І. Моссаковського, В.І. Фабриканта розглянуто штампи іншої форми й отримані розв'язки застосовано в задачах дискретного контакту.

Задачі про тиск системи гладких штампів на пружний півпростір, коли область контакту є наперед невідомою, значно менше досліджені в літературі. Тут, зокрема, можна назвати роботи А.І. Лур'є, В.М. Александрова, І.Г. Горячової, І.І. Аргатова, Б.А. Галанова, М.С. Когута та інших. Контактні задачі з невідомою областю контакту значно складніші в математичному відношенні, оскільки вони є нелінійними. Загальний метод розв'язування такого класу задач на основі зведення їх до інтегральних рівнянь-нерівностей запропоновано в роботах А. Сіньоріні. Досліджували контактні напруження на основі варіаційних методів Г. Фікер, А. С. Кравчук. Неваріаційний числовий метод на основі інтегральних рівнянь типу Гаммерштейна був розроблений Б.А. Галановим.

У цілому малодослідженими залишаються контактні задачі, в яких враховується відставання плоского штампа від основи, яке можливе при дії додаткового навантаження або системи штампів.

У випадку, коли область контакту співставна з розмірами тіла, розрахунки проводять на основі врахування реальних розмірів плити. В літературі найбільш вивчений випадок, коли плита, жорстко зчеплена з півпростором або яка лежить на ньому без тертя. Значний внесок у розвиток методів розв'язування просторових контактних задач для плит внесли праці В.М. Александрова, В.А. Бабешко, B.C. Никишина, Г.С. Шапіро, І.І. Воровича, М.М. Кундрата. При цьому найбільш досліджені контактні задачі для системи штампів з плоскою основою, коли область контакту наперед задана і має кругову або еліптичну форму. Контактні задачі для системи гладких штампів залишаються маловивченими.

Недостатньо розроблені методи розв'язання задач про контактну взаємодію системи штампів складної конфігурації із пружною плитою, що лежить на локалізованих опорах. Найбільш вивчені осесиметричні задачі, які розглядалися в роботах Д.В. Гриліцького, Г.В. Габрусєва, Я.М. Кизими. Результати досліджень таких задач у плоскій постановці наведено в роботах А.Ф. Улітко, Е.І. Григолюка, В.І. Шваб'юка. Значний внесок у розвиток контактних задач на основі застосування прикладних теорій пластин внесли праці С.П. Тимошенка, Дж.Н. Гудьєра, Г.Я. Попова, Б. Л. Пелеха, К. Джонсона, В.І. Шваб'юка, В.В. Божидарніка. Слід зазначити, що такі задачі за використання рівнянь теорії пружності є значно складнішими, навіть для одного штампа, бо при певних навантаженнях область контакту стає багатозв'язною. Особливо складні вони для системи штампів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у рамках держбюджетних науково-дослідних тем кафедри технічної механіки Луцького національного технічного університету, а також на замовлення Міністерства освіти і науки України: “Методи розрахунку на міцність та довговічність багатозв'язних композитних пластинчастих елементів конструкцій з криволінійними тріщинами” (№ д/р. 0110U002219, 2010-2012).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розробка методики розрахунку контактних напружень у товстій плиті, що виникають під системою гладких штампів з наперед невідомими областями взаємодії, та її застосування для дослідження контактної міцності роликових підшипників.

Для досягнення цієї мети потрібно було розв'язати такі завдання:

розробити методику визначення контактних напружень при взаємодії системи штампів з невідомими областями контакту для півпростору та товстої плити, що лежить на жорсткій основі;

дослідити контактні напруження під системою штампів різної форми при додатковому навантаженні, що прикладене поза штампами, за врахуванням можливого відставання штампа від основи;

запропонувати алгоритм розв'язання контактної задачі для довільної кількості штампів на основі методу послідовних наближень та дослідити за його допомогою взаємовплив штампів при зміні відстані між ними;

дослідити контактні напруження під роликами різної форми; запропонувати підхід до вибору форми роликів з метою зменшення максимальних контактних напружень;

розробити числовий алгоритм розв'язання контактної задачі для товстої плити, що навантажена штампом і лежить на жорсткій основі або на системі дискретних опор. Виконати дослідження впливу товщини плити та розміщення опор на контактні напруження під штампом.

Об'єкт дослідження - плити, навантажені системою штампів за невідомих областей контакту. плита опора напруження штамп

Предмет дослідження - розподіл і взаємовплив полів контактних напружень.

Методи досліджень. Теоретичні дослідження проводилися на основі сумісного застосування методів інтегральних рівнянь і квадратичного програмування та розв'язків типу Гріна для шару. Обробка результатів здійснювалась на ПЕОМ.

Обґрунтованість і вірогідність результатів забезпечується математичною строгістю постановок задач з використанням основних положень теорії пружності; застосуванням обґрунтованих математичних методів для побудови розв'язків ключових рівнянь; узгодженням окремих результатів, отриманих у роботі, з відомими аналітичними розв'язками та розв'язками, що отримані іншими числовими методами.

Наукова новизна роботи полягає в наступному: в постановках задач, у методах розв'язання, в отриманих результатах. У роботі

розроблена методика визначення контактних напружень при взаємодії системи штампів з невідомими областями контакту для півпростору та товстої плити;

проведене дослідження контактних напружень під системою штампів різної форми з врахуванням додаткового навантаження, що прикладене поза штампами, а також можливого відставання штампа від основи;

запропоновано алгоритм розв'язання контактних задач для великої кількості штампів на основі методу послідовних наближень і проведено дослідження взаємовпливу штампів при зміні відстані між ними;

вперше записано інтегральне рівняння для товстої плити, що лежить на опорах і навантажена штампом, ядро якого є розв'язком задачі теорії пружності для шару, що перебуває під дією самозрівноважених зосереджених сил;

досліджено контактні напруження під циліндричними та конічними роликами та запропоновано підхід до вибору їх оптимальної форми.

Практичне значення отриманих результатів. Отримані в дисертаційній роботі результати можуть бути використані для розрахунку контактних напружень під штампом складної форми або системою штампів; при прогнозуванні контактної міцності елементів конструкцій у машинобудуванні, в будівництві при розрахунку фундаментів, при проектуванні різних типів підшипників та в інших галузях промисловості.

Теоретичні положення дисертації впроваджено у навчальний процес Луцького національного технічного університету. Результати досліджень контактних напружень під роликами різної форми знайшли застосування в інженерній практиці на підприємстві АТ "СКФ Україна" м. Луцька. Визначення прогинів у товстих плитах, які лежать на опорах, було впроваджено на проектно-вишукувальному підприємстві дорожно-мостового та житлового-комунального господарства "Луцьккомундорпроект".

Особистий внесок здобувача. Основні результати в дисертації отримані автором одноосібно. В спільних роботах [2, 3, 6] автор брала участь у постановці задач, побудові інтегральних рівнянь, розробці методики їх розв'язування, числовому аналізі і формулюванні висновків. Співавтори робіт брали участь у постановці задач та обговоренні результатів. Науковий керівник роботи брав участь у формулюванні задач, обговоренні отриманих результатів.

Апробація роботи. Основні результати, які одержані в дисертаційній роботі, доповідались на V міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (м. Луцьк, 2000), на науковій конференції “Сучасні проблеми інженерної механіки”( м. Луцьк, 2000), на VIII міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2000), на науково-технічній конференції викладачів Луцького державного технічного університету (2001), на V міжнародному симпозіумі „Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій” (м. Луцьк, 2002), Міжнародній науковій конференції «Сучасні проблеми механіки і математики» (м. Львів, 2008), ІІ міжнародній науково-практичній конференції «Теоретичні і експериментальні дослідження в технологіях сучасного матеріалознавства та машинобудування» (Луцьк-Світязь, 2009), на Міжнародній науково-практичній конференції „Комп'ютерно-інтегровані технології у виробництві та освіті” (Луцьк, 2010).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалася на науковому семінарі кафедри обчислювальної математики Національного університету водного господарства та природокористування під керівництвом д.т.н. М.М. Кундрата, на науковому семінарі кафедри машинобудування Львівського національного аграрного університету під керівництвом д.т.н., проф. М.С. Когута, об'єднаному науковому семінарі кафедр технічної механіки і вищої математики Луцького національного технічного університету під керівництвом д.т.н., проф. В.І. Шваб'юка, на науковому семінарі відділу механіки деформівного твердого тіла Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача під керівництвом д.ф.-м.н., проф. М.М. Николишина.

Публікації. За результатами дисертації опубліковано 12 наукових праць, з них 11 - у фахових виданнях.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 153 найменування на 15 сторінках. Загальний обсяг роботи становить 152 сторінки машинописного тексту, в тому числі 79 рисунків і 13 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Размещено на http://www.allbest.ru//

У вступі обґрунтовано актуальність роботи, визначена мета роботи та напрямки її досягнення, вказана наукова новизна, практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі зроблено огляд літератури і наведені основні співвідношення просторових контактних задач для півпростору.

В другому розділі розроблено числовий метод дослідження контактної задачі для плит великої товщини. Приймається, що в цьому випадку область контакту є малою порівняно з розмірами тіла, в зв'язку з цим розглянута задача про втискання системи штампів у пружний півпростір за невідомих областей контакту.

Граничні умови під штампами мають вигляд:

, , , при .

Тут враховане тертя між штампом і основою та позначено: - коефіцієнт тертя, - рівняння основи го штампа, - рівняння поверхні основи в околі цього штампа; сталі визначають поступальне зміщення і проекцію вектора повороту штампа на осі Оу і Ох.

Інтегральне рівняння відносно невідомих контактних напружень має вигляд:

, (1)

де ,

область контакту під -им штампом, - контактні напруження. Тут враховано, що основа (півпростір) поза штампами додатково навантажена нормально прикладеними зусиллями q, - область, у якій .

У роботі розглядалися дві постановки задачі. В першій постановці задано зміщення штампа, тобто відповідні сталі визначені. Тоді прикладені до штампа головні вектор і моменти сил знаходяться в процесі розв'язку задачі.

У другій постановці відомі головні вектор і момент сил, прикладених до кожного із штампів -. Тоді сталі є невідомими. Додаткові умови для визначення цих сталих мають вигляд:

; , .

У випадку невідомої області контакту інтегральне рівняння (1), на основі підходу А. Сіньоріні, записано у вигляді альтернативних інтегральних рівнянь-нерівностей:

(2)

Області вибираються (прогнозуються) таким чином, щоб вони включали в себе області контакту . Функція продовжена поза областю контакту, причому вона тут дорівнює нулю. Зазначимо, що в умовах (2) невідомими є контактні напруження та області . Перша рівність в (2) є умовою відсутності зазору між контактуючими поверхнями, а нерівність є умовою відсутності контакту поза штампом.

Для числового визначення контактних напружень систему інтегральних рівнянь-нерівностей (2) замінено дискретним аналогом. Для цього покриємо область прямокутною сіткою: де H,h -задані сталі величини. Невідомі контактні напруження зображено у вигляді інтерполяційної формули:

(3)

де , при , при.

Зазначимо, що величина , яка визначається формулою (3), є кусково-неперервною лінійною функцією по кожній із змінній. Підставивши зображення (3) в рівняння-нерівність (2), отримано систему алгебраїчних рівнянь-нерівностей:

(4)

де , коефіцієнти наведено в роботі.

Для розв'язування системи (4) введено в розгляд додатну величину Y:

(5)

та систему нерівностей

, (6)

де додатні сталі, вибором яких може бути покращена збіжність розв'язку.

Нехай у випадку першої постановки задачі контактні напруження, що задовольняють умови (4), знайдені. Тоді будуть задовольнятися нерівності (6) і величина (5) набуде свого мінімального значення . Таким чином, контактні напруження можуть бути знайдені на основі мінімізації величини (5) за умов (6), тобто із задачі квадратичного програмування, для розв'язування якої в літературі розроблені ефективні чисельні алгоритми. Зазначимо, що наперед невідома область контакту знаходиться в процесі розрахунків - це область, у якій знайдені значення контактних напружень задовольняють умову

У випадку другої постановки задачі, коли сталі є невідомі, до нерівностей (6) додаються умови:

. (7)

Размещено на http://www.allbest.ru//

Для оцінки точності запропонованого алгоритму розглянуто задачу про знаходження контактних напружень під штампом, основа якого має форму еліптичного параболоїда . На рис. 2 а суцільними лініями зображено розраховані величини без врахування тертя в перерізах, паралельних осі Ох, при , . Для порівняння зірочками наведено значення напружень, які знайдені на основі відомого аналітичного розв'язку. На рис. 2 б наведено розраховані контактні напруження з врахуванням тертя при . Тут кривій 1 відповідають напруження при .

На основі рис. 2 і проведених розрахунків випливає, що запропонований числовий алгоритм дозволяє з достатньою для практики точністю знаходити область контакту та розподіл напружень у ній. Зокрема, при виборі 256 вузлових точок похибка знайдених контактних напружень не перевищує 1%. З врахуванням тертя максимальні контактні напруження зменшуються (рис.2 б).

Розглянуто задачу про визначення контактних напружень під системою симетрично розміщених двох та чотирьох штампів. Зокрема, у випадку дії чотирьох штампів, які мають однакову форму і розташовані симетрично відносно осей Ох і Оу, коефіцієнти при невідомих у системі рівнянь-нерівностей (4) записано у вигляді: . Тут враховано, що має місце симетрія контактних напружень, а тому

Розрахунки контактних напружень виконано для системи штампів, основи в яких мають форму еліптичних параболоїдів, при різних відстанях між центрами штампів. Розглянуто першу постановку контактної задачі при , . На рис. 3 а наведено розподіл контактних напружень під правим штампом у перерізі у=0 при різних відстанях між центрами двох штампів, а на рис.3.б - для чотирьох штампів. Для порівняння штриховою лінією зображені контактні напруження у випадку поодинокого штампа.

а) б)

Рис. 3. Контактні напруження під системою штампів

На основі проведених розрахунків встановлено, що штампи можна розглядати як ізольовані вже при відстані між ними більшій за . Максимальні контактні напруження при зближенні штампів зменшуються, і точки, в яких вони досягаються, віддаляються між собою (у випадку першої постановки контактної задачі).

Наведений числовий алгоритм розв'язання контактної задачі для системи штампів з невідомою областю контакту ефективний для обмеженої кількості штампів. При контактній взаємодії великої кількості штампів виникають значні труднощі, які пов'язані зі зростанням кількості невідомих та обсягу обчислень. Для цього випадку розроблено модифікований підхід, що базується на методах послідовних наближень і квадратичного програмування, який дозволяє досліджувати контактні напруження під практично довільною кількістю штампів. Розглянуто задачу, коли відомі головні вектори сил , які прикладені до штампів. Введено безрозмірні змінні:

, ,

де характерні розміри і площа області контакту деякої близької до розглядуваної контактної задачі, для якої в літературі побудований точний розв'язок. Контактні напруження під j-им штампом на -му кроці в методі послідовних наближень позначимо через . Система інтегральних рівнянь-нерівностей для їх визначення записана у вигляді

, ,

, , (8)

де , ,

Систему (8) розв'язано ітераційним методом, в якому на кожному кроці розв'язується контактна задача для ізольованого штампа, причому права частина інтегрального рівняння визначається на основі знайдених на попередніх ітераціях контактних напружень. На першому кроці за нульове наближення контактних напружень вибрано розв'язок контактної задачі, коли всі штампи, крім -го, замінено дією зосереджених сил, які прикладені в центрах штампів.

Ітераційний процес проводиться до тих пір, доки різниця контактних напружень при двох послідовних кроках менша за задану малу величину . Зазначимо, що такий спосіб є узагальненням відомого підходу Л.А. Галіна, в якому для розв'язання такого класу задач обмежувалися лише нульовим наближенням.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Для оцінки точності запропонованого алгоритму розглянуто задачу про знаходження контактних напружень під двома однаковими плоскими круговими штампами і проведено порівняння з розв'язками, отриманими А. Е. Андрейківим, В. В. Панасюком та Л.А. Галіним. Розрахунки показали, що для досягнення точності достатньо обмежитися трьома ітераціями.

На рис.4 наведено відносні контактні напруження в перерізах і під 1, 2, 5, 6-м штампом, центри яких розміщені в т. , де радіус штампів, . Суцільним лініям відповідають результати, знайдені на основі розробленого алгоритму, а точками - результати, які знаходяться наближеним методом Галіна (на першому кроці ітерації).

Найбільше відхилення від нульового наближення спостерігається при малих відстанях між штампами. Напруження зменшується в точках, які розміщені найближче до центрального штампа. При збільшенні навантаження на центральний штамп на нульовому кроці обчислень відбувається відставання штампа від основи для всіх штампів, крім центрального. Однак на наступних кроках ітерації відставання немає, а лише зменшуються контактні напруження в точках, які розміщені найближче до центрального штампа.

У роботі розглянуто систему двох та дев'яти параболоїдальних штампів при різних відстанях між ними. Із проведених досліджень випливає, що при зменшенні відстані між штампами контактні напруження збільшуються в точках, які розміщені найближче до центрального штампа, а в точках, найбільш віддалених - зменшуються.

Проведено дослідження контактних напружень під плоским штампом з врахуванням процесу відставання штампа від основи. Відомо, що розв'язання контактних задач з плоскою основою спрощується, оскільки відома наперед область контакту. Проте за дії додаткових сил, що прикладені поза областю контакту, може мати місце відставання штампа від основи, що відповідно приводить до задачі з наперед невідомою областю контакту. Детально розглянуто задачу для кругового штампа радіусом , коли поза штампом півпростір навантажений зосередженою силою , що прикладена в т. . Для даної задачі відомий точний розв'язок Галіна, який має зміст лише при виконанні умови:

. (9)

Размещено на http://www.allbest.ru//

Знайдені на основі розробленого в роботі числового алгоритму контактні напруження для значень сил, що задовольняють умову (9), добре узгоджуються з аналітичним розв'язком Л.О. Галіна.

Для випадку розв'язок Л.О. Галіна є справедливим при . При збільшенні відношення контактні напруження стають розтягувальними, тобто фізично нереальними.

Размещено на http://www.allbest.ru//

На рис.5 наведено відносні контактні напруження у поперечному перерізі області контакту при , які знайдені з врахуванням відставання штампа. Із проведених розрахунків випливає, що при зростанні величини відношення область відставання штампа збільшується. Виконано дослідження для випадку двох плоских кругових штампів різних радіусів. Показано, що при певних відстанях між ними також має місце відставання штампа від основи, та знайдено області відставання і напруження в області контакту.

У роботі проведено дослідження контактних напружень під штампами квадратної форми з врахуванням дії додаткового навантаження поза штампом. Окремо розглянуто випадок про втиснення в пружний півпростір вузького прямокутного штампа довжиною і шириною . Сила проходить через центр ваги штампа, який не повертається. На рис.6 кривою 3 наведено величини , обчислені згідно з розробленим алгоритмом, при . Кривою 1 зображено результати, отримані Л.А. Галіним на основі розв'язку наближеного одновимірного інтегрального рівняння, кривою 2-величини, отримані В.М. Александровим і Д.А. Пожарським на основі асимптотичного методу. З наведеного рисунка видно, що в центральній частині області контакту знайдені різними методами контактні напруження практично збігаються.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Проведено дослідження впливу навантаження , що прикладене поза штампом у точці . На рис. 7 наведені контактні напруження в поперечному перерізі області контакту при , , . Встановлено, що область відставання штампа від основи більша для вузького прямокутника, відношення сторін якого .

Размещено на http://www.allbest.ru//

Виконано дослідження контактних напружень під роликами циліндричної та конічної форми. Гранична поверхня циліндричного ролика довжиною є тіло обертання з віссю , . Радіус цієї поверхні описано рівнянням

Размещено на http://www.allbest.ru//

де

, , , - параметри, які характеризують форму закруглення біля кінців ролика. Розрахунки виконано для не закругленого біля кінців сталевого ролика при , , , , , , крок розбиття сітки . На рис. 9 суцільною лінією зображено контактні напруження в центральному перерізі області контакту () за різних значень сили . Для порівняння штриховою лінією подано розрахунки контактних напружень на основі розгляду плоскої контактної задачі (при ) згідно з аналітичними формулами Герца. З рис. 9 видно, що формула Герца може використовуватися для розрахунку контактних напружень у центральній частині штампа. Контактні напруження істотно збільшуються біля кінців. З метою зменшення цих напружень виконано розрахунки для закруглених кінців ролика. Результати розрахунків наведено на рис. 10 при силі і параметрах , . На рис.10 а подано контактні напруження в перерізах, паралельних твірній ролика, а на рис.10 б - в різних поперечних перерізах при .

Размещено на http://www.allbest.ru//

Видно, що при всіх розглянутих значеннях параметра максимальні контактні напруження істотно зменшилися, а при значенні параметра напруження є практично сталими на основній частині ролика.

Проведено розрахунки для однорядного конічного підшипника ГОСТ 6-7809А, що має 19 роликів із підшипникової сталі ШХ15. Діаметр ролика , довжина , кут нахилу , діаметр зовнішнього кільця підшипника , . В інтегральному рівнянні (1) враховано рівняння основи ролика та основи (зовнішнього кільця підшипника). Результати розрахунків наведено на рис.11 у перерізах, паралельних осі Ох, при силі .

Размещено на http://www.allbest.ru//

Розрахунки показали, що максимальні контактні напруження зростають під незакругленими кінцями ролика (рис. 11 а), а при закруглені кінців (, ) вони істотно зменшуються (рис. 11 б).

У третьому розділі побудовано ядра інтегральних рівнянь контактної задачі для плити, що лежить на опорах. Ядро є розв'язком задачі теорії пружності для шару, що перебуває під дією зосереджених самозрівноважених сил , , прикладених до границі відповідно в точках , де j=1,…,N. Враховуючи лінійність задачі, окремо розглянуто випадки, коли сили прикладені нормально та паралельно до граничної площини шару. Записано два варіанти розв'язку цієї задачі, які ефективні за різних відстаней до точок прикладання сил. Для випадку нормально прикладених зосереджених сил граничні умови і умови рівноваги записано у вигляді

, , , ,

, , , , ,

де дельта функція Дірака.

Переміщення для симетричної складової задачі () записано у символічному вигляді:

, , ,

, , .

Перший варіант розв'язку, який отримано на основі інтегрального перетворення Ґанкеля, записано у вигляді суми двох складових:

, i=1,2. (10)

,

,

, , ,

функція , вибиралася рівною 0, 1 або так, щоб відповідні інтеграли були збіжні в класичному сенсі в околі точки .

Перша складова, яка виражається через елементарні функції, вибиралася таким чином, щоб вона була практично точним розв'язком поставленої задачі. Друга складова визначається через швидкозбіжні регулярні інтеграли, які є відносно малою величиною в порівнянні з першою, і якою в практичних розрахунках можна знехтувати. Аналогічно записані переміщення для антисиметричної складової задачі .

Другий варіант розв'язку отримано за допомогою комбінування двох методів: інтегрального перетворення Ґанкеля та формули розкладу М.Е.Ващенко-Захарченко.

Переміщення границі шару для симетричної складової задачі () при записано у вигляді:

, ,

,

де

де корені алгебраїчного рівняння відстань точок до сили.

При великих відстанях від точок прикладання сил розв'язок подано в експоненційних рядах, що дає можливість у розрахунках використати один-два члени ряду. Аналогічно записані переміщення для антисиметричної складової задачі.

Для оцінки точності і ефективності отриманих розв'язків проведені розрахунки переміщень на границі шару, який перебуває під дією зосереджених сил. Встановлено: наведений замкнений розв'язок є практично точним при знаходженні переміщень; в точках, які знаходяться на відстані порядку товщини пластини, можна використовувати розв'язки прикладної теорії згину пластин типу Тимошенка, які дають значно вищу точність, ніж розв'язки, побудовані на основі гіпотези Кіргофа-Лява.

У четвертому розділі виконано дослідження контактних задач для товстої плити, яка лежить на жорсткій основі або на системі дискретних опор. Ядро інтегрального рівняння для першого випадку складається з ядра для півпростору та гладкої функції, що описується невласним інтегралом.

Таблиця 2
Переміщення за різних значень товщини плити
(м)
0,5	1,2829	1,29
0,2	1,2168	1,21
0,1	1,0987	1,09

Розглянуто випадок, коли штамп, що має форму еліптичного параболоїда, навантажений нормальною та тангенціальною силою , знаходиться в умовах граничної рівноваги і не повертається. Проведено дослідження контактних напружень за різних значень товщини плити, нижня основа якої лежить на жорсткій основі. В таблиці 2 наведено значення переміщення штампа при , , , , для випадку, коли нижня основа плити жорстко закріплена. Для порівняння в третьому стовпчику подано значення переміщень , отримані в роботі В.М. Александрова, М.И. Чебакова. Видно, що дані, отримані різними методами, відрізняються між собою менше 1%.

Размещено на http://www.allbest.ru//

На рис. 12 а суцільною лінією 2 наведено величини при товщині плити , штрих - пунктирною лінією 1 при , лінією 3-при . Для порівняння зірочками відкладені контактні напруження для півпростору.

Як видно з рисунка, вже при товщині плити розподіл напружень в ній близький до півпростору. Розглянуто випадок додаткового навантаження , що прикладена поза штампом. Розрахунки проведено при , товщині плити (рис. 12 б). Кривою 1 зображено величини при силі , лінією 2 - для випадку сили , прикладеною в т., а лінією 3 - в т. .

Проведено дослідження контактних напружень під плоским круговим штампом та штампом, що має форму вузького прямокутника, з врахуванням процесу відставання штампу від основи для плити, нижня основа якої жорстко закріплена. Встановлено, при однакових навантаженнях область відставання штампа від основи для плити набагато більша, ніж у випадку півпростору.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Розглянуто задачу про контакт без тертя жорсткого штампа з пружною плитою, товщиною , що лежить на дискретно розміщених опорах (рис. 13). Приймалося, що області контакту опор є малими, що дозволяє замінити їх дією зосереджених сил при розгляді основного штампу. Нормальні переміщення границі плити від дії контактних напружень та опор визначаються так:

, ,

,

де реакція опор, причому .

Інтегральне рівняння для випадку чотирьох опор має вигляд

. (11)

Размещено на http://www.allbest.ru//

При побудові інтегрального рівняння (11) використано розв'язки задачі теорії пружності для шару, що навантажений зосередженими силами, які отримано в розділі 3, функція - переміщення границі , що виникають в наслідок дії штампа, - переміщення, що виникають у точці при дії опор.

Виконано розрахунки для штампа, що має форму еліптичного параболоїда, при різних відстанях між опорами і параметрах , , , , товщина плити (рис. 14). Кривою 1 наведено відносні контактні напруження для плити, опори яких знаходяться в точках , , а кривою 2 - в точках , . Для порівняння точками зображено відносні контактні напруження у випадку півпростору.

Як видно з рисунка, при малій відстані між опорами розв'язки задач близькі між собою. При збільшенні відстані між опорами контактні напруження зменшуються і в центральній частині області контакту стають швидкозмінними, область контакту збільшується.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Проведено розрахунки для штампа, що має параболоїдальну форму і взаємодіє з плитою товщиною , яка лежить на чотирьох опорах в точках, . Результати розрахунків при (штамп має близьку до плоскої форму із заокругленими краями) наведено на рис. 15. На основі проведених досліджень встановлено, що для вибраної форми штампу, у яких відношення радіуса області контакту до товщини плити більше за 5, в центрі області контакту починається відставання штампу від основи.

Размещено на http://www.allbest.ru//

У літературі часто сферичну та інші форми штампів замінюють параболоїдальною формою, що спрощує розрахунки з використанням аналітичних методів. Проведено дослідження для штампів сферичної (рис.16 а) та параболоїдальної форми при (рис.16 б), що мають однаковий радіус кривини у вершині. Результати розрахунків наведено для різних значень сили при відношенні , координати точок опор: , . Видно, що у випадку, коли розміри ділянки контакту малі в порівнянні з товщиною плити, заміна форми штампів параболоїдальною є правомірною. Коли області контакту сумірні з товщиною плити, контактні напруження для сферичного штампа збільшуються в 2 рази в порівнянні з параболоїдальним штампом. При цьому для штампа сферичної форми в центрі області контакту починається процес його відставання від основи. Отже, заміна форми штампа параболоїдальною може приводити до значних похибок.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертації розроблено методику розрахунку контактних напружень у товстій плиті, що виникають під системою гладких штампів з не заданими наперед областями взаємодії. Контактні задачі розглядалися на основі півпростору у випадку, коли область контакту мала в порівнянні з розмірами тіла та на основі шару (плити) в загальному випадку.

При цьому:

розроблено методику розв'язування контактних задач для довільної кількості штампів, в основу якої покладено підхід А. Сіньоріні зведення задачі з невідомими областями контакту до системи інтегральних рівнянь-нерівностей. На основі кубатурних формул, в яких враховано особливості ядер інтегральних рівнянь-нерівностей, задачу зведено до дискретної системи лінійних алгебраїчних рівнянь-нерівностей, для розв'язання якої використано методи квадратичного програмування;

побудовано методику розв'язування контактних задач для великої кількості штампів, що базується на методах послідовних наближень і квадратичного програмування. Проведено дослідження взаємовпливу штампів залежно від відстані між ними. Для системи дев'яти однакових плоских кругових штампів встановлено, що при зменшенні відстані між штампами контактні напруження під нецентральними штампами зменшуються в точках, розташованих найближче до центрального, а в найбільш віддалених - збільшуються;

проведено дослідження процесу відставання плоских штампів від основи, що виникає при дії додаткового навантаження, яке прикладене поза штампами. Для кругового плоского штампа визначено контактні напруження та область відставання штампа від основи, що залежить від величини та відстані прикладання додаткового навантаження. У випадку контактної взаємодії півпростору з штампом, який має форму вузького прямокутника, встановлено, що чим менше відношення сторін, тим більша область відставання штампу від основи. Область відставання для квадратного штампа більша, ніж для вузького прямокутника при однакових навантаженнях та відстанях додаткової сили;

розроблена методика узагальнена на випадок контактної задачі для плити, нижня основа якої жорстко закріплена або лежить без тертя. Досліджено вплив товщини плити на розподіл контактних напружень під штампами різної форми;

побудовано інтегральне рівняння для товстої плити, що лежить на системі дискретних опор і навантажена штампом. При побудові ядра інтегрального рівняння використано розв'язок задачі теорії пружності для шару, що перебуває під дією системи зосереджених самозрівноважених сил. У залежності від відстані прикладання сил отримано два варіанти подання розв'язку задачі теорії пружності для шару. Перший варіант отримано на основі інтегрального перетворення Ґанкеля, другий - за допомогою комбінування двох методів: інтегрального перетворення Ґанкеля та формул розкладу Ващенко-Захарченко;

виконано дослідження контактних напружень під роликами різної форми та запропоновано підхід до вибору їх оптимальної форми за рахунок закруглення ролика біля кінців, з метою зменшення максимальних контактних напружень на границі області контакту. Встановлено, що контактні напруження під циліндричним роликом у внутрішніх точках області контакту відхиляються не більше 1% від напружень, що розраховані за формулою Герца для плоскої контактної задачі. Контактні напруження під конічним роликом більші на межі області контакту, де радіус ролика менший.

На підставі аналізу числових розрахунків встановлено, що:

у випадку контактної взаємодії еліптичного штампа з півпростором за врахування сил тертя симетрія контактних напружень втрачається, область контакту зростає. Точки, в яких досягаються максимальні контактні напруження, зміщаються від центра в протилежному напрямку до дії горизонтальної сили;

при розрахунку контактних напружень під довільною системою плоских штампів у випадку, коли всі штампи, крім вибраного, заміняються дією зосереджених сил, за певних відстаней відбувається відставання штампів від основи. В той же час, за повним врахуванням форми штампів, при цих же відстанях та навантаженнях процес відставання відсутній;

отримані розв'язки задачі теорії пружності для шару на основі методу неоднорідних розв'язків збігаються з розв'язками прикладної теорії згину пластин типу Тимошенка в точках, які знаходяться на відстані порядку товщини пластини, причому вони дають значно вищу точність, ніж розв'язки, побудовані на основі гіпотези Кіргофа-Лява;

при врахуванні додаткового навантаження для кругових плоских штампів, що діють на плиту, яка лежить на жорсткій основі, область відставання більша, ніж для півпростору;

у випадку контактної взаємодії плити, що лежить на жорсткій основі, з штампом, що має форму вузького прямокутника, за зменшення відношення сторін контактні напруження зростають, і вони більші в порівнянні з півпростором. Для плити, нижня основа якої жорстко закріплена, контактні напруження більші, ніж для плити, що лежить на жорсткій основі без тертя. За врахування додаткового навантаження, що прикладене поза штампом, відставання штампа більше для плити, що лежить на жорсткій основі, ніж для півпростору;

під час розгляду контактної взаємодії штампа з товстою плитою, що лежить на опорах, заміна сферичної форми штампа на еквівалентну їй параболоїдальну форму є допустимою лише за малих навантажень. Для параболоїдального штампа за розглянутих значень головного вектора зусиль, що прикладений до штампа, область контакту є суцільною, в той же час для сферичного штампа в центральній частині області контакту може виникати відставання.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Маркова К. В. Розв'язок задачі теорії пружності для шару, навантаженого зосередженими силами, розподіленими на границі / К. В. Маркова // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур: в 2-х т.- Львів, 2000. - Т.1. - С.346 -350.

Максимович В. М. Ефективний розв'язок тривимірної задачі згину пружної пластини системою зосереджених сил / В. М. Максимович, К. В. Маркова, В.І. Шваб'юк // Системні технології. Математичні проблеми технічної механіки: Збірник наукових праць. Спец. вип. - Дніпропетровськ: Сист. тех., 2001. - С. 80-87.

Максимович В. М. Ефективний розв'язок задачі теорії пружності для шару, навантаженого зосередженими силами / В. М. Максимович, К. В. Маркова // Наукова конференція „Сучасні проблеми інженерної механіки” :Тези доповідей. - Луцьк. - 2000. - С.22.

Маркова К. В. Формула обернення перетворення Ґанкеля для одного класу функцій / К. В. Маркова // VIII наукова конференція ім. акад. М. Кравчука: Тези доповідей. - Київ. -2000.-С.149.

Маркова К. В. Точні та наближені розв'язки тривимірної задачі згину пружного шару при локалізованих навантаженнях / К. В. Маркова //Наукові нотатки ЛДТУ. - Луцьк, 2002. - № 10.- С. 136-140.

Маркова К.В. Дослідження контактної взаємодії гладких штампів з півпростором методами інтегральних рівнянь та нелінійного програмування / К.В. Маркова, В.М. Максимович // Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій. Випуск 5. -Львів: Каменяр, 2002. - С. 119-126.

Маркова К. В. Визначення тиску гладкого штампа на півпростір методами інтегральних рівнянь і квадратичного програмування. Плоска контактна задача / К. В. Маркова // Наукові нотатки. - Луцьк, травень 2007. -Вип. 20. - С. 285-288.

Маркова К. В. Дослідження контактних напружень під штампами складної форми з врахуванням відлипання. / К. В. Маркова // Матеріали конференції «Сучасні проблеми механіки та математики»: В 3-х т. - Львів, 2008. - Т.2. - С. 2.61-2.63.

Маркова К.В. Врахування відставання в контактній задачі для півпростору/ К.В. Маркова // Наукові нотатки. - Луцьк, лютий 2009. - Вип. 24. - С.385-394.

Мельник К.В. Визначення контактних напружень для системи штампів/ К.В. Мельник // Сільськогосподарські машини: Зб. наук. ст. - Луцьк, 2009. - Вип. 18. - С.285-293.

Мельник К.В. Дослідження процесу відставання штампу від основи для двошарового півпростору/ К.В. Мельник // Наукові нотатки. -Луцьк, червень 2009. -Вип. 25. - С. 158-160.

Мельник К.В. Дослідження контактних задач для шару методами квадратичного програмування / К.В. Мельник // Наукові нотатки. -Луцьк, 2010. - Вип. 27. - С. 225-229.

АНОТАЦІЯ

Мельник К.В. Взаємодія товстої плити із системою гладких штампів за невідомих областей контакту. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 Механіка деформівного твердого тіла. - Луцький національний технічний університет, Луцьк, 2010.

У роботі розроблено методику розрахунку контактних напружень у товстій плиті, що виникають під системою гладких штампів з наперед невідомими областями взаємодії, та її застосування для дослідження контактної міцності роликових підшипників. Контактні задачі досліджувалися на основі моделювання основи півпростором у випадку, коли область контакту мала в порівнянні з розмірами тіла, або шаром (плитою), що лежить на жорсткому півпросторі або системі дискретних опор в загальному випадку. В основу розробленої методики покладено підхід А. Сіньоріні зведення задачі з невідомими областями контакту до системи інтегральних рівнянь-нерівностей.

Побудовано методику розв'язування контактних задач для великої кількості штампів, що базується на методах послідовних наближень і квадратичного програмування. Проведено дослідження процесу відставання плоских штампів від основи, що виникає при дії додаткового навантаження, яке прикладене поза штампами.

Запропоновано підхід до зменшення максимальних контактних напружень під роликами різної форми за рахунок закруглення кінців ролика, що знайшло впровадження на підприємстві м. Луцька АО "СКФ Україна".

Записано і розв'язано інтегральне рівняння для визначення контактних напружень у товстій плиті, що лежить на системі точкових опор і навантажена штампом. Ядро інтегрального рівняння побудовано на основі фундаментального розв'язку задачі теорії пружності для шару, що перебуває під дією системи самозрівноважених зосереджених сил.

Ключові слова: контактні напруження, пружний півпростір, жорсткий штамп, товста плита, ролик, переміщення, квадратичне програмування.

АННОТАЦИЯ

Мельник К.В. Взаимодействие толстой плиты с системой гладких штампов при неизвестных областях контакта.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04.- Механика деформируемого твёрдого тела.- Луцький национальный технический университет, Луцк, 2010.

В работе разработана методика расчета контактных напряжений в толстой плите, которые возникают под системой гладких штампов с заранее неизвестными областями взаимодействия, и ее приложения к исследованию контактной прочности роликовых подшипников. Основа в контактной задаче моделировалась полупространством в случае, когда область контакта мала по сравнению с размерами тела или слоем (плитой), который лежит на жестком полупространстве или системе дискретных опор в общем случае. Эффективность этого метода показана на сопоставлении полученных результатов с известными аналитическими решениями или решениями, которые получены другими числовыми методами.

Построена методика решения контактных задач для большого числа штампов, которая основана на методах последовательных приближений и квадратичного программирования. Проведено исследование взаимного влияния штампов при изменении расстояния между ними.

Предложен подход к уменьшению максимальных контактных напряжений под роликами разной формы за счет округления концов ролика. Установлено, что контактные напряжения под цилиндрическим роликом во внутренних точках области контакта могут быть рассчитаны за формулой Герца для плоской контактной задачи. Данная методика нашла применение на предприятии АТ «СКФ Україна» г. Луцка.

Записано и решено интегральное уравнение для определения контактных напряжений в толстой плите, которая лежит на системе точечных опор и нагружена штампом. Ядро интегрального уравнения построено на основе фундаментального решения задачи теории упругости для слоя, который находится под действием системы уравновешенных сосредоточенных сил. Решение задачи теории упругости для слоя построено на основе метода интегральных превращений и метода Ващенко-Захарченко и записано в виде быстросходимых рядов или несобственных интегралов. Выполнено исследование влияния толщины плиты и размещения опор на контактные напряжения под штампом.

Ключевые слова: контактные напряжения, упругое полупространство, жесткий штамп, толстая плита, ролик, перемещение, квадратичное программирование.

ANNOTATION

Melnik K.V. Co-operating of thick plate is with the system of smooth stamps at the unknown areas of contact. - Manuscript.

The dissertation presented to acquire candidate degree in Engineering Sciences, speciality 01.02.04 - mechanics of the deformable solid.-Lutsk National Technical University, Lutsk, 2010.

The method of calculation contact tensions in the thick plate, which arises under the system of smooth stamps with unknown co-operation areas and its application for research on contact durability of the roller bearings. Contact tasks where researched on the basis of modeling half-space in the case when the area of contact hand a body sized tensity compared to the sizes or to the layer (to the plate) which lies on the hard half-space or the system of discrete supports in general case. In the basis of the developed method lies the approach of A.Signorini which consists of matching the task with the unknown areas of contact to the system of integral equations - inequalities.

The method of contact tasks is built on plenty of stamps, which are based on the method of progressive approximations and quadratic programming. The process of flat stamps non-sticking to the basis which appears under the influence of additional pressure, which is sticked out of stamps has bean investigated.

An approach to diminishing of maximal contact tension under the rollers of different form, due to rounding the ends of the roller has been offered and it was introduced at Lutsk enterprise JSC “SKF Ukraine”.

The integral equation is written and solved for determination of contact tensions in a thick plate which lied in the system of point supports and is loaded with a stamp. The kernel of integral equation is built on the basis of fundamental solving of the task in the theory of resiliency for a layer which is under the action of the system of the balanced concentrated forces.

Key words: contact tensions, resilient half-space, hard stamp, thick plate, roller, moving, quadratic programming.

Размещено на Allbest.ru