Моделирование деформирования композитов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Моделирование деформирования композитов



Введение

Наличие большого количества цементных заводов в Украине делает железобетон и его модификации одним из основных строительных материалов для гидротехнических сооружений.

Железобетон с частым регулярным расположением стальных стержней в двух или трех направлениях можно рассматривать как композитный армированный материал, обладающий анизотропией, т. е. зависимостью механических свойств от направления действия усилий, которая обусловлена армированием и нелинейностью деформирования, связанной с трещино-образованием, пластическими свойствами бетона и стали. В гидротехни-ческом строительстве чаще применяют сосредоточенное размещение арматуры в растянутой зоне, поэтому предметом дальнейшего изучения будут конструкции главным образом такого вида.

Композиционные материалы нашли широкое применение в различных отраслях современной техники. Дальнейший прогресс в развитии многих направлений строительства в большой степени связан с увеличением доли использования таких материалов, а при создании новой и специальной техники их роль становится решающей. Требования оптимального проек-тирования, сокращения времени и материальных затрат на эксперимен-тальную отработку определили значительный интерес к совершенствованию методов прогнозирования деформационных и прочностных свойств композитов.

С другой стороны, развитие механики деформируемого твердого тела идет по пути усложнения исследуемых моделей и постановок задач. Исходя из модельных представлений механики, композиционный материал можно определить как неоднородную среду, описываемую с помощью разрывных по координатам быстроосциллирующих материальных функций, которые, как правило, считаются либо периодическими, либо случайными одно-родными. Необходимость разработки методов решения дифференциальных уравнений с такими коэффициентами привела к появлению относительно новой области математических исследований - теории осреднения дифференциальных операторов с частными производными, позволяющей получить решение исходной задачи с помощью более простых дифферен-циальных уравнений, называемых осредненными.

Проблема вычисления коэффициентов осредненных уравнений, известная в механике композитов как проблема прогнозирования эффективных характеристик, является одной из центральных, поскольку открывает воз-можность синтеза материалов с заранее заданным комплексом свойств, наилучшим образом соответствующих конкретным условиям эксплуатации. Каждой неоднородной среде ставится, таким образом, в соответствие некоторая анизотропная среда с эффективными свойствами, для которой удобно проводить расчеты конструкций и деталей из композиционных материалов с использованием известных математических методов механики деформируемого твердого тела.

В то же время, исследование механического поведения элементов структуры с учетом концентрации неоднородных в пределах каждого из них полей напряжений и деформаций позволяет не только непосредственно определять эффективные свойства, но и дает обширную информацию о характере и особенностях деформирования и разрушения материалов в зависимости от реальной структуры композитов и их компонентов.

В работе было уделено особое внимание анализу результатов теоретических и экспериментальных исследований диссипативных процессов неупругого деформирования и разрушения анизотропных структурно-неоднородных тел. Большое внимание уделено изучению закономерностей закритической стадии деформирования, при реализации которой материал теряет свою несущую способность не сразу, а постепенно, что отражается на диаграмме деформирования в виде ниспадающей ветви.

Данное механическое явление (известное ранее) обнаружено при решении задач механики упругопластического деформирования композиционных материалов с учетом структурного разрушения.

Однако стремление к адекватному описанию поведения конструкций и опти-мальному с позиций сопротивления разрушению проектированию структуры создаваемых композиционных материалов привело к необходимости более раннего учета стадии разупрочнения (на этапе постановки задачи) в опреде-ляющих соотношениях и изучения условий закритического деформирования элементов структуры в составе композита.

В работе рассмотрен подход, в рамках которого разрушение неоднородных тел рассматривается как результат потери устойчивости процессов дефор-мирования на закритической стадии, сопровождающихся структурным разрушением. Новые математические модели позволяют естественным образом описывать стадии дисперсного накопления повреждений, локали-зации разрушения, а также слияния разрушенных зон с учетом пластических деформаций в неоднородных анизотропных средах с помощью специальных функций состояния материала, переход к нестабильной стадии моделировать с помощью критериев устойчивости накопления повреждений, а энергети-ческие соотношения механики разрушения записывать с использованием параметров ниспадающих ветвей полных диаграмм деформирования. В работе исследуется понятие нагружающей системы и ее влияние на устой-чивость диссипативных процессов. Дано изложение некоторых вопросов тео-рии устойчивой закритической деформации. Традиционная для механики композитов проблема осреднения рассмотрена в новых аспектах, связанных с расширением физической базы используемых математических моделей.



1. Моделирование деформирования и разрушения композиционных материалов

Методы прогнозирования эффективных упругих свойств современных композитов достаточно хорошо разработаны. Достигнутые в линейной тео-рии упругости результаты по прогнозированию эффективных свойств и сопутствующие им результаты по определению полей микронапряжений и микродеформаций являются хорошей базой для исследования упругоплас-тических и прочностных свойств микронеоднородных материалов. Стрем-ление к более полному использованию несущей способности ответственных конструкций неизбежно приводит к необходимости всесторонних исследо-ваний, предшествующих построению комплексных моделей деформирования и разрушения реальных материалов при сложном напряженном состоянии и нелинейных свойствах элементов структуры.

1.1 Неупругое деформирование композитов и его структурное разрушения

Механические микро- и макроскопические процессы в неоднородных мате-риалах достаточно подробно изучались в рамках детерминированных и статистических моделей механики композитов. Преимущество статис-тических моделей состоит в том, что они естественным образом учитывают такой важный фактор реальной структуры композитов, как случайность взаимного расположения элементов и статистический разброс их свойств. Однако в статистической механике композитов до сих пор остается открытым вопрос о более полном, по сравнению с одноточечными приближениями, учете многочастичного взаимодействия компонентов. Поэ-тому в подавляющем большинстве работ в этом направлении анализ напряженно-деформированного состояния композитов ограничивается вычислением осредненных по компонентам полей деформирования. Вычисление и других статистических характеристик полей деформирования для случаев неизотропного и комбинированного нагружения, а также построение решений нелинейных краевых задач для процессов накопления пластических деформаций и повреждений в компонентах композитов с учетом неоднородности полей деформирования приобретает особо важное значение в задачах прогнозирования прочностных свойств.

Характерно, что свойства композиционных материалов могут принци-пиально отличаться от свойств составляющих компонентов. Например, отсутствие пластических изменений объема структурных элементов может сопровождаться пластическим изменением объема композита, из идеально пластических компонентов может быть создан упрочняющийся материал, из слабо упрочняющихся компонентов - сильно упрочняющийся и т.д. Это говорит о сложности и разнообразии рассматриваемого явления, теоретическое описание которого требует разработки специальных подходов и математических моделей.

физическое явление упруго-пластического поведения композиционных материалов и, главное, необходимость его исследования были обнаружены задолго до создания соответствующей математической теории. Поэтому многие исследователи в середине шестидесятых годов обратились к анализу поведения материалов при помощи простых моделей. Модель в виде набора параллельных составных элементов использовалась для приближенного описания неупругого деформирования однонаправленного композита при растяжении поперек волокон. Некоторые ученые использовали модель коаксиальных цилиндров, предполагая простейшее напряженное состояние материала матрицы. Применялась аппроксимация реального материала бесконечной средой с расположенным в ней единственным армирующим элементом. Многие методики, применяемые до сих пор, основаны на использовании правила смеси, согласно которому делается предположение об однородности либо поля напряжений, либо поля деформаций. Различные модификации этого правила позволяют добиваться согласия с экспериментальными данными.

К настоящему времени благодаря использованию численных методов механики деформируемого твердого тела и некоторых новых подходов, разработанных непосредственно для структурно-неоднородных тел, получены решения ряда задач неупругого деформирования с учетом сложного характера распределения напряжений и деформаций в структурных элементах. Композиционные материалы, рассматриваемые как однородные с эффективными свойствами, в зависимости от структуры могут быть как изотроп-ными, так и анизотропными, даже если они состоят только из изотропных компонентов. При постановке задач определения эффективных характеристик анизотропных композиционных материалов возникает необходимость выбора теории пластичности анизотропного тела, позволяющей адекватно описать поведение эквивалентной однородной среды.

Предложены различные много вариантов деформационной теории пластичности и теории течения. Большое внимание уделено определению количества и структуры независимых инвариантов заданной совокупности тензоров. Рассматриваемый вопрос представляется весьма важным для механики композитов, однако, крайне ограниченное число работ по экспериментальному исследованию закономерностей деформирования анизотропных материалов в условиях сложного напряженного состояния не позволяет в полной мере оценить достоверность и общность того или иного варианта теории пластичности анизотропных сред.

Исследование упругопластического поведения анизотропных композитов, таких как волокнистые однонаправленные и пространственно армированные, слоистые с однородными и неоднородными слоями, является довольно сложной проблемой. Решение задач механики композитов для этих материалов осуществляется преимущественно в некоторых наиболее простых случаях напряженного состояния, что, безусловно, является определенным научным достижением. Однако, такие решения, обычно, не позволяют построить все материальные функции, описывающие поведение композита при произвольном сложном напряженно-деформированном состоянии в рамках выбранной теории пластичности анизотропного тела.

Неупругое деформирование слоистых композитов при одноосном растяже-нии вдоль слоев исследовано при растяжении поперек слоев. рассмотрено поведение композита в плоском напряженном состоянии, когда усилия, растягивающие в двух направлениях, лежат в плоскости, параллельной слоям. Следует отметить, что значительная часть результатов получена без учета межслойных взаимодействий. Понятно, такое упрощение в некоторых случаях может оказаться слишком грубым. Это подтверждается тем, что разрушение слоистых конструкций часто происходит путем расслоения.

Нелинейный характер зависимости между напряжениями и деформациями композиционных материалов может являться следствием не только плас-тического деформирования и иметь место даже в случае линейно упругих компонентов. Это обусловлено тем, что полному (макроскопическому) разрушению изделий из композитов предшествует сложный процесс разрушения отдельных элементов структуры. Изучение этого процесса важно не только для анализа условий образования макроскопической трещины, но и для исследования поведения материала под нагрузкой.

Каждый акт структурного разрушения сопровождается перераспределением напряжений в элементах композита, приводящим либо к продолжению, либо к прекращению разрушения при данном уровне внешней нагрузки.

Построение моделей неупругого деформирования композиционных материалов с учетом этих процессов выдвигает в качестве основных вопросы выбора критериев структурного разрушения и описания остаточных деформацион-ных и прочностных свойств элементов неоднородной среды после выполнения тех или иных условий их разрушения. Важное значение при этом имеет тот факт, что элемент структуры композита может быть разрушен по различным механизмам. Например, в случае армированного монослоя возможно растрескивание или отслоение матрицы, расщепление, разрывы или выдергивание волокон и т.д. Эти и другие механизмы изменения несущей способности структурного элемента отождествляются с той или иной схемой изменения его жесткостных свойств.

Как уже было отмечено, при исследовании композиционных материалов возникает необходимость привлечения вероятностных представлений и аппарата теории случайных функций, обусловленная случайным характером свойств, взаимного расположения элементов структуры и, как следствие, стохастическим процессом их разрушения.

Таким образом, в числе других проблем механики композиционных материалов актуальными являются развитие нелинейных моделей поведения композитов с учетом разрушения элементов структуры и разработка методов решения задач неупругого деформирования для различных случаев сложного напряженно-деформированного состояния.

1.2 Феноменологические модели механики разрушения

Различают два подхода к построению теорий в естественных и прикладных науках - феноменологический и структурный. Феноменологические модели строятся на основе эмпирических данных о поведении объекта. При этом не ставится задача объяснения или полного описания существа явлений. Структурный подход состоит в разработке моделей, которые позволяют описать и объяснить явления, исходя из внутренней структуры рассматриваемых объектов. Эти подходы тесно связаны между собой и должны взаимно обогащать друг друга. Построение нелинейных моделей поведения среды с эффективными свойствами для описания деформирования композита, сопровождаемого разрушением элементов структуры, соответствует методологии феноменологического описания.

Необходимость и полезность феноменологических теорий была обоснована В.В. Новожиловым. При этом допустимо установление различных уровней феноменологического описания. Например, накопление повреждений может моделироваться на основе рассмотрения в сплошной среде системы дисковых трещин или пор. Л.М. Качановым и Ю.Н. Работновым введен параметр поврежденности (или противоположный - сплошности), определяемый площадью трещин, приходящихся на единицу площади поперечного сечения тела. В то же время, этот параметр может и не отождествляться с какой-либо характеристикой конкретных дефектов и повреждений, если он входит в соотношения, связывающие осредненные величины. Это естественно, когда при определении материальных функций модели можно обойтись без прямых микроструктурных исследований, например, измерения площади разрывов.

Феноменологический подход к моделированию поврежденности материалов состоит в описании образования внутренних разрывов при помощи некото-рых функций состояния материала. Эта идея нашла отражение в известных работах А.А. Ильюшина, В.В. Болотина, В.П. Тамужа и А.Ж. Лагэдиньша. Она получила развитие благодаря усилиям многих других исследователей и явилась основой создания механики поврежденной сплошной среды, в рамках которой повреждение материала определяется как любое микроструктурное изменение, приводящее к какому-либо изменению механических свойств.

В настоящее время известно значительное количество скалярных и тензор-ных характеристик поврежденности. Обоснованы основные положения трехмерной теории анизотропной поврежденности и соответствующие тензорных моделей.

Процесс разрушения структурно-неоднородных сред носит многостадийный характер. Наиболее выражена стадия объемного, или рассеянного, разруше-ния, которая связана с объемным накоплением стабильных микротрещин и при достижении пороговой концентрации переходит через укрупнение и слияние на следующий масштабный уровень. Кроме того, показано, что эффективные деформационные характеристики зависят от радиуса корреля-ции случайного множества дефектов. Естественно предположить, что характер взаимодействия микроповреждений определяет также условия макроразрушения неоднородной среды и, следовательно, ее прочностные свойства.

Многоуровневый характер формирования реакции материала внешнему механическому воздействию предопределяет возможность многоуровневого феноменологического описания. Каждый структурный уровень связан с некоторой системой элементов неоднородности (естественных или вызванных поврежденностью). Анализ введенных на структурном уровне напряжений и деформаций как осредненных величин служит средством исследования механического поведения материала в рамках соответствую-щего уровня феноменологии. Двухуровневое рассмотрение процессов деформирования и разрушения положено в основу классификации Давиденкова-Фридмана и структурно-феноменологического подхода в механике композитов.

Проблема описания перехода от микро- к макроразрушению является очень важной для механики композитов. При этом существует много различных исходных предпосылок и методов оценки прочности с позиций структурной механики. В настоящей работе развивается подход, согласно которому макроразрушение рассматривается как результат потери устойчивости сопряженного с накоплением повреждений процесса деформирования. Процесс нагружения упругопластической системы становится неустой-чивым, если сколь угодно малому продолжению этого процесса соответ-ствует катастрофическое развитие перемещений и деформаций. Решающая роль особого рода нелинейности (ниспадающей ветви на диаграмме дефор-мирования) в вопросах устойчивости, связанных с проблемой разрушения, была отмечена в работе А.А. Ильюшина. Все физические процессы, протекающие в материале при нагружении, отражены на полных диаграммах деформирования, причем ниспадающие участки этих диаграмм соответствуют отдельным стадиям разрушения.

Возможность появления ниспадающего участка на диаграмме вследствие процесса трещинообразования и повреждения отмечена в С.Д. Волковым. Такой характер поведения материала на заключительной стадии деформи-рования материала во многих случаях ассоциируется с формированием или развитием макродефекта. В связи с этим, наряду с явным описанием трещины в деформируемом теле, представляется перспективным феноменологическое направление механики разрушения, описывающее поведение материала на стадии формирования и роста макротрещины. Начало этому направлению положено С.Д. Волковым. Использование данного подхода связано с предположением, что механическое поведение сколь угодно малого объема материала при наличии разрывов, соизмеримых с его размерами, аналогично поведению макрообразца на заключительной стадии деформирования. Это в определенной степени отражает автомо-дельность процесса разрушения.

Согласно гипотезе макрофизической определимости А.А. Ильюшина, каждой точке среды может быть поставлен в соответствие макрообразец в виде тела конечных размеров, находящийся в однородном напряженно-деформирован-ном состоянии и на котором могут быть в принципе изучены все процессы, протекающие в изображаемой точке среды.

Указанное соответствие может быть установлено следующим образом: перемещения границ рабочей зоны воображаемого идеального однородного образца иэ материала, заполняющего элементарный деформируемый объем, в условиях однородного напряженного состояния при одинаковых нагрузках должны совпадать с перемещениями границ рабочей зоны экспери-ментального образца на всех стадиях деформирования, включая стадию формирования и роста макротрещины. На основе этих предположений могут быть использованы принятые в механике деформируемого твердого тела феноменологические уравнения и критерии.

Существует определенная аналогия и общность между подходами механики распространения трещин и феноменологической механикой разрушения. В частности, в рамках первой теории рассматриваются докритические диаграммы разрушения, представляющие собой зависимости между средним растягивающим напряжением в неповрежденном сечении образца и длиной трещины при различных ее начальных значениях. Геометрическое место критических (соответствующих динамическому росту трещин) точек индивидуальных кривых называется критической диаграммой разрушения. Естественно, что при испытаниях гладких образцов критическая точка соответствует пределу прочности.

Не рассматривая явным образом трещины и разрывы и описывая поведение материала с использованием ниспадающей ветви диаграммы деформи-рования, можно сделать вывод, что она по сути представляет собой также критическую диаграмму, поскольку является геометрическим местом крити-ческих точек для образцов с различной степенью поврежденности, получа-емых в результате равновесного деформирования до той или иной степени и последующей упругой разгрузки.

При описании докритического роста дефекта используется также подход Дж. Р. Ирвина, состоящий в рассмотрении зависимости работы разрушения R от длины трещины как характеристики сопротивления росту трещины. Если в рамках феноменологического подхода под работой разрушения понимать диссипацию энергии, связанную с процессом накопления повреждений, то она может быть вычислена с использованием диаграммы дефор-мирования на любом интервале деформаций. Получаемая таким образом графическая зависимость работы разрушения от деформации носит характер, аналогичный известным в механике разрушения R-кривым.

Феноменологический подход дает возможность не сталкиваться с проб-лемами моделирования сложной геометрии реальных трещин и разрывов в поврежденных структурно-неоднородных средах и определения площади поверхности разрушения, что осложняется ее неограниченным возрастанием по мере более детального рассмотрения. В то же время, он позволяет описы-вать все этапы повреждения, включая переход к нестабильной стадии, функциями состояния материала и использовать при этом энергетические соотношения механики разрушения и полные диаграммы деформирования материала.

1.3 Закритическая стадия деформирования материалов

Закритическое деформирование структурно-неоднородных сред, подвержен-ных деструкции различной природы при механическом воздействии, является одним из важных механических процессов, требующих проведения специальных исследований. Критическое напряженно-деформированное состояние соответствует моменту достижения максимальных для данного материала в данных условиях значений напряжений, а закритическая стадия характеризуется снижением уровня напряжений при прогрессирующих деформациях. Отмеченная особенность механического поведения свойственна металлам, причем как для связи условных, так и истинных напряжений и деформаций, геологическим, керамическим, полимерным и композиционным], а также другим материалам.

Материал на закритической стадии деформирования не удовлетворяет постулату Друккера и классифицируется как реологически неустойчивый. Однако многие реальные материалы адекватно описываются именно моделями реологически неустойчивых материалов. При этом в замену требования реологической устойчивости выдвигается принцип устойчивости для тела в целом: состояние материала является реализуемым, если в этом состоянии он находится в составе устойчивой механической системы

Усовершенствование моделей материала с целью описания накопления повреждений на закритической стадии деформирования является важной задачей механики композитов. Уточненный расчет конструкций с исполь-зованием полных диаграмм требует, кроме того, развития методов решения краевых задач с учетом разупрочнения материала и получения условий устойчивости закритического деформирования в ослабленных зонах.

Естественно, что это должно базироваться на эффективных экспериментальных методах построения равновесных диаграмм деформирования.

теоретически обоснована осуществимость состояний материала, соответствующих ниспадающей ветви диаграммы деформирования. На основе теорем Адамара и Ван Хофа, дающих локальные необходимые и достаточные условия устойчивости для упругих тел, и их обобщений на случай упругопластических тел показано, что даже при наличии "падающей" диаграммы тело, закрепленное на границе с достаточной (даже не обязательно очень большой) жесткостью, может быть устойчиво. Нет принципиальных препятствий к регистрации таких состояний в эксперименте, в частности, при одноосном растяжении или сдвиговом (в девиаторном смысле) деформировании, и интерпретации соответствующих экспериментальных данных в терминах присущего материалу свойства разупрочнения.

Экспериментально подтверждено, что сопротивление разрушению определя-ется не только прочностными постоянными материала, но и зависит от жесткости нагружающей системы, в которую входят нагружающее устройство (испытательная машина, передающие нагрузки силовые и кинематические элементы конструкций, рабочие жидкость и газ) и само деформируемое тело, окружающее область повреждения. При "мягком" нагружении, когда к находящемуся в однородном напряженном состоянии телу прикладываются не зависящие от его сопротивления силы, разрушение происходит при достижении максимальных напряжений.

В другом предельном случае, когда обеспечиваются заданные перемещения точек границы ("жесткое" нагружение), а также при конечной, как уже было отмечено, но достаточной жесткости нагружающей системы, возможно равновесное протекание процесса накопления повреждений, что и находит свое отражение на диаграмме деформирования в виде ниспадающей ветви.

В зависимости от условий нагружения каждая точка на ниспадающей ветви диаграммы деформирования может соответствовать моменту разрушения. Деформирование данного рода осуществимо лишь для локального объекта в составе механической системы с необходимыми свойствами. В противном случае происходит неравновесное накопление повреждений и макроразрушение как результат потери устойчивости процесса деформиро-вания на закритической стадии. В области разупрочнения возможно также возникновение локализации деформации в виде полос сдвига. Ниспадающая ветвь наблюдается тогда, когда есть механизмы и условия постепенной диссипации упругой энергии. Таким образом, рассматриваемые состояния материала можно назвать условно реализуемыми.

Возможно, для иллюстрации уместно использовать несколько отвлеченную аналогию. Деформирование разупрочняющейся среды устойчиво примерно в той же мере, в какой устойчива более или менее вязкая жидкость в некотором сосуде. Потеря устойчивости происходит, если стенки сосуда не обладают достаточной жесткостью. В данном случае роль сосуда аналогична роли нагружающей системы. Основная трудность при экспериментальном построении полных диаграмм состоит в создании достаточной жесткости системы нагружения элемента материала. С этой целью разработаны устрой-ства для увеличения жесткости стандартных машин, специальные образцы, а также испытательные машины с быстродействующей обратной связью.

Ниспадающая ветвь графика деформационной зависимости при испытаниях металлических образцов является отражением, большей частью, равновес-ного прорастания магистральной трещины. В отдельных случаях это справедливо и для композитов. Вместе с тем, если прочностные и деформационные свойства элементов структуры неоднородной среды существенно отличаются, что характерно для большинства композиционных материалов, то формирования выраженной макротрещины может не происходить. Однако развитое дискретное рассеянное разрушение слабых элементов и в этом случае приводит к спаду на диаграмме. Хаотичность включений обеспечивает последовательность возникновения зон разрушения в отдаленных друг от друга частях неоднородной среды, что создает прегра-ду для локализации деформаций и позволяет с использованием вероятност-ных подходов определять связи между средним напряжением и средней деформацией. Определенная структурная неоднородность обеспечивает преимущественный вид деформации, отличный от локализованного. В частности, для тел волокнистой структуры ниспадающий участок диаграммы возникает в результате последовательного обрыва неравнопрочных волокон. Характер процесса разрушения неоднородных сред существенно зависит от хаотичности в расположении и степени разброса свойств элементов структуры, поэтому статистические характеристики прочности этих элементов во многом предопределяют параметры ниспадающей ветви, в частности, ее наклон, который отражает склонность материала к хрупкому разрушению.

Связь вида ниспадающих участков диаграммы с микромеханизмами и стадиями разрушения отмечена в работах. С.Д. Волковым высказана идея, что характер распределения напряжений в вершине трещины в принципе повторяет ниспадающий участок кривой на полной диаграмме деформирования материала, полученной при испытании гладкого образца. Проблема сингулярности задачи при этом решается автоматически вследствие убывания до нуля сопротивления материала в особой точке (вершина трещины), где деформация максимальна и равна предельной для полностью равновесного состояния. Жесткость нагружающей системы для элемента материала у вершины трещины может быть конечной и достаточной для устойчивой закритической деформации в этой зоне, чем и объясняется возможность существования равновесных трещин.

Существует связь диаграммы деформирования с энергоемкостью процесса разрушения. Площадь под ниспадающей ветвью полной диаграмм-мы определяет, вместе с тем, и работоспособность материала на стадии формирования макротрещины. С.Д. Волков предположил связь этой вели-чины с характеристиками трещиностойкости материалов. К настоящему времени А.А. Лебедевым и Н.Г. Чаусовым разработан и экспериментально обоснован экспресс-метод оценки трещиностойкости пластичных материалов по параметрам ниспадающих участков полных диаграмм деформирования.

Необходимо учитывать тесную связь податливости нагружающей системы с кинетикой и локальностью процесса разрушения. Например, в инженерной практике отмечено существенное отличие в характерах разрушения гидравлических и пневматических сосудов давления и трубопроводов. С точки же зрения традиционных постановок краевых задач эти случаи эквивалентны. В связи с этим, граничные условия, не учитывающие изменений внешних нагрузок, связанных с изменением конфигурации тела в процессе деформирования и повреждения, не вполне соответствуют реальным условиям работы элементов конструкций и производимых испытаний.

С этой точки зрения для более адекватного описания процессов деформирования, накопления повреждений и разрушения целесообразным является использование граничных условий третьего рода, позволяющих расширить физическую базу имеющихся моделей механики структурно-неоднородных сред, уточнить прочностные оценки, определить резервы несущей способности и прогнозировать катастрофичность разрушения конструкций.

Многие авторы отмечают привлекательность реализации закритической стадии деформирования в элементах конструкций или сооружений, что приводит к использованию их прочностных резервов и повышению их безопасности. Полнота реализации несущей способности материала опреде-ляется степенью закритической деформации. Кроме того, следует отметить важность практически не исследованной ранее задачи определения условий устойчивого закритического деформирования элементов структуры в составе композиционного материала как базы для создания материалов с повышен-ными механическими характеристиками.

Оптимальное (с точки зрения протекания процессов повреждения в равновесном режиме) проектирование требует математического описания закритического деформирования, Которое не сводится лишь к аппроксима-ции диаграмм, имеющих ниспадающие участки. Не потеряли актуальность вопросы обоснования континуальных моделей разупрочняющихся сред и определения области их применимости. Возникает ряд математических проб-лем, связанных, в первую очередь, с анализом устойчивости процесса деформирования, единственности решения краевой задачи и возможной сменой типа дифференциальных уравнений, а также необходимостью учета свойств нагружающей системы, разработкой определяющих соотношений (даже для изотропных материалов), развитием численных методов и созданием эффективных итерационных процедур решения такого рода нелинейных задач.



2. Структурно-феноменологическая модель механики микронеоднородных сред

В предыдущем разделе отмечено существование двух подходов к построению моделей механики - феноменологического и структурного. В работах ряда ученых получил распространение подход, развиваемый применительно к механике композитов и названный структурно-феноменологическим. Он заключается в том, что общепринятые в механике деформируемого твердого тела феноменологические уравнения и критерии рассматриваются на нескольких, в частности - двух уровнях: микроскопическом (структурном), связанном с элементами структуры композита, и макроскопическом, отражающем поведение композиционного материала как однородного с эффективными свойствами. Связь между физическими величинами, установленная в рамках указанного подхода, определяет структурно-феноменологическую модель. В этом разделе сформулированы основные положения предпринятого в данной работе теоретического исследования деформирования и разрушения компо-зиционных материалов при квазистатических нагрузках в рамках подхода, связанного с постановкой и решением иерархической последовательности краевых задач. Привлечение вероятностных представлений и аппарата теории случайных функций позволяет изучать модели, одновременно учитывающие случайный характер свойств и взаимного расположения элементов структуры.

2.1 Модели случайной и периодической кусочно-однородных сред

При математическом моделировании процессов деформирования и разруше-ния композитов актуальным является развитие исследований, в которых материал рассматривается как микронеоднородная среда.

Пусть область V с границей S содержит в себе множество непересекающихся областей щk , ограниченных поверхностями Sk. Для двухкомпонентных композитов часть V1=Ущk области заполнена однородным в пределах щk материалом со свойствами (первая фаза), а оставшаяся часть области V2= = V - V1 - однородным материалом со свойствами . Многосвязная повер-хность S12=УSk есть межфазная поверхность, разделяющая структурные элементы композита. Часть S(1) поверхности S проходит через первую фазу, а другая часть S(2) = S - S(1) - через вторую.

Бели известна полная информация о характере взаимного расположения областей щk и заданы феноменологические модели фаз, то говорят, что пост-роена модель кусочно-однородной (композиционной) среды.

Примем следующее определение. Подобласть Vl с характерным размером l называется представительным объемом области V (с характерным размером L >> l) для непрерывной всюду внутри фаз V1 и V2 функции g(r), если существует и ограничена осредненная величина

(2.1)

и если для любого положительного сколь угодно малого числа д найдется такое положительное число г, зависящее только от д, что

(2.2)

Очевидно, для того чтобы данное определение было справедливо, а предста-вительный объем Vl на физическом уровне строгости имел смысл элемен-тарного макрообъема микронеоднородной среды, необходимо принять, что

L >> l >>lщ (где lщ - характерный размер областей щk). При выполнении условия (2.2) можно пренебречь влиянием масштаба осреднения на значение осредняемой величины.

Модель механики микронеоднородной среды, рассматриваемая в дальней-шем для композитов, основана на допущении, что характерный размер lщ областей щk много больше молекулярно-кинетических размеров и много меньше расстояний, на которых существенно меняются осредненные или макроскопические величины. Тогда для структурных элементов остаются справедливыми феноменологические уравнения и соотношения механики, т.е. элементарным микрообъемам dV, составляющим элементы структуры композитов и имеющим размер dl (dl<<lщ,dl/lщ~l/L), приписываются свой-ства, экспериментально определяемые на образцах из материала фаз.

Это допущение представляет возможность, с одной стороны, выделить исследования поведения единичных неоднородностей и процессов около них (для материала в целом это микропроцессы), проводя их независимо с помощью моделей и методов механики деформируемого твердого тела. С другой стороны, позволяет описывать макроскопические процессы в среде как однородной, при этом результаты исследования микропроцессов будут использованы в континуальных уравнениях с помощью некоторых осредненных параметров, отражающих, в частности, взаимодействие элементов структуры.

Пусть для каждого из компонентов композита, заполняющего объем V, тензоры напряжений и деформаций связаны с помощью операторов

(2.3)

где - материальные функции определяющих уравнений i-го компо-нента (фазы). Под компонентом композиционного материала будем понимать совокупность всех элементов структуры с одинаковыми физико-механическими свойствами.

Введем индикаторные функции структуры композита

(2.4)

где Vi- область, занимаемая i-м компонентом, f - число компонентов композита. Построим кусочно-непрерывные функции структурных свойств

(2.5)

Теперь определяющие соотношения микронеоднородной среды

(2.6)

представлены как уравнения с быстроосциллирующими коэффициентами. При этом один из общих случаев представляет собой модель композита со случайной структурой, когда есть случайные однородные функции, a содержат случайные величины, т.е. учитывается статистический разброс свойств структурных элементов. Для случайных индикаторных функций должны быть известны совокупности одно- и многоточечных плотностей вероятностей или моментных функций , инвариантных относительно параллельного переноса системы координат:

где r' - произвольный радиус-вектор.

Связь между моментными функциями и плотностями вероятностей имеет вид

В частном случае при б = 1 приходим к понятию оператора осреднения случайных полей, который при выполнении условий статистической однородности и эргодичности эквивалентен оператору статистического осреднения. Для математического ожидания функций имеем

(2.7)

и, заменяя несобственный интеграл в (2.7) интегралом по элементарному макрообъему Vl при равномерных плотностях , удовлетворяющих условию нормирования ?Vldr = 1, получим

(2.8)

Аналогичным образом осуществляется переход для вычисления моментных функций высших порядков случайных однородных полей. Для композитов с периодической структурой индикаторные функции являются периоди-ческими

=,

где b - постоянный вектор трансляции, п - произвольные целые числа.

Периодическая структура композитов может рассматриваться как возможная реализация случайной однородной структуры.

2.2 Краевые задачи механики композитов

Пусть напряжения в области V в отсутствие массовых сил удовлетворяют уравнениям равновесия

уij,j = 0. (2.9)

а малые деформации связаны с перемещениями соотношениями Коши

еi,j = (ui,j + uj,i). (2.10)

В определяющих соотношениях (2.6) для композиционного материала, заполняющего область V, материальные функции akl(r) образуют в соответ-ствии с (2.5) случайные однородные поля, статистические характеристики которых считаем известными.

Допустим, что на части S(q) поверхности S области V заданы линейные граничные условия контактного типа:

(2.11)

где , - некоторые положительно определенные тензоры, пi - век-тор единичной нормали к поверхности S, - вектор контактных усилий.

Из условий (2.11), как частные случаи, вытекают граничные условия для области V в напряжениях, в перемещениях (при Ni = kui°, когда k - размерная постоянная, ui° - заданный на границе вектор перемещений) и смешанного типа.

Уравнения (2.9), (2.6) и (2.10) совместно с граничными условиями (2.11) составляют краевую задачу для области V.

Соответственно, квазистатическая краевая задача в перемещениях заключа-ется в решении уравнений, полученных последовательной подстановкой (2.10), (2.6) в (2.9), вида

(2.12)

при удовлетворении граничным условиям

(2.13)

При решении краевой задачи (2.12), (2.13) для композитов в силу разрывно-сти материальных функций бi,j(r) оператора F необходимо разыскивать так называемое обобщенное решение.

Умножим уравнение (2.12) на произвольную достаточно гладкую функцию wi(r) и воспользуемся формулой интегрирования по частям:

Граничные условия (2.13) преобразуем, умножив их левую и правую части на тензор t(q), обратный тензору c(q), т.е. такой, что :

Тогда под обобщенным решением краевой задачи (2.12), (2.13) будем понимать такое непрерывное векторное поле и(r), которое удовлетворяет тождеству

(2.14)

при произвольных вектор-функциях w(r).

Для композиционного материала можно дать и эквивалентное понятие обобщенного решения. Соответствующую задачу надо решить внутри каж-дого структурного элемента области V, материальные функции aij определяющих соотношений (2.6) которых непрерывны (т.е. отыскать классическое решение), а на межфазной поверхности S12 выполнить условия идеального контакта:

В дальнейшем, говоря о решении краевых задач для композитов, будем понимать построение именно обобщенных решений.

Для моделирования процессов разрушения структурных элементов компози-тов предположим, что при выполнении условия

(2.15)

где P(i), - соответственно оператор критерия прочности и прочностные характеристики i-гo компонента, в некоторой точке области V происходит частичная или полная потеря способности материала сопротивляться действию внутренних усилий, что находит свое отражение в изменении определяющих соотношений вида (2.3) для данной точки.

Непосредственно получить решение краевых задач механики дефор-мирования и разрушения для систем уравнений (2.9), (2.6), (2.10) или (2.12) с учетом условия (2.15) обычно не удается, поскольку эти решения, как и коэффициенты уравнений являются быстро осциллирующими функциями координат. Поэтому широкое распространение получил подход, когда систе-ме уравнений структурно-феноменологической модели ставится в соответ-ствие система уравнений для осредненных напряжений, деформаций и перемещений, которые называют макроскопическими.

Например, в краевой задаче для упругих композитов вида

(2.16)

перейти к осредненным величинам можно следующим образом.

Пусть коэффициенты уравнений (2.16) являются быстроосциллирующими (случайными однородными или периодическими) кусочно-однородными функциями, причем во всех точках области V выполняется условие равномерной эллиптичности:

где k0, K0 - положительные скалярные величины.

Тогда решение краевой задачи (2.16) существует и единственно. Асимптоти-ческое разложение этого решения по малому параметру

(2.17)

таково, что первое слагаемое ряда (2.17) является решением краевой задачи

(2.18)

причем оператор краевой задачи (2.18) является равномерно эллиптическим

(2.19)

Из разложения (2.17), а также в силу существования и единственности реше-ния краевой задачи (2.18) следует

(2.20)

Условие сходимости (2.20), в которых величины ui*(r)имеют смысл осред-ненных (или макроскопических) перемещений в нормах различных прост-ранств для случайных однородных, квазипериодических и периодических операторов показано в работах различных авторов.

В механике микронеоднородных сред от полей уравнений (2.6), (2.9), (2.10), называемых полями микро- или структурных перемещений, деформаций и напряжений, можно перейти к осредненным полям, используя понятие злементарного макрообъема Vl.

Напряженное состояние элементарных макрообъемов характеризуют тензо-ром макронапряжений с компонентами , а деформированное состояние - тензором макродеформаций с компонентами . Сопротивление элементар-ных макрообъемов деформированию определяет связь макронапряжений и макродеформаций:

(2.21)

Если оператор - инвариантен относительно параллельного переноса координат, то микронеоднородная среда является макрооднородной. Усло-вию макрооднородности удовлетворяют, в частности, среды, материальные функции которых являются либо случайными однородными либо перио-дическими.

Для микронеоднородной области V со случайной структурой среды в крае-вых задачах с граничными условиями частного вида в перемещениях

(2.22)

или в напряжениях

(2.23)

где , - симметричные тензоры-константы, поля деформаций еij(r) и напряжений уij(r) являются случайными однородными (а для сред с перио-дической структурой - периодическими) всюду, за исключением малой окрестности, прилегающей к границе S. При граничных условиях общего вида (2.11) эти условия не выполняются и осредненные составляющие и полей деформаций и напряжений являются функциями координат. В этом случае в предположении о достаточной гладкости осредненных полей (r) и (r) справедлив приближенный подход, в соответствии с которым поля деформирования еij(r) и уij(r) в элементарном макрообъеме эквивалент-ны найденным из решения задач для области V в перемещениях при заданных макродеформациях = (см. (2.22)) и в напряжениях при задан-

заданных макронапряжениях = (см. (2.23)).

Тогда осредненные (макроскопические) деформации и напряжения в каждой точке области V определяются путем осреднения по элементарному макрообъему Vl , выделенному вокруг этой точки:

(2.24)

Для случайных однородных полей такое осреднение совпадает с осредне-нием оператором , введенным выражениями (2.7), (2.8).

Постулируя при принятых условиях идеального контакта компонентов среды следующие свойства статистически осредненных полей:

(2.25)

получаем из (2.9) макроскопические уравнения равновесия, а из (2.10)

- геометрические уравнения:

(2.26)

Теперь получена замкнутая система уравнений для макроскопических физических величин (т.е. построена макроскопическая модель композита), и основная задача заключается в отыскании вида оператора и определении его материальных функций. Макроскопические материальные функции могут быть найдены из испытаний образцов или вычислены при решении краевых задач структурно-феноменологических моделей композитов. Приближенно эти функции можно отыскать из решения задач для области V с граничными условиями частного вида (2.22) или (2.23).

Таким образом, краевой задаче механики композитов в рамках структурно-феноменологической модели:

(2.27)

ставится в соответствие краевая задача для однородной области с эффектив-ными свойствами:

(2.28)

и из решения последней находят осредненные составляющие полей де-

деформирования.

Если наряду с процессами деформирования композита моделируются и процессы разрушения его компонентов, то в краевую задачу (2.27) включаются критерии прочности вида (2.15), и физические уравнения системы (2.28) отражают не только деформационные свойства элементов структуры, но их разрушение в процессе нагружения. Макроскопическая модель (2.28) в этом случае может быть дополнена критериальными соотношениями прочности

(2.29)

оператор которых Р* и макроскопические материальные величины

могут быть вычислены.

Двухступенчатая иерархия моделей композиционного материала позволяет разделить решение исходной краевой задачи механики деформирования и разрушения (2.6), (2.9) - (2.11), (2.15) на ряд последовательных этапов, связанных с построением макроскопических определяющих соотношений, решением краевой задачи для области с эффективными свойствами, отысканием структурных полей деформирования в элементарных макро-объемах, описанием процессов разрушения элементов структуры, оценкой вероятности разрушения элементарных макрообъемов (т.е. вероятности макроразрушения).

Как правило, при использовании нелинейных определяющих соотношений компонентов композита и учете процессов структурного разрушения возни-кает необходимость организации итерационных вычислительных процедур для решения нелинейных задач каждого из этапов - с одной стороны, и согласования этапов в общей последовательности - с другой. При этом в процессе деформирования исходно макрооднородная область V становится макронеоднородной, так как элементарные макрообъемы, выделенные вокруг различных точек, оказываются не одинаково нагруженными.

Данный приближенный подход позволил получить решения ряда приклад-ных задач, касающихся анализа механического поведения и прогнозирования несущей способности элементов конструкций из композиционных материалов: баллонов давления специального назначения, намотанных из стекло- и органопластиковых лент, кожухов авиационных двигателей, полученных выкладкой слоев из стекло-, органо- и углеродных тканей, углерод-углеродных элементов сопловых блоков двигателей, крупногаба-ритных раструбов с теплозащитным слоем и других.



2.3 Принцип локальности

Исходная информация о структуре микронеоднородной среды, как уже отмечалось в §2.1, может быть задана совокупностью моментных функций материальных тензорных или скалярных величин. Эти моментные функции строятся, как правило, экспериментально на реальных образцах или с помощью компьютерного моделирования случайных структур. Иссле-дования, проведенные в этой области показывают, что моментные функции второго и более высоких порядков композитов со случайными статистически однородными структурами являются локальными, причем размер области статистической зависимости для двухкомпонентных композитов матричного типа примерно равен половине среднего расстояния между включениями.

Если моментные функции структурных свойств микронеоднородной среды быстро затухают, то говорят, что в расположении элементов структуры имеет место ближний порядок.

При решении стохастических задач теории упругости композитов со случайной структурой свойство локальности моментных функций обычно постулировалось наряду с условием статистической однородности. Известна также гипотеза предельной локальности моментных функций, позволяющая получать одноточечные приближения стохастических краевых задач и избегать трудностей, связанных с вычислением интегралов по облас-тям статистической зависимости, в подынтегральные выражения которых входят моментные функции.

После того как свойство локальности моментных функций материальных свойств композитов со случайной структурой подтверждено многочис-ленными исследованиями, существует основа для его более глубокого использования в механике.

Необходимо отметить же свойство локальности, но уже характеризующее взаимодействие элементов структуры.

Например, взаимодействие включений в матричном композите, вызывающее искажения в упругом поле матрицы, можно заменить взаимодействием точечных мультиполей, мощность и порядок которых зависят от формы и свойств элементов структуры. Предложено выделять содержащий конечное число мультиполей ограниченный объем, в матрице которого генерируется упругое поле, адекватное упругому полю периодической задачи для матрицы с бесконечным числом включений.