Квазікласичне наближення для рівняння Дірака із скалярно-векторним зв’язком у фізиці важко-легких кваркових систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Квазікласичне наближення для рівняння Дірака із скалярно-векторним зв'язком у фізиці важко-легких кваркових систем

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми досліджень. Як свідчать численні експерименти, більшість відомих на даний час частинок мають внутрішню структуру, тобто є складеними об'єктами. Це в першу чергу стосується гадронів, які згідно сучасних уявлень є зв'язаними станами кольорових кварків та глюонів. Опис спектрів мас та ймовірностей розпадів таких об'єктів потребує побудови послідовної теорії зв'язаних станів, яка повинна базуватися на основних принципах локальної квантової теорії поля та використовувати її апарат. Однак безпосередній розрахунок вказаних характеристик складених систем у межах локальної квантової теорії поля навряд чи завжди можливий, оскільки поки що єдиний відомий спосіб розрахунків у ній ґрунтується на теорії збурень, в той час як природа утворення зв'язаних станів взаємодіючих частинок, безумовно, повинна визначатися непертурбативними ефектами.

Найбільш дієвим способом виходу за межі теорії збурень при побудові теорії зв'язаних станів є використання динамічних рівнянь. Річ в тім, що навіть якщо ядра динамічних рівнянь вдається побудувати тільки в нижчих порядках теорії збурень, розробка методів їх точного чи наближеного (але без використання теорії збурень) розв'язання дозволяє врахувати внесок непертурбативних ефектів взаємодії при обчисленні спостережуваних характеристик зв'язаних станів. У нерелятивістському випадку подібна теорія будується за допомогою динамічного рівняння Шредінгера на мові класичного потенціалу. Однак при великих енергіях зв'язку відповідна теорія повинна бути істотно релятивістською. Чільне місце у сучасному розвитку релятивістської теорії зв'язаних станів посідає рівняння Дірака зі змішаним, скалярно-векторним зв'язком. Основна перевага такого рівняння полягає в тому, що воно слугує адекватною математичною моделлю для широкого кола задач гадронної фізики, у яких можливий послідовний перехід від двочастинкової теорії до наближення зовнішнього поля. Така можливість реалізується і має практичні переваги у випадку важко-легких () мезонів - КХД-аналогів водневоподібних (ВП) атомів. З цього рівняння випливає наявність спіну та спінового моменту у кварка та антикварка і природно постають задачі про тонку і надтонку структуру енергій змішаних D-, D_s-, B-, та B_s-мезонів. Проте ефективні методи розв'язування даного рівняння у застосуванні до задач гадронної спектроскопії розвинуті недостатньо. Для знаходження розв'язків найчастіше застосовують або числові, або асимптотичні методи.

Квазікласичне наближення Венцеля-Крамерса-Бріллюена, або метод ВКБ, є одним з найбільш ефективних асимптотичних методів розв'язування задач квантової механіки і теоретичної фізики. Розвиненню рекурентної схеми отримання ВКБ-розкладів для рівняння Дірака із скалярно-векторним зв'язком та їх застосуванню до задач гадронної спектроскопії і теорії квазістаціонарних станів присвячені наші праці [1-9], які складають основу даної дисертаційної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження проводились на кафедрі теоретичної фізики фізичного факультету Ужгородського національного університету згідно з тематичними планами держбюджетних науково-дослідницьких робіт, затвердженими Міністерством освіти і науки України, в рамках тем: 1) ДБ-422 «Одно - та двоелектронні процеси з перерозподілом в теорії іон-атомних та іон-іоних зіткнень», ДР-0100U005351; 2) ДБ-521 «Аналітична теорія процесів з перерозподілом у непружних зіткненнях атомних частинок», ДР - 0103U001696; 3) ДБ-614 «Асимптотичні моделі багатоцентрових систем у фізиці елементарних взаємодій», ДР - 0105U007695.

Мета і завдання дослідження. Метою досліджень, проведених в дисертаційній роботі, є розробка апарату квазікласичних асимптотик для рівняння Дірака у зовнішніх сферично-симетричних скалярному і векторному полях та його застосування до спектральних задач фізики змішаних мезонів та теорії квазістаціонарних станів. При цьому задля досягнення зазначеної мети необхідно було розв'язати наступні задачі:

1. За допомогою техніки лівих та правих власних векторів однорідної системи розвинути послідовну схему отримання ВКБ-розкладів для рівняння Дірака у зовнішніх скалярному та векторному полях.

2. Провести узагальнення правила квантування Бора-Зоммерфельда з урахуванням релятивістських ефектів, спіну та лоренц-структури потенціалів взаємодії.

3. У квазікласичному наближенні отримати загальний вираз для ширини квазістаціонарних рівнів в присутності разом взятих скалярного і векторного полів.

4. Розробити ефективні методи аналітичного обчислення бар'єрних інтегралів та інтегралів квантування.

Об'єкт дослідження. Рівняння Дірака, важко-легкі мезони і двічіважкі баріони, квантово-механічна задача двох центрів qZ₁Z₂щ.

Предмет дослідження. Дискретний і квазістаціонарний спектри рівняння Дірака із лоренц-скалярним та лоренц-векторним потенціалами, умови квантування, групові властивості задачі qZ₁Z₂щ.

Методи дослідження. Дослідження проводились як аналітичними, так і числовими методами. Основним аналітичним методом, що використовувався у дисертації, є метод асимптотичних розкладів в квантово-механічних рівняннях за малим параметром - сталою Планка ћ. Також застосовувалися методи теорії функцій комплексної змінної та теорії диференціальних рівнянь. Більшу частину комп'ютерних розрахунків проведено в інтегрованому програмному середовищі Mathematica; окремі розрахункові програми реалізовано на мові програмування Qbasic.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі вперше:

Знайдено квазікласичні формули для розв'язків рівняння Дірака із скалярно-векторним зв'язком у класично дозволеній і забороненій областях, одержано умови їх зшивання при переході через точку повороту. Проведено узагальнення умови квантування Бора-Зоммерфельда з урахуванням релятивістських ефектів, спіну і лоренц-структури потенціалів взаємодії.

У квазікласичному наближенні одержано загальний вираз для ширини квазістаціонарних рівнів у суміші лоренц-скалярного та лоренц-векторного потенціалів бар'єрного типу, який є релятивістським аналогом відомої формули Гамова.

За допомогою методу ефективного потенціалу досліджено основні закономірності квазікласичного спектра рівняння Дірака із скалярно-векторним варіантом потенціалів взаємодії (13). Встановлено, що варіація коефіцієнта змішування л скалярного та векторного далекодійних потенціалів на відрізку від 0 до 1 дозволяє отримати якісно різну форму ефективного потенціалу даної моделі - від картини утримуючого потенціалу, у якому є тільки дискретний спектр, до випадку потенціалу з бар'єром, для котрого рівні енергії є квазістаціонарними.

Для корнельської моделі міжкваркової взаємодії (13) отримано прості асимптотичні формули для енергетичного і масового спектрів, середніх радіусів та хвильових функцій (зокрема, асимптотичних коефіцієнтів в нулі і на нескінченності) важко-легких (D-, D_s-, B- і B_s-) мезонів, які забезпечують високу точність розрахунків навіть для станів з радіальним квантовим числом. Показано, що спінові розщеплення P-хвильових станів в змішаних D-, D-_s, B - та B_s-мезонах в першу чергу чутливі до значення константи сильного зв'язку та коефіцієнта змішування л.

Побудовано квазікласичну теорію іонізації кулонівської системи радіально-сталими скалярним та електричним полями, яка враховує релятивістські ефекти та спін ферміона. У граничних випадках і отримано наближені аналітичні вирази для положення та ширини Г підбар'єрних резонансів, які демонструють сильну залежність Г від енергії зв'язаного рівня та параметра змішування л.

За допомогою методу відокремлення змінних встановлено додатковий сфероїдальний інтеграл руху та групу динамічної симетрії в модельній квантово-механічній задачі двох центрів qZ₁Z₂щ з кулонівською і осциляторною взаємодіями, досліджено групові властивості її розв'язків. Асимптотичними методами проаналізовано дискретний спектр задачі qZZщ.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблений в дисертаційній роботі апарат квазікласичних асимптотик для рівняння Дірака із скалярно-векторним зв'язком істотно розширює можливості аналітичного дослідження спектральних характеристик змішаних мезонів та двічі важких баріонів. Отримані квазікласичні формули для асимптотичних коефіцієнтів хвильових функцій в нулі і на нескінченності можуть бути використані в розрахунках повних, гадронних та лептонних ширин розпадів важко-легких (D-, D-_s, B - та B_s-) мезонів та двічі важких баріонів. Побудовані в роботі квазікласичні розв'язки рівняння Дірака із скалярно-векторним варіантом взаємодії можуть бути використані також для обчислення залежних від спіну важкого кварка поправок до енергій рівнів змішаних мезонів у вищих порядках ефективної теорії важких кварків.

Особистий внесок здобувача. Дисертант приймав участь у постановці задач, виборі та розробці методів їх дослідження, інтерпретації отриманих результатів, формулюванні основних положень та висновків, підготовці рукописів статей до друку. Всі аналітичні і комп'ютерні розрахунки виконані дисертантом особисто. Зокрема, у праці [1] дисертантом було розвинуто послiдовну схему отримання розкладів ВКБ для рівняння Дiрака із скалярно-векторним варіантом потенціалів взаємодії. Як застосування розвинутого методу дисертантом проведено [1-3] узагальнення умови квантування Бора-Зоммерфельда та формули Гамова для ширини квазiстацiонарного рівнів з урахуванням релятивізму, спіну та лоренц-структури потенціалів взаємодії. У працях [1-5] автором показано, що для скалярного і векторного потенцiалiв кулонiвського та осциляторного типів отримане правило квантування точно відтворює енерґетичний спектр. В роботах [5, 10, 11, 13] дисертантом отримано трансцендентне рівняння для визначення енергетичного спектра рівняння Дірака з кулонівським та чисто скалярним лінійним потенціалами, а також аналітичні вирази для зсувів та ширин квазістаціонарних рівнів кулонівської системи у радіально-постійному електричному полі. В публікаціях [1-3, 14] автором знайдено у явному вигляді квазікласичний спектр безмасового ферміона у зовнішньому скалярному полі з комбінованим потенціалом типу «лійки». У праці [15] для корнельської моделі міжкваркової взаємодії, далекодійна частина якої вибрана у вигляді суміші скалярного і векторного членів, дисертантом отримано аналітичні вирази для енергетичного і масового спектрів, середніх радіусів та хвильових функцій змішаних мезонів. В праці [16] автором розраховано ширини квазістаціонарних рівнів кулонівської системи в слабких радіально-постійних скалярному і електричному полях. В працях [6-9, 12] дисертантом встановлено додатковий сфероїдальний інтеграл руху та групу динамічної симетрії в модельній квантово-механічної задачі двох центрів qZ₁Z₂щ з кулонівською і осциляторною взаємодіями.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційних досліджень доповідались та обговорювались на таких конференціях, семінарах та школах: на щорічних підсумкових наукових конференціях викладачів та наукових співробітників фізичного факультету УжНУ (Ужгород, 1998-2007 рр.); Міжнародній науковій конференції «The centenary of electron, El-100» (м. Ужгород, Україна, 18-20 серпня 1997 р.); Науковій конференції східного відділення Угорської академії наук (Ніредьхаза, Угорщина, вересень 1997 р); Міжнародній науковій конференції «Hadron Structure-98» (Стара Лесна, Словацька Республіка, 7-13 вересня 1998 р.); I, V-VII Міжнародних молодіжних науково-практичних конференціях «Людина і космос» (м. Дніпропетровськ, Україна 1999, 2003-2005 рр.); Міжнародних конференціях молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики «ЕВРИКА» (м. Львів, Україна, 2002-2004 рр.); XIV міжнародній школі «Математичні теорії та їх застосування у фізиці та техніці» (Чернівці, Україна, 28 жовтня - 8 листопада 2002 р.); V Міжнародній науковій конференції «Симетрії в нелінійній математичній фізиці» (Київ, Україна, 23-29 червня 2003 р.); Конференціях молодих учених і аспірантів ІЕФ НАН України «ІЕР-2003, 2005» (м. Ужгород, Україна, 2003, 2005 рр.).

Публікації. Матеріали дисертації опубліковано в 16 наукових працях, з них 9 - у реферованих фахових журналах та 7 - у матеріалах і тезах доповідей міжнародних конференцій.

Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел із 160 найменувань та трьох додатків. Дисертація містить 11 таблиць, 8 рисунків, її повний обсяг - 150 сторінок. Таблиці займають 7 сторінок, рисунки - 4 сторінки, список використаних джерел - 16 сторінок.

Основний зміст роботи

квантування релятивістський скалярний інтеграл

У вступі обґрунтовано актуальність вибраного напрямку досліджень, зв'язок роботи з науковими програмами та темами, сформульовано мету і задачі роботи, її наукову новизну та практичну значимість, обґрунтовано достовірність наукових положень та висновків, а також наведено дані про апробацію результатів та публікації за темою дисертації.

Перший розділ містить огляд основних теоретичних підходів до вивчення властивостей важко-легких мезонів (підрозділі 1.1), які в КХД відіграють таку ж фундаментальну роль, що і водневоподібні системи у атомній фізиці. Змішані мезони є основними об'єктами досліджень релятивістської квантової проблеми двох тіл на основі квазірелятивістського рівняння Брейта-Фермі, коваріантного рівняння Бете-Солпітера, квазіпотенціального підходу Лагунова-Тавхелідзе. Такі підходи, однак, є невиправдано складними, оскільки не враховують великої різниці в масах між важким кварком та легким антикварком. В той же час, для гадронних систем з одним важким кварком була розвинута ефективна теорія важких кварків (HQET), у ведучому наближенні якої (тобто в статичній границі, де - маса важкого кварка ) ефективний гамільтоніан -системи в точності відповідає діраківському гамільтоніану одночастинкової задачі. Розглядаючи в границі рівняння Дірака як рівняння для одного легкого антикварка , можна дослідити низку важливих аспектів теорії важко-легких мезонів таких, як релятивістську динаміку легкого антикварка у зовнішньому полі важкого кварка , лоренц-структуру далекодійної частини -взаємодії, тонку структуру спектра змішаних мезонів, вплив на спектр порушення кіральної симетрії і т.д. Підрозділ 1.2 містить стислий огляд застосувань квазікласичного наближення Вентцеля-Крамерса-Бріллюена до різних задач нерелятивістської та релятивістської фізики. Обговорюється сучасний стан цього методу та перспективи його застосування у фізиці змішаних мезонів. Обґрунтовується необхідність поширення запропонованої В.П. Масловим і розвинутої в працях В.С. Попова із співробітниками техніки побудови ВКБ-розв'язків рівняння Дірака у зовнішньому електромагнітному полі на випадок спінорного рівняння із змішаним скалярно-векторним зв'язком. У підрозділі 1.3 дано класифікацію кварк-антикваркових станів змішаних D-, D_s-, B- і B_s-мезонів.

У другому розділі викладено конструкцію квазікласичних асимптотик для розв'язків рівняння Дірака з центральними лоренц-скалярним і лоренц-векторним (нульова компонента чотири-вектора) потенціалами. У цьому випадку система рівнянь Дірака для радіальних функцій F і G має вигляд ().

Тут , квантове число для станів з , - повний момент кількості руху діраківської частинки, l - орбітальний момент (для верхньої компоненти F), а E і m - повна енергія та маса спокою частинки. Розклад за степенями у вихідній системі Дірака (1) (підрозділ 2.2) для радіальних функцій F і G приводить до ланцюжка матричних диференціальних рівнянь, які розв'язуються послідовно за допомогою відомої техніки лівих та правих власних векторів відповідної однорідної системи, що обчислюються у явному вигляді. При цьому для головного члена квазікласичної асимптотики () радіальних функцій F і G в класично забороненій області отримано представлення.

Тут і далі , а величина. Знаки плюс (мінус) в (2) відповідають розв'язку, експоненціально зростаючому (спадаючому) із зростанням r. Якщо записати величину q у формі, то їй відповідають ефективна енергія та ефективний потенціал (ЕП) для радіального руху. Наступний аналіз істотно залежить від вигляду ЕП та розташування точок повороту (нулів функції на півосі ).

Отриманні квазікласичні формули дозволяють розв'язати широке коло задач теорії квазістаціонарних станів та спектроскопії важко-легких мезонів. Так, у пункті 2.3.3 на основі формул (3) отримано нове правило квантування:

,

яке визначає дійсну частину енергії рівня. Воно відрізняється від звичайної умови квантування Бора-Зоммерфельда релятивістським виразом для квазіімпульсу та врахуванням поправки () на спін-орбітальну взаємодію, що приводить до розщеплення рівнів з різним знаком k. Обчислюючи потік частинок, відлітаючих на нескінченність, знаходимо ширину рівня Г:

, де

Врахування релятивізму і спіну 1/2 змінює вирази для імпульсу та періоду коливань T і приводить до появи у виразі (12) для додаткового множника , що враховує спін-орбітальний зв'язок в суміші скалярного і векторного потенціалів бар'єрного типу.

У двох наступних розділах отримані квазікласичні формули застосовано до вивчення поведінки квантових систем ферміонів при наявності разом взятих скалярного та векторного зовнішніх полів. Модель взаємодії релятивістської частинки спіну 1/2 зі скалярним та векторним зовнішніми полями одночасно, яку ми використовуємо в наступному розділі при розрахунках квазікласичного спектра релятивістських зв'язаних станів, а в розділі 4 в задачах теорії квазістаціонарних станів.

Підрозділ 3.3. починається з фізичної мотивації прийнятої моделі міжкваркової взаємодії. Проведений тут аналіз чималого обсягу інформації, отриманої з граткових обчислень, феноменології сильних взаємодій та теоретико-польових робіт, дає підстави вважати, що далекодійний утримуючий потенціал в (13) складається із суміші лоренц-векторної та лоренц-скалярної частин. У цьому випадку, - константа сильної взаємодії, - натяг струни, а ЕП моделі (13) при має вигляд звичайної осциляторної ями з єдиним мінімумом (у точці, де,) і без максимумів. Енергетичний спектр частинки визначається правилом квантування (11), яке після обчислення інтегралів квантування набирає форми трансцендентного рівняння.

Тут ? корені рівняння;, та - повні еліптичні інтеграли першого, другого та третього роду відповідно;, а величини через їх громіздкість наведені в додатку В дисертації. У загальному випадку одержати «точний» розв'язок рівняння (14), звичайно, неможливо, однак ситуація спрощується у двох граничних випадках: а),; б), коли відповідь можна отримати в аналітичному вигляді.

а) Для масивних кварків властивості нижніх рівнів визначаються в основному кулонівським потенціалом (який зв'язує частинку на малих відстанях). Розглядаючи далекодійний потенціал як мале збурення, розкладемо квазікласичний імпульс в ряд за зростаючими степенями. Обчислюючи потім почленно в (11) ряд табличних інтегралів, сума котрих дає значення інтегралів квантування з точністю до членів, ми одержуємо вираз для визначення рівнів енергії в залежності від кулонівської константи зв'язку , натягу струни та коефіцієнта змішування .

б) В іншому граничному випадку:, використано наближений методом обчислення інтегралів квантування (11), який ґрунтується на ідеї розбиття проміжку інтегрування на окремі ділянки, в кожній з яких враховується точно лише домінуючий тип взаємодії, а всі інші - наближено за допомогою асимптотичної теорії збурень. Такий обчислювальний прийом у поєднанні з відповідним вибором проміжної точки r приводить до трансцендентного рівняння для енергетичного спектра , розв'язуюче яке відносно методом послідовних наближень (з точністю до).

У підрозділі 3.4 проведено аналіз основних спектроскопічних характеристик сімейств важко-легких (D-, D_s-, B - та B_s-) мезонів в рамках релятивістської потенціальної кваркової моделі, у якій рух легкого антикварка описується рівнянням Дірака зі скалярно-векторним зв'язком, а важкий кварк розглядається як локальне джерело глюонного поля. Показано, що у випадку -систем поправки до мас зв'язаних станів, які виникають за рахунок спінових взаємодій важкого кварка, сильно подавлені оберненими степенями маси -кварка. Чисельно домінуючий вклад в спінові розщеплення P-хвильових рівнів в змішаних мезонах дає поправка, зумовлена спін-орбітальною взаємодію легкого антикварка .

Розрахований за формулами (15) (або (16)), (17) квазікласичний спектр мас змішаних D-, D_s-, B - та B_s-мезонів співпадає з чотиривідсотковою точністю (див. табл. 3.1 та 3.2) з експериментальним спектром, або ж з отриманим при числовому розв'язанні релятивістських хвильових рівнянь Дірака^а, Бете-Солпітера^б та квазіпотенціального рівняння Лагунова-Тавхелідзе^в. Встановлено, що тонка структура P-хвильових станів у змішаних (D-, D-_s, B - та B_s-) мезонах в першу чергу чутлива до вибору коефіцієнта змішування л та значення константи сильного зв'язку б_s. Порівняння результатів розрахунків з експериментальними даними показує, що найкраще узгодження при описанні тонкої структури масових спектрів досягається при значеннях л=0.3 і б_s(cu або cs)=0.386, б_s(bu абоbs)=0.3. Встановлено, що хвильові функції та енергії збудження дивного антикварка в полі важкого c - чи b-кварка із задовільною точністю повторюють характеристики аналогічних змішаних мезонів з легкими антикварками u, d Тому з точністю до адитивного зсуву мас вгору на величину струмової маси дивного антикварка система рівнів мезонів D_s і B_s без урахування залежного від спіну важкого кварка розщеплення співпадає з системою рівнів мезонів D і B відповідно. В рамках розвинутого квазікласичного наближення можна обчислити не тільки спектр зв'язаних -систем, але і всі інші спостережувані характеристики змішаних мезонів.

У четвертому розділі розроблений вище апарат квазікласичних асимптотик для рівняння Дірака із скалярно-векторним зв'язком застосовується до обчислення положення та ширини підбар'єрних резонансів в скалярному і векторному полях з потенціалами бар'єрного типу (13). Релятивістська теорія розпадних (квазістаціонарних) станів достатньо добре розвинута для випадків, коли складові потенціалу взаємодії ферміона із зовнішніми полями є компонентами лоренц-вектора . Разом з тим внутрішня логіка розвитку теорії розпадних станів диктує постановку цілої низки якісно нових задач, що виникають в ядерній фізиці та фізиці елементарних частинок. Як відомо, проблема проходження крізь потенціальні бар'єри лежить в основі теоретичного розгляду явищ кластерних розпадів атомних ядер і нестійких утворень (нестабільних резонансних станів) сильно взаємодіючих елементарних частинок. При цьому природним чином постають питання про вплив на властивості розпадних квазістаціонарних станів різноманітних фізичних факторів - релятивізму та спіну, зовнішніх полів зі змішаною лоренц-структурою потенціалів взаємодії, адіабатично повільної зміни параметрів взаємодії і т.д. Враховуючи, що в майбутньому інтерес до подібних досліджень, безумовно, буде зростати, в розділі 4 за допомогою методу ВКБ вивчається поведінка релятивістської частинки зі спіном 1/2 в присутності разом взятих скалярного та векторного зовнішніх полів з потенціалами бар'єрного () типу (13).

У підрозділі 4.2. за допомогою умови квантування (11) одержано трансцендентне рівняння, яке визначає (при; див. рис. 1) дійсну частину комплексної енергії квазістаціонарного рівня, як функцію параметрів потенціальної моделі (13) при. Одержане рівняння може бути розв'язане тільки числовими методами. Тому в підрозділі 4.2 на основі асимптотичної техніки обчислення фазових інтегралів, розвинутої нами в підрозділі 3.3, знайдено аналітичні формули для енергії квазістаціонарного стану як в області слабкого зв'язку (), так і при виконанні умови.

Підрозділ 4.3 присвячено дослідженню впливу лоренц-структури потенціалів взаємодії (13) при на імовірність тунельного переходу частинки із зв'язаного стану (з енергією ) у стан неперервного спектра. У квазікласичному наближенні вона визначається формулами (12). Бар'єрні інтеграли в цих формулах зводяться при належному перетворенні підінтегральних функцій до повних еліптичних інтегралів. Знайдені таким чином квазікласичні формули визначають ширину Г підбар'єрних () резонансів в потенціалах (13) при. Однак ці формули доволі громіздкі і для конкретних розрахунків не зовсім зручні. Тому у підрозділі 4.3 розглянуто різні граничні (та) і частинні випадки, коли результат для Г можна отримати у аналітичному вигляді. Зокрема, у випадку слабких (порівняно з кулонівським) радіально-сталих скалярного і векторного полів асимптотичні розклади для бар'єрних інтегралів в (12) за додатними степенями малого параметра будуються тими ж прийомами, що і в підрозділі 3.3.

Ми бачимо, що при значення збільшуються із заглибленням рівня і зменшуються при зростанні коефіцієнта змішування. Останній факт легко пояснюється: із збільшенням відносної ваги (від Ѕ до 1) лоренц-вектора в далекодійній частині на великих відстанях зростає притягання, а ефективна ширина бар'єра зменшується. Це призводить до того, що при () зростання параметра приводить до збільшення імовірності іонізації Г, а зменшення, тобто заглиблення зв'язаного рівня - навпаки, зменшує її. У випадку додатних значень у функція монотонно спадає із зростанням параметра, тому зменшення відносної ваги лоренц-скаляра у далекодійній частині взаємодії (13) різко збільшує імовірність іонізації квазістаціонарного рівня. У висновках (підрозділ 4.4) проаналізовано одержані результати.

У п'ятому розділі за допомогою методу відокремлення змінних досліджуються групові властивості модельної кантової задачі про рух легкої частинки в полі двох важких. Останнім часом ця задача стала предметом інтенсивних досліджень з огляду на її причетність до широкого кола проблем гадронної фізики: моделей баріонів з двома важкими кварками (-баріони) та моделей важких гібридних мезонів з відкритим флейвором (-мезони). У нерелятивістському наближенні рух легкого кварка в полі двох важких може бути описаний (підрозділ 5.1) стаціонарним рівнянням Шредінгера з модельним комбінованим потенціалом, який є сумою потенціалу двох кулонівських центрів і потенціалу гармонічного осцилятора.

Тут і - відстані від частинки до нерухомих силових центрів 1 і 2, - константа сильної взаємодії. і ? енергія і хвильова функція легкої частинки, які параметрично залежать від міжцентрової відстані R. Надалі спектральну задачу для рівняння Шредінгера (23) зручно позначати символом. У підрозділі 5.2 звернуто увагу на глибокий взаємозв'язок прихованої симетрії системи з можливістю відокремлення змінних в рівнянні Шредінгера (23) у витягнутих сфероїдальних координатах. Сам факт такого відокремлення вказує на додаткову (щодо геометричної) симетрію гамільтоніана задачі, яка спричиняє існування додаткового інтеграла руху, оператор якого комутує з та оператором проекції кутового моменту на міжцентрову вісь R. В цьому ж підрозділі побудовано додатковий сфероїдальний інтеграл руху л, власним значенням якого є константа відокремлення в модельній задачі. Прямими підрахунками комутаційних співвідношень показано, що. Таким чином, оператори мають спільну повну систему власних функцій і можуть бути діагоналізовані одночасно. В підрозділі 5.3 показано, що задачу можна розв'язувати як задачу теорії зображень певних некомпактних груп, причому функція, яка є добутком квазірадіальної і квазікутової двоцентрових функцій на, реалізує базис виродженого неканонічного зображення групи, що є прямим добутком двох груп рухів тривимірних просторів, або більш ширших груп рухів шестивимірних просторів і та ін. В підрозділі 5.4 методом еталонних рівнянь проаналізовано дискретний спектр двоцентрової задачі при великих міжцентрових відстанях R. Отримано степеневі розклади для енергетичних термів системи з точністю до членів. На основі отриманих розкладів в наближенні Борна-Опенгеймера розраховано масовий спектр двічіважких баріонів , який добре узгоджується з результатами інших авторів. У підрозділі 5.5 підсумовано результати проведених досліджень.

У висновках наведено основні результати дисертаційної роботи. В додатоку А приведено наявні експериментальні дані та теоретичні передбачення інших авторів для мас основного і перших радіально та орбітально збуджених станів D-, D-_s, B - та B_s-мезонів. В додатоку Б розглянуто декілька прикладів потенціалів із скалярно-векторною структурою, для котрих квазікласична умова квантування (11) дає точні значення всіх рівнів енергії, включаючи і основні стани. Математичні деталі обчислення інтегралів квантування (11) з потенціалами (13) винесено у додаток В.

Висновки

Дисертаційна робота присвячена побудові теорії квазікласичних асимптотик для рівняння Дірака із скалярно-векторним зв'язком і її застосуванню до задач фізики змішаних D-, D_s-, B-, B_s-мезонів та теорії квазістаціонарних станів. Основні результати проведених в дисертації досліджень можна сформулювати наступним чином:

1. Розвинуто апарат квазікласичних асимптотик для рівняння Дірака із сферично-симетричними лоренц-скалярним і лоренц-векторним потенціалами. Проведено узагальнення правила квантування Бора-Зоммерфельда на релятивістський випадок, коли частинка із спіном 1/2 взаємодіє з скалярним і векторним зовнішніми полями одночасно. Одержано загальний вираз для ширини квазістаціонарних рівнів , відомий раніше лише для електростатичних потенціалів бар'єрного типу (формула Гамова). Врахування релятивізму і спіну 1/2 змінює вирази для імпульсу та періоду коливань T і приводить до появи у виразі для додаткового множника, що враховує спін-орбітальну взаємодію в суміші скалярного і векторного потенціалів бар'єрного типу.

2. Побудовано релятивістську потенціальну кваркову модель змішаних мезонів, у якій рух легкого конституентного антикварка описується рівнянням Дірака з комбінованим потенціалом утримуючого типу (13), а важкий кварк розглядається як локальне джерело глюонного поля. Встановлено, що утримання кварків виникає завжди в тих потенціальних моделях, в яких у далекодійній частині міжкваркової взаємодії відносна вага лоренц-скаляра превалює над відносною вагою лоренц-вектора.

3. Запропоновано новий метод обчислення інтегралів квантування, який ґрунтується на ідеї розбиття проміжку інтегрування на окремі ділянки, в кожній з яких враховується точно лише домінуючий тип взаємодії, а всі інші - наближено за допомогою асимптотичної теорії збурень. На цій основі отримано наближені аналітичні вирази для енергетичного спектра змішаних мезонів при, які забезпечують високу точність розрахунків навіть для станів з радіальним квантовим числом.

4. В рамках сформульованої потенціальної моделі отримано задовільний опис спектрів мас сімейств D-, D_s-, B- і B_s-мезонів. Показано, що тонка структура P-хвильових станів в змішаних мезонах в першу чергу чутлива до вибору двох параметрів: коефіцієнта змішування л і значення константи сильного зв'язку.

5. За допомогою методу ВКБ отримано зручні аналітичні формули для асимптотичних коефіцієнтів діраківських радіальних хвильових функцій в нулі і на нескінченності, а також для середніх радіусів -системи.

6. У квазікласичному наближенні одержано загальний вираз для ширини квазістаціонарного рівня в суміші скалярного і векторного потенціалів бар'єрного () типу (13). У двох граничних випадках: і отримано прості аналітичні вирази для положення та ширини Г підбар'єрних резонансів. Виявлено сильну залежність Г від енергії зв'язаного рівня та коефіцієнта змішування л.

7. Встановлено додатковий сфероїдальний інтеграл руху та групу динамічної симетрії в модельній квантово-механічної задачі двох центрів з кулонівською і осциляторною взаємодіями, досліджено групові властивості її розв'язків. У ролі динамічних груп розглянуто групу та більш ширші групи рухів шестивимірних просторів і.

8. Методом еталонних рівнянь проаналізовано дискретний спектр задачі при великих міжцентрових відстанях R. Отримано степеневі розклади для енергетичних термів системи з точністю до членів. Розраховано масовий спектр двічіважких баріонів, який добре узгоджується з передбаченнями інших авторів.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Лазур В.Ю., Рубиш В.В., Рейтий А.К. Метод ВКБ для уравнения Дирака со скалярно-векторной связью // Теор. мат. физ. - 2005. - T. 143, №1. - C. 83-111.

2. Лазур В.Ю., Рубіш В.В., Рейтій О.К. Метод ВКБ для рівняння Дірака з векторним та скалярним потенціалами // Журн. фіз. досліджень. - 2005. - T. 9, №1. - C. 1-18.

3. Rubish V.V., Lazur V. Yu., Reity O.K., Chalupka S., Salak M. The WKB method for the Dirac equation with the vector and scalar potentials // Czechoslovak J. Phys. - 2004. - Vol. 54, No.9. - P. 897-919.

4. Reity O.K., Rubish V.V. and Myhalyna S.I. The WKB Method for the Dirac Equation with Vector-Scalar Potentials in 2+1 and 3+1 Dimensions // Proc. Inst. Math. NAS Ukraine. - 2004. - Vol. 50, part. 3. - P. 1429-1434.

5. Рубіш В., Лазур В., Меліка М. Метод ВКБ і релятивістичні потенціальні моделі // Науковий вісник Львівського університету. Cерія «Фізична». - 2003. - Вип. 36. - С. 67-76.

6. Rubish V.V., Lazur V. Yu., Dobosh V.M., Chalupka S. and Salak M. Non-geometrical symmetry and separation of variables in the two-centre problem with a confinement-type potential // J. Phys. A. - 2004. - Vol. 37. - P. 9951-9963.

7. Lazur V. Yu., Dobosh V.M., Rubish V.V., Chalupka S. and Salak M. Hidden symmetry and separation of variables in the two-center problem with a confinement-type potential // Acta Phys. Slovaca. - 2002. - Vol. 52, No.2. - P. 41-54.

8. Лазур В.Ю., Добош В.Д., Рубіш В.В., Меліка М.Д. Динамічна симетрія і відокремлення змінних у рівнянні Шредінгера з двоцентровим потенціалом утримуючого типу // Укр. фіз. журн. - 2002. - Т. 47, №1. - C. 90-98.

9. Лазур В.Ю., Добош В.Д., Рубіш В.В., Меліка М.Д. Прихована симетрія і відокремлення змінних в задачі двох центрів з потенціалом утримуючого типу // Науковий вісник Ужгородського університету. Cерія «Математика і інформатика». - 2001. - Вип. 6. - С. 82-94.

10. Рубіш В.В. Квазікласичне наближення для рівняння Дірака з конфайментним потенціалом // Зб. тез конференції молодих учених і аспірантів ІЕФ НАН України «ІЕР-2003». - Ужгород. - 2003. - С. 88.

11. Рубіш В.В., Лазур В.Ю. Метод ВКБ і релятивістські потенціальні моделі // Зб. тез V Міжнародної молодіжної науково-практичної конференції «Людина і Космос». - Дніпропетровськ: НЦАОМУ. - 2003. - С. 11.

12. Рубіш В.В., Лазур В.Ю. Прихована симетрія в задачі двох центрів з утримуючим потенціалом // Зб. тез міжнародної конференція молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики «ЕВРИКА - 2004». - Львів. -2004. - С. 33-34.

13. Рубіш В.В., Лазур В.Ю., Рейтій О.К., Мигалина С.І. Спектр мас важко-легких кваркових систем в рамках релятивістських потенціальних моделей // Зб. тез VI Міжнародної молодіжної науково-практичної конференції «Людина і Космос». - Дніпропетровськ: НЦАОМУ. - 2004. - С. 61.

14. Рубіш В.В., Лазур В.Ю., Рейтій О.К., Мигалина С.І. Квазікласичний опис релятивістських важко-легких кваркових систем в рамках рівняння Дірака // Зб. тез VII Міжнародної молодіжної науково-практичної конференції «Людина і Космос». - Дніпропетровськ: НЦАОМУ. - 2005. - С. 66.

15. Лазур В.Ю., Рейтій В.К., Рейтій О.К., Рубіш В.В. Квазікласичний опис зв'заних станів важко-легких кваркових систем в рамках рівняння Дірака // Зб. тез конференції молодих учених і аспірантів ІЕФ НАН України «ІЕР-2005». - Ужгород. - 2005. - С. 177.

16. Рубіш В.В., Лазур В.Ю., Рейтій О.К., Мигалина С.І. Квазікласичний опис релятивістських важко-легких кваркових систем у рамках рівняння Дірака // Зб. тез VIII Міжнародної молодіжної науково-практичної конференції «Людина і Космос». - Дніпропетровськ: НЦАОМУ. - 2006. - С. 66.

Размещено на Allbest.ru