Особливості розповсюдження крутих гравітаційних хвиль на поверхні рідини

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 532.591

01.04.02 - теоретична фізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Особливості розповсюдження крутих гравітаційних хвиль на поверхні рідини

Ганджа Іван Сергійович

Київ - 2005



Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті фізики НАН України, м. Київ.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Лукомський Василь Петрович, Інститут фізики НАН України, старший науковий співробітник відділу теоретичної фізики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Вільчинський Станіслав Йосипович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри квантової теорії поля;

доктор фізико-математичних наук, професор Селезов Ігор Тимофійович, Інститут гідромеханіки НАН України, провідний науковий співробітник, завідувач відділом хвильових процесів;

Провідна установа: Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів.

Захист відбудеться “21” червня 2005 р. о “14.30” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001.08 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ, пр. Глушкова 6, фізичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська 58.

Автореферат розісланий “6” травня 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Свечнікова О.С



Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Хвильовий рух морської поверхні завжди зачаровував та надзвичайно привертав увагу людства. Чарівні, але одночасно й небезпечні океанські та морські хвилі викликали інтерес весь час, коли людина займалася рибальством, морською торгівлею та мореплавством, задовго до того, як розпочалося формальне наукове вивчення океану. Динаміка поверхні моря настільки складна, що і сьогодні розуміння певних властивостей хвиль на воді та їх моделювання представляють справжній виклик як з наукової, так і прикладної точок зору.

Поверхневі хвилі відіграють ключову роль у різноманітних морських процесах та численних аспектах взаємодії гідросфери і атмосфери. Так, захоплення бульбашок повітря, що відбувається при перекиді й руйнуванні хвиль, та турбулентність морської поверхні підсилюють процес переносу кисню в океан, що є визначальним для морських організмів. З іншого боку, подібні механізми сприяють проникненню в гідросферу відповідальних за парниковий ефект газів (таких як вуглекислий), що моделює річні зміни клімату і є важливим фактором у глобальному потеплінні. На мілкій воді хвилі взаємодіють з підводними рослинами та осадовими породами, часто викликаючи інтенсивну ерозію узбережжя. Масоперенос, що створюють поверхневі хвилі, є важливим фактором у великомасштабному розповсюдженні забруднень.

Раптове виникнення надзвичайно високих і крутих хвиль у відкритому морі складає серйозну небезпеку кораблям та морським спорудам (платформи, нафтові свердловини тощо). Маленькі судна, такі як рибальські шхуни і траулери, перекидаються та інколи навіть губляться в штормових морях. Більші кораблі та морські конструкції зазнають серйозних ушкоджень, що можуть складати загрозу для життя. Тому знання навантажень на морські споруди та суда, що викликаються хвильовим рухом води в несприятливих морських умовах, є визначальним для того, щоб забезпечити їх безпеку та мінімізувати ризик аварії. Супутникове сканування поверхні океану надає цінну інформацію для передбачення штормів та спрямування судів в обхід складних морських умов. Для того, щоб розкодувати мікрохвильовий сигнал радару, відбитий морською поверхнею, необхідне детальне знання форми та динаміки великоамплітудних (крутих) хвиль та механізмів їх руйнування.

Реальні фізичні процеси, що відбуваються в земній гідросфері, настільки різноманітні, що жодна фізична модель не може врахувати всі фактори, які обумовлюють хвильовий рух морської поверхні. Тому спочатку завжди досліджуються спрощені моделі, а потім узагальнюються для врахування більш специфічних властивостей оточуючого середовища. Подібні моделі, хоча часто й тільки якісно, описують більшість з численних хвильових явищ.

В даній роботі вивчається хвильовий рух поверхні рідини, обумовлений лише одним фактором - силою тяжіння. Тому хвилі, що розглядаються, носять назву гравітаційних. Для рідини з малою в'язкістю, якою є вода, найбільш адекватною моделлю (такою, що при мінімумі врахованих умов відображає реальні властивості фізичної системи) в цьому випадку є модель ідеальної рідини, де нехтуються ефекти в'язкості й теплопровідності. Хоча вивчення руху гравітаційних хвиль на поверхні ідеальної рідини розпочалося ще в 19 сторіччі з класичних праць Стокса, Релея, Герстнера, Кортевега і де Вріза та інших, дослідження властивостей хвиль великої амплітуди, коли амплітуду хвилі не можна вважати малою порівняно з довжиною хвилі, стало можливим лише в останні десятиріччя 20 сторіччя завдяки революційному розвитку комп'ютерної техніки. Незважаючи на значний прогрес у вивченні динаміки таких суттєво нелінійних хвиль, які носять назву крутих хвиль (хвиль з крутим фронтом), деякі особливості їх розповсюдження досі вимагають детального теоретичного вивчення та пояснення. Зокрема, не до кінця з'ясованими залишаються механізми перекиду та руйнування хвиль на глибокій воді, утворення штормових хвиль (явище дев'ятого валу), процес загострення гребенів гравітаційних хвиль з ростом їх амплітуди.

Зазначені питання і визначають актуальність теми “Особливості розповсюдження крутих гравітаційних хвиль на поверхні рідини”.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота є складовою частиною держбюджетної теми “Кінетичні, електричні і оптичні властивості маловимірних систем” (номер держреєстрації 0104U000353), а також виконувалась в межах проекту INTAS №99-1637 “Хвилі великої амплітуди: сильно нелінійні поверхневі хвилі в океані”.

Мета дослідження - здійснити теоретичний аналіз динаміки крутих гравітаційних хвиль на поверхні рідини в межах канонічної (найпростішої) моделі гідродинаміки, де (1) рідина вважається ідеальною та нестисливою; (2) рух рідини потенціальний (безвихровий); (3) атмосферний тиск вважається сталим на всій поверхні та нехтується рух повітря над рідиною; (4) нехтується вплив поверхневого натягу та оточуючого середовища; (5) дно вважається плоским (нехтується його топографія).

Об'єкт дослідження - гравітаційні хвилі на поверхні рідини.

Предмет дослідження - властивості крутих прогресивних періодичних двовимірних (однорідних вздовж вісі, що перпендикулярна до напряму їх розповсюдження) гравітаційних хвиль сталої форми в межах канонічної моделі гідродинаміки.

Методи дослідження. Для пошуку та аналізу періодичних розв'язків канонічної моделі застосовано методи математичної фізики - метод розділення змінних, Фур'є розклади, методи сумування рядів для прискорення їх збіжності, теорія стійкості; чисельні методи з використанням алгоритмів з довільною комп'ютерною арифметикою - метод Ньютона, швидке перетворення Фур'є, метод колокацій. Вірогідність одержаних результатів забезпечується детальним аналізом точності чисельних розв'язків, використанням кількох різних методів для підтвердження та порівняння результатів обчислень.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі одержано такі нові результати:

Знайдено нове раніше невідоме сімейство сингулярних періодичних потенціальних гравітаційних хвиль з загостреними гребенями (нерегулярні хвилі), відмінні від відомих стоксових хвиль. Показано, що залежність фазової швидкості гравітаційних хвиль від амплітуди (амплітудно-частотна характеристика) має неоднозначний характер в області великих амплітуд, близьких до граничної. При кожній амплітуді існують гравітаційні хвилі з двома різними конфігураціями профілю вільної поверхні: хвиля з округлим гребенем (стоксові хвилі) та хвиля з загостреним гребенем (нерегулярні хвилі). Ці хвилі мають різні фазові швидкості, енергію, імпульс тощо.

Показано, що вище зазначене положення має місце і для субгармонічних гравітаційних хвиль - модульованих періодичних хвиль великої амплітуди з гребенями різної висоти, які утворюються внаслідок нестійкостей стоксових хвиль.

Підтверджено гіпотезу Гранта, що сингулярність стоксової хвилі максимальної амплітуди з кутом 120o на гребені утворюється шляхом поєднання кількох сингулярностей 90o.

Розроблено новий спектральний метод розрахунку стаціонарних періодичних хвиль у випадку нескінченної глибини, оптимізований для ефективного обчислення крутих хвиль, що мають загострену форму, - узагальнений метод Фур'є розкладів. Запропоновано нову загальну реалізацію методу звичайних Фур'є розкладів для довільної глибини, включаючи випадок субгармонічних хвиль.

Практичне значення одержаних результатів. Реальні фізичні об'єкти, до яких застосовна теорія, викладена в дисертаційній роботі, є великомасштабні морські й океанські хвилі метрової та більшої довжини. Одержані теоретичні результати важливі для розуміння та пояснення процесу перекиду і руйнування морських і океанських хвиль. Дисертаційна робота присвячена постановці, аналізу та розв'язку суттєво нелінійних задач, що значно підвищує її наукову, академічну та методологічну цінність. Розроблені методи розрахунку хвиль на поверхні рідини можуть бути використані в інших областях теоретичної фізики.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертації опубліковано в статтях [1-10].

У роботах [1, 3] здобувач встановив існування нового сімейства гравітаційних хвиль (нерегулярні хвилі) чисельно. Здобувачеві також належать технічна та програмна (комп'ютерна) реалізація методу Фур'є розкладів, включаючи аналітичні вирази для матриць Якобі, використання швидкого перетворення Фур'є, обчислень з довільною комп'ютерною арифметикою; підтвердження одержаних результатів незалежним методом колокацій; розрахунок ліній струму та особливих точок. У роботі [2] здобувачеві належать технічна та програмна реалізація методу дробових Фур'є розкладів; застосування нелінійного перетворення горизонтального масштабу для прискорення збіжності Фур'є розкладів профілю вільної поверхні; огляд літератури; аналіз феномена Гіббса; ілюстрація того, що одержані нерегулярні хвилі мають загострені гребені при всіх амплітудах, для яких ці хвилі існують; чисельне підтвердження гіпотези Гранта. У роботі [7] здобувачеві належать узагальнення методу для розрахунку субгармонічних хвиль; дослідження хвиль на стійкість. У методологічних роботах [4, 5, 8-10] здобувачеві належать технічна та програмна (комп'ютерна) реалізація методів; дослідження розв'язків на стійкість; узагальнення методів для врахування субгармонік; всі чисельні розрахунки.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації представлено на 13 міжнародних конференціях: 21st Int. Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Warsaw, Poland, 2004); 5th Euromech Fluid Mechanics Conf. (Toulouse, France, 2003); EGS-AGU-EUG Joint Assembly (General Assembly of the European Geophysical Society, Nice, France, 2003); Conf. on Computational Physics (San Diego, California, 2002); 27th General Assembly of the European Geophysical Society (Nice, France, 2002); 26th General Assembly of the European Geophysical Society (Nice, France, 2001); Conf. on Computational Physics (Aahemn, Germany, 2001); Progress in Nonlinear Science Conf. (Nizhny Novgorod, Russia, 2001); Міжн. конф. студентів і молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики Евріка-2001 (Львів, Україна, 2001); XIII Congress on Mathematical Physics (London, UK, 2000); Міжн. конф., присвячена сторіччю від дня народження М.О. Лаврентьєва (Київ, Україна, 2000); Міжн. конф. “Сучасні проблеми математики” (Чернівці-Київ, Україна, 1998); Міжн. конф. “Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань” (Київ, Україна, 1997).

Публікації. Всі результати дисертації опубліковано в 10 статтях у наукових фахових виданнях та 19 тезах конференцій.

Структура дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів основної частини, загальних висновків, списку використаних джерел і 11 додатків. Загальний обсяг дисертації - 194 сторінки, основна частина - 134 сторінки, додатків - 60 сторінок, список літератури включає 187 найменувань на 11 сторінках. Робота містить 9 таблиць на 9 сторінках та 26 ілюстрацій на 23 сторінках.

гравітаційний періодичний хвиля гідродинаміка



Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність і доцільність теми дисертації; визначено мету, об'єкт і предмет дослідження; викладено його методологічні та теоретичні засади; розкрито наукову новизну, теоретичне і практичне значення одержаних результатів; зазначено особистий внесок здобувача; наведено інформацію про апробацію результатів дослідження та публікації.

У першому розділі - “Рівняння руху та основні властивості гравітаційних хвиль на поверхні рідини” - розглядаються рівняння руху ідеальної рідини та канонічна модель розповсюдження гравітаційних хвиль на її поверхні, аналізуються наближення цієї моделі, окреслюються основні властивості відомого сімейства розв'язків канонічної моделі - стоксових хвиль та аналізуються відомі методи їх розрахунку [6]. Викладений матеріал логічно підводить до невирішених задач, що визначають основні цілі дисертаційної роботи.

Канонічна модель. Рівняння руху. Стаціонарні періодичні двовимірні гравітаційні хвилі на поверхні рідини та пов'язані з ними потоки всередині рідини описуються в межах канонічної моделі гідродинаміки такими рівняннями:

;(4)

де (1) - рівняння Лапласа в усій області, що зайнята рідиною; (2) - динамічна гранична умова на вільній поверхні - рівняння Бернуллі; (3) - кінематична гранична умова на вільній поверхні - рівняння неперервності потоку (вільна поверхня є лінією струму); (4) - гранична умова на дні (дно є лінією струму); означає усереднення за просторовим періодом. Обрані система відліку та позначення наведено на рис. 1. При цьому h - глибина рідини відносно середнього рівня хвилі, що збігається з рівнем спокійної води (); - час; - потенціал швидкості: ; - функція струму, що визначається умовами Коші-Рімана ; ; - функція струму у власній системі відліку хвилі, де хвиля нерухома; B - стала Бернуллі, для випадку нескінченної глибини (глибока вода) ; - імпульс хвилі.

Безрозмірні змінні обрано так, що хвильовий вектор , довжина хвилі , прискорення вільного падіння , густина рідини .

Оскільки рівняння руху консервативні, то початкова умова, що має накладатись додатково до граничних умов, однозначно визначає енергію системи, що є вільним параметром моделі. Замість енергії в якості вільного параметра зручніше обирати безрозмірну амплітуду (висоту, крутизну) хвилі - вертикальну відстань від впадини до гребеня, нормовану на довжину хвилі:

Таким чином, при фіксованій глибині h визначенню підлягають потенціал швидкості , профіль вільної поверхні та фазова швидкість хвилі c залежно від одного вільного параметру - амплітуди хвилі A; через них виражатимуться всі інші величини та параметри хвилі. Зокрема, лінії струму - траєкторії частинок рідини (під частинками рідини розуміємо фізично нескінченно малі частинки моделі суцільного середовища) у власній системі відліку хвилі - знаходяться з системи диференціальних рівнянь

Незважаючи на всі зроблені спрощення, рівняння канонічної моделі залишаються математично складними для розв'язку: (1) рівняння в загальному випадку хвиль великої амплітуди суттєво нелінійні (рівняння Бернуллі квадратичне за швидкістю); (2) граничні умови задані на невідомій вільній поверхні. Внаслідок цього точний розв'язок канонічної моделі можна знайти лише для хвиль нескінченно малої амплітуди (лінійних хвиль), коли можна нехтувати нелінійністю граничних умов. Зокрема, фазова швидкість лінійної хвилі (у випадку глибокої води ); форма вільної поверхні є косинусоїда; швидкість частинок рідини нескінченно мала порівняно з фазовою швидкістю хвилі. В іншому випадку можна знайти лише наближені апроксимації розв'язків канонічної моделі. При цьому на допомогу приходять чисельно-аналітичні методи пошуку наближених розв'язків нелінійних рівнянь, побудові яких присвячено методологічні роботи здобувача [4, 5, 8-10, 20, 25-29]. На основі цих досліджень і реалізовано спектральні методи пошуку наближених розв'язків канонічної моделі, розробці яких присвячено другий розділ дисертаційної роботи - “Спектральні методи розрахунку стаціонарних періодичних хвиль”.

Квадратична нелінійність рівняння Бернуллі. Два можливі види розв'язків.

З рівняння Бернуллі (2) для швидкості поверхневих частинок рідини маємо

Видно, що внаслідок своєї квадратичності рівняння Бернуллі допускає як від'ємні, так і додатні значення швидкості частинок на поверхні рідини у власній системі відліку хвилі. Зокрема, швидкість частинки на гребені хвилі дорівнює

Розв'язки, для яких при всіх (і які на одному періоді мають лише один гребінь і одну впадину Існують також розв'язки, що мають гребені різної висоти, - субгармонічні хвилі.), представляють сімейство відомих стоксових хвиль, знак “-” у формулах (7) і (8). Відповідний потік рідини називатимемо регулярним. Стоксові хвилі симетричні Гарабедян (1965 р.) довів, що взагалі не існують несиметричні розв'язки канонічної моделі, які на одному періоді мають лише один гребінь і одну впадину. як відносно гребеня, так і відносно впадини, і рухаються швидше за частинки рідини в усій області, що зайнята рідиною. При збільшенні амплітуди стоксових хвиль швидкість частинки рідини на гребені (у власній системі відліку хвилі) зростає від значення для хвилі нескінченно малої амплітуди до граничного значення для хвилі максимальної амплітуди - граничної хвилі Стокса.

На гребені хвилі максимальної амплітуди потік нерухомий у власній системі відліку хвилі. Такі особливі точки, де швидкість потоку обертається в нуль, називаються точками застою або критичними точками. З кінематичної граничної умови (3) видно, що в точці поверхні, де і , похідна невизначена, тобто має розрив, хоча сам профіль неперервний. Отже, якщо на гребені хвилі , то він утворює кут, де похідна має розрив. Такі хвилі називатимемо гостро-гребеневими. Знаменита теорема Стокса (1880 р.) полягає в наступному: якщо гребінь хвилі утворює кут, то він дорівнює 120o. Таким чином, гребінь граничної хвилі Стокса утворює 120o кут.

Формули (7) і (8) не заперечують можливості існування іншого сімейства хвиль, коли швидкості частинок на певних ділянках вільної поверхні перевищують фазову швидкість хвилі. Проте, на даний момент однопараметричне сімейство стоксових хвиль при кожному фіксованому h - єдине відоме сімейство розв'язків канонічної моделі з однаковими гребенями і впадинами. Якщо поверхневі частинки рідини рухаються швидше за саму хвилю, то це призводить до руйнування хвилі, тобто не можуть існувати прогресивні гравітаційні Для гравітаційно-капілярних хвиль (рух яких обумовлюється одночасно впливом сили тяжіння та поверхневим натягом) ситуація інша. Існує одночасно кілька різних сімейств гравітаційно-капілярних хвиль, профілі яких при достатньо великих амплітудах не є однозначними кривими, тобто швидкості частинок на певних ділянках вільної поверхні перевищують фазову швидкість хвилі. Див. Debiane M., Kharif C. A new way for the calculation of steady periodic capillary-gravity waves on deep water // European Journal of Mechanics, B/Fluids. - 1997. - Vol. 16, № 2. - P. 257-275. хвилі сталої форми з . Умова того, що горизонтальні швидкості частинок рідини на гребенях хвилі перевищують швидкість самих гребенів, є традиційним критерієм руйнування хвиль Banner M.L., Peregrine D.H. Wave breaking in deep water // Ann. Rev. Fluid Mech. - 1993. - Vol. 25. - P. 373-397. - P. 386.. Таким чином, утворення кута на гребені хвилі є індикатором початку її перекиду і руйнування.

Яким же розв'язкам тоді відповідає знак “+” у формулі (8)? Єдиним можливим варіантом є такий, що для кожного представника сімейства розв'язків зі знаком “+” справджуватиметься умова , тобто . Таким чином, з рівняння Бернуллі випливає, що окрім відомого сімейства стоксових хвиль, знак “-” у формулі (8), може існувати друге сімейство розв'язків, знак “+” у формулі (8), причому кожний представник цього сімейства має мати особливу (критичну) точку на гребені, тоді як для сімейства стоксових хвиль таку властивість має лише гранична хвиля максимальної амплітуди. Отже, фундаментальна гіпотеза дисертаційної роботи полягає в тому, що можуть існувати гостро-гребеневі хвилі з іншими амплітудами, ніж у граничної хвилі Стокса. Непряме підтвердження цьому припущенню забезпечують експериментальні спостереження того, що хвилі можуть перекидатись і при амплітудах, значно менших за теоретично розраховану амплітуду граничної хвилі Стокса Монин А.С., Красицкий В.П. Явления на поверхности океана. - Л.: Гидрометеоиздат, 1985. - 376 с. - С. 105.. Зауважимо також, що доведення теореми Стокса не залежить від амплітуди хвилі, а, отже, не заперечує можливості існування гостро-гребеневих хвиль іншої амплітуди, ніж гранична хвиля Стокса. Чисельному обґрунтуванню даної гіпотези та аналізу процесу утворення граничної хвилі Стокса присвячено третій розділ дисертаційної роботи - “Хвилі з загостреними гребенями та нерегулярні потоки”.

Спектральні методи розрахунку стаціонарних періодичних хвиль. Класичний метод Фур'є розкладів для пошуку розв'язків канонічної моделі фактично започаткував Стокс (1847 р.), цей метод відомий також як перший метод Стокса. В дисертаційній роботі запропоновано нову загальну реалізацію цього методу в термінах комплексних функцій для випадку довільної глибини [3, 7, 23].

Обрізаний розклад Фур'є для потенціалу швидкості має вигляд

де для зручності введено комплексну функцію R так, що , , ; * означає комплексне спряження. Розклад (9) автоматично задовольняє рівняння Лапласа (1) та умову на дні (4). Для нескінченної глибини () і (). Для профілю вільної поверхні маємо

При розклади (9) і (10) представляють точний розв'язок рівнянь руху. В безпосередніх же розрахунках N і M скінченні, чим більше гармонік (коефіцієнтів розкладів) враховано, тим вища чисельна точність наближеного розв'язку. Подальша процедура така: розклади (9), (10) підставляються в динамічну та кінематичну граничні умови (2), (3); прирівнюються коефіцієнти при однакових експонентах; одержується система нелінійних алгебраїчних рівнянь для невідомих коефіцієнтів (), () та фазової швидкості хвилі c. Ця система рівнянь розв'язується чисельно методом Ньютона, використовуючи швидке перетворення Фур'є для розрахунку гармонік експоненціальних функцій. Коефіцієнти та в загальному випадку комплексні, для симетричних же хвиль вони дійсні.

З ростом амплітуди хвилі її гребені загострюються, а впадини сплощуються. При цьому коефіцієнти звичайних Фур'є розкладів (9), (10) спадають з ростом свого номера все повільніше, і для одержання достатньої точності при розрахунку хвиль загостреної форми необхідно враховувати значно більше число коефіцієнтів, ніж це дозволяє навіть найсучасніша комп'ютерна техніка. Тому в дисертаційній роботі для випадку нескінченної глибини запропоновано новий спектральний метод, оптимізований для ефективного обчислення крутих хвиль, що мають загострену форму, - метод дробових Фур'є розкладів та окреслено принцип його узагальнення на випадок скінченної глибини [2, 13, 15, 16].

Ідея методу полягає у виборі ефективнішого набору функцій, по яких розкладається потенціал швидкості. Для цього було використано метод Ейлера сумування рядів Хемминг Р.В. Численные методы: Пер. с англ. - М.: Наука, 1968. - 400 с. - С. 64.. Одержаний розклад потенціалу швидкості (для глибокої води) має вигляд

де - вільний параметр для прискорення збіжності розкладу потенціалу швидкості. При розклад (11) перетворюється в звичайний розклад Фур'є (9). При розклади (11) і (9) еквівалентні () для всіх , проте дробовий розклад (11) при збігається значно швидше. Тому для одержання однакової чисельної точності дробовий розклад (11) вимагає врахування значно меншого числа коефіцієнтів, ніж звичайний Фур'є розклад (9).

Для прискорення збіжності розкладу профілю вільної поверхні використано нелінійне перетворення горизонтального масштабу Chen B., Saffman P.G. Numerical evidence for the existence of new types of gravity waves of permanent form on deep water // Stud. Appl. Math. - 1980. - Vol. 62. - P. 1-21.

що зосереджує чисельний алгоритм на області гребеня. Тоді в розкладі

при для одержання тієї ж чисельної точності необхідно врахувати значно менше число коефіцієнтів, ніж у ряді (10). Подальша процедура аналогічна методу звичайних Фур'є розкладів. При безпосередніх розрахунках значення вільних параметрів і методу та співвідношення між числами N і M обираються такими, щоб загальна чисельна похибка була якнайменша. (Чисельна похибка визначається тим, наскільки точно наближені розклади (11) і (13) задовольняють динамічну та кінематичну граничні умови на всьому періоді хвилі.) При розрахунку майже найвищих хвиль перевага точності методу дробових Фур'є розкладів над методом звичайних Фур'є розкладів складає від одного до десяти порядків залежно від амплітуди хвилі.

Зауважимо, що існують багато інших методів пошуку наближених розв'язків канонічної моделі. Переважна частина з них основана на методі конформних відображень фізичної площини (де незалежними змінними є просторові координати та час) до оберненої площини (де незалежними змінними є потенціал швидкості та функція струму). Перевагою цих методів є те, що в оберненій площині вільна поверхня - відома лінія . Визначальним же недоліком є те, що метод оберненої площини незастосовний до задач розрахунку тривимірних хвиль, які в останнє десятиріччя набувають все вагомішого значення, оскільки функція струму - суттєво двовимірне поняття. Для розрахунку тривимірних хвиль можуть бути використані лише методи фізичної площини, на яких, зважаючи на цю перспективу, і зосереджено методологічну частину дисертаційної роботи.

Утворення граничної хвилі Стокса. Гіпотеза Гранта. Яка природа сингулярності граничної хвилі Стокса? Грант (1973 р.) показав Grant M.A. The singularity at the crest of a finite amplitude progressive Stokes wave // J. Fluid Mech. - 1973. - Vol. 59. - P. 257-262., що для стоксових хвиль, які не досягли граничної форми, критична точка лежить над гребенем хвилі за межами потоку в області його аналітичного продовження. З ростом амплітуди хвилі особлива точка та гребінь хвилі наближаються один до одного і в граничному випадку дотикаються, при цьому профіль хвилі утворює кут (гребені хвиль майже граничної амплітуди залишаються округлими). Проблема полягає в тому, що для будь-якої стоксової хвилі, навіть нескінченно близької до граничної, особлива точка має порядок 90o, а не 120o, як в граничному випадку. Тому Грант висунув гіпотезу, що неперервний підхід до граничної хвилі Стокса можливий лише за умови, що сингулярність 120o утворюється шляхом поєднання кількох сингулярностей 90o. Проте ані математичного, ані чисельного підтвердження гіпотези Гранта досі не було. Дисертаційна робота представляє перше чисельне підтвердження цієї гіпотези [2, 12].

На рис. 2 для випадку нескінченної глибини зображено лінії струму (власна система відліку хвилі) поблизу гребеня майже найвищих стоксових хвиль при двох різних значеннях амплітуди хвилі разом з аналітичним продовженням потоку за межі області, що зайнята рідиною. Відмітимо, що з ростом амплітуди гребінь хвилі загострюється, наближаючись до особливої точки O (яка має порядок 90o). Видно також, що при над гребенем хвилі на деякій відстані від вертикальної вісі існують дві додаткові симетричні особливі точки і . Ці побічні особливі точки існують також і при A = 0.14092 (та, зрозуміло, й при ще менших амплітудах), але вони розташовані за межами масштабу, обраного на рис. 2. Більш того, точки і є лише першими в цілому наборі подібних додаткових особливих точок, розташованих майже рівновіддалено одна від одної вздовж горизонтальної координати, зберігаючи при цьому майже незмінне вертикальне положення при фіксованій амплітуді A. При збільшенні амплітуди особливі точки і (разом з усіма іншими побічними точками) рухаються в напрямі центральної особливої точки O, при цьому відстань між усіма особливими точками зменшується. Таким чином, сингулярність 120o граничної хвилі Стокса дійсно утворюється поєднанням кількох (а, можливо, і нескінченного числа) сингулярностей 90o, що підтверджує гіпотезу Гранта.

Нерегулярні хвилі. На рис. 3 зображено залежність фазової швидкості c майже найвищих хвиль від амплітуди A у випадку нескінченної глибини (криві розраховано методом дробових Фур'є розкладів). Стоксовим хвилям відповідає крива 1-2-4. При збільшенні амплітуди фазова швидкість стоксових хвиль монотонно зростає від значення для хвиль нескінченно малої амплітуди () доти, доки не досягає свого максимуму (точка 1, ). Отже, хвиля максимальної амплітуди (точка 4, ) не є найшвидшою (а також не має найбільшу енергію та імпульс), це вперше встановив Лонге-Хіггінс (1975 р.). Пізніше Лонге-Хіггінс і Фокс (1978 р.) на основі асимптотичного аналізу показали, що фазова швидкість хвилі та її інші характеристики при підході до хвилі граничної форми взагалі мають нескінченну послідовність локальних максимумів і мінімумів. Перший локальний мінімум фазової швидкості хвилі зображено на рис. 3 точкою 2 (). Безпосередній же розрахунок вищих екстремумів фазової швидкості досі представляє надскладну технічну задачу. Лише кілька методів оберненої площини, зокрема метод Танаки Tanaka M. The stability of solitary waves // Phys. Fluids. - 1986. - Vol. 29, № 3. - P. 650-655. Автор вдячний професору Міцухіро Танаці за люб'язно надану копію комп'ютерної програми, де реалізовано цей метод., здатні виявити другий локальний максимум (точка 3, ) та другий локальний мінімум.

Головним результатом дисертаційної роботи є встановлення нового раніше невідомого сімейства (за амплітудою A) наближених розв'язків канонічної моделі, зображеного на рис. 3 кривою 4-5. На відміну від гілки стоксових хвиль 1-2-4 (яку розраховано з достатньою точністю так, що її положення не змінюється при подальшому зменшенні чисельної похибки) точності, яку вдається досягти навіть за допомогою методу дробових Фур'є розкладів, недостатньо для стабілізації положення кривої 4-5. Причиною цьому є сингулярність кожного представника одержаного сімейства розв'язків 4-5. Визначальною особливістю цих наближених розв'язків є те, що критична точка тепер знаходиться всередині області потоку. Це призводить до того, що лінії струму стають розривними поблизу гребеня хвилі, при цьому швидкість частинок рідини навколо гребеня перевищує фазову швидкість хвилі. Внаслідок цього такі наближені розв'язки та відповідний потік рідини було названо нерегулярними [1, 12, 17, 18, 21, 22].

Приклад нерегулярного потоку () поблизу гребеня хвилі наведено на рис. 4. Видно, що внаслідок чисельної похибки профіль нерегулярної хвилі , який скрізь залишається неперервною функцією, навколо гребеня не збігається з розривною лінією струму , що також має описувати вільну поверхню хвилі. В чому причина такої неточності? Яким точним розв'язкам канонічної моделі відповідають наближені нерегулярні потоки, тобто які форма та властивості нерегулярної хвилі, коли її чисельна похибка прямує до нуля? Точність розрахунків, яку на даний момент вдалося досягти навіть спеціально розробленим методом дробових Фур'є розкладів, не дозволяє безпосередньо дати відповідь на ці питання. Проте, можна провести такі міркування.

Ідея полягає в тому, що осциляції, які показує профіль нерегулярної хвилі при підході до гребеня, та чітко виражений пік (надвишок), що при цьому утворює гребінь хвилі, є характерними ознаками феномену Гіббса Arfken G.B., Weber H.J. Mathematical Methods for Physicists. - 4 edn. - London: Academic Press, 1995. - 1029 p. - P. 836-839., коли (1) розривна функція або (2) неперервна функція з розривною похідною (слабкий розрив) апроксимуються обрізаним набором неперервних функцій. При цьому збільшення числа мод, що враховуються, ніколи не призводить до повного зникнення феномену Гіббса, а лише до його більшої локалізації навколо сингулярності. Рисунок 5 показує, як змінюється профіль нерегулярної хвилі поблизу гребеня при покращенні чисельної точності внаслідок переходу від звичайних до дробових Фур'є розкладів. Видно, що надвишок стискається як у вертикальному, так і в горизонтальному масштабах, при цьому положення найвищої точки гребеня залишається майже незмінним. Це в точності відповідає поведінці феномену Гіббса у випадку неперервної функції з розривною похідною. При збільшенні чисельної точності в 6 разів як вертикальний, так і горизонтальний масштаби надвишка зменшились приблизно в п'ять разів. При цьому відстань між особливою точкою та найвищою точкою гребеня зменшилась приблизно в чотири рази. При подальшому збільшенні чисельної точності слід очікувати, що надвишок стиснеться в єдину точку на гребені хвилі, куди має піднятись особлива точка. Швидкість частинки рідини на гребені має зменшитись до нуля, а сам гребінь утворити кут подібно до граничної хвилі Стокса. При цьому профіль хвилі збігатиметься з лінією струму на всій вільній поверхні. З рис. 5 також видно, що при одній і тій же амплітуді регулярна стоксова та нерегулярна хвилі відрізняються лише поблизу гребеня - на решті періоду профілі цих двох хвиль майже однакові.

Таким чином, наближені нерегулярні розв'язки, представлені в дисертаційній роботі, відповідають сімейству гостро-гребеневих хвиль, що за своїми властивостями подібні до граничної хвилі Стокса, але мають меншу амплітуду. На даний момент не вдалося встановити, чи такі розв'язки існують при малих амплітудах, але для майже найвищих хвиль при кожній амплітуді існує два розв'язки канонічної моделі: регулярна стоксова хвиля з округлим гребенем та гостро-гребенева хвиля, що наближено описується знайденими нерегулярними потоками. Наближені розв'язки у вигляді нерегулярних хвиль одержано також і для скінченної глибини, відповідні результати представлено в тексті дисертаційної роботи.

Субгармонічні хвилі. Достатньо круті стоксові хвилі в певному діапазоні амплітуд нестійкі відносно двовимірних субгармонічних збурень, що мають кратну довжину до довжини незбуреної хвилі , де m - натуральне число. В точках нестійкостей внаслідок субгармонічних біфуркацій утворюються нові симетричні стаціонарні розв'язки канонічної моделі з періодами, в m разів більшими за період нестійкої стоксової хвилі, - cубгармонічні хвилі. Вони характеризуються тим, що на одному періоді мають гребені різної висоти. Аналіз субгармонічних хвиль важливий для розуміння динаміки штормових хвиль, в яких округлі гребені помірної висоти змінюються на круті загострені великоамплітудні гребені (явище дев'ятого валу). Тому частину з викладених вище результатів дисертаційної роботи узагальнено для субгармонічних хвиль, а саме: знайдено нерегулярні субгармонічні хвилі; запропоновано нову загальну реалізацію методу звичайних Фур'є розкладів [7, 11, 14, 19, 24].



Висновки

У дисертації проведено цілісний теоретичний аналіз динаміки крутих гравітаційних хвиль на поверхні рідини в межах канонічної моделі гідродинаміки.

1. Знайдено нове раніше невідоме сімейство сингулярних періодичних потенціальних гравітаційних хвиль з загостреними гребенями (нерегулярні хвилі), відмінні від відомих стоксових хвиль. Показано, що залежність фазової швидкості гравітаційних хвиль від амплітуди (амплітудно-частотна характеристика) має неоднозначний характер в області великих амплітуд, близьких до граничної. При кожній амплітуді існують гравітаційні хвилі з двома різними конфігураціями профілю вільної поверхні: хвиля з округлим гребенем (стоксові хвилі) та хвиля з загостреним гребенем (нерегулярні хвилі). Ці хвилі мають різні фазові швидкості, енергію, імпульс тощо. Аналіз властивостей нерегулярних хвиль вказує на те, що їх гребені утворюють кут при всіх амплітудах, для яких ці хвилі існують, тоді як для стоксових хвиль таку властивість має лише гранична хвиля максимальної амплітуди з кутом 120o на гребені. При цьому нерегулярні хвилі мають меншу амплітуду, ніж гранична хвиля Стокса. Оскільки утворення кута на гребенях гравітаційних хвиль є традиційним критерієм початку їх перекиду і руйнування, то знайдені нерегулярні хвилі можуть надати пояснення експериментальним спостереженням того, що хвилі можуть руйнуватись при амплітудах, менших за теоретично розраховану амплітуду граничної хвилі Стокса.

2. Показано, що вище зазначене положення має місце і для субгармонічних гравітаційних хвиль - модульованих періодичних хвиль великої амплітуди з гребенями різної висоти, які утворюються внаслідок нестійкостей стоксових хвиль.

3. Підтверджено гіпотезу Гранта, яка полягає в тому, що сингулярність стоксової хвилі максимальної амплітуди з кутом 120o на гребені утворюється шляхом поєднання кількох сингулярностей 90o.

4. Розроблено новий спектральний метод розрахунку стаціонарних періодичних хвиль у випадку нескінченної глибини, оптимізований для ефективного обчислення крутих хвиль, що мають загострену форму, - узагальнений метод Фур'є розкладів. Запропоновано нову загальну реалізацію методу звичайних Фур'є розкладів для довільної глибини, включаючи випадок субгармонічних хвиль.



Основні положення дисертації опубліковано в таких працях

Статті в наукових фахових виданнях:

1. Lukomsky V.P., Gandzha I.S., Lukomsky D.V. Steep sharp-crested gravity waves on deep water // Physical Review Letters. - 2002. - Vol. 89, № 16. - P. 164502-1-4.

2. Lukomsky V.P., Gandzha I.S. Fractional Fourier approximations for potential gravity waves on deep water // Nonlinear Processes in Geophysics. - 2003. - Vol. 10, № 6. - P. 599-614.

3. Lukomsky V.P., Gandzha I.S., Lukomsky D.V. Computational analysis of the almost-highest waves on deep water // Computer Physics Communications. - 2002. - Vol. 147, № 1-2. - P. 548-551.

4. Lukomsky V.P., Gandzha I.S. Uniform expansions of periodic solutions to strongly non-linear evolution equations with odd polynomial non-linearity // Nonlinear Dynamics. - 2003. - Vol. 32, № 4. - P. 345-370.

5. Lukomsky V.P., Gandzha I.S. Cascades of subharmonic stationary states in strongly non-linear driven planar systems // Journal of Sound and Vibration. - 2004. - Vol. 275, №1-2. - P. 351-373.

6. Ганджа І.С. Гравітаційні хвилі на поверхні рідини // Нелінійні процеси в фізиці: коливання, хвилі, самоорганізація / Чалий О.В., Лукомський В.П., Ганджа І.С., Цехмістер Я.В., Чалий К.О. - К.: Наукова думка, 2004. - С. 93-230.

Статті:

7. Ганджа І.С., Лукомський В.П. Субгармонічні стаціонарні стани та нестійкості крутих симетричних гравітаційних хвиль на поверхні рідини довільної глибини // Вісник Львівського університету. Серія фізична. - 2001. - Т. 34. - С. 174-178.

8. Лукомський В.П., Ганджа І.С. Супер- і субгармонійні резонанси в сильнонелінійних вимушених коливаннях // Вісник Київського університету. Фізика. - 2000. - Т. 2. - С. 37-40.

9. Лукомський В.П., Ганджа І.С., Лукомський Д.В. До теорії рівномірних розкладів періодичних розв'язків нелінійних рівнянь // Волинський математичний вісник. - 1998. - № 5. - C. 86-91.

10. Лукомський В.П., Ганджа І.С., Лукомський Д.В. Рівномірні розклади періодичних розв'язків нелінійних рівнянь // Вісник державного університету "Львівська політехніка". - 1998. - № 337. - С. 130-133.

11. Тези доповідей:

12. Lukomsky V.P., Gandzha I.S., Tsekhmister Y.V. Sharpening and breaking of subharmonic gravity waves on deep water // Abstracts of the 21st Int. Congress of Theoretical and Applied Mechanics. - Warsaw (Poland). - 2004. - P. 197, FM26_11591.

13. Gandzha I.S., Lukomsky V.P. Discontinuous irregular flows near the crests of surface gravity water waves // Abstracts of the 5th Euromech Fluid Mechanics Conf. - Toulouse (France). - 2003. - P. 427.

14. Lukomsky V.P., Gandzha I.S., Lukomsky D.V., Tsekhmister Y.V., Chalyi A.V. Singular Fourier approximations for calculating potential water waves on infinite depth // Abstracts of the 5th Euromech Fluid Mechanics Conf. - Toulouse (France). - 2003. - P. 454.

15. Gandzha I.S., Lukomsky V.P., Lukomsky D.V. Sharp-crested subharmonic gravity waves with discontinuous streamlines // Geophysical Research Abstracts (EGS-AGU-EUG Joint Assembly, Nice, France). - 2003. - Vol. 5. - P. A-12430.

16. Gandzha I.S., Lukomsky V.P., Tsekhmister Y.V., Chalyi A.V. Comparison of ordinary and singular Fourier approximations for steep gravity and gravity-capillary waves on deep water // Geophysical Research Abstracts (EGS-AGU-EUG Joint Assembly, Nice, France). - 2003. - Vol. 5. - P. A-12192.

17. Lukomsky V., Gandzha I., Lukomsky D., Tsekhmister Y., Chalyi A. Computational analysis of periodic gravity waves on a free water surface in the vicinity of limiting steepness // Bulletin of the American Physical Society (Conf. on Computational Physics, San Diego, California). - 2002. - Vol. 45, № 5. - P. 34-35.

18. Gandzha I.S., Lukomsky V.P., Lukomsky D.V., Debiane M., Kharif C. Numerical evidence for the existence of a new type of steady gravity waves on deep water // Geophysical Research Abstracts (27th EGS General Assembly, Nice, France). - 2002. - Vol. 4. - P. A-01347.

19. Gandzha I.S., Lukomsky V.P., Tsekhmister Y.V., Chalyi A.V. A new type of steady gravity waves on fluid of arbitrary constant depth // Geophysical Research Abstracts (27th EGS General Assembly, Nice, France). - 2002. - Vol. 4. - P. A_01437.

20. Gandzha I., Lukomsky V., Tsekhmister Y. Subharmonic instabilities of steep gravity waves on the water of arbitrary uniform depth // Geophysical Research Abstracts (26th EGS General Assembly, Nice, France). - 2001. - Vol. 3. - P. 8084.

21. Lukomsky D., Lukomsky V., Sedletsky Y., Gandzha I. Nonlinear evolution of steep gravity waves on the fluid of finite depth // Geophysical Research Abstracts (26th EGS General Assembly, Nice, France). - 2001. - Vol. 3. - P. 8094.

22. Lukomsky V.P., Gandzha I.S., Lukomsky D.V. On the theory of steep gravity waves of limit height on deep water // Proc. Int. Conf. "Progress in Nonlinear Science". -Vol. 2. - University of Nizhny Novgorod: Nizhny Novgorod. - 2002. - P. 246-251.

23. Lukomsky D.V., Gandzha I.S., Lukomsky V.P. On the theory of steep gravity waves of limit height on water of arbitrary depth // Abstracts Int. Conf. "Progress in Nonlinear Science". - Nizhny Novgorod (Russia). - 2001. - P. 158-159.

24. Lukomsky V.P., Gandzha I.S., Lukomsky D.V., Tsekmister Y.V. Computational analysis of the evolution of steep gravity waves on fluid of an arbitrary depth // Abstracts Conf. on Computational Physics. - Aahemn (Germany). - 2001. - P. B98.

25. Gandzha I.S., Lukomsky V.P., Lukomsky D.V. Subharmonic instabilities of symmetric steep gravity waves on the surface of deep fluid // Abstracts Int. Students and Young Scientists Conf. in Theoretical and Experimental Physics Eureca-2001. - Lviv (Ukraine). - 2001. - P. 20-21.

26. Lukomsky V., Gandzha I., Lukomsky D. Effects of nonlinear dispersion of steep gravity waves on the surface of heavy fluid // Abstracts Int. Conf. dedicated to M.A. Lavrentyev on the occasion of his birthday centenary. - Kiev (Ukraine). - 2000. - P. 56.

27. Lukomsky V.P., Gandzha I.S. Uniform expansions of the periodic solutions of strongly nonlinear evolution equations // Abstracts XIII Int. Congress on Mathematical Physics. - London (UK). - 2000. - P. 32.

28. Gandzha I.S. Super and subharmonic resonances in strongly nonlinear forced oscillations // Abstracts XIII Int. Congress on Mathematical Physics. - London (UK). - 2000. - P. 34.

29. Lukomsky V., Gandzha I., Lukomsky D. Uniform asymptotic expansions of the periodic solutions of the ordinal differential equations // Тези Міжн. Конф. “Сучасні проблеми математики”. - Чернівці-Київ (Україна). - 1998. - Ч. 2. - С. 88-93.

30. Lukomsky V., Bobkov V., Lukomsky D., Gandzha I. Stokes' expansions, limit cycles and evolution equations for strongly nonlinear systems // Тези Міжн. конф. “Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань”. - Київ (Україна). - 1997. - С. 105-106.



Ганджа І.С. Особливості розповсюдження крутих гравітаційних хвиль на поверхні рідини. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

Робота присвячена теоретичному вивченню прогресивних потенціальних періодичних стаціонарних двовимірних симетричних гравітаційних хвиль великої амплітуди на поверхні рідини довільної сталої глибини в межах канонічної моделі гідродинаміки, де рідина вважається ідеальною та нестисливою.

Знайдено нове раніше невідоме сімейство сингулярних періодичних потенціальних гравітаційних хвиль з загостреними гребенями - нерегулярні хвилі, відмінні від відомих стоксових хвиль. Аналіз властивостей нерегулярних хвиль вказує на те, що їх гребені утворюють кут при всіх амплітудах, для яких ці хвилі існують, тоді як для стоксових хвиль таку властивість має лише гранична хвиля максимальної амплітуди з кутом 120o на гребені. Вперше підтверджено гіпотезу Гранта, що сингулярність 120o граничної хвилі Стокса утворюється шляхом поєднання кількох сингулярностей 90o.

Для досягнення зазначених результатів розроблено новий спектральний метод дробових Фур'є розкладів розрахунку стаціонарних періодичних хвиль у випадку нескінченної глибини, оптимізований для ефективного обчислення крутих хвиль, що мають загострену форму. Запропоновано нову загальну реалізацію методу звичайних Фур'є розкладів у випадку довільної глибини. Результати роботи узагальнено для субгармонічних хвиль, що утворюються внаслідок нестійкостей стоксових хвиль і мають гребені різної висоти.

Ключові слова: канонічна модель гідродинаміки, ідеальна рідина, гравітаційні хвилі, стоксові хвилі, хвилі великої амплітуди, руйнування хвиль, субгармонічні нестійкості, Фур'є розклади, метод Ньютона.



Ганджа И.С. Особенности распространения крутых гравитационных волн на поверхности жидкости. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2005.

Работа посвящена теоретическому изучению прогрессивных потенциальных периодических стационарных двухмерных симметрических гравитационных волн большой амплитуды на поверхности жидкости произвольной постоянной глубины в рамках канонической модели гидродинамики, где жидкость считается идеальной и несжимаемой. Найдено новое ранее неизвестное семейство сингулярных периодических потенциальных волн с заостренными гребнями - нерегулярные волны, которые отличаются от известных стоксовых волн. Анализ нерегулярных волн указывает на то, что их гребни образуют угол при всех амплитудах, для которых эти волны существуют, тогда как для стоксовых волн такое свойство имеет только предельная волна максимальной амплитуды с углом 120o на гребне. Впервые дано подтверждение гипотезы Гранта, что сингулярность 120o предельной волны Стокса образуется путем объединения нескольких сингулярностей 90o. Для достижения указанных результатов разработан новый спектральный метод дробных Фурье разложений для расчета стационарных периодических волн в случае бесконечной глубины, оптимизированный для эффективного вычисления крутых волн, которые имеют заостренную форму. Предложена новая общая реализация метода обычных Фурье разложений для случая произвольной глубины. Результаты работы обобщены для субгармонических волн, которые образуются вследствие неустойчивостей стоксовых волн и имеют гребни разной высоты.

Ключевые слова: каноническая модель гидродинамики, идеальная жидкость, гравитационные волны, стоксовые волны, волны большой амплитуды, разрушение волн, субгармонические неустойчивости, Фурье разложения, метод Ньютона.

Gandzha I.S. Peculiarities of propagation of steep gravity waves on the surface of fluid. - Manuscript.

The thesis for the Candidate of Sciences degree in Physics and Mathematics, speciality 01.04.02 - Theoretical Physics. - Taras Shevchenko Kyiv National University, 2005.

The thesis deals with a theoretical study of the progressive potential periodic steady two-dimensional symmetric gravity waves of large amplitude (steep waves) on the surface of the fluid of arbitrary uniform depth, in the framework of the canonical model of hydrodynamics, where fluid is assumed to be ideal and incompressible.

The starting idea is that the Bernoulli equation (which represents the dynamical boundary condition at the free surface) is quadratic in velocity and admits at least two different values of the particle speed at the wave crest for any wave amplitude (trough-to-crest height). In the wave related frame of reference where the wave is motionless, the first value is negative and corresponds to the well-known family of Stokes waves, it is equal to zero only in the limiting case for the wave of maximum amplitude (limiting Stokes wave) that forms a sharp 120o corner at the crest. The second value is always positive or zero. The horizontal water velocities in the crest exceeding the wave phase speed, the wave eventually breaks, so, there cannot exist gravity waves of permanent form with positive velocities of fluid particles at the wave crest, in the wave related frame of reference. Therefore, the only possibility for the second value is to be zero for any wave amplitude. Thus, the thesis key conjecture is that the canonical model may admit sharp-crested (corner) waves with amplitudes less than that of the limiting Stokes wave.

The results of calculations support this assumption. The thesis provides a numerical evidence for the existence of a new type of approximate singular solutions to the canonical model, which were called the “irregular waves”. When the numerical accuracy of these approximate solutions is improved, their behavior demonstrates that the crests of irregular waves form sharp corners for any wave amplitude, for which they exist, whereas only the limiting wave of maximum amplitude shows such a feature in the case of Stokes waves. The irregular solutions found may provide an explanation for the experimental observation that gravity waves usually break before the limiting Stokes wave amplitude is attained, that is, at much lesser amplitudes.