Негідростатична модель стратифікованих течій з вільною поверхнею

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут гідромеханіки

01.02.05 - Механіка рідини, газу та плазми

Автореферат

дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук

Негідростатична модель стратифікованих течій з вільною поверхнею

Канарська Юлія Віталіївна

Київ 2004

Дисертація є рукопис

Робота виконана в Інституті проблем математичних машин і систем НАН України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, Мадерич Володимир Станіславович, Інститут проблем математичних машин і систем НАН України, завідувач відділу моделювання морських та річкових систем

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, Воропаєв Генадій Олександрович, Інститут гідромеханіки НАН України, завідувач відділу гідробіоніки та керування граничним шаром

доктор технічних наук, Лимарченко Олег Степанович, Міжнародний Математичний Центр НАН України, завідувач відділу інформаційних технологій

Провідна установа: - Морський гідрофізичний інститут НАН України (м. Севастополь)

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту гідромеханіки НАН України

Вчений секретар спеціалізованої ради Д26.196.01 доктор технічних наук, професор С.І. Криль



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми Рівняння Нав'є-Стокса разом з рівняннями збереження солі та тепла та рівняння стану описують весь спектр рухів стратифікованої рідини в океанах, морях та інших водоймах. Такий спектр може включати процеси з різними просторовими та часовими масштабами - від течій рідини, що вивчаються в лабораторних умовах до циркуляції океану. Якщо при вивченні, наприклад, ідеалізованих хвильових процесів в теоретичних дослідженнях використовуються аналітичні та асимптотичні методи, то в багатьох задачах геофізичної гідродинаміки для вивчення складних течій з сукупністю різноманітних нелінійних процесів з'являється необхідність в чисельному моделюванні таких течій. З урахуванням характеру процесу, що досліджується, в чисельних моделях вводиться ряд апроксимацій. Так для задач, в яких вертикальні масштаби рухів набагато менші, ніж горизонтальні, широкого розповсюдження набули чисельні моделі, в яких рівняння руху для вертикальної компоненти швидкості замінюється на рівняння гідростатичного балансу для вертикальної компоненти градієнта тиску. Однак в багатьох випадках гідростатичне наближення не відображає коректно гідродинаміку процесів. Такими є задачі, в яких вертикальна складова руху, а отже і негідростатична компонента тиску є істотними, що має місце, наприклад, у випадках різкої зміни рельєфу дна, при дослідженні коротких гравітаційних хвиль, для течій, що обумовлені значними градієнтами густини, а також для ряду задач, де це наближення не дає змогу коректного опису структури течій. До таких задач також відносяться складні динамічні процеси виникнення, розповсюдження трансформації нелінійних внутрішніх хвиль в озерах та резервуарах (див. напр. D.A. Horn та ін., 2001). Такі фізичні процеси є недостатньо вивченими і потребують детального дослідження: теоретичного, експериментального та чисельного. Роль проток в формуванні гідродинамічних, гідрологічних та екологічних умов морів є відомою (див. напр. V. Maderich 1998). Дослідження взаємодії між морями потребує детального вивчення внутрішньої структури течій та механізмів що керують водообміном в протоках. Необхідність розробки чисельної негідростатичної моделі для дослідження наведених задач, а також моделювання широкого класу задач геофізичної гідродинаміки, в яких негідростатичні ефекти є істотними обумовили актуальність теми дисертації.

В останні роки спостерігається активний розвиток так званого “негідростатичного” моделювання. Найбільш ефективним підходом є використання техніки розщеплення тиску та поля швидкості на гідростатичну та негідростатичну складові з їх наступним послідовним розрахунком (V. Casulli та G. Stelling 1998, J. Marshall та ін. 1997, A. Mahadevan та ін. 1996). Однак, як вже згадувалось, найбільш розповсюдженими при моделюванні крупномасштабних геофізичних течій є гідростатичні моделі, для яких вже розроблено ряд ефективних алгоритмів розв'язання вихідної системи рівнянь. Розробка негідростатичної моделі, яка була б повністю сумісною з вищезгаданими гідростатичними моделями і включала їх як частинний випадок є важливою задачею, так як вона дозволить розширити спектр задач геофізичної гідромеханіки, які розв'язуються чисельними методами. Також, спряженість алгоритмів може дозволити ефективно моделювати та враховувати локальні негідростатичні ефекти для гідрофізичних течій, які в глобальному розумінні є гідростатичними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Робота виконувалась в рамках бюджетної теми “Хвиля” ІПММС (2002-2003), гранту INTAS для молодих вчених INTAS YS №2002-127, а також, проекту CRDF (UG2-2425-SE-02).

Основною метою дисертаційної роботи є розробка чисельної моделі з ефективним алгоритмом розв'язання системи рівнянь, що описують стратифіковані течії нестисливої рідини з вільною поверхнею, тестування моделі та її застосування для дослідження ряду задач геофізичної гідродинаміки. Особливостями моделі є представлення тиску у вигляді суми гідростатичної та негідростатичної компонент, техніка розщеплення за часом для поля швидкості на баротропну та бароклінну складові, а також використання узагальненої криволінійної системи координат.

В ході виконання роботи необхідно було розв'язати такі основні задачі:

1. Розробити ефективний алгоритм розв'язання рівнянь Нав'є-Стокса для стратифікованих течій з вільною поверхнею;

2. Чисельно та програмно реалізувати розроблений алгоритм;

3. Провести тестування моделі на різноманітних прикладах течій та виділити клас задач, до яких може застосовуватись дана модель;

4. Дослідити гідродинаміку течій та внутрішніх хвиль з сильно-нелінійними ефектами в замкненому басейні;

5. Розробити граничні умови на відкритих границях для моделювання водообміну в протоках;

6. Застосувати модель для вивчення гідродинаміки довгих проток;

7. Дослідити гідродинаміку водообміну та перемішування в протоці Дарданелли.

Об'єктом дослідження є стратифіковані течії рідини з вільною поверхнею.

Предметом дослідження є методи моделювання негідростатичних стратифікованих течій рідини з вільною поверхнею.

Достовірність одержаних результатів забезпечується коректною постановкою задачі та виводом основних рівнянь, використання апробованих чисельних методів високого порядку, верифікацією моделі та порівнянням отриманих результатів з аналітичними розв'язками та даними лабораторних і натурних експериментів.

Методи дослідження. В роботі використовувались сучасні методи чисельної гідродинаміки, аналітичні методи, теорія матриць. Для параметризації перемішування використані методи теорії турбулентності. Для експериментальної перевірки моделі використані результати лабораторних та натурних експериментів.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в:

· розробці нової трьохвимірної чисельної моделі, яка дозволяє досліджувати гідродинаміку стратифікованих течій з вільною поверхнею;

· сумісності розробленого алгоритму з широким класом гідростатичних моделей, що дозволяє розширити можливості таких моделей для описання локальних негідростатичних ефектів;

· розробці способу подання граничних умов на відкритих границях для полів солоності, температури та вільної поверхні;

· виявлення особливостей сильно-нелінійної динаміки виродження крупномасштабних хвильових рухів в замкненому прямокутному басейні, яка не досліджувалась в лабораторних умовах та не може бути описана в рамках слабо-нелінійних моделей внутрішніх хвиль;

· детальному аналізі впливу ефектів тертя о дно, бічні стінки та в'язкого втягування рідини між двома шарами потоків в довгих протоках;

· вперше проведеному вивченню змін гідродинамічних характеристик протоки Дарданелли в масштабах сезону.

Практичне значення одержаних результатів

Розроблена чисельна модель дозволяє моделювати широкий клас задач геофізичної гідродинаміки, в яких негідростатичні ефекти є важливими, але які не вивчались до теперішнього часу. Розроблений алгоритм є негідростатичним розширенням великого класу гідростатичних моделей, що дозволяє значно збільшити можливості чисельного моделювання та розширити коло задач геофізичної гідродинаміки, які можливо розв'язати з урахуванням негідростатичних ефектів. Отримані результати моделювання сильно-нелінійних процесів для ідеалізованої конфігурації озера можуть бути використаними для пояснення та прогнозування складних процесів перемішування та перерозподілу енергії в реальних озерах. Вони вже знайшли застосування в новому проекті INTAS “Сильно-нелінійні хвилі: породження, трансформація та перемішування в озерах” (2004-2007). Результати дослідження динаміки довгих проток дозволяють зрозуміти та прогнозувати процеси взаємодії між морями, що сполучають протоки. Результати моделювання сезонних змін поля температури, солоності та потоків в протоці Дарданелли використані для вивчення взаємодії між Чорним та Егейським морями в рамках проекту CRDF (UG2-2425-SE-02) та INTAS проекту YS № 2002-127.

Особистий внесок здобувача полягав у розробці алгоритму чисельної моделі стратифікованих течій з вільною поверхнею, комп'ютерних алгоритмів і програм, що реалізують чисельне розв'язання вихідної системи рівнянь, проведенні розрахунків та обробці результатів, інтерпретації результатів та формулюванні наукових положень. Співавторам публікацій належить постановка задач та аналіз результатів.

Апробація результатів дисертації.

Наукові та практичні результати обговорювались на конференціях та семінарах (ІПММС 2001-2004, Республіканський семінар в Інституті Гідромеханіки НАНУ, Київ, 2002, 2004), 11 Міжнародна конференція з фізики естуаріїв та берегових областей моря (вересень 2002, Гамбург, Германія), Асамблея EGS - AGU - EGU (квітень 2003, Ніцца, Франція), друга MІТ конференція з чисельної механіки рідини та твердого тіла (червень 2003, Кембридж, США), ХХХ IAHR конгрес (серпень 2003, Салоніки, Греція), конференція AGU (грудень 2003, Сан-Франциско, США), Асамблея EGU (квітень 2004, Ніцца, Франція).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 8 робіт, в тому числі в фахових наукових журналах - 3, в збірках міжнародних конференцій - 5.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційну роботу складають вступ, п'ять розділів, висновки, список літератури. Її викладено на 138 сторінках машинописного тексту, що містять 77 малюнків та 3 таблиці. Список літератури містить 150 найменувань на 12 сторінках.

Автор висловлює глибоку вдячність своєму науковому керівнику д.ф.-м.н. В.С. Мадеричу за постановку задачі та постійну увагу до роботи.

ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі розкрито сутність і актуальність досліджуваної проблеми, сформульовано мету роботи, наукову новизну отриманих результатів, їх практичну цінність.

Перший розділ присвячено огляду існуючих методів розв'язання рівнянь Нав'є - Стокса з вільною поверхнею. Серед існуючих методів моделювання течій з вільної поверхнею основними є наступні:

1) один з перших методів - метод маркерів та комірок (F. Harlow та J. Welch, 1965) та його різновиди та розвинення, наприклад такі як VOF метод (C. Hirt та B. Nichols, 1981),

2) метод „твердої кришки” (напр. K. Bryan, 1969, А. С. Саркисян, 1966, П.С. Линейкин, В.С. Мадерич, 1982), а також

3) метод застосування перетворення сигма-системи координат, для якої кожний момент часу вільна поверхня перетворюється в координатну поверхню (A. Blumberg та G. Mellor, 1987).

Показано, що найбільш поширеним підходом для моделювання течій в геофізичній гідромеханіці є застосування гідростатичного наближення, при якому рівняння для вертикальної складової швидкості замінюється рівнянням гідростатичного балансу для вертикальної компоненти градієнта тиску. На основі огляду в дисертації існуючих гідростатичних моделей у різних системах координат (z-система, сигма-система, ізопікнічна система координат (напр. Е.Н. Михайлова, Н.Б. Шапиро, 1992)), які розвивались та покращувались кілька десятиліть зроблено висновок, що найбільш ефективний алгоритм моделювання гідрофізичних полів в регіональному масштабі в гідростатичних моделях на сьогодні полягає в застосуванні так званої сигма-системи координат та її узагальнень, а також техніки розщеплення в часі для обчислення баротропних та бароклінних компонент полів швидкості.

Але існує широке коло задач, для яких негідростатичні ефекти є істотними. Тому останнє десятиліття активно розвиваються негідростатичні моделі. Особливе місце посідають моделі в яких застосовується техніка розщеплення полів швидкості та тиску на гідростатичну та негідростатичні складові та їх послідовне обчислення, яка була запропонована практично одночасно в декількох роботах (V. Casulli, G. Stelling 1998, J. Marshall та ін. 1997, А. Mahadevan та ін. 1996). Мотивацією розробки нової негідростатичної моделі було створення алгоритму, який містив би найбільш ефективні методи розв'язання вихідної системи рівнянь в гідростатичній постановці, але й водночас розроблена модель повинна дозволяти розв'язувати широке коло задач для яких гідростатичне наближення не може коректно описувати явище.

У другому розділі подаються рівняння та граничні умови, а також чисельний алгоритм негідростатичної моделі стратифікованих течій з вільною поверхнею. Новий алгоритм поєднує такі компоненти:

1) узагальнена система координат,

2) розщеплення за часом задачі на бароклінну та баротропну складові

3) розщеплення для тиску на гідростатичну та негідростатичну компоненти,

4) використання схем високого порядку для адвекції скалярів,

5) “метод засвоєння даних” на відкритих границях.

Вихідними рівняннями є рівняння Нав'є-Стокса (НС) в наближенні Бусінеска

,(1)

(2)

(3)

де оператор G для деякої функції f задається як

,(4)

де - вектор швидкості,

- вектор швидкості в горизонтальній площині, w складова швидкості в вертикальному напрямку,

p - тиск,

- плавучість,

- густина,

- густина незбуреного середовища,

, - коефіцієнти горизонтальної та вертикальної в'язкості,

g - прискорення сили тяжіння, сила Коріоліса подається в так званому „традиційному наближенні”.

Густина знаходиться з рівняння стану Температура T та солоність S знаходяться з відповідних рівнянь переносу.

Для моделювання стратифікованих течій існує три основних підходи.

1. Пряме чисельне моделювання рівнянь НС;

2. Моделювання великих вихорів, з параметризацією процесів турбулентного переносу для дрібномасштабної турбулентності;

3. Розв'язання системи рівнянь НС з осередненням по Рейнольдсу та додатковими співвідношеннями замикання для рейнольдсових напруг та потоків тепла та солі.

Зауважимо, що запропонований в роботі алгоритм може застосовуватись як для системи рівнянь НС, так і для моделювання великих вихорів та рівнянь НС з осередненням по Рейнольдсу при використанні моделі турбулентної в'язкості та дифузії. В роботі в залежності від масштабів досліджуваних явищ та чисел Рейнольдса використовувались: пряме моделювання при постійних коефіцієнтах в'язкості та дифузії, двопараметрична модель Меллора та Ямади (1982) та модель підсіткової турбулентності Смагорінського (1963). Надалі, згадуючи рівняння НС ми будемо мати на увазі, що мова йде про негідростатичну постановку задачі, що містить також рівняння переносу солі та тепла, а також згадані вище моделі турбулентності.

Граничні умови включають кінематичні умови на поверхні та на дні :

при , (5)

при , (6)

та динамічні умови для потоків імпульсу, тепла та солі

, , ,, (7)

, , , (8)

На твердих границях нормальні та тангенційні складові швидкості а також потоки солі та тепла рівні нулеві.

Рівняння баротропної складової руху, які включають проінтегровані по глубині рівняння неперервності (1) та рівняння руху (2), (3) з урахуванням (5)-(8) мають вигляд

, (9)

, (10)

де ,

,

,

При моделюванні процесів в деякій відокремленій внутрішній області, яка є частиною гідродинамічної системи більшої зовнішньої області, виникає питання про постановку граничних умов на так званих „вільних границях”, що відокремлюють одну область від іншої. Прикладом вільної границі при моделювання гідродинаміки всередині протоки, що сполучає моря є границя між протокою та морем. В роботі запропоновані граничні умови, в яких використовується ньютонівська схема засвоєння даних для полів солоності та температури, а також положення вільної поверхні. На відкритій границі виділяється релаксаційна зона, в якій відомі граничні значення скаляра та вільної поверхні. Тоді рівняння для вільної поверхні та переносу скаляра в релаксаційній зоні модифікуються наступним чином

(11)

(12)

де релаксаційний параметр, в релаксаційній зоні, зовні,

-- час релаксації для баротропної та бароклинної складових, який підбирається відповідно до характерних масштабів бароклинних та баротропних рухів для того, щоб задовольнити повне поглинання збурень, що виходять з області.

На зовнішній границі релаксаційної зони задаються умови прилипання для швидкостей та відсутність потоків скалярів через границю.

В моделі використовувалось перетворення вихідної системи рівнянь до горизонтальної ортогональної криволінійної координатам та узагальненої вертикальної координати s. Узагальнена координата вибиралась таким чином, щоб в кожний момент часу її координатні площини співпадали з вільною поверхнею та поверхнею дна: . Такий вибір координатної системи дозволяє моделювати течії з вільною поверхнею в областях, що мають складну геометрію.

Однією з основних властивостей даної моделі, є представлення повного тиску р у вигляді суми гідростатичної та негідростатичної компонент (V. Casulli та G. Stelling 1998, J. Marshall та ін. 1997, A. Mahadevan та ін. 1996): . Гідростатичний тиск знаходиться з рівняння для вертикальної швидкості (3), нехтуючи доданками адвекції та в'язкості

Другою властивістю є розщеплення поля скорості на баротропну та бароклінну складові. Баротропна складова знаходиться шляхом розв'зку з малим шагом по часу (зовнішній крок) проінтегрованих по глибині рівнянь руху та неперервності (9), (10), а бароклінна компонента - шляхом розв'зку з більшим шагом по часу (внутрішній крок) трьохвимірних вихідних рівнянь НС (1)-(3). Розглянемо тепер покрокову реалізацію алгоритму моделі на деякому дискретному проміжку часу (n-1, n+1). Алгоритм включає чотири етапи з розщепленням по часу на кожному з етапів.

1 етап: Розрахунок скалярів

На першому етапі розв'язуються рівняння для скалярів (температура, солоність, а також характеристики турбулентності). Для розрахунків застосовувалась півнеявна схема з неявним представленням складових вертикальної дифузії. Для обчислення адвективних складових використовувались різницеві схеми другого порядку, що належать до так званих TVD схем (див. напр. J. Pietrzak та ін. 1998 ). Знайдені значення полів температури та солоності підставляються в рівняння стану для знаходження густини.

2 етап: Розрахунок вільної поверхні

Обчислення вільної поверхні проводиться з проінтегрованих по глибині рівнянь руху (9), (10) за допомогою явної схеми. Початкове двохвимірне поле швидкості на кожному етапі визначається інтегруванням по глибині знайденого на попередньому кроці трьохвимірного поля швидкості. чисельний гідродинаміка стратифікований нестисливий рідина

3 етап: Гідростатичні компоненти поля швидкості та тиску

На третьому етапі трьохвимірні рівняння гідродинаміки розв'язуються за допомогою півнеявної схеми з внутрішнім шагом по часу. Таким чином знаходиться проміжне поле швидкості.

4 етап: Негідростатичне поле швидкості та тиску

Знайдене на попередньому етапі проміжне поле швидкості доповнюється негідростатичною компонентою поля швидкості за рахунок градієнту негідростатичного тиску таким чином, щоб задовольняти рівнянню неперервності. В результаті задача зводиться до розв'язання рівняння Пуассона для негідростатичної компоненти тиску. Дискретизоване рівняння представляє собою систему лінійних рівнянь, матриця якої є несиметричною, п'ятнадцяти діагональною. Система розв'язувалась за допомогою методу спряжених градієнтів. Після того як знайдено розподіл тиску, знаходиться остаточне негідростатичне поле швидкості.

Запропонований алгоритм негідростатичної моделі поєднує в собі найбільш ефективні компоненти гідростатичних моделей, що дозволяє розглядати модель як узагальнення та розширення існуючих гідростатичних моделей.

В третьому розділі проводиться тестування моделі та співставлення результатів розрахунків з аналітичними розв'язками та даними лабораторних експериментів. Досліджувалась задача про стоячі коливання рідини на поверхні в глибокому прямокутному басейні. Внаслідок малості амплітуди початкового збурення задача може вважатись лінійною, для якої існує аналітичний розв'язок. Результати порівняння розрахунків з аналітичним розв'язком показали, що модель може використовуватись для моделювання коротких хвиль. Далі модель застосовувалась для нелінійних задач про взаємодію довгих хвиль з підводними та вертикальними перешкодами. Моделювались експерименти S. Beji та ін. (1993), Т. Maxworthy (1997), Н.Н. Загрядська та С.В. Іванова (1988). В усіх чисельних розрахунках цього розділу використовувалось розв'язання рівнянь НС при постійних молекулярних значеннях в'язкості та дифузії. Можна бачити, що модель добре відтворює висоту заплеска хвилі та характерний двопіковий профіль тиску з провалом біля моменту максимуму заплеска хвилі, що обумовлено вертикальним прискоренням рідини біля стінки.

Наступні два приклади розділу стосуються дослідження стратифікованих течій. В першому з них моделюються стоячі хвилі поверхні розділу в глибокому басейні. Як і у випадку однорідної рідини для такої задачі існує аналітичний розв'язок з яким добре співпадають результати розрахунків. В другому моделюються внутрішні хвилі великої амплітуди та інтрузії на прикладі експерименту V. Maderich та ін. (2002). Результати розрахунків, які приведені на рис. 3-5 добре кількісно та якісно відтворюють форму голови інтрузії та поле швидкостей.

Таким чином наведені результати демонструють широкий клас задач, для яких може застосовуватись розроблена модель.

В четвертому розділі систематично досліджується динаміка виродження великомасштабних коливань в замкненому прямокутному басейні, який наповнений двома рідинами різної густини, що є ідеалізованою моделлю озера. Рух рідини спричиняється нахилом границі розділу від положення рівноваги. При різних амплітудах початкового відхилення, а також глибини нижнього шару може існувати широкий спектр рухів від довгих хвиль до турбулентних гравітаційних течій. Механізм виродження для хвильових рухів аналізувався в роботі А. Horn та ін. (2002) в якій приведені також результати лабораторних експериментів. Проведені в даному розділі результати чисельного дослідження за допомогою негідростатичної моделі доповнюють та розширюють класифікацію течій, які не моделювались в лабораторних умовах і не можуть бути досліджені в рамках моделей слабо-нелінійних хвиль. Спочатку було проведене виділення характерного часу можливих течій стратифікованої рідини в басейні, до яких відноситься період довгих хвиль малої амплітуди, характерний час формування нестійкості Кельвіна-Гельмгольця, характерний час нелінійного укручення хвилі та час затухання початкової стоячої хвилі (А. Horn та ін. 2002). В залежності від співвідношень між цими параметрами було виділено п'ять режимів течій. В роботі А. Horn та ін. (2002) розглядались хвильові рухи, тобто коли границя розділу не перетинає дно та поверхню басейну. Для того щоб доповнити результати лабораторних експериментів А. Horn та ін. (2002) про відомі режими, а також отримати нову інформацію про поведінку течій в режимах, що характеризуються сильно-нелінійними ефектами, було проведено ряд чисельних експериментів. Спочатку проводиться співставлення розрахунків (чисельний експеримент 1, 4) з лабораторними експериментами А. Horn та ін. (2002). Класифікація режимів проведена симетрично відносно горизонтальної середини басейна. В чисельних експериментах 2, 3 вивчається вплив тертя о дно в режимі 3. Показано що спільна дія нелінійності, дисперсії та дисипації може приводити в цих випадках до різного характеру течій. В експерименті 4 та 5 показано формування нестійкості Кельвіна-Гельмгольця, зроблено співставлення параметрів нестійкості з відомими оцінками (J.W. Miles та L.N. Howard 1964, P. Hazel 1972). В експериментах 1-5 було показано, що з часом в басейні формується ундулярний бор, який в залежності від амплітуди початкового збурення носить хвильовий або дисипативний характер в тиловій частині. В заключній частині розділу досліджувалось формування нестійкості для задачі про водообмін в шлюзі для чисельного експерименті 6, який проводився з використанням підсіткової моделі турбулентності Смагорінського (K.B. Winters, H.E. Seim, 2000). Більш детальна структура вихорів Кельвіна-Гельмгольця була відтворена для конфігурації експерименту С. Hartel та ін. (2000).

В п'ятому розділі негідростатична модель, в якій враховуються всі основні процеси, що керують водообміном в протоках, застосовується для вивчення впливу перемішування та сил тертя на гідродинаміку довгих проток. Спочатку розглядаються дві теорії водообміну через протоки: гідравлічна теорія (ГТ) та в'язко-адвективно-дифузійна (ВАД). Потім негідростатична модель застосовується для вивчення довгих проток, в тому числі протоки Дарданели.

Проводилось чисельне моделювання водообміну для конфігурації лабораторних експериментів В.С. Мадерича та ін. (1998), V. Maderich (2000) для вузької та довгої протоки, що сполучає два широких басейни з використанням розробленого в роботі способу подання граничних умов на відкритих границях. Вивчено вплив тертя о дно, о стінки та в шарі розділу на гідродинаміку водообміну. Показано, що сумарна дія таких механізмів призводить до зменшення числа Фруда порівняно з передбачуваними значеннями в гідравлічній теорії. Композитне число Фруда обраховувалось як

, (13)

де та швидкості та глибини верхнього та нижнього шарів відповідно, , де _{1, 2} - густини в верхньому та нижньому шарах. Границя розділу вибиралась як лінія нульових швидкостей.

Аналіз з виділенням трьохшарової структури течії показав, що тертя призводить до зміщення лінії нульових швидкостей відносно границі розділу за густиною. Втягування рідини в проміжний шар змінної густини відбувається з шару, що рухається з меншою швидкістю. Потоки в проміжному шарі завжди направлені від центру басейну. Досліджувався також вплив донної перешкоди на гідродинаміку в протоці з порогом в експерименті V. Maderich (2000). Показано, що присутність порогу призводить до складної картини циркуляції за порогом, що є свідченням трьохвимірного характеру течії. Але як і в попередньому випадку число Фруда менше одиниці вздовж протоки, а трьохшарова структура течії якісно повторює характер течій у першому експерименті.

Далі проводилось дослідження гідродинаміки протоки Дарданелли, що є частиною водної системи Турецьких проток, що сполучають Чорне та Середиземне моря. Гідродинаміка протоки та її мінливість в сезонному масштабі та механізми що керують водообміном в протоці є недостатньо вивченим проте роль протоки в формуванні гідротермодинаміки цієї системи є відомою (V. Maderich 1998). Існуючі дані оцінки потоків, структури течій та результати океанографічних експедицій приведені в роботах (Ы. Ыnluata та ін. 1990, B. Alpar та H.Yuce 1998, V.N. Eremeev та ін. 1999, S.T. Beєiktepe 2003). В даній роботі дослідження гідродинаміки Дарданелл в масштабах сезону проводились за допомогою гідростатичної та негідростатичної версій моделі, розробленої в ході дисертаційного дослідження при використанні трьохвимірної Q²-l моделі турбулентності (G. Mellor, T.Y. Yamada 1982). Для граничних умов на кінцях протоки використовувалась розроблена та приведена в другому розділі методика засвоєння температури, солоності та рівня вільної поверхні в релаксаційних зонах. Для моделювання сезонних змін, використовувалось задане значення баротропного потоку (Е. Peneva та ін. 2001). Розрахунки показали наявність інтенсивного перемішування в найбільш вузькій зоні протоки - Нара, та на захід від неї. Зображене число Фруда обчислене для параметрів в середньому повздовжньому перерізі, та для усереднених поперек протоки параметрів течії з формули (13). Можна бачити, що ці значення докритичні вздовж протоки, навіть в області Нари . В роботах N. Staschuk та K. Hutter (2001), T. Oguz та H. Sur (1989) в області Нари було знайдено гідравлічний контроль. Однак наші результати узгоджуються з оцінкою в протоці Босфор M. Gregg (1998) на основі прямих вимірів, яка також дає докритичні значення числа Фруда вздовж протоки, не дивлячись на те, що до цього часу Босфор вважався прикладом протоки, що гідравлічно контролюється. Результати розрахунків показали, що максимальна витрата води в верхньому шарі відбувається в січні, а мінімальна в липні, в нижньому шарі навпаки. Сезонна зміна баротропної складової переносу становить близько 16000 м³с^-1, потоки в верхньому шарі змінюються на 6000 м³с^-1 , а в нижньому - на 12000 м³с^-1. Це пояснюється вкладом сезонних змін густини на кінцях протоки, що зумовлено літнім розпрісненням вод Мраморного моря за рахунок притоку чорноморських вод та прогрівом верхнього шару Мраморного моря. Таким чином розрахунки показали, що часткова компенсація бароклинної та баротропної компонент течії в верхньому шарі протоки приводить до слабкої мінливості витрат води на Егейскому виході з протоки.

Далі в роботі проводиться оцінка режиму протоки Дарданелли на основі підрахунку товщини проміжного шару змінної густини. Такий підхід для вивчення впливу в'язкості на гідродинаміку коротких проток використовувався в роботі А. Hogg та ін. (2001). Було показано, що два аналітичних розв'язки для режимів: в'язко-адвективно-дифузійного (ВАД) та гідравлічного обмежують широке коло гідрофізичних течій типу водообмін, які знаходяться в проміжному режимі. В роботі Hogg et al. (2001) були знайдені наступні безрозмірні значення для величин витрат потоків у верхньому та нижньому шарах:

1) для гідравлічного режиму

2) для ВАД режиму

3) для довільної протоки з шаром змінної густини та швидкості

,

де - число Грасгофа,

, та - довжина та глибина протоки відповідно.

Така оцінка дозволяє проводити класифікацію проток не тільки за їх геометричними характеристиками та вкладом баротропного переносу (В.С. Мадерич та ін., 1998), але й за гідродинамічним механізмом водообміну. Проведена нами оцінка для протоки Дарданелли показала, що гідродинаміка протоки суттєво відхиляється від гідравлічного режиму та знаходиться ближче до ВАД режиму ніж режим протоки Босфор, що ще раз вказує на важливу роль турбулентного перемішування для гідродинаміки протоки. Слід також відмітити, що розрахунки проводились за допомогою гідростатичної та негідростатичної моделей. Порівняння показали, що в сезонному режимі негідростатичні ефекти для протоки Дарданелли є несуттєвими.



ВИСНОВКИ

В існуючих трьохвимірних моделях циркуляції в водоймищах поширеним є використання гідростатичного наближення вихідної системи гідротермодинаміки. Однак врахування негідростатичних ефектів є необхідним фактором при моделюванні широкого класу задач геофізичної гідродинаміки, таких як трансформація довгих хвиль скінченої амплітуди над неоднорідностями дна, внутрішня гідравліка стратифікованих потоків в протоках та естуаріях, розповсюдження та трансформація внутрішніх хвиль в озерах та ін. Необхідність розробки моделі, яка б могла розширити спектр задач, що розв'язуються за допомогою поширених гідростатичних моделей обумовили актуальність задачі розробки трьохвимірної чисельної моделі, що відповідає сучасним науковим уявленням про циркуляцію води, солі та тепла в різноманітних гідрофізичних об'єктах (протоки, озера, моря, берегові зони моря).

В ході дисертаційного дослідження була розроблена трьохвимірна негідростатична модель для дослідження стратифікованих течій з вільною поверхнею та проведено її тестування на аналітичних розв'язках та співставлення з експериментальними даними. Досліджувалось виродження великомасштабних внутрішніх хвиль в замкненому басейні та гідродинаміка довгих проток.

В дисертаційній роботі отримані такі нові наукові та практичні результати:

1. Розроблена нова чисельна трьохвимірна модель стратифікованих негідростатичних течій з використанням алгоритму розв'язання рівнянь Нав'є - Стокса з вільною поверхнею, що базується на розкладі тиску та поля швидкостей на гідростатичну та негідростатичну складові та розщеплення задачі на баротропну та бароклінну моди.

2. Алгоритм моделі, а також використання ортогональної криволінійної узагальненої системи координат дозволяє розглядати модель як узагальнення широкого класу гідростатичних моделей з вільною поверхнею.

3. Розроблений новий спосіб завдання граничних умов на відкритих границях, що базується на засвоєнні значень солоності, температури та рівня вільної поверхні, що є заданими в деякій смузі вздовж вільної границі.

4. Вперше чисельно вивчена сильно-нелінійна динаміка виродження великомасштабних хвильових рухів в замкненому прямокутному басейні з урахуванням режиму гравітаційних течій, коли границя розділу перетинає дно та/або вільну поверхню, включаючи граничний випадок: задачу о водообміні води в шлюзі. Отримані результати доповнюють та розширяють класифікацію хвиль і течій в замкненому басейні, вивченням сильно-нелінійних режимів.

5. Проведено чисельне використання динаміки течій в довгих протоках. Показано, що в'язке втягнення між шарами проявляється в захваті рідини шаром, що рухається з більшими швидкостями з шару менших швидкостей, що призводить до формування проміжного шару змінної густини та зміщенню границі розділу густини відносно границі розділу швидкостей. Такий ефект обумовлює зменшення значень композитного числа Фруда у порівнянні з відповідними значеннями гідравлічної теорії як для проток постійної глибини, так і для проток з порогами.

6. Досліджена гідродинаміка протоки Дарданелли. Вперше в рамках трьохвимірної моделі вивчена зміна течій, полів солоності та температури в межах сезону. Показано, що турбулентне перемішування керує водообміном в протоці. Часткова компенсація бароклинної та баротропної компонент течії в верхньому шарі приводить до слабкої мінливості витрат води на Егейскому виході з протоки. Проведено порівняння характеристик течій в протоці з ВАД розв'язком та гідравлічним розв'язком. Результати показали, що режим протоки відхиляється від гідравлічного та наближається до ВАД режиму. В сезонному режимі негідростатичні ефекти виявились несуттєвими, що дозволяє використовувати для такої цілі гідростатичні моделі.

Результати дисертаційної роботи доповнюють сучасні уявлення про циркуляції в водоймищах та можуть бути використані при моделюванні широкого класу задач геофізичної гідродинаміки. Розроблений алгоритм є негідростатичним розширенням та доповненням великого класу гідростатичних моделей, що дозволить збільшити можливості чисельного моделювання та розширити коло розв'язуваних задач геофізичної гідродинаміки з урахуванням негідростатичних ефектів.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ ВИКЛАДЕНО В НАСТУПНИХ ПУБЛІКАЦІЯХ:

Канарська Ю.В., Мадерич В.С. Чисельна негідростатична модель стратифікованих течій з вільною поверхнею// Прикладна Гідромеханіка.- 2002.-Т.4, №3.-С.12-21.

Канарська Ю.В. Математична модель негідростатичних течій в узагальнених криволінійних координатах// Прикладна Гідромеханіка.- 2003.-Т.5, №1.-С.17-27.

Kanarska Y, Maderich V. A non-hydrostatic numerical model for calculating free-surface stratified flows // Ocean Dynamics, 2003. - Vol. 53. - P.176-185.

Kanarska Y., Maderich V. A non-hydrostatic numerical model for calculating of free-surface stratified flows in the coastal sea. // Book of Extended Abstracts of 11^th International Biennial Conference on Physics of Estuaries and Coastal Seas.- Hamburg (Germany), 2002.- P.147-150.

Kanarska Y. Maderich V. A non-hydrostatic numerical modeling exchange flows // Proc. of XXX IAHR Congress.- Thessaloniki (Greece), 2003.- P. 203-210.

Kanarska Y. Maderich V. Zervakis V. Hydrodynamics and hydraulics of exchange flows in the long sea straits: Turkish Straits case study. // Geophysical Research Abstracts, 2003-Vol. 5.

Kanarska Y., A three-dimensional non-hydrostatic numerical model of free-surface stratified flows// Computational Fluid and Solid Mechanics, 2003- Vol.1. -P. 946-949 (Proc. Second MIT Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics June 17-20, 2003).

Kanarska Y., Non-hydrostatic effects in exchange flows // AGU Fall Meeting.- San-Francisco (USA), 2003.-Vol. 84(46), Abstract OS41C-0809.



АНОТАЦІЇ

Канарська Ю.В. Негідростатична модель стратифікованих течій з вільною поверхнею (рукопис)

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичих наук за спеціальністю 01.02.05 - Механіка рідини, газу та плазми, Інститут гідромеханіки НАН України, Київ, 2004 р.

Захищається вісім наукових робіт, що містять чисельні дослідження динаміки стратифікованих течій з вільною поверхнею. Розроблена тривимірна негідростатична модель з використанням алгоритму розв'язання рівнянь Нав'є-Стокса з вільною поверхнею, що базується на розкладі поля швидкості та тиску на гідростатичну та негідростатичну складові та їх послідовного обчислення, розщеплення задачі на баротропну та бароклінну моди та використанні узагальненої системи координат. Алгоритм моделі сумісний з широким класом гідростатичних моделей. Розроблено новий спосіб подання граничних умов на вільних границях для полів швидкості, температури та вільної поверхні. Вперше знайдені особливості сильно-нелінійної динаміки виродження великомасштабних коливань в замкненому прямокутному басейні, які не досліджувались в лабораторних умовах та не можуть бути описані в рамках слабо-нелінійних моделей внутрішніх хвиль. Зроблено детальний аналіз впливу ефектів в'язкості в довгих протоках. Вперше проведено вивчення зміни гідродинамічних характеристик протоки Дарданели в масштабах сезону. Знайдено, що динаміка протоки значно відхиляється від гідравлічного режиму та наближається до в'язко-адвективно-дифузійного режиму.

Ключові слова: вільна поверхня, внутрішні хвилі, турбулентність, методи розщеплення.



Канарская Ю.В. Негидростатическая модель стратифицированных течений со свободной поверхностью (рукопись)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы, Інститут гидромеханики НАН Украины, Киев, 2004 г.

Защищается семь научных работ, которые содержат численные исследования динамики стратифицированных течений со свободной поверхностью. Разработана трехмерная негидростатическая модель с использованием алгоритма решения уравнений Навье-Стокса со свободной поверхностью, который основан на разложении поля скорости и давления на гидростатическую и негидростатическую компонеты и их последовательном расчете, расщеплении задачи на баротропную и бароклинную моды и использовании обобщенной системы координат. Алгоритм модели совместим с широким класом гидростатических моделей. Разработан новый способ задания граничных условий на свободных границах для полей скорости, температуры и свободной поверхности. Впервые изучены особенности сильно-нелинейной динамики вырождения крупномасштабных колебаний в замкнутом прямоугольном басейне, которые не исследовались в лабораторных условиях и не могут быть описаны в рамках слабо-нелинейных моделей внутренних волн. Проведен детальный анализ влияния эффектов вязкости в длинных проливах. Впервые проведено изучение изменения гидродинамических характеристик пролива Дарданеллы в масштабах сезона. Найдено, что динамика пролива значительно отклоняется от гидравлического режима и приближается к вязко-адвективно-диффузионному режиму .

Ключевые слова: свободная поверхность, внутренние волны, турбулентность, методы расщепления.

Kanarska Y. Non-hydrostatic model of stratified flows with free surface (manuscript)

Thesis for Candidate of Physical and Mathematical Science degree, specialty 01.02.05 - mechanics of fluid, gas and plasma, Institute of Hydromechanics of NAS of Ukraine, Kiev, 2004.

Seven scientific works containing numerical investigations of dynamics of free surface stratified flows are defended. A three-dimensional non-hydrostatic model has been developed. The numerical algorithm is based on the solution of Navie-Stokes equations with free surface in generalized curvilinear coordinate system with decomposition technique of pressure and velocity field on hydrostatic and non-hydrostatic components and sequential calculation of these components. The model equations are integrated with a mode splitting technique and four-stage procedure, where the free surface level is determined explicitly at the first stage. The hydrostatic, non-hydrostatic components of pressure, velocity and scalar fields are calculated at subsequent stages. The resulting Poisson equation for non-hydrostatic pressure is solved using the preconditioned conjugate gradient method. The model algorithm is compatible with a wide class of hydrostatic models employing the time-splitting technique and terrain-following coordinates.

The boundary conditions method which is based on a Newtonian relaxation technique for prescribed velocity, temperature, salinity and free surface at the open boundaries has been developed. The advantage of this approach is that velocities are calculated from the hydrodynamic equations.

The model was tested against analytical solutions of surface and internal waves in a rectangular basin, laboratory experiments on the steep wave transformation over a longshore bar, solitary wave impact on a vertical wall and the propagation of the collapse of a mixed region in a thin pycnocline. The agreement was generally fair.

The particularities of strong-nonlinear dynamics of the degeneration of basin-scale waves in a rectangular closed basin, which are not observed in the experimental set-up and can not be described in the frame of weakly-nonlinear models of internal waves, have been investigated. The classification of the possible flow regimes depending on the amplitude of the initial basin-scale wave and the depth of undisturbed position of the interface (Horn et al. 2001) was extended with the investigation of gravitational current regimes when the interface crosses the upper and/or lower boundary of the basin. The developed numerical model reproduces a variety of flows including strong-nonlinear regimes with the formation of Kelvin-Helmholtz instabilities and undular bores. The obtained results can help in the interpretation of numerous observations of mixing processes in real lakes.

A detailed analysis of viscosity effects on exchange flows in long straits has been performed. Two laboratory experiments (Maderich et al. 1998, Maderich 2000) on water exchange flows in a long narrow channel were numerically simulated. It was shown that friction effects are important for the flow hydrodynamics. Entrainment between the two layers leads to the formation of an intermediate layer of variable density and lower two-layer composite Froude number in comparison to predicted values of two-layer theory. The three layer analysis with a separating intermediate layer of variable density and velocity was carried out. It was shown that entrainment into the interfacial layer is preferentially from the faster of the approximately uniform layers and it leads to the displacement of the velocity interface relatively to the density interface.

The developed model has been applied to study of water exchange in the Dardanelles strait. For the first time the seasonal variability of the circulations in the Dardanelles strait has been estimated. It was found that the seasonal exchange dynamics is governed by turbulent friction and entrainment in the Nara Pass area. The calculations showed a partial compensation of the barotropic and baroclinic components of flow which results in weak variability of the discharges in the upper layer at the Aegean exit of the strait on a seasonal scale. The estimation of the hydrodynamic regime was performed on the basis of Hogg et al. (2001) approach. It was found that the hydrodynamics of the strait is far from the hydraulic regime and it is close to the viscouse-advective-diffusive (VAD) regime.

Key words: free surface, splitting methods, turbulence, internal waves

Размещено на Allbest.ru