Розробка математичних методів і дослідження контактної взаємодії пружних тіл при врахуванні тертя

Размещено на http://allbest.ru

Дніпропетровський національний університет

01.02.04 Механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Розробка математичних методів і дослідження контактної взаємодії

пружних тіл при врахуванні тертя

Острик Володимир Іванович

Дніпропетровськ 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий консультант член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук,

професор Улітко Андрій Феофанович,

Київський національний університет ім. Т. Шевченка,

професор кафедри теоретичної та прикладної механіки

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий

співробітник Гомілко Олександр Михайлович,

Киівський національний торговельно-економічний

університет, професор кафедри вищої та прикладної математики

доктор фізико-математичних наук,

професор Камінський Анатолій Олексійович,

Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України,

завідувач відділу механіки руйнування матеріалів

доктор фізико-математичних наук,

професор Смірнов Сергій Олександрович,

Дніпропетровський національний університет,

завідувач кафедри комп'ютерної обробки

фінансово-економічної інформації

Провідна установа Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України, м. Харків.

Захист відбудеться “24” _____12______ 2004 р. о _14_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: 49625, м. Дніпропетровськ, просп. К. Маркса, 35, корпус 3, ауд. 57.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Дніпропетровського національного університету за адресою: 49025, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова, 8.

Відзив на автореферат просимо надсилати за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Наукова, 13, Дніпропетровський національний університет, вченому секретарю спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10.

Автореферат розісланий “22” _____11______ 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої радиДзюба А. П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним із важливих напрямків механіки твердого деформівного тіла є вивчення контакту пружних тіл. Задачі контактної механіки важливі з точки зору застосувань у техніці для розрахунку на міцність контактуючих елементів конструкцій. Разом з тим, їх розв'язання, як мішаних задач теорії пружності, сприяє розвитку та вдосконаленню математичних методів теорії пружності та математичної фізики в цілому.

Урахування сил тертя при контакті пружних тіл у низці випадків значно ускладнює як постановку задачі, так і її розв'язання. До теперішнього часу точні аналітичні методи дослідження фрикційного контакту пружних тіл розроблені недостатньо. До того ж кількість досліджень в цьому напрямку надто мала у порівнянні з численними публікаціями щодо вивчення взаємодії пружних тіл в умовах гладкого контакту. В реальних умовах тертя присутнє завжди (у більшому або у меншому степені) і його вплив на напружено-деформований стан контактуючих тіл слід враховувати. У зв'язку з цим необхідна розробка точних математичних методів розв'язання задач контактної механіки з урахуванням сил тертя.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження і результати, які увійшли в дисертаційну роботу, тісно пов'язані з науковими дослідженнями, які проводяться на кафедрі теоретичної та прикладної механіки Київського національного університету ім. Тараса Шевченка з держбюджетної теми № 01БФ038-02 “Механіка деформівних середовищ та експериментальні методи механіки” (2001 2005).

Мета і задачі дослідження. Мета роботи визначена в темі дисертації. Досягнення поставленої мети передбачає:

виведення інтегральних рівнянь низки контактних задач теорії пружності за наявності тертя; пружний тіло тертя контактний

розповсюдження метода Вінера Гопфа на вказаний клас задач;

дослідження особливостей контактної взаємодії пружних тіл різної геометрії за наявності тертя.

Об'єкт дослідження пружні тіла при їх контактній взаємодії з урахуванням сил тертя.

Предмет дослідження вплив тертя на напружено-деформований стан контактуючих пружних тіл.

Методи дослідження. Для виведення інтегральних рівнянь розглянутих у дисертації контактних задач застосовано інтегральні перетворення Мелліна, Фур'є, Мелера Фока. Використано зображення загального розв`язку рівнянь теорії пружності через гармонічні функції у формі Папковича Нейбера. Для розв'язання інтегральних рівнянь застосовано метод Вінера Гопфа.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Отримано інтегральні рівняння типу згортки нового класу контактних задач за наявності тертя для пружного клина, конуса, півплощини, а також кусково-однорідного середовища з міжфазною тріщиною.

2. Здійснено єдиний підхід у застосуванні метода Вінера Гопфа до розв'язання отриманих інтегральних рівнянь, суть якого полягає в наступному:

проведена факторизація у нескінченних добутках мероморфних функцій, які зустрічаються при розв`язанні основних граничних задач;

вивчено асимптотичну поведінку коренів трансцендентних рівнянь з елементарними тригонометричними та спеціальними функціями (функціями Лежандра), а також обчислені корені цих рівнянь;

отримано асимптотичні оцінки канонічних добутків першого роду і нескінченних добутків, що виникають при факторизації.

3. Знайдено точні розв'язки контактних задач за наявності тертя для пружного клина, конуса, міжфазної тріщини, задачі про невільне обертання контактуючих жорсткого і пружного дисків.

4. В рамках теорії подібності Спенса розв'язано задачі про вдавлювання інденторів різного профілю у пружну півплощину з урахуванням зон зчеплення та проковзування в області контакту.

5. Досліджено вплив тертя на напружено-деформований стан пружних тіл, що знаходяться у контакті.

Теоретичне та практичне значення одержаних результатів.

1. Показано можливість застосування метода Вінера Гопфа до розв'язання контактних задач теорії пружності з урахуванням тертя.

2. Отримано асимптотичну формулу для канонічних добутків першого роду, яка дозволяє знаходити асимптотичну поведінку на нескінченності множників факторизації, а також знаходити розподіл напружень на краю області контакту.

3. Разроблено методику отримання асимптотики коренів ускладнених трансцендентних рівнянь з тригонометричними функціями. Складено таблиці коренів таких рівнянь.

4. Здійснено аналіз впливу тертя на розподіл контактних напружень та розмір області контакту, а за наявності часткового зчеплення на розмір зони зчеплення.

Особистий внесок здобувача. З представлених 27 публікацій 12 є самостійними роботами дисертанта. У роботах [1, 4-6, 8-11, 13, 23-26], виконаних разом з науковим консультантом членом-кореспондентом НАН України А. Ф. Улітко, здобувачу належить виведення основних співвідношень, вивчення коренів трансцендентних рівнянь, факторизація мероморфних функцій і отримання асимптотичних оцінок множників факторизації, виконання розрахунків. У роботах [19, 20] дисертантом отримані чисельні результати.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідалися на Міжнародних симпозіумах українських інженерів-механіків у Львові (Львів, 1999, 2003), Міжнародній науковій конференції “Математичний аналіз та економіка” (Суми, 1999), Міжнародних наукових конференціях “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Луцьк, 2000; Львів, 2003), Симпозіумі, присвяченому 90-річчю академіка А. Ю. Ішлінського, який проводився у рамках IV Міжнародного аерокосмічного конгресу (Москва, 2003), III Всеросійській конференції з теорії пружності з міжнародною участю (Ростов-на-Дону, 2003), Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки”, присвяченої 70-річчю А. Ф. Улітка (Київ, 2004).

У повному обсязі дисертація доповідалася на науковому семінарі “Проблеми механіки” Київского національного університету ім. Тараса Шевченка під керівництвом акад. НАНУ В. Т. Грінченка і чл.-кор. НАНУ А. Ф. Улітка, на науковому семінарі “Комп'ютерні задачі механіки” Дніпропетровського національного університету під керівництвом акад. НАНУ В. І. Моссаковського, науковому семінарі Інституту прикладної фізики НАН України під керівництвом чл.-кор. НАНУ П. І. Фоміна, науково-технічній проблемній раді Інституту проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України.

Публікації. Матеріали дисертації опубліковано в наукових роботах: 19 статтях у спеціалізованих вітчизняних журналах, 4 статтях в іноземних виданнях, 4 тезах доповідей міжнародних конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Робота складається зі вступу, семи розділів, висновків, списка використаної літератури. Дисертація обсягом 377 сторінок містить 46 рисунків і 24 таблиці. Список використаної літератури включає 356 джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі досліджень, викладені основні одержані результати, з'ясовано їх наукову новизну, практичну цінність.

Перший розділ містить огляд літератури, присвяченої дослідженню контактної взаємодії пружних тіл як без урахування, так і з урахуванням сил тертя, що виникають в області контакту.

Вагомий внесок у розвиток математичних методів і вирішення задач контактної механіки зроблено вітчизняними і зарубіжними дослідниками. Проблемами контактної взаємодії пружних тіл займалися такі вчені: В. М. Абрамов, Б. Л. Абрамян, В. М. Алєксандров, Н. Х. Арутюнян, В. А. Бабешко, Н. М. Бєляєв, Н. М. Бородачов, И. И. Ворович, Л. А. Галін, Р. В. Гольдштейн, И. Г. Горячева, Д. В. Гриліцький, В. Т. Грінченко, В. С. Губенко, А. Н. Діннік, В. І. Довнорович, А. Ю. Ішлінський, М. Я. Лєонов, В. В. Лобода, А. І. Лур'є, В. І. Моссаковський, В. В. Панасюк, Г. Я. Попов, В. Л. Рвачов, Г. М. Савін, В. М. Сеймов, И. В. Симонов, М. Й. Теплий, А. Ф. Улітко, Я. С. Уфлянд, М. І. Чебаков, І. Я. Штаєрман, М. Комніноу (M. Comninou), Я. Буссінеск (J. Boussinesq), Г. Фромм (H. Fromm), Дж. Гладуелл (G. M. L. Gladwell), Г. Герц (H. Hertz), Л. Е. Гудмен (L. E. Goodman), К. Джонсон (K. L. Johnson), А. Ляв (A. E. H. Love), Б. Нобл (B. Noble), О. Рейнольдс (O. Reynolds), Д. А. Спенс (D. A. Spence) та інші.

До розв'язання задач контактної механіки застосовано методи інтегральних перетворень, крайової задачі Рімана, Вінера Гопфа, граничних інтегральних рівнянь, асимптотичні методи. Розглянуто моделі гладкого контакту, контакту при повному зчепленні, ковзного контакту з тертям, фрикційного контакту зі зчепленням і проковзуванням.

У другому розділі дається розповсюдження метода Вінера Гопфа на контактні задачі теорії пружності за наявності тертя. У п. 2.1 викладено загальну схему метода Вінера Гопфа розв'язання інтегрального рівняння на півосі з різницевим ядром. Особливості методу проаналізовано для трьох типів ядер інтегрального рівняння, які виникають при розв'язанні контактних задач, розглянутих у дисертації. Основною задачею у методі Вінера Гопфа є факторизація коефіцієнта функціонального рівняння. На відміну від традиційного підходу, коли

факторизація проводиться в інтегралах типу Коші, було обрано менш розвинутий, але більш ефективний шлях факторизації у нескінченних добутках. У п. 2.2 описується методика проведення факторизації мероморфних функцій з використанням теорії Вейєрштрасса розвинення цілих функцій у нескінченні добутки.

У п. 2.3 вивчається асимптотична поведінка коренів трансцендентних рівнянь з елементарними тригонометричними і спеціальними функціями (функціями Лежандра). Саме такі рівняння виникають при розв'язанні методом Вінера Гопфа контактних задач для клина і конуса, які розглянуто у розділах 3 та 4.

Розглятуто також трансцендентні рівняння з функціями Лежандра першого роду. На підставі двочленної асимптотичної формули для функції Лежандра такі рівняння асимптотично зведені до рівнянь вигляду (2) і (4), після чого знайдено асимптотичну поведінку коренів цих рівнянь.

Значення перших коренів трансцендентних рівнянь, що виникають при розв'язанні контактних задач для клина і конуса, обчислені за допомогою метода Ньютона і зведені в таблиці. Чисельні значення коренів порівнюються з їх асимптотичними значеннями.

У п. 2.4 розроблено методику знаходження асимптотичних оцінок на нескінченності нескінченних добутків, які виникають при факторизації мероморфних функцій у методі Вінера Гопфа.

Для канонічного добутку першого роду отримано асимптотичну формулу, яка дає змогу отримати асимптотичні оцінки нескінченних добутків, які виникають при факторизації мероморфних функцій.

За допомогою асимптотичної формули (11) знайдено асимптотичні оцінки нескінченних добутків, які виникають при факторизації мероморфних функцій в контактних задачах для клина і конуса (розділи 4, 5). Як приклад розглянемо факторизацію мероморфної функції для задачі про фрикційний контакт пружного і жорсткого клинів з п. 3.3:

У третьому розділі розглянуто контактну взаємодію клиновидних тіл в умовах гладкого та фрикційного контакту. У п. 3.1 за допомогою інтегрального перетворення Мелліна отримано загальний розв'язок рівнянь теорії пружності для клина (плоска задача). У п. 3.2 знайдено розв'язок першої крайової задачі для пружного клина у полярних координатах у вигляді інтегралів Рімана Мелліна, який використовується у наступних пунктах при розв'язанні контактних задач для клина.

У п. 3.3 вивчається контакт з тертям пружного і жорсткого клинів. Нехай пружний клин і абсолютно жорсткий клин у ненавантаженому стані дотикаються один одного своєю загальною вершиною. До жорсткого клина вздовж його осі прикладено силу. У пружному клині напруження на нескінченності мають головний вектор, направлений уздовж осі клина до його вершини, і головний момент, рівний нулю відносно вершини. При такому навантаженні пружний клин деформується симетрично відносно своєї осі і його береги входять у контакт з гранями жорсткого клина поблизу їх загальної вершини. Вважаємо, що сили тертя, які виникають при контактній взаємодії берегів клинів, підпорядковані закону Амонтона (Кулона). Довжина області контакту заздалегідь невідома і має бути визначена в процесі розв'язання задачі. Для того, щоб не виходити за рамки лінійної теорії пружності, вважаємо кути зазору між клинами достатньо малими.

Крайові умови на берегах пружного клина в області контакту та поза нею запишемо у вигляді через коефіцієнт тертя. Запис другої крайової умови пов'язаний з припущенням, що в процесі навантаження граничні точки пружного клина в області контакту переміщуються у напрямку до вершини клина. Зроблене припущення необхідно підтвердити отриманим розв'язком задачі. Довжина області контакту визначається умовою рівноваги

Зображення розв'язку задачі, яке задовольняє умову зв'язку нормальних та дотичних напружень у формі другої рівності у кожній граничній точці пружного клина, на підставі розв'язаної у п. 3.2 першої крайової задачі для клина, подаємо у вигляді інтегралів Рімана Мелліна з однією щільністю, яка є трансформантою Мелліна функції нормальних напружень. З першої крайової умови отримуємо інтегральне рівняння. Невідома функція виражається через функцію нормальних контактних напружень.

Точний розв'язок інтегрального рівняння знаходиться методом Вінера Гопфа. Нормальні контактні напруження визначаються у вигляді.

Знайдений розподіл контактних напружень дозволяє зробити висновок про те, що наявність тертя в області контакту усуває логарифмічну особливість контактних напружень у вершині клина, характерну при взаємодії клинів без урахування сил тертя. Контактні напруження стають обмеженими і у вершині клина набувають скінченного значення. На краї області контакту вони мають наступну асимптотичну поведінку.

Для перевірки умови були знайдені радіальні переміщення в області контакту. Із виразу випливає, що в околі вершини клина виконується умова . У всій області контакту умова буде виконана при деякий малий кут. Якщо ж , то друга крайова умова потребує уточнення. У цьому випадку на частині області контакту, що примикає до вершини клина, утворюється зона зчеплення. У такій постановці у випадку, коли пружний клин є півплощина, задача розглядається у розділі 5. Значення при для ; 0,2; 0,3 відповідно дорівнюють ;; ; для нестисливого матеріалу за наявності тертя досягає свого найменшого значення, рівного .

Результати обчислень контактних напружень за формулами , у випадку (пружний клин чвертьплощина), . Криві 1; 2; 3 відповідають значенням коефіцієнта тертя ; 0,1; 0,3. Величина з , при для вказаних значень відповідно дорівнює ; 22,0; 7,3. Обчисленням радіальних переміщень за формулою підтверджено виконання умови . Подані результати показують, що в розподілі контактних напружень спостерігається їх різке підвищення в околі вершини клина. При цьому у вершині клина та поблизу неї зі збільшенням коефіцієнта тертя контактні напруження зменшуються.

У п. 3.4 розглянуто фрикційний контакт пружного клина з жорсткою насадкою. Перед навантаженням грані клина в області, прилеглої до вершини, притулені до внутрішньої границі жорсткої насадки. В процесі навантаження область контакту залишається незмінною. Задача зводиться до однорідного інтегрального рівняння , розв'язок якого знаходиться методом Вінера Гопфа. Контактні напруження знаходяться у вигляді… За відсутності тертя контактні напруження у вершині клина набувають ненульового скінченного значення, а за наявності тертя обертаються в нуль. На краю області контакту напруження необмежені і мають наступну поведінку. На рис. 2 подані результати обчислень контактних напружень за формулами (28) у випадку . Крива 1 відповідає гладкому контакту, криві 2, 3 фрикційному контакту для значень і відповідно. Наявність тертя значно знижує контактний тиск, особливо поблизу вершини клина, а в самій вершині знімає його повністю.

У п. 3.5 і 3.6 розглянуто гладкий і фрикційний контакт двох пружних клинів.

У четвертому розділі розглянуто контактну взаємодію конусів при осесиметричній деформації. У п. 4.1, 4.2 у сферичних координатах побудовано загальний розв'язок рівнянь рівноваги теорії пружності для конуса у випадку осесиметричної деформації та розв'язана перша крайова задача для пружного конуса. У п. 4.3 і п. 4.4 вивчається гладкий і фрикційний контакт пружного і жорсткого конусів, які попередньо дотикаються один одного своїми вершинами, у п. 4.5 фрикційний контакт пружного конуса з жорсткою насадкою.

У п. 4.6 розв'язана задача про фрикційний контакт пружного конуса з жорсткою конічною обоймою. У ненавантаженому стані внутрішня поверхня обойми щільно притулена до поверхні пружного конуса. При вдавлюванні обойми в конус утворюється область контакту , поверхонь конуса та обойми. Отримане інтегральне рівняння на скінченному проміжку з різницевим ядром за допомогою інтегрального перетворення Фур'є зведене до системи двох функціональних рівнянь Вінера Гопфа, яка, в свою чергу, зведена до нескінченної системи алгебричних рівнянь з малим параметром. Розв'язок системи алгебричних рівнянь знайдено у вигляді ряда за степенями параметра. Для коефіцієнтів ряда отримані рекурентні співвідношення. Контактні напруження виражені через розв'язок системи алгебричних рівнянь. Знайдена поведінка контактних напружень на краях області контакту, де напруження необмежені зі слабкою степеневою особливістю (кореневою у випадку гладкого контакту).

Результати обчислень контактних напружень для числа Пуассона і півкута при вершині конуса . Суцільні криві відповідають значенням відносної ширини обойми 5/4, 2, 4, 10 і коефіцієнту тертя . Нормалізована осадка дорівнює 0,356, 0,410, 0,307, 0,172 відповідно. Розподіл контактних напружень у випадку = 5/4 для фрикційного контакту з меншим коефіцієнтом тертя показує штрих-пунктирна крива, для гладкого контакту пунктирна крива. Для відносно вузьких обойм розподіл контактного тиску вздовж радіальної координати майже симетричний. Для широких обойм контактний тиск значно менший на частині області контакту, що примикає до меншої границі обойми. Наявність тертя зменшує контактний тиск, частково перерозподіляючи навантаження на дотичні зусилля в області контакту обойми і конуса.

У п. 4.7 і п. 4.8 досліджується гладкий і фрикційний контакт двох пружних конусів. Результати обчислень контактних напружень у випадку, коли півкути в осьових перерізах конусів , , а числа Пуассона матеріалів конусів . Графіки побудовані для величини , де зведений модуль пружності матеріалів конусів, кут зазору між поверхнями конусів. Крива 1 відповідає відношенню модулів зсуву і коефіцієнту тертя . Для порівняння побудовані крива 2, яка відповідає контакту без тертя, та крива 3, яка відповідає контакту пружного і жорсткого конусів з урахуванням сил тертя. У вказаних випадках особливості контактних напружень у вершині конусів мають вигляд , , відповідно. Наявність тертя та пружні характеристики матеріалів конусів мають значний вплив на розподіл контактних напружень поблизу загальної вершини конусів. На значній відстані від вершини зведені напруження мало залежать від вказаних факторів.

У п'ятому розділі вивчається контактна взаємодія індентора і пружної півплощини за наявності зон зчеплення та проковзування в області контакту. У п. 5.1 і п. 5.2 побудовано загальний розв'язок рівнянь рівноваги теорії пружності для півплощини у біполярних координатах і розв'язана основна мішана задача для півплощини, коли на відрізку межі півплощини задані переміщення, а поза відрізком напруження. Отриманий розв'язок мішаної задачі використовується у наступних пунктах розділу для розв'язання контактних задач про вдавлювання індентора різної геометрії в пружну півплощину за наявності тертя та часткового зчеплення в області контакту.

У п. 5.3 вивчається симетричний контакт зі зчепленням та проковзуванням жорсткого клина і пружної півплощини. Нехай жорсткий клин з кутом піврозхилу, близьким до , перед навантаженням дотикається своєю вершиною межі пружної півплощини; вісь клина перпендикулярна до межі півплощини. Клин під дією сили, направленої уздовж осі клина, вдавлюється в пружну півплощину. Декартову систему координат вважаємо зв'язаною з жорстким клином. В результаті навантаження береги клина входять у контакт з пружною півплощиною поблизу вершини клина. Розмір області контакту заздалегідь невідомий і визначається в процесі розв'язання задачі. Припускаємо, що на частині області контакту виникає зона зчеплення меж півплощини і клина, в якій відношення дотичних зусиль до нормального тиску не перевищує коефіцієнта тертя. В зонах проковзування контактуючі точки межі півплощини зміщуються, як і при гладкому контакті, в напрямку до вершини клина, а нормальні та дотичні зусилля підпорядковані закону тертя Амонтона.

Хоча задача розглядається у статичній постановці, проте при формулюванні крайових умов необхідно враховувати як відносний напрямок руху контактуючих меж тіл, так і історію навантаження. Область контакту, яка в початковий момент утворилась у точці, збільшується у розмірі при монотонному (за часом) зростанні навантаження. При цьому будь-яка точка межі півплощини, яка знаходиться поблизу точки початку контакту, згодом потрапляє в область контакту: спочатку в зону проковзування, потім в зону зчеплення. Тому в зоні зчеплення має місце не рівна нулю (окрім точки початку контакту) так звана “защемлена” повздовжня деформація. Як показав Д. А. Спенс, при вдавлюванні у півплощину індентора поліноміального профілю (при індентор є клин) “защемлена” деформація пропорційна , тобто стала у випадку клина. Цей висновок Д. А. Спенса дає змогу ставити крайову умову на тангенціальні переміщення в зоні зчеплення і виділяти так званий подібний розв'язок, коли поле напружень в процесі навантаження залишається подібним самому собі, а відношення розмірів зон зчеплення та проковзування зберігається незмінним.

Мішані крайові умови формулюємо для зони зчеплення, зон проковзування і зон, вільних від навантаження, межі пружної півплощини.

Використовуючи розв'язок основної мішаної задачі, отриманий у п. 5.2, зводимо задачу до інтегрального рівняння на півосі з ядром, перша складова якого залежить від різниці, а друга від суми змінних. Інтегральне рівняння методом Вінера Гопфа зводимо до нескінченної системи алгебричних рівнянь, яку замикає ще одне алгебричне рівняння, що випливає з розгляду двох крайових нерівностей із (30).

Чисельні результати отримано для коефіцієнта Пуассона і коефіцієнта тертя . Відносний розмір зони зчеплення виявився рівним . Розподіл контактних напружень показано на рис. 5. Графіки безрозмірних величин і , які відповідають нормальним та дотичним контактним напруженням, в залежності від відносної координати області контакту показані суцільною лінією (крива 1 та 2 відповідно). Пунктирна лінія побудована для величини у випадку гладкого контакту жорсткого клина і пружної півплощини. Представлені графіки показують, що наявність тертя збільшує контактний тиск поблизу вершини клина, де він має логарифмічну особливість, і дещо зменшує його на краї області контакта.

У п. 5.4 розглянуто задачу Галіна про втискання штампа з прямолінійною основою в пружну півплощину за наявності тертя і зчеплення. Задачу зведено до нескінченної системи алгебричних рівнянь. Крім того, за наявності значного тертя отримано асимптотично точний розв'язок задачі. В останньому випадку відносний розмір зони зчеплення визначається виразами …, а для контактних напружень знайдено явні формули. Проводиться порівняння обчислених значень відносного розміру зони зчеплення з наближеними значеннями, знайденими Л. А. Галіним і Д. А. Спенсом.

У п. 5.5 вивчається фрикційний контакт похилого штампа з пружною півплощиною. Абсолютно жорсткий штамп з похилою (під кутом ) прямолінійною основою, який спочатку дотикається межі пружної півплощини своєю передньою кромкою, вдавлюється в півплощину під дією нормальної і тангенціальної сил, які монотонно зростають у часі, так що їх відношення залишається незмінним. В результаті деформації пружної півплощини на частині основи штампа, що примикає до краю основи, утворюється область контакту. Припускається, що область контакту поділяється на зону зчеплення, де, згідно з теорією подібності Спенса, “защемлена” деформація незмінна, і зону проковзування.

За припущенням існування двох зон контакту (однієї зони зчеплення і однієї зони проковзування) побудовано точний розв'язок задачі методом Вінера Гопфа і показано, що контактні напруження осцилюють у малому околі краю штампа, так що відношення дотичних зусиль до нормального тиску у цій малій області стає необмеженим. Осциляції напружень приводять до неможливості виконання обмеження на дотичні зусилля в зоні зчеплення поблизу краю штампа. Щоб усунути виявлене протиріччя, вводиться ще одна мала зона проковзування на краю основи штампа і визначається її розмір. Розглянуто також випадок, коли область контакту охоплює всю основу штампа і у взаємодію з півплощиною входить дальній край штампа. Показано, що у цьому випадку відношення довжин більшої зони проковзування і зони зчеплення не залежить від навантаження і залишається таким, яким воно було перед входом у контакт дальнього краю штампа. Відносна довжина малої зони проковзування на передньому краї штампа у розглядуваному випадку збільшується із зростанням притискуючої сили до деякого свого граничного значення.

У п. 5.6 вивчається несиметричний контакт зі зчепленням та проковзуванням жорсткого клина і пружної півплощини. Тобто узагальнюється задача, розглянута у п. 5.3, на випадок дії на жорсткий клин системи сил: притискуючої сили і зсувної сили. Задача зводиться до системи двох інтегральних рівнянь, яка, в свою чергу, зводиться до нескінченної системи алгебричних рівнянь. Показано, що несиметричність навантаження майже не впливає на розподіл контактних напружень та розміщення меж області контакта по відношенню до вершини клина і суттєво змінює розподіл дотичних контактних напружень та розміщення зони зчеплення всередині області контакту.

У п. 5.7 дається узагальнення задачі про фрикційний симетричний контакт клиноподібного індентора і пружної півплощини, розглянутої у п. 5.3, на випадок індентора поліноміального профілю з довільним цілим невід'ємним показником.

На рис. 6 показано розподіл контактних напружень для n = 1, 2, 3, 4, 10, а також у випадку штампа. Суцільні криві відповідають фрикційному контакту, пунктирні гладкому контакту. Відносна довжина зони зчеплення для всіх значень дорівнює 0,5432. В зоні зчеплення наявність тертя дещо збільшує контактний тиск, а в зоні проковзування зменшує його.

У шостому розділі досліджується невільне рівномірне обертання пепередньо стиснутих жорсткого і пружного дисків при врахуванні сил тертя в контакті. У п. 6.1 проаналізовано розв'язок задачі Фромма про невільне обертання двох стиснутих ідентичних пружних дисків, коли до валу ведучого диска прикладено обертовий момент. Згідно з розв'язком Г. Фромма, у точці входу матеріалів дисків у контакт проковзування відсутнє і область контакту поділяється на зону зчеплення зі сталою “защемленою” тангенціальною деформацією та зону проковзування при виході матеріалів дисків з контакту. “Защемлена” деформація в зоні зчеплення додатна, що є наслідком того факту, що для двох ідентичних дисків, які знаходяться у невільному рівномірному обертовому русі, кутова швидкість веденого диска завжди менша кутової швидкості ведучого диска. Дослідження Г. Фромма доповнені розрахунком вихідної потужності на валі веденого диска і потужності утрат у зоні проковзування.

У п. 6.2 методом Вінера Гопфа побудовано точний розв'язок задачі про невільне кочення жорсткого диску по пружній півплощині. Встановлено, що мікрозоною проковзування у точці входу в контакт можна знехтувати (ефект Абрамова у випадку, коли осцилюючі напруження обертаються в нуль в точці зміни крайових умов), тобто приходимо до результату Г. Фромма про наявність лише однієї зони проковзування. Однак, принципова відмінність від задачі Фромма полягає в тому, що при невільному коченні жорсткого диска по пружній півплощині “защемлена” деформація може набувати від'ємних значень. Перенісши ці результати, згідно з теорією Герца, на задачу невільного рівномірного обертання стиснутих жорсткого і пружного дисків з ведучим жорстким диском, знайдено, що кутова швидкість веденого пружного диска стає більшою за кутову швидкості ведучого жорсткого диска, початково горизонтальна площадка контакту стає похилою і точка прикладання рівнодійної нормальних напружень зміщується з лінії, яка з'єднує центри валів дисків. Як значення момента на валу веденого диска, так і вихідна передана потужність виявилися меншими за їх задані значення на валу ведучого жорсткого диска. Різниця вхідної і вихідної потужностей у проведених розрахунках збіглася зі значенням потужності втрат у зоні проковзування.

Розрахунки проведені для коефіцієнта Пуассона і коефіцієнта тертя . Графічне зображення безрозмірних нормальних напружень (суцільні криві) і дотичних напружень (штрихові линії), де радіуси дисків, модуль зсуву, довжина області контакту. На графіках криві 1, 2, 3 відповідають відношенню сил, рівному 0,01; 0,1; 0,15 (горизонтальна сила на валу ведучого диска викликана прикладеним моментом). Значення відносної довжини зони проковзування, нормованої “защемленої” деформації, нормованого кута нахилу площадки контакту, відносного зміщення точки приведення рівнодійної нормальних напружень з лінії центрів дисків та нормованої утраченої потужності в зоні проковзування у залежності від відношення сил.

У сьомому розділі розглянуто контактні задачі для міжфазної тріщини у кусково-однорідному середовищі за наявності тертя. Відомо, що задачі про рівновагу пружних кусково-однорідних тіл з тріщинами на межі розділу в класичній постановці (на берегах тріщин задані напруження) мають осцилюючі поблизу вершин тріщини розв'язки. Осциляція нормальних переміщень берегів тріщини біля її вершин приводить до фізично хибного результату, оскільки поблизу вершин тріщини відбувається взаємне проникнення матеріальних частинок, розміщених на протилежних берегах розрізу. Для одержання фізично коректного розв'язку М. Комніноу (M. Comninou) запропоновано вводити малі зони контакту берегів тріщини біля її вершин. У відповідності з моделлю Комніноу у даному розділі методом Вінера Гопфа знайдено точні розв'язки деяких плоских і осесиметричних контактних задач для міжфазної тріщини.

У п. 7.1 із застосуванням інтегрального перетворення Мелліна у полярних координатах знайдено розв'язок основної крайової задачі для двох жорстко з'єднаних уздовж променя пружних півплощин з різних матеріалів при довільних напруженнях на берегах напівнескінченного розрізу. Цей розв'язок використовується для розв'язання контактної задачі для міжфазної напівнескінченної тріщини, розглянутої у п. 7.2.

У полярній системі координат розглядаються дві пружні півплощини: верхня і нижня з модулями зсуву і та коефіцієнтами Пуассона і відповідно, жорстко з'єднані між собою вздовж променя. На берегах розрізу на однаковій відстані від початку координат до півплощин прикладено зосереджені сили. У відповідності до моделі Комніноу вважаємо, що вказане навантаження приводить до виникнення області контакту берегів розрізу поблизу його вершини, де нормальні та дотичні зусилля пов'язані законом Амонтона (Кулона). Довжина області контакту заздалегідь невідома.

Відносно невідомої функції контактного тиску, задача зводиться до інтегрального рівняння Вінера Гопфа. Мероморфна функція факторизується у гамма-функціях. Вимагаючи обмеженість контактних напружень в точці, знаходимо розмір області контакту. Нормальні контактні напруження виражаються через гіпергеометричну функцію Гауса. У випадку гладкого контакту контактні напруження знаходяться в елементарних функціях. Асимптотична поведінка контактних напружень поблизу вершини розрізу наступна. Видно, що наявність тертя зменшує кореневу особливість напружень, яка має місце при гладкому контакті берегів розрізу.

В зоні спряження півплощин маємо наступні явні вирази для напружень. Нормальні напруження мають скінченне граничне значення. Дотичні напруження мають слабку степеневу особливість у вершині розрізу.

Розподіл контактних напружень на межі розділу півплощин в околі вершини тріщини. Суцільні лінії відповідають фрикційній моделі контакту, пунктирні лінії моделі гладкого контакту. При цьому відносна довжина області контактного тиску відповідно дорівнює і . Видно, що наявність тертя дещо збільшує довжину області контактного тиску і зменшує напруження на межі півплощин поблизу вершини тріщини.

У п. 7.3 у біполярних координатах знайдено розв'язок основної крайової задачі теорії пружності для двох жорстко з'єднаних різнорідних півплощин зі скінченним розрізом на межі при довільних напруженнях на берегах розрізу. Отриманий розв'язок використовується у п. 7.4 і п. 7.5 для розв'язання контактних задач для скінченної тріщини, що знаходиться на межі півплощин з різних матеріалів.

У п. 7.7 розглядається симетрична контактна задача для скінченної тріщини на межі двох різнорідних півплощин. У точках берегів розрізу до півплощин прикладені нормальні зосереджені сили інтенсивності . Згідно з моделлю Комніноу вважаємо, що біля вершин розрізу виникають області контактного тиску, розмір яких заздалегідь невідомий.

Інтегральне рівняння на півосі, ядро якого є сумою різницевої складової і складової, яка залежить від суми змінних, методом Вінера Гопфа зведено до нескінченної системи алгебричних рівнянь. Завдяки тому, що розмір області контакту на декілька порядків менший від довжини тріщини, нескінченна система рівнянь з високою точністю допускає асимптотичне спрощення, після чого її розв'язок знаходиться у явному вигляді. Виявляється, що розмір області контакту у 2 рази більший, ніж у задачі для напівнескінченної тріщини (п. 7.2), а контактні напруження і напруження в зоні спряження півплощин поблизу вершини тріщини у разів менше відповідних напружень для напівнескінченної тріщини.

Значення відносного розміру області контакту при різних значеннях коефіцієнта тертя і відношеннях модулів зсуву. Значення відносного коефіцієнта інтенсивності зсувних напружень при різних значеннях ,

У п. 7.5 досліджено несиметричну контактну задачу для скінченної міжфазної тріщини в однорідному полі розтягуючих і зсувних напружень. В умовах розтягу та зсуву біля однієї вершини тріщини утворюється мікрозона контакту, біля другої вершини відносно велика зона контактного тиску. Система двох інтегральних рівнянь на півосі методом Вінера Гопфа зведена до нескінченної алгебричної системи, розв'язок якої знайдено у явному вигляді завдяки існуванню мікрозони контакту біля однієї з вершин тріщини.

Розрахунки проведені для значення . Залежність відносної довжини більшої області контакту (біля правої вершини тріщини) від відношення розтягуючого і зсувного навантаження при гладкому контакті і фрикційному контакті. Вплив коефіцієнта тертя на відносний розмір більшої області контакту у випадку тільки зсувного навантаження

При цьому відносний розмір малої області контакту (біля лівої вершини тріщини) змінюється від до . Проте, при чисельному розв'язанні відповідних сингулярних інтегральних рівнянь величина набуває значень між і . Тобто чисельний розв'язок не дає вірогідного значення довжини малої області контакту. Значення нормалізованих коефіцієнтів інтенсивності зсувних напружень при різних значеннях коефіцієнта тертя у випадку . Останні дані свідчать про суттєвий вплив тертя на значення коефіцієнтів інтенсивності напружень при контакті берегів тріщини за умови зсувного навантаження.

У п. 7.6 розв'язана осесиметрична контактна задача для кругової міжфазної тріщини. У циліндричній системі координат розглядаються два півпростори, між якими в круговій області їх межі знаходиться плоска тріщина. Поза тріщиною вздовж межі півпростори жорстко з'єднані між собою. На нескінченності прикладене розтягуюче навантаження. Згідно з моделлю Комніноу припускаємо, що навантаження приводить до виникнення кільцевої області контактного тиску поверхонь тріщини біля її контуру. У цій області нормальні переміщення неперервні, а нормальні і дотичні зусилля підпорядковані закону тертя Амонтона.

Розв'язок задачі подається у формі Папковича Нейбера через чотири гармонічні функції (по дві для кожного півпростору), які у тороїдальних координатах мають вигляд інтегралів Мелера Фока. Задовольняючи крайові умови, окрім умови на нормальні переміщення в області контакту, напруження та переміщення виражаються через невідому функцію контактних напружень. Із крайової умови на нормальні переміщення в області контакту виводиться інтегральне рівняння задачі. Відносний розмір області контакту . При інтегральне рівняння допускає асимптотичне спрощення з високою точністю (порядка ) і переходить у рівняння на півосі з різницевим ядром. Точний розв'язок інтегрального рівняння знаходиться методом Вінера Гопфа.

Ширина області контакту визначається рівністю. Розподіл контактних напружень для фрикційного і гладкого контакту дається формулами. Коефіцієнт інтенсивності зсувних напружень набуває значення.

Числові значення відносної ширини області контакту і коефіцієнта інтенсивності напружень, обчислені за формулами при різних значеннях коефіцієнта тертя і відношеннях модулів зсуву

Таким чином, ширина області контакту поверхонь кругової тріщини, як і у випадку плоскої деформації, на декілька порядків менша від характерного розміру тріщини. З огляду на надзвичайно малий розмір області контактного тиску урахування контакту поверхонь тріщини не впливає на напружено-деформований стан півпросторів поза малим околом контуру тріщини. Проте введення області контакту, по-перше, дозволяє уникати фізичних суперечностей щодо перекриття її поверхонь і, по-друге, дає можливість коректно визначити коефіцієнт інтенсивності зсувних напружень.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі на підставі методу Вінера Гопфа розроблено єдиний математичний підхід до розв'язання деяких класів граничних задач механіки контактної взаємодії пружних тіл з урахуванням тертя. Основні результати роботи полягають у наступному.

1. Здійснено розвиток методу Вінера Гопфа для його застосування до розв'язання мішаних задач теорії пружності для клина і конуса у випадку гладкого контакту і контакту з тертям, а саме:

запропоновано метод отримання асимптотичних оцінок для нескінченних добутків, які виникають при проведенні факторизації мероморфних функцій;

розроблено методику знаходження асимптотики коренів ускладнених трансцендентних рівнянь;

метод Вінера Гопфа застосовано до інтегрального рівняння на скінченному інтервалі з різницевим ядром.

2. Знайдені точні розв'язки деяких плоских контактних задач теорії пружності для клинів і осесиметричних контактних задач для конусів. Встановлено, що

при контакті пружного і жорсткого клинів (конусів), які початково дотикаються своїми вершинами, наявність тертя усуває логарифмічну особливість контактних напружень у вершині пружного клина (конуса), характерну для гладкого контакту, і контактні напруження стають обмеженими;

при контакті пружного клина (конуса) з жорсткою насадкою наявність тертя знімає контактні напруження у вершині клина (конуса);

при контактній взаємодії двох пружних конусів їх пружні характеристики впливають на зведені контактні напруження лише в малому (у порівнянні з областю контакту) околі їх загальної вершини.

3. В рамках теорії подібності Спенса досліджено фрикційну взаємодію індентора різної геометрії (жорсткого клина, прямого та похилого штампа, індентора поліноміального профілю) з пружною півплощиною за наявності зон зчеплення та проковзування в області контакту. Показано, що наявність тертя, так само як і несиметричність навантаження, незначно впливає на розподіл контактного тиску і розмір області контакту та суттєво впливає на розподіл дотичних напружень і розміри зон зчеплення та проковзування в області контакту.

4. Отримано розв'язок задачі про невільний рівномірний обертовий рух стиснутих жорсткого і пружного дисків з ведучим жорстким диском. Встановлено, що мікрозоною проковзування біля точки входу у контакт можна знехтувати, і область контакту поділяється на дві зони зону зчеплення (на вході у контакт) і зону проковзування (на виході з контакту). Причому “защемлена” деформація у зоні зчеплення може набувати від'ємних значень, і тоді кутова швидкість обертання веденого пружного диска стає більшою від кутової швидкості ведучого жорсткого диска. Показано, що початково горизонтальна площадка контакту стає похилою і точка прикладання рівнодійної нормальних напружень зміщується з лінії, яка з'єднує центри валів дисків. Проведено баланс потужності і показано, що різниця вхідної потужності на валу жорсткого диску і вихідної переданої потужності, яка знімається на валу пружного диску, виявляється рівною значенню потужності втрат на тертя у зоні проковзування.

5. Отримані точні розв'язки задач для пружного кусково-однорідного середовища з міжфазною тріщиною в умовах виникнення контакту берегів тріщини поблизу її вершин згідно з моделями гладкого та фрикційного контакту Комніноу. Співставлення точних розв'язків з наближеними, отриманими чисельним розв'язанням сингулярних інтегральних рівнянь, показує, що у випадку, коли область контакту берегів тріщини на декілька порядків менша від розміру самої тріщини, кількісно вірні результати можна отримати лише аналітично. Вивчено вплив тертя та пружних сталих кусково-однорідного середовища на розподіл напружень поблизу вершин тріщини.

ОПУБЛІКОВАНІ ПРАЦІ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Улітко А. Ф., Острик В. І. Контакт пружного і жорсткого клинів з урахуванням сил тертя // Вісник Київ. ун-ту. Сер.: Фіз.-мат. науки. 1999. Вип. 3. С. 129-137.

Острик В. Контакт з тертям пружного клина з жорсткими опорами // 4-й Міжнар. симп. українських інженерів-механіків у Львові. Тези доп. Львів: Кінпатрі ЛТД, 1999. С. 19.

Острик В. Контакт з тертям пружного клина з жорсткими опорами // Машинознавство. 1999. 23, № 5. С. 28-32.

Острик В. И., Улитко А. Ф. Контактное взаимодействие двух упругих клиньев // Мат. методы и физ.-мех. поля. 1999. 42, № 1. С. 68-74.

Острик В. І., Улітко А. Ф. Тріщина на межі розділу півплощин з різних матеріалів // Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2000. 43, № 2. С.119-126.

Острик В. И., Улитко А. Ф. Контакт двух упругих клиньев с учетом сил трения // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2000. № 3. С. 93-100.

Острик В. И. Асимптотические оценки канонических произведений по корням уравнений, содержащих функции Лежандра // Вісник Харків. ун-ту. Сер.: Математика, прикл. математика і механіка. 2000. № 475. С. 153-161.

Острик В. І., Улітко А. Ф. Контактна задача для міжфазної напівнескінченної тріщини // Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2001. 44, № 3. С. 88-95.

Острик В. І., Улітко А. Ф. Контактна взаємодія двох пружних конусів // Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2002. 45, № 2. С. 92-97.

Улітко А. Ф., Острик В. І. Міжфазна тріщина за умови фрикційного контакту берегів // Вісник Київ. ун-ту. Сер.: Фіз.-мат. науки. 2002. Вип. 2. С. 133-141.

Улітко А. Ф., Острик В. І. Контакт пружного і жорсткого конусів за наявністю тертя // Вісник Київ. ун-ту. Сер.: Фіз.-мат. науки. 2002. Вип. 3. С. 146-153.

Острик В. І. Задачі фрикційного контакту пружного клина і конуса з жорсткою насадкою // Вісник Київ. ун-ту. Сер.: Фіз.-мат. науки. 2002. Вип. 4. С. 119-126.

Острик В. И., Улитко А. Ф. Контактное взаимодействие жесткого клина с упругой полуплоскостью с учетом зон сцепления и проскальзывания в области контакта // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2003. № 1. С. 93-105.

Острик В. І. Вдавлювання похилого штампа в пружну півплощину за наявністю тертя // Вісник Київ. ун-ту. Сер.: Фіз.-мат. науки. 2003. Вип. 1. С. 104-116.

Острик В. І. Несиметричний контакт жорсткого клина і пружної півплощини за наявністю тертя // Вісник Київ. ун-ту. Сер.: Фіз.-мат. науки. 2003. Вип. 2. С. 101-108.

Острик В. І. Контакт з тертям берегів міжфазної тріщини за розтягу та зсуву // Фізико-хімічна механіка матеріалів. 2003. 39, № 2. С. 58-65.

Острик В. Втискання індентора поліноміального профілю в пружну півплощину за наявності тертя // 6-й Міжнар. симп. українських інженерів-механіків у Львові. Тези доп. Львів: Кінпатрі ЛТД, 2003. С. 58-59.

Острик В. Контактна задача для міжфазної кругової тріщини // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. Львів, 2003. С. 275-277.

Улитко А. Ф., Острик В. И. Несвободное равномерное вращение предварительно сжатых жесткого и упругого дисков // 4-й Междунар. Аэрокосмический Конгресс. Сб. тезисов. М.: СИП РИА, 2003. С. 459-462.

Острик В. И., Улитко А. Ф. Равномерное вращение предварительно сжатых жесткого и упругого дисков при учете сил трения в контакте // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского / Под ред. Д. М. Климова. М.: Физматлит, 2003. С. 619-634.

Острик В. І. Фрикційний контакт пружного конуса з жорсткою обоймою // Вісник Київ. ун-ту. Сер.: Фіз.-мат. науки. 2003. Вип. 3. С. 138-145.

Острик В. І. Втискання індентора поліноміального профілю в пружну півплощину за наявності тертя // Машинознавство. 2003. № 11. С. 8-12.

Острик В. І., Улітко А. Ф. Осесиметрична контактна задача для міжфазної тріщини // Фізико-хімічна механіка матеріалів. 2004. 40, № 1. С. 21-26.

Острик В. І., Улітко А. Ф. Кругова міжфазна тріщина за умови фрикційного контакту поверхонь // Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2004. 47, № 1. С. 84-94.

Острик В. І., Улітко А. Ф. Гладкий контакт пружного і жорсткого конусів // Доп. НАН України. 2004. № 4. С. 46-51.

Острик В. И., Улитко А. Ф. Контакт двух упругих конусов с учетом сил трения // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2004. № 4. С. 50-58.

Острик В. И. Контактное взаимодействие штампа с упругой полуплоскостью при наличии трения и сцепления // Теор. и прикл. механика. 2004. Вып. 39. С. 94-101.

АНОТАЦІЯ

Острик В. І. Розробка математичних методів і дослідження контактної взаємодії пружних тіл при врахуванні тертя. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 механіка деформівного твердого тіла. Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2004.

На підставі методу Вінера Гопфа розроблено єдиний математичний підхід до розв'язання деяких класів граничних задач механіки контактної взаємодії пружних тіл з урахуванням тертя. Здійснено розвиток методу Вінера Гопфа для його застосування до розв'язання мішаних задач теорії пружності для клина і конуса, а саме: запропоновано метод отримання асимптотичних оцінок для нескінченних добутків, які виникають при проведенні факторизації мероморфних функцій; розроблено методику знаходження асимптотики коренів ускладнених трансцендентних рівнянь; метод Вінера Гопфа застосовано до інтегрального рівняння на скінченному інтервалі з різницевим ядром.

Знайдено точні розв'язки плоских контактних задач теорії пружності для клинів і осесиметричних контактних задач для конусів в умовах гладкого та фрикційного контакту. Розглянуто контакт пружного і жорсткого клинів, а також двох пружних клинів, які попередньо дотикаються у загальній вершині; контакт пружного клина з жорсткою насадкою; аналогічні задачі для конусів; вдавлювання жорсткої обойми у пружний конус.

В рамках теорії подібності Спенса досліджено фрикційну взаємодію індентора різної геометрії (жорсткого клина, прямого та похилого штампа, індентора поліноміального профілю) з пружною півплощиною за наявності зон зчеплення та проковзування в області контакту.

Отримано розв'язок задачі про невільний рівномірний обертовий рух стиснутих жорсткого і пружного дисків з ведучим жорстким диском. Встановлено, що область контакту поділяється на зону зчеплення на вході у контакт і зону проковзування на виході з контакту, початково горизонтальна площадка контакту стає похилою і точка прикладання рівнодійної нормальних напружень зміщується з лінії, яка з'єднує центри валів дисків. Проведено баланс потужності і визначено значення потужності втрат на тертя у зоні проковзування.

Знайдено точні розв'язки задач для пружного кусково-однорідного середовища з міжфазною тріщиною в умовах виникнення контакту берегів тріщини поблизу її вершин згідно з моделями гладкого та фрикційного контакту Комніноу. Проаналізовано вплив тертя на напружено-деформований стан контактуючих тіл.

Ключові слова: метод Вінера Гопфа, факторизація, нескінченні добутки, інтегральне рівняння, контакт пружних тіл, тертя, зони зчеплення та проковзування, контактні напруження, міжфазна тріщина.

АННОТАЦИЯ

Острик В. И. Разработка математических методов и исследование контактного взаимодействия упругих тел при учете трения. Рукопись.