Теорія гравітаційної спін-орбітальної взаємодії

Размещено на http://allbest.ru

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математитчних наук

01.04.02 - теоретична фізика

ТЕОРІЯ ГРАВІТАЦІЙНОЇ СПІН-ОРБІТАЛЬНОЇ ВЗАЄМОДІЇ

Виконав Пляцко Роман Михайлович

Львів - 2003



АНОТАЦІЯ

Пляцко Р.М. Теорія гравітаційної спін-орбітальної взаємодії. - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2003.

Дисертація присвячена побудові теорії гравітаційної спін-орбітальної взаємодії в ультрарелятивістському діапазоні швидкості пробної частинки зі спіном на основі аналізу системи рівнянь Матісона-Папапетру. Розроблено й ефективно використано нові зображення цих рівнянь через 3-вектор спіну і в термінах локальних супутніх величин. Отримано критерії, за якими гравітаційна спін-орбітальна взаємодія здатна суттєво змінити енергію, світову лінію і траєкторію частинки в гравітаційному полі Шварцшільда, досліджено залежність сили цієї взаємодії від орієнтації спіну при довільних відносних швидкостях частинки та джерела гравітаційного поля. Вивчено сумісні впливи гравітаційних спін-орбітальної та спін-спінової взаємодій на пробну частинку в полі Керра. Проаналізовано різні формулювання принципу еквівалентності при врахуванні специфіки гравітаційної ультрарелятивістської спін-орбітальної взаємодії. Згідно з отриманими числовими оцінками високоенергетичні частинки зі складу космічних променів можуть змінити своє електромагнітне випромінювання поблизу компактного джерела гравітаційного поля внаслідок впливу цієї взаємодії.

гравітаційний ультрарелятивістський орбітальний матісон



1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Релятивістська фізика, становлення якої започатковано майже 100 років тому формулюванням основ спеціальної теорії відносності, в подальші 40-50 років не лише змінила розуміння традиційних розділів фізики й забезпечила розвиток квантової механіки, але й набула рис прикладної науки. Однак релятивізація ньютонівської теорії тяжіння виявилась завданням значно складнішим. Загальна теорія відносності (ЗТВ) стала основою для нового розуміння природи гравітації, вказала на ефективні можливості використання геометричних методів при побудові інших фізичних теорій, змінила сам стиль фізичного мислення. Проте хронічна обмеженість кількості й точності експериментальних і спостережувальних даних щодо перевірки передбачень цієї теорії не давала змоги багатьом дослідникам сприймати її як достатньо вірогідну, спонукала розробляти й альтернативні теорії. З розвитком релятивістської астрофізики та космології результати й передбачення ЗТВ усе більше застосовуються до побудови складних моделей відповідних явищ і процесів. Для того, щоб зусилля багатьох дослідників не виявились малоефективними, необхідно з максимальною повнотою проаналізувати всі припущення й наслідки ЗТВ, періодично повертатися до переосмислення її засад. Принципово новим експериментам повинна передувати попередня теоретична робота.

Об'єктивні передумови для глибокого аналізу відмінностей у рухах пробної частинки з неквантовим спіном (внутрішнім обертанням) та безспінової частинки в гравітаційному полі з'явились ще 1937 р., коли М. Матісон вивів систему рівнянь, що описує рух пробної частинки зі спіном, використовуючи лінеаризовані рівняння гравітаційного поля для протяжного тіла на рімановому фоні, а також започаткував аналіз її розв'язків (Acta Phys. Polon.- 1937.- Vol.6.- P.163-200; 218-227). У 1951 р. рівняння Матісона повторно виводить А. Папапетру (Proc. Roy. Soc.A.- 1951.- Vol.209.- P.248-258), використовуючи метод В.О. Фока, розроблений для отримання рівнянь руху системи тіл. Розглянувши часткові розв'язки рівнянь Матісона-Папапетру (МП) у гравітаційному полі Шварцшільда, А. Папапетру й Е. Коріналдесі констатували, що вплив внутрішнього обертання планет на їх рух навколо Сонця дуже малий, як і вплив спіну фотона на відхилення світлового променя (у модельній задачі про квазігіперболічний рух). Мізерні значення цих ефектів суттєво загальмували пошуки й аналіз достатньо загальних розв'язків рівнянь МП. А такий аналіз вкрай потрібний. Справді, найбільш нетривіальна й навіть унікальна інформація, яка міститься в рівняннях МП, стосується таких рухів, які не зводяться до врахування спінових поправок лише за малими величинами, що мають множник 1/c (c - швидкість світла у вакуумі) у відповідних степенях. Наприклад, для обчислення зумовленої спіном поправки до величини зміщення перигелію не обов'язково розглядати рівняння МП - достатньо зробити редукцію системи рівнянь руху для n протяжних тіл у відповідному наближенні, отриману методом Айнштайна-Інфельда чи Фока, поклавши n=2 і вважаючи одне з тіл значно масивнішим від другого. Так само для виведення формули прецесії вектора спіну можна обійтись без рівнянь МП. У тих же ситуаціях, коли спінові поправки a priori не можна вважати малими, наприклад, за достатньо високих швидкостей пробних частинок і сильних гравітаційних полів, рівняння МП незамінні.

Хоч ефекти впливу спіну пробної частинки на її ультрарелятивістський рух досліджувались у низці публікацій, однак лише в такому наближенні, коли цей вплив можна вважати невеликим збуренням відповідного геодезійного руху.

На 1970-ті роки припали спроби декількох авторів вийти за межі апріорних обмежень щодо ступеню впливу спіну пробної частинки на її траєкторію. Зокрема Р. Волд на основі аналізу рівнянь МП розглянув можливість ефекту статичного зависання частинки зі спіном над джерелом поля Керра внаслідок компенсації гравітаційною спін-спіновою взаємодією звичайного гравітаційного притягання (Phys. Rev. D.- 1972.- Vol.6, N 2.- P.406-413). І хоч отриманий ним результат полягав у тому, що внаслідок необхідності виконання умови пробності частинки рівняння МП не допускають такого ефекту, важливою була вже сама постановка задачі, звернення саме до цих рівнянь, а не обґрунтування відповіді на основі лише загальних міркувань.

Автор іншої важливої публікації, С. Ресбенд (Phys. Rev. Lett.- 1973.- Vol.30, N 3.- P.111-114), досить оптимістично оцінив перспективи досліджень ролі спіну пробної частинки в фізичних й астрофізичних процесах у сильних гравітаційних полях, наголосивши, що оскільки надання чорній дірі кутового моменту привело до неочікуваного багатства можливих фізичних явищ, то можна припустити, що розгляд пробної частинки зі спіном у гравітаційному полі виявить нові важливі закономірності. Хоч започаткований Ресбендом напрям досліджень продовжив і розвинув К. Тод із співробітниками, все ж інтерес до нього досить швидко згас. Основна причина полягала в тому, що в межах застосованих ними підходів до аналізу властивостей розв'язків рівнянь МП у полях Шварцшільда й Керра вплив спіну міг бути значним лише для частинок з надто великим відношенням величини спіну до маси частинки.

Тема дисертаційної роботи пов'язана з дослідженнями ефектів загальної теорії відносності, зумовлених гравітаційною спін-орбітальною взаємодією без попередніх обмежень на величину швидкості пробної частинки й без апріорних припущень про ступінь близькості розв'язків рівнянь Матісона-Папапетру та рівнянь геодезійних ліній. Крім зазначеного вище, наявний ще один фактор, який зумовлює актуальність теми роботи. В низці праць різних авторів показано, що рівняння МП є квазікласичним наближенням квантових рівнянь для частинок зі спіном, зокрема рівнянь Дірака. Тому аналіз розв'язків рівнянь МП є підставою для опису поведінки не тільки макроскопічних пробних тіл з внутрішнім кутовим моментом у гравітаційному полі, але й елементарних частинок.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у рамках планових держбюджетних тем: «Розробка функціональних методів дослідження некласичних диференціальних рівнянь та їх застосування до вивчення динаміки частинок і суцільного середовища у зовнішних полях» (номер державної реєстрації 01.90.0051927); «Розвиток теорії гіллястих та інтеуральних ланцюгових дробів, їх застосування до розв'язання нелінійних операторних рівнянь» (номер державної реєстрації 0193У033340); «Розробка методів наближення функцій багатьох змінних гіллястими ланцюговими дробами та їх застосування до дослідження рівнянь релятивістської фізики» (номер державної реєстрації 0197U008258), а також за темою «Розробка методів релятивістської динаміки прямо взаємодіючих частинок та застосування у класичній, квантовій і статистичній механіках та астрономії», підтриманою Фондом фундаментальних досліджень ДКНТ України (реєстраційний номер 2/703). У цих тематичних дослідженнях здобувач був відповідальним виконавцем.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є побудова теорії гравітаційної спін-орбітальної взаємодії в ультрарелятивістському діапазоні швидкості пробної частинки на основі аналізу рівнянь Матісона-Папапетру. Для досягнення цієї мети необхідно розв'язати низку задач, серед них: з'ясування питання про умови допустимості використання замість точних рівнянь МП їх укороченого варіанту; дослідження силової та енергетичної характеристик гравітаційної ультрарелятивістської спін-орбітальної взаємодії; відокремлення фізичних ефектів від координатних при описі цієї взаємодії; аналіз фізичного змісту часткових розв'язків рівнянь МП у гравітаційному полі.

Об'єкт дослідження - ефекти впливу спіну пробної частинки на її рух у гравітаційному полі, які передбачає загальна теорія відносності.

Предмет дослідження - прояви гравітаційної спін-орбітальної взаємодії при ультрарелятивістській швидкості частинки.

Методи дослідження: перетворення традиційної форми запису рівнянь МП до вигляду більш придатного й зручного для подальшого їх аналізу; використання інформації, закладеної у відомих перших інтегралах цих рівнянь для метрики Шварцшільда; застосування зображення рівнянь МП у термінах тетрадних супутніх величин для відокремлення фізичних ефектів від координатних; пошук і аналіз точних часткових розв'язків системи рівнянь МП.

Наукова новизна отриманих результатів.

1. Розроблено й застосовано до аналізу фізичних ефектів два нетрадиційні зображення (представлення) точних рівнянь МП з умовою Пірані - через 3-вектора спіну і в термінах локальних супутніх величин, компонент тетрад і коефіцієнтів обертання Річчі. Зображення рівнянь МП через коефіцієнти Річчі вперше ефективно використано для дослідження гравітаційної спін-орбітальної взаємодії. Проведене раніше вивчення наслідків такого запису рівнянь МП обмежувалось лише простим прикладом метрики Мінковського.

2. Вперше здійснено порівняння властивостей розв'язків точної системи рівнянь МП і її укороченого варіанту, яким часто обмежуються і в якому відсутні похідні другого порядку за власним часом частинки від компонент її швидкості, для рухів частинки в гравітаційному полі Шварцшільда. Це дало можливість встановити, що, взагалі кажучи, при ультрарелятивістських швидкостях частинки зі спіном необхідно використовувати саме точну систему рівнянь МП, оскільки нехтування окремими членами може вносити суттєві похибки в кількісні оцінки таких характеристик руху як енергія або прискорення.

3. Проаналізовано вклади квадратичних за спіном членів в інтеграли енергії та моменту кількості руху для пробної частинки зі спіном у полі Шварцшільда. На відміну від попередніх досліджень інших авторів, які при аналізі цих інтегралів обмежувались лише лінійними за спіном членами, виявлено суттєвий вплив релятивістського фактора Лоренца на величину вкладів нелінійних за спіном членів.

4. З метою з'ясування природи сил, що згідно з рівняннями МП відхиляють рух пробної частинки зі спіном від геодезійного руху в полі Шварцшільда, вперше досліджено відмінності між тими локальними компонентами тензора кривини, які з точки зору супутнього спостерігача зумовлюють взаємодію спіну з гравітаційним полем, і локальними (супутніми) компонентами цього ж тензора, наявними в рівняннях девіації геодезійних ліній. Проаналізована залежність гравітомагнітних компонент поля рухомого шварцшільдівського джерела від фактора Лоренца та її прояви в фізичних ефектах за участю спіну.

5. Вперше отримано співвідношення, що визначають гравітаційну спін-орбітальну силу з точки зору супутнього спостерігача для довільної швидкості пробної частинки зі спіном відносно шварцшільдівського джерела гравітаційного поля та для довільної орієнтації спіну.

6. Проаналізовано різні формулювання принципу еквівалентності при врахуванні специфіки гравітаційної ультрарелятивістської спін-орбітальної взаємодії. Раніше під таким кутом зору принцип еквівалентності не розглядався.

7. Вперше оцінено різницю між точними значеннями сили та енергії гравітаційної спінової взаємодії й тими їх відповідниками, що отримані з укорочених рівнянь МП, на прикладі точних часткових розв'язків рівнянь МП, які описують суттєво негеодезійні ультрарелятивістські колові орбіти пробної частинки зі спіном в полі Шварцшільда. Поруч з ультрарелятивістською коловою орбітою радіуса r=3m розглянуто відповідний квантовий стан частинки, що описується загальноковаріантним рівнянням Дірака в полі Шварцшільда.

8. Для ультрарелятивістських швидкостей пробної частинки зі спіном вперше досліджено випадки сумісного впливу гравітаційної спін-орбітальної та спін-спінової взаємодій на її рух у полі Керра. Вивчено вплив обертання джерела гравітаційного поля на область існування суттєво негеодезійних колових орбіт.

Практичне значення отриманих результатів. Досліджені в роботі властивості й наслідки гравітаційної ультрарелятивістської спін-орбітальної взаємодії виявляють (теоретично передбачають) новї явища, які стимулюють підготовку та проведення експериментів і спостережень з метою поглибленої перевірки загальної теорії відносності й інших варіантів теорії гравітації. Результати роботи можуть застосовуватись при розробленні механізмів генерації високоенергетичного електромагнітного випромінювання в тих астрофізичних процесах і явищах, що протікають у сильних гравітаційних полях і супроводжуються інтенсивними потоками ультрарелятивістських частинок зі спіном.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації оприлюднено на всесоюзних конференціях «Сучасні теоретичні та експериментальні проблеми теорії відносності й гравітації» (Москва, 1981, 1984; Єреван, 1988) і 8-й Російській конференції «Теоретичні та експериментальні проблеми гравітації» (Пущино, 1993); всесоюзних симпозіумах «Проблеми руху тіл у загальній теорії відносності» (Вільнюс, 1983) і «Гравітація та електромагнетизм» (Мінськ, 1986, 1987); 2-й всесоюзній робочій нараді «Релятивістська астрофізика й космологія» (Київ, 1988); міжнародних конференціях «Загальна теорія відносності й гравітація»(Стокгольм, 1986; Флоренція, 1995; Пуне, 1997) і «Лобачевський та сучасна геометрія» (Казань, 1992); всеукраїнській конференції «Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь» (Дрогобич, 1997, 2001); 2-му міжнародному Смакуловому симпозіумі «Фундаментальні і прикладні проблеми сучасної фізики» (Тернопіль, 2000); 3-й науковій конференції «Вибрані питання астрономії та астрофізики» (Львів, 2002); конференції «Релятивістська астрофізика, гравітація та космологія» (Київ, 2002).



2. ОСНОВНТЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, вказано мету й задачі дослідження, сформульовано висновки, які свідчать про наукову новизну отриманих результатів і їх практичне значення, зазначено особистий внесок здобувача в праці, виконані в співавторстві, наведено відомості стосовно зв'язку роботи з науковими програмами, планами, темами, а також її апробації та кількості публікацій.

Перший розділ присвячено оглядові літератури за темою дисертації. Викладено основні початкові відомості про рівняння Матісона-Папапетру та їх фізичні наслідки й додаткові співвідношення, якими доповнюють ці рівняння.

У традиційному записі для 4-вектора швидкості та антисиметричного тензора моменту кількості руху рівняння МП мають вигляд (використовується така система одиниць, в якій швидкість світла у вакуумі та гравітаційна стала чисельно дорівнюють 1)

(1)

(2)

Де - деяка функція, що залежить від маси пробної частинки; - тензор кривини; - символ коваріантної похідної за напрямком вектора швидкості. Індекси-букви грецького алфавіту стосуються глобальних координат, причому до пробігають значення а - від 1 до 4.

Система рівнянь (1) неповна, оскільки для десяти невідомих функцій - однієї M, трьох з чотирьох компонент u (четверта компонента визначається з умови uu = 1) та шести компонент S - маємо лише сім рівнянь - чотири рівняння підсистеми (1) та три рівняння підсистеми (2) (серед шести рівнянь підсистеми (2) є тільки три незалежних). З метою опису руху центра маси пробної частинки зі спіном систему рівнянь МП часто доповнюють ще однією системою з трьох незалежних рівнянь

(3)

Застосоване до (1), (2) співвідношення (3) називають доповняльною умовою Пірані. У системі (1)-(3) кількість рівнянь уже збігається з кількістю невідомих функцій і при цьому M є інтеґралом руху. Рівняння підсистеми (1) за умовою (3) набувають вигляду

(4)

тобто містять другі похідні від швидкості. Тому при розв'язанні повної системи рівнянь МП задання самих лише початкових значень координат, швидкості та спіну частинки не забезпечує виділення не більше ніж однієї світової лінії. Вперше на це звернув увагу Матісон, пізніше така особливість рівнянь МП за умовою Пірані аналізувалась багатьма дослідниками. Зокрема в просторі Мінковського рівняння (1)-(3) описують, крім прямолінійних рухів частинки, ще й сукупність спіральних (зокрема колових) орбіт. Фізичну причину появи таких розв'язків з'ясував Х. Меллер (Commun. Dublin Inst. Advan. Stud. Ser. A. - 1949. - N 5. - P.3-19), показавши, що в спеціальній теорії відносності, на відміну від класичної механіки, положення центра маси частинки, яка обертається навколо своєї осі, залежить від системи відліку й тому центр маси не має абсолютного характеру (див. також: К. Меллер. Теория относительности. - М.: Атомиздат, 1975. - С.128). Умова (3) виділяє рух не одного центра маси, а певної їх сукупності. При цьому прямолінійний рух у просторі Мінковського здійснює так званий власний центр маси (у певному розумінні найближчий аналог класичного центра маси) й вісь обертання, а спіральний - невласні центри маси. Важливо, що усі центри маси не виходять за геометричні розміри опуклої частинки, тобто є близькими за своїми координатами, якщо частинка мала. Все ж, щоб уникнути зайвих розв'язків, для системи (1)-(3) підбирались доповняльні умови, відмінні від (3). Найчастіше як альтернативна розглядалась умова Тульчиєва-Діксона

(5)

де P - 4-імпульс частинки зі спіном, не паралельний, взагалі кажучи, 4-вектору швидкості. Однак хоч за цієї умови можна уникнути других похідних від швидкості в рівняннях МП, виникає питання про те, чи залишається точка, рух якої описується цими рівняннями за умовою Тульчиєва-Діксона, локалізованою біля частинки в процесі її руху. Якщо обмежуватись лише рухами, близькими до геодезійних, для них ситуація простіша, оскільки тоді умова Тульчиєва-Діксона наближено збігається з умовою Пірані. Як показав О.М. Александров (Кинематика и физика небесных тел. - 1991. - Т.7, \NO1. - С.13-20), у класі аналітичних за спіном розв'язків відповідні рівняння руху, що випливають з системи МП за двох варіантів доповняльних умов - Пірані та Тульчиєва-Діксона, збігаються в перших двох наближеннях за спіном.

У нашій роботі ми віддаємо перевагу умові Пірані (3), оскільки її фізичний зміст достатньо з'ясований. Саме її можна конструктивно вивести, як це зробив Б. Мешхун (J. Math. Phys. - 1971. - Vol.12, N 7. - P.1075-1077), для опису руху власного центра маси пробної частинки зі спіном у гравітаційному полі. Ця ж умова одержується при переході від квантових до квазікласичних рівнянь для частинок зі спіном з урахуванням зовнішнього уравітаційного поля.

У розділі 2 розроблено два нові зображення (представлення) рівнянь МП з доповняльною умовою Пірані через 3-вектор спіну та в термінах локальних супутніх величин.

У підрозділах 2.1 і 2.2 відповідно спінову частину рівнянь МП та поступальну частину записано з використанням 3-вектора спіну S у загальному вигляді:

(6)

(7)

(8)

де для вільних індексів слід покласти відповідно 1, 2, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2. Тут Г - символи Крістофеля, - визначник метричного тензора, крапка над буквою позначає звичайну похідну за власним часом частинки, квадратні дужки біля індексів означають їх альтернування. (Зазначимо, що в кандидатській дисертації здобувача розроблявся запис через 3-вектор спіну лише підсистеми (6), а не повної системи рівнянь МП).

Для аналізу структури та розв'язків рівнянь МП корисно розглянути їх у тетрадному зображенні, коли вводиться четвірка локальних векторів, яка утворює лоренцівський базис. Відомо, що тетрадні зображення основних рівнянь ЗТВ особливо важливі з позицій теорії систем відліку та теорії фізичних вимірювань. Увійшли в монографії та посібники, присвячені теорії уравітації, тетрадні зображення рівнянь геодезійних ліній і рівнянь Айнштайна. Водночас рівняння МП під цим кутом зору тривалий час не розглядались.

У підрозділі 2.3 на прикладі рівнянь геодезійних ліній проілюстровано метод отримання їх тетрадного зображення, а в підрозділах 2.4 і 2.5 відповідні перетворення виконано для спінової та поступльної частин системи рівнянь МП (6)-(8), у результаті чого отримано

(9)

(10)

(11)

(12)

де _klm -- коефіцієнти обертання Річчі, побудовані на компонентах супутніх тетрад, R_klmn - тетрадні компоненти тензора кривини, S₀ - стала спіну. (Тетрадні (локальні) індекси позначаються латинськими літерами, причому a, b, c до k пробігають значення 1, 2, 3, а k, l, m … - від 1 до 4; числові значення тетрадних індексів беруться в круглі дужки). У співвідношеннях (9)-(12) виділеним є перший локальний просторовий вектор (йому відповідає індекс (1)) як такий, що пов'язаний з орієнтацією спіну, а два інші такі вектори входять рівноправно.Порівняно з аналогічними рівняннями із вказаної вище статті Якупова тут уточнено розташування індексів біля відповідних коефіцієнтів обертання Річчі.

У підрозділі 2.5 звернено увагу на те, що рівняння (10)-(12) можна застосовувати для розпізнавання рухів власного й невласних центрів маси пробної частинки зі спіном у уравітаційному полі за умови, що наперед відомий відповідний частковий розв'язок рівнянь МП з умовою Пірані.

На відміну від розділів 1 і 2, де розглядались загальні властивості та наслідки рівнянь МП без конкретизацій вигляду фонової метрики, у розділі 3 розпочато аналіз властивостей розв'язків рівнянь МП за умовою Пірані в полі Шварцшільда.

При дослідженні рухів пробної частинки зі спіном у конкретних уравітаційних полях на основі рівнянь МП з доповняльною умовою Пірані здебільшого обмежувались укороченою поступальною частиною цих рівнянь, використовуючи замість (1) систему вигляду

(13)

Система рівнянь (13), на відміну від (1), не містить похідних від тензора спіну й тому при розв'язанні усієї системи рівнянь МП не виникають спіральні орбіти, аналогічні тим, що існують в просторі Мінковського. З урахуванням умови пробності тіла

(14)

де r - віддаль, на якій уравітаційне поле істотно змінюється (переважно це радіальна координата), вивчені в літературі рухи пробних частинок зі спіном, що описуються системою (13), (2), (3), близькі до геодезійних.

Заміна системи рівнянь (1) системою (13) означає, що серед множини розв'язків повної системи рівнянь (13), (2), (3) з довільними фіксованими фізично припустимими значеннями координат, швидкості та спіну відшукується лише розв'язок, близький до відповідного розв'язку вкороченої системи рівнянь МП і вважається, що він описує рух власного центра маси. Безумовно, при достатньо малих швидкостях руху частинки зі спіном у уравітаційному полі такий розв'язок точної системи рівнянь МП існує. Однак a priori не виключена можливість, що такий розв'язок не існує, якщо початкові дані належать деякій підобласті області фізично припустимих даних (хоча з фізичних міркувань розв'язок повинен існувати при довільних припустимих початкових даних). Роль членів, відкинутих при переході від (1) до (13), може не зводитись лише до того, що вони відповідають за появу додаткових спіральних розв'язків невласних центрів маси - необхідно з'ясувати їх вплив також і на той єдиний розв'язок точної системи МП, який при фіксованих початкових значеннях координат, швидкості й спіну частинки описує рух власного центра маси.

Отже, актуальними є оцінки того, яку неточність вносить заміна точних рівнянь (1) укороченими (13) для досить загальних розв'язків рівнянь МП у полі Шварцшільда, без їх явного інтеурування. Можливості для цього є завдяки тому, що для центрально-симетричної метрики Шварцшільда існують відповідні вектори Кілінга й це доє змогу знайти відповідні перші інтеграли системи рівнянь МП. Крім цього, спінову частину рівнянь МП у стандартних шварцшільдівських координатах, записану для рухів частинки у площині, до якої ортогональний 3-вектор спіну, можна точно проінтеурувати незалежно від рівнянь поступальної частини й знайти

У підрозділі 3.2 на основі аналізу інтегралів енергії та моменту кількості руху пробної частинки зі спіном у полі Шварцшільда отримано достатні умови сумірності членів, відкинутих при переході від точної до вкороченої системи рівнянь МП, із збереженими членами. Іншими словами, виявлено такі ситуації, коли недопустимо обмежуватись спрощеними рівняннями МП. Зокрема доведено, що для будь-якого розв'язку точної системи рівнянь МП, який відповідає заданим початковим значенням координат, швидкості та спіну частинки (тобто незалежно від того, чи цей розв'язок описує рухи власного або ж невласних центрів маси), нехтування вказаними членами приводить до відносної похибки в оцінці впливу спіну на прискорення або енергію частинки, яка не менша від 1/3, якщо початкове значення тануенціальної компоненти 4-швидкості частинки задовольняє умову

(15)

Внаслідок умови пробності (14) співвідношення (15) означає, що тангенціальна компонента швидкості частинки повинна бути ультрарелятивістською, причому правій частині (15) відповідає значення релятивістського фактора Лоренца

(16)

Очевидно, що для відомих макроскопічних об'єктів, які можна вважати пробними тілами, такі швидкості недосяжні. Для елементарних частинок ситуація інша. Наприклад, для електрона біля поверхні нейтронної зорі з масою порядку маси Сонця згідно з (16) одержуємо . Цьому фактору Лоренца відповідає енергія вільного руху електрона Ев; аналогічно для протона одержуємо Ев. Такі величини властиві космічним променям. Отже, застосовуючи рівняння МП для квазікласичного опису поведінки елементарних частинок у гравітаційному полі, необхідно зважати на те, що згідно з умовою (15) обмеження лише укороченими рівняннями МП може призвести до значних похибок.

Ефективне використання явних виразів інтеуралів енергії та моменту кількості руху для екваторіальних рухів пробної частинки зі спіном у полі Шварцшільда дало змогу вперше отримати запис точних рівнянь МП у вигляді системи двох диференціальних рівнянь другого порядку за похідними від радіальної та кутової шварцшільдівських координат. Вони наведені у підрозділі 3.3 і мають вигляд

(17)

(18)

Розділ 4 присвячено аналізові енергетичної та силової характеристик гравітаційної спін-орбітальної взаємодії. Вивчаючи залежність повної енергії частинки в гравітаційному полі від її спіну, традиційно обмежувались лише лінійним за спіном членом (див., наприклад, указану вище статтю С. Ресбенда). У підрозділі 4.1 для тих розв'язків точної системи рівнянь МП, які є аналітичними за спіном, додатково проаналізовано вклад квадратичного за спіном члена. Для екваторіальних рухів частинки в полі Шварцшільда інтеграл енергії з точністю до членів, квадратичних за спіном, має вигляд

(19)

де множник Mu₄ перед квадратною дужкою є відомим виразом енергії геодезійного руху. Якщо абсолютна величина S₀/Mr достатньо мала (див. умову пробності (14)), три члени ряду (19) дають як завгодно точну величину енергії частинки. Важливу інформацію містять коефіцієнти при S₀/Mr та (S₀/Mr)² у квадратній дужці (19). Обидва вони відмінні від нуля лише коли частинка має тангенціальну компоненту швидкості (це узгоджується з відомим результатом, що згідно з точними рівняннями МП з доповняльною умовою Пірані радіальний рух пробної частинки зі спіном є строго геодезійним). Однак суттєво різною є залежність цих коефіцієнтів від тангенціальної компоненти швидкості - якщо перший з них не перевищує 1/2 в усій області простору поза поверхнею горизонту поля Шварцшільда для довільних величин тангенціальної швидкості, від нерелятивістських і слабкорелятивістських до ультрарелятитвістських, то другий різко змінюється від величин, значно менших від одиниці при |u₊|<<1, до значно більших від одиниці при u²₊>>1.

Цей факт породжує запитання: чи буде залишатись збіжним степеневий ряд, перші три члени якого записано в (19), якщо величина |S₀|/Mr є як завгодно малою порівняно з одиницею, але фіксованою, а |u₊| наростатиме? Більш загально іншими словами відповідне питання можна сформулювати так: чи буде незначним вклад спіну в енергію конкретної частинки (з фіксованою спіновою сталою) в усьому діапазоні тангенціальної компоненти швидкості? Зрозуміло, що розгляд лише лінійної за спіном поправки в (19) не стимулював постановку таких питань.

Очевидно також, що три або будь-яке скінчене число членів ряду для енергії частинки не можуть внести повну ясність у ці питання в загальному випадку. Тому важливо розглянути такі точні часткові, але нетривіальні, випадки рухів частинки зі спіном у полі Шварцшільда, коли замість ряду для енергії одержується проста комбінація членів зі спіном. Цьому, зокрема, присвячено розділ 6.

У підрозділі 4.2 досліджено силу, яка діє на частинку зі спіном з точки зору супутнього до неї спостерігача. З цією метою використано запис системи рівнянь МП через супутні тетрадні величини. Для абсолютної величини сили у випадку екваторіальних рухів у полі Шварцшільда отримано

(20)

Ця формула демонструє спін-орбітальний характер сили, залежної лише від тангенціальної компоненти швидкості частинки й незалежної від її радіальної компоненти.Важливо, що згідно з (20) спін-орбітальна сила, яка діє на частинку зі спіном у полі Шварцшільда, дуже суттєво залежить від швидкості частинки - якщо в слабкорелятивістському випадку для характерного множника в (20) маємо

(21)

то в ультрарелятивістському випадку

(22)

що не можна трактувати як кінематичний ефект, оскільки для супутнього спостерігача швидкість частинки дорівнює нулеві. Цей факт суттєвий тим, що стверджує особливість спін-орбітальної сили в ультрарелятивістській границі (слабкорелятивістський аналог цієї формули міститься в цитованій вище статті Р. Волда).

Співвідношення (20) вказує на необхідність відрізняти два різні за фізичними наслідками граничні переходи: S₀ прямує до 0 при обмежених зверху абсолютних величинах компонент 4-швидкості частинки, коли рух зводиться до геодезійного, і |u₊| прмує до безмежності при фіксованій величині S₀ , коли різко зростає спін-орбітальна взаємодія, суттєво відхиляючи рух частинки від геодезійного руху.

Безпосереднє зіставлення гравітаційної спін-орбітальної сили (20) з припливними силами в супутній системі відліку здійснено в підрозділі 4.3. Вказано на їх суттєві відмінності, підкреслено, що припливні сили, котрі описуються рівняннями девіації геодезійних ліній, не мають жодного відношення до того відхилення руху пробної частинки зі спіном від геодезійнго руху, яке описується рівняннями Матісона-Папапетру.

У зв'язку з цим вимагає поглибленого аналізу розуміння суті й ролі принципу еквівалентності в загальній теорії відносності. Такий аналіз проведено в підрозділі 4.4. Детально розглянуто еволюцію формулювань цього принципу як самим Айнштайном, так і іншими дослідниками.

У контексті дослідження взаємодії спіну з різними компонентами гравітаційного поля в підрозділі 4.5 проаналізована залежність гравітоелектричних і гравітомагнітних компонент від напряму руху та швидкості шварцщільдівського джерела поля. Показано, що з точки зору спостерігача, супутнього до пробної частинки, її спін реагує саме на гравітомагнітні компоненти поля. Внаслідок цієї реакції частинка зазнає додаткового прискорення (порівняно зі станом геодезійного вільного падіння), компоненти якого a визначаються співвідношенням

(23)

У підрозділі 4.6 привернуто увагу до такого запису для абсолютної величини гравітаційної спін-орбітальної сили (20):

(24)



Звідси помічаємо, що для фіксованих величин |S₀| і u²₊ ця сила приблизно однакова біля поверхні нейтронної зорі та нейтрона (усвідомлюючи умовність характеристики біля стосовно нейтрона). Тому не можна виключати шансів на виявлення уравітаційної ультрарелятивістської спін-орбітальної взаємодії при розсіянні дуже швидких електронів на нейтронах.

Хоч тут перешкодою є магнітний момент нейтрона, значний вплив якого може суттєво ускладнити виявлення наслідків цієї взаємодії на фоні електромагнітної. Безумовно, послідовний детальний аналіз вимагатиме врахування квантових ефектів.

У розділі 5 вивчено залежність сили уравітаційної спін-орбітальної взаємодії від орієнтації спіну для довільних рухів пробної частинки зі спіном у полі Шварцшільда. Інформація про таку залежність необхідна, наприклад, для оцінки усереднених прискорень, що їх набувають частинки з потоку космічних променів під впливом цієї взаємодії, пролітаючи біля компактного джерела гравітаційного поля.

Для отримання співвідношення, яке описує залежність гравітаційної спін-орбітальної сили від змін орієнтації спіну, в підрозділі 5.1 використано вирази компонент цієї сили через відповідні локальні компоненти тензора кривини.

Обчислення вдається провести в загальному вигляді, без конкретизації набору супутніх тетрад, використовуючи найбільш загальні співвідношення між компонентами тетрад і метричним тензором. На кінцевому етапі обчислень введено кути Ейлера, які характеризують відносну орієнтацію в просторі локальних і глобальних координатних векторів. У підсумку знайдено

(25)



де відповідні кути Ейлера, - додатковий кут, який визначається співвідношеннями

(26)

Зокрема згідно з (25), (26) для ультрарелятивістських рухів спін-орбітальна сила досягає максимуму, коли спін ортогональний до напрямку руху (але не обов'язково ортогональний до площини, що визначається напрямком руху та радіальним напрямком). Ця максимальна величина збігається з тією, що фігурує в (20). Спін-орбітальна сила (25) досягає мінімуму, коли спін орієнтований вздовж чи проти напрямку руху - тоді вона дорівнює нулеві.

У результаті аналізу та перетворень спінової частини рівнянь МП, записаної в термінах коефіцієнтів обертання Річчі (9), розписаних через компоненти супутніх тетрад, у підрозділі 5.2 отримано одне звичайне диференціальне рівняння, розв'язки якого разом з виразом (25) описують зміну з часом абсолютної величини гравітаційної спін-орбітальної сили без обмежень на величину швидкості руху пробної частинки зі спіном у полі Шварцшільда.

Як встановлено вище, супутній спостерігач у полі Шварцшільда може, в принципі, зафіксувати значне відносне прискорення пробної частинки зі спіном і безспінової пробної частинки. Для цього необхідно, щоб тангенціальна швидкість частинки була ультрарелятивістською і проявилась гравітаційна ультрарелятивістська спін-орбітальна взаємодія. Однак якраз така велика швидкість, взагалі кажучи, не дає змоги стверджувати, що за короткий час прольоту частинки зі спіном біля джерела поля супутній спостерігач зафіксує помітне її зміщення. Також може не помітити суттєвого відхилення траєкторії частинки зі спіном спостерігач, пов'язаний з джерелом гравітаційного поля. Все ж апріорно не можна нехтувати можливістю того, що за певних умов, насамперед достатньо близько до джерела уравітаційного поля й при досить великій швидкості частинки зі спіном, гравітаційна ультрарелятивістська спін-орбітальна взаємодія здатна суттєво змінити її траєкторію. Справді, наші попередні дослідження, викладені в кандидатській дисертації, показали, що рівняння МП допускають такі часткові розв'язки в полі Шварцшільда, які описують рух по колових орбітах, зависаючих над джерелом цього поля. Подальшому аналізові цих та інших суттєво негеодезійних орбіт присвячено розділ 6.

У підрозділі 6.1 розглянуто вирази, які описують область існування та залежність кута зависання від радіальної координати для таких орбіт. Окремо акцентовано увагу на загальних питаннях, що стосуються порівняння розв'язків рівнянь МП і рівнянь геодезійних ліній. Як показують результати досліджень, викладених у розділах 3 і 4, нема жодних підстав уважати, що для будь-якої фіксованої величини сталої спіну відповідні степеневі ряди за спіном, які використовуються для зображення розв'язків рівнянь МП, будуть збіжними безвідносно до можливих величин коефіцієнтів цих рядів. Як переконались, наприклад, у підрозділі 4.1, коефіцієнти рядів за спіном суттєво залежать, зокрема, від швидкості частинки і навіть можуть ставати як завгодно великими, якщо швидкість стає ультрарелятивістською. Зрозуміло, що за такої ситуації не можна судити про збіжність рядів незалежно від співвідношення між малою величиною S₀/Mr і компонентами 4-швидкості частинки. Можливе порушення збіжностіне є дивним чи нефізичним, воно лише означає, що за певних умов характеристики геодезійного руху не можуть відігравати роль нульового наближення для відповідних розкладів у ряди за степенями спіну. І на це є фізична причина - при достатньо високих ультрарелятивістських швидкостях і фіксованій величині S₀ сила гравітаційної спін-орбітальної взаємодії, яка згідно з (20) відхиляє рух пробної частинки зі спіном від геодезійного, може ставати (у теоретичному плані) як завгодно великою. Як наслідок, не можна a priori стверджувати, що усякий фізично припустимий частковий розв'язок рівнянь МП за умовою Пірані (у тому числі й той, що описує рух власного центра маси) мусить обов'язково зображатись збіжним степеневим рядом, тобто бути аналітичним за спіном. Така вимога була б надто жорсткою. Її можна було б уважати за обґрунтовану лише при існуванні строгого доведення того, що за будь-яких фізично припустимих умов (у першу чергу для будь-яких високих швидкостей) відхилення від геодезійного руху, зумовлені спіном, є незначними, а відповідні ряди збіжними. Однак таке доведення відсутнє; покладатись на принцип еквівалентності, як показано у підрозділі 4.4, нема підстав.

Насправді обгрунтованою є така вимога: при S₀ прямуючому до 0 і обмежених зверху за абсолютною величиною компонентах 4-швидкості частинки усі вирази, що описують рух пробної частинки зі спіном, повинні прямувати до відповідних виразів для геодезійного руху. Справді, оскільки згідно із загальним виглядом рівнянь МП (1) ті їх члени, що кількісно характеризують відхилення цих рівнянь від рівнянь геодезійних ліній, залежать від добутку спіну на 4-швидкість, то про величину відхилення можна судити не за самою лише величиною спіну, а за величиною такого добутку. Зокрема, це наглядно відображено у виразі для спін-орбітальної сили (20), яка в ультрарелятивістському випадку визначається добутком S₀u²₊ .

Очевидно й інше: якщо S₀ прямує до 0 і водночас компоненти 4-швидкості прямують до безмежності, то факт прямування чи непрямування виразів, що описують рух пробної частинки зі спіном, до відповідних виразів для геодезійного руху буде залежати від поведінки комбінації цих величин.

У світлі вищезазначеного в підрозділі 6.1 проаналізовано, якими є розв'язки рівнянь МП за умовою Пірані в полі Шварцшільда у вигляді зависаючих колових орбіт. Згідно з цими рівняннями для існування таких розв'язків необхідне виконання умови

(27)

Очевидно, що при S₂=0 умова (27) не задовольняється, а в протилежному випадку згідно з (27) маємо

(28)

Співвідношення (28) вказує на те, що вираз для кутової швидкості є неаналітичним за спіном. Тому виникає припущення, що характеризовані ним орбіти є узагальненням, на випадок присутності гравітаційного поля, відомих колових орбіт у просторі Мінковського, часто званих вайсенхофівськими (Weyssenhoff J., Raabe A., Acta Phys. Polon. - 1947. - Vol.9, N 1. - P.7-18; хоч, як вказано вище, вперше на них звернув увагу Матісон), які описують рухи невласних центрів маси. Однак сама по собі неаналітичність не є ознакою достатньою для того, щоб визнати деякий розв'язок таким, що описує рух саме невласного центра маси, оскільки, як переконались, за певних умов неаналітичним може бути також і розв'язок, який описує ультрарелятивістський рух власного центра маси. Згідно з (14), (28) рух частинки зі спіном по зависаючих колових орбітах якраз і є ультрарелятивістським. Тому припущення про вайсенхофівську природу цих орбіт не можна приймати апріорно, воно вимагає перевірки. Тим більше, що несуперечливим є альтернативне припущення про те, що ці орбіти описують рух власного центра маси.

Справді, вираз (27), безпосереднім наслідком якого є (28), визначає той баланс між величиною спіну і орбітальною швидкістю, що необхідний для утримання частинки на зависаючій коловій орбіті. Умова балансу (27) цілком зрозуміла своїм фізичним змістом: чим меншим є спін частинки, тим більшою повинна бути її швидкість для утримання на зависаючій орбіті. Причому для всіх світових ліній, що відповідають тій самій орбіті з фіксованими кординатами, з (27) випливає Su=const (різні світові лінії у межах однієї орбіти відрізняються величиною швидкості руху по цій орбіті). Це означає, що згідно з спін-орбітальна сила має однакове числове значення для всіх світових ліній на такій орбіті.

Тому й не дивно, що при прямуючому до нуля S₀ і, як цього вимагає (27), одночасно прямуючому до безмежності |u₊| (але так, що S₀u²=const) орбіта залишається незмінною, зокрема, не переходить у якусь геодезійну орбіту, що повинно відбуватись з усякою іншою орбітою, коли спін прямує до нуля, але |u₊| залишається обмеженим. Підкреслимо, що вираз (27) чи (28) не можна застосовувати для опису цього останнього граничного переходу, оскільки він отриманий лише для таких часткових розв'язків, кожен з яких характеризується сталістю добутку S₂u³. Співвідношення (27), (28) справджуються лише для конкретних колових орбіт і не описують процесу сходження частинки з таких орбіт. Було б по-іншому, якби замість (28) мали загальний розв'язок відповідної задачі Коші для власного центра маси, з потрібною кількістю сталих інтегрування, - такий розв'язок описував би усі граничні переходи, в тому числі до геодезійних розв'язків при прямуючому до нуля S₀.

Отже, як з фізичної, так і з математичної точок зору співвідношення (27), (28) цілком допустимо трактувати як такі, що описують рух саме власного центра маси пробної частинки зі спіном у полі Шварцшільда.

Перевіряючи припущення про вайсенхофівську природу зависаючих колових орбіт у полі Шварцшільда, зауважимо, що згідно з рівняннями МП вони існують лише в обмеженій просторовій області, коли 15m/7 < r < 3m, тобто неподалік від поверхні горизонту. Ця область прямує до нуля при і такі орбіти взагалі перестають існувати при покладанні . Оскільки не виконується принцип відповідності стосовно параметра , то не можна розглядати зависаючі колові орбіти в полі Шварцшільда як узагальнення вайсенхофівських колових орбіт у просторі Мінковського на випадок наявності гравітаційного поля. Ще більше - хоч орбіти обох типів мають однакову колову форму, напрямки обертання на них протилежні. Дійсно, вайсенхофівські колові орбіти в просторі Мінковського, на відміну від (28), характеризуються співвідношенням (при цьому обмеження на не виникають). Порівнюючи (28) з (29), помічаємо, що при однакових знаках (тобто за однакових напрямків внутрішнього обертання частинки) знаки згідно з (28) та (29) є протилежними.

Отже, не можна трактувати зависаючі колові орбіти пробної частинки зі спіном у полі Шварцшільда як такі, що описують рухи невласних центрів маси.

У підрозділі 6.1 вказано й іншу ознаку, за якою зависаючі колові орбіти можуть бути лише орбітами власного центра маси. Показано, що навіть укорочена система рівнянь МП (яка не містить других похідних від швидкості й серед розв'язків якої нема тих, що стосуються невласних центрів маси) також має розв'язки, які описують ультрарелятивістські колові орбіти, зависаючі під малими кутами над екваторіальною площиною поля Шварцшільда поблизу значення . Причому саме в ці орбіти переходять зависаючі колові орбіти загального вигляду, що описуються точними рівняннями МП, у випадку, коли наближається до .

У підрозділі 6.2 досліджено силу уравітаційної спін-орбітальної взаємодії, яка з точки зору супутнього спостерігача діє на частинку при її русі по зависаючих колових орбітах, оцінено вклади різних членів, залежних від спіну.

Оцінки повної енергії і 4-імпульсу пробної частинки зі спіном на ультрарелятивістських колових орбітах у полі Шварцшільда, отримані в підрозділі 6.3, вказують на екстремальний суттєво негеодезійний характер цих орбіт. Їм властива велика енергія зв'язку, зумовлена гравітаційною ультрарелятивістською спін-орбітальною взаємодією. Відомі реальні макроскопічні тіла не можуть рухатися по таких орбітах через надто малі швидкості поступального руху. Однак і для швидких елементарних частинок про ці орбіти можна говорити лише умовно, причому не лише тому, що колові ультрарелятивістські орбіти частинки зі спіном у полі Шварцшільда є нестійкими. Причина та, що модельний (класичний) електрон чи протон, швидкість якого достатня для того, щоб почати рух по одній з таких орбіт, дуже швидко зійде з неї через інтенсивне електромагнітне випромінювання. У цьому переконують числові оцінки, наведені в підрозділі 6.6.

У підрозділі 6.4 проаналізовано екваторіальні суттєво негеодезійні колові орбіти пробної частинки зі спіном у полі Шварцшільда. Встановлено, що вони існують у межах радіальної координати між і . Для них оцінено енергію та 4-імпульс частинки. Окремо розглянуто малий окіл радіуса . При цьому ультрарелятивістська колова орбіта з є точним частковим розв'язком як точної системи рівнянь МП, так і її вкороченого варіанту. Як певний аналог саме цієї орбіти, в підрозділі 6.5 досліджено відповідний квантовий стан електрона, що описується загальноковаріантним рівнянням Дірака в полі Шварцшільда. Для цього проаналізовано розв'язки для радіальних компонент спінора.

Якщо джерело гравітаційного поля обертається навколо своєї осі (наприклад, як нейтронна зоря чи керрівська чорна діра), то пробна частинка зі спіном відчуває певною мірою вплив як гравітаційної спін-орбітальної, так і спін-спінової взаємодії. Цікаво, що свого часу Р. Волд більше уваги приділив саме гравітаційній спін-спіновій взаємодії, ніж спін-орбітальній, хоч кожна з них досліджувалась у порівнянні з відповідними взаємодіями електромагнітного походження. Зокрема важливе питання про можливість у певному сенсі компенсації звичайного ньютонівського притягання ставилось ним лише стосовно гравітаційної спін-спінової взаємодії.

Викладені в попередніх розділах результати досліджень гравітаційної спін-орбітальної взаємодії в ультрарелятивістському діапазоні швидкості пробної частинки спонукають розглянути вплив швидкості також і на характер уравітаційної спін-спінової взаємодії. Цьому присвячено розділ 7 дисертаційної роботи. У підрозділі 7.1 зосереджено увагу на силовій і енергетичній характеристиці гравітаційної спін-спінової взаємодії без жодних обмежень на величину швидкості частинки. При цьому вважаємо, що фонове гравітаційне поле описується метрикою Лензе-Тіррінга, яка відповідає лінійному наближенню (за кутовим моментом джерела поля) метрики Керра.

Для спінової сили (тобто разом спін-орбітальної та спін-спінової), яка з точки зору супутнього спостерігача діє на пробну частинку в цьому полі, отримано

(30)

У підрозділах 7.2 і 7.3 досліджено наслідки сумісних впливів гравітаційних ультрарелятивістських спін-орбітальної та спін-спінової взаємодій на зависаючі колові орбіти в полі Керра. Встановлено, що область існування зависаючих ультрарелятивістських колових орбіт частинки зі спіном для випадку з ростом від до неперервно розширюється, а максимальне значення кута підйому збільшується від (при ) до (при ). Для випадку із збільшенням область існування зависаючих ультрарелятивістських колових орбіт зменшується й при поза ергосферою таких орбіт нема, проте при появляються орбіти під ергосферою, для яких максимальне значення кута підйому () досягається при .

Отже, у випадку поля Керра область існування та залежність кута зависання від радіальної координати для зависаючих ультрарелятивістських колових орбіт істотно відрізняється від того, що маємо в полі Шварцшільда.

З метою порівняння зависаючих ультрарелятивістських колових орбіт пробної частинки зі спіном у полі Керра з неекваторіальними геодезійними орбітами безспінової пробної частинки в цьому ж полі в підрозділі 7.3 проаналізовано такі розв'язки рівнянь геодезійних ліній, які описують квазізависаючі колові орбіти, що існують в екстремальному полі Керра в малому околі поверхні горизонту. Підкреслено, що наявність цих геодезійних орбіт можна трактувати як втягнення частинки в обертальний рух ергосферою поля Керра.



ВИСНОВКИ

У дисертації розв'язана проблема з'ясування закономірностей гравітаційної спін-орбітальної взаємодії за умов ультрарелятивістської швидкості пробної чпстинки відносно джерела гравітаційного поля на основі аналізу властивостей розв'язків рівнянь Матісона-Папапетру. Це дасть змогу планувати нові експерименти та спостереження щодо вивчення впливу гравітаційних ефектів на поведінку високоенергетичних частинок поблизу компактних джерел поля. Основні підсумки роботи сформулюємо так:

I. Про фізичну причину відхилення світової лінії пробної частинки зі спіном від відповідної геодезійної лінії у полі Шварцшільда