Аналітико-чисельні підходи до розв'язування задач термопружності термочутливих тіл при конвективному теплообміні

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ

ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АНАЛІТИКО-ЧИСЕЛЬНІ ПІДХОДИ ДО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ТЕРМОПРУЖНОСТІ ТЕРМОЧУТЛИВИХ ТІЛ ПРИ КОНВЕКТИВНОМУ ТЕПЛООБМІНІ

ГАРМАТІЙ Галина Юріївна

Львів - 2002

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність. На сучасному етапі розвитку науки і техніки необхідність забезпечення міцності, надійності та довговічності елементів конструкцій споруд, машин і приладів, які працюють в умовах високотемпературного нагріву, є актуальною і практично важливою проблемою. На шляху розв'язання цієї проблеми суттєвого значення набувають питання визначення температурних полів і зумовлених ними напружень в елементах конструкцій.

Основні результати досліджень термонапруженого стану однорідних та неоднорідних тіл, а також вивчення і дослідження термомеханічних процесів у тілах з урахуванням взаємодії полів різної фізичної природи відображено в численних роботах: Абрамова В. В., Болі Б. та Уейнера Дж., Бурака Я. Й., Василенка А. Т., Вігака В. М., Гачкевича О. Р., Григолюка Є. І., Григоренка Я. М., Гриліцького Д. В., Грінченка В. Т., Карнаухова В. Г., Кіта Г. С., Коваленка А. Д., Коздоби Л. О., Козлова В. І., Коляно Ю. М., Кулика О. М., Кушніра Р. М., Лавренюка В. І., Ломакіна В. А., Мацевитого Ю. М., Можаровського М. С., Мотовиловця І. О., Немировського Ю. В., Никитенка М. І., Новацького В, Осадчука В. А., Паркуса Г., Писаренка Г. С., Підстригача Я. С., Поповича В. С., Постольника Ю. С., Процюка Б. В., Прусова І. О., Савули Я. Г., Савченка В. Г., Седова Л. І., Сулима Г. Т., Тимошенка С. П., Улітка А. Ф., Хая М. В., Швеця Р. М., Шевченка Ю. М., Шевчука П. Р., Шинкаренка Г. А. та інших авторів.

Розрахунки температурних полів, які є першим етапом при визначенні температурних напружень, отримані на основі існуючих моделей, у багатьох випадках не задовольняють сучасні вимоги інженерної практики. Одним із шляхів вирішення цієї проблеми є використання досконаліших математичних моделей, які точніше враховують ті чи інші властивості реальних матеріалів і дозволяють формулювання нових математичних задач, які вимагають вдосконалення існуючих та розробки нових методів їх розв'язання.

Відомо, що теплофізичні характеристики матеріалів змінюються зі зміною температури. Тому математичні моделі, що враховують залежності теплофізичних характеристик матеріалу від температури, повніше описують реальні процеси розповсюдження тепла, особливо в умовах високотемпературного нагріву. Водночас справа ускладнюється тим, що сформульовані на основі таких математичних моделей крайові задачі математичної фізики є нелінійними. На сьогодні відомо лише деякі аналітичні розв'язки таких задач для тіл простої геометрії.

Проведений огляд і аналіз літератури показує, що точні аналітичні розв'язки нелінійних нестаціонарних крайових задач теплопровідності можна отримати для тіл, виготовлених з матеріалів з простою нелінійністю (коефіцієнт теплопровідності і об'ємна теплоємність яких залежать від температури, а коефіцієнт температуропровідності приймається за сталу величину), у випадку, коли на поверхні тіла задана температура або тепловий потік. У випадках, коли враховується конвективний, радіаційний чи конвективно-радіаційний теплообмін з поверхонь тіл, переважно використовують чисельні методи.

Безперечно цінними є аналітичні та аналітико-чисельні розв'язки таких задач, які побудовані у вигляді явних формул, що містять елементарні чи спеціальні функції. Такі розв'язки є зручними для якісного аналізу теплових режимів, оскільки явно відображають вплив на розподіл температури визначальних факторів, дозволяють оцінити їх значення і виділити головні з них. Вони також можуть слугувати критерієм оцінки достовірності чисельних розв'язків.

З цього випливає актуальність теми дисертації - розробка аналітико-чисельних підходів до розв'язування нестаціонарних крайових задач теплопровідності та відповідних задач термопружності для термочутливих тіл в умовах конвективного теплообміну з їх поверхонь, а також дослідження впливу залежності від температури фізико-механічних характеристик матеріалу на величину і характер розподілу температури та напружено-деформований стан однорідних чи кусково-однорідних тіл.

Зв'язок роботи з науковими планами й темами. Робота виконана в рамках бюджетних науково-дослідних тем Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, а саме:

“Розробити методи розв'язування нелінійних крайових задач термопружності для тіл неоднорідної структури” (I квартал 1994 р. - IV квартал 1997 р., шифр теми 1.1.3.210, № державної реєстрації 01.940015278);

“Розробка методів розв'язування задач термопружності при імпульсних режимах навантаження термочутливих тіл неоднорідної структури” (I квартал 1998 р. - IV квартал 2002 р., № державної реєстрації 0198U002530).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка та апробація методики побудови аналітико-чисельних розв'язків нелінійних нестаціонарних крайових задач теплопровідності, що описують розповсюдження тепла в тілах з залежними від температури характеристиками в умовах конвективного теплообміну з їх поверхонь, а також визначення впливу залежностей від температури теплофізичних і механічних характеристик матеріалу на термонапружений стан тіла.

Об'єктом дослідження є напружено-деформований стан однорідних і кусково-однорідних термочутливих тіл при конвективному теплообміні.

Предметом дослідження є температурні поля і зумовлені ними компоненти напружено-деформованого стану простору зі сферичною порожниною, системи контактуючих циліндричних тіл і суцільного циліндра при конвективному теплообміні та їх залежність від термочутливості матеріалів.

Методи досліджень. Для досягнення сформульованої мети використано відомі та розвинуто нові методи. Зокрема, при лінеаризації нелінійних крайових задач теплопровідності застосовано перетворення Кірхгофа та сплайн-апроксимацію нелінійної залежності температури від змінної Кірхгофа; при розв'язуванні лінеаризованих задач - інтегральне перетворення Лапласа за часовою змінною та метод колокацій. При чисельному розв'язуванні - метод прямих і багатокрокові лінійні різницеві методи. Квазістатичні задачі термопружності розв'язувались методом збурень.

Наукова новизна одержаних результатів:

розроблено методику побудови аналітико-чисельних розв'язків нестаціонарних крайових задач теплопровідності для термочутливих тіл в умовах конвективного теплообміну, яка включає: часткову лінеаризацію вихідної нелінійної крайової задачі теплопровідності за допомогою введення змінної Кірхгофа; остаточну лінеаризацію отриманої крайової задачі на змінну Кірхгофа за допомогою спеціально побудованих сплайнів нульового чи першого порядку; побудову розв'язків отриманих лінійних задач на змінну Кірхгофа відомими класичними методами; здійснення оберненого перетворення Кірхгофа та визначення параметрів апроксимації;

адаптовано метод прямих до знаходження розв'язків нелінійних нестаціонарних крайових задач теплопровідності для термочутливих тіл в умовах конвективного теплообміну. Досліджено похибку апроксимації та запропоновано прийом підвищення порядку апроксимації без збільшення шаблону для побудованих напівдискретних задач;

з використанням запропонованих підходів побудовано розв'язки задач термопружності для: термочутливого простору зі сферичною порожниною, поверхня якої вільна від силового навантаження і через яку здійснюється конвективний теплообмін з середовищем сталої температури; системи контактуючих термочутливих циліндричних тіл, зовнішня поверхня якої вільна від силового навантаження і через неї здійснюється конвективний теплообмін з середовищем сталої температури, а на поверхні дотику циліндрів виконуються умови ідеального теплового та механічного контактів; суцільного термочутливого циліндра, поверхня якого вільна від силового навантаження і через неї відбувається конвективний теплообмін із середовищем сталої температури.

Достовірність отриманих у роботі результатів забезпечується: строгістю та коректністю постановки крайових задач і математичних методів, які застосовані для знаходження їх розв'язків; порівнянням чисельних результатів розв'язків, отриманих різними підходами; фізичною інтерпретацією отриманих чисельних результатів; застосуванням методів, які забезпечують необхідну точність, а також тим, що при розв'язуванні нелінійних крайових задач теплопровідності за допомогою запропонованої методики використовується існуючий, добре апробований, потужний апарат класичних методів розв'язування відповідних лінійних задач; застосуванням апробованих пакетів програм для математичних розрахунків.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблена в роботі методика може ефективно використовуватися при розв'язуванні нелінійних крайових задач теплопровідності і відповідних задач термопружності для термочутливих тіл, коли враховується конвективний теплообмін. Знайдені за допомогою запропонованої методики розв'язки нелінійних задач теплопровідності дозволяють проводити якісний аналіз теплових процесів. Отримані результати можуть служити критерієм оцінки для відповідних чисельних розв'язків.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 10 наукових праць, у тому числі - 4 у наукових журналах, які входять до Переліку фахових видань ВАК України [1-4].

Основні результати дисертації отримано здобувачем самостійно. У працях [1-10] науковому керівнику В. С. Поповичу належать постановки задач, основні ідеї методик розв'язування, участь в обговоренні та формулюванні висновків за результатами проведених досліджень. У роботі [3] співавтор Р. М. Кушнір брав участь в обговоренні отриманих результатів та формулюванні висновків. При написанні роботи [4] М. В. Кутнів консультував з питань розв'язання систем жорстких диференціальних рівнянь. Дисертант брала участь у формулюванні задач, обговоренні результатів, виконала всі аналітичні викладки при побудові розв'язків конкретних задач та здійснила їх числову реалізацію.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати досліджень дисертаційної роботи доповідалися на: Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики”, присвяченій 70-річчю від дня народження академіка НАН України Я. С. Підстригача та 25-річчя заснованого ним Інституту прикладних проблем механіки і математики (Львів, 1998); науковій конференції ”Математика і механіка у Львівському університеті (історія і сучасність)” секції “Сучасні проблеми механіки”, присвяченій 60-річчю від заснування кафедри механіки і 50-річчю її наукової спеціалізації (Львів, 1999); V-тій Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Луцьк, 2000); 5-му Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові (16-18 травня 2001 р.); Міжнародній науковій конференції (м. Дрогобич, 1-5 жовтня 2001 р.). У повному обсязі робота доповідалась та обговорювалась на семінарі відділу термомеханіки та кваліфікаційному семінарі з механіки деформівного твердого тіла Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, на науковому семінарі під керівництвом академіка НАН України Ю. М. Шевченка за напрямком “Механіка зв'язаних полів в матеріалах та елементах конструкцій” при Інституті механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, на об'єднаному семінарі кафедр механіки та інформаційних систем Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, які містять 28 рисунків і 5 таблиць, висновків та списку літератури. Табличний матеріал включено в текст. Загальний обсяг роботи становить 155 сторінок. Бібліографія складається із 158 джерел і займає 15 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

нелінійний теплопровідність температура конвективний

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі досліджень; відзначено наукову новизну та практичне значення одержаних результатів роботи, її зв'язок з науковими програмами.

У першому розділі виконано огляд літератури з теплопровідності та термопружності однорідних та кусково-однорідних тіл, фізико-механічні характеристики яких є сталими, залежать від координат чи температури.

У другому розділі дана загальна постановка нестаціонарних задач теплопровідності та квазістатичних задач термопружності для термочутливих тіл. В умовах конвективного теплообміну нестаціонарні крайові задачі теплопровідності є нелінійними і, зокрема, можуть мати вигляд

,(1)

або (i = 1,2,3),(2)

,(3)

де - залежні від температури коефіцієнт теплопровідності та об'ємна теплоємність, - коефіцієнт теплообміну з поверхні .

Відповідна задача термопружності, якщо за вихідні взяті рівняння в переміщеннях, має вигляд

, (4)

,(5)

при заданих граничних умовах. Тут - залежні від температури коефіцієнти Ляме; - залежний від температури коефіцієнт лінійного розширення.

Методом збурень здійснено зведення задачі термопружності до послідовності крайових задач, де системи рівнянь мають вигляд

(основне наближення)(6)

(k-те наближення)(7)

з відповідними граничними умовами. Диференціальні оператори мають такий самий вигляд, як у задачі термопружності для нетермочутливого тіла. Розв'язок вихідної задачі є сумою розв'язків крайових задач для основного і k-х наближень. Тут же методом збурень виконано зведення осесиметричної задачі термопружності для контактуючих циліндричних тіл до послідовності відповідних крайових задач.

У третьому розділі викладено методику побудови аналітико-чисельних розв'язків задач теплопровідності для термочутливих тіл з простою нелінійністю при врахуванні конвективного теплообміну з їх поверхонь та адаптовано метод прямих до розв'язування такого типу задач.

Розглянуто нестаціонарну крайову задачу теплопровідності для термочутливого тіла

,(8)

або, (9)

.(10)

Суть запропонованої методики полягає в тому, що нелінійна крайова задача (8)-(10) після переходу до безрозмірних величин та подання теплофізичних характеристик у вигляді: , частково лінеаризується за допомогою введення зміннної Кірхгофа і набуває вигляду

, (11)

або , (12)

.(13)

Якщо вважати, що коефіцієнт температуропровідності є сталою величиною, що має місце для багатьох теплоізоляційних матеріалів, шамоту, графіту, деяких марок сталей, чистих металів, то рівняння (11) на змінну Кірхгофа стає лінійним, а нелінійність залишається в умові конвективного теплообміну (13) у вигляді нелінійної залежності температури від змінної Кірхгофа. Остаточна лінеаризація задачі здійснюється за допомогою спеціально побудованих сплайнів нульового чи першого порядку, значення яких в точках розбиття співпадають зі значеннями шуканої температури на поверхні тіла , а на кожному з часових проміжків інтерполюють її сталою величиною або лінійною функцією, а саме:

,(14)

.(15)

В результаті цього отримуємо лінійну крайову задачу на змінну Кірхгофа, розв'язок якої знаходимо зручним класичним методом у вигляді . Здійснивши обернене перетворення Кірхгофа, яке, наприклад, у випадку має вигляд

,(16)

знаходимо температуру як функцію координати, часу та невідомих параметрів сплайн-апроксимації

.(17)

Записавши вираз (17) на поверхні та використавши метод колокацій, отримуємо систему алгебричних рівнянь для визначення невідомих параметрів сплайн-апроксимації

(18)

Підстановка знайдених параметрів сплайн-апроксимації в (17) завершує розв'язок вихідної задачі.

Адаптовано метод прямих до розв'язування такого типу задач, коли всі теплофізичні характеристики залежать від температури, що дало можливість перевірити достовірність отриманих аналітико-чисельних розв'язків. При цьому просторову дискретизацію здійснено методом заміни похідних скінченно-різницевими співвідношеннями та інтегро-інтерполяційним методом. Досліджено, з якою похибкою апроксимації за кроком розбиття області зміни просторової координати отримана напівдискретна задача (задача Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь) наближає вихідне рівняння теплопровідності та граничні умови. Запропоновано прийом підвищення порядку апроксимації граничної умови без збільшення шаблону у випадку, коли розв'язок вихідної задачі не може бути продовжений за межі заданої області.

У четвертому розділі побудовано аналітико-чисельний розв'язок квазістатичної задачі термопружності для термочутливого простору зі сферичною порожниною радіуса R, який нагрівається шляхом конвективного теплообміну з середовищем сталої температури через поверхню порожнини, яка вільна від силових навантажень. У даному випадку крайові задачі для визначення складових розв'язку задачі термопружності мають вигляд

(основне наближення),(19)

(k-те наближення),(20)

,(21)

а крайова задача на змінну Кірхгофа, через яку визначається температура, має вигляд

,(22)

.(23)

Розв'язки крайової задачі (22)-(23), знайдені після лінеаризації умови конвективного теплообміну сплайнами (14) або (15) за допомогою інтегрального перетворення Лапласа, мають вигляд

, (24)

.(25)

Задача (22)-(23) розв'язана також методом прямих. З метою підвищення порядку апроксимації умови конвективного теплообміну (23) застосовано прийом підвищення порядку апроксимації без збільшення шаблону, так як розв'язок задачі не може бути продовжений за межі порожнини. Це дозволило отримати напівдискретну задачу з другим порядком точності за кроком розбиття за просторовою змінною.

На основі отриманих розв'язків задачі теплопровідності проведено чисельні дослідження нестаціонарного температурного поля в термочутливому просторі зі сферичною порожниною, матеріал якого є сталь з коефіцієнтом теплопровідності Вт/м·K. Розрахунки виконані з вихідними даними: ; 6; 15. При переході до безрозмірних величин за опорну взято температуру гріючого середовища K, а за характерний розмір - радіус сферичної порожнини R. Дослідження проводились з врахуванням того, що При чисельному розв'язуванні задачі методом прямих, розв'язок напівдискретної задачі знайдений за допомогою формул диференціювання назад (частковий випадок методів Гіра зі стрічковою тридіагональною структурою матриці Якобі). Отримали добре співпадіння чисельних результатів розв'язків. Проведений аналіз отриманих результатів показує, що запропонована методика побудови аналітико-чисельних розв'язків ефективно працює у всій області зміни часу на відміну від методу прямих, де виникають проблеми при обчисленні значень температури при малих часах і що доцільніше проводити остаточну лінеаризацію умови конвективного теплообміну сплайном першого порядку, а не нульового, що приводить до економії об'єму пам'яті та комп'ютерного часу за рахунок меншого розбиття області зміни часу. Знайдено розв'язок крайової задачі для аналогічного нетермочутливого простору при Вт/м·K. Різниця температур у термочутливому і нетермочутливому просторах найбільша поблизу сферичної порожнини і становить приблизно 4-5%.

З метою дослідження впливу залежності від температури коефіцієнта температуропровідності на величину та характер розподілу температури знайдено розв'язки даної задачі, коли всі теплофізичні характеристики залежать від температури, і при опорному значенні коефіцієнта температуропровідності. Розбіжність між знайденими значеннями температур не перевищує 0,5%.

За відомим розподілом температури розв'язано крайові задачі (19)-(21). При цьому за матеріал вибрано сталь, коефіцієнт лінійного розширення якої є лінійною функцією температури:; модуль зсуву - квадратична функція температури: МПа. Коефіцієнт Пуассона вважається незалежним від температури і дорівнює 0,4. Обчислено основне і перше наближення для переміщення і напружень. Отримані чисельні результати показали, що приблизно 90-95% сумарних величин переміщення і напружень дають основні наближення. З проведених чисельних досліджень видно, що є монотонно зростаючими функціями від Fo, а зі збільшенням Fo зростає, досягає додатного максимуму і дальше прямує до від'ємних стаціонарних значень. Проведений аналіз отриманих числових результатів показує, що розбіжність між значеннями переміщень в залежності від Fo в термочутливому і нетермочутливому просторах досягає приблизно 35-40%, а між напруженнями 25-30%.

На рис. 1 показано розподіл температури в залежності від радіуса для різних значень критерію Fo при Bi = 1; на рис. 2, 3 показано графіки розподілу переміщення і радіальних напружень в залежності від Fo, для Bi = 1, а на рис. 4 - для колових напружень при Bi = 6. Для порівняння на рис. 1-4 наведено графіки (штриховими лініями), що відповідають розв'язкам, отриманим при сталих значеннях характеристик: .

Отриманий розв'язок для переміщення має особливість, яка полягає в тому, що на поверхні сферичної порожнини , а зі збільшенням Bi та Fo зростає у від'ємному напрямку, на відміну від нетермочутливого простору, де .

У п'ятому розділі побудовано аналітико-чисельні розв'язки квазістатичних задач термопружності для системи контактуючих термочутливих циліндричних тіл, зовнішня поверхня якої вільна від силового навантаження і через неї здійснюється конвективний теплообмін з середовищем сталої температури, а на поверхні дотику циліндрів виконуються умови ідеального теплового та механічного контактів; суцільного термочутливого циліндра, поверхня якого вільна від силового навантаження і через неї відбувається конвективний теплообмін з середовищем сталої температури. У випадку системи контактуючих циліндрів розв'язання задачі термопружності зведено до побудови розв'язків систем рівнянь :

(основне наближення),(26)

(i=1,2),(k-те наближення)(27)

при граничних умовах

.(28)

Крайова задача спряження на змінні Кірхгофа, через які визначається температура системи, має вигляд

(29)

,(30)

,(31)

.(32)

Як бачимо, введення змінних Кірхгофа дозволило частково лінеаризувати вихідну задачу, а нелінійності залишилися в умовах, отриманих з рівності температур на поверхні контакту циліндрів та конвективного теплообміну через поверхню зовнішнього циліндра . Остаточну лінеаризацію умови конвективного теплообміну здійснено шляхом апроксимації нелінійного виразу за допомогою сплайна нульового порядку (14), а граничну умову рівності температур (30) - за допомогою введення так званого “лінеаризуючого параметра ”, запропонованого в роботах В.С. Поповича. В результаті отримано лінійну задачу спряження на змінні Кірхгофа, розв'язок якої побудовано за допомогою інтегрального перетворення Лапласа. Знайдено змінну Кірхгофа як функцію координати, часу та параметрів лінеаризації . Шуканий розподіл температури отримали в результаті здійснення оберненого перетворення Кірхгофа та визначення параметрів лінеаризації.

Визначили температурне поле у циліндрі з алюмінієвого сплаву зі стальним покриттям. Прийняли К, а коефіцієнти теплопровідності матеріалів циліндра і покриття брали у вигляді: , , де Вт/м·K, Вт/м·K, . Значення коефіцієнтів температуропровідності дорівнювали середнім їх значенням для даного діапазону температур, тому відношення . Значення термопружних характеристик для алюмінієвого сплаву брали у вигляді . Відповідні залежності для сталі: ; v₂ = 0,3.

Отримано неперервну зміну температури в межах системи та рівність температур на лінії контакту. Температура в системі зі збільшенням підвищується. Розподіл переміщень і напружень цілком узгоджується з фізично очікуваними результатами. Радіальні переміщення і напруження на переході через лінію контакту циліндра і покриття неперервні, а колові напруження мають розрив, величина якого зростає із ростом температури. Встановлено, що основний внесок у розв'язок задачі термопружності дає основне наближення, максимальний внесок першого наближення у напруження не перевищує 4%, а у напруженнях - 7,5%.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена розв'язанню наукового завдання - розробці та апробації методики побудови аналітико-чисельних розв'язків нелінійних нестаціонарних крайових задач теплопровідності, що описують розповсюдження тепла в тілах із залежними від температури характеристиками в умовах конвективного теплообміну з їх поверхонь, а також визначенню впливу залежностей від температури теплофізичних і механічних характеристик матеріалу на термонапружений стан тіла.

У роботі отримано такі основні результати:

Методом збурень здійснено зведення задач термопружності для термочутливих тіл та осесиметричної задачі термопружності для контактуючих циліндричних тіл до послідовності крайових задач, у яких диференціальні оператори мають такий самий вигляд, як у задачах термопружності для нетермочутливих тіл.

Розроблено методику побудови аналітико-чисельних розв'язків нелінійних нестаціонарних крайових задач теплопровідності при врахуванні конвективного теплообміну, яка включає поетапну лінеаризацію за допомогою введення змінної Кірхгофа і сплайн-апроксимацію нелінійного виразу температури на поверхні теплообміну.

Адаптовано метод прямих до розв'язування нелінійних нестаціонарних крайових задач теплопровідності при врахуванні конвективного теплообміну, коли всі теплофізичні характеристики змінюються зі зміною температури. Досліджено похибку апроксимації для напівдискретних задач та запропоновано прийом підвищення порядку апроксимації граничних умов без збільшення шаблону у випадку, коли розв'язок задачі не може бути продовжений за межі заданої області.

Досліджено ефективність застосування запропонованих методик до розв'язування конкретних задач для термочутливих тіл (простору зі сферичною порожниною, системи циліндричних тіл і суцільного циліндра) при врахуванні конвективного теплообміну з їх поверхонь. Показано, що запропонована методика побудови аналітико-чисельних розв'язків ефективно працює у всій області зміни часу на відміну від методу прямих, який є неефективним для малих значень часу. Перевага методу прямих полягає в тому, що він дозволяє розв'язувати нелінійні нестаціонарні задачі теплопровідності, коли враховуються залежності від температури усіх теплофізичних характеристик матеріалу тіла. Чисельні дослідження розподілу температурного поля, знайденого за запропонованою методикою побудови аналітико-чисельних розв'язків, показують, що при обчисленні температури з однаковою точністю доцільніше використовувати апроксимацію нелінійного виразу температури в умові конвективного теплообміну сплайном першого порядку, а не нульового, що приводить до зменшення об'єму обчислювальної роботи та економії комп'ютерного часу.

Розв'язано, з використанням послідовності крайових задач, отриманих методом збурень, відповідні задачі термопружності для простору зі сферичною порожниною у випадку, коли поверхня порожнини вільна від силових навантажень; для системи двох циліндричних тіл, коли зовнішня поверхня вільна від силових навантажень, а на границі дотику циліндрів існує ідеальний механічний контакт та суцільного циліндра, зовнішня поверхня якого вільна від силових навантажень. Отримані чисельні результати показали, що приблизно 90-97% сумарних величин переміщення і напружень дають нульові наближення.

Отриманий розв'язок для переміщення у задачі термопружності для термочутливого простору зі сферичною порожниною володіє особливістю, яка полягає в тому, що на поверхні сферичної порожнини переміщення не дорівнює нулю, а із збільшенням безрозмірного критерію теплообміну Bi та часу Fo зростає у від'ємному напрямку на відміну від нетермочутливого простору, де воно дорівнює нулю.

Проведений чисельний аналіз розв'язків задач термопружності для конкретних термочутливих матеріалів показує, що розбіжність між значеннями температури у термочутливих і нетермочутливих тілах становить 5-10%, а розбіжність між відповідними значеннями напружень і переміщень - 30-40%, що вказує на важливість врахування термочутливості матеріалу тіла при розв'язуванні задач термопружності.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

Попович В.С., Гарматій Г.Ю. Нестаціонарна задача теплопровідності для термочутливого простору зі сферичною порожниною // Мат. методы и физ.-мех. поля. - 1994. - Вип. 37. - С. 100-104.

Попович В.С., Гарматій Г.Ю. Розв'язування нелінійних задач теплопровідності термочутливих тіл методом поетапної лінеаризації // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 2000. - Вип. 57. - С. 137-141.

Кушнір Р.М., Попович В.С., Гарматій Г.Ю. Аналітично-чисельне розв'язування контактних задач термопружності для термочутливих тіл // Фізико-хімічна механіка матеріалів. - 2001. - № 6. - С. 39-44.

Гарматій Г., Кутнів М., Попович В. Числове розв'язування нестаціонарних задач теплопровідності термочутливих тіл при складному теплообміні // Машинознавство. - 2002. - № 1 (55). - С. 21-25.

Попович В.С., Гарматій Г.Ю. Аналіз методів розв'язування задач теплопровідності термочутливих тіл при конвективному теплообміні // Математичні методи механіки неоднорідних структур: В 2 т. - Львів. - 2000. - Т. 1. - C. 205-211.

Попович В.С., Гарматій Г.Ю. Про розв'язок задач термопружності контактуючих термочутливих тіл з теплообміном // Механіка неоднорідних структур: Тези доп. IV Міжнар. конф. - Тернопіль. - 1995. - С. 237

Попович В.С., Гарматій Г.Ю. Побудова розв'язків задач теплопровідності термочутливих тіл з простою нелінійністю при наявності конвективного теплообміну // Тези доп. Міжнар. наук. конференції “Сучасні проблеми механіки і математики”. - Львів. - 1998. - С. 208.

Гарматій Г., Кутнів М., Попович В. До побудови числових розв'язків задач теплопровідності термочутливих тіл при складному теплообміні // Тези доп. 5-го Міжнар. симпозіуму українських інженерів-механіків. - Львів. -2001. - С. 63.

Кушнір Р.М., Попович В.С., Гарматій Г.Ю. Комбінований метод аналітично-чисельного розв'зування контактних задач термопружності для термочутливих тіл з теплообміном // Матеріали Міжнародного науково-технічного симпозіуму ”Сучасні проблеми механіки матеріалів: фізико-хімічні аспекти та діагностика властивостей”. - 2001. - Львів. - С. 102-103.

Попович В., Гарматій Г. Метод побудови аналітично-чисельних розв'язків задач теплопровідності термочутливих тіл простої геометрії при наявності конвективного теплообміну // Тези доп. Міжнар. наук. конф. ”Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь”. - Дрогобич. - 2001. - С. 123.

Размещено на Allbest.ru