Динаміка нелінійних збуджень у просторово-модульованих середовищах з внутрішньою структурою

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна

УДК 530.1 + 539.2

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Динаміка нелінійних збуджень у просторово-модульованих середовищах з внутрішньою структурою

01.04.02 - теоретична фізика

Горбач Андрій Вікторович

Харків 2002

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Фізика нелінійних явищ сформувалась на цей час у важливий напрямок сучасної науки. Незважаючи на те, що багато фізичних явищ гарно можуть бути описані в рамках лінійної теорії, вивчення властивостей сильно збуджених станів фізичних систем потребує послідовного врахування нелінійності фізичних процесів та адекватного їх опису в термінах нелінійних еволюційних рівнянь. Такі рівняння у більшості випадків занадто складні для аналітичного дослідження, тому ще не так давно нелінійні явища розглядувались в основному у рамках простих просторово-однорідних моделей. Поруч з цим, дослідження реальних фізичних систем та експериментальні задачі потребують вивчення особливостей динаміки більш складних нелінійних систем, зокрема просторово-модульованих систем з внутрішньою структурою. У 1987 році було показано [1], що у нелінійному оптичному середовищі з коефіцієнтом переломлення, який періодично змінюється у просторі, може виникати особливий тип просторово-локалізованих нелінійних збуджень, солітонів огинаючої, частота яких лежить у щілині спектру лінійних хвиль - “щілинних” солітонів. Пізніше було одержано аналітичний вираз для найпростішого типу нерухомого щілинного оптичного солітону [2] та показано [3, 4], що у модульованому оптичному середовищі можуть існувати також солітони з більш складною структурою та з частотами, які лежать поза щілиною спектру лінійних хвиль - “білящілинні” солітони. Такі солітони можуть бути двох типів: кінкоподібні та солітоноподібні білящілинні збудження [4]. В роботі [4] було запропоновано метод експериментального дослідження щілинних та білящілинних соліонів, такі експерименти було проведено в роботах [5, 6, 7, 8]. Щілинні та білящілинні солітони можуть виникати не лише у модульованому оптичному середовищі, але й в інших системах з періодичною внутрішньою структурою. У роботах [9, 10] було вивчені нерухомі щілинні та білящілинні солітони у двоатомних ланцюжках з різними типами нелінійностей. Було показано, що пружні білящілинні солітони можуть мати іншу структуру, ніж білящілинні оптичні солітони. Крім того, у двоатомному ланцюжку з нелінійною міжатомною взаємодією спостерігається новий ефект [9]: із зміною частоти збудження один тип білящілинних солітонів біфуркаційним чином трансформується у другий. Такі результати дозволяють зробити висновки, що описані у роботах [1-4, 9, 10] щілинні та білящілинні солітони є окремими представниками широкої родини солітонів у модульованих середовищах.

Іншою цікавою проблемою є вивчення солітонів, які рухаються, у просторово-модульованих системах. До цього часу було розглянуто лише деякі, найбільш прості типи таких солітонів: щілинні солітони в модульованому оптичному середовищі [11] та у двоатомному ланцюжку з нелінійною міжчастковою взаємодією [12], а також білящілинні оптичні солітони [13]. Крім того, було показано [13], що білящілинні оптичні солітони, які рухаються, можуть мати більшу кількість динамічних параметрів, ніж щілинні оптичні солітони, які рухаються.

Таким чином, детальний аналіз щілинних та білящілинних солітонів у більш загальних моделях та класифікація таких солітонів потребують додаткових досліджень, які було проведено в дисертаційній роботі.

Нарешті, в абсолютній більшості робіт, присвячених вивченню нелінійної динаміки просторово-модульованих систем, було розглянуто симетричні відносно знаку польової перемінної нелінійні потенціали. У той же час, наприклад, потенціали взаємодії атомів у реальних кристалах є асиметричними відносно зміщень атомів з положень рівноваги. Тому актуальною темою дослідження є також вивчення динаміки узагальненої моделі модульованого середовища з асиметричним нелінійним потенціалом, розробка модифікованих асимптотичних методів одержання солітонних рішень у такій системі. Ці питання було розглянуто у дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у рамках наукових програм досліджень, які проводяться у Харківському національному університеті та у Фізико-технічному інституті низьких температур НАН України за такими темами: науково-дослідна робота “Хвилі і квантові осциляційні явища у низьковимірних, шаруватих і спінових системах, у нормальних металах і надпровідних надгратках у магнітному полі”, №15-12-00, яка виконується на кафедрі теоретичної фізики у Харківському національному університеті; бюджетна тема НАН України “Теоретичні дослідження нелінійної динаміки класичних та квантових середовищ”, номер державної реєстрації 0196U002945, строк виконання 01.01.96-31.12.00.

Метою дослідження є теоретичне вивчення, передбачення особливостей нелінійної динаміки та повна класифікація солітонних збуджень найбільш загального типу у просторово-модульованих середовищах з внутрішньою структурою. Для досягнення поставленої мети необхідно було розв'язати наступні задачі:

1. Вивчення динаміки усіх типів нерухомих щілинних та білящілинних солітонів у модульованих середовищах різноманітної природи.

2. Дослідження щілинних та білящілинних солітонів, що рухаються, загального типу у модульованих середовищах та ангармонічних ланцюжках.

3. Аналіз особливостей динаміки нелінійних збуджень в просторово-модульованих середовищах у випадку конкуренції нелінійностей різного типу (“зовнішня” та “внутрішня”) та різної парності.

Об'єктом дослідження є малоамплітудні локалізовані збудження (солітони огинаючої) в пружних, оптичних та магнітних модульованих середовищах.

Предметом дослідження є вплив внутрішньої структури фізичної системи на характер та властивості малоамплітудних нелінійних збуджень у ній.

Методи дослідження. Теоретичний аналіз малоамплітудних нелінійних збуджень у модульованих середовищах, що проведений у даній роботі, базується на розв'язанні нелінійних еволюційних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, які зводяться у довгохвильовій малоамплітудній межі та у резонансному наближенні до системи звичайних диференціальних рівнянь, що інтегруються. Різноманітні типи солітонних рішень досліджені методами якісного аналізу динамічних систем. У найбільш цікавих випадках знайдені та досліджені аналітичні вирази для солітонних збуджень різного типу.

Наукова новизна отриманих результатів.

Вивчені малоамплітудні нелінійні збудження загального типу у двоатомному ланцюжку з нелінійною міжчастинковою взаємодією та у присутності зовнішнього нелінійного потенціалу; в одноатомному ланцюжку, який знаходиться у зовнішньому двобар'єрному потенціалі; в оптичному середовищі з коефіцієнтом переломлення, що періодично змінюється у просторі; у легковісному двопідгратному феромагнетику; у легкоплощинному антіферомагнетику в зовнішньому магнітному полі, що спрямовано уздовж вісі найлегшого намагнічування. Показано, що нелінійна динаміка різноманітних за своєю природою модульованих систем у довгохвильовій малоамплітудній межі може бути описана в рамках системи уніфікованих нелінійних диференціальних рівнянь.

Проведено якісний аналіз усіх типів щілинних та білящілинних солітонів (як нерухомих, так і тих, що рухаються), які існують у різноманітних модульованих системах з кубічною нелінійністю, детально описані нові типи таких солітонів. Вперше вивчені магнітні щілинні та білящілинні солітони. Розглянуто процеси біфуркації динамічних рішень зі зміною параметрів рішень та системи. Отримано та досліджено аналітичні вирази для найбільш цікавих нових типів щілинних та білящілинних солітонів.

Вивчено особливості динаміки найбільш загальної моделі нелінійної модульованої системи з нелінійностями різної симетрії, які конкурують. Запропоновано модифіковані асимптотичні методи отримання малоамплітудних рішень динамічних рівнянь, які враховують наявність парних та непарних щодо амплітуди поля нелінійних доданків у цих рівняннях. Знайдено та досліджено нові типи щілинних та білящілинних солітонів, які існують у даній системі.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, які описані у даній дисертації, мають характер наукового передбачення та можуть бути використані для пояснення експериментів, у тому числі комп'ютерних.

Аналіз нелінійної динаміки різноманітних модульованих систем може бути корисним для розуміння фізичної природи нелінійних хвильових процесів у реальних кристалах, елементарний осередок яких містить більш ніж один атом.

Оптичні щілинні та білящілинні солітони можуть бути використані на практиці в різноманітних нелінійних оптичних системах, зокрема в приладах оптичних комунікацій: лініях затримання сигналу, оптичних перемикачах, ефективних оптичних хвильоводах, у яких сигнал розповсюджується без суттєвих втрат на довгі відстані та ін.

Модель одновимірного двоатомного ланцюжку з нелінійними міжчастинковим та зовнішнім потенціалами, які містять доданки різної симетрії, являє собою найбільш повну модель одновимірного модульованого нелінійного середовища. Розроблені асимптотичні методи та отримані для даної моделі результати можуть бути легко застосовані до інших модульованих одновимірних систем і використані при їх теоретичному аналізі.

Особистий внесок здобувача полягає в участі у визначенні завдань та формулюванні адекватних теоретичних моделей (у роботах [1-9]), якісному аналізі рівнянь динаміки малоамплітудних збуджень в модульованих системах та усіх можливих типів рішень цих рівнянь (у роботах [1-9]), інтегруванні рівнянь динаміки та отриманні аналітичних виразів для деяких фізично важливих типів “щілинних” і “білящілинних” солітонів (в роботах [2-5, 8, 9]), аналізу отриманих результатів (у роботах [1-9]).

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації пройшли апробацію на таких конференціях: 8th International Conference on Nonlinear Optics of Liquid and Photorefractive Crystals (Алушта, Украина, 2000); 4-я Конференция по Применению Персональных Компьютеров в Научных Исследованиях и Учебном Процессе (Харьков, Украина, 2000); International Students and Yong Scientists Conference in Theoretical and Experimental Physics (EURECA-2001) (Львов, Украина, 2001); Seminar and Workshop on Nonlinear Lattices Structure and Dynamics (Dresden, Germany, 2001); Международная Междисциплинарная Научно-Практическая Конференция по Современным Проблемам Науки и Образования (Керчь, Украина, 2001).

Публікації. Результати, відображені в дисертації, опубліковані: у 4 статтях в провідних вітчизняних та закордонних наукових виданнях, у 4 збірниках матеріалів міжнародних конференцій, а також у статті в журналі “Электромагнитные явления”.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел із 87 найменувань. Повний обсяг дисертації складає 135 сторінок, основна частина - 110 сторінок. Робота містить 43 рисунка.

Основний зміст роботи

нелінійне збудження просторово модульоване

У вступі обґрунтована актуальність проблеми, що поставлена в дисертації, в галузі досліджень, безпосередньо зв'язаних з її темою а також сформульовані: мета дослідження, об'єкт дослідження, наукова новизна отриманих результатів, особистий внесок здобувача і практична цінність результатів дисертації. Крім того приведені відомості, зв'язані з апробацією результатів.

Перший розділ дисертації присвячено огляду літератури за тематикою, порушеною в дисертації, сформульовані основні напрямки досліджень. В цьому розділі наведені загальні відомості щодо об'єкту дослідження - малоамплітудних локалізованих нелінійних збуджень (солітонів огинаючої) в модульованих середовищах, стисло описані характерні особливості нелінійної динаміки модульованих середовищ. Проведено детальний аналіз результатів, які опубліковані в науковій літературі та зв'язані з теоретичним дослідженням солітонних збуджень в різноманітних модульованих середовищах. Показано, що вплив періодичної структури системи на властивості нелінійних збуджень тільки починає вивчатися. До цього часу були досліджені лише деякі окремі приклади модульованих середовищ та окремі типи солітонних збуджень у них. Питання щодо солітонної динаміки в таких середовищах потребує загального та всебічного аналізу.

Другий розділ дисертації присвячено аналізу властивостей нерухомих солітонних збуджень в модульованих середовищах. Розглянуто чотири різноманітні за своєю природою просторово-модульовані системи з внутрішньою структурою.

Динаміка системи з урахуванням слабкого відхилення магнітних моментів від легкої площини може бути зведена до наступного диференціального рівняння щодо кута відхилення проекції магнітного моменту на легку площину від вісі, уздовж якої спрямовано зовнішнє магнітне поле:

Для опису слабонелінійних локалізованих збуджень з хвильовим числом та нерухомим центром зручно приблизне рішення нелінійних рівнянь (1)-(4) записувати у вигляді:

При фіксованому знаку рішення системи (6) визначаються двома параметрами: єдиним динамічним параметром рішення (його частотою) та комбінацією матеріальних параметрів середовища . Це дозволяє провести повну класифікацію усіх типів нерухомих щілинних та білящілинних солітонних рішень даної системи на площині параметрів .

Схематичний профіль деякого солітонного рішення системи (6) легко отримати за його “фазовим портретом” на площині перемінних . Для спрощення тут відображені лише відповідні солітонним рішенням сепаратріси. Безперервна лінія відповідає “щілинним” солітонам з , а штрихова - двом типам “білящілинних” солітонів з частотами.

Усі можливі типи фазових портретів системи (6) відображені на рис. 3 на площині параметрів для випадку . Вони дають наглядне уявлення щодо профілей відповідних солітонних рішень при всіх значеннях параметру та частоти. Області, відповідні солітонам різних типів, розділені лініями, на яких біфуркаційним шляхом відбувається перебудова структури солітонів. Зміна знаку параметра не призводить до фізично нових результатів, змінюється тільки послідовність біфуркацій, що відбуваються зі зміною значень параметра і частоти , а також змінюються області існування білящілинних солітонів (це пов'язано з тим, що знак визначається знаком нелінійних параметрів системи).

Аналітичні вирази для будь-якого з типів солітонних рішень можуть бути отримані за допомогою інтегрування системи (6) з використанням інтегралу (7), значення якого, що відповідає конкретному типу солітона, визначається із граничних умов, тобто координат сідлових точок на фазовому портреті системи. В окремих випадках , і вирази для відповідних щілинних та білящілинних солітонів були отримані в роботах [2, 9, 10] відповідно. В дисертації отримані аналітичні вирази для щілинних солітонів на п'єдесталі - і -типу, які раніше не були вивчені:

де , , та різні знаки відповідають - і -солітонам.

У третьому розділі вивчені властивості солітонних збуджень, які рухаються в модульованих середовищах. Розглянуто три різноманітні модульовані системи: двоатомний ланцюжок з нелінійною міжчастинковою взаємодією в присутності зовнішнього нелінійного потенціалу; нелінійне оптичне середовище з коефіцієнтом переломлення, що періодично змінюється у просторі; одноатомний ланцюжок, який знаходиться у зовнішньому періодичному двобар'єрному нелінійному потенціалі виду:

де - просторова координата -го атома:

- зміщення -го атома із положення рівноваги), , - параметр, що характеризує різницю між двома сусідніми мінімумами потенціальної енергії та грає роль амплітуди модуляції. В рівноважному стані парні атоми розташовані в абсолютних, а непарні атоми - у відносних мінімумах двобар'єрного потенціалу.

Першим двом системам відповідають рівняння (1) і (2). У випадку одноатомного ланцюжка в двобар'єрному потенциалі рівняння (1) динаміки для -ої частинки модифікується наступним чином:

Приблизні рішення, що рухаються, нелінійних рівнянь (1), (2) і (10), які описують слабонелінійні збудження з хвильовим числом , , зручно записати у вигляді двох хвиль, які розповсюджуються в протилежних напрямках з однаковою частотою і груповою швидкістю, але різними фазовими швидкостями.

В дисертації показано, що система (12) в загальному випадку має трьопараметричні солітонні рішення. Для цих солітонних рішень як два параметри зручно брати швидкість руху центру солітона та частоту внутрішніх коливань в утворюючих солітон нелінійних збуджень в системі координат, що рухається поруч з солітоном. Третій параметр не дорівнює нулю тільки для білящілинних солітонів, які являють собою так звані “солітони на п'єдесталі”, тобто локалізовані збудження на фоні однорідних нелінійних хвиль з ненульовими амплітудами на нескінченності. Цей параметр характеризує різницю між швидкістю центру солітона та груповою швидкістю нелінійних однорідних хвиль на нескінченності.

Усі можливі двопараметричні солітонні рішення системи (12), як і раніше, можна класифікувати на площині двох параметрів , оскільки два динамічних параметри солітону (його частота та швидкість центру солітону ) входять до рівнянь у вигляді єдиної комбінації: (див. рис. 4). Різноманітним типам солітонів відповідають сепаратріси, позначені буквами і . Раніше були вивчені тільки щілинні солітони -типу в окремих випадках [11] і [12], а також білящілинні солітони - і -типу в окремому випадку [13].

Повну класифікацію трьопараметриних солітонних рішень системи (12) вже не можна провести на площині через те, що існує додатковий третій параметр. В дисертації вивчені трьопараметричні оптичні білящілинні солітони (що відповідає окремому випадку ). Аналітичні вирази для таких солітонних рішень були вперше отримані в роботі [13]. Але ці вирази достатньо громіздкі та дуже незручні для дослідження. Більш інформативним у даному випадку є якісний аналіз трьохпараметричних солітонів, проведений в дисертації. Були вивчені області значень трьох параметрів, при яких можуть існувати солітони. Досліджені процеси біфуркаційних змін структури солітонних рішень та їх зникнення (делокалізації) при зміні параметрів рішення.

У всіх вище розглянутих моделях модульованих середовищ енергія системи припускалася симетричною функцією польової перемінної (відносних та абсолютних зміщень атомів, напруги електричного поля або величини намагніченості). Але цікаво вивчення більш загальної моделі, яка ураховує асиметрію нелінійних потенціалів. Подібну модель для випадку одноатомного ланцюжку з нелінійним зовнішнім потенціалом було розглянуто в роботі [14]. У четвертому розділі розглянуто двоатомний ланцюжок з нелінійними асиметричними зовнішнім та внутрішнім потенціалами взаємодії частинок. Рівняння руху для -го атома, яке аналогічно рівнянню (1), у цьому випадку має вигляд:

де введені додаткові парні за зміщенням доданки з параметрами і (як і раніше ).

В дисертації проведено аналіз усіх можливих солітонних рішень систем (6) і (17) в окремих випадках наявності в системі тільки асиметричного нелінійного доданку до зовнішнього потенціалу () та тільки асиметричного нелінійного доданку до внутрішнього потенціалу (). Вивчені біфуркації нерухомих солітонів та солітонів, що рухаються, в даних часткових випадках при зміні частоти нелінійного збудження. Особливий інтерес являє собою випадок , коли нерухомих щілинних та білящілинних солітонів не існує, але як щілинні так і білящілинні солітони, що рухаються, існують.

Висновки

Головні висновки та результати роботи є такими:

1. Вивчено п'ять прикладів просторово-модульованих нелінійних систем різноманітної фізичної природи з енергією, парною щодо польової перемінної, та показано, що динаміка малоамплітудних нелінійних збуджень в цих системах в довгохвильовій межі і в резонансному наближенні може бути описана в рамках схожої повністю інтегрованої системи звичайних нелінійних диференціальних рівнянь. Це - найбільш загальні рівняння, що описують динаміку модульованих систем з кубічним (в рівняннях) ангармонізмом. Окремим конкретним випадкам відповідають певні значення її єдиного матеріального параметру.

2. Методами якісного аналізу диференціальних рівнянь вивчені та класифіковані усі типи щілинних і білящілинних одно- та двопараметричних солітонів, які існують в узагальненій моделі при будь-яких значеннях параметрів системи і динамічних параметрів збудження. Досліджені процеси біфуркації солітонних рішень зі зміною параметрів системи та збудження. Показано, що вивчені раніше щілинні та білящілинні оптичні і пружні солітони [1-4, 9-13] є тільки окремими представниками більш широкого класу солітонних збуджень у модульованих середовищах.

3. Отримані аналітичні вирази для деяких нових фізично важливих типів одно- і двопараметричних щілинних та білящілинних солітонів, які раніше не були вивчені.

4. Показано, що білящілинні солітони в модульованих середовищах в загальному випадку є трьопараметричні. Методами якісного аналізу диференціальних рівнянь досліджені властивості трьопараметричних солітонів, а також області припустимих значень параметрів солітону. Вивчені процеси біфуркації і зникнення трьопарметричних солітонних рішень зі зміною їх динамічних параметрів.

5. Розглянуто модель модульованої системи з енергією, яка містить доданки третього та четвертого ступенів щодо польової перемінної. Розроблено модифіковані асимптотичні методи отримання нерухомих солітонних рішень та тих, що рухаються, для таких систем з нелінійними доданками різної симетрії. Показано, що солітонна динаміка в довгохвильовій межі у резонансному наближенні може бути описана нелінійними диференціальними рівняннями, які аналогічні рівнянням динаміки з чисто симетричним нелінійним потенціалом, але містять додаткові параметри. Методами якісного аналізу вивчені усі типи нерухомих солітонів та солітонів, що рухаються, у системі з чисто антисиметричними кубічними по полю нелінійними доданками до енергії.

Список опублікованих праць здобувача за темою дисертації

1. Kovalev A.S., Usatenko O.V., Gorbatch A.V. Bifurcation picture for gap solitons in nonlinear modulated systems // Phys. Rev. E. - 1999. - Vol. 60, №2. - P. 2309-2316.

2. Ковалев А.С., Усатенко О.В., Горбач А.В. Движущиеся околощелевые солитоны в нелинейной оптической среде // ФТТ. - 2000. - Т. 42, №7. - С. 1218-1222.

3. Горбач А.В., Ковалев А.С., Усатенко О.В. Динамика нелинейных возбуждений в модели Френкеля-Конторовой с двухбарьерным потенциалом // ФНТ. - 2001. - Т. 27, №7. - С. 786-792.

4. Ковалев А.С., Усатенко О.В., Горбач А.В. Движение солитонов в модулированных упругих средах // ФТТ. - 2001. - Т. 43, №9. - С. 1600-1608.

5. Gorbach A.V., Kovalev A.S., Usatenko O.V. Dynamical optical near-gap solitons // Abstracts of the 8th International Conference “Nonlinear Optics of Liquid and Photorefractive Crystals”. - Alushta (Ukraine). - 2000. - P. 85.

6. Gorbach A.V., Kovalev A.S., Usatenko O.V. Qualitative analysis of gap and near-gap solitons in nonlinear modulated optical systems // Abstracts of the 8th International Conference “Nonlinear Optics of Liquid and Photorefractive Crystals”. - Alushta (Ukraine). - 2000. - P. 86.

7. Ковалев А.С., Усатенко О.В., Горбач А.В. Качественный анализ уравнений динамики щелевых и околощелевых солитонов // Материалы 4-ой конференции “Применение персональных компьютеров в научных исследованиях и учебном процессе”. - Харьков. - 2000.- С. 13.

8. Gorbach A.V., Kovalev A.S., Usatenko O.V. Dynamics of diatomic chain with cubic and quartic nonlinearities // Book of Abstracts of International Students and Young Scientists Conference in Theoretical and Experimental Physics (EURECA-2001). - Lviv (Ukraine). - 2001.- P. 23.

9. Горбач А.В., Ковалев А.С., Усатенко О.В. Обобщенный асимптотический метод теории нелинейных возбуждений в средах с периодической структурой // Материалы Международной Междисциплинарной Научно-Практической Конференции “Современные проблемы науки и образования”. - Керчь. - 2001.- С. 25-26.

10. Ковалев А.С., Усатенко О.В., Горбач А.В. Качественный анализ и точные решения уравнений динамики щелевых солитонов // Электромагнитные Явления. - 1998. - Т. 1, №3. - С. 324-337.

Анотація

Горбач А.В. Динаміка нелінійних збуджень в просторово-модульованих середовищах з внутрішньою структурою. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика. - Фізико-технічний інститут низьких температур НАН України, Харків, 2002.

В дисертації вивчено вплив просторової періодичності середовища (зокрема її внутрішньої структури) на характер її малоамплітудних нелінійних збуджень. Розглянуто п'ять різноманітних за своєю природою фізичних систем (пружних, оптичних і магнітних), в яких один з матеріальних параметрів періодично змінюється у просторі. В довгохвильовій межі та в резонансному наближенні отримана уніфікована система звичайних диференціальних рівнянь, яка описує динаміку солітонних збуджень, що існують в різноманітних модульованих системах. Приведена повна якісна класифікація усіх типів одно- і двопараметричних солітонних рішень даної системи та вивчені процеси біфуркації таких рішень зі зміною динамічних параметрів рішення і матеріальних параметрів системи. Для найбільш цікавих і фізично важливих типів одно- і двопараметричних солітонів отримані та досліджені аналітичні рішення. Досліджено найпростіший вид трьопараметричних солітонів. Розроблено модифікований асимптотичний метод отримання солітонних рішень рівнянь динаміки системи у випадку, коли нелінійні за польовою перемінною доданки в цих рівняннях мають різну симетрію. Досліджені особливості солітонів в таких середовищах.

Ключові слова: нелінійна динаміка, модульована система, щілинний солітон, білящілинний солітон, солітон огинаючої.

Summary

Gorbach A.V. Dynamics of nonlinear excitations in spatially-modulated media with intrinsic structure. - Manuscript.

Thesis for a degree of Doctor of Philosophy (Ph. D.) in physical and mathematical sciences by speciality 01.04.02 - theoretical physics. - Institute for Low Temperature Physics and Engineering NAS of Ukraine, Kharkiv, 2002.

We study the influence of a system microscopic structure and its periodicity on the character and features of small-amplitude nonlinear excitations. Five different types of 1-D systems (elastic, optical and magnetic) with spatial periodically modulated parameters are investigated. In the long-wave limit and in the resonance approximation the unified system of ordinary differential equations describing the dynamics of soliton-like excitations in different modulated systems is obtained. The full qualitative classification of all the types of one- and two-parametric solutions of this system is performed. The bifurcation processes for soliton solutions with change of dynamical parameters of the soliton and parameters of the system are studied. The analytical expressions for the most interesting and physically significant types of one- and two-parametric solitons are obtained. The simplest type of three-parametric solitons is also investigated. The modified asymptotical procedure is derived to obtain soliton solutions in the case, when nonlinear terms in dynamical equations have different symmetry in field variables. The main features of solitons in such systems are studied.

Key words: nonlinear dynamics, modulated system, gap soliton, near-gap soliton, envelope soliton.

Аннотация

Горбач А.В. Динамика нелинейных возбуждений в пространственно-модулированных средах с внутренней структурой. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. - Физико-технический институт низких температур НАН Украины, Харьков, 2002.

В диссертации изучено влияние пространственной периодичности среды (в частности, микроскопической) на характер ее малоамплитудных нелинейных возбуждений. Рассмотрен ряд различных по своей природе физических систем, в которых один из параметров периодически меняется с координатой (или номером атома): двухатомная цепочка с нелинейным межчастичным взаимодействием и в присутствии внешнего нелинейного потенциала; одноатомная цепочка, находящаяся во внешнем двухбарьерном потенциале; нелинейная оптическая среда с периодически изменяющимся в пространстве коэффициентом преломления; двухподрешеточный ферромагнетик с одноионной анизотропией типа оси легкого намагничивания; легкоплоскостной антиферромагнетик во внешнем магнитном поле, направленном вдоль легкой оси.

Показано, что в таких системах динамика малоамплитудных нелинейных возбуждений солитонного типа в длинноволновом пределе и в резонансном приближении может быть описана в рамках системы унифицированных обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом двухатомная упругая цепочка с нелинейным межчастичным взаимодействием в присутствии внешнего нелинейного потенциала дает пример наиболее общей модели модулированнной системы с кубической нелинейностью: она содержит комбинацию материальных параметров среды , изменяющуюся в бесконечных пределах, отдельным значениям которой соответствуют различные модулированные системы.

В общем случае солитонные решения полученной системы унифицированных дифференциальных уравнений являются трехпараметрическими. Для солитонов огибающей в качестве двух параметров удобно естественно выбирать скорость центра солитона и частоту внутренних осцилляций в системе координат, движущейся с солитоном. Третий параметр характеризует отклонение скорости центра солитона от групповой скорости нелинейных волн на бесконечности и отличен от нуля для солитонов, асимптотики которых на бесконечности отличны от нуля - “солитонов на пьедестале”.

Показано, что структура одно- и двухпараметрических солитонов существенным образом зависит от значений двух величин, одна из которых представляет комбинацию динамических параметров решения (скорости солитона и его внутренней частоты ), а другая - является комбинацией материальных параметров среды и в общем случае может принимать произвольные значения. Методами качественного анализа дифференциальных уравнений исследованы все возможные типы одно- и двухпараметрических солитонных возбуждений в модулированных средах и приведена их полная классификация на плоскости . Исследованы процессы бифуркации солитонов с изменением их динамических параметров и параметра системы. Описана процедура получения явных аналитических выражений для всех типов одно- и двухпараметрических солитонов и приведены выражения для некоторых ранее не обсуждавшихся типов солитонов.

Структура трехпараметрических солитонов зависит не только от параметров , но и от третьего динамического параметра, характеризующего скорость нелинейной волны, на фоне которой распространяется солитон. В диссертации изучены трехпараметрические солитоны в частном случае нелинейной модулированной оптической среды. Исследованы области допустимых значений параметров решения, при которых могут существовать такие солитоны.

В диссертации также исследована динамика двухатомной цепочки с нелинейными внешним и межчастичным потенциалами взаимодействия, которые являются асимметричными относительно абсолютных и относительных смещений атомов из их положений равновесия. Такая система обобщает обычно исследуемые модели модулированных сред. Разработаны модифицированные асимптотические методы получения солитонных решений для соответствующих систем, которые учитывают наличие в нелинейных потенциалах слагаемых различной симметрии. Показано, что получаемые дифференциальные уравнения для амплитуд основных гармоник аналогичны полученным ранее уравнениям для случая чисто симметричного потенциала взаимодействия, однако содержат дополнительный параметр, вариация которого может существенно менять характер солитонных решений. Исследованы все возможные типы одно- и двухпараметрических решений системы для частных случаев, когда в энергии системы оставлены только кубические слагаемые для нелинейного внешнего потенциала и потенциала межчастичного взаимодействия.

Ключевые слова: нелинейная динамика, модулированная система, щелевой солитон, околощелевой солитон, солитон огибающей.

Размещено на Allbest.ru