Математичне моделювання методом граничних елементiв у тривимiрних задачах геоелектрометрiї

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦIОНАЛЬНА АКАДЕМIЯ НАУК УКРАЇНИ

IНСТИТУТ ГЕОФIЗИКИ iм. С.I. СУББОТIНА

САПУЖАК ОЛЕГ ЯРОСЛАВОВИЧ

УДК 550.837:517.958

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ МЕТОДОМ ГРАНИЧНИХ ЕЛЕМЕНТIВ У ТРИВИМIРНИХ ЗАДАЧАХ ГЕОЕЛЕКТРОМЕТРIЇ

04.00.22 ГЕОФIЗИКА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

КИЇВ - 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Карпатському відділенні Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна Національної академії наук України.

Науковий керівник кандидат фізико-математичних наук, Грицько Євген Григорович, ІППММ НАН України, ст. наук. Співробітник, науковий консультант, кандидат фізико-математичних наук, Білінський Анатолій Іванович, КВ ІГФ ім. С.І. Субботіна НАН України, ст. наук. Співробітник.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, Шуман Володимир Миколайович, ІГФ ім. С.І. Субботіна НАН України,

зав. Відділом, кандидат фізико-математичних наук, Рева Микола Васильович, Київський університет ім. Тараса Шевченка, доцент.

Провідна установа Український Державний геолого-розвідувальний інститут, м. Львів.

Захист відбудеться 28 жовтня 1999 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.200.01 при Інституті геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України за адресою: 252, м.Київ-142, проспект Палладіна, 32,

факс 38-044-4502520

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна

Автореферат розіслано “ 25 ” вересня 1999 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор фізико-математичних наук В.С. Гейко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність проблеми. Електрометричні методи зараз широко використовуються як для вирішення приповерхневих екологічних, інженерних та гідрогеологічних задач, так і для проведення структурних і глибинних спостережень. Незалежно від масштабу і цільової спрямованості досліджень успішне їх застосування вимагає вдосконалення теоретичних основ інтерпретації польових матеріалів, розширення кола просторових математичних моделей і наближення їх до реальних геоелектричних розрізів.

Оскільки точні аналітичні розв'язки вдається отримати для обмеженої кількості неоднорідностей (горизонтально-шарувате середовище, вертикальний контакт або пласт у півпросторі, куля, еліпсоїд у просторі, і т.п.), широкого розповсюдження набули чисельно-аналітичні та чисельні методи, зокрема, скінченних різниць (МСР) і елементів (МСЕ), інтегральних (МІР) та граничних інтегральних (МГІР) рівнянь, кожен з яких має свої недоліки та переваги. Так, наприклад, МСР і МСЕ добре зарекомендували себе при вирішенні двовимірних задач із градієнтними середовищами, але вимагають великих об'ємів обчислень при вирішенні тривимірних задач. МГІР дозволяє понизити розмірність просторових задач на одиницю, але практично було реалізовано алгоритми лише для тіл з плоскими вертикальними чи горизонтальними границями розділу у півпросторі або горизонтально-шаруватому середовищі.

Однак, реальні тривимірні неоднорідності, а також рельєф денної поверхні, який також суттєво впливає на електрометричні спостереження, мають значно складнішу форму. Тому для розв'язку прямих задач у випадку просторових моделей з довільними границями розділу середовищ запропоновано використати метод граничних елементів (МГЕ), що є розвитком та вдосконаленням МГІР і поряд із зменшенням кількості розрахунків дозволяє описувати вже досить близькі до реальних криволінійні поверхні.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Теоретичні основи роботи і практичні результати були розроблено та отримано при виконанні бюджетних тем НАН України: Б12/4 "Розробка комплексу електромагнітних методів детальних досліджень структури і динаміки літосфери на прикладі Карпатського регіону" (19921995 рр.), Б12/22 "Розробка комплексних технологій наземних і морських електромагнітних досліджень будови і динаміки геоструктур" (19962000 рр.); тем ДКНТ: К12/11 "Розробка основ теорії, методики і техніки високороздільних електромагнітних методів дослідження нафтогазових покладів" (19931995 рр.), БД12/19 "Розробка технології та апаратури морських електромагнітних зондувань для прогнозування нафто-газоносних структур" (19941999 рр.).

Автор був лауреатом стипендій ДКНТП у 1996-1997 рр. та Президії НАН України у 1996-1998 рр.

Мета роботи отримання універсальних, ефективних і економічних способів розв'язання тривимірних задач електророзвідки при наявності довільних неоднорідностей та складного рельєфу денної поверхні.

Задачі дослідження.

Побудова тривимірних математичних моделей для розв'язання прямих задач електророзвідки постійним струмом з врахуванням впливу складних криволінійних границь включень і рельєфу денної поверхні.

Створення ефективного і гнучкого програмного забезпечення для розв'язку просторових задач електророзвідки та проведення досліджень за допомогою комп'ютерного моделювання електрометричних спостережень методами зондувань і профілювання постійним струмом.

Оцінка точності результатів, одержаних розробленим програмним комплексом.

Застосування створеного математичного і програмного забезпечення для вирішення практичних задач електророзвідки.

Наукова новизна одержаних результатів.

Вперше отримано розрахункові формули для вирішення низки прямих тривимірних задач електрометрії методом МГЕ та розроблені пакети програм для їх реалізації на ЕОМ типу ІВМ-PC.

За допомогою цього програмного забезпечення показана доцільність і ефективність застосування МГЕ для:

сукупності непровідних включень із складними границями в однорідному провідному півпросторі;

подібної множини провідних об'єктів у півпросторі;

довільних форм рельєфу денної поверхні (западин, виступів та їх комбінацій) над локальними включеннями.

На тестових моделях проведено оцінку точності математичного моделювання геоелектричного поля та впливу на неї похибок апроксимації складних границь розділу середовищ та чисельних розрахунків.

Досліджено вплив на результати поверхневих електрометричних спостережень:

форми і глибини залягання неоднорідностей;

комплексу горизонтально рознесених включень;

приповерхневих і глибинних неоднорідностей;

нерівностей рельєфу денної поверхні.

Змодельовано реальні геоелектричні розрізи, взяті із практики електророзвідувальних досліджень додаткових запасів сировини для Долинського солевиварного заводу у Прикарпатті та режимних спостережень в тілі Чорштин-Нєдзіцької дамби у Республіці Польща.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані результати можуть бути використані для оптимізації методики і систем польових спостережень та більш надійної інтерпретації польових матеріалів при електрометричних дослідженнях:

карстових порожнин в гіпсових, карбонатних або соляних відкладах;

родовищ рудних і нерудних корисних копалин;

гребель, дамб та інших інженерно-геологічних об'єктів із складним профілем поверхні та неоднорідностями геологічної будови;

зсувних, провальних та інших явищ у гірських районах із складним рельєфом денної поверхні.

Особистий внесок автора. З робіт, опублікованих спільно з Сапужаком Я.С., Журавчак Л.М., Романюком О.І. до дисертації включено лише матеріали одержані особисто автором за винятком статті [3], де Романюку О.І. та Стопінському В. належать опис елементів геологічної структури, методики та техніки вимірів, результати польових спостережень. Спільно здійснено постановку задачі та аналіз результатів.

У спільних роботах з Грицьком Є.Г. автору належать наступні результати:

Чисельно-аналітична методика, яка дозволяє визначати електричне поле і розраховувати позірний опір довільних електророзвідувальних установок у неоднорідному середовищі із складними границями розділу та рельєфом денної поверхні.

Алгоритми для опису як замкнених, так і довільних поверхонь розділу середовищ на основі восьми- або дев'ятивузлових гранично-елементних сплайнів та оцінка точності зображення геометричних даних.

Комплекс програм для реалізації методу граничних елементів при розрахунках геоелектричного поля у випадках провідних та непровідних включень і довільних форм рельєфу.

Оцінка точності програмного забезпечення апроксимації геометрії границь та розрахунку параметрів електричного поля.

Методика комп'ютерного моделювання для попередньої оцінки даних електророзвідувальних спостережень різними методами і установками та оцінка їх роздільної здатності.

Спільно з Грицьком Є.Г. було здійснено математичну постановку граничних задач електророзвідки постійним струмом, накреслено основні підходи до їх вирішення та проаналізовано результати чисельних досліджень.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та окремі результати виконаних досліджень доповідались на міжнародних конференціях і симпозіумах: "Теория и практика магнитотеллурического зондирования" (Москва, 1994 р.), "Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей" (Воронеж, 1996 р.; Ухта, 1998 р.), "Электромагнитные исследования с контролируемыми источниками" (Санкт-Петербург, 1996 р.), "Геоінформаційний моніторинг навколишнього середовища" (Алушта, 1996), XXІІ і XXІІІ Генеральних асамблеях Європейської геофізичної спілки (EGS) (Відень, 1997 р.; Ніцца, 1998 р.). "Сучасні проблеми механіки і математики" (Львів, 1998 р.). Крім того, були доповіді на регіональних конференціях: "Результати геофізичних досліджень в Західному регіоні України" (Львів, 1998), Наукового Товариства ім. Т.Г. Шевченка (Львів, 1997 р., 1999 р.), Робота обговорювалась також на семінарах КВ ІГФ та Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна НАНУ.

Публікації. Матеріали роботи опубліковано у 5-и статтях, в тому числі 3 у фахових наукових виданнях, 2-х препринтах та 11-и тезах і матеріалах наукових конференцій.

Обсяг і структура роботи. Робота складається із вступу, 6 розділів, висновків, переліку посилань із 107 найменувань, містить 43 рисунки і 19 таблиць. Загальний обсяг роботи 150 сторінок, з них 35 припадає на рисунки і таблиці.

електророзвідка програмний забезпечення

КОРОТКИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У Вступі обґрунтовано актуальність досліджень та сформульовано задачі, що розв'язуються у роботі.

1. Огляд методів розв'язку прямих задач геоелектрометрії.

З самого початку розв'язок прямих задач електророзвідки постійним струмом був основним питанням розвитку її теорії, методики та інтерпретації даних польових спостережень.

Особливо великий вклад у вивчення цих питань внесли роботи Л.М. Альпіна, М.Н. Бердичевського, В.Р. Бурсіана, Л.Л. Ваньяна, В.Н. Дахнова, В.І. Дмітрієва, А.І. Заборовського, Б.К. Матвєєва, А.Н. Тіхонова, Ю.В. Якубовського, та ін.

Теорія електричного поля постійного струму є частиною класичної електродинаміки, описанної математично рівняннями Максвелла, з лінійності яких безпосередньо випливає одне із основних положень принцип суперпозиції, який означає, що будь-яке складне електричне поле можна зобразити як суму полів елементарних точкових джерел. Тому останнє є фундаментальним у теорії електророзвідки, хоча крім нього важливе місце займають також дипольні, лінійні та плоскі джерела.

Іншим важливим питанням при розрахунку електричного поля є вибір моделі середовища. Найпростішою з них і в той же час фундаментальною є модель однорідного провідного півпростору, на основі якої вводиться дуже важливе в електророзвідці поняття позірного опору, що характеризує середовище незалежно від сили струму і геометричного ослаблення.

Наступною по складності, але найбільше поширеною в геоелектрометрії є одновимірна, найчастіше горизонтально-шарувата модель, питомий електричний опір (ПЕО) якої змінюється тільки в одному вертикальному напрямі. В загальному випадку ПЕО таких моделей є неперервною функцією глибини (т. зв. градієнтна модель), але практично використовується переважно шарувате середовище.

Найпростіші двовимірні моделі вертикальний контакт і пласт та горизонтальний циліндр є основою складніших вертикально- і похило-шаруватих та сукупності декількох циліндрів у півпросторі або шаруватому середовищі. В загальному випадку двовимірна модель, яка характерна для районів з витягнутими в одному напрямі структурами, може мати довільний, неперервний або кусково-постійний розподіл ПЕО.

Реальні геологічні ситуації, які переважно зустрічаються в практиці електрометричних робіт, описуються тривимірними моделями, в яких ПЕО може змінюватись в довільних напрямах. Найпростіші часткові випадки таких середовищ є локальні тіла (куля, еліпсоїд, паралелепіпед) в однорідному півпросторі. Значно складніші моделі з розташуванням об'ємних включень в горизонтально-шаруватому або довільно неоднорідному середовищі.

Для розрахунків електричного поля постійного струму використовується низка методів, кожен з яких має свою область застосування, переваги і недоліки.

Так, для розв'язку прямих задач у півпросторі з однією або багатьма, горизонтальними або вертикальними плоскими границями розділу середовищ широко використовувався метод дзеркальних зображень, в якому вплив границь розділу враховується фіктивними джерелами струму різної інтенсивності в точках дзеркальних відображень від границь дійсного джерела струму. Цей метод зіграв велику роль у розвитку теорії і практики електророзвідки: за його допомогою була розрахована низка палеток для горизонтально-шаруватих розрізів, на яких тривалий час базувалась вся кількісна інтерпретація методу опорів. Поряд з цим широкого розповсюдження набув метод інтегральних перетворень.

Прості вирази для розрахунку електричного поля точкового та дипольного джерел в одно-, дво- і багатошарових розрізах наводяться А.І.Заборовським і М.С.Ждановим. При цьому для знаходження невідомих коефіцієнтів необхідно розв'язати систему лінійних алгебричних рівнянь (СЛАР).

У часткових випадках, зокрема в осесиметричних задачах, часто застосовують перетворення Ханкеля, для чисельної реалізації якого використовуються різні підходи. Так, метод лінійної фільтрації, у якому застосовують набір наперед розрахованих коефіцієнтів своєрідний фільтр, використовувався багатьма авторами і забезпечував похибки розрахунку кривих ВЕЗ не більше 2-3%.

На відміну від одновимірних моделей розв'язок прямих задач методу опорів для горизонтально- і вертикально-неоднорідних розрізів є відчутно складнішим. Проте деякі прості дво- і навіть тривимірні задачі мають аналітичні розв'язки, до яких відносяться вертикальний контакт і пласт, контакт на ізоляторі чи ідеальному провіднику, непровідна прямокутна призма в однорідному просторі, багатошарове циліндричне середовище та куля, еліпсоїд і сфероїд у просторі. Класичний підхід до розв'язання цих задач метод розділення змінних Фур'є.

Важливе місце у розв'язанні прямих задач електророзвідки займають чисельні методи, широке застосування яких стало можливим тільки в 70-80-і роки завдяки появі потужних обчислювальних засобів. При застосуванні цих методів, які умовно поділяються на диференціальні та інтегральні, шукані неперервні функції електричного поля замінюють на більш прості (кусково-постійні, кусково-лінійні і т.п.), а весь простір розбивають на області (сітку), тобто проводять дискретизацію задачі, що зводиться до СЛАР з наближеним розв'язком.

Найбільшого поширення у електророзвідці набули методи скінченних різниць, елементів, інтегральних рівнянь та ін. МСР та МСЕ, які відносяться до диференціальних методів, базуються на безпосередньому розв'язку краєвих задач. При цьому МСР більш простий і універсальний, а МСЕ складніший для реалізації, але має кращі апроксимаційні можливості.

В інтегральних методах електричне поле розглядається як сума нормального і аномального полів. Джерелами останнього є заряди у місцях порушення однорідностей середовища. В результаті краєві задачі зводяться до розв'язку інтегральних рівнянь Фредгольма для поверхневої або об'ємної густини аномалеутворюючих джерел.

Кожен із чисельних методів має групу моделей, для якої його використання є оптимальним, тому розвивають також гібридні методи, котрі поєднують переваги різних підходів.

При чисельному моделюванні просторового електричного поля точкових джерел постійного струму задачі поділяють на три- і квазітривимірні. В методі скінченних різниць область моделювання розбивається на елементарні паралелепіпеди з постійною електропровідністю і різницева схема будується шляхом формальної точкової апроксимації похідних у диференціальному рівнянні Пуасона. Після дискретизації задачі отримуємо СЛАР з невідомими значеннями потенціалу у вузлах сітки. Внаслідок великої розмірності матриці і її сильної розрідженості для розв'язку СЛАР частіше використовують не прямі, а ітераційні методи, які більш стійкі до похибок і вимагають менше пам'яті ЕОМ. Але, незважаючи на це, для отримання розв'язків з достатньою точністю необхідно використовувати сітки з великою кількістю вузлів, що накладає обмеження на застосування тривимірного скінченно-різницевого моделювання.

До квазітривимірних відносять двовимірні моделі з тривимірними точковими джерелами. Апарат квазітривимірного моделювання, реалізований у вигляді пакета програм в МГУ, показав достатню (1-2%) точність розрахунків у діапазоні розносів до трьох порядків і дозволив дослідити особливості поздовжніх і поперечних кривих ВЕЗ над моделями уступа, горста, грабена та іншими неоднорідностями.

Основна ідея МІР полягає у заміні геоелектричних неоднорідностей системою фіктивних джерел, інтенсивність яких залежить від первинного електричного поля, що приводить до розв'язування інтегральних рівнянь Фредгольма. Узагальнення методу поверхневих інтегральних рівнянь для моделей, які можна розбити на ряд областей, кожна з яких характеризується своєю функією Гріна, запропонований В.І.Дмітрієвим та Є.В.Захаровим. Такий підхід приводить до системи інтегральних рівнянь відносно потенціалу і його похідної на границі розділу областей.

Особливо слід відзначити роботи по розвитку і вдосконаленню МГІР, розробці алгоритмів чисельних рішень прямих задач електророзвідки постійним струмом та їх програмній реалізації, що проводяться на кафедрі геофізики МГУ (В.К.Хмєлєвской, В.А.Шевнін, А.Г.Яковлєв, І.Н.Модін, К.Л.Одінцов). В результаті була розроблена низка пакетів прикладних програм для розрахунків електричного поля точкових і лінійних джерел постійного струму у дво- та тривимірних середовищах. Проте, останні мають певні обмеження: а) використання тільки прямолінійних або плоских границь розділу для дво- або тривимірних моделей відповідно; б) вибір тільки плоскої та горизонтальної денної поверхні; в) невелика кількість неоднорідностей.

Тому створення теоретичних основ, алгоритмів та програмного забезпечення для моделювання тривимірних неоднорідностей і рельєфу з криволінійними поверхнями залишається актуальним і важливим завданням.

2. Апроксимація граничних поверхонь тривимірних геоелектричних неоднорідностей. Для цього використано чотирикутні криволінійні поверхневі елементи, кожен з яких описано за допомогою восьми- або дев'ятиточкових ізопараметричних відображень:

, S = 8,9,

де , і=1,2,3 координати j-го вузла елементу поверхні в декартовій системі координат x=(x1,x2,x3), j базисні функції, 1i1, і = 1,2.

Розглянуто два способи. У першому границю розділу апроксимовано за допомогою сукупності з L чотирикутних криволінійних поверхневих елементів lS, l=1,...,L, кожен з яких визначається трьома координатами восьми або дев'яти точок. Надалі для кожного lS вибирається два числа ml1 і ml2, що визначають наступне розбиття рівномірною сіткою в локальній криволінійній системі координат , з вузлами:



На основі цих виразів побудовано співвідношення для визначення координат вузлів граничних елементів в глобальній системі координат.

Другий спосіб характерний тим, що алгоритм поділу поверхні на граничні елементи повністю автоматизований. Він застосовується, коли гранична поверхня області може бути описана однозначною функцією =0(,) у сферичній системі координат (,,: 0, 0<2, /2/2) з початком всередині . Принцип розбиття на граничні елементи тут наступний. Вводиться додатній цілочисельний параметр L і поверхня спочатку ділиться на 2L1 сферичних смуг кутовою шириною =/2L та дві "полярні" частини

/22 і /22.

Далі "екваторіальна" смуга ділиться на 4L граничних елементів. Для решти смуг одержано формули поділу та наведено допоміжні таблиці, що забезпечують приблизну рівність граничних елементів за площею.

Кількість граничних елементів при розбитті поверхні за таким алгоритмом однозначно визначається величиною L і для L=1,2,3,4,5,6,7 становить відповідно 6, 18, 40, 74, 118, 170, 230.

3. Математичні моделі непровідних об'ємних включень.

Розглянуто основні співвідношення методу граничних елементів для визначення геоелектричного поля у просторі та півпросторі з непровідними включеннями.

Проаналізовано похибки, які виникають при розв'язуванні задач МГЕ, та за допомогою тестових моделей оцінено їх вплив на остаточний результат. При цьому встановлено, що для непровідного сферичного включення в однорідному просторі при апроксимації поверхні за допомогою 6, 18, 40 та 74 граничних елементів в усіх випадках похибка обчислення потенціалу спадає при віддаленні від включення і прямує до величини похибки апроксимації граничної поверхні тіла за площею і становить 4.3%, 1.8%, 0.28% та 0.18% відповідно.

В цьому розділі також досліджено геоелектричне поле при наявності у півпросторі непровідних включень: сфери, зрізаних сфер та неканонічної області, що нагадує за формою деформований дзвін, граничні поверхні яких розбивались за першим алгоритмом розділу 2 при L=6.

Результати досліджень вказують, що при зменшенні об'єму (точніше “парусності”) непровідного включення спостерігається спад величини максимуму вторинного потенціалу: незначний (близько 2%) та суттєвіший (понад 10%) при зменшенні “парусності” за рахунок нижньої та верхньої частин тіла відповідно.

Співставлення результатів розрахунків при визначенні вторинного потенціалу у випадках ml1 = 2, ml2 = 2 (загальна кількість граничних елементів P = 24) та ml1 = 3, ml2 = 3 (P = 54) показало, що розбіжність обчислених значень становить 3%, а затрати машинного часу зростають приблизно в 5.5 рази. Аналогічне співставлення для випадку P = 54 і P = 96 дає значення 2% і 3.5 рази.

Відзначимо, що викладена у розділі методика моделювання і розв'язання задач геоелектрики, може бути використана при комп'ютерному моделюванні електрометричних досліджень довільних непровідних включень, в т.ч. порожнин, що утворились внаслідок природних чи техногенних карстових процесів або підземних гірничих виробіток.

4. Моделювання провідних включень методом граничних елементів.

У першому підрозділі наведено розрахункові формули МГЕ для електричного поля у просторі з провідним включенням довільної форми.

Особливість розв'язку полягає в тому, що будуються окремо інтегральні зображення для електричних потенціалів у включенні та просторі за винятком області, що займає включення. При цьому використано колокаційну методику для "зшивання" потенціалів та густин струму на границі розділу середовищ.

У другому підрозділі розглянуто методику МГЕ для обчислення електричного поля у скінченних зонально-однорідних тілах. У цьому випадку до системи рівнянь додаються співвідношення, які задовільняють граничні умови.

Побудова розв'язку знаходження електричного поля у півпросторі із множиною провідних включень наведена у третьому підрозділі.

Розглянуто півпростір R3+(x3>0) у декартовій системі координат x=(x1,x2,x3), що складається з об'єднання однорідних областей m, m=1,...,M електропровідністю m, причому всі області за виключенням 1 скінчені і такі, що не мають спільних границь з електроізольованою поверхнею півпростору D(x3=0). На поверхні D задано точкові джерела постійного струму q1, q2, q1=q2, а на граничних поверхнях m областей m, (m>1) виконуються умови неперервності функцій електричного потенціалу і густини струму.

Для знаходження останніх застосовано метод граничних елементів. Введено просторово-M-листну множину B=R1R2...RM, де лист R1 тотожній R3+, а Rm, m=2,...,M тотожні R3, причому RmRn=Smn=mn, m,n=1,...,M при nm. Кожна з поверхонь Smn розбивається на Pmn граничних елементи mnp, p=1,...,Pmn, так, що mnp=Smn, mnsmnt=, st, Pmn=Pnm, mnp=nmp. На кожному mnp вводяться джерела постійної інтенсивності gmnp. Тоді інтегральні зображення розв'язків у листах Rm, m=1,...,M мають вигляд:

,



де E1(x,), F1(x,) фундаментальні розв'язки для потенціалу і густини струму у півпросторі, Em(x,), Fm(x,), m=2,...,M, у просторі, U0, q0 потенціал та густина струму точкових джерел q1, q2 у півпросторі, n нормаль до поверхні, що проходить через точку визначення густини струму, mn символ Кронекера, *mn = (1 mn).

Для визначення невідомих gmnp на кожному граничному елементі ljk, l=1,...,M, j=l+1,...,M, k=1,...,Plj, приблизно посередині вибирається точка xljk і вимагається задоволення умов неперервності. Тоді отримується наступна система лінійних алгебричних рівнянь:

.

Проведено дослідження, яке показало, що у багатьох випадках розбиття поверхонь на приблизно однакові граничні елементи є нераціональним. Особливо це було помітно при існуванні зон різкої зміни напрямку зовнішньої нормалі до граничної поверхні. Методика згущення граничних елементів у таких зонах дає суттєве підвищення точності розв'язку поставленої задачі.

Розглянуто методику і можливості комп'ютерного спостережень моделювання методами електропрофілювання і зондування звичайними градієнтними і диференціальними установками на прикладі комплексу двох тіл, орієнтованих у горизонтальному або вертикальному напрямах. Показано, що для тривимірного комп'ютерного моделювання немає ніяких обмежень на системи спостережень, а лише на геоелектричні моделі середовища. На прикладі згаданих комплексів, показано можливості профілювання і зондувань для диференціації складних аномолій та локалізації їх складових елементів. Встановлено безсумнівну перевагу для вирішення цих задач диференціальних видів спостережень. Створено також методику використання математичного моделювання для вивчення складних геоелектричних розрізів при екологічних, структурних та глибинних дослідженнях.

5. Моделювання рельєфу денної поверхні над провідними тілами.

Побудову розв'язку у випадку існування западини на поверхні півпростору з включеннями виконано аналогічно до викладеної у попередньому розділі. Але до системи рівнянь додаються співвідношення, пов'язані із дискретизацією поверхні западини та задоволенням умов непровідності на цій границі.

Для виступу на відміну від попередніх задач необхідно розбити на граничні елементи підйом рельєфу і частину денної поверхні в його околі. Після розрахунку потенціалу і густини струму методом граничних елементів область дискретизації збільшується і проводиться порівняння нового розв'язку з попереднім до отримання чисельних результатів із необхідною точністю.

Методика розв'язку задачі для уступу повністю співпадає з попереднім випадком, але без розбиття на граничні елементи "рівної" денної поверхні у зв'язку із задоволенням умови непровідності на ній фундаментальним розв'язком для півпростору. Наведено приклад розрахунку електричного поля над непровідним тілом і западиною рельєфу денної поверхні.

6. Моделювання реальних геоелектричних розрізів.

Розглянуто проблеми моделювання реальних геоелектричних розрізів, взятих з практики електрометричних досліджень додаткових запасів сировини для Долинського солевиварного заводу та електрометричного моніторингу Чорштин-Недзіцької дамби.

Вихідними даними для побудови початкової моделі соляного тіла взято результати інтерпретації даних польових спостережень та двовимірного моделювання на електропровідному папері. Опускаючи більшість розрахованих варіантів, розглядається лише одна проміжна і кінцева моделі соляного тіла. Результати спостереження над останньою співпадають з реальними даними в межах точності польових спостережень. Приймаючи за основу отриману модель, розраховано графіки позірних опорів та побудовано їх карти і об'ємні зображення, які, хоч і відрізняються в деталях від даних ручної інтерпретації, можна вважати більш надійними завдяки згущеній сітці розрахункових профілів в порівнянні з польовими спостереженнями.

Для Чорштин-Недзіцької дамби проведено оцінку впливу її профілю на результати режимних спостережень за змінами позірного опору порід її основи. Показано, що в конкретних умовах дамби при конфігураціях вимірювальної установки, коли довжина живильної лінії AB невелика у порівнянні з глибиною її розташування h (AB<0.5h) цей вплив незначний (відносне відхилення позірного опору 0.2%) і ним можна нехтувати. В інших випадках, коли AB стає співмірним з h або більшим, вплив поверхні дамби на значення позірного опору збільшується і для AB4h досягає 40%.



ВИСНОВКИ

Криволінійні границі розділу геоелектричних середовищ та денної поверхні зараз практично не враховуються при розв'язуванні задач електророзвідки. У зв'язку з цим на основі методу граничних елементів розроблено чисельно-аналітичну методику, яка дозволяє визначати потенціал та розраховувати позірний опір у складному неоднорідному середовищі при використанні різних електророзвідувальних систем спостережень.

Внаслідок виконання роботи отримані наступні основні теоретичні та практичні результати:

Запропоновано оригінальні підходи до розрахунку геоелектричних полів при наявності: системи непровідних включень; сукупності провідних об'єктів; довільних форм рельєфу у комплексі з локальними неоднорідностями.

Розроблено алгоритми для опису як замкнених, так і довільних поверхонь розділу середовищ на основі восьми- або дев'ятивузлових гранично-елементних сплайнів з оцінкою точності зображення геометричних даних.

Створено комплекси програм, що реалізують метод граничних елементів для розрахунку геоелектричного поля у середовищі з провідними та непровідними включеннями і довільними формами рельєфу.

Зроблено оцінки точності програмного забезпечення апроксимації геометрії границь розділу середовищ та розрахунку параметрів електричного поля.

Створено методику комп'ютерного моделювання для планування електророзвідувальних робіт різними системами спостережень та оцінки їх роздільної здатності.

Показано можливості і перспективи моделювання реальних геоелектричних розрізів на прикладах, взятих із практики електророзвідувальних досліджень додаткових запасів сировини для Долинського солевиварного заводу та моніторингу Чорштин-Нєдзіцької дамби.

Результати роботи можуть бути використані для оптимізації методики і систем польових спостережень та більш надійної інтерпретації отриманих електрометричних даних при вирішенні різноманітних екологічних, інженерно- і гідрогеологічних задач, а також при структурних і глибинних електрометричних дослідженнях.



ОСНОВНІ МАТЕРІАЛИ ДИСЕРТАЦІЇ БУЛИ ОПУБЛІКОВАНІ У РОБОТАХ

1. Грицько Е.Г., Сапужак О.Я. Влияние погрешностей математического моделирования на интерпретацию данных электроразведочных наблюдений // Труды междунар. конф. "Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей". - Воронеж: Изд-во ВГУ, 1998. - С. 189-201.

2. Сапужак О.Я. Програмні засоби дослідження геоелектричних моделей методом граничних елеметів // Вісник Державного університету "Львівська політехніка", "Комп'ютерна інженерія та інформаційні технології". - Львів: ДУ "Львівська політехніка", 1998. - №351. - С. 149-154.

3. Stopіnskі W., Sapuzhak O., Romanjuk O. Іnfluence of percolatіon on electrіc resіstіvіty of bedrocks beneath the Czorsztyn-Nіedzіca dam // Acta Geophysіca Polonіca. - Warszawa: Іnst. Geophys. PAN, 1999. - Vol.XLVІІ, №1. - P. 27-39.

4. Сапужак Я.С., Журавчак Л.М., Сапужак О.Я. Математичне і фізичне моделювання при електромагнітних дослідженнях геосередовищ // Сб. научн. трудов НГА Украины. Днепропетровск: РИК НГА, 1999. - Т. 3: Геофізика, №6. - С. 110-113.

5. Сапужак Я.С., Сапужак О.Я., Романюк О.І., Неганова О.А. Методика електромагнітних досліджень еконебезпечних явищ при використанні енергоресурсів // Вісник Державного університету "Львівська політехніка", "Проблеми економії енергії". - Львів: ДУ "Львівська політехніка", 1999. - №2. - С. 340-343.

6. Грицько Є.Г., Сапужак О.Я. Математичне моделювання впливу непровідних тривимірних об'єктів довільної форми на геоелектричне поле методом граничних елементів. - Львів: 1995. - 34 с. (Препр. / НАН України. КВ ІГФ ім.С.І.Субботіна; 1-95).

7. Грицько Є.Г., Сапужак О.Я. Аналіз точності розрахунку геоелектричного поля при застосуванні методу граничних елементів. - Львів: 1996. - 34 с. (Препр. / НАН України. КВ ІГФ ім.С.І.Субботіна; 1-96).

8. Грицько Е.Г., Сапужак О.Я. Исследование пространственного электрического поля искусственных источников в неоднородных средах // Тезисы докладов конференции "Теория и практика магнитотеллурического зондирования". - Москва: МГУ. - 1994. - С. 67.

9. Грицько Е.Г., Сапужак О.Я. Влияние погрешностей математического моделирования на интерпретацию данных электроразведочных наблюдений // Тезисы докладов междун. конф. "Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей". - Воронеж: Изд-во ВГУ. - 1996. - С. 68-69.

10. Грицько Е.Г., Сапужак О.Я. Изучение характера погрешностей решений задач электроразведки // Тезисы докладов Междун. геофиз. конф. "Электромагнитные исследования с контролируемыми источниками". - Санкт-Петербург: ВИРГ-Рудгеофизика. - 1996. - С. 13-14.

11. Грицько Є.Г., Сапужак О.Я. Геоелектричний моніторинг виникнення та розвитку підземних тріщинуватих зон та порожнин // Збірник тез Міжнар. симпозіуму "Геоінформаційний моніторинг навколишнього середовища". - Алушта: "Львівська політехніка". - 1996. - С. 29-31.

12. Grіtsko E.G., Sapuzhak O.Ya. Mathematіcal modellіng at electrometrіc іnvestіgatіons of carst phenomena // The Abstracts of EGS, XXІІ General Assembly. - Vіenna (Austrіa). - 1997. - P. C 94.

13. Sapuzhak Ya.S., Zhuravchak L.M., Sapuzhak O.Ya. To Methods of Electrometrіc Engіneerіng іnvestіgatіons // The Abstracts of EGS, XXІІ General Assembly. - Vіenna (Austrіa). - 1997. - P. C 95.

14. Сапужак Я.С., Журавчак Л.М., Сапужак О.Я., Романюк О.И. Основные елементы электромагнитной доразведки нефтегазовых залежей // Тезисы докладов междун. конф.-семин. "Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационних, магнитных и электрических полей". - Ухта: Ухтинский индустриальный институт. - 1998. - С. 41-42.

15. Sapuzhak Ya.S., Zhuravchak L.M., Sapuzhak O.Ya. The method of calculatіng іmpulse electromagnetіc fіeld over arbіtrary geoelectrіc sectіons // The Abstracts of EGS, XXІІІ General Assembly. - Nіce (France). - 1998. - P. 276.

16. Sapuzhak Ya.S., Kobzova V.M., Bіlіnsky A.І., Zhuravchak L.M., Sapuzhak O.Ya. Physіcal-mathematіcal modellіng possіbіlіtіes іn the deep electromagnetіc іnvestіgatіons of complex regіons // The Abstracts of XVІ Congress of Carpathіan-Balkan Geologіcal Assosіatіon, - Vіenna (Austrіa). - 1998. - P. 535.

17. Sapuzhak Ya.S., Zhuravchak L.M., Sapuzhak O.Ya. Geoelectrіcal models of Ukraіnіan Carpathіans and potentіals of theіr mathematіcal іnvestіgatіon // The Abstracts of the 14th Workshop on Electromagnetіc Іnductіon іn the Earth. - Bucharest, (Romanіa). - 1998. - P. 48.

18. Сапужак О.Я. Побудова розв'язку задач геоелектрики в зонально-однорідному півпросторі // Матеріали міжнар. наук. конф. "Сучасні проблеми механіки і математики". - Львів: ІППММ, 1998. - С. 312.



АНОТАЦІЯ

Сапужак О.Я. Математичне моделювання методом граничних елементiв у тривимiрних задачах геоелектрометрiї. Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 04.00.22 геофiзика. Iнститут геофiзики iм. С.I.Субботiна НАН України, Київ, 1999.

Дисертацiя присвячена розробцi методологiї, алгоритмiв та програмного забезпечення для вирiшення тривимiрних прямих задач геоелектрометрiї при наявностi криволiнiйних границь роздiлу середовищ та довiльного рельфу денної поверхнi методом граничних елементiв. Створено комплекси програм для реалiзацiї методу граничних елементiв при розрахунку геоелектричного поля для провiдних та непровiдних включень i довiльних форм рельєфу. Зроблено оцiнку точностi програмного забезпечення при апроксимацiї криволiнiйних границь та розрахунку параметрiв електричного поля. Показано можливостi i перспективи моделювання реальних геоелектричних розрiзiв на прикладах, взятих з практики електророзвiдувальних дослiджень додаткових запасiв сировини для Долинського солевиварного заводу у Прикарпатті та електрометричного монiторингу Чорштин-Нєдзiцької дамби у Польщі.

Ключовi слова: геоелектрометрiя, тривимiрнi задачi, метод граничних елементiв, криволiнiйнi границi роздiлу, рельєф, алгоритми, програмне забезпечення, моделювання реальних розрiзiв.



SUMMARY

Sapuzhak O.Y. Mathematical modelling by boundary element technique in geoelectrometric three-dimensional problems. Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by a speciality 04.00.22 geophysics. Institute of Geophysics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 1999.

The dissertation is devoted to developing methodology, algorithms and software for solution of geoelectrometric three-dimentional direct problem with curvelinear boundaries of medium division and arbitrary profile of day surface relief using boundary element technique. The software realizing boundary element technique for geoelectic field calculation in the case of conducting and non-conducting inclusions and arbitrary shapes of relief is created. The estimation of software accuracy for curvelinear boundary approximation and electrical field calculation is done. The possibilities and perspectives of real geoelectric section modelling on the examples taken from the practice of electrical prospecting investigation of additional raw reserves for Dolyna salt-extracting plant in the Precarpathians and electrometric monitoring of CzorsztynNiedzica dam in Poland are shown.

Key words: geoelectrometry, three-dimensional problems, boundary element technique, curvelinear boundaries of division, relief, algorithms, software, real section modelling.



АННОТАЦИЯ

Сапужак О.Я. Математическое моделирование методом граничных элементов в трехмерных задачах геоэлектрометрии. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 04.00.22 геофизика. Институт геофизики им. С.И.Субботина НАН Украины, Киев, 1999.

Диссертация посвящена разработке проблемных вопросов, возникающих при учете криволинейных границ раздела геоэлектрических сред и произвольных форм дневной поверхности в прямых задачах электроразведки постоянным током.

На основе метода граничных элементов (МГЭ) разработано численно-аналитическую методику, позволяющую определять кажущиеся сопротивления в неоднородных средах со сложными границами раздела при использовании различных электроразведочных систем наблюдений.

Для этого построено алгоритмы разбиения криволинейных границ раздела геосред на граничные элементы с использованием для их аппроксимации четырехугольных поверхностных элементов, каждый из которых описывается с помощью восьми- или девятиточечных изопараметрических двухмерных сплайнов. Установлено оценки точности изображения геометрических данных.

С помощью метода граничных элементов решена прямая задача для определения электрического поля в зонально-однородной среде со сложными границами раздела, в частности: системы непроводящих включений; совокупности проводящих объектов; произвольных форм рельефа в комплексе с локальными включениями.

Проанализировано погрешности, возникающие при решении задач МГЭ, и с помощью тестовых моделей оценено их влияние на конечный результат.

Рассмотрено методику и возможности компьютерного моделирования наблюдений методами электропрофилирования и зондирования обычными градиентными и дифференциальными установками над простыми комплексами из двух тел, ориентированными в горизонтальном или вертикальном направлениях.

На примере указанных комплексов, показано возможности профилирования и зондирований для дифференциации сложных аномолий, а также для локализации возмущающих объектов. Установлено, что при решении этих задач существенное преимущество имеют дифференциальные виды наблюдений.

Разработано методику моделирования рельефа дневной поверхности в виде углубления, выступа и уступа в задачах геоэлектрометрии с зонально-однородными средами. Приведен пример расчета электрического поля над непроводящим включением и впадиной рельефа дневной поверхности. Построено методику компьютерного моделирования для планирования электроразведочных работ различными системами наблюдений и оценки их разрешающей способности при исследовании карстовых пустот, залежей полезных ископаемых, дамб и других инженерно-геологических объектов в условиях сложной поверхности и неоднородностей геологического строения.

Смоделировано реальный геоэлектрический разрез, взятый из практики электрометрических изысканий дополнительных запасов сырья для Долинского солевыварочного завода в Прикарпатье. На основе модели, рассчитаны графики кажущихся сопротивлений и соответственно их карты и объемные изображения, которые хотя и отличаются в деталях от натурных данных, можна считать более надежными благодаря густой сетке рассчитанных профилей по сравнению с полевыми наблюдениями.

Дано оценку влияния профиля Чорштын-Недзицкой дамбы (Республика Польша) на результаты электрометрического мониторинга ее основы.

Показано, что предложенная методика моделирования и решения задач геоэлектрики, может быть использована при компьютерном моделировании электрометрических исследований включений произвольной формы и проводимости.

Результаты работы целесообразно использовать для оптимизации методики и систем полевых наблюдений, более надежной интерпретации полученных электрометрических данных при решении различных экологических, инженерно- и гидрогеологических задач, а также при структурных и глубинных электрометрических исследованиях.

Ключевые слова: геоэлектрометрия, трехмерные задачи, метод граничных элементов, криволинейные границы раздела, рельеф, алгоритмы, программное обеспечение, моделирование реальных разрезов.

Размещено на Allbest.ru