Вектора декартовой плоскости координат электрических цепей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Вектора декартовой плоскости координат электрических цепей

План

1. Изображение синусоидальной функции времени радиус векторами в декартовой плоскости координат

2. Комплексное представление вектора

3. Законы Кирхгофа для электрической цепи синусоидального тока

4. Электрическая цепь с активным сопротивлением

5. Электрическая цепь с индуктивностью

6. Электрическая цепь с емкостью

Литература

1. Изображение синусоидальной функции времени радиус векторами в декартовой плоскости координат

Любую синусоидально изменяющуюся во времени величину можно изображать вращающимся вектором, длина которого равна амплитуде, а угловая скорость вращения - угловой частоте этой синусоидальной величины. Начальное положение вращающегося вектора определяется углом, равным начальной фазе синусоидальной величины и откладываем от положительного направления на оси ОХ в сторону, противоположную вращению часовой стрелки.

Размещено на http://www.allbest.ru/

- один оборот против часовой стрелки.

- проекция радиус-вектора на ось OY.

Необходимо определить ток , если и . Сумма двух синусоид одинаковой частоты щ представляет собой также синусоиду частотой щ, то есть и следовательно, задача сводится к отысканию амплитуды Im и начальной фазы ш тока.

Для времени t=0

Размещено на http://www.allbest.ru/

2. Комплексное представление вектора

Все графические методы расчета электрических цепей синусоидального тока не могут обеспечить высокой точности или очень сложны и трудоемки. Комплексный метод расчета, базирующийся на теории комплексных чисел, довольно прост и позволяет добиваться высокой точности. Любой вектор на плоскости изображается комплексным числом, соответствующим концу вектора.

, если вектор разложить на составляющие А1 и А2, причем «+» означает векторное сложение. Начало вектора находится в нулевой точке числовой плоскости Гаусса, на которой, как известно, каждой точке соответствует комплексное число.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Таким образом, составляющие вектора могут быть представлены через его проекции А1 и А2 на действительную и мнимую оси

; ;

Модуль вектора , определяющий его длину, выражают равенством

Угол, который этот вектор составляет с действительной осью, или аргумент вектора определяется равенством

При этом составляющие мнимую и действительную нужно подставлять в равенство своими знаками.

Отсчет углов производится от действительной оси в направлении, противоположном направлении вращения часовой стрелки.

Проекции А1 и А2 можно определить при известных модуле и его аргументе б.

; .

Вектор в полярной форме выразится равенством

Вспомним уравнение Эйлера , то получим

Выражение называется единичным вектором, так как модуль его равен единице.

3. Законы Кирхгофа для электрической цепи синусоидального тока

Для цепей синусоидального тока также справедливы законы Кирхгофа. Но так как синусоидальные величины (ЭДС, напряжение, ток) характеризуются мгновенными, максимальными и действующими значениями, то для каждого из них существуют свои формулировки законов Кирхгофа.

Для мгновенных значений законы Кирхгофа справедливы в алгебраической форме.

Первый закон состоит в том, что алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю:

.

По второму закону алгебраическая сумма ЭДС в контуре равна алгебраической сумме падений напряжений в этом контуре:

.

Для максимальных и действующих значений законы Кирхгофа справедливы только в векторной или комплексной форме.

Согласно первому закону, сумма комплексных токов в узле равна нулю:

.

По второму закону сумма комплексных ЭДС в контуре равна сумме комплексных падений напряжений в этом контуре:

.

Второй закон Кирхгофа может быть сформулирован иначе: сумма мгновенных или комплексных значений падений напряжений на всех элементах контура, включая источники ЭДС, равна нулю:

 или .

4. Электрическая цепь с активным сопротивлением

Пусть к зажимам цепи с активным сопротивлением R приложено напряжение источника питания . Для простоты принимаем, что начальная фаза напряжения равна нулю, так как для установившегося режима начальная фаза не имеет никакого значения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для мгновенных значений напряжения имеем . Решая это уравнение относительно тока i и заменяя u на , получаем

,

причем амплитуда тока в цепи

.

Из предыдущего уравнения видно, что ток в элементе с активным сопротивлением совпадает по фазе с напряжением на этом элементе.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Так как действующие значения напряжения и тока в раза меньше их максимальных значений, то аналогично можно записать , то есть действующие значения синусоидальных напряжений и тока связаны между собой законом Ома так же, как постоянные ток и напряжение.

Размещено на http://www.allbest.ru/

На векторной диаграмме комплексные значения напряжения и тока в цепи представлены векторами на комплексной плоскости. Начала векторов совмещены с началом координат, длины векторов в соответствующем масштабе равны действующим значениям напряжения и тока. Вещественная ось направлена горизонтально, а мнимая - вертикально. Начальный вектор совмещаем с положительным направлением вещественной оси. Для цепи с активным сопротивлением векторы напряжения и тока совпадают по направлению.

Мгновенное значение мощности цепи синусоидального тока равно произведению мгновенных значений напряжения и тока:

.

Если в цепь приложено напряжение , то в общем случае ток в цепи . Следовательно

После преобразований получим

таким образом, мгновенное значение мощности имеет две составляющие: постоянную , не изменяющийся во времени, и переменную , изменяющийся периодически с частотой 2щ. Вследствие этого мгновенное значение мощности также изменяется с двойной частотой.

При этом мощность положительна, если напряжение и ток совпадают по направлению, и отрицательна, если напряжение и ток имеют разные знаки. Когда мощность положительна, тогда электрическая энергия передается от источника к приемнику и наоборот.

Для количественной оценки электроэнергетических процессов удобнее использовать среднее значение мощности Pср, которое можно найти, вычислив работу, совершаемую за один период:

Откуда



Так как , то , то есть среднее значение мощности равно постоянной составляющей мгновенного значения мощности.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Средняя мощность характеризует интенсивность передачи электроэнергии от источника к приемнику и её преобразования в другие виды энергии, то есть активный необратимый процесс. Поэтому среднюю мощность называют активной мощностью и выражают в ваттах, киловаттах, мегаваттах

.

Активная мощность цепи синусоидального тока равна произведению действующих значений напряжения и тока и косинуса угла между их векторами.

Для цепи, состоящей из элемента только с активным сопротивлением R, ц=0 и

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Напряжение и ток совпадают по фазе, и мгновенное значение мощности всегда положительно. Это указывает на то, что при наличии в цепи только элемента с активным сопротивлением вся электроэнергия преобразуется в тепловую или другие виды энергии. Среднее значение мощности или активная мощность , так как .

Поскольку напряжение на элементе с сопротивлением R , активная мощность цепи может быть определена как

.

5. Электрическая цепь с индуктивностью

Индуктивностью L теоретически обладают все проводники с током. Но в некоторых случаях эта индуктивность так мала, что ею вполне можно пренебречь. Значительна индуктивность у обмоток или катушек, состоящих из большого числа витков провода.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим идеальную катушку с постоянной индуктивностью L, то есть такую катушку, активное сопротивление которой равно нулю.

Пусть к цепи с индуктивностью L приложено синусоидальное напряжение . Под действием этого напряжения в цепи индуктивной катушки возникает ток i. Этот ток создает магнитный поток Ф, который согласно закону электромагнитной индукции индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции

где w - число витков катушки.

Условное положительное направление ЭДС eL выбирают из условия, что её действительное направление в любой момент времени противоположно направлению uL ().

По второму закону Кирхгофа имеем , а с учетом того, что , получаем

.

Чтобы получить это уравнение на основании , условное положительное направление eL следует всегда принимать совпадающим с положительным направлением тока.

или

Решая это уравнение, получим выражение для тока в цепи:

Так как амплитуда тока

то окончательное выражение для тока имеет вид

.

Видно, что в цепи с индуктивностью ток также изменяется по синусоидальному закону и отстает по фазе от напряжения на угол р/2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

В формуле знаменатель в правой части имеет размерность сопротивления. Это индуктивное сопротивление

.

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте и индуктивности. С учетом этой формулы получаем

.

Для действующих значений напряжения и тока

.

Так как согласно ЭДС самоиндукции численно равна напряжению на элементе с индуктивностью, то, используя , имеем

.

Видно, что индуктивное сопротивление является коэффициентом пропорциональности между током и ЭДС самоиндукции.

В соответствии с принимая во внимание, что , комплексное напряжения , а в соответствии с и комплексный ток

Размещено на http://www.allbest.ru/

На векторной диаграмме вектор напряжения, имеющий начальную фазу, равную нулю, отложен по мнимой оси, а вектор тока, имеющий начальную фазу , - в положительном направлении вещественной оси. Угол сдвига фаз между напряжением и током в цепи с индуктивностью .

Если модули напряжения и тока связаны соотношением , то их комплексные значения связаны соотношением

.

В цепи с индуктивностью L угол и формула принимает вид

,

то есть мгновенное значение мощности имеет только переменную составляющую.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Первую четверть периода ток совпадает по направлению с ЭДС самоиндукции eL индуктивной катушки, мощность отрицательна и энергия передается от катушки к источнику питания. Вторую четверть периода ток совпадает по направлению с напряжением источника питания, мощность положительна, а энергия поступает от источника к приемнику (индуктивной катушке) и запасается в его магнитном поле. В течение третьей четверти периода ток опять совпадает по направлению с eL и запасенная в магнитном поле катушки энергия передается источнику питания (мощность отрицательна).

Таким образом, в течение одного периода электроэнергия дважды поступает от источника в катушку и обратно. При этом вся передаваемая энергия запасается в магнитном поле катушки и затем вся возвращается источнику. Такая энергия обмена между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена электроэнергией характеризуется реактивной мощностью QL, равной амплитуде мгновенного значения мощности, то есть

Реактивную мощность выражают в вольт-амперах реактивных (вар), киловольт-амперах реактивных (квар) и т.д.

Напряжение на элементе с индуктивностью , поэтому реактивная мощность можно также определить по формулам

,

где - индуктивная проводимость.

6. Электрическая цепь с емкостью

Элементом электрической цепи, обладающим значительной емкостью, является конденсатор. Емкостью обладают любые два проводника, расположенные недалеко друг от друга. Но при малой поверхности их емкость невелика и ею обычно пренебрегают.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника питания и конденсатора емкостью С. Будем считать, что конденсатор имеет идеальный диэлектрик, то есть его активное сопротивление равно нулю. К цепи с конденсатором подведено синусоидальное напряжение , под действием которого в цепи возникает ток i и на каждой пластине конденсатора скапливается заряд , где uC - падение напряжения на конденсаторе.

По второму закону Кирхгофа для данной цепи имеем . Тогда заряд на конденсаторе

.

Ток в цепи, представляющий собой изменение заряда во времени,

,

или

,

где амплитуда тока

.

Из формулы видно, что ток в цепи с емкостью является синусоидальным и опережает напряжение по фазе на угол р/2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Величина 1/щС в знаменателе правой части имеет размерность сопротивления, обозначается XC и называется емкостным сопротивлением:

.

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте и емкости конденсатора. Таким образом

.

Поделив обе части этого уравнения на , получим выражение закона Ома для действующих значений тока и напряжения:

.

Комплексный ток

.

С учетом этого выражения можно найти соотношение между комплексным напряжением и током в цепи с емкостью:

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Векторная диаграмма комплексных значений напряжения и тока представлена на этом рисунке

Если в цепь включен конденсатор с емкостью С, то и мгновенное значение мощности

,

которое отличается от мгновенной мощности цепи с индуктивностью только знаком. Изменение мощности для этой цепи показано на рисунке.

Размещено на http://www.allbest.ru/

В цепи с емкостью также происходит обмен электроэнергией между источником питания и конденсатором. При передаче энергии от источника питания в течение четверти периода энергия запасается в электрическом поле конденсатора, а в течение следующей четверти периода энергия электрического поля освобождается и возвращается источнику. Электроэнергетический процесс в цепи характеризуется только реактивной мощностью

синусоидальный вектор декартовый координата

,

где - емкостная проводимость.

Литература

1.Григораш О.В. Электротехника и электроника : учеб. для вузов / О.В. Григораш, Г.А. Султанов, Д.А. Нормов. - Гриф УМО. - Ростов н/Д : Феникс, 2008. - 462 с

2.Лоторейчук Е.А. Теоретические основы электротехники : учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / Е.А. Лоторейчук. - Гриф МО. - М. : Форум: Инфра-М, 2008. - 316 с.

3.Федорченко А. А. Электротехника с основами электроники : учеб. для учащ. проф. училищ, лицеев и студ. колледжей / А. А. Федорченко, Ю. Г. Синдеев. - 2-е изд. - М. : Дашков и К°, 2010. - 415 с.

4.Катаенко Ю. К. Электротехника : учеб. пособие / Ю. К. Катаенко. - М. : Дашков и К° ; Ростов н/Д : Академцентр, 2010. - 287 с.

5.Москаленко В.В. Электрический привод : Учеб. пособие для сред. проф. образования / В.В. Москаленко. - М. : Мастерство, 2000. - 366 с.

6.Савилов Г.В. Электротехника и электроника : курс лекций / Г.В. Савилов. - М. : Дашков и К°, 2009. - 322 с.

7.Синдеев Ю. Г. Электротехника с основами электроники : учеб. пособие для проф. училищ, лицеев и колледжей / Ю. Г. Синдеев. - Изд. 12-е, доп. и перераб. ; Гриф МО. - Ростов н/Д : Феникс, 2010. - 407 с.

8.Евдокимов, Ф.Е. Теоретические основы электротехники: учеб. для средн. проф. обр. / Ф.Е. Евдокимов - М.: Academia, 2004. - 560 c.

9.Данилов, И.А. Общая электротехника с основами электроники / И.А. Данилов -М.: Высш .шк., 2000. - 752 с.

10.Аваев С.А. Общая электротехника . 1959 год.

11.Анхимгон В.Л. Теория автоматического регулирования . 1968 год.

12.Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники . 1970 год.

Размещено на Allbest.ru