Механические колебания и волны

Размещено на http://www.allbest.ru/

Механические колебания и волны

Гармонические колебания и их характеристики

Процессы, в которых повторяются состояния или изменения состояния тела, называются колебаниями.

Гармоническим называются колебание, кинематически описываемое законом синуса или косинуса.

Динамически оно возникает под действием внутренней упругой силы после однократного выведения тела из положения равновесия.

Незатухающие гармонические колебания

Рассмотрим систему, состоящую из груза массы m, подвешенного на пружине с жесткостью k в отсутствие трения

Уравнение движения получим из II закона Ньютона

,

Обозначим .

Тогда .

Решение этого уравнения дает закон движения .

Характеристики колебания:

1. смещение S - отклонение колеблющегося тела от положения равновесия в любой момент времени.

2. амплитуда колебания А - максимальное смещение.

3. - собственная круговая частота колебания

4. - период собственных колебаний - время одного полного колебания

Он закономерно связан с круговой частотой , =>

5. - собственная частота, величина обратная периоду .

- число полных колебаний в единицу времени

и связаны соотношением

6. - фаза колебания, характеризующая положение колеблющегося тела в любой момент времени.

- переменная фаза

- начальная фаза, характеризующая смещение тела в начальный момент времени .

Если , то формула колебания примет простой вид .

Скорость и ускорение тела в гармоническом колебании находятся дифференцированием.

Энергия колеблющегося тела

Энергия тела, совершающего гармоническое колебание, состоит из Е _кин и Е _пот, которые непрерывно переходят в друг друга в процессе колебания.

Суммарная энергия постоянна

.

Затухающие колебания

В реальных условиях энергия колебания расходуется на преодоление трения, в результате свободные колебания затухают.

Уравнение затухающего колебания:

,

где r - коэффициент трения.

- сила трения пропорциональна при невысоких скоростях скорости .

,

где , - коэффициент затухания.

Решением является функция

,

где - начальная амплитуда при t=0

е = 2,72 - основание натуральных логарифмов

- коэффициент затухания

- круговая частота затухающего колебания

Итак, смещение при затухающем колебании, как и при гармоническом колебании, меняется по закону синуса с круговой частотой , тем больше отличающейся от собственной частоты , чем больше коэффициент затухания .

Амплитуда затухающего колебания со временем уменьшается по экспоненте

Физический смысл коэффициента затухания :

- есть величина, обратная времени , за которое амплитуда уменьшается в раз

Декремент затухания - это отношение 2-х амплитуд, отстоящих друг от друга на период T.

Чаще пользуются логарифмическим декрементом затухания , который равен натуральному логарифму от ,

Физический смысл логарифмического декремента : это величина, обратная числу периодов N, за которое амплитуда уменьшается в раз

Рассмотренные нами колебания являются свободными, т.е. они совершаются под действием внутренней упругой силы.

Вынужденные колебания. Резонанс.

Колебания тела, вызванные и поддерживаемые внешней силой, периодически изменяющейся по величине и по направлению, называются вынужденными колебаниями, а внешняя сила - вынуждающей силой. Вынужденные колебания принимают частоту вынуждающей силы.

Пусть вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону:

,

где - круговая частота колебаний вынуждающей силы.

Уравнение вынужденных колебаний:

,

где , , .

Если частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте колеблющегося тела, наступает резонанс, т.е. резкое увеличение амплитуды колебаний.

Чем меньше , тем выше амплитуда резонансных колебаний и тем ближе частота резонанса собственной частоте системы.

Резонанс в одних случаях полезен, т. к. с помощью малой вынуждающей силы можно получить колебания со значительной амплитудой.

Примеры: для механических колебаний - качели, для электромагнитных волн - настройка приемника на определенную частоту электромагнитных волн.

Резонанс вреден, если может возникнуть увеличение амплитуды колебаний выше допустимых пределов. Например, в машиностроении, резонанс при этом предупреждается тем, что собственная частота колеблющейся системы (токарного станка) выбирается значительно отличающейся от частоты внешней силы.

Сложные колебания

Сложным называют колебание, описываемое любым другим законом, кроме синуса или косинуса.

График сложного колебания получают алгебраическим сложением смещений тела, участвующего в двух и более простых (т.е. гармонических) колебаниях.

Например, электроэнцефалограмма позволяет выявить несколько ритмов () активности мозга, характеризующихся разными частотами.

Теорема Фурье:

Любая сложная периодическая функция может быть разложена в ряд Фурье, т.е. представлена суммой бесконечно большого числа простых (гармонических) колебаний с частотами, кратными частоте сложной функции.

Ряд Фурье

Совокупность амплитуд этих гармоник, каждая со своей частотой, составляет гармонический спектр сложной функции.

Если тело участвует сразу в двух колебаниях, то общее смещение тела находят наложением смещений, считая их независимыми.

Пусть точка 0 на оси ОХ колеблется по закону . Колебание распространяется без затухания вдоль ОХ. До точки с некоторой произвольной координатой х возмущение доходит через время , где - скорость распространения волны. Колебания в этой точке будут запаздывать на , т.е. .

Это и есть уравнение плоской волны.

Графиком волны будем называть зависимость смещения точек среды вдоль направления распространения волн в заданный момент времени (т.е. как бы мгновенный снимок волны).

Расстояние между двумя ближайшими точками среды, колебания которых происходят в одинаковой фазе, называют длиной волны .

Другое определение длины волны: расстояние, на которое распространяется колебание в среде за время одного периода колебания.

или вспомнив, что имеем

Скорость распространения волны зависит от свойств среды (упругих свойств и плотности), длина волны при переходе из одной среды в другую изменяется, хотя частота колебаний остается неизменной.

Дополнительные определения:

Поток энергии - это энергия, переносимая волной в единицу времени через поверхность S, перпендикулярную направлению распространения волны.

Единица в СИ .

Интенсивность волны - это плотность потока энергии, т.е. поток энергии, приходящийся на единицу поверхности S, и интенсивность волны является важнейшей характеристикой волнового процесса.

Единица в СИ .

Перенос энергии при волновом движении. Вектор Умова

При колебании происходит только переход энергии из кинетической в потенциальную, суммарная энергия остается постоянной (в отсутствие трения).

При волновом процессе, т.е. при распространении колебаний происходит перенос суммарной энергии, т.е. потенциальной энергии, обусловленной деформацией вещества среды и кинетической энергии колеблющихся частиц.

Бегущая волна переносит энергию. Объемная плотность энергии, т.е. энергия, приходящееся на единицу объема, равна

Интенсивность волны связана с объемной плотностью энергии.

где - скорость распространения волны.

Поскольку скорость есть вектор, значит и интенсивность есть вектор, который называется вектором Умова Н.А.

Окончательно имеем

Стоячие волны

Для упругих волн (как и вообще для волнового движения) характерны явления интерференции и дифракции. Разберем один из видов интерференции (наложения) - образование стоячих волн.

Стоячие волны образуются при наложении двух встречных плоских волн с одинаковыми частотами и амплитудами, что обычно имеет место при отражении волны от препятствия.

Например, на шнуре с закрепленным одним концом, в результате наложения прямой и обратной волн установится колебательный процесс, он характеризуется наличием неподвижных узлов, и пучностей, колеблющихся с удвоенной амплитудой и с тем же периодом, что и исходная бегущая волна.

Длина стоячей волны - расстояние между соседними узлами стоячей волны равно половине длины бегущей волны.

колебание фурье волна умов

Стоячей волной энергия не переносится.

Стоячие волны возникают в ограниченных участках среды, например в стержнях, или струнах, в воздушных столбах, когда выполняется необходимое условие для образования стоячей волны - кратное соотношение размеров тела и длины стоячей волны.

Размещено на Allbest.ru