Теоретическая механика

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Стамтика (от греч. уфбфьт, «неподвижный») -- раздел механики, в котором изучаются условия равновесия механических систем под действием приложенных к ним сил и моментов.

Основные понятия:

Величина, являющаяся количественной мерой механического взаимодействия материальных тел, называется в механике силой.

Сила является величиной векторной. Ее действие на тело определяется: 1) численной величиной или модулем силы, 2) направлением силы, 3) точкой приложения силы,

Предполагается, что действие силы на тело не изменится, если ее перенести по линии действия в любую точку тела (конечно - твердого тела). Поэтому вектор силы называют скользящим вектором. Если силу перенести в точку, не расположенную на этой линии, действие ее на тело будет совсем другим.

2. Совокупность сил, действующих на какое-нибудь твердое тело, будем называть системой сил.

3. Тело, не скрепленное с другими телами, которому из данного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве, называется свободным.

4. Если одну систему сил, действующих на свободное твердое тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состояния покоя или движения, в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными.

5. Система сил, под действием которой свободное твердое тело может находиться в покое, называется уравновешенной или эквивалентной нулю.

6. Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Таким образом, равнодействующая - это сила, которая одна заменяет действие данной системы сил на твердое тело.

7. Сила, равная равнодействующей по модулю, прямо противоположная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой, называется уравновешивающей силой.

8. Силы, действующие на твердое тело, можно разделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на частицы данного тела со стороны других материальных тел. Внутренними называются силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга.

9. Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке, называется сосредоточенной. Силы, действующие на все точки данного объема или данной части поверхности тела, называются распределенными.

Понятие о сосредоточенной силе является условным, так как практически приложить силу к телу в одной точке нельзя. Силы, которые мы в механике рассматриваем как сосредоточенные, представляют собою по существу равнодействующие некоторых систем распределенных сил.

В частности, обычно рассматриваемая в механике сила тяжести, действующая на данное твердое тело, представляет собою равнодействующую сил тяжести его частиц. Линия действия этой равнодействующей проходит через точку, называемую центром тяжести тела.

Содержание статики абсолютно твердого тела составляют две основные задачи:

1. Задача о приведении системы сил: как данную систему сил заменить другой, наиболее простой, ей эквивалентной?

2. Задача о равновесии: каким условиям должна удовлетворять система сил, приложенная к данному телу (или материальной точке), чтобы она была уравновешенной системой?



2. Аксиомы статики

Система сил, приложенная к телу или материальной точке, называется уравновешенной или эквивалентной нулю, если тело под действием этой системы находится в состоянии покоя или движения по инерции.[1]

Не нарушая механического состояния тела, к нему можно приложить или отбросить уравновешенную систему сил.

О действии и противодействии. При всяком действии одного тела на другое со стороны другого тела имеется противодействие, такое же по величине, но противоположное по направлению.

О двух силах. Две силы, приложенные к одному и тому же телу, взаимно уравновешены (их действие эквивалентно нулю) тогда и только тогда, когда они равны по величине и действуют по одной прямой в противоположные стороны.

О равнодействующей. Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, приложена к той же точке и равна диагонали параллелограмма, построенного на этих силах как сторонах.

Аксиома затвердевания. Если деформируемое тело находилось в равновесии, то оно будет находиться в равновесии и после его затвердевания.

Аксиома о связях. Механическое состояние системы не изменится, если освободить её от связей и приложить к точкам системы силы, равные действовавшим на них силам реакций связей.

3. Типы связей. Реакции связей. Статика

Связанные тела - тела, перемещение которых ограничено другими телами.

Тела, ограничивающие перемещение других тел. называются связями.

Реакция связи всегда направлена с той стороны, куда нельзя перемещаться.

Всякое связанное тело можно представить свободным, если связи заменить их реакциями (принцип освобождения от связей).

Все связи можно разделить на несколько типов: Связь - гладкая опора (без трения).

Реакция опоры приложена в точке опоры и всегда направлена перпендикулярно опоре.

Гибкая связь (нить, веревка, трос, цепь). Груз подвешен на двух нитях.

Реакция нити направлена вдоль нити от тела, при этом нить может быть только растянута.

Шарнирная опора.

Шарнир допускает поворот вокруг точки закрепления. Различают два вида шарниров.

Подвижный шарнир.

Стержень, закрепленный на шарнире, может поворачиваться вокруг шарнира, а точка крепления может перемещаться вдоль направляющей.

Реакция подвижного шарнира направлена перпендикулярно опорной поверхности т.к. не допускается только перемещение поперек опорной поверхности

Неподвижный шарнир.

Точка крепления перемещаться не может. Стержень может свободно поворачиваться вокруг оси шарнира. Реакция такой опоры проходит через ось шарнира, но неизвестна по направлению. Ее принято изображать в виде двух составляющих: горизонтальной и вертикальной (Rx; Ry)

Защемление или «заделка»

Любые перемещения точки крепления невозможны, под действием внешних сил в опоре возникают реактивная сила и реактивный момент MR, препятствующий повороту. Реактивную силу принято представлять в виде двух составляющих вдоль осей координат.

Проекция силы на ось

Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опушенными на ось из начала и конца вектора

Fx =Fcos a

Величина проекции силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси. Таким образом, проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора СИЛЫ и ОСИ и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси

4. Проекция силы на ось . Принцип двойного проецирования

Проекция силы на ось - это алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и вектором силы (т.е. это отрезок, откладываемый силой на соответствующие оси.

5. Сходящаяся система сил. Определение равнодействующей силы

Системма сходямщихся сил -- это такая система сил, действующих на абсолютно твёрдое тело, в которой линии действия всех сил пересекаются в одной точке.

При расчёте ускорения тела все действующие на него силы заменяют одной силой, называемой равнодействующей. Это геометрическая сумма всех сил, действующих на тело. При этом действие каждой силы не зависит от действия других, то есть каждая сила сообщает телу такое ускорение, какое она сообщила бы в отсутствие действия других сил. Это утверждение носит название принципа независимости действия сил (принцип суперпозиции).

6. Условия равновесия сходящейся системы сил

для равновесия тела, находящегося под действием системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы их равнодействующая равнялась нулю: R = 0. Следовательно, в силовом многоугольнике уравновешенной системы сходящихся сил конец последней силы должен совпадать с началом первой силы; в этом случае говорят, что силовой многоугольник замкнут

7. Теорема о трех силах. Если (абсолютно твердое) тело находится в равновесии под действием плоской системы трех непараллельных сил (т.е. сил, из которых хотя бы две непараллельные), то линии их действия пересекаются в одной точке.

8. Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью. Если имеется материальная точка , к которой приложена сила , то момент силы относительно точки равен векторному произведению радиус-вектора , соединяющего точки и , на вектор силы : .

9. Пара сил и её момент . Моментом силы относительно точки называется взятое со знаком "плюс" или "минус" произведение модуля силы на ее плечо относительно данной точки. Плечом силы относительно точки называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на линию действия силы. Парой сил называется совокупность двух равных по модулю, параллельных и противонаправленных сил. Расстояние между линиями действия сил пары называется ее плечом. Моментом пары называется взятое со знаком "плюс" или "минус" произведение модуля сил, образующих пару, на ее плечо. Момент пары сил положителен, если пара стремится вращать тело против часовой стрелки, и отрицателен в противоположном случае. Момент пары определяется по формуле (рис. 1.15):

10. Свойства пар

1) Проекция пары на любую ось равна нулю. Это следует из определения пары сил.

2). Момент пары сил относительно любой точки равен моменту этой пары.

3) Пару можно перемещать в пределах тела по плоскости действия и переносить в любую другую параллельную плоскость.

4) Так как действие на тело сил, составляющих пару, определяется лишь её моментом, произведением одной из сил на плечо, то у пары можно изменять силы и плечо, но так, чтобы момент пары остался прежним.

11. три формы условий равновесия плоской системы сил. Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов этих сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю.

; ;

12. Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

13. условия равновесия пространственной системы сил. Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю.

14. Теоремма Вариньомна -- одна из теорем механики, устанавливающая зависимость между моментами сил данной системы и моментом их равнодействующей силы относительно какого-либо центра или оси.

Если система сил, приложенных к абсолютно твердому телу имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно произвольного центра (оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно того же центра (оси).

Векторная запись теоремы:

15. Сила трения скольжения -- силы, возникающие между соприкасающимися телами при их относительном движении. Если между телами отсутствует жидкая или газообразная прослойка (смазка), то такое трение называется сухим. В противном случае, трение называется «жидким». Характерной отличительной чертой сухого трения является наличие трения покоя.

В первом приближении величина силы трения скольжения может быть рассчитана по формуле:

, где

-- коэффициент трения скольжения,

-- сила нормальной реакции опоры.



16. Основные понятия кинематики

Механическое движение -- изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. При этом тела взаимодействуют по законам механики.

Система отсчёта -- сопоставленная с континуумом реальных или воображаемых тел отсчёта система координат и прибор(ы) для измерения времени (часы). Используется для описания движения.

Координаты -- способ определения положения точки или тела с помощью чисел или других символов.

Радиус-вектор используется для задания положения точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Траектория -- непрерывная линия, которую описывает точка при своём движении.

Скорость -- векторная величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки в пространстве относительно выбранной системы отсчёта.

Ускорение -- векторная величина, показывающая, насколько изменяется вектор скорости точки (тела) при её движении за единицу времени.

Угловая скорость -- векторная величина, характеризующая скорость вращения тела.

Угловое ускорение -- величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости.

Задачи кинематики

Главной задачей кинематики является математическое (уравнениями, графиками, таблицами и т. п.) определение положения и характеристик движения точек или тел во времени. Любое движение рассматривается в определённой системе отсчёта. Также кинематика занимается изучением составных движений (движений в двух взаимно перемещающихся системах отсчёта).

17. Векторный способ задания движения точки

Пусть точка М движется по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz. Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный из начала координат О в точку М (рис. 1).

Рис.1

При движении точки М вектор будет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргумента :

.

Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.

Геометрическое место концов вектора , т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.

2. Координатный способ задания движения точки.

Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.1), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т. е. знать зависимости

, , .

Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений движения исключить параметр .

Нетрудно установить зависимость между векторным и координатным способами задания движения.

Разложим вектор на составляющие по осям координат:

где - проекции вектора на оси; - единичные векторы направленные по осям, орты осей.

Так как начало вектора находится в начале координат, то проекции вектора будут равны координатам точки M. Поэтому

19. Используется тогда, когда заранее известна траектория точки. Траекторию в этом случае считают криволинейной осью. На этой оси ( как и на любой координатной ) выделяют начало отсчета и положительное направление отсчета.

Положение точки на траектории определяется ее дуговой координатой s.

Зависимость дуговой координаты от времени,

которая в общем виде записывается в виде s = s(t),

называют уравнением или законом движения точки.

20. Ускорение определяется как производная от вектора скорости:

т.е. a=aф+an. (1.10)

В формуле (1.10)

aф=ф?dV/dt=ф?d2S/dt2, aф=dV/dt=ф?d2S/dt2- касательное ускорение; оно характеризует быстроту изменения величины скорости точки;

an=n?V2/с, an=V2/с - нормальное ускорение точки; характеризует быстроту изменения направления вектора скорости;

с - радиус кривизны траектории в данной точке (например, для окружности:с=R , для прямой линии с=? ).

Полное ускорение точки определяется следующим образом (рисунок 1.5):

21.Ускорение - это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Тангенциальное (касательное) ускорение - это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Нормальное ускорение - это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

22. Равнопеременное движение - это движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.

Отсюда формула скорости равнопеременного движения в любой момент времени:

= 0 + t

Общая формула для определения проекции перемещения:

23. Поступательное движение твердого тела - это движение, при котором любая прямая, связанная с телом, при его движении остается параллельной своему начальному положению.

Примеры поступательного движения: движение педалей велосипеда относительно его рамы, движение поршней в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, движение кабин колеса обозрения относительно Земли

24. Вращамтельное движемние -- вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.

Вращение твердого тела, как целого характеризуется углом , измеряющегося в угловых градусах или радианах, угловой скоростью (измеряется в рад/с) и угловым ускорением (единица измерения - рад/сІ).

25.Вращательное движение с переменной угловой скоростью называется неравномерным (см. ниже § 35). Если же угловое ускорение е=const, то вращательное движение называется равнопеременным. Таким образом, равнопеременное вращение тела - частный случай неравномерного вращательного движения.

Уравнение равнопеременного вращения

(1) ц = ц0 + щ0t + еt2/2

и уравнение, выражающее угловую скорость тела в любой момент времени,



(2) щ = щ0 + еt

представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела. ц = еt2/2;

(6) щ = еt;

(7) ц = щt/2;

(8) ц = щ2/(2е).

27. В физике, при рассмотрении нескольких систем отсчёта (СО) возникает понятие сложного движения -- когда материальная точка движется относительно какой-либо системы отсчёта, а та, в свою очередь, движется относительно другой системы отсчёта.

абсолютное движение -- это движение точки/тела в базовой СО.

относительное движение -- это движение точки/тела относительно подвижной системы отсчёта.

переносное движение -- это движение подвижной системы отсчета относительно базовой системы отсчета.

[2] Также вводятся понятия соответствующих скоростей и ускорений. Например, переносная скорость -- это скорость точки, обусловленная движением подвижной системы отсчёта относительно абсолютной. Другими словами, это скорость точки подвижной системы отсчёта, в данный момент времени совпадающей с материальной точкой.

28. сложение скоростей при сложном движении точки. представляет собой математическую запись теоремы о сложении скоростей в сложном движении: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей. Модуль определяем по теореме косинусов



29. Абсолютное ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме ее переносного, относительного и поворотного ускорений. Переносное ускорение - вычисляется, как если бы точка М покоилась по отношению подвижной системы осей (x1, y1, z1 = const) и перемещалась вместе с ними по отношению к неподвижной системе;

- вычисляется, как если бы координаты x1, y1, z1 менялись, а векторы были постоянны.

Последнее слагаемое называют п о в о р о т н ы м ускорением или ускорением Кориолиса - по имени французского ученого Гюстава Кориолиса (1792-1843).

, используя формулы Пуассона

; ; , получим

итак

(1.87)

Формула абсолютного ускорения точки в сложном движении принимает следующий вид

30. Аксиомы динамики. Ускорение а, сообщаемое материальной точке приложенной к ней силой F, имеет направление силы и по значению пропорционально ей. Аксиому независимости действия сил, устанавливающую, что при действии на материальную точку нескольких сил ускорение, получаемое точкой, будет таким же, как при действии одной силы, равной геометрической сумме этих сил.

Прямая задача динамики заключается в том, чтобы по заданному движению материальной точки определить силы, действующие на нее. Для ее решения прежде всего необходимо определить ускорение точки из условий кинематики. Определив ускорение точки, нужно затем воспользоваться основным законом динамики и найти действующую силу. Если на точку действует несколько сил и неизвестны лишь некоторые из них, то для их определения приходится использовать аксиому независимости действия сил.

Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по заданным силам определить движение точки. Здесь также приходится использовать основной закон динамики. Из этого закона ускорение определяется через действующую силу и заданную массу точки.

31. Силы, действующие на тело, можно классифицировать по различным признакам

Они могут быть внешними и внутренними. Внешние - это силы, которые прикладываются к телу за счет других тел. Внешние силы, распределенные по всему объему тела или его части, называют объемными или массовыми. Внешние силы, приложенные по поверхности, называют поверхностными.

Внутренними силами называют силы взаимодействия между частями твердого тела. Внешние силы вызывают деформации тел, что приводит к возникновению уже внутренних сил.

Свойство 1. Главный вектор всех внутренних сил системы в любой момент времени равен 0.

Свойство 2. Главный момент всех внутренних сил системы (относительно всякого центра 0) в любой момент времени равен 0.

32. Понятие количества движения точки и системы

Иммпульс (Количество движения) -- векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этого тела на его скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:. Согласно Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе». Иммпульс симлы -- это векторная физическая величина, равная произведению силы на время её действия, мера воздействия силы на тело за данный промежуток времени (в поступательном движении).

33. Теорема об изменении количества движения материальной точки

(в дифференциальной форме): Производная за временем от количества движения материальной точки равняется геометрической сумме действующих на точки сил

(в интегральной форме): Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за тот же промежуток времени.

Теорема об изменении количества движения механической системы

(в дифференциальной форме): Производная по времени от количества движения системы равняется геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

(в интегральной форме): Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов, действующих на систему внешних сил, за тот же промежуток времени.

Теорема позволяет исключить из рассмотрения заведомо неизвестные внутренние силы.

Теорема об изменении количества движения механической системы и теорема о движении центра масс являются двумя разными формами одной теоремы.

34. Теорема об изменении кинетического момента системы относительно неподвижной оси

Формулировка теоремы: производная по времени от кинетического момента системы относительно неподвижной оси равна сумме моментов всех внешних сил относительно этой оси, т. е.

.

35. Кинетический момент твердого тела относительно неподвижного центра можно определить как сумму двух составляющих: первая из них характеризует поступательную часть движения тела вместе с его центром масс, вторая - движение системы вокруг центра масс:

Если тело совершает поступательное движение, то вторая составляющая равна нулю

.

Наиболее просто вычисляется кинетической момент твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси

,

где - момент инерции тела относительно оси вращения.

36. Момент инерции -- скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

37. Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

38. изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении. При прямолинейном движении одной материальной точки и постоянном значении приложенной к ней силы работа (этой силы) равна произведению величины проекции вектора силы на направление движения и величины совершённого перемещения[3]:

статика кинетическая движение сила

39. Кинетическая энергия системы - скалярная величина Т, равная арифметической сумме кинетической энергий всех точек системы: .Теорема об изменении кинетической энергии системы: в дифференциальной форме: dT = , , - элементарные работы, действующих на точку внешних и внутренних сил, в конечной форме:

Т2 - Т1= .

40. В каждый момент движения материальной точки активные силы, реакции связей и сила инерции образуют уравновешенную систему сил.

Если к активным силам (внешним и внутренним) и реакциям связей (внешних и внутренних), действующим на каждую материальную точку системы, добавить силу инерции точки, то в любое мгновение времени полученная система сил будет уравновешенной.

Размещено на www.allbest.