Расчет металлического баллона давления с кольцом

ВВЕДЕНИЕ

Полимерные композиционные материалы на основе высокопрочных и высокомодульных волокон различной структуры нашли широкое применение в тех областях техники, где требуются высокие прочность и жесткость при малом весе конструкции. Без таких материалов невозможно развитие современной авиационной и ракетно-космической техники, создание совершенных конструкций, удовлетворяющих определенному сочетанию эксплуатационных свойств, воспринимающих механические и тепловые нагрузки самых сложных конфигураций.

Одним из распространенных типов конструкций из композиционных материалов является баллон давления, представляющий в большинстве случаев цилиндрическую оболочку с днищами специальной геометрической и конструкционной формы. Такие изделия могут использоваться как корпуса ракетных двигателей твердого топлива, резервуары для хранения активных и криогенных жидкостей, т.е. как конструкции, работающие на высоких внутренних давлениях при осесимметричной внешней нагрузке.

Расчет таких изделий базируется на безмоментной теории тонких оболочек и вытекающих из нее расчетных формулах, учитывающих специфические особенности данной конструкции и условия ее закрепления. В данной работе будет выполнен расчет металлического баллона давления с кольцом, подкрепленного кольцевыми слоями композиционного материала.

1. Основные уравнения теории упругих оболочек

1.1 Некоторые сведения из теории поверхностей

Введём определения некоторых понятий, которые будут встречаться в теории упругих оболочек.

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми (толщина оболочки) мало по сравнению с прочими размерами тела.

Срединная поверхность - поверхность, равноотстоящая от наружной и внутренней поверхности оболочки.

Граничный контур - линия пересечения срединной поверхности с боковыми поверхностями оболочки.

Нормальное сечение. Проведем в некоторой точке М произвольной поверхности (рис. 1) нормаль n. Нормальным сечением в некоторой точке называется сечение плоскостью, содержащей нормаль к поверхности в данной точке. Сечение это есть некоторая кривая линия на срединной поверхности. В любой точке М существует два нормальных (ортогональных) направления, называемых главными (1, 2 на рис.2). Они дают линии главных кривизн. Если точка М1 > М, то нормали к ним пересекутся в точке О1, называемой центром кривизны главного нормального сечения поверхности в точке М. Расстояние О1М дает R1 - главный радиус кривизны поверхности в точке М вдоль линии 1. Величина, обратная этому радиусу, 1/R1 определяет главную кривизну поверхности в этой точке. Аналогично для второй линии: R2 и 1/ R2.

Рисунок 2 - Нормальные сечения поверхности

Положение точки на поверхности определяется двумя характерными параметрами (рис.3) б и в, в зависимости от которых будем иметь соответствующую систему координат.

Уравнение поверхности в декартовой системе координат может быть записано или в параметрической форме

x=x(б,в), y=y(б,в), z=z(б,в), (1.1)

или одним векторным уравнением по положению радиуса вектора:

(1.2)

где - орты.

Рисунок 3 - Представление поверхности в декартовой системе координат

Линейный элемент dS - бесконечно малое расстояние между двумя точками M и N по поверхности (рис.4). где dS1 и dS2 - линейные приращения, соответствующие приращениям криволинейных координат б и в.

Рис.4 - Линейный элемент на поверхности

Так как dS1 и dS2 >0, то они пропорциональны дифференциалам независимых переменных, т.е.

где А и В - некоторые коэффициенты искажения, преобразующие приращения криволинейных координат в линейные отрезки. Тогда

(1.3)

Уравнение (1.3) называется первой квадратичной формой поверхности в ортогональных координатах б и в. А и В - коэффициенты этой формы.

Линейный элемент поверхности можно представить как приращение вектора от точки М к точке N.

Возведя это уравнение в квадрат, получим:

(1.4)

Из выражений (1.3) и (1.4) видно, что тогда получаем уравнения для их определения:

(1.5)

Пусть срединная поверхность образована вращением произвольной кривой относительно оси (рис.5).

Рисунок 5 - Поверхность, образованная вращением кривой r=f(z) вокруг оси OZ.

а и б - геометрические представления для поверхности вращения

В этом случае меридианы и параллели - главные линии кривизны поверхности, принимаемые за координаты. Основные параметры: б=z - расстояние по вертикали, в=и - угол между двумя вертикальными плоскостями через OZ. Каждому z=const соответствует некоторая параллель, каждому и=const - меридиан (рис.5.а). Их пересечение определит положение точки М. Система координат (z, и,r) - цилиндрическая. В случае сферической системы (для той же оболочки) используются два параметра: угол ц, определяющий параллель, и угол и, определяющий положение меридиана (рис.5.б). Определим значения коэффициентов А и В квадратичной формы для произвольной оболочки вращения. Рассмотрим элемент поверхности, выделенный двумя параллельными плоскостями, отстоящими на расстоянии dz друг от друга, и двумя меридиональными плоскостями, угол между которыми равен dи. Из рис.5.а видно, что dS2=rdи, из рис.5.б следует, что

но тогда

Угол ц определяет положение нормали в каждой точке поверхности, т.е.

Следовательно,

т.е. (1.6)

В цилиндрической системе координат оболочку можно описать так:

x=r(z)Cosи; y=r(z)Sinи; z=z.

В сферической системе координат коэффициенты квадратичной формы

(1.7)

На рис.5.б О1М1=R1 - радиус кривизны меридиана оболочки, О2М=R2 - радиус кривизны вдоль параллельного круга. Можно выразить А и В через эти величины: А=R1, B=R2Sinц=r.

1.2 Основные гипотезы теории оболочек

Для теории оболочек используются гипотезы Кирхгофа-Лява.

1. Прямолинейный элемент, перпендикулярный к срединной поверхности до деформации, остается прямым и перпендикулярным деформированной срединной поверхности и не изменяет своей длины.

2. Нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с прочими напряжениями.

1.3 Уравнения равновесия

Рассмотрим равновесие элемента оболочки произвольной формы, заданной в системе координат б, в, z (рис.5). Внешняя нагрузка на оболочку будет произвольной, непрерывно распределенной по поверхности оболочки. Проекции нагрузки на направления x, y, z будут равны p1, p2 и p3 (p1 и p2 совпадают с касательными к б и в линиям).

Обозначим через у1 нормальные напряжения на грани б=const, а через у2 - нормальные напряжения на грани в=const, фбв = фвб - касательные напряжения на гранях в=const и б=const, фzб и фzв - нормальные напряжения по нормали к оболочке. На уровне срединной поверхности длины сторон элемента равны Adб и Вdв.

Рисунок 6 - Элемент нагруженной оболочки произвольной формы

Главные радиусы в окрестности точки О равны R1 и R2. Длину стороны се элемента, отстоящего на z от срединной поверхности можно получить (см.рис.6) в следующем виде:

Напряжения на гранях сведутся к статическим эквивалентным равнодействующим усилиям: силам и моментам (рис.6). Суммируя нормальные напряжения уб, ув и касательные напряжения фбв = фвб по площадям соответствующих граней, получим соответствующие усилия:

(1.8)

Nб - нормальное усилие на грани б=const на единицу длины сечения оболочки.

Аналогично для другой грани элемента оболочки:

(1.9)

Аналогично найдем выражения для моментов. На базе линейного распределения напряжений уб, ув по высоте сечения оболочки и гипотезы о прямых нормалях имеем:

(1.10)

Положительные направления моментов показаны на рис.7.

Рисунок 7 - Положительные направления усилий, действующих в элементе нагруженной оболочки

Суммируя по высоте сечения соответствующие касательные напряжения, определим поперечные силы:

(1.11)

Направления этих усилий совпадают с напряжениями.

Как следует из уравнений (1.9) и (1.10) сдвигающие силы Nбв и Nвб и крутящие моменты в двух взаимно перпендикулярных сечениях неодинаковы, так как R1?R2. Только в случае сферической оболочки, когда R1=R2, условия равенства усилий имеют место. Однако влияние членов на величину усилий несущественно, так как зачастую z<<R, поэтому этими добавками можно пренебречь и получить, что

Nбв = Nвб = N и Mбв = Mвб = M. (1.12)

Установленные в уравнениях (8)-(11) усилия являются компонентами полного моментного напряженного состояния.

Уравнения равновесия получаются из рассмотрения элемента (dб, dв) оболочки с учетом условий равновесия, как это делалось ранее в теории тонких пластин:

(1.13)

В эти уравнения входят восемь неизвестных Nб, Nв, N, Mб, Mв, Qб, Qв и M.

1.4 Геометрические уравнения теории оболочек

Необходимо связать геометрические параметры: перемещения и деформации. Для этого рассматривается конечный элемент трехмерного тела, а затем (как и в случае тонких пластин) на базе гипотез проводится аналогия между U, V, W и еб ев ег

Полная деформация:

е=ебl2 + евm2 + егn2 + гбв lm + гвгmn +ггбnl, (1.14)

где l=Cos(dS,x), m=Cos(dS,y), n=Cos(dS,z), а

Здесь А, В и С - коэффициенты искажения, преобразующие криволинейные отрезки координатных линий в линейные. Или в сокращенной форме:

еб = еб0 +zчб; ев = ев0 +zчв; гбв = г0 ч, (1.15)

где задействованы линейные и угловые деформации срединной поверхности оболочки, выражения для которых приведены ниже:

Смысл полученных выражений: изменения размеров элемента срединной поверхности оболочки определяются системой уравнений (1.16), т.е. относительными удлинениями еб0 и ев0, а также относительным сдвигом г0. Но этих величин мало для определения деформации всего элемента, так как он может получить искривления. Эти искривления характеризуются изменением кривизны, как в направлении б (чб), так и в направлении в (чв), а также “кручением” (ч).

1.5 Физические уравнения общей теории оболочек

В результате использования статической гипотезы, когда напряженное состояние оболочки определяется только нормальными напряжениями у1,у2 и сдвиговыми напряжениями ф12, из объединенного закона Гука имеем:

(1.17)

Полученные в (17) напряжения связаны с усилиями:

В результате физические соотношения, связывающие усилия и деформации, будут иметь вид:

(1.18)

где е - деформации, ч - кривизны и кручение, С - мембранные жесткости, К- смешанные жесткости, D - изгибные жесткости оболочки.

Система уравнений образует физические уравнения общей теории упругих оболочек, а полученные 19 уравнений включают 19 неизвестных, т.е. три усилия N, три момента M, две перерезывающие силы Q, три деформации е, две кривизны и одно кручение ч, два угла поворота и, три перемещения U, V, W.

1.6 Граничные условия в общей теории оболочек

Для определения произвольных постоянных, содержащихся в общем интеграле дифференциальных уравнений теории упругих оболочек, используются граничные условия, т.е. значения расчетных величин в зависимости от способа закрепления краев оболочки. Рассмотрим наиболее распространенные способы их закрепления.

Жестко заделанный край - напряженное состояние на крае б=const (аналогично на крае в=const) определяется четырьмя условиями: прогибы и перемещения отсутствуют (U=0, V=0, W=0), а также углы поворота плоскости сечения .

Свободный край - напряженное состояние на крае б=const (аналогично на крае в=const) определяется четырьмя условиями:

Nб=0, Mб=0,

Здесь и - погонные обобщенные перерезывающие и сдвигающие силы;

Шарнирно опертый край (например, по линии б=const) - W=0, U=0, Mб=0, V=0.

Свободное опирание (например, по линии в=const) - W=0, Mв=0, U=0, Nв=0;

Шарнирно опертый край, имеющий возможность свободно смещаться в касательной плоскости - W=0, Mв=0, Nв=0, N=0.

2. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

2.1 Уравнения, описывающие оболочку

Рассмотрим цилиндрическую оболочку (рис.8) и элемент abcd ее поверхности, образованный пересечением двух меридианов (образующих цилиндра, определяемых центральным углом dи) и двух параллельных окружностей, разделенных расстоянием dx. Используем цилиндрическую систему координат (x,и). Квадрат линейного элемента dS поверхности равен:

DS2=dx2+R2dи2. (2.1)

Следовательно, коэффициенты квадратичной формы A=1, B=R=const, а R1=? и R2=R.

Рисунок 8 - Цилиндрическая оболочка (а) и представление ее безмоментного состояния

Уравнения безмоментной теории для цилиндрической оболочки примут вид:

 (2.2)

Кольцевые усилия Nв зависят лишь от величины нормальной составляющей нагрузки. Подставим третье уравнение системы (2.2) во второе и определим сдвигающее усилие N.

теория оболочка деформация цилиндрический

. (2.3)

Определив N, находим интегрированием Nб из первого уравнения системы (2.2).

. (2.4)

Геометрические уравнения цилиндрической оболочки при уже отмеченных условиях, определяющих ее параметры и замене координат б на x и в на и.

(2.5)

Компоненты произвольной внешней нагрузки могут быть представлены в виде разложений в ряды Фурье:

(2.6)

Здесь n принимает значения 0, 1, 2, 3…, p1n, p2n и p3n - известные коэффициенты разложения функции, зависящие только от х. При n=0 нагрузка имеет осесимметричный характер.

В дальнейшем будем рассматривать лишь один какой-нибудь член ряда. Для n-го члена можно записать:

p1=p1nCosnи, p2=p2nSinnи, p3=p3nCosnи. (2.7)

Непосредственно из третьего уравнения системы (2.2) получаем:

Nв= p3nCosnи R. (2.8)

Так как , то из (2.2) определим сдвигающую нагрузку:

(2.9)

Найдем производную

и подставим ее в уравнение (2.4).

 (2.10)

В частном случае, когда p1n=0, p2n=const и p3n=const можно легко провести интегрирование уравнений (2.9) и (2.10), а задав C1(и)=D1Sin и и C2(и)=D2Cos и, где D1 и D2 - произвольные постоянные, можно получить выражение для усилий:

(2.11)

В общем случае N, Nб, функции C1(и) и С2(и), а в частном случае D1 и D2 (2.11) определяются из граничных условий.

Определим перемещения оболочки при нагрузке, заданной в частном случае (p1n=0, p2n=const, p3n=const). Имеем:

(2.12)

Для нахождения относительных деформаций в выбранной системе координат при рассмотрении деформации выделенного элемента получим выражение для продольной относительной деформации:

. (2.13)

Если в этом выражении ограничиться только первым линейным членом, то

. (2.14)

Компонент деформации в окружном направлении определится как

. (2.15)

Из закона Гука для двухосного напряженного состояния следует, что

.

Тогда

. (2.16)

2.2 Осесимметричная деформация ортотропной слоистой цилиндрической оболочки

Для системы относительных поверхностных координат вдоль образующей и в кольцевом направлении имеем б = x/R и в=y/R. Тогда выражение для первой квадратичной формы примет следующий вид:

,

где коэффициенты первой квадратичной формы являются постоянными и равны

A=B=R , при этом R1=?, а R2=R.

Для осесимметричного нагружения имеем следующие перемещения в оболочке:

U=U(б), W=W(б), V=0.

При компонентах внешней нагрузки qб=qв=0 основные соотношения теории цилиндрической безмоментной оболочки имеют вид:

Геометрические соотношения:

(2.17)

Физические соотношения:

(2.18)

Уравнения равновесия:

(2.19)

Итак, полученная система из шести уравнений имеет шесть неизвестных:

Решение полученной системы уравнений ведется в перемещениях. Из первых двух уравнений равновесия (2.20) определяются Nб и Qб и подставляются в третье. Далее в полученные уравнения подставляются в оставшиеся выражения, в результате чего получаются уравнения равновесия в перемещениях:

Исключив из них перемещение U, т.е. из (2.21) находим

. (2.23)

Подставим (2.22) в (2.23) и с учетом того, что С12=С21, а также смешанные жесткости К12=К21, получаем уравнение относительно прогибов W:

Или

, (2.24)

где

Полученное уравнение (2.24) представляет собой основное уравнение для осесимметрично нагруженной ортотропной оболочки.

В случае однородной по толщине (однослойной) оболочки уравнение для прогибов будет иметь вид:

, (2.25)

где

3. РАСЧЁТ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

3.1 Задание на проектирование

Дан металлический баллон давления с кольцом, усиленный по цилиндрической части кольцевыми слоями однонаправленного композиционного материала (рис.1).

Данные для расчёта представлены в таблице 1.

Таблица 1 - Данные для выполнения расчетного задания

Задачи:

Построить распределение прогиба по координате б.

Построить распределение меридиональных и кольцевых напряжений на внутренней поверхности металлического слоя по координате б.

Построить распределение меридиональных и кольцевых напряжений на наружной поверхности композитного слоя по координате б.

Найти напряжения в кольце .

3.2 Решение

1.Характеристика материала

Епр = Е/(1 - 2)

Епр =230769,2308 МПа.

12 = Е2•21/Е1

12 =0,0157

Е1пр = Е1/(1-12•21)

Е1пр = 72260,1466 МПа.

Е2пр = Е2/(1 - 21•12)

Е2пр = 4917,7044МПа.

2.Жесткость оболочки

С11 = Епр•h1 + Е2пр•h2

С11 = 584299,6336 МПа•мм

С12 = Епр•h1• + Е2пр•h2•21

С12 = 174773,5311 МПа•мм

С22 = Епр•h1 + Е1пр•h2

С22 = 685313,2968 МПа•мм

К11 =0,5•[Епр•h12+E2пр•h2(2•h1+h2)]

К11 = 745127,6552 МПа•мм2

К12 =0,5·(Епр·h12·+Е2пр·h22·21)

К12 = 217618,6099 МПа•мм2

D11=1/3·{Епр·h13+Е2пр·h2·(3·h12+3·h1·h2+h22)}

D11= 1281221,0607 МПа•мм3

3.Основное уравнение

W''''+2·a2·W''+b4·W =T

где кофициенты уравнения:

а2=R·(K11·C12- K12·C11)/(D11·C11-K112)

а2= 3,9737

b4=R2·(C11·C22-C122)/(D11·C11- K112)

b4= 119531,7764

T=(P·R4·C11-P·(R/2)·R3·C12)/(D11· C11- K112)

T= 100364,4307

4.Общее решение уравнения

Общее решение однородного уравнения:

Wодн=С1 ·F1()+С2 ·F2()+С3 ·F3()+С4 ·F4(),

Где:

F1=e-k1·cos(k2),

F2 =e-k1 ·sin(k2),

F3 = ek1·cos(k2),

F4 = ek1 ·sin(k2).

Коэффициенты k можно найти:

k1 =((b2-a2)/2)Ѕ

k1 = 13,0721

k2 =((b2+a2)/2)Ѕ

k2 = 13,2232

Считая баллон достаточно длинным, можно положить:

С3 =С4 =0

Тогда, общее решение будет иметь вид:

W= С1F1 + С2F2 + Wr

W= e-k1·(С1 ·cos(k2)+ С2 ·sin(k2))+Wr

Частное решение:

Wr =T/b4

Wr = 0,8396

Для определения постоянных С1 и С2 необходимо рассмотреть граничные условия:

1) W(=0)=W

2) V=W'/R=0 отсюда следует:

W'=0;

W'= С1 F1' + С2 F2',

но

F1(0)=1;

F2(0)=0;

Следовательно:

С2= С1 k1 / k2

5.Прогиб кольца W

2Fk=P2Rb+2Q02R

k =R(Pb+2Q0)/Fk

Из закона Гука следует

k =Ekеk

W=R еk =Rk /Ek =R2 (Pb+2Q0)/ FkEk

Перерезывающая сила определяется по защемленному краю оболочки:

Q0 = Q(=0) = -W'''(0)(D11C11 -k2)/R3C11

Q0 = -2k1 (k22 + k12)( D11C11-k2)/ R3C11

Из граничных условий:

W(0)=W= 2R2Q0 / FkEk;

W(0)= С1+Wr

Получается:

С1 + Wr = -4k1(k22 + k12)( D11C11 - К11 2)/С11FkEkR

С1 = -Wr /{1+4k1(k22 + k12)( D11C11 -К11 2)/С11FkEkR}

С1 = -0,4771

С2=С1k1/ k2

С2= -0,4717

Таким образом:

W= -0,4771·F1 - 0,4717·F2 + 0,8396

Для определения зависимости W=W() необходимо знать значения . Результаты определения сведены в таблицу 2 построчно. В таблице 2 приведены все необходимые расчеты для построения распределения напряжений вдоль координаты .

(г=0) =E(U'/R+мW/R)

U'=PR2/ C11 - C12 W/ C11 + K11 W''/RC11

(г=h1+h2) =E2{U'/R - W''(h1+ h2)/R2 + м21W/R}

в(г=0) =E(W/R+мU'/R)

в(г=h1+h2) =E1{W/R+м12(U'/R - W''(h1+ h2)/R2)}

где:

U'= 1,0697 - 0,2991·W + 0,0051·W''

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Колкунов И.В. Основы расчета упругих оболочек: Учеб.пособие для строит.спец.вузов.- 3-е изд., перераб. и доп. М.:Высшая школа, 1987.-256 с.

2. Композиционные материалы: Справочник/В.В.Васильев, В.Д.Протасов, В.В.Болотин и др.; Под общ.ред.В.В.Васильева, Ю.М.Тарнапольского. - М.Машиностроение, 1990. - 512 с.

3. Буланов И.М., Воробей В.В. Технология ракетных и аэрокосмических конструкций из композиционных материалов: Учеб.для вузов. М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана, 1998.- 516с.

4. Маркин В.Б. Строительная механика композитных конструкций: Учебное пособие для вузов. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2004. - 180 с.

5. Маркин В.Б. Механика тонкостенных конструкций и изделий из композиционных материалов: Учебное пособие. - Барнаул, 2005. -46.с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Рисунок А - Подкрепленный баллон давления

Размещено на Allbest.ru