Динамика материальной точки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Динамика материальной точки

1. Динамика. Понятие силы и массы. Первый закон Ньютона

При движении тела по траектории его скорость может изменяться по модулю и направлению. Это означает, что тело двигается с некоторым ускорением. В кинематике не ставится вопрос о физической причине, вызвавшей ускорение движения тела. Как показывает опыт, любое изменение скорости тела возникает под влиянием других тел. Динамика рассматривает действие одних тел на другие как причину, определяющую характер движения тел. Взаимодействием тел принято называть взаимное влияние тел на движение каждого из них.

Раздел механики, изучающий законы взаимодействия тел, называется динамикой.

Законы динамики были открыты великим ученым И. Ньютоном в 1687 году. Три закона динамики, сформулированные Ньютоном, лежат в основе так называемой классической механики. Законы Ньютона следует рассматривать как обобщение опытных фактов. Выводы классической механики справедливы только при движении тел с малыми скоростями, значительно меньшими скорости света c.

Самой простой механической системой является изолированное тело, на которое не действуют никакие тела. Так как движение и покой относительны, в различных системах отсчета движение изолированного тела будет разным. В одной системе отсчета тело может находиться в покое или двигаться с постоянной скоростью, в другой системе это же тело может двигаться с ускорением.

Первый закон Ньютона (или закон инерции) из всего многообразия систем отсчета выделяет класс так называемых инерциальных систем.

· Инерциальной называется та система отсчёта, относительно которой любая, изолированная от внешних воздействий, материальная точка либо покоится, либо сохраняет состояние равномерного прямолинейного движения.

· Первый закон Ньютона гласит:

Инерциальные системы отсчёта существуют.

По сути, этот закон постулирует инерцию тел, что сегодня кажется очевидным. Но это было далеко не так на заре исследования природы. Аристотель вот утверждал, что причиной всякого движения является сила, т.е. движения по инерции для него не существовало.

2. Второй закон Ньютона

§ Необходимо выбрать инерциальную систему отсчета (существование такой системы гарантируется первым законом Ньютона).

§ Если в такой системе отсчета тело движется с ускорением, оно участвует во взаимодействиях.

§ Опыт показывает, что независимо от природы взаимодействий их результат (ускоренное движения тела) может быть скомпенсирован (тело может быть приведено в состояние покоя) при помощи воздействия определенным образом деформированного тела (пружины).

§ Опыт показывает, что существует единственный способ деформации тела (величина и направление), необходимый для компенсации взаимодействий.

§ В качестве величины вектора силы, по определению, может быть принята величина деформации эталонной пружины, а в качестве ее направления - направление деформации, необходимой для компенсации взаимодействия.

Связь между силой и ускорением тела устанавливается на основании опыта. Подействуем с помощью растянутой пружины сначала на одну тележку и вычислим по пути s _1, пройденному за время t, модуль а ускорения её движения.

Затем ту же самую пружину прикрепим к двум тележкам, т.е. используем тело с массой в два раза большей, чем в первом опыте.

Второй опыт показывает, что под действием той же силы тележки за то же время t проходят в два раза меньший путь s _2, чем в первом опыте, т.е. движутся с вдвое меньшим ускорением. А это означает, что при действии одной и той же силы на разные тела оказывается одинаковым произведение массы тела на его ускорение. На основании опытов, подобных описанному выше Ньютон сформулировал один из основных законов механики: сила, действующая на тело равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:

Из второго закона Ньютона следует, что для определения ускорения тела нужно знать действующую на тело силу и массу тела: Второй закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчёта.

Сложение сил. При одновременном действии на одно тело нескольких тел тело движется с ускорением, являющимся векторной суммой ускорений, которые возникли под действием каждого тела в отдельности. Действующие на тело силы, приложенные к одной точке тела, складываются по правилу сложения векторов. Векторная сумма всех одновременно действующих на тело сил называется равнодействующей.

После введения понятия силы становится возможной следующая формулировка второго закона Ньютона:

Опыт показывает, что ускорение тела, участвующего во взаимодействиях, пропорционально приложенной к нему результирующей силы.

Второй закон Ньютона - дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этого ускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как мерило проявления инерции материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО).

Второй закон Ньютона утверждает, что

В инерциальной системе отсчета ускорение, которое получает материальная точка, прямо пропорционально приложенной к ней силе и обратно пропорционально её массе.

При подходящем выборе единиц измерения, этот закон можно записать в виде формулы:

где  - ускорение материальной точки;

 - сила, приложенная к материальной точке;

m - масса материальной точки.

Или в более известном виде:

В случае, когда масса материальной точки меняется со временем, второй закон Ньютона формулируется с использованием понятия импульс:

В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на неё силе.

где  - импульс точки,

где  - скорость точки;

t - время;

 - производная импульса по времени.

Когда на тело действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции второй закон Ньютона записывается:

или

3. Третий закон Ньютона

Этот закон объясняет, что происходит с двумя взаимодействующими телами. Возьмём для примера замкнутую систему, состоящую из двух тел. Первое тело может действовать на второе с некоторой силой , а второе - на первое с силой . Как соотносятся силы? Третий закон Ньютона утверждает: сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия. Подчеркнём, что эти силы приложены к разным телам, а потому вовсе не компенсируются.

Тела действуют друг на друга с силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль одной и той же прямой, равными по модулю и противоположными по направлению:

4. Законы Ньютона и Лагранжева механика

Законы Ньютона - не самый глубокий уровень формулирования классической механики. В рамках Лагранжевой механики имеется одна единственная формула (запись механического действия) и один единственный постулат (тела движутся так, чтобы действие было минимальным), и из этого можно вывести все законы Ньютона. Более того, в рамках Лагранжева формализма можно легко рассмотреть гипотетические ситуации, в которых действие имеет какой-либо другой вид. При этом уравнения движения станут уже непохожими на законы Ньютона, но сама классическая механика будет по-прежнему применима.

5. Решение уравнений движения

Уравнение (то есть второй закон Ньютона) является дифференциальным уравнением: ускорение есть вторая производная от координаты по времени. Это значит, что эволюцию механической системы во времени можно однозначно определить, если задать её начальные координаты и начальные скорости.

Заключение

Из законов Ньютона сразу же следуют некоторые интересные выводы. Так, третий закон Ньютона говорит, что, как бы тела ни взаимодействовали, они не могут изменить свой суммарный импульс: возникает закон сохранения импульса. Далее, надо потребовать, чтобы потенциал взаимодействия двух тел зависел только от модуля разности координат этих тел U(| r₁ ? r₂ |). Тогда возникает закон сохранения суммарной механической энергии взаимодействующих тел:

Законы Ньютона являются основными законами механики. Из них могут быть выведены все остальные законы механики.

Второй закон Ньютона действителен только для скоростей, много меньших скорости света и в инерциальных системах отсчёта. Для скоростей, приближенных к скорости света, используются законы теории относительности.

Нельзя рассматривать частный случай (при ) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.

Заметим, что если бы уравнения, описывающие наш мир, были бы уравнениями первого порядка, то из нашего мира исчезли бы такие явления, как инерция, колебания, волны.

Законы Ньютона, строго говоря, справедливы только в инерциальных системах отсчета. Если мы честно запишем уравнение движения тела в неинерциальной системе отсчета, то оно будет по виду отличаться от второго закона Ньютона. Однако часто, для упрощения рассмотрения, вводят некую фиктивную «силу инерции», и тогда эти уравнения движения переписываются в виде, очень похожем на второй закон Ньютона. Математически здесь всё корректно (правильно), но с точки зрения физики новую фиктивную силу нельзя рассматривать как нечто реальное, как результат некоторого реального взаимодействия. Ещё раз подчеркнём: «сила инерции» - это лишь удобная параметризация того, как отличаются законы движения в инерциальной и неинерциальной системах отсчета.

ньютон закон маятник ускорение

Размещено на Allbest.ru