Переходные процессы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования республики Беларусь

Учреждение образования

Брестский государственный технический университет

Электромеханический факультет

Кафедра АТП и П

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

Переходные процессы

Выполнил: студент группы Э-28

Площанский А.В.

Проверил: Панасюк И.М.

Брест 2004

Задание:

Для электрической цепи (рис. 1), классическим методом определить ток переходного процесса в ветви с индуктивностью i_L(t) и переходное напряжение на конденсаторе u_C(t) и построить графики найденных зависимостей при следующих условиях:

· в цепи действует синусоидальная э.д.с. - е(t)=100sin(10⁴t), В;

· переходной процесс возникает вследствие размыкания контакта К.

Параметры элементов цепи:

R₁=100 Ом; R₂=19 Ом; R₃=26 Ом;

L=33 мГн; С=0,53 мкФ.

Рис. 1. Исходная электрическая схема

Решение:

1. Задаемся условно положительными направлениями токов в ветвях цепи

2. Определяем начальные независимые условия - ток в индуктивности i_L(0)₊ и напряжение на емкости u_C(0)₊ в момент времени непосредственно после коммутации, т.е. t=0₊ .

В докоммутационной схеме (рис. 2) конденсатор закорочен, следовательно, u_C(0)_-=0, и согласно второму закону коммутации

u_C(0)₊= u_C(0)_-=0.

Рис. 2. Докоммутационная схема.

Для определения тока i_L(0)_-=i₃(0)_- в докоммутационной цепи применим законы Кирхгофа:

I1m_-I2m_-I3m_=0

I1m_·Z1+I2m_·Z2=Em

I2m_·Z2-I3m_·Z3=0

Рассчитаем сопротивления ветвей

Z1=R1=100 Ом

Z2=R2=19 Ом

Z3=R3+j·?·L=26+j·10⁴·0,033=26+j330 Ом

Подставим значения сопротивлений в систему:

I1m_-I2m_-I3m_=0

I1m_·100+I2m_·19=100

I2m_·19-I3m_·(26+j330)=0

Вычислим с помощью Mathematica токи ветвей:

I1m_=0,8413-j0,007602 A

I2m_=0,8352+j0,04001 A

I3m_=0,006055-j0,04761=0.048e^-j97.248 A

Для мгновенных значений:

i₃(t)_-=0.048sin(10⁴t-97.248) A

тогда i₃(0)_-= i_L(0)_-=0.048sin(-97.248)=-0.0476 A

и согласно первому закону коммутации: i_L(0)_- = i_L(0)₊ = -0,0476 А

3. Определяем установившиеся составляющие (т.е. установившийся ток в индуктивности i_Lуст и установившееся напряжение на емкости u_Cуст).

Рис. 3. Послекоммутационная схема

Применяя законы Кирхгофа для послекоммутационной схемы (рис. 3):

I1m+-I2m+-I3m+=0

I1m+·Z1+I2m+·Z2=Em

I2m+·Z2-I3m+·Z3=0

Рассчитаем сопротивления ветвей

Z1=R1=100 Ом

Z2= R2+j·-1/(?·C)=19+j·-1/(10⁴·0,53·10^-6)=19-j188,719 Ом

Z3=R3+j·?·L=26+j·10⁴·0,033=26+j330 Ом

Подставим значения сопротивлений в систему:

I1m +-I2m+-I3m+=0

I1m +·100+I2m+·(19-j188.719)=100

I2m +·(19-j188.719)-I3m+·(26+j330)=0

Вычислим с помощью Mathematica токи ветвей:

I1m+= 0,1095+j0,1849 A

I2m+= 0,1441+j0,4575 A

I3m+= -0,03455-j0,2726=0.275e^-j97.223 A

Для мгновенных значений:

i_Lуст= i_3уст=0.275sin(10⁴t-97.223) A

U_Cm+=I_{2m+ *} 1/j?C = 86.321-j27.189 = 90.502e^-j17.483 B

u_Cуст=90.502sin(10⁴t-17.483) B

контакт ток переходный процесс

4. Определяем свободные составляющие (т.е. свободный ток в индуктивности i_Lсв и свободное напряжение на емкости u_Cсв).

Определим свободную составляющую тока в ветви содержащей индуктивность i_3св:

Запишем выражение комплексного полного сопротивления послекоммутационой цепи относительно зажимов источника э.д.с. Затем делаем замену j на переменную p и приравниваем полученное выражение к 0. Решив уравнение относительно p найдем корни.

z_э=z₁+(z_2*z₃)/( z₂₊z₃)

z_э(jщ)₊= R₁ +

z_э(p)₊= R₁ +

R₁ + = 0

Подставив исходные параметры и решив систему с помощью Mathematica получим: p₁=-12140.7 и p₂=-4986.45.

Т.к. корни характеристического уравнения действительные отрицательные разные, то свободная составляющая тока примет вид:

i_3св=A₁e^p1t+A₂e^p2t = A₁e^-12140,7t+A₂e^-4986,45t

переходной ток i₃(t)= i_3св + i_3уст

i₃(t) = A₁e^-12140,7t+A₂e^-4986,45t + 0.275sin(10⁴t-97.223)

di₃(t)/dt= A₁(-12140.7)e^-12140,7t+A₂(-4986.45)e^-4986,45t + 0.275*10⁴cos(10⁴t-

97.223)

В момент времени t=0

i₃(0) = A₁ + A₂ + 0.275sin(-97.223)

di₃(0)/dt= A₁(-12140.7) +A₂(-4986.45) + 0.275*10⁴cos(-97.223)

Определим di₃(0)/dt , для этого запишем законы Кирхгофа для данной цепи в момент времени t=0₊

i₁(0)₊ - i₂(0)₊- i₃(0)₊ = 0

i₁(0)₊ R₁ + i₃(0)₊ R₃ + L*di₃(0)₊/dt =e(0)

i₂(0)₊ R₂ + u_C(0)₊ - L*di₃(0)₊/dt - i₃(0)₊ R₃=0

Подставим исходные параметры цепи

i₃(0)₊ =-0,0476 А, u_C(0)₊=0 В

i₁(0)₊ - i₂(0)₊ + 0.0476 = 0

100*i₁(0)₊ + 26*(-0.0476) + 0.033*di₃(0)₊/dt =0

19*i₂(0)₊ - 0.033*di₃(0)₊/dt - 26*(-0.0476) =0

Решив с помощью Mathematica получим

di₃(0)₊/dt= 60.533 i₂(0)₊ =0.04 A

Тогда

-0,0476 = A₁ + A₂ + 0.275sin(-97.223)

60.533= A₁(-12140.7) +A₂(-4986.45) + 0.275*10⁴ *cos(-97.223)

Решим систему с помощью Mathematica получим

A₁=-0.2137

A₂=0.4389

а i_3св= -0.2137e^-12140t + 0.4389e^-4986,45t А

Окончательно переходной ток равен:

i₃(t)= 0.275sin(10⁴t-97.223) - 0.2137e^-12140.7t + 0.4389e^-4986,45t A

Графическое изображение тока в ветви с индуктивностью представлено на рис. 4.

Рис. 4 Ток переходного процесса

Определим свободную составляющую напряжения на емкости u_Cсв :

u_Cсв = B₁e^p1t+B₂e^p2t = B₁e^-12140,7t+B₂e^-4986,45t

Тогда переходное напряжение

u_C(t)= u_Cсв + u_Cуст = B₁e^-12140,7t+B₂e^-4986,45t + 90.502sin(10⁴t-17.483)

du_C(t)/dt= B₁(-12140.7)e^-12140,7t+B₂(-4986.45)e^-4986,45t + 90.502*10⁴cos(10⁴t-

17.483)

В момент времени t=0₊ с учетом С*du_C(t)/dt=i₂(t) и i₂(0)₊= 0.04 A

0 = B₁+B₂+ 90.502sin(-17.483)

0.04/(0.53*10^-6) = B₁(-12140.7) + B₂(-4986.45) + 90.502*10⁴cos(-17.483)

B₁= 91.158

B₂= -63.969

u_Cсв = 91.158e^-12140,7t - 63.969e^-4986,45t

Тогда переходное напряжение

u_C(t)= u_Cсв + u_Cуст = 91.158e^-12140,7t - 63.969e^-4986,45t + 90.502sin(10⁴t-17.483)

Графическое изображение переходного напряжения представлено на рис. 5.

Рис. 5. Напряжение переходного процесса

Список использованной литературы.

1. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. - М.: Высшая школа, 1990.

2. Бараш Н.В. Электротехника. - Мн.: Высшая школа, 1977.

3. Атаберков Г.И. Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Линейные электрические цепи. - М.: Энергия, 1978.

Размещено на Allbest.ru