Оптика, квантовая механика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лек.1. Гармонические колебания. Дифференциальные уравнения гармонические колебаний. Энергия гармонических колебаний. Пружинный, математический и физический маятники. Затухающие и вынужденные механические колебания. Резонанс

Механические гармонические колебания.

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и др. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания -- колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2) различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний. Гармонические колебания величины х описываются уравнением типа

, или (1)

где А -- максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, 0 -- круговая (циклическая) частота, , -- начальная фаза колебания в момент времени t=0, (0t+), () -- фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как синус и косинус изменяются в пределах от +1 до -1, то х может принимать значения от +А до -А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение 2, т. е.

откуда

(2)

Величина, обратная периоду колебаний,

, (3)

т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (2) и (3), получим

,

Единица частоты -- герц (Гц): 1 Гц -- частота периодического процесса, при которой за 1 с совершается один цикл процесса.

Первая производная по времени от гармонически колеблющейся величины х есть её скорость:

(4)

т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой и периодом, фаза же скорости опережает фазу смещения на . Здесь - амплитуда скорости.

Вторая производная по времени от гармонически колеблющейся величины х есть её ускорение:

Ускорение изменяется по гармоническому закону с той же циклической частотой и периодом как и смещение, фаза же ускорения опережает фазу смещения на .

Следовательно во времени, когда х=0, приобретает наибольшие значения; когда же х достигает максимального положительного значения, то а приобретает наибольшее отрицательное значение (рис.1).



Рис.1

Из выражения (5) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

(6)

Решением этого уравнения является выражение :, его всегда можно привести к стандартному виду:

, здесь v? .

Энергия гармонических колебаний

Кинетическая и потенциальная энергии гармонических колебаний являются периодическими функциями времени.

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:

 (7)

На колеблющуюся материальную точку массой m с учётом (1), (4) и(5) действует упругая сила равная: . Эта сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону.

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием силы F, равна

Кинетическая и потенциальная энергии материальной точки с амплитудой и циклической частотой ( которая в два раза превышает частоту гармонического колебания) совершая гармонические колебания вокруг средней величины периодически изменяются от 0 до . Wk и Wp колеблются в противофазе,т.е. с разностью фаз и . Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии (Рис.3) и равна:



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(9)

Гармонический осциллятор. Физический, пружинный и математический маятники

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (6).

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются физический, пружинный и математический маятники, колебательный контур в электротехнике.

Физический маятник - это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс С тела.

Если отклонить маятник из положения равновесия на небольшой угол (Рис.3), то по уравнению динамики вращательного движения твердого тела момент возвращающей силы можно записать в виде

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(10)

где l - расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника (плечо возвращающей силы ); знак «минус» обусловлен тем, что направления силы и изменения угла всегда противоположны.

Уравнение (10) можно переписать в виде, идентичном с уравнением (6):

или

 (11)

Из него следует, что при малых отклонениях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой

и периодом

(12)

где - приведенная длина физического маятника.

Точка на продолжении оси ОС, отстоящая от оси подвеса на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника. Применяя теорему Штейнера, получим

то есть всегда больше ОС. Точка подвеса О и центр качаний обладают свойством взаимозаменяемости (взаимности): если ось подвеса перенести в центр качаний, то точка О прежней оси подвеса станет новым центром качаний и период колебаний физического маятника не изменится.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математический маятник - это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, и колеблющаяся в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити.

В положении равновесия маятника сила тяжести и сила натяжения нити уравновешивают друг друга (рис.4, а).

Если отклонить маятник из положения равновесия на небольшой угол , то силы тяжести и натяжения нити окажутся под углом друг к другу и равновесие нарушится (рис.4,б). Математический маятник является предельным случаем физического, вся масса которого сосредоточена в его центре масс, - длина, а - момент инерции материальной точки. Уравнение колебаний:

,

Откуда



Сравнивая с уравнением (6), можно сделать вывод, что колебания математического маятника происходят с циклической частотой

а период его гармонических колебаний

(13)

Таким образом, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

Сравнивая формулы (12) и (13), можно сделать вывод, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то их периоды колебаний одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Пружинный маятник - это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием силы упругости , где k - жесткость пружины. По второму закону Ньютона уравнение движения маятника имеет вид

,

или

Из уравнения (6) следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой

и периодом колебаний

(14)

Формула (14) справедлива в пределах, в которых выполняется закон Гука, то есть когда масса пружины мала по сравнению с массой тела.

Потенциальная энергия пружинного маятника равна:

Затухающие колебания

Затухающие колебания - колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается из-за диссипации энергии в реальной колебательной системе. В механических колебательных системах потери энергии обусловлены трением, сопротивлением среды, в электрических системах - омическими потерями и излучением электромагнитных волн.

Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы , сила трения пропорциональна скорости

где r - коэффициент сопротивления; знак «минус» указывает на противоположные направления силы трения и скорости.

При данных условиях уравнение движения маятника по второму закону Ньютона будет иметь вид

или

(15)

Величина

называется коэффициентом затухания.

Решением уравнения (15) является функция

или

где циклическая частота колебаний маятника

(16)

- где амплитуда затухающих колебаний; - начальная амплитуда. Зависимость при свободных затухающих колебаниях приведена на Рис. 5.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В целом затухание нарушает периодичность процесса, поэтому, строго говоря, к затухающим колебаниям неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то понятием периода можно условно пользоваться для характеристики колебательного процесса. В этом случае период свободных затухающий колебаний с учетом выражения (16) будет равен

где - циклическая частота затухающих колебаний.

Если и - амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающихся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его натуральный логарифм

(17)

называется логарифмическим декрементом затухания, где - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания - постоянная для данной колебательной системы величина. Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Для характеристики колебательной системы пользуются также понятием добротности Q. Добротность колебательной системы - это безразмерная величина, равная произведению на отношение энергии W(t) колебаний в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени от t до t+T, то есть за один условный период затухающих колебаний:

Так как энергия W(t) пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, то

(18)

При малых затуханиях

, тогда

(19)

Добротность пружинного маятника

Вынужденные незатухающие колебания. Резонанс.

Для того чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, необходимо компенсировать в ней потери энергии. Для механических колебаний такая компенсация возможна с помощью периодически действующей внешней вынуждающейся силы, изменяющейся, например, по гармоническому закону

(20)

В частности, уравнение движения пружинного маятника запишется в виде

или

(21)

где - циклическая частота внешнего вынуждающего воздействия. Уравнение (21) называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний.

Т.к. F(t) периодическая функция, то после приложения силы вначале возникает переходный режим вынужденных колебаний. Маятник одновременно участвует в двух колебаниях: . Первая часть этого уравнения соответствует свободным затухающим колебаниям:

, здесь .

Вторая же часть этого уравнения соответствует незатухающим периодическим колебаниям с частотой равной частоте вынуждающей силы F(t).

Через некоторое время свободные колебания прекращаются и переходят в режим установившихся вынужденных колебаний с частотой вынуждающей силы (Рис.6)

Рис.6

Таким образом, решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний записывается в виде

(22)

В общем виде установившиеся вынужденные колебания гармонические:

(23)

где

(24)

 (25)

Первое слагаемое (22) играет существенную роль только в начальной стадии процесса, до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого выражением (24). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой и являются гармоническими (Рис.6).

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты . Из формулы (24) следует, что амплитуда колебаний имеет максимум, который зависит от значения . Чтобы определить частоту, при которой амплитуда А достигает максимума, нужно найти максимум функции (24), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения этой функции. Для этого продифференцируем подкоренное выражение по и приравняем его нулю:

или

Это условие выполняется при и , или (физический смысл имеет только положительное значение). Следовательно, резонансная циклическая частота - частота, при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения:

 (26)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к собственной частоте колебательной системы , называется резонансом. Из выражения (26) следует, что при значение резонансной частоты практически совпадает с .

Подставляя (26) в формулу (24), найдем резонансную амплитуду:

(27)

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от циклической частоты при различных значениях коэффициента затуханий приведена на Рис.7. Приведенная на Рис.7 совокупность кривых называется резонансными кривыми.

Из выражения (27) следует, что при малом затухании резонансная амплитуда

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

где Q - добротность колебательной системы. Таким образом, добротность характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше Арез.

Большой интерес для практики представляют незатухающие колебания в диссипативной системе, поддерживаемые за счет внешнего источника, когда система сама обеспечивает согласованность поступления энергии в такт с ее колебаниями. Системы, генерирующие такие незатухающие колебания, называются автоколебательными.

Основными элементами автоколебательной системы являются (Рис. 8):

1. Источник энергии, за счет которого поддерживаются незатухающие колебания (источник ЭДС или напряжения, потенциальная энергия сжатой пружины и т.п.).

2. Колебательная система, то есть та часть автоколебательной системы, в которой собственно происходят колебания (колебательный контур, маятник или балансир часов и т.п.).

3.Устройство, регулирующее поступление энергии от источника в колебательную систему (клапан).

4. Обратная связь - устройство, с помощью которого колебательная система управляет клапаном.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лек.2. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания. Незатухающие и затухающие электромагнитные колебания

Примером электрической цепи, в которой могут происходить свободные электромагнитные (ЭМ) колебания является колебательный контур, состоящий из конденсатора емкостью С, соединенных с ним последовательно катушки индуктивностью L и резистора сопротивлением R (Рис.1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1

По закону Ома для участка цепи:

, или , (1)

где ; .

Учитывая, что , уравнение (1) для колебаний заряда в дифференциальной форме будет иметь вид:

(2)

Если сопротивление R=0 , то свободные ЭМ- колебания в контуре являются гармоническими. Тогда из уравнения (2) получим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда q в контуре:

(3)

Решением этого уравнения, по аналогии с механическими гармоническими колебаниями, является уравнение:

, (4)

Где заряд q совершает гармонические колебания с амплитудой qт и циклической частотой щ0 , называемой собственной частотой контура: (5) и периодом (6) - формула Томсона.

Сила тока в колебательном контуре равна:

, (7)

где - амплитуда силы тока.

Напряжение на конденсаторе:

, (8)

где - амплитуда напряжения.

Учитывая, что и , амплитуду силы тока можно записать , где величина называется волновым сопротивлением колебательного контура.

Из уравнений (4) и (7) вытекает, что колебания тока опережают по фазе колебания заряда q на , т.е. когда ток достигает максимального значения, заряд ( а также и напряжение см. ур-ние (8)) обращается в ноль и наоборот.

Эту взаимосвязь легко установить при рассмотрении последовательных стадий колебательного процесса в контуре и на основании энергетических соображений. Свободные ЭМ колебания в контуре являются незатухающими.

При свободных гармонических колебаниях в колебательном контуре происходит периодическое преобразование энергии We электрического поля конденсатора в энергию Wт магнитного поля катушки индуктивности и наоборот:



Значения We и Wт изменяются при гармонических ЭМ колебаниях в пределах от 0 до максимальных значений, соответственно равных и , причем . Колебания We и Wт сдвинуты по фазе: в то время как и наоборот.

Полная энергия ЭМ колебаний в контуре не изменяется со временем:

Затухающие ЭМ колебания в колебательном контуре

Но в обычном контуре и свободные колебания являются затухающими и имеют вид ур-ния (2).

Учитывая ур-ния (5) и принимая коэффициент затухания (9), дифференциальное уравнение (2) можно записать:

(10)

Решением этого уравнения является уравнение колебания заряда:

, (11)

где - коэффициент затухания;

, или (12)

Графически это можно изобразить следующим образом (Рис.2):

Рис.2

Вынужденные ЭМ колебания в колебательном контуре Вынужденные ЭМ колебания в колебательном контуре можно получить, подключив в него источник электрической энергии - источник э.д.с. (Рис.3). Колебания возникающие под действием периодически изменяющейся э.д.с. называются вынужденными ЭМ колебаниями.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.3

По закону Ома:



Дифференциальное уравнение вынужденные ЭМ колебаний имеет вид:

(13)

Если вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону , то при установившихся вынужденных колебаниях: , где амплитуда и начальная фаза находятся по формулам:

(14)

Сила тока при установившихся вынужденных колебаниях:

Амплитуда тока и начальная фаза находятся:

Графики зависимости от при различных значениях R (Рис.4) называются резонансными кривыми колебательного контура.

Рис.4

соответствует максимальной амплитуде тока в контуре и не зависит от R:

Лек.3. Переменный ток. Закон Ома для переменного тока. R, L,J цепи. Резонанс токов и напряжений. Мощность в цепи переменного тока

Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в цепи с резистором, катушкой индуктивности и конденсатором (Рис. 1) можно рассматривать как переменный электрический ток. Если подводимые к контуру внешняя ЭДС или напряжение периодически изменяются по гармоническому закону (1) , то переменный ток называют синусоидальным. Здесь -амплитуда напряжения.

1. Если в цепи представленной на рис.1 и то такая цепь называется цепью переменного тока с активным сопротивлением.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1

Согласно закона Ома:

, (2)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2

здесь - амплитуда силы тока. Для наглядности, соотношения между переменным током и напряжением представим виде векторных диаграмм их амплитудных значений (рис.2).

Как видно из рисунка, сдвиг фаз между и , в цепи переменного тока с активным сопротивлением, равен 0.

2. Цепь (рис.1 ) с закороченным конденсатором (UC=0) и если

UL >>UR называется цепью переменного тока с индуктивным сопротивлением. При приложении к цепи переменного напряжения, в ней потечет переменный ток, в результате чего возникнет э.д.с. самоиндукции . Тогда закон Ома для рассматриваемого участка цепи имеет вид:

, откуда (3)

Так как внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности, то (4) - это есть падение напряжения на катушке.

Из уравнения (3) следует: . Проинтегрировав это уравнение получаем:

, (5)

здесь ; Величина (6) называется реактивным индуктивным сопротивлением. Из выражения (5) вытекает, что для постоянного тока (щ=0) катушка индуктивности не оказывает соротивления. Подставляя значение в выражение (3) и учитывая (4) получаем значение падения напряжения на катушке индуктивности: (7)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.3

Сравнение выражений (5) и (7) приводит к Выводу, что падение напряжения UL опережает по фазе ток J , текущий через катушку на р/2, что и показано на векторной диаграмме (рис.3).

3. Если в электрической цепи (рис.1) нет индуктивности и >>, то такая цепь называется цепью переменного тока с емкостным сопротивлением. Если переменное напряжение приложено к конденсатору, то он все время перезаряжается ( ) и в цепи потечет переменный ток с силой:

, (8)

здесь . Величина называется реактивным емкостным сопротивлением. Для постоянного тока (щ=0) , т.е. постоянный ток через конденсатор не течет. Падение напряжения на конденсаторе: (9)

Из выражений (8) и (9) , а также из векторной диаграммы (рис.4) видно, что падение напряжения UC отстает по фазе от текущего через конденсатор тока J на р/2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.4

4. И, наконец, представим цепь (рис.1) содержащую резистор сопротивления R, катушку индуктивностью L и конденсатор ёмкостью C, на концы которой подается переменное напряжение. В цепи возникает переменный ток, который вызовет на всех элементах цепи соответствующие падения напряжений UR , UL , UC .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.5

На рис.5 представлена векторная диаграмма падений напряжения на резисторе (UR), на катушке (UL) и конденсаторе (UC). Амплитуда приложенного напряжения равна геометрической сумме амплитуд этих падений напряжения. Как видно из рисунка, угол ц определяет разность фаз между напряжением и силой тока:

(10)

После преобразований из прямоугольного треугольника получаем:

(11) - это

есть закон Ома для цепи переменного тока, здесь

- называется полным сопротивлением цепи, а величина - реактивным сопротивлением.

Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по закону , то в цепи течет ток (12).

где - мгновенное значение силы тока, то есть значение тока для каждого момента времени; - амплитудное значение силы тока.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

При частоте (промышленная частота) период электромагнитных колебаний составляет .

Ввиду того, что в течение периода сила переменного тока изменяется, о величине такого тока судят не по мгновенным значениям, а по действующему или эффективному значению . При этом действие переменного тока оценивают по тепловому эффекту, который сравнивают с тепловым эффектом постоянного тока.

Действующим (эффективным) значением переменного тока называют такую величину, которая равна силе постоянного тока, выделяющего в проводнике такое же количество теплоты, что и данный переменный ток за одно и то же время. Действующее значение переменного синусоидального тока связано с его амплитудным значением соотношением

 (13)

Для мгновенных значений синусоидальных токов выполняются закон Ома и правила Кирхгофа.

Резонанс в электрических цепях

Резонансом в электрической цепи называется режим участка, содержащего индуктивный и емкостный элементы, при котором угол сдвига фаз колебаний напряжения и тока равен нулю. Резонанс характеризуется рядом особенностей, которые обусловили его широкое применение в радиотехнике, электротехнике, измерительной технике и других областях.

Различают несколько видов резонанса: резонанс напряжений (при последовательном соединении элементов), резонанс токов (при параллельном соединении элементов), резонанс в магнитно-связанных цепях и др.

Резонанс напряжений. Из выражения (11) следует, что при последовательном соединении ток в цепи приобретает максимальное значение при , то есть при Этому условию удовлетворяет частота

(14)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В этом случае , , падения напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе одинаковы по величине и противоположны по фазе (рис.7). Таким образом, при резонансе напряжений

,

и

(15)

где Q - добротность контура. Так как добротность колебательных контуров больше единицы, то напряжение, как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе превышает напряжение U, приложенное к цепи. Из выражения (15) следует, что добротность контура показывает, во сколько раз при резонансе напряжение на реактивных элементах больше по величине входного напряжения.

Явление резонанса напряжений используется в радиотехнике и электронике для усиления колебаний напряжения какой-либо определенной частоты. В электроэнергетике явление резонанса напряжений необходимо учитывать при выборе изоляции высоковольтного оборудования, так как иначе может произойти ее пробой.

Резонанс токов.

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую параллельно включенные конденсатор емкостью С и катушку индуктивностью L (рис. 8). Для простоты допустим, что активное сопротивление обеих ветвей настолько мало, что им можно пренебречь. Если приложенное напряжение изменяется по закону U= Um сos t то, согласно формуле (12), в ветви 1С2 течет ток

,

амплитуда которого определяется из выражения (11) при условии R=0 и L=0:

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Начальная фаза 1 этого тока по формуле (10) определяется равенством , откуда

, где (16)

Аналогично, сила тока в ветви 1L2

, амплитуда которого Рис.8

определяется из (11) при условии R=0 и С= (условие отсутствия емкости в цепи):

Начальная фаза 2 этого тока: , откуда , где (17)

Из сравнения выражений (16) и (17) вытекает, что разность фаз токов в ветвях 1С2 и 1L2 равна 1--2=, т. е. токи в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда силы тока во внешней (неразветвленной) цепи

Если = рез = , то Jm1=Jm2 и Jm=0. Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенные конденсатор и катушку индуктивности, при приближении частоты приложенного напряжения к резонансной частоте рез называется резонансом токов (параллельным резонансом).

Амплитуда силы тока Im оказалась равна нулю потому, что активным сопротивлением контура пренебрегли. Если учесть сопротивление R, то разность фаз 1--2 не будет равна , поэтому при резонансе токов амплитуда силы тока Im будет отлична от нуля, но примет наименьшее возможное значение. Таким образом, при резонансе токов во внешней цепи токи I1 и I2 компенсируются и сила тока I в подводящих проводах достигает минимального значения, обусловленного только током через резистор. При резонансе токов силы токов I1 и I2 могут значительно превышать силу тока I.

Рассмотренный контур оказывает большое сопротивление переменному току с частотой, близкой к резонансной. Поэтому это свойство резонанса токов используется в резонансных усилителях, позволяющих выделять одно определенное колебание из сигнала сложной формы. Кроме того, резонанс токов используется в индукционных печах, где нагревание металлов производится вихревыми токами В них емкость конденсатора, включенного параллельно нагревательной катушке, подбирается так, чтобы при частоте генератора получился резонанс токов, в результате чего сила тока через нагревательную катушку будет гораздо больше, чем сила тока в подводящих проводах.

Мощность цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:

,

где U(t)=Umcost, J(t)=Jmcos(t - ). Раскрыв cos(t - ), получим

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания. Учитывая, что

cos2 t= 1/2, sin t cos t = 0, получим , (18)

Из векторной диаграммы (рис.8) следует, что Um сos = RJm. Поэтому

Такую же мощность развивает постоянный ток , равный действующему значению переменного тока.

Учитывая действующие (эффективные) значения тока (ур-ние (13)) и напряжения , выражение средней мощности (18) можно запасать в виде

, (19)

где множитель соs называется коэффициентом мощности.

Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения.

Формула (19) показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cos =1 и P=IU. Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R=0), то cos=0 и средняя мощность равна нулю, какими бы большими ни были ток и напряжение. Если cos имеет значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу тока J, что приведет либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить соs, наименьшее допустимое значение которого для промышленных установок составляет примерно 0,85.

Краткие выводы

· Колебаниями называют движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания различной природы описываются одинаковыми уравнениями и количественными характеристиками. Различают свободные, вынужденные и автоколебания.

· Колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса, называют гармоническими:

или

· Гармоническим осциллятором называют систему, описываемую дифференциальным уравнением

Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники (при малых отклонениях от положения равновесия), идеальный колебательный контур (при ).

· Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания,

· Кинетическая, потенциальная и полная энергия гармонически колеблющейся точки массой m

· Период гармонических колебаний пружинного маятника

· Период гармонических колебаний физического маятника

· Период гармонических колебаний математического маятника

· Период свободных гармонических колебаний в идеальном колебательном контуре (формула Томсона)

· В реальной колебательной системе из-за наличия трения, омического сопротивления свободные колебания со временем будут затухать. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы и его решение имеют вид:

где - коэффициент затухания ( в случае механических колебаний (r - коэффициент сопротивления) и в случае электромагнитных колебаний); - циклическая частота затухающих колебаний; - амплитуда затухающих колебаний.

· Логарифмический декремент затухания

· Добротность колебательной системы

· Системы, в которых генерируются незатухающие колебания за счет поступления энергии от источника внутри системы, называют автоколебательными. Незатухающие колебания, поддерживаемые внутри системы без воздействия на нее внешних периодических сил, называют автоколебаниями. Примером автоколебательной системы является генератор на транзисторе.

· Колебания, возникающие под действием внешнего периодически изменяющегося фактора x(t), называют вынужденными колебаниями. Дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний и его решение для установившегося режима

где в случае механических колебаний и в случае электромагнитных колебаний;

· Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего переменного фактора к собственной частоте системы называют резонансом. Резонансная циклическая частота и резонансная амплитуда

· Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор, называют переменным электрическим током. Переменный ток промышленной частоты (50 Гц) получают на электрических станциях с помощью генераторов, работа которых основана на явлении электромагнитной индукции.

· Закон Ома для действующих значений силы тока и напряжения в цепи переменного тока, содержащей последовательно соединенные резистор, индуктивный и емкостный элементы, имеет вид:

,

где Z - полное сопротивление цепи. Разность фаз между напряжением и силой тока, определяемая из векторной диаграммы цепи,

· Явление резкого возрастания амплитуды силы тока в контуре из последовательно соединенных элементов при совпадении частоты внешнего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура, называют резонансом напряжений (последовательным резонансом). В этом режиме

то есть добротность контура определяет, во сколько раз напряжение на реактивных элементах контура при резонансе может превышать напряжение на зажимах цепи.

· Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно соединенные элементы при приближении частоты внешнего приложенного напряжения к резонансной частоте колебательного контура, называют резонансом токов (параллельным резонансом). Резонансные явления наиболее отчетливо проявляются при малых омических сопротивлениях контура.

· Академик АН СССР Л.И. Мандельштам (1879-1944) отмечал: «Теория колебаний объединяет, обобщает различные области физики... Каждая из областей физики - оптика, механика, акустика - говорит на своем «национальном» языке. Но есть «интернациональный» язык, и это - язык теории колебаний…Изучая одну область, вы получите тем самым интуицию и знания совсем в другой области». В этом высказывании обоснована полезность аналогии между механическими и электромагнитными колебаниями. Знание такой аналогии (табл. 1.1) позволяет решать ряд задач механики и электродинамики.

Таблица 1.1

Механические величины	Электрические величины
Координата	Электрический заряд
Скорость	Сила тока
Ускорение	Скорость изменения силы тока
Масса	Индуктивность
Жесткость пружины	Величина обратная емкости
Сила	Напряжение
Коэффициент сопротивления среды (вязкость)	Омическое сопротивление
Потенциальная энергия деформированной пружины	Энергия электрического поля конденсатора
Кинетическая энергия	Энергия магнитного поля
Импульс	Поток магнитной индукции

Вопросы для самоконтроля и повторения

1. Какое движение называется колебательным? Какие колебания называются свободными, гармоническими, вынужденными?

2. Дайте определение параметров колебательного процесса (амплитуда, фаза, период, частота, циклическая частота).

3. Что называется гармоническим осциллятором? Приведите примеры гармонического осциллятора.

4. Выведите дифференциальное уравнение свободных колебаний пружинного маятника. По каким формулам определяются периоды гармонических колебаний пружинного, физического и математического маятников?

5. Выведите дифференциальное уравнение свободных электромагнитных колебаний в контуре. По какой формуле определяется период колебаний в контуре с малыми омическими потерями?

6. Какие колебания называются затухающим? Запишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.

7. Что такое логарифмический декремент затухания, добротность системы? В чем заключается физический смысл этих величин?

8. Какие колебания называются вынужденными? Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.

9. Что называется автоколебаниями? В чем их отличие от вынужденных колебаний? Приведите примеры автоколебательных систем.

10. Что называется резонансом? Запишите выражения для циклической частоты и амплитуды колебаний при резонансе.

11. Что называется переменным электрическим током? Выведите закон Ома для цепи переменного тока. От чего зависят индуктивное и емкостное сопротивления?

12. Каковы характерные признаки резонанса напряжений, резонанса токов? Нарисуйте векторные диаграммы цепей переменного тока в режимах последовательного и параллельного резонанса.

Лек.4. Волновые процессы. Продольные и поперечные волны. Уравнение бегущей волны. Энергия механических волн

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом (или волной). При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных - в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Продольные волны могут возбуждаться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т. е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут возбуждаться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т. е. в твердых телах; в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах -- как продольные, так и поперечные.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. На рис.1 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью вдоль оси х, т. е. приведена зависимость между смещением частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием х этих частиц от источника колебаний для какого-то фиксированного момента времени t. Приведенный график функции (x, t) похож на график гармонического колебания, однако они различны по существу. График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени, а график колебаний -- зависимость смещения данной частицы от времени.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны (рис.1). Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период Т, т. е.

,

где - скорость распространения волны (фазовая скорость), -частота колебаний, щ - циклическая частота.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1

Волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени -- один. Волновой фронт также является волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей, параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер. Соответственно волна называется плоской или сферической.

Уравнение бегущей волны.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова (по имени русского ученого Н. А. Умова (1846--1915), решившего задачу о распространении энергии в среде). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.

Для вывода уравнения бегущей волны - зависимости смещения колеблющейся частицы от координат и времени -- рассмотрим плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический характер, а ось х совпадает с направлением распространения волны (рис.1). В данном случае волновые поверхности перпендикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещение будет зависеть только от x и t, т. е. = (x, t).

Если колебания точек, лежащих в плоскости х=0, описываются функцией (0, t)=A cos t ((0, t)=A sin t), то любая частица среды, находящаяся на расстоянии х от источника колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на , так как для прохождения волной расстояния х требуется время , где х - скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид:

(1)

()

Если , то ya

откуда следует, что (х, t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (1) есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то

ya

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

ya (2)

где А=const - амплитуда волны, -- циклическая частота, 0 -- начальная фаза волны, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t, [ (t--x/v)+ 0] -- фаза плоской волны.

Для характеристики волн используется волновое число

 (3) - оно показывает сколько длин волн укладывается на отрезке равном .

Учитывая (3), уравнению (2) можно придать вид

, (4)

(,)

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (4) только знаком члена kx.

Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т. е.

, или (5)

Продифференцировав выражение (5) и сократив на , получим

и

Отсюда: (6)

Следовательно, скорость х распространения волны в уравнении (6) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью.

Скорость упругих волн в жидкостях и газах, а также продольных волн в твердых телах зависит от степени сжимаемости и плотности среды:

,

где - модуль объёмной плотности ; - плотность среды.

Скорость распространения поперечных волн:

, где

G - модуль сдвига.

Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что уравнение сферической волны -- волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, записывается как

, (,) (7)

где r - расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r. Уравнение (7) справедливо лишь для r, значительно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением -- дифференциальным уравнением в частных производных

или

(8)

где х- фазовая скорость, - оператор Лапласа. Решением уравнения (8) является уравнение любой волны. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид

(9)

Принцип суперпозиции. Групповая скорость

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т. е. ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Исходя из принципа суперпозиции и разложения Фурье любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, т. е. в виде волнового пакета, или группы волн. Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

Амплитуда результирующей волны есть медленно изменяющаяся функция координаты х и времени t. За скорость распространения этой негармонической волны (волнового пакета) принимают скорость перемещения максимума амплитуды волны, рассматривая тем самым максимум в качестве центра волнового пакета. При условии, что td --xdk = const, получим

(10)

Скорость и есть групповая скорость. Ее можно определить как скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет.

Рассмотрим связь между групповой и фазовой х=/k скоростями. Учитывая, что k=2/, получим

или

(11)

Из формулы (11) вытекает, что u может быть как меньше, так и больше х в зависимости от знака dх/d. В недиспергирующей среде

dх /d=0 и групповая скорость совпадает с фазовой.

Понятие групповой скорости очень важно, так как именно она фигурирует при измерении дальности в радиолокации, в системах управления космическими объектами и т. д. В теории относительности доказывается, что групповая скорость u<<с, в то время как для фазовой скорости ограничений не существует.

Энергия механических волн.

Упругая среда, в которой распространяются механические волны обладает как кинетической энергией колеблющихся частиц, так и потенциальной энергией, связанной с деформациями.

Если в среде распространяется плоская бегущая волна, то в любой точке среды объёмные плотности кинетической и потенциальной энергий равны и их функции от времени одинаковы:

В не поглощающей среде для плоской бегущей волны объёмная плотность энергии:

, (12)

здесь с - плотность среды.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.2

В течение одного периода среднее значение w:

Фазовая скорость х- скорость переноса энергии волной. Поток энергии через небольшую площадку dS (рис.2) за малый

промежуток времени равен:

, или

,

здесь - вектор площадки ; - вектор Умова, направление которого совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны (вектор плотности потока энергии волны - ), т.е. модуль среднего значения вектора Умова равен интенсивности волны.

Для плоской и сферической синусоидальных волн:

Лек.5. Электромагнитные волны. Дифференциальное уравнение электромагнитных волн. Энергия и свойства электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойнтинга

Электромагнитной волной называют переменное электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве с конечной скоростью.

Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла, сформулированных в 1865 г. на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений. Электромагнитная волна образуется вследствие взаимной связи переменных электрического и магнитного полей - изменение одного поля приводит к изменению другого, то есть чем быстрее меняется во времени индукция магнитного поля, тем больше напряженность электрического поля, и наоборот. Таким образом, для образования интенсивных электромагнитных волн необходимо возбудить электромагнитные колебания достаточно высокой частоты.

Колебания высокой частоты можно получить с помощью электрического колебательного контура, если уменьшать емкость конденсатора и индуктивность катушки

.

Однако большая частота электромагнитных колебаний еще не гарантирует интенсивного излучения электромагнитных волн. В обычном (закрытом) колебательном контуре почти все магнитное поле сосредоточено в катушке индуктивности, а электрическое поле - между обкладками конденсатора, то есть в удалении от контура электромагнитное поле практически отсутствует. Для того чтобы колебательный контур обладал высокой излучательной способностью, необходимо важное условие - переменные электрическое и магнитное поля должны занимать один объем пространства и этот объем должен быть наибольшим. Этому условию удовлетворяет открытый колебательный контур.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

К открытому колебательному контуру можно перейти, если постепенно раздвигать обкладки конденсатора, одновременно уменьшая их площадь и число витков катушки (рис.1). Такой видоизмененный контур обладает максимально возможной излучательной способностью и, по сути, является излучающей антенной.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

При изучении условий возникновения и распространения электромагнитных волн большую роль сыграл вибратор (или диполь) Герца. Он представляет собой два стержня с шариками на концах; стержни подключаются к источнику высокого напряжения (индукционной катушке). Когда напряжение между стержнями становится достаточно большим, между шариками проскакивает искра (рис.2).

Вибратор Герца можно рассматривать как открытый колебательный контур. Емкостью в таком контуре является емкость между стержнями, преимущественно между их концами, на которых и накапливаются заряды при колебаниях. Сами стержни обладают индуктивностью. В отличие от обычного контура поле вибратора не локализовано в ограниченном обкладками конденсатора объеме, а имеет пространственный характер.

При возбуждении в вибраторе импульсов быстропеременного тока возникают колебания огромного количества электронов, движущихся с ускорением, то есть в окружающем вибратор пространстве возникает переменное электрическое поле. В результате возникает изменяющееся во времени вихревое магнитное поле, оно вновь порождает также вихревое электрическое поле и т.д. Возникает электромагнитная волна. Принципиальное отличие от механических волн заключается в том, что здесь колеблются не частицы среды, а векторы напряженности и индукции . Поэтому электромагнитные волны возможны и в вакууме, где отсутствуют частицы вещества.

С помощью описанного вибратора Г. Герц получил электромагнитные волны длиной примерно 3 см (н100 МГц). Позже, в 1895 г., П.Н. Лебедеву удалось получить волны длиной 6 мм, а А.А. Глаголева-Аркадьева в 1923 г. с помощью так называемого массового излучателя получила электромагнитные волны длиной до 85 мкм.