с вероятностью ,

где P₀ - вероятность определения случайной составляющей погрешности измерения.

2.10 Запись и округление результата измерения

Погрешность результата рассчитывается по случайной выборке, и сама содержит погрешность. Новое измерение (новая выборка) даст новую погрешность, отличную от первой. Можно считать, что объективную информацию о величине погрешности несут лишь одна - две значащие цифры в её численном выражении. Остальные значащие цифры можно считать случайными. Результат измерения также содержит лишь ограниченное число значащих цифр, несущих информацию о величине этого результата. В связи с этим числовые значения результата и погрешности должны быть округлены. При округлении используют следующие правила:

1. Предварительно результат и погрешность записывают в нормальном виде: общий показатель степени выносят за скобку или заменяют соответствующей приставкой: микро, милли, кило, мега и др. Например,

x = 0.22 ± 0.03 м = (22 ± 3)·10-² м = 22 ± 3 см.

Запрещены записи вида x = 22·10-² ± 30·10-³ м или x = 0.22 ± 3·10-² м. Показатель 10¹ не выносится.

2. Если результат будет в дальнейшем использован в вычислениях, то во избежание накопления погрешностей за счет округлений погрешность округляют до двух значащих цифр при любой первой. При промежуточных вычислениях величин и (из которых впоследствии будет извлекаться квадратный корень для нахождения и ) следует сохранять не менее четырех значащих цифр.

3. Если результат измерения является окончательным и не будет использован в вычислениях других величин, то доверительную погрешность x округляют до первой значащей цифры, если она равна или больше 2, или до двух значащих цифр, если первая равна 1.

4. Среднее значение x округляют до того разряда, которым оканчивается округленная погрешность x:

Неокругленный результат	Округленный результат
1237.2 ±32	(12.4 ± 0.3)·102
(7.854 ± 0.0476) ·10-3	(7.85 ± 0.05) ·10-3
83.2637 ± 0.0126	83.264 ± 0.013
2.48 ± 0.931	2.5 ± 0.9
2.48 ± 0.96	2.5 ± 1.0



Если погрешность округляется до двух значащих цифр, но вторая из них равна нулю, то этот нуль сохраняется, а в соответствующем ему разряде результата записывается получающаяся там значащая цифра: x = 3.48 ± 0.10.

2.11 Алгоритм обработки данных прямых измерений по выборке

1. Устранить из выборки очевидные промахи (описки).

2. Из результатов измерений исключить известные систематические погрешности.

3. Упорядочить выборку в порядке возрастания ее элементов.

4. Провести проверку выборки на наличие грубых погрешностей и ее связность по размаху выборки: x_i+1-x_i < U_P, N R, i=1…N-1 или только на наличие грубых погрешностей по отклонению наиболее отстоящего результата наблюдения x₁ от среднего значения : |x₁ - | > v_P, N S_x, где

.

5. Вычислить выборочное среднее .

6. Вычислить выборочное СКО среднего:

.

Задаться доверительной вероятностью P в диапазоне 0.9…0.99. Как правило, для технических приложений (в том числе в данном курсе) принято выбирать P = 0.95.

7. Определить случайную погрешность

x = t_P, N S,

где t_P, N - коэффициент Стьюдента. Значения t_95 %, N для некоторых N приведены в приложении.

8. Определить оценочное значение случайной погрешности по размаху выборки x = _P, N R. Значения случайных погрешностей, рассчитанные разными способами, должны примерно совпадать.

9. Определить верхнюю границу погрешности прибора .

10. Рассчитать полную погрешность результата измерения:

.

11. Вычислить относительную погрешность x = (x/)100 %.

12. Округлить числовые значения полной погрешности и результата измерения.

13. Записать окончательный результат в виде:

.

Свести результаты расчетов в таблицу.

xi	15.8	15.7	16.1	16.0	15.9	иx = 0.2
x^i	15.7	15.8	15.9	16.0	16.1	= 15.9, R = x^N -x^1 = 0.4
Ui = xi+1 - xi	0.1	0.1	0.1	0.1	Ui < UP, N R = 0.64.0.4 = 0.256
Дxi = xi -	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	?Дxi = 0
(Дxi)2	0.04	0.01	0	0.01	0.04	?(?Дxi)2 = 0.1000

= 0.0707,

, , ,

, ,

.

2.12 Контрольные вопросы

1. Что такое наблюдение и результат наблюдения?

2. Что такое выборка и объем выборки?

3. Что такое генеральная совокупность?

4. Что понимают под выборочным средним, под результатом измерения?

5. Как рассчитываются среднеквадратичное отклонение результата наблюдения и СКО среднего? Что эти величины характеризуют?

6. Какую выборку называют ранжированной (упорядоченной)? Имеет ли смысл проверять некрайние элементы упорядоченной выборки на промахи?

7. Как рассчитывают приборную погрешность при известном и неизвестном классах точности прибора? Что понимают под классом точности прибора?

8. Как определяются приборные погрешности, когда на приборе класс точности указан числом, обведенным в кружок? Как определяются приборные погрешности, когда на приборе класс точности указан просто числом?

9. Какие величины задаются произвольно экспериментатором в процессе расчета случайной погрешности?

10. Что произойдет с доверительным интервалом при выборе большей доверительной вероятности?

11. Как складываются друг с другом случайные и приборные погрешности?



3. Погрешность косвенных измерений

Пусть некоторая величина f зависит от прямо измеряемых величин X, У, Z, ..., причём вид этой зависимости f = f(x, у, z, ...) известен. Ввиду того, что величины x, y, z, ... измеряются с определенными погрешностями, величина f также обладает погрешностью, которую необходимо определить. Существует два метода определения погрешности величины f: метод переноса погрешностей, иначе называемый методом средних, и выборочный метод.

3.1 Метод переноса погрешностей

Метод переноса погрешностей применяется в том случае, когда измеренные прямо независимо друг от друга величины x, y, z, ..., являющиеся аргументами функции f, образуют выборки {x}, {у}, {z}, ... .

Отклонения результатов отдельных наблюдений x_i, y_i, z_i, … от соответствующих истинных значений x₀, у₀, z₀, ... включают в себя как случайные, так и систематические составляющие. Случайные x, y, z, ... и приборные _(x), _(y), _(z), ... погрешности аргументов, определенные для одной и той же доверительной вероятности P₀, могут быть объединены в полные погрешности , , на основе выражения (2.16). Полная погрешность величины f также состоит из двух компонент - случайной и систематической:

.

Составляющая f определяется случайными погрешностями аргументов, а  _f - систематическими приборными.

Пусть в опыте получены выборки значений величин x, y, z, ... одинакового объема N. Тогда i-е значение функции

f_i = f(x_i, y_i, z_i), вычисленное при смещенных значениях ее аргументов x_i = x_i + _(x), y_i = y_i + _(y), …, можно представить в виде ,

где , … - смещенные средние значения аргументов; - случайные отклонения аргументов от их средних значений, не зависящие от приборных погрешностей _(x), _(y), _(z).

Воспользуемся выражением для полного дифференциала функции нескольких аргументов

.

Здесь частные производные функции , … могут быть найдены путем дифференцирования функции по выбранному аргументу при условии, что остальные независимые аргументы считаются постоянными. Приближенно заменяя бесконечно малые приращения (дифференциалы) функции и ее аргументов малыми конечными приращениями, получим

. (3.1)

Тогда i-е значение величины f_i в окрестности точки можно записать в виде

, (3.2)

где - среднее значение функции, вычисленное при смещенных значениях ее аргументов при условии, что , , не меняются в процессе измерения, - ее случайное приращение,

, , …- частные производные функции, вычисленные в точке .

Рассмотрим вычисление случайной погрешности косвенно определяемой величины f. Для этого вычислим дисперсию ее среднего значения. С учетом (3.2) получим

,

или

.

Если аргументы функции случайны и независимы, то их отклонения от средних значений , , … также независимы. Учитывая, что среднее значение произведения независимых случайных величин равно произведению средних значений сомножителей, получаем, что суммы вида равны нулю. Тогда

, (3.3)



где - дисперсии средних значений аргументов функции. Умножив обе части (3.3) на квадрат коэффициента Стьюдента , где N - объем выборок, по которым рассчитываются и , получим для случайной погрешности функции

,(3.4)

где , , - частные случайные погрешности функции.

Смещенное среднее значение функции в (3.2), используя выражение (3.1), можно выразить через ее истинное среднее значение

,(3.5)

где - истинное среднее значение функции; - приборная погрешность функции. Из (3.5) следует, что истинное среднее значение косвенно измеряемой величины будет равно , где ни величина, ни знак постоянных приборных погрешностей _(x), _(y), _(z) аргументов, а значит и , неизвестны. Приборные погрешности _(x), _(y), _(z) представляют собой независимые случайные величины. Поэтому, как и в случае нахождения случайной погрешности, для приборной составляющей погрешности получим



,

где - частные приборные погрешности косвенно измеряемой величины, откуда для верхней границы приборной погрешности величины f получим

, где , ,

представляют собой верхние границы частных приборных погрешностей косвенно измеряемой величины, а _x  |_(x)|, _y  |_(y)|, _z  |_(z)| - верхние границы аргументов функции. Коэффициенты имеют смысл весовых множителей, показывающих, с каким весом случайные или приборные погрешности аргументов функции входят, соответственно, в случайную и приборную погрешности функции. Производя суммирование случайной и систематической приборной погрешностей согласно (2.16) получим:

,

откуда полная погрешность величины f будет определяться как

, (3.6)

где - полные погрешности аргументов.

Результат косвенного измерения с учетом погрешности следует записать в виде

с вероятностью , ,

где P₀ - вероятность определения случайной составляющей погрешности измерения; - относительная погрешность косвенно измеряемой величины f.

Числовые значения и округляются по тем же правилам, которые сформулированы для прямо измеряемых величин.

Замечание 1. Полученное выражение для полной погрешности величины (3.6) остается справедливым также в случае различного объема выборок величин x, y, z, ..., являющихся аргументами функции f. При этом полные погрешности аргументов , , , входящие в , должны быть определены для одной и той же доверительной вероятности P₀.

Замечание 2. Если приборные погрешности аргументов функции не являются случайными и независимыми, например, приборная погрешность одного аргумента порождает приборную погрешность другого аргумента, то их необходимо складывать по модулю линейно

.

В этом случае случайная (3.3) и приборная погрешности функции складываются (объединяются) в полную погрешность функции линейно

.

Однако такая ситуация встречается на практике довольно редко. Она, например, может возникнуть в случае влияния работы одного прибора на показания другого. В большинстве же случаев значения аргументов функции измеряются разными приборами, взаимозависимость распределения приборных погрешностей которых ниоткуда не следует. Поэтому верхние границы частных приборных погрешностей аргументов функции будем складывать квадратично.

Замечание 3. Если функция f удобна для логарифмирования, т. е. представляет собой произведение нескольких выражений, формулы для нахождения погрешности могут быть приведены к более удобному виду. Операция логарифмирования, превращает произведение выражений в сумму логарифмов этих выражений, а производная суммы вычисляется значительно проще, чем производная произведения. Например,

ln (axⁿ/(y^mtg x)) = ln a + n ln x - m ln у - ln tg x.

В таком случае, используя тождество и вводя новые весовые множители

, получим

,

где в точке .



3.2 Выборочный метод

Выборочный метод расчета погрешностей применяется в тех случаях, когда значения каждой из совместно измеренных величин x, y, z, ... не образуют выборок, но значения функции

образуют выборку, т. е. величина f является некоторой физической константой. Штрих у аргументов означает, что они содержат неизвестные постоянные приборные погрешности:

, , .

Здесь учтено, что приборные погрешности измеряемых величин могут быть разными в разных опытах, поскольку зависят от отсчетов не образующих выборок величин x, y, z, ... по шкалам приборов.

Статистическая обработка полученных значений производится так же, как и в анализе данных прямых измерений, которые позволяют найти ее смещенное среднее значение и СКО среднего значения (либо размах выборки

):

, , (3.7)



а затем вычислить ее случайную погрешность , или .

Для определения приборной погрешности и_f представим i-е смещенное значение величины в окрестности точки , координаты которой не зависят от приборных погрешностей,

в виде суммы истинного значения этой величины и малого конечного приращения, определяемого выражением (3.1):

,(3.8)

где , , , .

Ввиду малости приборных погрешностей значения производных в точке можно считать совпадающими с их значениями в экспериментальной точке . Смещенное среднее значение косвенно определяемой величины с учетом (3.8) будет иметь вид

,(3.9)



где - приборная погрешность функции.

Согласно (3.9) несмещенное значение величины будет равно

,

где ввиду неизвестности величин и знаков приборных погрешностей , , приборная погрешность функции также неизвестна. Поэтому заменим приборную погрешность функции ее верхней границей . Тогда

,(3.10)

где и_xi, и_yi, и_zi - верхние границы приборных погрешностей аргументов. Выражение для верхней границы приборной погрешности функции можно также записать в виде, удобном в ряде приложений:

, где , , ;

, , - наибольшие значения верхних границ приборных погрешностей аргументов в серии опытов.



Несмещенное среднее значение функции можно найти как . Тогда результат косвенного измерения с учетом его случайной погрешности можно записать в виде

,

где представляет собой полную погрешность функции.

При практических расчетах штрихи у аргументов функции и самой функции опускают.

Замечание 1. Выборочный метод допустимо использовать и в том случае, когда значения аргументов функции образуют выборки. Тем не менее, не рекомендуется применять выборочный метод при нахождении результата косвенного измерения в тех случаях, когда возможно применение метода переноса погрешностей, поскольку в выборочном методе случайная погрешность функции зависит от приборных погрешностей ее аргументов, что приводит к неоправданному дополнительному увеличению погрешности функции. Действительно, случайная погрешность функции в выборочном методе рассчитывается через разности вида

,

в которых ввиду большого диапазона изменения значений аргументов и .

Замечание 2. Если функция f удобна для логарифмирования, формулы для нахождения погрешности могут быть упрощены. Используя тождество и вводя новые весовые множители

, , , получим

,

где и - приборная погрешность и значение косвенно определяемой величины, соответствующие данному набору совместно измеренных значений аргументов,

Замечание 3. В том случае, когда функция f есть физическая константа, значение которой определяется через наборы совместно измеренных значений аргументов функции выборочным методом, ее значение можно найти методом наименьших квадратов (МНК), который будет рассмотрен далее.

3.3 Алгоритм обработки данных косвенных измерений методом переноса погрешностей

Данный метод используется в случае, когда каждая из величин x, y, z , представляющих собой аргументы функции, измеряется независимо от остальных в своей серии опытов, и эти величины образуют выборки (близки друг к другу). Число опытов в сериях, вообще говоря, не обязано быть одинаковым, требуется только неизменность условий для прямо измеряемой величины в своей серии, неизменность условий для f во всех сериях и взаимная независимость всех опытов.

1. По формулам прямых измерений определить величины , ; , ; , (с учётом приборных погрешностей).

2. Рассчитать значение функции

 = f (, , ).

3. Вычислить частные производные от функции

4. , , или, для легко логарифмируемой функции f, от ее логарифма в точке .

По формуле переноса погрешностей вычислить полную погрешность функции

или по эквивалентной формуле для легко логарифмируемой функции: .

5. Записать результат измерения и округлить его.

6. Свести результаты обработки эксперимента в табл. 3.1.

Таблица 3.1

xi						?x=
yi						?y=
x^i						= , Rx=x^ N -x^1=
xi+1 - xi					UP, N Rx =
?xi = xi -						??xi = 0
??xi)2						???xi)2=
= , , ,
y^i						= , Ry=y^N -y^1=
yi+1 - yi					UP, N Ry =
?yi = yi -						??yi =0
??yi)2						???yi)2 =
= , , ,
= , =

В качестве примера обработки данных косвенных измерений методом переноса погрешностей рассмотрим эксперимент по определению ускорения свободного падения g по 5 измерениям периода колебания математического маятника

и его длины l. Выражая g через период колебаний и длину, получим: . Результаты расчетов будут иметь вид табл. 3.2.

Таблица 3.2

li , м	0.782	0.810	0.795	0.801	0.787	?l = 5.10-4 м
Тi, с	1.776	1.798	1.789	1.794	1.780	?T = 10-4 c
l^i	0.782	0.787	0.795	0.801	0.810	Rl = l^ N - l^1 = 0.028, = 0.795
li+1-li	0.005	0.008	0.006	0.009	UP, N Rl = = 0.64. 0.028 = 0.018
?li = li -	-0.013	0.015	0	0.006	-0.008	??li = 0
??li)2	169·10-6	225·10-6	0	36·10-6	64·10-6	???li)2 = 494·10-6
= 0.00497 , 0.013915 , 0.013925, 0.795 ± 0.014 м
T^i	1.776	1.780	1.789	1.794	1.798	RT=T^N -T^1=0.022, =1.7874
Ti+1-Ti	0.004	0.009	0.005	0.004	UP, N RT =0.0141

Окончание табл. 3.2

?Ti= Ti -	-0.0114	0.0106	0.0016	0.0066	-0.0074	??Ti=0
??Ti)2	1.300·10-4	1.124·10-4	2.56·10-6	4.356·10-5	5.476·10-5	???Ti)2=3.432·10-4
= 0.004142, 0.011516, 0.011517, 1.787 ± 0.012 c

= 9.82388.

Для определения погрешности используем метод полного дифференциала.

, ;

= 0.2136,

.



3.4 Алгоритм обработки данных косвенных измерений выборочным методом

Выборочный метод применяется в том случае, если совместно измеренные значения аргументов функции x_i, y_i и z_i не образуют выборок, но можно создать выборку значений функции {f_i}.

1. По каждому набору совместно измеренных значений аргументов рассчитать значения функции

f_i = f(x_i, y_i, z_i).

Обработать полученную выборку {f_i} согласно алгоритму обработки данных прямых измерений, находя среднее значение и случайную погрешность функции.

2. Вывести выражения для частных производных от функции

или для легко логарифмируемой функции f - от ее логарифма

.

3. По каждому набору совместно измеренных значений аргументов и их приборных погрешностей рассчитать приборную погрешность функции

,



предполагается, что приборные погрешности измеряемых величин могут быть разными в разных опытах или, если f имеет удобный для логарифмирования вид, по эквивалентной формуле

,

где - соответствующее данному набору аргументов значение функции (не путать со строкой таблицы упорядоченных по возрастанию значений f^_i).

4. Если приборные погрешности аргументов одинаковы во всех опытах или при нахождении максимальных по всей серии опытов значений приборных погрешностей , , , для определения приборной погрешности величины f можно использовать выражение

,

где , , .

5. Вычислить среднюю приборную погрешность функции .

6. Вычислить полную погрешность функции

.



7. Записать результат измерения и округлить его.

8. Свести результаты обработки эксперимента в табл. 3.3.

Таблица 3.3
xi
?xi						?x = max ?xi =
yi
?yi						?y = max ?yi =
fi						=
f^i						Rf = f^N - f^1 =
Ufi = fi+1 - fi					Ufi < UP, N Rf =
?fi = fi -						??fi = 0
??fi)2						???fi)2 =
?fi						=

Окончание табл. 3.3

, , , ,

В качестве примера обработки данных косвенных измерений
выборочным методом рассмотрим эксперимент по определению ускорения свободного падения g по совместным измерениям периода колебания математического маятника

и его длины l. Тогда .

Результаты расчетов могут быть представлены в виде табл. 3.4.



Таблица 3.4

li , м	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	?l = max ?l i = 5·10-4 м
Тi, с	1.415	1.563	1.670	1.791	1.910	?T = max ?T i = 10-4 c
gi	9.859	9.696	9.909	9.846	9.739	= 9.8098
g^i	9.696	9.739	9.846	9.859	9.909	Rg= g^N - g^1= 0.213
Ufi=gi+1-gi	0.043	0.107	0.013	0.05	Ugi <UP, N Rg= 0.136
?gi= gi -	0.049	0.114	0.099	0.036	0.07	??gi= 0
??gi)2	2.385Ч Ч10-3	13.00Ч Ч10-3	9.819 Ч Ч10-3	1.309 Ч Ч.10-3	4.945Ч Ч10-2	???gi)2 = 0.003141
?gi	11.0 Ч Ч10-3	9.321 Ч Ч10-3	8.264 Ч Ч10-3	7.253 Ч Ч10-3	6.43 Ч Ч10-3	= 0.0085

Для определения приборной погрешности используем метод логарифмирования функции.

; ; ; 0.03963, 0.11016, 0.109, , 0.119, .

3.5 Контрольные вопросы

1. В каких случаях при обработке данных косвенных измерений применяют метод переноса погрешностей, а в каких - метод выборки?

2. Как определить по исходным данным, является ли набор значений выборкой случайной величины или последовательностью, искусственно задаваемой экспериментатором?

3. Как складываются друг с другом случайные и приборные погрешности аргументов функции, частные приборные погрешности аргументов функции, частные случайные погрешности, приборная и случайная погрешности функции в методе переноса погрешностей?

4. Как складываются друг с другом частные приборные погрешности аргументов функции, частные случайные погрешности, приборная и случайная погрешности функции в выборочном методе?

5. Сформулируйте алгоритм обработки данных методом переноса погрешностей.

6. Сформулируйте алгоритм обработки данных выборочным методом.

4. Современные измерения

4.1 Задача регрессии и метод наименьших квадратов

Задачей обработки совместных измерений является построение аналитической зависимости по имеющимся совместным измерениям двух (или нескольких) величин. В общем случае структура зависимости

y = f(x)

заранее неизвестна и определяется исходя из имеющихся экспериментальных данных. В ряде случаев предполагаемый вид функциональной зависимости

y = f(x)

известен заранее на основании каких-либо теоретических соображений и неизвестны лишь параметры этой зависимости.

На плоскости xOy каждая пара совместно измеренных значений (x_i, y_i) определяет положение некоторой точки. Величины x_i и y_i не свободны от погрешностей, поэтому определяемые ими точки не лежат точно на какой-то кривой, а образуют некоторое облако с нечеткими границами (рис. 4.1). Подлежащая определению функциональная зависимость

y = f(x)

описывает некоторую кривую, называемую регрессионной кривой, проходящую через область, заполненную точками (x_i, y_i). В основу выбора вида кривой y = f(x) могут быть положены различные факторы: вид облака точек и имеющаяся информация о связи величин x и y, а также соображения удобства использования полученной кривой в дальнейшем и др.

Сопоставление полученных в результате решения этих задач экспериментальной зависимости и конкретизированной теоретической кривой позволяет сделать вывод о справедливости положений данной теории. Таким образом, просто найти параметры теоретической кривой, наилучшим образом соответствующие эксперименту, не достаточно. Для подтверждения справедливости теории необходимо также, чтобы совпадали основные качественные особенности поведения этих кривых. Так, для случая, показанного на рис. 4.2, аппроксимация экспериментальной зависимости прямой линией (показана штрихами) недопустима и необходимо использование нелинейной функции (показана сплошной линией).



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аналитическая зависимость y = f(x) обычно содержит ряд параметров a₁, a₂, …, a_K, не зависящих от х, и выражение подлежащей определению кривой можно записать в виде

.(4.1)

Изменяя параметры, можно изменять как вид кривой в некоторых пределах, так и ее положение на плоскости xOy.

В случае совпадения качественных особенностей кривых указанные параметры зависимости должны быть найдены таким образом, чтобы искомая теоретическая кривая y = f(x) наилучшим образом ложилась бы на экспериментальные точки набора совместных наблюдений (x_i, y_i), i = 1, …, N. Подставив в качестве аргумента функции (4.1) значение x_i, получим . Для наблюдений будут иметь место отклонения

, (4.2)

которые называются остаточными погрешностями.

Существуют различные критерии выбора наилучшего соответствия экспериментальных точек и регрессионной кривой. Одним из наиболее общих способов отыскания оценок истинных значений искомых параметров является разработанный Лежандром и Гауссом метод наименьших квадратов (МНК). Согласно этому методу оценки параметров a_j выбираются так, чтобы минимизировать сумму квадратов остаточных погрешностей

. (4.3)

В точке минимума (4.3) частные производные функции по каждому параметру должны обращаться в нуль, что приводит к системе уравнений

(4.4)

где , позволяющей определить наилучшие значения параметров согласно условию (4.3).

При использовании МНК значения x_i обычно задаются экспериментатором, поэтому можно считать, что они содержат только приборные погрешности и не содержат случайных. Значения y_i содержат как приборные, так и случайные погрешности. Для определения случайных погрешностей параметров предположим, что распределения величин y_i взаимно независимы и имеют одно и то же среднеквадратическое отклонение.

При выполнении этих условий остаточная дисперсия, представляющая собой среднее значение суммы квадратов остаточных погрешностей величины y, также обращается в минимум:

, (4.5)

где K - количество искомых параметров; N - K - число степеней свободы уравнения регрессии. Появление множителя взамен обосновывается в математической статистике.

4.2 Случай линейной зависимости двух величин

Задача нахождения наилучшей аппроксимирующей кривой в общем случае является достаточно сложной и наиболее просто решается, если функциональная зависимость имеет вид прямой линии у = ax + b. Поэтому на практике, если это возможно, сложные функциональные зависимости сводят к линейным зависимостям. При этом задача нахождения регрессионной кривой сводится к решению следующих задач:

1. Линеаризация нелинейных зависимостей, которая осуществляется соответствующей заменой переменных. Примеры такой замены приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

№	Исходная функция	Замена переменных	Новая функция
1
2
3
4
5
6
7
8



В некоторых случаях различные замены переменных могут приводить одну и ту же функцию к линейному виду несколькими способами. Например, эта ситуация возможна для зависимости y = Ax ⁿ, соответствующие замены переменных приведены в строках 1 и 2 табл. 4.1.

2. Нахождение наилучших значений коэффициентов a и b в линейной зависимости у = ax + b или коэффициента a в зависимости у = ax согласно методу наименьших квадратов.

3. Нахождение случайных и приборных погрешностей этих коэффициентов.

4. Определение по найденным значениям коэффициентов a и b физических констант, содержащихся в этих коэффициентах. Последняя задача решается стандартным приемом метода переноса погрешностей при косвенных измерениях.

4.3 Нахождение коэффициентов в уравнении прямой у = ax + b

Нахождение наилучших значений коэффициентов a и b в зависимости у = ax + b производится согласно описанному методу наименьших квадратов. В случае линейной зависимости (4.4) приводит к системе из двух уравнений относительно двух неизвестных a и b:

(4.6)

Решение системы (4.6) дает нам выражения для наилучших оценок значений параметров. Обозначив эти оценки и , получим



(4.7)

.

Последнее выражение для говорит о том, что линия регрессии проходит через точку с координатами (, ). Используя дополнительную точку с координатами (, 0) можно по двум точкам построить искомую аппроксимирующую прямую.

Для нахождения дисперсий коэффициентов и воспользуемся соотношениями (4.7). С учетом формулы (2.14) дисперсии суммы случайных некоррелированных величин с одинаковой дисперсией, получим в предположении, что x_i не содержат случайных погрешностей:

, , (4.8)

где остаточная дисперсия рассчитывается согласно (4.5) и может быть приведена к виду



Выражения для дисперсий (4.8) после подстановки остаточной дисперсии и значений , принимают вид

, .(4.9)

Тогда случайные погрешности коэффициентов будут иметь вид

, ,

где , - СКО и соответственно; - коэффициент Стьюдента с н = N - 2 степенями свободы.

Приборные погрешности коэффициентов a и b могут быть найдены на основе (4.7) по формуле (3.10) косвенных измерений, что дает

, .(4.10)

Равенство нулю приборной погрешности в определении коэффициента наклона a прямой означает, что он не зависит от одновременного смещения всех координат x_i или y_i на величины и_x или и_y соответственно.

Если x и y являются косвенно измеряемыми величинами, полученными, например, при замене переменных в процессе линеаризации, приборные погрешности и_x и и_y необходимо вычислить согласно стандартным приемам обработки данных косвенных измерений. Определив полные погрешности и , уравнение регрессионной прямой можно записать в виде

, с вероятностью . (4.11)

4.4 Нахождение коэффициента в уравнении прямой у = ax

Если уравнение аппроксимирующей прямой имеет вид у = aх, то нахождение коэффициента a в уравнении наилучшей прямой сводится к нахождению минимума остаточной дисперсии (4.5), где количество искомых параметров К = 1. Тогда из (4.4)

, где .(4.12)

Из полученного выражения для коэффициента a находим его дисперсию

,

где остаточная дисперсия с учетом (4.5) может быть вычислена по формуле

.

Зная СКО



, найдем случайную погрешность коэффициента : .

Отметим, что, в отличие от случая построения прямой вида y = ax + b, в случае регрессионной зависимости вида y = ax одновременное смещение всех координат x_i или y_i вследствие приборной погрешности аргументов оказывает существенное влияние на угловой коэффициент, так как принадлежащая этой прямой точка (x, y) = (0, 0) фиксирована. Используя формулу (4.12), найдем его приборную погрешность. Имеем

.

Определив полную погрешность коэффициента , получим уравнение регрессионной прямой в виде

, с вероятностью .

Прямая МНК строится по двум точкам с координатами (x, у) = = (0, 0) и (x₀, ), где x₀ - произвольное значение аргумента х. Отметим, что коэффициент a = у / x можно рассматривать как функцию двух переменных у и х, и его значение может быть найдено методами обработки данных косвенных измерений.



4.5 Алгоритм обработки данных по МНК для уравнения y = ax + b на примере определения параметров равноускоренного движения

Рассмотрим эксперимент по определению скорости тела v = at + v₀ при равноускоренном движении, по результатам которого надо найти ускорение тела а и его начальную скорость v₀. Пусть приборные погрешности определения времени и скорости равны, соответственно, и_t = 1 с и и_v = 0.2 м/с. Результаты обработки эксперимента согласно МНК сведены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

№	xi=ti	yi=vi
1	0	10.1	-12.5	156.25	-12.517	156.675	156.463
2	5	15.3	-7.5	56.25	-7.317	53.538	54.877
3	10	19.8	-2.5	6.25	-2.817	7.935	7.043
4	15	24.6	2.5	6.25	1.983	3.932	4.958
5	20	30.4	7.5	56.25	7.783	60.575	58.373
6	25	35.5	12.5	156.25	12.883	165.972	161.037
?	= 75	= 135.7	= 0	= 437.5	= -0.002	= 448.628	= 442.751

1. Средние значения x и у:

 с , 22.617 м/с².

2. Средние значения и :

м/с² , м/с.

3. Дисперсия и СКО :

3.229·10-⁴, м/с².

4. Дисперсия и СКО :

0.028, м/с.

5. Случайные погрешности а и b.

Коэффициент Стьюдента для Р = 95 % и N - 1 = 5 равен t_P, N-₁ = 2.78,

0.04996 м/с², 0.464 м/с.

6. Приборная погрешность коэффициента b:

1.212 м/с,

где учтено, что и_x = 1 с и и_y = 0.2 м/с.

7. Полные погрешности а и b:

0.04996 м/с² и = 1.676 м/с².

8. Результат: .

9. Окончательный результат в округленной форме:

, с вероятностью .

4.6 Алгоритм обработки данных по МНК для уравнения y = ax на примере определения ускорения свободного падения

Рассмотрим эксперимент по определению ускорения свободного падения g по совместным измерениям периода колебания математического маятника Т и его длины l, значения которых даются в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Параметр	№ наблюдения	и
	1	2	3	4	5
li , м	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	5·10-4
Тi, с	1.415	1.563	1.670	1.791	1.910	10-4

Дальнейшая обработка данных осуществляется в следующей последовательности.

1. Линеаризуем зависимость

, положив у = Т, , .

В новых переменных она будет иметь вид у = aх .

2. Заполняем табл. 4.4 обработки данных по МНК для уравнения y = ax, представив исходные данные в новых переменных (x_i, y_i) = (, Т_i).



Таблица 4.4

№		yi = Ti	xi2	yi2	xiyi
1 2 3 4 5	0.7071 0.7746 0.8367 0.8944 0.9487	1.415 1.563 1.670 1.791 1.910	0.500 0.600 0.700 0.800 0.900	2.0022 2.4430 2.7889 3.2077 3.6481	1.0005 1.2107 1.3973 1.6019 1.8120
?	? xi = 4.1615	? yi = 8.349	? xi2 = 3.500	? yi2 = 14.0899	? xi yi = 7.0224

3. Среднее значение a : .

4. Дисперсия и СКО :

, .

5. Случайная погрешность коэффициента a для Р = 95 % и N = 5, с учетом того, что коэффициент Стьюдента t_P, N = 2.78, имеет вид

.

6. Приборная погрешность измеряемой прямым образом величины у = Т равна

, а приборная погрешность косвенно измеряемой величины имеет вид

.

Используя данные табл. 4.3, 4.4, получим

, .

Тогда приборная погрешность коэффициента a будет

.

7. Полная погрешность коэффициента a:

.

8. Результат измерения в округленной форме:

с вероятностью P = 95 %.

По коэффициенту

может быть найдено ускорение свободного падения по стандартной схеме обработки данных косвенных измерений методом переноса погрешностей.

9. Среднее значение:



= 9.8107 м/с².

10. Случайная погрешность:

= 0.0088 м/с².

11. Приборная погрешность:

= 0.0083 м/с².

12. Полная погрешность:

= 0.0172 м/с².

13. Окончательный результат в округленной форме:

м/с², с Р = 95 %.

4.7 Контрольные вопросы

1. Какие измерения называются совместными?

2. Линеаризуйте следующие зависимости, перейдя от переменных (х, у) к новым переменным (X, У):

у = а xⁿ; у = a ln x + b; ln у = a sin x + b; tg y = a cos x + c; у = а еxp x + с; у = ax² + bx + с.

3. Сформулируйте критерий наименьших квадратов.

4. Как строятся по двум точкам прямые МНК вида у = aх и y = аx + b?

5. Можно ли константу a в уравнении у = aх найти методами косвенных измерений? Ответ обосновать.

6. Выведите формулы для приборных погрешностей и_a и и_b (4.10) коэффициентов a и b в уравнении прямой у = ax + b.

7. Какой вид будут иметь формулы приборных погрешностей коэффициентов а и b, если x и у являются косвенно измеряемыми величинами: x = m sin u, у = n v³, где m и п - константы, а u и v - прямо измеряемые N раз величины?



5. Правила оформления графиков

Диаграммы и графики являются наиболее удобным средством передачи информации о зависимости физических величин друг от друга. Для удобства чтения и восприятия графики оформляются согласно общепринятым единым правилам, основные моменты которых изложены далее.

1. Графики строят на миллиметровой или белой бумаге с применением чертежных инструментов. Миллиметровая бумага бывает трех типов: с равномерным масштабом по обеим осям, реже используется бумага с логарифмическим масштабом по одной оси и равномерным по другой, а также бумага с логарифмическим масштабом по обеим осям. При построении численных зависимостей на белой бумаге необходимо вычерчивание координатной сетки. Толщина координатных осей 0.8…1 мм, толщина линий сетки 0.3…0.5 мм. Кривые изображаются линиями толщиной 1 мм.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2. Если график информирует читателя только о качественном характере зависимости физической величины от параметра, то его координатные оси заканчиваются стрелками (рис. 5.1), никаких числовых значений вдоль осей не наносят. Координатная сетка на поле графика не строится.

3. Если при описании зависимости требуется указывать числовые значения величин по осям, то оси изображают без стрелок, а на поле графика вычерчивается координатная сетка. Вдоль координатных осей строятся шкалы, на которых указывают цифровые значения величин. Числовые масштабы шкал выбирают в виде равноотстоящих друг от друга чисел, оканчивающихся на последовательности 0, 1, 2, 3, 4, …; 0, 2, 4, 6, 8, …; 0, 5, 10, 15, 20, …; 0, 25, 50, 75, 100, …. Например, это может быть последовательность 3.72, 3.74, 3.76, 3.78, 3.80, …. Масштабы по разным осям могут быть различны.

4. Вместе со значениями масштаба величины на шкале указывается ее обозначение и единица измерения (рис. 5.2). Числовые значения на шкале должны находиться на достаточно большом расстоянии друг от друга, чтобы не сливаться в одну сплошную линию. Общий порядковый числовой множитель для значений шкалы обычно выносится в обозначение величины либо учитывается при выборе единиц измерения. При выносе числового множителя произведение буквенного обозначения величины на множитель 10 ^± n означает, что фактическое значение величины будет равно числовому значению на шкалах осей координат, деленному на этот сомножитель.

5. Поле графика должно использоваться максимально полно, поэтому шкалы вдоль координатных осей могут начинаться не с нуля, а с тех значений, для которых строится график (рис. 5.2). Если обе шкалы начинаются с нуля, то в начале координат ставится один общий нуль. Все точки кривых на графике должны находиться напротив оцифрованных участков координатных осей и не выходить за пределы поля графика.

6. Экспериментальные точки изображаются на графике в виде кружков, крестиков, треугольников и т. п. (рис. 5.3). Экспериментальные значения на оси не выносятся, за исключением, при необходимости, экстремальных и асимптотических значений величин. Зависимости изображаются плавными кривыми, около которых расположены экспериментальные точки. Расшифровка используемых значков располагается под графиком или сбоку от него. Размер значков 1.5…2 мм.

7. Как правило, на одном поле вычерчивается несколько однотипных кривых, отличающихся друг от друга параметрами, условиями эксперимента и т. п. Для пояснения отличий кривых указываются значения различающихся параметров кривых. Эти значения следует располагать вдоль одной линии. В местах расположения указанных значений, значков и других надписей координатная сетка разрывается. Вокруг надписи оставляется небольшое свободное пространство для облегчения чтения. По возможности следует избегать надписей на поле графика. Если же этого сделать не удается, то надписи должны быть максимально краткими (рис. 5.3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Иногда на одном графике необходимо изобразить зависимости для двух разнородных величин, шкалы которых различны. Эти шкалы строятся по разные стороны координатных осей или по разные стороны поля графика (рис. 5.4). В местах расположения числовых значений шкалы, находящейся справа от оси ординат или выше оси абсцисс, линии координатной сетки прерываются.

8. При необходимости отображения погрешностей на графике через экспериментальную точку проводят один или два отрезка, параллельные осям абсцисс и ординат. Центры отрезков приходятся на экспериментальную точку, а их длины равны удвоенным погрешностям величин, откладываемым по параллельным осям (рис. 5.5).

9. Каждый рисунок нумеруют, дают ему название, отражающее содержание построенной зависимости. Для сокращения обозначений на рисунке используют цифры или латинские буквы, а пояснения к ним выносят

10.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

в подрисуночную подпись.



6. Контрольное задание

6.1 Прямые измерения

Найдите результат измерения по следующим выборкам объема N = 5 (табл. 6.1).

Таблица 6.1

№	1	2	3	4	5	иx
1	1.343	1.355	1.337	1.342	1.353	0.004
2	2.675	2.681	2.671	2.687	2.670	0.005
3	34.83	34.86	34.88	34.89	34.89	0.05
4	5.270	5.276	5.271	5.258	5.266	0.008
5	2.831	2.833	2.823	2.836	2.839	0.006
6	10.292	10.284	10.269	10.352	10.160	0.08
7	1.516	1.515	1.518	1.514	1.524	0.005
8	3.685	3.667	3.669	3.663	3.661	0.05
9	4.257	4.244	4.251	4.246	4.255	0.006
10	6.726	6.731	6.722	6.734	6.732	0.005
11	7.135	7.148	7.142	7.144	7.141	0.008
12	26.0	25.6	25.7	25.9	25.8	0.5
13	15.8	15.7	15.9	16.0	16.1	0.2
14	6.9	6.8	7.0	6.9	7.2	0.2
15	10.3	11.1	11.8	10.7	10.8	0.5
16	78.5	78.2	78.9	78.0	78.4	0.4
17	25.3	25.4	25.7	25.1	25.5	0.6
18	13.1	12.8	11.9	12.4	13.5	0.5
19	924	912	916	922	918	2
20	305.1	306.9	305.2	304.6	305.3	0.5
21	73.2	73.1	72.9	73.5	73.4	0.5
22	6.23	6.31	6.20	6.22	6.26	0.05
23	12.26	12.27	12.32	12.24	12.34	0.05
24	2.55	2.56	2.62	2.52	2.60	0.04
25	68.80	68.84	68.78	68.79	68.88	0.04
26	123.20	123.59	123.27	123.00	123.83	0.5
27	8.22	8.16	8.17	8.18	8.23	0.05
28	32.6	32.0	32.2	32.9	32.4	0.4
29	4.78	4.83	4.80	4.85	4.79	0.06
30	7.66	7.62	7.61	7.58	7.59	0.05

6.2 Косвенные измерения

Найдите результат косвенных измерений по следующим выборкам объема N = 5 (табл. 6.2).

Таблица 6.2

№	x, y	1	2	3	4	5	иx, иy	f (x, y)
1	x y	4.384 1.273	4.382 1.271	4.385 1.275	4.383 1.272	4.381 1.276	0.002 0.001
2	x y	0.10 25.55	0.20 9.04	0.30 4.91	0.40 3.19	0.50 2.29	0.01 0.02
3	x y	1.732 6.282	1.729 6.284	1.735 6.281	1.731 6.280	1.733 6.283	0.004 0.002
4	x y	2.93 1.55	2.91 1.53	2.95 1.57	2.90 1.54	2.92 1.56	0.02 0.01
5	x y	4.42 3.26	4.39 3.28	4.37 3.225	4.40 3.24	4.41 3.27	0.04 0.02
6	x y	7.39 2.63	7.35 2.65	7.37 2.59	7.36 2.61	7.38 2.64	0.01 0.02
7	x y	5.20 0.47	5.60 0.52	6.00 0.56	6.40 0.60	6.80 0.63	0.02 0.01
8	x y	2.20 22.30	2.60 8.67	3.00 6.05	3.40 4.85	3.80 4.23	0.02 0.04
9	x y	1.434 0.375	1.432 0.373	1.435 0.371	1.438 0.376	1.433 0.372	0.002 0.002
10	x y	1.20 0.852	1.60 0.738	2.00 0.670	2.40 0.637	2.80 0.609	0.04 0.002
11	x y	0.722 0.345	0.725 0.347	0.721 0.348	0.726 0.344	0.723 0.345	0.002 0.004
12	x y	0.60 0.215	1.00 0.359	1.40 0.502	1.80 0.646	2.20 0.789	0.02 0.002
13	x y	3.42 2.27	3.45 2.31	3.41 2.29	3.44 2.26	3.34 2.28	0.01 0.02
14	x y	1.40 2.884	1.80 2.644	2.20 2.296	2.60 2.289	2.80 2.347	0.04 0.002
15	x y	1.43 2.63	1.42 2.61	1.41 2.65	1.42 2.62	1.44 2.64	0.01 0.02
16	x y	3.624 0.58	3.632 0.55	3.628 0.53	3.625 0.56	3.630 0.54	0.005 0.02
№	x, y	1	2	3	4	5	иx, иy	f (x, y)
17	x y	7.84 2.23	7.79 2.25	7.82 2.27	7.80 2.24	7.85 2.26	0.02 0.02
18	x y	1.178 4.33	1.184 4.35	1.179 4.31	1.182 4.36	1.180 4.34	0.004 0.02
19	x y	10.21 2.55	10.24 2.51	10.19 2.53	10.20 2.52	10.23 2.54	0.04 0.04
20	x y	2.00 3.70	2.20 3.35	2.40 3.10	2.60 2.95	2.80 2.60	0.02 0.04
21	x y	4.20 2.40	4.60 2.70	5.00 2.90	5.40 3.10	5.80 3.35	0.05 0.04
22	x y	1.54 2.845	1.53 2.852	1.52 2.848	1.55 2.854	1.56 2.847	0.02 0.005
23	x y	3.27 2.43	3.30 2.46	3.32 2.41	3.29 2.47	3.35 2.42	0.02 0.02
24	x y	2.58 1.32	2.61 1.35	2.63 1.30	2.60 1.34	2.59 1.31	0.02 0.04
25	x y	3.171 2.95	3.168 2.92	3.165 2.96	3.172 2.97	3.166 2.93	0.002 0.04
26	x y	0.536 8.57	0.539 8.60	0.540 8.55	0.538 8.54	0.541 8.59	0.005 0.02
27	x y	5.27 2.215	5.30 2.213	5.33 2.216	5.29 2.214	5.31 2.217	0.02 0.005
28	x y	1.62 2.73	1.65 2.71	1.63 2.75	1.66 2.76	1.64 2.74	0.02 0.02
29	x y	2.84 0.541	2.88 0.539	2.87 0.544	2.83 0.542	2.85 0.540	0.04 0.005
30	x y	5.54 1.38	5.56 1.34	5.58 1.36	5.55 1.35	5.53 1.33	0.02 0.02

6.3 Совместные измерения

Найдите по МНК коэффициент a в уравнении у = ax и коэффициенты а и b в уравнении y = ax + b по известным значениям координат (x_i, y_i) . Значения координаты x_i приведены в первой строке таблицы и предполагаются для всех наборов y одинаковыми. Первая строка у_i в каждом варианте описывается уравнением у = aх, вторая - уравнением у = ax + b. Приборные погрешности и_x = 0.05, и_y = 0.005. Постройте экспериментальные точки и рассчитанную регрессионную прямую на одном графике.

Таблица 6.3

№	xi	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	Уравнение	Приближенный ответ
1	yi	3.45	7.03	10.48	13.75	17.52	у = aх	у = 3.5х
2	yi	5.53	8.04	10.47	13.04	15.49	у = aх + b	у = 2.5х + 3
3	yi	4.97	9.95	14.98	20.06	25.02	у = aх	y = 5x
4	yi	6.94	9.03	10.96	12.95	15.04	у = aх + b	y = 2x + 5
5	yi	3.96	8.02	12.10	15.97	19.95	у = aх	y = 4x
6	yi	5.95	11.04	15.96	21.10	26.03	у = aх + b	y = 5x + 1
7	yi	-2.05	-3.97	-6.03	-7.96	-10.08	у = aх	y = -2x
8	yi	9.91	13.08	16.05

Подобные документы

• Измерения физических величин

  Суть физической величины, классификация и характеристики ее измерений. Статические и динамические измерения физических величин. Обработка результатов прямых, косвенных и совместных измерений, нормирование формы их представления и оценка неопределенности.
  
  курсовая работа [166,9 K], добавлен 12.03.2013
  

• Современные средства измерения физических величин

  Физическая величина как свойство физического объекта, их понятия, системы и средства измерения. Понятие нефизических величин. Классификация по видам, методам, результатам измерения, условиям, определяющим точность результата. Понятие рядов измерений.
  
  презентация [1,6 M], добавлен 26.09.2012
  

• Взвешивание, обработка и представление результатов

  Методика измерений и обработки результатов, принципы взвешивания. Вычисление систематических и случайных погрешностей. Проверка сходимости и воспроизводимости результатов измерений, полученных при взвешивании на аналитических и технохимических весах.
  
  лабораторная работа [43,2 K], добавлен 16.10.2013
  

• Единицы и методы измерения физических величин

  Понятие о физической величине как одно из общих в физике и метрологии. Единицы измерения физических величин. Нижний и верхний пределы измерений. Возможности и методы измерения физических величин. Реактивный, тензорезистивный и терморезистивный методы.
  
  контрольная работа [301,1 K], добавлен 18.11.2013
  

• Современная научно-техническая документация на статистические методы анализа результатов измерений

  Обеспечение единства измерений и основные нормативные документы в метрологии. Характеристика и сущность среднеквадратического отклонения измерения, величины случайной и систематической составляющих погрешности. Способы обработки результатов измерений.
  
  курсовая работа [117,3 K], добавлен 22.10.2009
  

• Физические величины и их измерения

  Основы измерения физических величин и степени их символов. Сущность процесса измерения, классификация его методов. Метрическая система мер. Эталоны и единицы физических величин. Структура измерительных приборов. Представительность измеряемой величины.
  
  курсовая работа [199,1 K], добавлен 17.11.2010
  

• Использование резистивного эффекта для измерения физических величин

  Измерения на основе магниторезистивного, тензорезистивного, терморезистивного и фоторезистивного эффектов. Источники погрешностей, ограничивающих точность измерений. Рассмотрение примеров технических устройств, основанных на резистивном эффекте.
  
  курсовая работа [607,9 K], добавлен 20.05.2015
  

• Теплотехнические измерения

  Понятие измерения в теплотехнике. Числовое значение измеряемой величины. Прямые и косвенные измерения, их методы и средства. Виды погрешностей измерений. Принцип действия стеклянных жидкостных термометров. Измерение уровня жидкостей, типы уровнемеров.
  
  курс лекций [1,1 M], добавлен 18.04.2013
  

• Приборы для измерения силы

  Классификация средств измерений и определение их погрешностей. Рассмотрение законов Ньютона. Характеристика фундаментальных взаимодействий, сил тяготения и равнодействия. Описание назначений гравиметров, динамометров, прибора для измерения силы сжатия.
  
  курсовая работа [323,0 K], добавлен 28.03.2010
  

• Электрические измерения

  Измерения как один из основных способов познания природы, история исследований в данной области и роль великих ученых в развитии электроизмерительной науки. Основные понятия, методы измерений и погрешностей. Виды преобразователей токов и напряжений.
  
  контрольная работа [123,1 K], добавлен 26.04.2010
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам