Решение задачи об усилении света в нестационарном ВКР при полном фазовом согласовании

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение задачи об усилении света в нестационарном ВКР при полном фазовом согласовании

Логинов Дмитрий Викторович,

старший преподаватель кафедры

Технологий программирования

математического факультета

Мордовского Государственного

Университета им. Н.П.Огарева.



1. Введение

Наряду со стационарным вынужденным комбинационным рассеянием (ВКР) [1], имеющим место для импульсов длительностью много большей времени поперечной релаксации в КР-переходе, в последнее время большой интерес проявляется к нестационарному, или переходному ВКР [2]. Оно реализуется в альтернативной ситуации, когда длительность импульса накачки меньше или сравнима со временем фазовой памяти рассеивающих молекул. В этом случае отклик системы на внешнее излучение запаздывает, и ВКР приобретает ряд новых, не присущих стационарному ВКР, свойств. В условиях слабого истощения накачки [3] усиление входного стоксового сигнала в переходном ВКР не зависит от ширины линии КР, меньше усиления стационарного ВКР и определяется полной энергией импульса, а не его интенсивностью [2]. Эти выводы основываются, прежде всего, на аналитическом решении соответствующих уравнений. Однако существующее решение получено без учета антистоксовой компонентой.

В данной работе предлагается аналитическое решение аналогичной задачи, но с учетом антистоксовой волны. Решение получено при условии фазового синхронизма возбуждающей, стоксовой и антистоксовой волн. Рассматривается режим генерации, при котором излучение на смещенных частотах зарождается в среде вследствие спонтанной эмиссии. Для решения используется широко известный метод Римана-Вольтерра.



2. Уравнения модели и их преобразование

Рассмотрим ВКР лазерных импульсов мощностью 10⁷ Вт/см² и длительностью 10^-1110^-10 с. Для такого излучения населенности уровней молекул, участвующих в КР, не изменяются [2]. Если, кроме того, длина образца меньше определенной [5,6], то и возбуждающее излучение не истощается. В этом случае в пренебрежении эффектом Штарка в одномерном приближении [7] ВКР описывается системой уравнений [5,6]

,(1)

,(2)

,(3)

где - комплексные амплитуды стоксовой (), антистоксовой () и накачивающей () волн, фазы которых считаются согласованными, - недиагональный элемент коллективной матрицы плотности, определяющий поляризацию, наведенную в среде, - скорость по поперечной релаксации, - продольная координата, - запаздывающее время (- скорость волн),

,



(- рамановская поляризуемость на частоте (), - концентрация молекул, - линейная часть показателя преломления). Поле накачки считается заданным и вещественным.

Будем полагать, что стоксово излучение подается на образец

,(4)

.(5)

Антистоксово излучение порождается за счет параметрического взаимодействия накачивающей и стоксовой волн, т.е.

.(6)

Введем преобразование

(7)

В результате уравнения (1)-(3) не содержат релаксационного члена

,(8)

,(9)

.(10)



Перейдем в уравнениях (8)-(10) к новым амплитудам полей . Тогда эти уравнения примут вид

,(11)

,(12)

.(13)

Легко видеть, что уравнения можно переписать следующим образом

,(14)

,(15)

где - комбинация амплитуд рассеянных волн, .

Кроме того, уравнения (1), (2) имеют интеграл движения,

,

откуда следует

.(16)



Введем новую переменную

.(17)

Величина - это энергия импульса накачки к моменту времени . С ее использованием уравнение (15) записывается в виде

.(18)

Уравнения (14), (18) сводятся к уравнению 2 порядка. Для этого продифференцируем уравнение (18) по переменной и учтем уравнение (14).

.(19)

Аналогичное уравнение получается и для поля

.(20)

3. Интегрирование Римана-Вольтерра

Пусть дано дифференциальное уравнение

,(21)



где - переменные и .

Уравнение, сопряженное к уравнению (21), для дополнительной функции в нашем случае совпадает с самим уравнением

.(22)

Рассмотрим область , в которой одновременно и . Тогда

(23)

Где

(24)



Рис.1. Общая форма интегрирования Римана.

синхронизм фазовый антистоксовый волна

Для вычисления контурного интеграла выберем контур интегрирования в виде отрезка , отрезка и кривой (рис. 1). В этом случае, принимая во внимание, что

будем иметь

.(25)

Выберем решение уравнения (22), отвечающее граничным условиям

,

вдоль ,(26)

вдоль .



Тогда общее решение уравнения (21) есть

.(27)

Кривая выбирается так, чтобы удовлетворить граничным условиям для функции . Функция , удовлетворяющая уравнению (22) и граничным условиям (26), называется функцией Римана для этой задачи.

Вводя автомодельную переменную , уравнение (21) можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению

,(28)

которое, как известно, имеет в качестве частного решения модифицированную функцию Бесселя . Тогда функция Римана, удовлетворяющая условиям (26), есть

,(29)

где - координаты точки , а и - текущие координаты вдоль и ().

При граничных условиях (4)-(6) в качестве кривой выбирают ломаную , где , а . Тогда решение (27) может быть преобразовано к виду



.(30)

4. Решение уравнений. Обсуждение результатов

Для записи общего решения уравнения (19) в формуле (30) в качестве выберем переменную , а в качестве - переменную . Кроме того, примем во внимание уравнение (18). Тогда

.(31)

Аналогично для решения уравнения (20) примем за , а за . В результате

.(32)

Выберем теперь точку за начало координат (). С учетом граничных условий (4)-(6), имеем

,(33)

.(34)

Примем во внимание преобразование (7) и интеграл движения (16). В этом случае уравнения (33), (34) можно переписать следующим образом:



(35)

(36)

Если в формулах (35)-(36) использовать явный вид функции Римана

и ее производной

и учесть, что , то окончательно получим

(37)

(38)

Кроме того, с учетом соотношения (16)



(39)

Если рассмотреть случай , т.е. положить и считать входные импульсы накачки и Стокса подобными, т.е. принять , то интегралы в формулах (37)-(39) можно вычислить непосредственно.

В формуле (37)необходимо перейти к новой переменной и воспользоваться свойством . Таким образом, мы найдем

.(40)

Для поля удобно пользоваться не формулой (38), а выражением (36), откуда сразу получаем

.(41)

С учетом интеграла движения (16),

.(42)

Интенсивность компонент ВКР



,(43)

(44)

Еще раз отметим, что в формулах (40)-(44) величина .

При решения для , и будут иметь вид, аналогичный формулам (40)-(44), но с заменой в них функций Бесселя соответственно на , а - на . Решения, подобные выражениям (40)-(44), но для импульса накачки прямоугольной формы, получены ранее в работах других авторов.

Мы видим, что интенсивность рассеянного света зависит от параметра , энергии импульса и длины системы . При спонтанная эмиссия, возникшая на начальной стадии, быстро затухает с течением времени. Если , т.е. , то рассеянное излучение и не затухает, и не усиливается. Эта ситуация в корне отличается от переходного ВКР в отсутствии антистоксовой компоненты, когда усиление имеет место всегда [2].

При в случае больших усилений, т.е. , пользуясь асимптотическим представлением функции , выражения для интенсивности (43), (44) можно записать в виде

.(45)

Усиление в основном определяется экспоненциальным членом с декрементом . Из последней формулы следует, что при полном фазовом согласовании стоксовой, антистоксовой и возбуждающей волн антистоксов параметрический процесс играет роль фактора, сдерживающего рост стоксова излучения. Чем больше произведение , произведения (больше ), тем эффективней протекает процесс стоксовой генерации и тем меньше интенсивность антистоксова излучения (). Если , то антистоксовым рассеянием можно пренебречь вообще [8]. Зависимость декремента усиления от энергии импульса накачки и длины образца такая же, как и в случае переходного ВКР с отсутствующей антистоксовой компонентой [2].



Литература

1. В.А.Зубов, М.М.Сущинский, И.К.Шувалов. Стимулированное комбинационное рассеяние света // УФН, 1964, т.83, с.197-222.

2. С.А.Ахманов, К.Н.Драбович, А.П.Сухоруков, А.С.Чиркин. О вынужденном комбинационном рассеянии в поле сверхкоротких световых импульсов // ЖЭТФ, 1970, т.59, с.485-499.

3. D.Ben-Amotz, S.M.George, C.B.Harris. Transient stimulated Raman scattering in high laser depletion and its effects on vibrational dynamics experiments // Chem. Phys. Lett., 1983, v.97, p.533-537.

4. P.Курант, Д.Гильберт. Методы математической физики. - М.: Гостехиздат, 1951, т.2, 620с.

5. Н.И.Шамров. Нерезонансное кооперативное комбинационное рассеяние в протяженной системе // Опт. и спектр., 1984, т.57, с.43-49.

6. Н.И.Шамров. Эффекты фазовой релаксации в нерезонансном кооперативном комбинационном рассеянии // Опт. и спектр., 1984, т.57, с.623-627.

7. Н.И.Шамров. Нестационарное вынужденное комбинационное рассеяние: трехмерная модель и метод численного решения // Мат. модел., 2000, т.12, №1, с.3-12.

8. Н.И.Шамров. Квазирезонансное приближение для кооперативного комбинационного рассеяния света // Журн. прикл. спектр., 1996, т.63, с.91-94.

Размещено на Allbest.ru