Квантовые переходы в двух- и трехуровневых системах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Тепловые процессы являются основными в технологиях использующих интенсивные источники тепла. Как правило, их моделирование связано с решением достаточно сложной математической задачи, которая может быть решена только с использованием машинных методов счёта. Однако для оценки характера протекания процесса часто можно ограничится рассмотрением линейных моделей и последующим табулированием полученного решения на ЭВМ. Кроме того, такое рассмотрение позволяет проиллюстрировать эффективность подхода, согласно которому для поставленной задачи надо в начале получить возможные аналитические соотношения и уже, затем переходить к использованию численных методов. Для реализации этих методов используется среда Matlab.

Курсовая работа направлена на поддержку курса «Квантовая и оптическая электроника» в части курса касающейся применения интегрального преобразования Лапласа для решения нестационарных тепловых задач. Она состоит из теоретической части, в которой даны основные определения и рассмотрены 2 вида нестационарных процессов, создаваемых импульсными и периодическими источниками тепла. Для анализа тепловых процессов на ЭВМ используются:

- при импульсном нагреве асимптотика решения при где - длительность импульса;

- при периодическом нагреве асимптотический метод, основанный на теории вычетов и последующим представлении решении в виде тригонометрического ряда.

Хотя для понимания особенностей протекания тепловых процессов достаточно одномерной постановки задачи, для иллюстрации возможностей графического представления результатов, рассмотрен нагрев источниками тепла с гауссовым распределением поглощённой плотности мощности.

1 Квантовые переходы в двухуровневых системах

Рассмотрим двухуровневую систему, в которой - частота спонтанных переходов с уровня 2 на уровень 1, и - вероятности вынужденных переходов между уровнями (Рис 1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

квантовый переход рубиновый лазер

Пусть - населенности атомов на уровнях. Кинетическое уравнение, описывающее изменение атомов на уровнях имеет вид:

(1.1)

или, используя векторную запись:

, где

, ;

отсюда сразу следует соотношение:

;,

которое представляет собой закон сохранения атомов в системе. Обозначим , . Система принимает вид:

.(1.2)

1.2 Стационарное состояние двухуровневой квантовой системы

Пусть , так что. Система (1.1) принимает вид:

Отсюда:

,;(1.3)

где В - коэффициент Эйнштейна для вынужденного перехода,

Uн - плотность энергии внешнего электромагнитного поля (мощность накачки).

Особенность вынужденных переходов: W12=W21=BUн.

Изменение населенностей атомов на уровнях 1 и 2, описанных соотношениями, имеет вид:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Таким образом, в двухуровневой системе нельзя получить инверсию населенности при сколь угодно большой мощности накачки .

Построим в Matlab график изменения населенности атомов на уровнях 1 и 2:

Исходные данные:

Пусть N0=1; N1=1; N2=0; b и мощность накачки BUн меняется в переделах от 0 до 108.

n0=1; a=1e8; b=0:1e4:1e8;

n1=(a+b)./(2*b+a);

n2=b./(2*b+a);

n3=0.5;

plot(b,n1,b,n2,b,n3)

xlabel('U_v')

ylabel('N_i')



1.3 Нестационарные процессы в двухуровневых системах

Решая систему (2) последовательно имеем:

1) Собственные числа :

Отсюда:

,;

2) Матрицу собственных векторов , :

, , , ,

,, ,,

Отсюда:

3) Обратную матрицу:

4) Главная фундаментальная матрица:

Следовательно, решение начальной задачи имеет вид:

,(1.4)

или в подробной записи:

,(1.5)

где коэффициенты и определены в п.п. 1.1.

Формулы (1.4), (1.5) дают решение задачи (1.1). Это означает, что любую информацию об и проще получить из формул, чем непосредственно из (1.2).

Например,

а) ,

;

Отсюда:.

б) ,

или .

в) ,

или .

Найдем значения N1 и N2 в среде Matlab сначала в символьном а затем и численном виде.

Главная фундаментальная матрица: X(t)=exp(A2t).

Решение начальной задачи имеет вид: N(t)=X(t)N(0).

Числовые данные: W12=103; W21=103; A21=108; N01=0; N02=1.

Решение в символьном виде:

syms N N1 N2 N0 N01 N02 A W12 W21 A21 t;

% W12=1e3; W21=1e3; A21=1e8; N01=0; N02=1;

N=[N1;N2];

N0=[N01;N02];

A=[-W12, (A21+W12); W12, -(A21+W12)];

N=expm(A*t)*N0;

N1=N(1)

N2=N(2)

N1 =

(W12+A21+W12*exp(-2*t*W12-t*A21))/(2*W12+A21)*N01-(A21*exp(-2*t*W12-t*A21)-A21+W12*exp(-2*t*W12-t*A21)-W12)/(2*W12+A21)*N02

N2 =

-W12*(exp(-2*t*W12-t*A21)-1)/(2*W12+A21)*N01+(W12+A21*exp(-2*t*W12-t*A21)+W12*exp(-2*t*W12-t*A21))/(2*W12+A21)*N02

Решение в численном виде:

%syms N N1 N2 N0 N01 N02 A W12 W21 A21 t;

W12=1e3; W21=1e3; A21=1e8; N01=0; N02=1;

N=[N1;N2];

N0=[N01;N02];

A=[-W12, (A21+W12); W12, -(A21+W12)];

N=expm(A*t)*N0;

N1=N(1)

N2=N(2)

N1 =-100001/100002*exp(-100002000*t)+100001/100002

N2 =1/100002+100001/100002*exp(-100002000*t)

2. Кинетические процессы в трехуровневых квантовых системах (рубиновый лазер)

В рубиновом лазере в качестве активного вещества используют монокристаллическкую окись алюминия Al2O3 с решеткой сапфира, в которой часть ионов алюминия Al+3 изоморфно замещены ионами Cr+3. Концентрация ионов хрома не превышает ~1,6·1019 ат/см3. При больших концентрациях происходит взаимодействие ионов Cr+3 между собой, что приводит к искажению энергетического спектра ионов.

Розовый цвет кристаллов обусловлен широкими полосами поглощения Cr+3. Генерация лазерного излучения происходит за счет переходов ионов Cr+3 между уровнями. Такие ионы называются активными. Энергетические уровни ионов, имеющие отношение к лазерной генерации имеет вид (рис.1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рубиновые лазеры, как правило, работают в импульсном режиме. Из-за низкого К.П.Д. () они неэкономичны по сравнению с другими лазерами, работающими в непрерывном режиме. Эти лазеры имеют следующие выходные характеристики:

	Режим свободной генерации	Режим модуляции добротности резонатора
tи	~ 1-3 мс	~ 10 нс
Eи	? 500 Дж	~ 25 Дж
Ши	~ 1Гц	~ 1Гц
Pи	? 106-107Вт	~ 109 Вт

2.1 Квантовые переходы в трехуровневых системах

Схема энергетических уровней лазера на рубине, в которых происходят квантовые переходы, имеет вид (рис.2).

Уровень 1 называется основным уровнем; уровень 3 - уровнем накачки; уровень 2 - верхним уровнем лазерной генерации. В трехуровневых лазерах нижний уровень лазерной генерации совпадает с основным.

Под действием излучения накачки ионы Cr+3 переходят на широкий уровень 3, с которого безизлучательным образом переходят на верхний уровень лазерной генерации 2. Так как вероятность перехода A32 значительно превышает вероятность перехода A31, то при накачке достигается состояние с инверсией населенности. Уровень 2 является метастабильным и время жизни на нем ~10-3 с, имеет порядок длительности лазерного импульса в режиме свободной генерации. Генерация излучения с длиной волны 0,69 мкм происходит при переходе 2>1.

Изменение населенностей уровней в процессе накачки представлена на (рис.3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

2.2 Кинетические уравнения

Кинетические уравнения, описывающие уравнение населённостей в трёхуровневой системе имеют вид:

(2.1)

Отсюда следует выражение:

,

которое представляет собой закон сохранения атомов в системе:

,

2.3 Стационарное состояние трёхуровневой системы

В стационарном состоянии:

и система (2.1) принимает вид:

(2.2)

Найдём требования к вероятностям переходов (временам жизни ионов на уровнях), которые обеспечивают состояние с инверсией населённостей:

.

Из первого и второго уравнений системы имеем:

,

.

Отсюда:

(2.3)

или в терминах "времени жизни" на уровнях:

Отсюда следует, что:

а) , то есть ионы должны большее время находиться на уровне 2 по сравнению с уровнем 3.

б) , то есть ионы должны преимущественно переходить на уровень 2, а не на уровень 1.

Мощность излучения накачки связана с соотношением:



С учётом а) и б), . В процессе генерации: , . Отсюда минимальная мощность накачки в трёхуровневой системе равна:

2.4 Задание на расчёт кинетических процессов в трёхуровневых системах

Используя векторную форму записи:

рассчитать изменение населённостей уровней при следующих значениях времени жизни с, с, с, с начальными населённостями уровней , .

Найти интервалы изменения кинетических характеристик, которые обеспечивают состояние с инверсией населенностей (2.3)

Проведем расчет изменение населённости уровней в среде Matlab.

Решение в символьном виде:

syms N0 N01 N02 N03 N N1 N2 N3 P13 W21 P31 A31 W12 A32 t

N0=[N01;N02;N03];

N=[N1;N2;N3];

A=[-P13,W21,(P31+A31);0,-W21,A32;P13,0,(A31+A32)];

Используем разложение показательной функции в ряд, где показателем степени является матрица

G=1+A*t/1+((A*t)^2)/2 + ((A*t)^3)/6;

H=G*N0

H =

(1-t*P13+1/2*t^2*P13^2+1/2*t^2*(P31+A31)*P13-1/6*t*P13*(t^2*P13^2+t^2*(P31+A31)*P13)+1/6*t^3*W21*A32*P13+1/6*t*(P31+A31)*(-t^2*P13^2+t^2*(A31+A32)*P13))*N01+(1+t*W21-1/2*t^2*P13*W21-1/2*t^2*W21^2-1/6*t*P13*(-t^2*P13*W21-t^2*W21^2)+1/6*t^3*W21^3+1/6*t^3*(P31+A31)*P13*W21)*N02+(1+t*(P31+A31)-1/2*t^2*(P31+A31)*P13+1/2*t^2*W21*A32+1/2*t^2*(P31+A31)*(A31+A32)-1/6*t*P13*(-t^2*(P31+A31)*P13+t^2*W21*A32+t^2*(P31+A31)*(A31+A32))+1/6*t*W21*(-t^2*W21*A32+t^2*A32*(A31+A32))+1/6*t*(P31+A31)*(t^2*(P31+A31)*P13+t^2*(A31+A32)^2))*N03

(1+1/2*t^2*A32*P13-1/6*t^3*W21*A32*P13+1/6*t*A32*(-t^2*P13^2+t^2*(A31+A32)*P13))*N01+(1-t*W21+1/2*t^2*W21^2-1/6*t^3*W21^3+1/6*t^3*W21*A32*P13)*N02+(1+t*A32-1/2*t^2*W21*A32+1/2*t^2*A32*(A31+A32)-1/6*t*W21*(-t^2*W21*A32+t^2*A32*(A31+A32))+1/6*t*A32*(t^2*(P31+A31)*P13+t^2*(A31+A32)^2))*N03

(1+t*P13-1/2*t^2*P13^2+1/2*t^2*(A31+A32)*P13+1/6*t*P13*(t^2*P13^2+t^2*(P31+A31)*P13)+1/6*t*(A31+A32)*(-t^2*P13^2+t^2*(A31+A32)*P13))*N01+(1+1/2*t^2*P13*W21+1/6*t*P13*(-t^2*P13*W21-t^2*W21^2)+1/6*t^3*(A31+A32)*P13*W21)*N02+(1+t*(A31+A32)+1/2*t^2*(P31+A31)*P13+1/2*t^2*(A31+A32)^2+1/6*t*P13*(-t^2*(P31+A31)*P13+t^2*W21*A32+t^2*(P31+A31)*(A31+A32))+1/6*t*(A31+A32)*(t^2*(P31+A31)*P13+t^2*(A31+A32)^2))*N03

Решение в численном виде:

%syms N0 N01 N02 N03 N N1 N2 N3 P12 W21 P31 A31 W12 A32 t

N01=0; N02=0; N03=1; W21=1e3; P13=1e3; A31=1e6; A32=1e8;

N0=[N01;N02;N03];

N=[N1;N2;N3];

A=[-P13,W21,(P31+A31);0,-W21,A32;P13,0,(A31+A32)];

G=1+A*t/1+((A*t)^2)/2 + ((A*t)^3)/6;

H=G*N0;

H1=H(1)

H2=H(2)

H3=H(3)

H1 =

1+t*(P31+1000000)+50499500*t^2*(P31+1000000)+50000000000*t^2-500/3*t*(100999000*t^2*(P31+1000000)+100000000000*t^2)+5049950000000000000/3*t^3+1/6*t*(P31+1000000)*(1000*t^2*(P31+1000000)+10201000000000000*t^2)

H2 =

1+100000000*t+5049950000000000*t^2-5049950000000000000/3*t^3+50000000/3*t*(1000*t^2*(P31+1000000)+10201000000000000*t^2)

H3 =

1+101000000*t+500*t^2*(P31+1000000)+5100500000000000*t^2+500/3*t*(100999000*t^2*(P31+1000000)+100000000000*t^2)+50500000/3*t*(1000*t^2*(P31+1000000)+10201000000000000*t^2)

Размещено на Allbest.ru