Підтвердження законів геометричної оптики через закони хвильової оптики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Підтвердження законів геометричної оптики через закони хвильової оптики



Зміст

Вступ

Розділ 1. Доведення законів відбивання світла

1.1 Доведення законів заломлення світла

1.2 Поширення світла в ізотропних та анізотропних середовищах Поляризація

Розділ 2. Від'ємний показник заломлення

Висновки

Література



Вступ

Більшість відомостей про природу і навколишнє середовище людина отримує за допомогою зорового сприйняття, створеного світлом. Світло за своєю природою - явище електромагнітне, але воно одночасно проявляє хвильові ( в явищах інтерференції, дифракції, поляризації, дисперсії) і квантові властивості (в явищах фотоефекту, люмінесценції і т.і.). Із зменшенням довжини хвилі (збільшенням частоти) дедалі чіткіше проявляються квантові властивості світла.

З точки зору сучасних теорій неправильно було б протиставляти хвильові та квантові властивості світла. Навпаки, їх можна порівнювати і поєднувати на основі теорії відносності та сучасних положень квантової фізики. З позицій сучасної фізики немає розбіжностей між квантовими і хвильовими уявленнями про світло - це різні властивості одного явища.

Не варто вважати, що усі фундаментальні фізичні проблеми вже давно вирішені. На даному етапі розвитку фізики актуальним є питання про від'ємний показник заломлення.

Вперше питання про існування речовин з від'ємним показником заломлення поставив ще у 1944 році Л.І. Мандельштам [1]. Тоді це питання викликало лише подив і нерозуміння, тому і не отримало розвитку. Пізніше радянський фізик Віктор Віселаго, опублікував в журналі «Успехи физических наук» в 1968р. роботу, в якій мова йшла про можливість існування матеріалу з від'ємним показником заломлення. Автор прийшов до висновку, що з таким матеріалом майже всі відомі оптичні явища розповсюдження хвиль суттєво зміняться.

На даному етапі розвитку ведуться інтенсивні дослідження явищ, які пов'язані з цим питанням. Зараз уже відкрито особливий, штучний, модифікований матеріал під назвою - метаматеріал. Властивості таких матеріалів можна змінювати таким чином щоб вони мали більш широкий діапазон електромагнітних характеристик, включаючи від'ємний показник заломлення.

Дослідження, створення та застосування таких матеріалів дає великі можливості. За словами Девіда Шуріга із Університету Дьюка в Дарамі, штату північна Кароліна , який також займається питанням про метаматеріали, за допомогою таких матеріалів можна зробити невидимими літаки, танки та навіть великі будинки. Але задля досягнення таких перспектив необхідно розв'язати ряд проблем. Наприклад їх неможливо зробити однаково невидимими для всіх діапазон частот, ті і.н.ш. Такі питання є дуже актуальними на сьогодні. Тому метою даної роботи є виявити чи достатньо знань з геометричної та хвильової оптики, які набувають студенти навчаючись за інститутною програмою, пояснити результати сучасних досягнень в геометричній оптиці

Об'єктом дослідження виступає геометрична оптика.

Предметом дослідження є фізичний аналіз різних методів та прийомів доведення законів геометричної оптики за допомогою законів хвильової оптики.

Виходячи з об'єкту, предмету та мети дослідження перед нами постали такі задачі:

· Порівняти доведення законів геометричної оптики за допомогою принципу Ферма та за принципом Гюйгенса в ізотропних середовищах.

· Ознайомитись із літературними джерелами , де висвітленні новітні досягнення в геометричній оптиці.

· Розглянути заломлення в анізотропних середовищах.

· Розібратися в основних положеннях від'ємного відбивання та заломлення.



Розділ 1. Доведення законів відбивання світла

В основі геометричної оптики лежать два закони - закон відбивання та закон заломлення світла. Спочатку вони були встановленні як експериментальні закони.

Ще до встановлення природи світла були відомі наступні основні закони оптики:

Закон прямолінійного розповсюдження світла в оптично однорідному середовищі ;

Закон незалежності світлових пучків (тільки в лінійній оптиці);

Закон відбивання світла;

Закон заломлення світла.

Закон відбивання світла був відкритий Евклідом (IV ст.. до н.е) і незалежно французьким математиком і філософом Рене Декартом.

Закон відбивання світла можна довести використовуючи принцип Ферма та через хвильові властивості світла.

Ряд задач з оптики зручно вирішувати, користуючись принципом, сформульованим французьким математиком П. Ферма (1601-1665) у 1660 р. У багатьох книжках для вузу цей принцип називають принципом найменшого часу, згідно з яким промінь, що поширюється між двома точками, вибирає шлях, якому відповідає найменший час поширення. Але правильно формулювати його наступним чином: з однієї точки в іншу світло поширюється таким шляхом, щоб час поширення був екстремальним. Інше формулювання цього принципу таке: для справжнього шляху перша варіація довжини шляху (виміряна в довжинах хвиль) дорівнює нулю.

Отже використаємо його для доведення закону відбивання світла.



Рис.1.1.а

Нехай промінь світла із точки А падає на дзеркальну поверхню (рис1.1.а). Відбитий від дзеркала промінь потрапляє в точку В. Згідно принципу Ферма, визначимо шлях , який необхідний затратити для розповсюдження світла із точки А в точку В. Опустимо нормаль із точок А і В до дзеркальної поверхні. Ведемо позначення: А₁О = х , А₁В₁ = а = соnst, АА₁ = h₁, ВВ₁= h₂ . Час, який необхідно затратити для розповсюдження світла із точки А в точку В з умови відбивання від дзеркальної поверхні, буде дорівнювати

(1.1.1)

де х - швидкість розповсюдження світла. З останнього виразу бачимо, що час розповсюдження світла залежить від положення точки О, тобто від змінної х. Тоді згідно принципу Ферма маємо :

(1.1.2)

Звідси, sin Я +sin r = 0, отже Я = -r. Знак мінус показує, що кути Я та r розташовані по різним сторонам нормалі до поверхні.

Промінь падаючий і відбитий лежать в одній площині з нормаллю до поверхні точці падіння променя. Кут відбивання дорівнює куту падіння

Я = r.

На рис. 1.1.б зображена схема, яка пояснює відбиття світлової хвилі Е від плоскої границі розділу SS двох оптичних різних середовищ. Цифрами 1, 2, 3, 4… позначенні паралельні промені, вдовж яких розповсюджується енергія хвилі, один з плоских фронтів який зображений прямою Е , нормально до променів.

Рис.1.1.б

Світлові коливання, вздовж променя 1, збуджують в точці О₁ елементарну сферичну хвилю I, яка за час ?t проходить шлях O₁A₁' = с?t. Аналогічні світлові коливання збуджують в точках O₂, O₃, O₄,…. елементарні сферичні хвилі II, III, IV. За час ?t коливання , яке йде вздовж променя 2, пройде шлях О₂А₂, і після зустрічі з поверхнею SS сферична хвилю II пройде шлях О₂А₂ ', причому О₂А₂'+ О₂А₂ = O₁A₁'. Точно так будемо мати: О₃А₃'+ +О₃А₃ = O₁A₁' і так далі. Внаслідок цього елементарні сферичні хвилі I, II, III, IV,… будемо мати загальну дотикаючу поверхню Е?, яка дотикається до елементарних хвиль I, II, III, IV,….. в точках А₁?, А₂?, А₃?, А₄?,…. Ця спільна дотикаюча поверхня і буде представлять поверхню відбитої світлової хвилі [2,c.160-161].

Так як світло поширюється в одному середовищі, то швидкість падаючих і відбитих хвиль однакова, час поширення падаючого світла від точки (розберемо на прикладі точок А₄ і відповідно А₄ ' ) А₄ до точки А₄? рівний часу за який відбите світло дійде від О₁ до А₄, тому шляхи А_'1А₄? і О₁А₄ рівні. З геометричних міркувань трикутники А₁' А₄? О₁ і А₄? О₁А₄ рівні,

А₁' А₄? О₁ = А₄? О₁А₄ а це свідчить проте що і=і'

Кут падіння і рівний куту відбиття і?, промінь падаючий і відбитий знаходяться в одній площині з перпендикуляром, опущеним на поверхню розділу в точку падіння.

1.1 Доведення законів заломлення світла

відбивання світло ізотропний фазовий

Доведення закону заломлення за допомогою принципу Ферма.

Нехай маємо два прозорих середовища з показниками заломлення n₁ і n₂ (рис..1.2.1.). Промінь, який вийшов з точки А першого середовища, після заломлення на границі розділу буде слідувати по деякій прямій ОВ. Доведемо, виходячи із принципу Ферма, що промінь світла із точки А в точку В розповсюджується в відповідності з законом заломлення .

Рис..1.2.1.

Позначимо А₁О = х, А₁ В₁ = а = const, АА₁ = h₁ , ВВ₁ = h₂. Тоді необхідний час для розповсюдження світла із точки А в точку В, дорівнює



(1.2.1)

де х₁ та х₂ - швидкості розповсюдження світла в відповідно в першому і другому середовищі. Час розповсюдження світла залежить від положення точки О. Згідно принципу Ферма, нагадаємо його: з однієї точки в іншу світло поширюється таким шляхом, щоб час поширення був екстремальним. Отже, промінь світла із всіх можливих шляхів (АОВ, АО₁В, АО₂В і т.п) «вибере» той, котрий потребує екстремального часу (мінімального або максимального) розповсюдження, тобто буде реальним той шлях, для якого має місце dt = 0. Отже,

(1.2.2)

Звідси, . (1.2.3)

Оскільки будь-який шлях від точки А до точки В, який лежить поза площиною, проведений через точки А та В нормально до границі розділу, світло проходить за більший час, ніж шлях АОВ, який лежить в площині падіння, то із принципу Ферма випливає: шлях, який потребує мінімального часу, лежить в площині падіння, тобто падаючий і заломлений промінь лежать в одній площині - площині падіння.

Закон заломлення безпосередньо виходить із хвильової теорії світла, що пояснює рис..1.2.2. Паралельний пучок світла L падає на поверхню розділу SS двох середовищ. Нехай фазова швидкість світла в першому середовищі v₁ , в другому v_{2 .}



Рис.1.2.2

Фронт хвилі ОА, який прийшов в перше середовище до поверхні розділу SS в точці О₁ , відстає від поверхні розділу SS в точці О₃ на величину шляху АВ. Згідно принципу Гюйгенса падаюча на поверхню SS хвиля О₁ А збуджує в другому середовищі вторинні елементарні хвилі, котрі із кожної точки поверхні SS поширюються в вигляді сферичних хвиль I, II, III,…Складаючись між собою, вторинні хвилі дають плоскі хвилі, один із фронтів яких ВС показаний на рис..1.1.б. За час t точка А фронту ОА в першому середовищі пройде шлях АВ = х₁ t, а хвиля із точки О₁ за цей час пройде в другому середовищі шлях О₁ С = х₂ t. З малюнку бачимо, що

Отже,

(1.2.4)

Величина

(1.2.5)

Якщо світло падає на середовище II із вакууму, то



(1.2.6)

Аналогічно для n₁ можна записати:

(1.2.7)

Із (1.2.6) та (1.2.7) випливає, що

(1.2.8)

Підставляючи вираз (1.2.8) в формулу (1.2.4) , отримаємо

. (1.2.3*)

Отже, промінь падаючий, промінь заломлений і перпендикуляр, поставлений у точку падіння, лежать в одній площині. При будь-якому куті падіння відношення синуса кута падіння до синуса кута заломлення є величиною, сталою для двох певних середовищ, і називається показником заломлення другого середовища відносно першого [2, с.162-163].

Прояв законів заломлення в дисперсії

Дисперсією світла називають залежність фазової швидкості (або показника заломлення) від частоти (довжини хвилі л)[3,c.80-81].На основі сказаного запишемо,



( 1.2.9)

Цю залежність було експериментально отримано І. Ньютоном в 1672році.

Розглянемо дисперсію світла в призмі. Нехай монохроматичний пучок світла падає на призму з показником заломлення n під кутом б₁ (рис.1.2.3.). Після дворазового заломлення ( на лівій та правій грані) промінь виявляється відхиленим від початкового напрямку на кут ц.

Рис.1.2.3

Із малюнку бачимо, що

ц = (б₁ - в₁)+(б ₂- в₂) = б₁ + б₂ -А. ( 1.2.10)

Припустимо, що вузли А та б₁ малі, тоді кути б ₂ , в₁ і в₂ будуть також малі і замість синусів цих кутів можна використати їхні значення. Тому б₁ /в₁ = n,

в₂ / б ₂ =1/n, а так як в₁ + в₂ = А, тоді

б₂ =в₂ n = n(A-в₁) = n(A-б₁ /n) = nA - б₁ ,

б₁ + б₂ =nА. (1.2.11)

Із виразів (1.2.11) та ( 1.2.10) випливає те, що

ц = А(n-1), (1.2.12)

Отже, кут відхилення променів призмою тим більший чим більший кут призми. З виразу (1.2.12) випливає, кут відхилення призмою залежить від величини n-1, а n - функція довжини хвилі, тому промені різних довжин хвиль після проходження призмою виявляться відхиленими на різні кути, так пучок білого світла за призмою розкладаються в спектр, що і спостерігав І. Ньютон [4,c.299].

Величина називається дисперсією речовини, і показує, як швидко змінюється показник заломлення з довжиною хвилі.

Рис.1.2.4

Із рис.1.2.4 маємо, що показник заломлення для прозорих речовин зі зменшенням довжини хвилі монотонно збільшується; відповідно, величина по модулю також збільшується зі зменшенням л. Така дисперсія називається нормальною.

А якщо n зменшується зі зменшенням л, така дисперсія називається аномальною (рис.1.2.5)

Рис.1.2.5

Фазова та групова швидкості.

Із електромагнітної теорії світла випливає, що швидкість світла с? в середовищі визначається формулою:

(1.2.13)

де е та м - діелектрична і магнітна проникливість середовища; с - швидкість світла в вакуумі.

Величина (1.2.14)

представляє собою абсолютний показник заломлення середовища. Величина n залежить від частоти світлових коливань і може вважатись сталою для певного середовища при певній частоті світлових коливань ідеально монохроматичної світлової хвилі. Така хвиля може бути записана виразом:



(1.2.15)

де та - миттєве та амплітудне значення напруги поля світлової хвилі; - одиничний вектор нормалі до поверхні хвилі; щ - циклічна частота світлових коливань; - радіус вектор, проведений із початку координат в точку хвилі; с'- фазова швидкість (надалі будемо позначати її через х). Фазовою швидкістю називається швидкість розповсюдження фази ідеально монохроматичної хвилі , тобто синусоїдальної хвилі з постійною амплітудою, частотою і початковою фазою, які тривають в часі та просторі від -? до +?. Фазова швидкість являє собою чисто розрахункову величину.

Вираз (1.2.15) можна записати в вигляді:

(1.2.16)

де , - вектор нормалі (1.2.17)

являє собою хвильовий вектор, а величина

(1.2.18)



k - циклічне хвильове число, виражене через довжину хвилі л в середовищі і частоту н наступним чином:

(1.2.19)

Так як світлові хвилі завжди розповсюджуються скінчений час, то вони не являються ідеально монохроматичними , але згідно теореми Фур'є вони можуть бути представленні сумою ідеально монохроматичних хвиль:

(1.2.20)

де індекс m означає m-ту спектральну компоненту суми монохроматичних хвиль. Цей вираз являє собою дискретну суму монохроматичних хвиль, тобто перервний, лінійчатий спектр. Але цей вираз можна лише приблизно застосувати для реального випромінювання , так як амплітуди змінюються з часом. Тому для реальних випромінювань можна записати:

(1.2.21)

де В(щ) dщ - «амплітуда» квазімонохроматичного випромінювання, яке лежить в інтервалі спектра щ і щ+dщ. В випадку, якщо середовище, в якій розповсюджується така немонохроматична хвиля , яка має дисперсію, то швидкість її розповсюдження не може бути охарактеризована величиною v по формулі (1.2.13), так як різні синусоїдальні компоненти складної хвилі (1.2.21) розповсюджуються з різною швидкістю і форма складної хвилі постійно змінюється. Але і в складній не синусоїдальній хвилі можна знайти характерні точки (область), переміщення яких буде характеризувати швидкість її розповсюдження. Ця швидкість називається груповою швидкістю.

Якщо мова йде про розповсюдження обірваних синусоїдальних цугів хвиль (рис. 1.2.6.є), то характерними точками можуть бути точки А переднього фронту цуга. Якщо ж хвиля представляє собою одиничний імпульс в вигляді одиничного «підвищення » (рис.1.2.6.ж), то в якості такої точки можна взяти таку точку максимуму «підвищення».

Для того щоб визначити групову швидкість , розглянемо групу хвиль , яка складається із двох синусоїдальних хвиль з дуже малою різницею частот і відповідно з малою різницею довжин хвиль:

(1.2.22)

де щ₂ = щ₁ + ?щ, с₂ = с₁ +?с, л₂ = л₁ +?л. При цьому ?щ<<щ₁ , ?с<<c₁ , ?л<<л_1,



Так як хвилі розповсюджуються в лінійному середовищі , то має місце принцип суперпозиції, результуюча хвиля-група (під групою хвиль розуміють хвильове утворення, яке займає настільки малу ділянку спектра, в межах якої можна вважати величину зміни фазової швидкості пропорційною зміні довжини хвилі), представляє собою алгебраїчну суму хвиль Е=Е₁ +Е₂ .

Замінюючи де k₁, k₂ - циклічні хвильові числа, для групи хвиль:

Е=Е₁ +Е₂ = E₀[cos (щ₁t-k₁r)+ cos (щ₂ t-k₂r)] . (1.2.23)

Застосуємо правила тригонометрії:

(1.2.24)

Перший множник визначає швидкість хвилі, яка має частоту, хвильове число і швидкість, проміжкові між такими для складених хвиль, тобто

(1.2.25)



- фазова швидкість складеної хвилі. Другий множник визначає зміну амплітуди хвилі. Із відношення

=соnst (1.2.26)

для швидкості розповсюдження амплітуди хвилі знаходимо:

(1.2.27)

Коли щ₂>щ₁ і k₂ >k₁ , будемо мати:

(1.2.28)

Отже, швидкість розповсюдження амплітуди хвилі, представляє собою групову швидкість і визначається виразом (1.2.28)[2, c.269-271]. За допомогою цього виразу можна знайти зв'язок між u c х і л, якщо використати

(1.2.29)

Тоді для u отримаємо, попередньо виразивши dщ і dk із (1.2.29) :

(1.2.30)



Якщо >0, то має місце нормальна дисперсія (як уже було зазначено вище). В цьому випадку групова швидкість менше фазової (u < х) Ця нерівність справджується при поширенні світла в склі та інших прозорих середовищах. Якщо ж <0 то середовище володіє аномальною дисперсією і групова швидкість більше фазової (u > х). Таке середовище називається зверх дисперсійним. Для вакууму =0, в вакуумі дисперсії немає: групова та фазова швидкість співпадають.

Групова швидкість характеризує швидкість перенесення енергії групи хвиль. В усіх методах вимірювання швидкості світла вимірюють групову швидкість. Фазова швидкість не має нічого спільного зі швидкістю перенесення енергії, вона тільки встановлює зв'язок між фазами коливань у різних точках простору. Фазову швидкість виміряти безпосередньо неможливо, її визначають за допомогою співвідношення , де с - швидкість світла у вакуумі; п - показник заломлення середовища [5, c.199].

Існує графічний спосіб знаходження групової швидкості по кривій залежності фазової швидкості від довжини хвилі х(л).

Рис.1.2.7



Як видно з рис.1.2.7відрізок, який відсікає на осі ординат дотикаючої х(л), проведений в будь-якій точці А цієї кривої, рівний , тобто значенню групової швидкості u₀ в точці А. Відповідно, якщо крива х(л) достатньо круто піднімається, то групова швидкість може стати рівною нулю і стати від'ємною , як, наприклад, в точці л₂ на рис.1.2.8. При від'ємній груповій швидкості «повільно змінююча амплітуда» рухається в бік, протилежний напрямкові розповсюдження хвиль, які складають групу [1,c.451-452].

Рис.1.2.8

Із рис.1.2.і бачимо що, групова швидкість може набувати різних значень. А саме: u >0, тобто групова швидкість може бути додатною (на рис. це u₁), u<0 - від'ємною (на рис. це u₃ ) , u=0 групова швидкість рівна нулеві (на рис. це u₂).

1.2 Поширення світла в ізотропних та анізотропних середовищах. Поляризація

Світлова хвиля складається з багатьох цугів електромагнітних хвиль (електромагнітна хвиля - це електромагнітне поле , яке поширюється в просторі), що випромінюються окремими атомами. Площина коливань (площина коливань вектора ) для кожного цугу орієнтована випадково. Тому в природному світлі коливання різних напрямків швидко і хаотично змінюють одне одного (рис.1.3.1.а).

Рис.1.3.1

Світло, в якому напрямок коливань якимось чином впорядкований, називається поляризованим. Якщо коливання світлового вектора (вектора ) відбувається в одній площині, світло називають плоско- (або лінійно-) поляризованим (рис1.3.1.б). Якщо кінець вектора описує еліпс, то світло називається еліптично-поляризованим.

Кількісною характеристикою поляризації служить ступінь поляризації. Для його визначення необхідно провести у площині, в якій лежать електричні вектори, декартову систему координат і спроектувати амплітудні значення векторів Е з однієї чверті на ці осі. Потім знайти суми проекцій ?Е_х та ?Е_У. Оскільки інтенсивність пропорційна квадрату амплітуди, то І_х =(?Е_х)² та І_у =(?Е_У)² . Ступінь поляризації визначається виразом

(1.3.1)



Для лінійно поляризованого світла І_х = 0. Тоді Р = 1. Для природного світла І_х = 1_у, оскільки суми проекцій векторів на обидві осі однакові за величиною. Тому Р = 0.

В ізотропних тілах електричні , оптичні властивості речовини однакові у всіх напрямках. До ізотропних тіл відносяться гази, більшість рідин і аморфні тверді тіла. А в кристалах навпаки спостерігається різні властивості в різних напрямках. Такі середовища, у яких властивості залежать від напрямку називаються анізотропними.

Для ізотропних середовищ між вектором електричної індукції і вектором напруженості електричного поля існує зв'язок:

=е, (1.3.2)

де е - діелектрична проникність середовища. Відповідно компоненти вектора по осям координат х, у,z запишуться в вигляді:

_х=е_х, _у=е_у, _z=е_z, (1.3.3)

Так як, діелектрична проникність для різних напрямків електричного поля в кристалі різна, то компоненти вектора по осям являються функціями всіх трьох компонентів вектора :

D_x = е_xx E_x + е_xy E_y +е_xz E_z ,

D_y = е_yx E_x + е_yy E_y +е_yz E_z , (1.3.4)

D_z = е_zx E_x + е_yz E_y +е_zz E_z .



Із останнього виразу бачимо, що діелектрична проникність представлена дев'ятьма значеннями, які визначаються тим, в якому напрямку діє електричне поле і в якому напрямку спостерігаються компоненти . Але так як шість значень е рівні (е_xy = е_yx , е_xz = е_zx , е_yz = е_yz ), то залишається тільки шість незалежних значень е. Враховуючи, те що всі кристали мають три головні напрямки - головні електричні вісі кристала і якщо обрати ці вісі в якості осей координат, то зв'язок між і можна записати:

D_x = е_xE_x ,

D_у = е_y E_y , (1.3.5)

D_z = е_z E_z ,

де е_x , е_у , е_z - значення діелектричної проникності відповідно до випадків дії електричного поля по вибраним вісям x, y, z.(Коли е_x = е_у = е_z , то середовище буде ізотропним.) [2, c.237-238]

В ізотропних середовищах швидкість світла не залежить від напрямку поширення, і поверхня, до якої поширюються хвилі за певний проміжок часу, буде сферичною. Оскільки фронт хвилі в кожній точці визначається площиною, дотичною до хвильової поверхні, а нормаль до цієї площини визначає напрям поширення хвилі, то для ізотропного середовища нормаль до хвильової поверхні N збігається з променем S, який визначає напрям поширення світлової енергії (рис. 1.3.3а).



Рис.1.3.3

Щодо питання поширення світла в анізотропному середовищі, використаємо розв'язок системи рівнянь Максвелла для немагнітних анізотропних діелектриків. З них випливає, що швидкість поширення світла в анізотропних середовищах залежить від напряму, хвильова поверхня не сферична, а нормаль до неї N і промінь S не збігаються (рис.1.3.3.б). Це зумовлює необхідність відрізняти напрям поширення фази (нормаль N) від напряму поширення енергії світлової хвилі (промінь S ). Швидкість поширення в даному напрямі характеризують швидкостями вздовж нормалі (фазова швидкість) і вздовж променя (променева швидкість). З розв'язків рівнянь Максвелла випливає також, що для кожного напряму в кристалі можуть поширюватись дві лінійно поляризовані хвилі, швидкості яких різні. Обидві хвилі поперечні відносно векторів . Очевидно, кожному напряму поширення і певній орієнтації площини коливань відповідатиме свій показник заломлення. Залежність його від поляризації хвилі й зумовлює поділ променя при проходженні крізь анізотропні середовища, тобто приводить до подвійного заломлення променів [5,c.157-158].

Розглянемо більш детально подвійне заломлення променів.

Всі прозорі кристали (крім кристалів кубічної системи, які оптично ізотропні) здатні до подвійного заломлення променів, тобто промінь світла, що падає на поверхню кристала , роздвоюється в ньому на два заломлені промені, які в загальному випадку мають різні напрями. Це явище, вперше виявлене датським вченим Е. Бартоліном (1625-1698р.р.) при проходженні світла крізь кристал ісландського шпату (різновидність кальциту CaCO₃), пояснюється особливостями розповсюдження світла в анізотропних середовищах. Явище подвійного заломлення променів стало експериментальним підтвердженням поляризації світла.

Рис.1.3.4

Якщо на товстий кристал ісландського шпату падає вузький пучок світла, то з кристалу вийдуть два просторово розділені промені, паралельні один одному і падаючому променю (рис.1.3.4). І в тому випадку, коли первинний пучок падає на кристал нормально, заломлений пучок розподіляється на два, причому один з них є продовженням первинного, а другий відхиляється на якийсь кут. Перший промінь називається звичайним (0), а другий - незвичайним (е).

У кристалі ісландського шпату існує єдиний напрямок, уздовж якого подвійне заломлення променів не спостерігається. Напрям у кристалі, вздовж якого промінь розповсюджується, не виявляючи подвійного заломлення променів, називається оптичною віссю кристала, а такий кристал називають - одновісним. Це напрям що проходить крізь будь-яку точку кристалу. Кожна пряма, яка проходить паралельно даному напрямку, є оптичною віссю кристала.

Площина, яка проходить через промінь і оптичну вісь кристалу, що перетинає промінь, називається головною площиною, або головним перерізом кристалу. Аналіз світла (наприклад, за допомогою турмаліну або скляного дзеркала) показує, що після проходження кристала промені стають плоскополяризованими у взаємно перпендикулярних площинах: коливання світлового вектора (вектора напруженості Е електричного поля) у звичайному промені проходять перпендикулярно до головної площини, а в незвичайному - в головній площині . Неоднакове заломлення звичайного і незвичайного променів вказує на різницю їх показників заломлення. Очевидно, що для будь-якого напрямку звичайного променя коливання світлового вектора перпендикулярні до оптичної осі кристалу, тому звичайний промінь розповсюджується по всіх напрямках з однаковою швидкістю, отже , показник заломлення n₀ для нього є сталою величиною. Незвичайний промінь має між напрямком коливань світлового вектора і оптичною віссю кут, відмінний від прямого, який залежить від напрямку променя, тому незвичайні промені розповсюджуються в різних напрямках з різними швидкостями. Отже, показник заломлення n_e незвичайного променя є змінною величиною, яка залежить від напряму променя. Таким чином, звичайний промінь підпорядковується закону заломлення (звідси і назва - “звичайний”), а для незвичайного променя цей закон не виконується. Після проходження кристала, якщо не брати до уваги поляризацію у взаємно перпендикулярних площинах, ці два промені не відрізняються один від одного[6].

Отже, в даному розділі ми порівняли доведення законів заломлення та відбивання світла різними способами, а саме через принцип Гюйгенса та Ферма. Принцип Гюйгенса формулюється наступним чином: кожна точка хвильового фронту є джерелом сферичних хвиль. Результуюче хвильове збурення ми розглядали як накладання вторинних хвиль, а розміщення хвильового фронту через деякий проміжок часу визначали як огинаючу поверхню до сферичних поверхонь вторинних хвиль. А принцип Ферма свідчить про те що : з однієї точки в іншу світло поширюється таким шляхом, щоб час поширення був екстремальний.

Розглянули поняття фазової та групової швидкості. І встановили, що групова швидкість характеризує швидкість перенесення енергії групи хвиль. А ось фазова швидкість не має нічого спільного зі швидкістю перенесення енергії, вона тільки встановлює зв'язок між фазами коливань у різних точках простору.

Також ми порівняли поширення світла в ізотропному та анізотропному середовищі. І виявилося, що в ізотропних середовищах швидкість світла не залежить від напрямку поширення, а ось анізотропних середовищах - залежить від напряму поширення.

Таким чином ми обґрунтували необхідні фізичні явища та закони геометричної оптики, і в подальшому дослідженні будемо на них спиратися .



Розділ 2. Від'ємний показник заломлення

Світло це електромагнітна хвиля, взаємно зв'язані електричні і магнітні поля.

Запишемо рівняння плоскої електромагнітної хвилі в комплексній формі:

(2.1.1)

де Е і H електричні і магнітні складові електромагнітної хвилі.

Розглянемо взаємодію електромагнітної хвилі з діелектриком з магнітною та електричною проникністю е<0 і м<0. В електромагнітній задачі на площині границі повинні бути неперервні тангенціальні складові напруженості і нормальні складові індукції . З однієї тільки відбитої хвилі (або лише з заломленої ) цими граничними умовами задовольнить не можна. Навпаки, при наявності обох хвиль умова завжди буде виконана. Звідси не випливає , що повинні бути лише три хвилі, а не більше: граничні умови допускають наявність ще однієї, четвертої, хвилі, яка іде під кутом р-ц_1, в другому середовищі. Зазвичай приймають, що цієї хвилі немає , тобто говорять, що в другому середовищі розповсюджується лише одна хвиля.

Із граничних умов випливає закон відбивання

sin ц = sin ц' або ц=ц' (2.1.2) і закон заломлення

k sin ц = k₁ sin ц₁ . (2.1.3)

Але остання рівність задовольняється як при куту ц₁ , так і при куту р-ц_1. Хвиля в другому середовищі, яка відповідає ц_1, розповсюджується по напрямку від границі розділу (рис.2.1.1). Хвиля яка відповідає р-ц_1, розповсюджується по напрямку до границі розділу (рис.2.1.2). Але другої хвилі не може бути , так як світло падає із першого середовища на друге , а значить, в другому середовищі енергія повинна відтікати від границі розділу. Направлення розповсюдження хвилі визначаються її фазовою швидкістю, енергія ж переміщуються з груповою швидкістю, тоді постає питання : причому тут енергія? Тут допускається логічний скачок , якого не відчувають лише через те , що звикли до співпадання напрямків розповсюдження енергії та фази. Якщо таке співпадання має місце , тобто якщо групова швидкість додатна , то тоді все вірно , якщо ж групова швидкість від'ємна то все змінюється. Якщо енергія в другому середовищі відтікає від границі розділу, то фаза повинна набігати на цю границю і напрямок розповсюдження заломленої хвилі буде складати з нормаллю кут р-ц₁ [1, c.464-465]_.

Рис. 2.1.1 Рис.2.1.2

Для виявлення електродинамічних закономірностей , скористаймося рівняннями Максвела та матеріальними рівняннями

(2.1.3)

(2.1.4)



Для плоскої монохроматичної хвилі, у якій всі величини пропорційні е^і(kz-щt) , попередні вирази перепишемо

(2.1.5)

З цих виразів видно, що якщо і м>0, то E H та k утворюють праву трійку векторів, а якщо е<0 і м<0 -- ліву. Якщо ввести для векторів E H та k

косинуси і позначити їх б_i , в_i , г_i , відповідно, то хвиля, що поширюється у даному середовищі, характеризуватиметься матрицею

(2.1.6)

Визначник цієї матриці рівний +1, якщо трійка векторів E H та k права, і --1, якщо ця трійка ліва. Позначивши цього визначника через р, можна сказати, що р характеризує «правизну» даного середовища. Середовище є «правим», якщо p = +1 і «лівим», якщо p = --1. Елементи матриці (2.1.6) задовольняють співвідношенню

(2.1.7)

Тут A_ik-- алгебраїчне доповнення для елементу G_ik. Крім того елементи G ортонормовані. Потік енергії, що переноситься хвилею, визначається вектором Пойнтінга, який дорівнює



(2.1.8)

Вектор S , відповідно до (2.1.8) , завжди утворює з векторами E i H праву

трійку. Таким чином, для правих речовин S i k направлені в одну сторону, а для лівих -- в різні. Так як вектор k співпадає по напряму з фазовою швидкістю, то ліві речовини є речовинами з від'ємною груповою швидкістю, яка буває в анізотропних речовинах .

Заломлення променя на границі двох середовищ з різною правизною.

При переході променя світла із одного середовища в інше граничні умови

E_t1 = E_t2, H _t1= H _t2 (2.1.9)

е₁E_n1 = е₂E_n2, м₁ H _n1= м₂H _n2 (2.1.10)

повинні виконуватися в не залежності від того, чи мають ці середовища однакову правизну чи різну. Із (2.1.9) випливає, що x- i y- компоненти полів E i H в заломленому промені зберігають свій напрямок не залежно від правизни обох середовищ, а ось z- компонента зберігає свій напрямок тільки тоді коли, правизна обох середовищ однакова. Якщо ж правизна різна, то z- компоненти змінюють знак. Це відбувається тому, що при переході в середовище з іншою правизною вектори E та H не лише змінюються по величині через відмінності в е і м, але ще і зазнають дзеркальне відбиття відносно границі розділу двох середовищ. Те ж саме відбувається і з вектором k. Одночасне дзеркальне відбиття всієї трійки векторів якраз і відповідає зміні знаку визначника G в (2.1.6). Хід заломленого променя, що виходить в результаті такого відбиття трійки векторів, на рис 2.1.1

Заломлений промінь в другому, лівому середовищі йтиме симетрично відносно осі z в порівнянні з випадком, коли друге середовище -- праве. Слід зауважити, що відбитий промінь завжди направлений однаково, незалежно від правизни обох середовищ. З рис. 2.1.1 видно, що звичайний закон заломлення

(2.1.11)

потребує уточнення, якщо середовища 1 і 2 мають різну правизну. Остаточно формулу (2.1.11) перепишемо

(2.1.12)

Тут p₁ i p₂-- правизна першого і другого середовищ відповідно. Отже коефіцієнт заломлення двох середовищ може бути від'ємним, якщо правизна цих середовищ різна.

Рис.2.1.3



На рис 2.1.3 позначено через 1- падаючий промінь, 2- відбитий промінь, 3- заломлений промінь, якщо друге середовище ліве, 4- заломлений промінь , якщо друге середовище праве.

Розглянемо на прикладі хід променів у лівих середовищах. На рис. 2.1.4 показано що пластинка, товщиною d із лівого середовища з n=-1, яка знаходиться в вакуумі, може фокусувати в точку випромінювання точкового джерела, який знаходиться на відстані l<d від пластинки. Але це не є звичайною лінзою, оскільки вона не буде фокусувати в точку пучок променів, який приходить із нескінченності.

Рис.2.1.4

Хід променів через лінзи із лівої речовини показаний на рис.2.1.5.

Рис.2.1.5

Отже, для лінз створених з лівої речовини справджується наступне: випукла лінза є розсіювальною , а ввігнута - збірною [7, c.517-519].

В цьому розділі ми розібралися в основних положеннях від'ємного заломлення. Зробили висновки про те, що процеси відбивання та заломлення світла в лівому та правому середовищах відбуваються по-різному. Звичайні, відомі нам закони геометричної оптики у лівих середовищах набувають інших форм.

Дослідження таких середовищ є дуже актуальним на даний період. Речовини з від'ємним показником заломлення дають великі можливості у застосуванні, порівняно з речовинами у яких показник заломлення є додатнім. Наприклад: оптичні пристрої з додатнім показником заломлення обмежені дифракційним бар'єром -- вони можуть показувати деталі, розмір яких рівний або більше довжини хвилі світла, відбитого від об'єкту. Дифракція накладає теоретичну межу на системи створення зображення. Нажаль, найкоротша довжина хвилі видимого світла складає близько 380 нанометрів. Це означає, що в звичайний оптичний мікроскоп не можна побачити атоми (0,1 нанометра), молекули (0,5 нанометра), віруси (20-300 нанометрів). Аби обійти цю межу ученим довелося створити електронну мікроскопію, дифракційну рентгеноскопію і інші складні і дорогі технології [8]. Джону Пендрі вдалося показати, що лінза, зроблена з метаматеріала з від'ємним коефіцієнтом заломлення, не має дифракційного бар'єру. Це означає, що теоретично можливо створити оптичні мікроскопи з недоступною раніше роздільною здатністю.



Висновки

В процесі вивчення літературних джерел, було порівняно доведення законів геометричної оптики за допомогою принципу Ферма та за принципом Гюйгенса в ізотропних середовищах, ці доведення є цілком доступні для вивчення студентами. В класичних, традиційних книгах майже немає тем про від'ємний показник заломлення. Дослідження дозволило зробити висновок, що у студентів достатньо знань з геометричної та хвильової оптики, проте у навчальній програмі інституту непередбачено вивчення понять які стосуються від'ємного показника заломлення, хоча всі питання, необхідні для розуміння цього матеріалу, студенти вивчають. А дослідження та вивчення таких середовищ є дуже актуальним на даний період.

В ході виконання курсової роботи була доведена актуальність вибраної теми. Також було встановлено, що матеріал є дуже цікавим для вивчення.

В процесі дослідження очевиднішим став той факт, що держава має змінювати інститутну програму із урахуванням новітніх досягнень. Це є необхідною умовою для якісної підготовки майбутніх вчителів до подальшої праці в школі.



Література

1. Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике / Мандельштам Л.И. - изд. АНСССР,

1950. - 467с. - ( Полное собрание починений).

2. Королев Ф.А. Курс физики. Оптика, атомная и ядерная фізика: учеб. пособие [ для студентов физ.-мат. aак.. пед.. ин-тов.] / Королев Ф.А. - Москва: Просвещение, 1974.- 608 с.

3. Бутиков Е. И. Оптика: учебное пособие [ для студентов высш. учеб. завед. ] / Бутиков Е.И. -М.: Высшая школа, 1986.- 512с.

4. Савельєв И. В. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика : учеб. пособие [для студентов высш. учеб. завед.] / Савельев И.В.- М.: Наука,1988.-496с.-( Курс общей физики. В 3-х т.2.).

5. Кучерук І.М. Загальний курс фізики: навчальний посібник [для студентів вищих технічних і педагогічних закладів освіти] / І.М Кучерук, І.Т. Горбачук. - Київ: Техніка, (Оптика. Квантова фізика т.3.), 1999. -520с.

6. Поляризація світла . Режим доступу: http://UA_TextReferat_com.mht

7. Веселаго В Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и м / Веселаго В.Г. -Успехи физических наук, 1967. - т.92, № 3.

8. Режим доступу: http://physicsworld.com/cws/article/news/27345

9. Годжаев Н.М . Оптика: учеб. пособие [ для студентов высш. учеб.

завед.] / Годжаев Н.М. -М.: Высшая школа, 1977. - 432 с.

10. Жданов Л.С. Физика для средних специальных учебных заведений : учебное пособие [для студентов средних специальных учеб. завед.] / Л.С.Жданов, Г.Л.Жданов.- М.: Наука, 1981. - 559с.

11. Кабардин О.Ф. Физика : справ. материалы: учеб. пособие [для учащихся] / Кабардин О.Ф. - Москва.: Просвещение, 1991. - 367с.

Размещено на Allbest.ru