Физико-механические свойства композиционных материалов

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина

Физический факультет

Кафедра теоретической физики и астрономии

Дипломная работа

по специальности: Теоретическая физика

ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Брест 2012

Содержание

Введение

1. Элементы механики сплошных сред

1.1 Краевая задача

1.2 Энергия деформирования

1.3 Теоремы о минимуме

1.4 Принцип Эшелби

2. Эффективные модули среды со сферическими включениями

2.1 Принцип эквивалентной гомогенности

2.2 Осреднение по объему

2.3 Среды с малой объемной долей включений

2.4 Модель среды с малой объемной долей включений

2.5 Полидисперсная модель

2.6 Трехфазная модель

3. Моделирование композита. Анализ результатов

3.1 Монодисперсный наполнитель

3.2 Полидисперсный наполнитель

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

В своей деятельности человек использует различные по свойствам материалы, придавая им в изделиях разнообразную форму. Однако простой материал редко обладает сочетанием свойств, в точности соответствующим требованиям конкретного применения. Практика показала, что, комбинируя материалы, часто можно добиться благоприятного сочетания свойств. Объяснение таких эмпирических результатов и случайных открытий - одна из задач прикладной науки. Однако более важным ее предназначением является создание новых материалов на основе фундаментального исследования гетерогенных сред. В конечном счете, только точная наука о свойствах гетерогенных сред может дать ключ к оптимальному использованию конструкционных материалов.

Комбинирование различных веществ остается сегодня одним из основных способов создания новых материалов. Большинство современных конструкционных материалов представляют собой композиции, которые позволяют техническим изделиям обладать определенным сочетанием эксплуатационных свойств. Во всех случаях - это система разных материалов, каждый из составляющих которой имеет свое конкретное назначение применительно к рассматриваемому готовому изделию. Совместная работа разнородных материалов дает эффект, равносильный созданию нового материала, свойства которого и количественно и качественно отличаются от свойств каждого из его составляющих.

Композиционные материалы (далее композиты) - материалы, образованные объемным сочетанием химически разнородных компонентов с четкой границей раздела между ними. Характеризуются свойствами, которыми не обладает ни один из компонентов, взятый в отдельности. По прочности, жесткости и другим свойствам превосходят обычные конструкционные материалы.

Комбинируя объемное содержание компонентов, можно, в зависимости от назначения, получать материалы с требуемыми значениями прочности, жаропрочности, модуля упругости, абразивной стойкости, а также создавать композиции с необходимыми магнитными, диэлектрическими, радиопоглощающими и другими специальными свойствами. Однако, необходимо помнить, что комбинирование материалов, которое улучшает отдельные свойства, часто сопровождается ухудшением других свойства. Таким образом, следует рассматривать все определяющие характеристики композита и часто приходится принимать компромиссные решения.

Актуальность работы: наука о композитных материалах является быстро развивающейся отраслью знания во всех аспектах, будь то теоретические исследования, экспериментальное изучение или практические применения.

Цель работы: рассмотреть подход, пригодный для прогнозирования механического поведения гетерогенных сред на примере «трехфазной модели» с ее последующим совершенствованием.

Строго выведенные теории механического поведения содержат в своей основе несколько предположений или гипотез, определяющих границы применимости полученных результатов. В пределах этих границ теория имеет полную и законченную способность моделировать действительное механическое поведение среды. В связи с этим, большая часть нашей работы будет основана на анализе механического поведения, описываемого линейной теорией упругости, которая сама по себе является высокоразвитой и строгой теорией.

В данной работе теоретически исследуются эффективные модули, жесткость и прочности, несомненно, наиболее важные технические характеристики. Основное внимание уделено средам с включениями сферической формы.

Задачи, решаемые в данной работе:

· разработка алгоритма и реализация программы средствами Maple, использующей условия равновесия на границах наполнитель-связующее-гомогенная среда для определения величин упругих модулей.

· проведение тестовых расчетов.

· построение зависимости величин упругих модулей от коэффициента наполнения системы.

Среди многих разделов механики деформируемых сред линейная теория упругости дала, вероятно, наиболее широкий спектр приложений, огромные успехи линейной теории упругости можно объяснить. Линейная теория упругости реалистично описывает поведение широкого класса материалов; во многих практических задачах окончательные результаты представлены в простом, но в то же время в достаточно общем виде, удобном для расчетов; многочисленные разделы этого предмета высокоразвиты. К настоящему времени имеется обширный набор непосредственно применимых готовых методов и результатов.

По этим причинам изложим предмет о механическом поведении гетерогенных сред первоначально с точки зрения линейной теории упругости.

Используемые методы:

· принцип Эшелби

· принцип эквивалентной гомогенности

· использование условия непрерывности напряжений и деформаций на границе раздела фаз

· моделирование с помощью Maple.

Новизна работы: использование Maple для проведения аналитических преобразований и при численном решении краевой задачи позволит придти к совершенно иным результатам, нежели полученные ранее.

Апробация работы:

· Участие в конференции «Использование вычислительной техники при выполнении курсовых и дипломных работ» с докладом «Использование математического пакета символьных вычислений Maple 12 для изучения физических свойств композитных материалов».

· Грищенко А.С. Физико-механические свойства композиционных материалов /А.С. Грищенко. // НИРС-2009: сб. материалов студ. науч. конф., Брест, 29 апр. 2009 г. / Брест, гос. ун-т. им. А.С. Пушкина; Под общ. ред. В.С. Секержицкого. - Брест: БрГУ, 2009. ? 9 с.

· Грищенко А.С. Физико-механические свойства композиционных материалов / А.С. Грищенко. // Студ. науч. конф. по теор. физике и астрофизике, посвященная 100-летию со дня рождения В.А. Амбарцумяна: сб. материалов, Брест, 5 нояб. 2008 г. / Брест. гос. ун-т им. А.С. Пушкина; Под общ. ред. В.С. Секержицкого. - Брест: БрГУ, 2008. - 5 с.

· Грищенко А.С. Композиционные материалы и современная техника / А.С. Грищенко. // Студ. научно-метод. конф., посвященная 400-летию со дня рождения Э. Торричелли: сб. материалов, Брест, 27 окт. 2008 г. / Брест. гос. ун-т им. А.С. Пушкина; Под общ. ред. В.С. Секержицкого. - Брест: БрГУ, 2008. - 4 с.

1. Элементы механики сплошных сред

В данном разделе рассмотрим некоторые сведения из линейной теории упругости.

1.1 Краевая задача

Наиболее общая форма линейно-упругих соотношений напряжение-деформация для анизотропных сред (закон Гука) имеет вид:

, (1.1.1)

где и - тензоры линейных напряжений и деформации соответственно, а - тензор упругих модулей четвертого ранга, тензор жесткостей. Используем прямоугольную декартову систему координат с обычными декартовыми обозначениями, включая суммирование по повторяющимся индексам. Потребуем, чтобы тензоры напряжений и деформаций были симметричными. Тензор жесткости как тензор четвертого ранга имеет 81 независимую компоненту. Однако симметрия тензоров и уменьшает число независимых компонент до 36. В данном разделе рассматривается однородная среда, следовательно, не зависят от координат.

Тензор малых деформаций определяется через компоненты перемещения соотношениями Коши

, (1.1.2)

где запятая означает частное дифференцирование по координате, символ которой следует за запятой. Шесть независимых компонент деформаций выводятся из трех независимых компонент перемещений, поэтому компоненты деформаций не могут быть независимыми. Это приводит к условиям совместности деформаций. Уравнения совместности деформаций имеют вид

. (1.1.3)

Конечно, большинство из 81 уравнения в (1.1.3) не независимы. Как правило, уравнения (1.1.3) записываются в виде группы из шести уравнений, но только три из них независимы.

Уравнения баланса импульсов имеют вид

, (1.1.4)

где - массовая плотность и - компоненты объемной силы.

В совокупности с соответствующими формулировками граничных и начальных условии соотношения (1.1.1)-(1.1.4) образуют полную систему определяющих соотношении, решение которой даст распределение полей переменных в частной краевой задаче.

Обратимся далее к соотношению между напряжениями, деформациями и энергией деформирования.

1.2 Энергия деформирования

Наиболее удобно вывести соотношения между напряжениями, деформациями и энергией при помощи термодинамического анализа. Напряжение выражается как производная энергии деформирования W по деформации:

, (1.2.1)

где . (1.2.2)

Соотношения напряжение-деформация (1.1.1) легко обратить для выражения деформаций через напряжения в общем случае. Для изотропии соотношения напряжение-деформация можно записать в виде

, (1.2.3)

где и - упругие константы Ламе, а - символ Кронекера. Кроме того, соотношения можно компактно записать через девиаторы и шаровые части тензоров. Пусть и - девиаторные компоненты напряжений и деформаций, определяемые как

. (1.2.4)

Тогда соотношения напряжение-деформация (1.2.3) принимают вид

, (1.2.5)

где, как мы теперь видим, константа - модуль сдвига, а константа - объемный модуль. Конечно, только две из трех характеристик , , независимы. Обычно, используемые модуль, при одноосном нагружении (модуль Юнга) E и коэффициент Пуассона v связаны с и k посредством следующих соотношений:

, . (1.2.6)

1.3 Теоремы о минимуме

механический композиционный упругость наполнитель

В линейной теории упругости имеются два фундаментальных энергетических принципа или теоремы, которые полезны и необходимы при исследовании гетерогенных сред. Эти энергетические теоремы устанавливают, что некоторый функционал энергетического типа принимает минимальное значение для единственных значений переменных физических полей, которые представляют собой решение краевой задачи, в отличие от значений функционала для других «допустимых» значений этих переменных. Теперь перейдем к формулировке этих теорем.

Рассмотрим статическую упругую задачу с объемными силами и граничными условиями

на , (1.3.1)

на , (1.3.2)

где и - дополняющие друг друга части поверхности тела объема V, а n_j - компоненты единичной внешней нормали к поверхности. Определим далее функционал потенциальной энергии

, (1.3.3)

где задается уравнением (1.2.2).

Определим в качестве допустимого поля перемещений некоторое поле непрерывных перемещений, которое удовлетворяет граничным условиям в перемещениях (1.3.2), но во всех других отношениях выбрано произвольно (за исключением обычного требования регулярности производных). Теорему о минимуме потенциальной энергии можно теперь сформулировать следующим образом:

Среди всех допустимых полей перемещений абсолютный минимум функционала потенциальной энергии (1.3.2) обеспечивает лишь то, которое удовлетворяет уравнениям равновесия.

Математически этот результат формулируется следующим образом:

, (1.3.4)

где - функционал (1.3.3), вычисленный для какого-либо допустимого поля перемещении .

Теорема о минимуме дополнительной энергии формулируется аналогично. Определим функционал дополнительной энергии

, , (1.3.5)

где энергия деформирования (1.2.2) выражена в напряжениях

, (1.3.6)

а - тензор упругих податливостей. Определим допустимые напряженные состояния как такие напряженные состояния, которые удовлетворяют уравнениям равновесия и граничным условиям в напряжениях (1.3.1), но во всех других отношениях произвольны.

Сформулируем теорему о минимуме дополнительной энергии:

Среди всех допустимых полей напряжений абсолютный минимум функционала дополнительной энергии (1.3.5) обеспечивает лишь то, которое удовлетворяет уравнениям совместности деформаций.

Математическую формулировку этого вывода можно представить в виде

, (1.3.7)

где - функционал (1.3.5), вычисленный для любого допустимого поля напряжений.

1.4 Принцип Эшелби

Один из основных результатов теории упругости, имеющий исключительно важное значение для анализа гетерогенных сред, получен Эшелби. Им предложен прием вычисления энергии деформирования систем, содержащих включения. Так как формула Эшелби отсутствует в учебниках по теории упругости, приведем ее вывод в форме, наиболее пригодной для последующего использования.

Формула, выведенная Эшелби для вычисления энергии деформирования, преобразует обычное интегрирование но объему в интегрирование по поверхности частного вида. Это упрощение очень удобно. Рассмотрим однородное тело с заданными на поверхности граничными условиями в напряжениях. Пусть внутри тела находится единичное включение с иными свойствами, как схематически показано на рис. 1.4.1, а. Энергия упругого деформирования гетерогенного тела определяется следующим образом

, (1.4.1)

где V - объем области.

Рис. 1.4.1 Схемы к задаче о включении в бесконечной среде и к вспомогательной задаче для однородной среды

Далее определим энергию деформирования такого же тела, в котором включение не отличается по свойствам от окружающей его среды.

Пусть граничные условия для обеих задач одинаковы (рис. 1.4.1, б). Энергия деформирования гомогенного тела имеет вид

, (1.4.2)

где поля переменных различаются следующим образом:

, , - задача, соответствующая рис. 1.4.1, а;

, , - задача, соответствующая рис. 1.4.1, б.

Выражение (1.4.1) вместе с (1.4.2) можно переписать в виде

. (1.4.3)

Применяя теорему Остроградского-Гаусса вместе с уравнениями равновесия и к (1.4.3), получим

, (1.4.4)

где S - поверхность тела. На поверхности

на S, (1.4.5)

поскольку граничные условия обеих задач одинаковы. Используя (1.4.5) и (1.4.4), получим

. (1.4.6)

Это соотношение представляет собой промежуточную форму искомого результата. Для преобразования интеграла в (1.4.6) к другой форме решим вспомогательную задачу.

Рассмотрим гомогенное тело той же формы, что и на рис. 1.4.1, а, в котором эффект, связанный с наличием включения, учтен путем введения внутренних сил, распределенных некоторым образом (рис. 1.4.2, а). Иллюстрируемая рис. 1.4.2, а задача о действии частной системы внутренних сил, приложенных по поверхности включения, дает в точности то же самое состояние полей переменных в области вне включения, что и задача, иллюстрируемая рис. 1.4.1, а. Далее задачу, соответствующую рис. 1.4.2, а, можно представить как суперпозицию двух задач, показанных на рис. 1.4.2, б и в. Обозначим поля переменных для задач на рис. 1.4.2:

Рис. 1.4.2 Схема суперпозиции решений

, , - задача, соответствующая рис. 1.4.2, а;

, , - задача, соответствующая рис. 1.4.2, в.

Конечно, рис. 1.4.2, б и рис. 1.4.1, б иллюстрируют одну и ту же задачу. Используем далее условия, что , и идентичны , , соответственно вне включения.

При помощи метода суперпозиции (см. рис. 1.4.2) можно записать

. (1.4.7)

Используя (1.4.7), упругую энергию в задаче, соответствующей рис. 1.4.2, а, можно описать в виде

, (1.4.8)

или почленно

, (1.4.9)

где определяется согласно (1.4.2) и

, (1.4.10)

. (1.4.11)

Член описывает эффект энергии взаимодействия двух напряженных состояний для схем нагружения, показанных на рис. 1.4.2, б и в.

Энергию взаимодействия (1.4.11) можно представить в более удобной форме. Используя соотношения напряжение-деформация, запишем второй член в подынтегральном выражении (1.4.11) в виде

. (1.4.12)

Используя симметрию , из (1.4.12) получим

. (1.4.13)

Однако правая часть (1.4.13) есть не что иное, как ; таким образом

. (1.4.14)

Подстановка (1.4.14) в (1.4.11) дает

. (1.4.15)

Применяя теперь теорему Остроградского-Гаусса и уравнение равновесия , приведем (1.4.15) к виду

. (1.4.16)

Эта формула для связана с интегральным членом в (1.4.6). Чтобы в этом убедиться, используем последнее из выражений (1.4.7) для записи (1.4.6) в виде

, (1.4.17)

при условии, что на S.

Рис. 1.4.3 Положение промежуточной поверхности , по которой производится интегрирование

Из сравнения интегрального члена в (1.4.17) и (1.4.16) видно, что

. (1.4.18)

В заключение рассмотрим наиболее подходящие для использования в (1.4.18) формы записи . Возвращаясь к формуле (1.4.15) для разделим, как показано на рис. 1.4.3, область интегрирования по объему на две части с поверхностью раздела . Поверхность берется вне области внутренних сил. С учетом этого разделения областей уравнение (1.4.15) примет вид

. (1.4.19)

Использование (1.4.14) в последнем слагаемом (1.4.19) дает

. (1.4.20)

Соотношение (1.4.20) можно записать в виде

. (1.4.21)

где вновь применена теорема Остроградского-Гаусса в сочетании с уравнениями равновесия в области и в области . Знак минус, входящий в (1.4.21), связан с тем, что положительное направление единичного вектора нормали к противоположно для двух областей.

Вспоминая, что на S, (1.4.21) сводится к уравнению

. (1.4.22)

Использование соотношения (1.4.7) приводит (1.4.22) к виду

. (1.4.23)

Так как в основной задаче, соответствующей рис. 1.4.2, а, переменные и идентичны переменным и вне области, включающей внутренние силы, то (1.4.23) принимает вид

. (1.4.24)

Наконец, подстановка (1.4.24) в (1.4.18) дает окончательный результат

. (1.4.25)

где берется по поверхности включения.

Формула (1.4.25) получена из решения задачи с граничными условиями в напряжениях для гетерогенного тела. Соответствующее решение задачи с заданными перемещениями на наружной границе имеет вид

. (1.4.26)

Эти результаты можно обобщить на случай многих включений.

Полученные формулы имеют очень простой вид.

Основная формула для общей энергии деформирования содержит громоздкие квадратичные формы, которые интегрируются по объему области. Однако по приведенным формулам Эшелби энергию деформирования можно вычислить, выполняя простое интегрирование по поверхности в соответствии с (1.4.25), (1.4.26). Это значительно упрощает исследования механического поведения гетерогенных сред.

2. Эффективные модули среды со сферическими включениями

2.1 Принцип эквивалентной гомогенности

Остановимся на определении эффективных жесткостей гетерогенной среды со сферическими включениями. Под эффективными жесткостями мы понимаем средние меры жесткости, учитывающие свойства всех фаз гетерогенной среды и их взаимодействия. Процедура осреднения, которая используется для нахождения этих свойств, должна быть очень строго определена.

Если рассматривать материалы в некотором достаточно малом масштабе, то можно считать, что они неоднородны. Чтобы убедиться в высокой степени разупорядоченности и изменчивости, которая может встретиться, необходимо начать с масштаба атомов и молекул. Если технические материалы рассматривать на этом уровне, то задача об описании их свойств неразрешима. Для преодоления этой трудности вводится гипотеза континуума. Эта гипотеза включает в себя процедуру статистического осреднения, посредством которой действительное состояние и структура материала идеализируются таким образом, что материал считается континуумом. Эта гипотеза континуума основана на существовании некоторых мер, связанных со свойствами, определяющими деформируемость среды. Эти свойства отражают осредненные неизбежно очень сложные взаимодействия на уровне атомов или молекул. Если принимается модель континуума, становится уместной концепция гомогенности. При этом считают, что присущие однородной среде характерные свойства одинаковы во всех точках среды.

Неоднородность можно рассматривать или как идеализацию непрерывного изменения свойств от точки к точке, или как скачкообразное изменение свойств при прохождении через поверхности раздела. В данной работе мы коснемся только лишь второго случая, когда в гетерогенной среде различные фазы остаются отчетливо выраженными. Тип гетерогенности с дискретными фазами, несомненно, практически более важен, чем встречающаяся неоднородность, связанная с непрерывным измененном свойств. В работе предполагается, что фазы, составляющие среду, однородны и изотропны. Для перехода к дальнейшему изложению проблемы необходимо сказать кое-что и о масштабе неоднородности.

Мы предполагаем существование характерного размера неоднородности для гетерогенной среды. Очевидно, имеется масштаб длины, в пределах которого свойства можно усреднить некоторым осмысленным образом. Масштаб длины осреднения, назовем его , должен быть значительно больше характерного размера неоднородности. Очень благоприятен случай, когда существует масштаб длины осреднения , который еще мал по сравнению с характерным размером тела. При этом условии материал можно идеализировать как эффективно гомогенный, и задача о нагружении тела может быть решена с использованием средних свойств, ассоциированных с масштабном длины .

Физический смысл - существует промежуточный размер, осреднение свойства в пределах которого обоснованно. Описанное условие называется условием эффективной, или эквивалентной, гомогенности.

Принятие гипотезы об эквивалентной гомогенности позволяет поставить фундаментальную задачу о свойствах гетерогенной среды. Основная проблема состоит в том, чтобы использовать процедуру осреднения для предсказания эффективных свойств идеализированной гомогенной среды через свойства фаз и некоторые их геометрические характеристики.

2.2 Осреднение по объему

Определим процедуру осреднения. Введём элемент объёма гетерогенной среды, имеющий характерный размер, идентичный масштабу осреднения . Пусть элемент объема V является представительным элементом объема. В условиях приложенного к нему макроскопически однородного поля напряжений или деформаций средние напряжения и деформация определяются следующим образом:

, (2.2.1)

, (2.2.2)

где - тензор малых деформаций. В (2.2.1) и (2.2.2) отсутствуют ограничения на геометрические размеры фаз гетерогенной среды. Эффективные жесткости линейно-упругого тела, или свойства типа модулей, обозначенные тензором , определяются посредством соотношения

(2.2.3)

Таким образом, чтобы решить задачу об эффективных свойствах гетерогенной среды, необходимо выполнить процедуру осреднения, определяемую выражениями (2.2.1) и (2.2.2), и затем найти из (2.2.3). Для строгого выполнения осреднения необходимо иметь точные решения для полей напряжений и деформаций и в гетерогенной среде. Наша цель состоит в том, чтобы выполнить эту процедуру с минимумом упрощений без обращения к эмпирическим закономерностям.

На достаточно элементарном уровне композиты могут быть отнесены к одному из двух типов:

· системы, содержащие одну непрерывную фазу с дискретными включениями из одного или более других материалов,

· все остальные системы.

На этом простом уровне классификации к первому типу относятся среды со сферическими, цилиндрическими и пластинчатыми включениями. Выведем теперь точную формулу, которая будет использована при нахождении эффективных свойств гетерогенной среды, содержащей дискретные включения.

Интересующая нас задача относится к двухфазной гетерогенной системе, в которой одна из фаз непрерывна, а другая имеет форму дискретных включений. Обе фазы считаются изотропными. Соотношения напряжение-деформация для двух фаз имеют вид:

для включения

, (2.2.4)

для непрерывной фазы (матрицы)

, (2.2.5)

где и - константы Ламе. Формулу для средних напряжений (2.2.1) можно записать в виде

, (2.2.6)

где принято, что внутри представительного элемента объема содержится N включений, объемы которых обозначены через V_n а есть область, не занятая включениями. Выражение (2.2.6) с учетом (2.2.5) можно переписать в виде

. (2.2.7)

Первый интеграл в (2.2.7) можно представить в виде суммы двух следующих интегралов:

. (2.2.8)

Среднее напряжение в (2.2.8) переписывается с использованием (2.2.3) для изотропного тела, а первый интеграл в (2.2.8) можно записать в явном виде через средние деформации; получим

. (2.2.9)

Эта формула полезна для дальнейшего вывода эффективных свойств. Видно, что для вычисления тензора эффективных свойств необходимы только условия внутри включений.

2.3 Среды с малой объемной долей включений

Выражение (2.2.9) применяется далее для описания среды с малой объемной долей включений. Такая система моделируется, по существу, бесконечной средой с одиночным включением. Отметим, что подобная подстановка нарушает условие малости объема представленного элемента по сравнению с характерным линейным размером в конкретной задаче. Однако физический смысл этой идеализации заключается просто в том, что частицы так малы и настолько удалены одна от другой, что взаимодействием между ними можно пренебречь независимо от того, каков размер представленного элемента объема. Рассмотрим состояние чистого сдвига, приложенного на больших расстояниях от включения; тогда (2.2.9) имеет вид

, (2.3.1)

где использовано (2.2.4) и < e > - средняя деформация сдвига. Одиночное эллипсоидальное включение, внедренное в бесконечную среду, находится в состоянии однородной деформации, пропорциональной деформации, приложенной в бесконечной среде на большом расстоянии от включения. В соответствии с этим уравнение (2.3.1) можно записать в виде

, (2.3.2)

где < e > - однородная деформация сдвига во включении, c - объемная доля включения

. (2.3.3)

Подобным образом вводится формулу для объемного модуля:

, (2.3.4)

где - средняя объемная деформация, - однородная объемная деформация во включении. Эти удивительно простые формулы показывают, что для вывода выражений эффективных свойств необходимо знать только состояние однородной деформации во включении. Конечно, результаты (2.3.2) и (2.3.4) справедливы только при малых объемных долях включений, в то время как формула (2.2.9) справедлива для любых объемных долей.

2.4 Модель среды с малой объемной долей включений

Выведем решения для эффективного модуля сдвига упругой среды с упругими сферическими включениями.

Рассмотрим поведение однородной среды в состоянии чистого сдвига. Компоненты перемещений в декартовой системе координат в осях x, y. z определяются следующим образом

, (2.4.1)

где максимум деформации сдвига имеет значение c. Перепишем выражения для перемещений, соответствующих (2.4.1), в сферической системе координат.

. (2.4.2)

Руководствуясь предшествующими формулами для деформации однородной среды, запишем общее решение для неоднородной среды в виде

. (2.4.3)

Где , , - неизвестные функции r, которые подлежат определению из уравнения равновесия.

Уравнения равновесия в сферических координатах имеют вид:

, (2.4.4)

, (2.4.5)

. (2.4.6)

Подставляя (2.4.3) в (2.4.4)-(2.4.6) и приравнивая к нулю коэффициенты при и при членах, не зависящих от , получим три определяющих уравнения:

, (2.4.7)

, (2.4.8)

, (2.4.9)

где штрих обозначает производную по r. Решение (2.4.7)-(2.4.9) дается выражениями

, (2.4.10)

Перепишем решения (2.4.10) отдельно для включения и для матрицы:

, (2.4.11)

, (2.4.12)

причем решение для для каждой фазы следует из (2.4.10). Отдельные слагаемые (2.4.10), отсутствующие в (2.4.11) и (2.4.12), берутся с нулевыми коэффициентами, чтобы избежать сингулярности или нарушения граничных условий.

Коэффициент рассматривается как заданный, поскольку он определяет состояние приложенного чистого сдвига при . Таким образом, (2.4.11) и (2.4.12) содержат 4 константы, подлежащие определению.

На границе фаз должны выполняться условия непрерывности следующих величин: , , ; , , на радиусе сферического включения. Но только 4 из этих условий независимы. Окончательно условия непрерывности на границе фаз принимают вид

, (2.4.13)

, (2.4.14)

, (2.4.15)

. (2.4.16)

Используем формулу Эшелби (1.4.26) и энергетический критерий эквивалентности гомогенной и гетерогенной сред. Вначале запишем формулу Эшелби в виде

, (2.4.17)

напомним, что переменные, имеющие верхний индекс 0, отвечают случаю однородной среды. Для этой однородной задачи имеем

, (2.4.18)

. (2.4.19)

Энергия деформирования, запасаемая в однородной среде из матрицы, определяется формулой

, (2.4.20)

где b - радиус сферы. Выражения для энергии, запасаемой в сфере из эквивалентной однородной среды, имеет вид

, (2.4.21)

где - эффективный модуль сдвига. Наконец, пологая равными энергию деформирования гетерогенной среды и энергию деформирования эквивалентной гомогенной среды и затем подставляя (2.4.20) и (2.4.21) в (2.4.17), получим

, (2.4.22)

При вычислении интегралов в (2.4.22) напряжения и перемещения на поверхности r = a одни и те же. Переменные с верхним индексом 0 определяются из (2.4.18), (2.4.19), в то время как остальные переменные соответствуют решению задачи для гетерогенной среды. Перемещения определяются из (2.4.3), (2.4.10) и (2.4.13)-(2.4.16), а напряжения - непосредственно из соотношений напряжение-деформация линейной теории упругости. Напряжения и перемещения, используемые в (2.4.22), вычисляются в каждой фазе на поверхности r = a.

Использование условия малости объемной доли включений окончательно приводит выражение (2.4.22) к виду

, (2.4.23)

где - объемная доля сферических включений.

Описанную выше процедуру определения эффективного модуля сдвига можно использовать и для определения эффективного объемного модуля k. Эта задача значительно проще, так как поля переменных обладают сферической симметрией и, таким образом, задача является одномерной. При условии малой объемной доли включений эффективный объемный модуль k определяется по формуле

. (2.4.24)

2.5 Полидисперсная модель

В предыдущем, разделе были определены эффективные модуль сдвига и объемный модуль упругой среды с малой объемной долей упругих сферических включений. Перейдем теперь к описанию сред с произвольной объемной долей включений. Логично сделать этот шаг путем введения модели гетерогенной среды с частной геометрической характеристикой и затем решить задачу о ее свойствах. Естественно, мы хотим, чтобы такая модель отражала основные особенности реальных сред. Перейдем теперь к описанию модели более общего характера.

Рис. 2.5.1 Полидисперсная модель среды со сферическими включениями

Рассмотрим непрерывную среду со сферическими включениями различного размера. Распределение размеров, однако, не случайное, а скорее имеет весьма частный характер. Схематически модель изображена на рис. 2.5.1 Штриховыми линиями на рис. 2.5.1 ограничены области матрицы, связанные с каждым отдельным включением. Отношение радиусов a/b принято постоянным для каждой такой составной частицы независимо от ее абсолютного размера. Поэтому распределение размеров частиц должно быть таким, чтобы весь объем был заполнен составными частицами с a/b=const. Очевидно, что это распределение требует, чтобы размеры частиц уменьшились до бесконечно малых.

Оценим эффективные модули. Рассчитаем свойства одной составной частицы, а затем рассмотрим обобщение полученного результата на элемент объема. Пусть единичная составная частица на своей внешней границе подвержена действию гидростатического давления p: при

, . (2.5.1)

На эквивалентную гомогенную сферическую частицу действует то же напряжение. Приравняем друг к другу перемещения на внешних границах составной и эквивалентной гомогенной сферических частиц, обеспечивая тем самым одно и то же среднее объемное деформированное состояние внутри каждой из них. Эта процедура даст решение для эффективного объемного модуля единичной составной частицы:

Единственное уравнение равновесия, которому необходимо удовлетворить, () в перемещениях имеет вид

. (2.5.2)

Решение уравнения (2.5.2) имеет вид

. (2.5.3)

Применяя это решение отдельно для включения и для матрицы, получим

, (2.5.4)

где коэффициент для включений должен равняться нулю во избежание сингулярности. Для соответствующих напряжений находим

. (2.5.5)

Константы интегрирования вычисляются из условий непрерывности при , , , (2.5.6) вместе с граничным условием (2.5.1). В результате получим

, (2.5.7)

, (2.5.8)

. (2.5.9)

Потребовав равенства перемещений на внешней границе составной части и эквивалентной гомогенной частицы получим

 (2.5.10)

где - эффективный объемный модуль гомогенной частицы.

То же самое давление p можно приложить ко всем составным частицам в представительном элементе объема. Таким образом, напряженное состояние непрерывно по всему представительному элементу объема и удовлетворяет уравнениям равновесия. Согласно теореме о минимуме дополнительной энергии разд. 1.3, только что описанное напряженное состояние является допустимым напряженным состоянием. Следовательно, энергия, вычисляемая для этого напряженного состояния, является верхней границей энергии действительного напряженного состояния в представленном элементе объема. Для изотропного материала, находящегося в состоянии объемного деформирования, выражение для локальной дополнительной энергии имеет вид

, (2.5.11)

где p - гидростатическое напряженное состояние. Так как дополнительная энергия (2.5.11), связанная с допустимым напряженным состоянием, является оценкой сверху, то

, (2.5.12)

где теперь k - эффективный объемный модуль. Зная оценку k снизу, целесообразно найти и оценку сверху.

Изменим последовательность процедуры; вместо граничных условий в напряжениях на единичной составной частице используем условия в перемещениях. Затем решим задачу для эффективного объемного модуля составной частицы, потребовав, чтобы осредненное деформированное состояние было идентичным в составной и эквивалентной гомогенной частицах.

В совокупности с компонентой перемещения как жесткого тела поле перемещений для единичной составной частицы можно рассматривать как допустимое поле перемещений для представительного элемента объема (допустимого в смысле теоремы о минимуме потенциальной энергии разд. 1.3). Из этой теоремы следует, что эффективный объемный модуль единичной составной сферы представляет собой оценку сверху для объемного модуля представительного элемента объема

. (2.5.13)

Выполнив описанную выше процедуру получим, что . Таким образом оценки совпали и эффективный объемный модуль выражается в виде

(2.5.14)

(2.5.14) аналогично (2.5.10).

Определив эффективный объемный модуль для рассмотренной модели составных сфер, перейдем теперь к определению эффективного модуля сдвига для той же модели. Задача об определении , как уже отмечалось, должна быть более сложной, чем задача об определении k, так как первая представляет собой трехмерную задачу теории упругости, в то время как задача для k была одномерной. Тем не менее процедура нахождения в действительности основана на найденных в предыдущем разделе упругих решениях. Как и в случае k, для нахождения верхней и нижней границ использованы теоремы теории упругости о минимуме потенциальной и дополнительной энергии. В противоположность ситуации с объемным модулем оценки модуля сдвига не совпадают, за исключением случаев очень малых и очень больших долей включений. Формула для малых объемных долей имеет следующий вид

, (2.5.15)

совпадает с ранее полученным (2.4.23).

Выражение для больших объемных долей имеет вид

. (2.5.16)

То, что верхняя и нижняя оценки не совпадают в задаче о модуле сдвига, малоутешительно, но не удивительно. В случае, когда на поверхности составной сферы задаются компоненты перемещения при чистом сдвиге, результирующие напряжения на границе не соответствуют напряженному состоянию при чистом сдвиге. Следовательно, когда на границе задаются напряжения чистого сдвига, результирующее деформированное состояние не соответствует чистому сдвигу. Таким образом, результатом являются только оценки , и чем больше несоразмерность между и , тем больше расхождение между оценками. Очевидно, для получения точного решения или даже оценки эффективного модуля сдвига для описанной выше полидисперсной модели композита нужен другой подход.

2.6 Трехфазная модель

Не добившись успеха в предыдущем разделе в поисках решения для эффективного, модуля сдвига в рамках полидисперсной модели, испробуем другой подход.

Вновь обратимся к модели композита, изображенной на рис. 2.5.1. Теперь заменим все, за исключением одной, составные сферические частицы эквивалентной гомогенной средой, как показано на рис. 2.6.1. Представим, что бесконечная область подвергнута однородной деформации на большом расстоянии от начала координат. Внешний слой, будучи эквивалентной гомогенной средой, обладает неизвестными эффективными свойствами и . Модель композита на рис. 2.6.1 эквивалентна эффективной гомогенной среде при условии, что энергия деформирования обеих систем одинакова при равенстве осредненных деформаций. Рассмотрим соответствие трехфазной и полидисперсном моделей.

Рис. 2.6.1 Трехфазная модель

1 - сферическое включение;

2 - фаза матрицы;

3 - эквивалентная гомогенная среда

У нас нет гарантий того, что решения задачи для трехфазной модели на рис. 2.6.1 в точности описывают эффективные свойства композита, представленного полидисперсной моделью (рис. 2.5.1). Мы можем рассматривать это только как гипотезу и проверить ее на примере. В частности, в случае эффективного объемного модуля k мы знаем решение для полидисперсной модели композита. Оно представлено соотношением (2.5.15). Задачу для гетерогенной среды, изображенной на рис. 2.6.1, можно решить для объемного деформированного состояния, и тем самым определить k для эквивалентной гомогенной среды.

Эффективные модули k для моделей композитной среды на рис. 2.6.1 и рис. 2.5.1 идентичны, что внушает уверенность в тождественности моделей. С этим обнадеживающим результатом и перейдем к поиску решения для эффективного модуля сдвига модели, изображенной на рис. 2.6.1. Необходимо, однако, подчеркнуть, что остается открытым вопрос о том, является ли решение для для модели на рис. 2.6.1 решением и для модели композита на рис. 2.5.1. Можно лишь сказать, что полученные результаты точны для модели на рис. 2.6.1. Последняя представляет интерес сама по себе независимо от того, соответствует ли ее поведение при сдвиге поведению полидисперсной модели композита или нет.

Метод решения задачи для модели, показанной на рис. 2.6.1, прямо следует решению для упругих сред с малой объемной долей сферических частиц, рассмотренному ранее. В частности, решения (2.4.3) используются для условия деформации чистого сдвига на большом расстоянии от начала координат. Функции , , , как установлено из решения уравнений равновесия, имеют вид (2.4.10). Отдельно следует рассматривать решения для трех областей, показанных на рис. 2.6.1. В частности, получим

, (2.6.1)

, (2.6.2)

и в третьей фазе, образованной эквивалентной гомогенной средой

(2.6.3)

где . Коэффициент Пуассона , входящий в (2.6.3), и есть эффективное свойство нужного типа для эквивалентной гомогенной среды. Константа D₁ в (2.6.3), рассматривается как заданная из условия наложения деформированного состояния чистого сдвига на большом расстоянии от начала координат. Остается определить восемь констант. Условия непрерывности напряжений и перемещений на двух границах раздела фаз обеспечивают требуемые восемь соотношений. Четыре соотношения, полученные из условий непрерывности при r = a, уже установлены уравнениями (2.4.13)-(2.4.16). Оставшиеся четыре соотношения получаются из условия непрерывности при r = b, т.е. на поверхности раздела между матрицей и эффективной гомогенной средой. Эти уравнения имеют вид

, (2.6.4)

, (2.6.5)

, (2.6.6)

, (2.6.7)

где , , - эффективные свойства, причем, только два являются независимыми.

Применим вариант формулы Эшелби (1.4.20) с заданными перемещениями для вычисления энергии деформирования, запасаемой трехфазной средой, показанной на рис. 2.6.1. Переписанная здесь для удобства формула (1.4.26) имеет вид

, (2.6.8)

где поверхность S - поверхность раздела r = a, а U_o - энергия деформирования, запасаемая эквивалентной гомогенной средой. Критерий для определения эффективных свойств заключается в том, что мы полагаем, что энергии, запасенные в композите и эквивалентной гомогенной среде (EH) равны

(2.6.9)

но, как обсуждалось ранее, правая часть (2.6.9) соответствует U_o; учитывая это, преобразуем (2.6.8) к виду

. (2.6.10)

Следуя в точности той же процедуре, что и в разд. 2.5.1, используем соответствующие выражения для напряжений и деформаций; тогда из (2.6.10) получим очень простой результат

. (2.6.11)

Задача сводится к решению системы 8-ми уравнений (2.4.13)-(2.4.16) и (2.6.4)-(2.6.7) для D₄. Полученное решение полагается равным нулю. Отсюда имеем критерий для определения эффективного модуля сдвига . В процессе решения сокращаются константы и , остается только одно неизвестное .

Эффективный модуль сдвига находится из следующего квадратного уравнения:

, (2.6.12)

где согласно [1]:

, (2.6.13)

, (2.6.14)

, (2.6.15)

в свою очередь

(2.6.16)

Как и ранее характеризует объемную долю включений.

Конечное решение (2.6.12) сводится к ранее выведенной формуле (2.4.23) для упругой среды с малой объемной долей упругих сферических включении. Этот вывод демонстрирует большую полезность формул Эшелби (1.4.25), (1.4.26) для вычисления энергии деформирования только путем интегрирования по поверхности. Отметим, что в данной задаче было невозможно воспользоваться простой формулой (2.3.2) для вычисления эффективного модуля сдвига, так как включение образовано здесь двумя фазами и поэтому однородное деформированное состояние не реализуется. Наконец, важно отметить внутреннюю согласованность данного вывода. Напомним, что при определении эффективного объемного модуля k для полидисперсной модели композита решение для k было найдено в форме, не связанной с другим свойством, скажем . Полностью аналогичная ситуация возникает и в данном выводе; было определено в форме, не связанной с k. Это дает косвенную поддержку той точки зрения, что данный результат может быть точным решением для эффективного модуля сдвига полидисперсной модели композита. Однако в данной ситуации с определенностью можно сказать, что найдено решение для модели, изображенной на рис. 2.6.1.

3. Моделирование композита. Анализ результатов

В предыдущих разделах была рассмотрена теория, которая необходима для описания наполненных систем с различного рода наполнителем. На основе этой теории с помощью системы аналитических вычислений для математического моделирования Maple, создан алгоритм, который позволяет рассчитывать эффективные модули наполненной системы с различного рода наполнителем, и проведены расчеты для среды с монодисперсным наполнителем. Листинг программы представлен в приложении.

3.1 Монодисперсный наполнитель

Модель с монодисперсным наполнителем строилась на основе трехфазной модели, граничные условия которой на разделе фаз определяются формулами (2.4.13)-(2.4.16) и (2.6.4)-(2.6.7). В результате получили систему 8-ми уравнений с 8-ю неизвестными. Данную систему необходимо было решить матричным методом. В итоге получили матрицу 8Ч8, которая изображена на рис. 3.1.1

Решение данной матрицы сводится к решению квадратного уравнения вида

, где , (3.1.1)

корень квадратного уравнения вычисляется в символьном виде.

Задав численно постоянные модуля сдвига и коэффициентов Пуассона для включения и гомогенной среды, мы получаем простою зависимость модуля сдвига от объемной доли включения . Где c изменяет свои значения от 0 до 1.

Использование данного алгоритма и (2.6.13)-(2.6.16) позволило найти расхождение с результатом полученным ранее в [1].

Рассмотрим случай плотнейших упаковок: сферические включения плотно прилегают друг к другу и любые два рядом расположенные включения имеют общую точку соприкосновения, в этом случае c = 1. Фаза матрицы отсутствует.

, , (3.1.2)

свойства композита определяются только лишь включением

, при (3.1.3)

В случае отсутствия включений

или , , (3.1.4)

свойства композита определяются свойствами матрицы (гомогенной среды)

, при . (3.4.5)

Как видно из рис. 3.1.2, рис 3.1.3 и рис. 3.1.4 полученный мною результат удовлетворяет вышеописанным свойствам, чего нельзя сказать о графике, построенном с использованием (2.6.13)-(2.6.16).

Делаем вывод, что в (2.6.13)-(2.6.16) имеются ошибки.

Разумеется выполнение преобразования, связанных с упрощением матрицы, поиском решения и построение графика зависимости эффективного модуля сдвига от объемной доли включений вручную потребует больших временных затрат и велика вероятность ошибки, о чем свидетельствует расхождение результатов.

В ходе моделирования данного алгоритма и проведения расчетов в Maple опущены этапы упрощения матрицы, программный поиск определителя и его дальнейшее упрощение исключительно в символьном виде, также исключают ошибку.

3.2 Полидисперсный наполнитель

Для построение расчетов полидисперсного наполнителя рассмотрим бидисперсный наполнитель: изначально рассматриваем модель с монодисперсным наполнителем. Используя предложенный алгоритм, приведенный ранее, определяем эффективные модули композита для соответствующих констант , , , . и для конкретного значения c, отсюда получаем эффективный модуль для всей системы. Оставшийся объём без наполнителя будет равен:

. (3.2.1)

Берём этот объём и заполняем его наполнителем с константами и . В качестве М-ых констант подставляем значения, полученные для системы с монодисперсным наполнителем. И снова используя алгоритм, получаем эффективные модули композитного материала с бидисперсным наполнителем.

Произведя n шагов обобщаем и на случай полидисперсного наполнителя, вследствие чего наступит такой момент, когда эффективный модуль композита станет равным эффективному модулю наполнителя .

Заключение

Композитные материалы изучаются уже достаточно долго, как и используются в различных сферах жизни человека. Можно найти большее количество областей применения композитов, начиная с военной промышленности, научной деятельности, исследования космоса, и заканчивая обычным бытом человека. Композиты во всех аспектах превосходят обычные конструкционные материалы, это, конечно, связанно с большим интересом человека к ним и большим количествам исследований в данной области.

Изучение композитных материалов, несомненно, достаточно объемная тема, поэтому в своей работе я рассмотрел общие принципы и подходы к изучению физических свойств композитов на примере материалов со сферическими включениями. Мною предложен пример рабочей программы, позволяющей рассчитать эффективный объемный модуль сдвига на основании физических свойств наполнителя и матрицы для монодисперсного наполнителя, и рассмотрен метод обобщения для полидисперсного наполнителя.

Задачи, поставленные в данной работе, были успешно решены:

· разработан алгоритм и реализован программными средствами Maple, использующий условия равновесия на границах наполнитель-связующее-гомогенная среда для определения величин упругих модулей.

· проведены тестовые расчеты и построены графики зависимости величин упругих модулей от коэффициента наполнения.

Цель работы достигнута: рассмотрен подход, пригодный для прогнозирования механического поведения гетерогенных сред на примере «трехфазной модели», в [1] обнаружены ошибочные результаты.

В проблеме композиционных материалов, разумеется, много сложных вопросов. Создание нового композита с заданными свойствами - сложная и трудоемка с научной стороны задача. Зачастую, для улучшения одних физических свойств приходится жертвовать другими. Сам процесс изготовления композиции - сложная технологическая задача.

Оценка перспектив упрочнения металлов и неметаллов приводит к выводам, что исследования в этом направлении приведут к разработке целой группы новых конструкционных материалов, обладающих ценными свойствами.

Список литературы

1. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. / Р. Кристенсен. - М.: Мир, 1982. - 436 с.

2. Ландау Л.Д. Теория упругости. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1965. - 204 с.

3. Седов Л.И. Механика сплошных сред. / Л.И. Седов - М.: Наука, 1976. - 536 с.

4. Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике. / Л.А. Русаков. - М.: Наука, 1982. - 256 с.

5. Кикоин И.К. Таблица физических величин. / И.К. Кикоин. - М.: Атомиздат, 1976, ? 1008 с.

6. http://ru.wikipedia.org/.

7. http://sopromat.h12.ru/content/biblio/mexan/chap1.php.

8. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Компьютеры в математическом исследовании Maple, MATLAB, LaTeX. Учебный курс. / В.Н. Говорухин. - СПб.: Питер, 2001. ? 456 с.

9. Грищенко А.С. Физико-механические свойства композиционных материалов. / А.С. Грищенко. // НИРС-2009: сб. материалов студ. науч. конф., Брест, 29 апр. 2009 г. / Брест, гос. ун-т. им. А.С. Пушкина; Под общ. ред. В.С. Секержицкого. - Брест: БрГУ, 2009. ? 52 с.

10. Грищенко А.С. Физико-механические свойства композиционных материалов. / А.С. Грищенко. // Студенческая научная конференция по теоретической физике и астрофизике, посвященная 100-летию со дня рождения В.А. Амбарцумяна : сб. материалов, Брест, 5 нояб. 2008 г. / Брест. гос. ун-т им. А.С. Пушкина ; под общ. ред. В.С. Секержицкого. - Брест: БрГУ, 2008. - 24 с.

11. Грищенко А.С. Композиционные материалы и современная техника / А.С. Грищенко. // Студенческая научно-методическая конференция, посвященная 400-летию со дня рождения Э. Торричелли: сб. материалов, Брест, 27 окт. 2008 г. / Брест. гос. ун-т им. А.С. Пушкина ; под общ. ред. В.С. Секержицкого. - Брест: БрГУ, 2008. - 22 с.

Приложение

Исходная система уравнений:

a*A[1]-6*nu[I]*a^3*A[2]/(1-2*nu[I])=a*B[1]-6*nu[M]*a^3*B[2]/(1-2*nu[M])+3*B[3]/a^4+(5-4*nu[M])*B[4]/((1-2*nu[M])*a^2);

a*A[1]-(7-4*nu[I])*a^3*A[2]/(1-2*nu[I])=a*B[1]-(7-4*nu[M])*a^3*B[2]/(1-2*nu[M])-2*B[3]/a^4+2*B[4]/a^2;

21*lambda[I]*a^2*A[2]+2*mu[I]*(A[1]-18*nu[I]*a^2*A[2]/(1-2*nu[I]))=lambda[M]*(21*a^2*B[2]-6*B[4]/a^3)+2*mu[M]*(B[1]-18*nu[M]*a^2*B[2]/(1-2*nu[M])-12*B[3]/a^5-2*(5-4*nu[M])*B[4]/((1-2*nu[M])*a^3));

mu[I]*(A[I]-(7+2*nu[I])*a^2*A[2]/(1-2*nu[I]))=mu[M]*(B[1]-(7+2*nu[M])*a^2*B[2]/(1-2*nu[M])+8*B[3]/a^5+2*(1+nu[M])*B[4]/((1-2*nu[M])*a^3));

b*B[1]-6*nu[M]*b^3*B[2]/(1-2*nu[M])+3*B[3]/b^4+(5-4*nu[M])*B[4]/((1-2*nu[M])*b^2)=b*D[1]+3*D[3]/b^4+(5-4*nu)*D[4]/((1-2*nu)*b^2);