Геометрическая оптика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Геометрическая оптика

Основные законы

Свет представляет собой сложное явление: в одних случаях он ведет себя как электромагнитная волна, а в других - как поток особых частиц (фотонов). Мы начнем изучение оптики с круга явлений, в основе которых лежат волновые представления о свете.

Длины воспринимаемых глазом световых волн очень малы (порядка 10⁷ м). Поэтому распространение видимого света можно в первом приближении рассматривать, отвлекаясь от его волновой природы и полагая, что свет распространяется вдоль некоторых линий, называемых лучами. В предельном случае, соответствующем , законы оптики можно сформулировать на языке геометрии. Раздел физики, в котором пренебрегают конечностью длин волн, называется геометрической оптикой.

Основу геометрической оптики образуют четыре закона.

1. Закон прямолинейного распространения света: в однородной среде свет распространяется прямолинейно. Этот закон является приближенным: при прохождении света через очень малые отверстия наблюдаются отклонения от прямолинейности, тем большие, чем меньше отверстия.

2. Закон независимости световых лучей: лучи при пересечении не возмущают друг друга. Этот закон справедлив лишь при не слишком больших интенсивностях света.

Если свет падает на границу раздела двух прозрачных сред, то падающая световая волна разделяется на две: отраженную волну, распространяющуюся в первой среде, и преломленную волну, распространяющуюся во второй среде. Направления распространения падающей, отраженной и преломленной волн в первом приближении можно определить лучами (лучи I, II, III).

3. Закон отражения света: отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; угол отражения равен углу падения: .

4. Закон преломления света: преломленный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред: .

Величина называется относительным показателем преломления второй среды относительно первой. Относительный показатель преломления выражается через отношение абсолютных показателей преломления этих сред, которые определяются как отношение скорости распространения электромагнитных волн в вакууме к фазовой скорости в данной среде: . Таким образом, и .

Значения показателя преломления характеризуют оптическую плотность среды. Среда с большим называется оптически более плотной, чем среда с меньшим . Значит, из закона преломления света следует, что при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную луч удаляется от нормали к поверхности раздела сред. Увеличение угла падения сопровождается быстрым ростом угла преломления и при достижении углом значения угол . Угол называется предельным углом.

Пример 1. Во многих измерительных приборах роль стрелки играет световой луч, отраженный от маленького плоского зеркальца. На какой угол повернулось зеркальце, если отраженный луч передвинулся по шкале на ? Расстояние от шкалы до зеркальца .

Решение. При повороте зеркальца на угол угол падения увеличивается на , т.е. . В силу закона отражения света на столько же увеличивается и угол отражения. Угол между падающим и отраженным лучами увеличивается на . Поскольку падающий луч своего положения в пространстве не меняет, то смещение отраженного луча обусловлено его поворотом на угол . В силу малости смещения отраженного луча по сравнению с расстоянием между зеркальцем и шкалой можно считать, что . Отсюда

.

Пример 2. Шест высотой вбит вертикально в дно пруда, так, что он целиком находится под водой. Определить длину тени от шеста на дне пруда, если лучи солнца падают на поверхность воды под углом .

Решение. Луч света, упавший на границу раздела воздух - вода под углом , преломится в воде в соответствии с законом преломления света: . Здесь - показатели преломления воздуха и воды соответственно; - углы падения и преломления соответственно. Отсюда . Длина тени от шеста равна . Здесь - длина шеста. Подставляя данные задачи и учитывая, что (из таблиц), получаем: .

Полное внутреннее отражение

Энергия, которую несет с собой падающий луч, распределяется между отраженным и преломленным лучами. По мере увеличения угла падения интенсивность отраженного луча растет, интенсивность же преломленного луча убывает, обращаясь в нуль при предельном угле. При углах падения, заключенных в пределах от до световая волна проникает во вторую среду на расстояние порядка длины волны и затем возвращается в первую среду. Это явление называется полным внутренним отражением.

Значение предельного угла определяется из условия : закон преломления дает . Отсюда следует, что явление полного внутреннего отражения возможно только при переходе света из среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную.

Пример 3. Преломляющий угол стеклянной призмы . Под каким углом лучи должны падать на призму, чтобы выходить из нее, скользя вдоль поверхности противоположной грани? Показатель преломления стекла .

Решение. По условию выходящий из призмы луч идет под углом к перпендикуляру, восстановленному в точке выхода луча (рис. 2.1.4): . Этот угол является углом преломления для луча, падающего под углом из стекла на границу раздела стекло - воздух. По закону преломления света: . Отсюда . Здесь - показатели преломления стекла и воздуха соответственно. В четырехугольнике сумма всех углов равна ; углы при вершинах и прямые, значит, угол при вершине равен . Из треугольника имеем: . Применяя закон преломления для первой грани призмы, получаем: .

Принцип Ферма

В основу геометрической оптики может быть положен принцип, установленный французским математиком Ферма, из которого вытекают законы прямолинейного распространения, отражения и преломления света. Принцип Ферма гласит: «Свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время».

Для прохождения участка пути свету требуется время , где - скорость света в данной точке среды. Поскольку , то . Отсюда время, затрачиваемое светом на прохождение пути от точки 1 до точки 2, равно . Имеющая размерность длины величина называется оптической длиной пути. В однородной среде и . Используя это, получаем: , т.е. свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.

Из принципа Ферма вытекает обратимость световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален в случае распространения света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света в обратном направлении.

Получим с помощью принципа Ферма законы отражения и преломления света. Пусть свет попадает из точки в точку , отразившись от поверхности . Среда, в которой проходит луч, однородна. Поэтому минимальность оптического пути сводится к минимальности его геометрической длины.

Геометрическая длина произвольно взятого пути равна (вспомогательная точка является зеркальным отражением точки). Из рисунка видно, что наименьшей длиной обладает путь луча, отразившегося в точке , для которой угол падения равен углу отражения.

Теперь найдем точку, в которой должен преломиться луч, распространяясь от к , чтобы оптическая длина пути была минимальна. Для произвольного луча оптическая длина пути равна . Чтобы найти минимальное значение, продифференцируем по и приравняем производную нулю:

.

Но и . Таким образом, .

Тонкая линза

Как уже говорилось, геометрическая оптика может лишь служить первым приближением при изучении распространения света. Однако, оставаясь приближенным методом, она позволяет разобрать основные явления, связанные с прохождением света через оптические системы, и поэтому является основой теории оптических приборов.

Основной деталью оптических приборов является линза, представляющая собой прозрачное тело, ограниченное двумя поверхностями, обычно сферическими, реже цилиндрическими. Изготавливаются линзы из стекла, кварца, пластмассы и т.п. По форме различают линзы двояковыпуклые, плосковыпуклые, двояковогнутые, плосковогнутые, выпукловогнутые, вогнутовыпуклые. Линза называется тонкой, если расстояние между ограничивающими поверхностями значительно меньше радиусов поверхностей, ограничивающих линзу. Прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы, называется главной оптической осью. У всякой линзы существует точка, называемая оптическим центром линзы, лежащая на главной оптической оси и обладающая тем свойством, что световые лучи проходят через нее не преломляясь. Для тонких двояковыпуклых и двояковогнутых линз считают, что оптический центр О совпадает с геометрическим центром; для плосковыпуклых и плосковогнутых линз оптический центр лежит на пересечении главной оптической оси со сферической поверхностью. Соотношение, связывающее радиусы кривизны поверхностей линзы с расстояниями от линзы до предмета и его изображения - так называемую формулу линзы - можно получить, опираясь на принцип Ферма. Рассмотрим две траектории светового луча - прямую, соединяющую точки и , и траекторию, проходящую через край линзы, т.е. лучи АОВ и АСВ. В силу принципа Ферма времена прохождения света по этим траекториям равны. Время прохождения света по траектории АОВ

,

где - относительный показатель преломления ( и - абсолютные показатели преломления линзы и окружающей среды). Время прохождения света по траектории АСВ равно

.

Так как ,

.

Рассмотрим параксиальные (приосевые) лучи, т.е. лучи, образующие с оптической осью малые углы. (Только такие лучи дают стигматическое изображение). Все лучи параксиального пучка, исходящего из точки , пересекают ось в одной и той же точке . Тогда и

Аналогично, . Подставив эти выражения в равенство времен, получим:

.

Так как , последнее равенство можно представить в виде . Выразим величины и через радиусы ограничивающих линзу поверхностей:

.

Используя эти выражения, получим: . Это выражение представляет собой формулу линзы. Радиусы кривизны - величины алгебраические: если центр кривизны лежит справа от сферической поверхности (поверхность выпуклая) - радиус положительный; если центр кривизны лежит слева от сферической поверхности (поверхность вогнутая) - радиус отрицательный.

Если , т.е. лучи падают на линзу параллельным пучком, то . В этом случае расстояние называется фокусным расстоянием линзы (рис. 2.1.9, а)

.

Если , т.е. изображение находится на бесконечности (лучи выходят из линзы параллельным пучком), то (рис. 2.1.9, b). Таким образом, фокусные расстояния линзы, окруженной с обеих сторон одинаковой средой, равны.

Точки, лежащие по обе стороны линзы на расстояниях, равных фокусным, называются фокусами линзы. Фокус - это точка, в которой после преломления собираются все лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси.

Величина, обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой линзы . Ее единица - диоптрия. Это оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1 м. Если - линза собирающая; если - линза рассеивающая. Рассеивающая линза в отличие от собирающей имеет мнимые фокусы.

Принимая во внимание выражение для фокусного расстояния линзы, формулу линзы можно представить в следующем виде: . Для рассеивающей линзы расстояния и надо считать отрицательными.

Для построения изображения в линзе любой точки объекта достаточно найти точку пересечения каких-либо двух лучей, исходящих из этой точки. Удобнее всего строить те лучи, ход которых легко проследить. В случае прохождения через линзу такими лучами являются следующие:

1) луч , идущий через оптический центр линзы без изменения направления;

2) луч, падающий на линзу параллельно оптической оси; преломленный луч проходит через задний фокус;

3) луч, проходящий через передний фокус; преломленный луч идет параллельно оптической оси.

Отношение линейных размеров изображения и предмета называется линейным увеличением линзы. Отрицательным значениям линейного увеличения линзы соответствует действительное обратное изображение (рис. 2.1.11); положительным - мнимое прямое изображение (рис. 2.1.12).

Получение изображений с помощью зеркал

Не менее распространенными, чем линза, деталями оптических приборов являются различного вида зеркала. Законы образования изображений точек при отражении в зеркалах и при преломлении в линзах во многом аналогичны.

Очень просто получить изображение точки в плоском зеркале. Два произвольных луча от точки при отражении от плоского зеркала дадут два луча, продолжения которых пересекутся в точке . Из геометрических соображений ясно, что точка будет лежать на той же нормали к зеркалу, что и точка , и на том же расстоянии от плоскости зеркала.

Рассмотрим теперь сферическое зеркало. Пусть радиус сферы , центр сферы - точка . Средняя точка имеющейся части сферической поверхности называется полюсом зеркала (точка ). Нормаль к зеркалу, проходящая через центр зеркала и его полюс называется главной оптической осью. Другие нормали к зеркалу называются побочными оптическими осями. Диаметр окружности, ограничивающей сферическое зеркало, называется отверстием зеркала.

Возьмем точку на главной оси на расстоянии от полюса и рассмотрим параксиальные лучи, исходящие из этой точки. Один из этих лучей падает на зеркало в точке на высоте над осью, при этом . Отраженный луч пересечет ось в точке на расстоянии от полюса. В силу того, что луч - параксиальный, углы и , образуемые этим лучом и отраженным с осью, малы. Радиус перпендикулярен поверхности зеркала в точке падения; - углы падения и отражения соответственно. Значит, . Обозначим через угол, образуемый радиусом с осью. Из треугольника имеем: , так как - внешний. Из треугольника имеем: . Так как , получаем: .

Так как углы малы, можно заменить синусы углов самими углами и пренебречь длиной отрезка . Тогда будем иметь приближенные равенства:

.

Используя это, получаем: . То, что высота и угол не входят в окончательный результат, означает, что любой параксиальный луч, выходящий из точки , после отражения пройдет через точку на расстоянии от полюса. Таким образом, точка есть изображение точки . Последняя формула - основная формула сферического зеркала. Легко доказать, что она справедлива и для выпуклого зеркала.

Найдем положение фокуса сферического зеркала, т.е. точки, в которой пересекутся после отражения в подобном зеркале лучи, параллельные главной оптической оси. Лучи параллельны оси при . Из основной формулы зеркала находим: . Значит, формулу зеркала можно записать в виде, аналогичном формуле тонкой линзы .

Для построения изображений в сферическом зеркале следует использовать те же лучи, что и в случае линзы. Кроме них можно использовать луч, падающий на зеркало в его полюсе. Он отразится назад симметрично по отношению к главной оптической оси.

Пример 4. Где и какого размера получится изображение предмета высотой , помещенного на расстоянии от собирающей линзы с фокусным расстоянием ?

Решение. Для построения изображения используем два луча, исходящие из точки предмета : луч, проходящий через оптический центр, - после прохождения линзы он не меняет своего направления; луч, падающий на линзу параллельно главной оптической оси, - после преломления в линзе он пройдет через задний фокус. Точка пересечения этих лучей является изображением точки . Точки главной оптической оси отображаются в точки этой же оси. Опустив из точки перпендикуляр на главную оптическую ось, получим изображение предмета . Формула тонкой линзы связывает расстояния от оптического центра линзы до предмета и его изображения с фокусным расстоянием: . Здесь .

Отсюда . Из подобия треугольников и имеем: . Знак минус свидетельствует о том, что изображение предмета прямое обратное.

Пример 5. Определить фокусное расстояние вогнутого сферического зеркала, если оно дает действительное изображение предмета, увеличенное в четыре раза. Расстояние между предметом и его изображением .

Решение. Изображение предмета в вогнутом зеркале получается действительным увеличенным, если предмет располагается между фокусом и центром сферы. Для построения изображения предмета используем два луча, исходящие из точки : луч, падающий на зеркало в его полюсе, - направление отраженного луча определится условием «угол падения равен углу отражения»; луч, падающий на зеркало, проходя через фокус - отраженный от зеркала луч пойдет параллельно главной оптической оси. Точка пересечения отраженных лучей будет изображением точки . Точки главной оптической оси отображаются в точки той же оси. Опуская из точки перпендикуляр на главную оптическую ось, получим изображение предмета . Формула сферического зеркала связывает расстояния от полюса зеркала до предмета и его изображения с фокусным расстоянием: . Здесь - фокусное расстояние. Поскольку , то . Из подобия треугольников и :

.

Оптические приборы

Законы образования изображений в оптических системах служат основой для построения разнообразных оптических приборов. В некоторых оптических приборах изображение получается на экране, который должен быть установлен в плоскости изображения. Другие приборы предназначены для работы совместно с глазом. В последнем случае прибор и глаз представляют как бы единую оптическую систему, и изображение получается на сетчатой оболочке глаза.

В первом приближении глаз можно рассматривать как линзу и, зная положение оптического центра этой линзы, легко построить изображение какого-либо предмета на сетчатой оболочке глаза. Изображение всегда действительное, уменьшенное и обратное. Угол , под которым виден предмет из оптического центра глаза , называется углом зрения. Глаз плохо распознает детали, которые он видит под углом менее . Приближая предмет к глазу, мы увеличиваем угол зрения и, следовательно, получаем возможность лучше различать мелкие детали. Однако очень близко к глазу приблизить предмет мы не можем, так как способность глаза к аккомодации (перемещению фокуса глаза путем изменения кривизны поверхности хрусталика) ограничена. Для нормального глаза наиболее благоприятным для рассматривания предмета оказывается расстояние около , называемое расстоянием наилучшего зрения.

Значительное увеличение угла зрения достигается с помощью оптических приборов. Благодаря увеличению угла зрения величина изображения на сетчатке глаза возрастает по сравнению с величиной изображения в случае невооруженного глаза. Отношение длины изображения на сетчатке в случае вооруженного глаза к длине изображения для невооруженного глаза называется увеличением оптического прибора. Так как углы и невелики, можно принять, что .

Лупа. Это простейший прибор для вооружения глаза. В качестве лупы применяются собирательные линзы с фокусным расстоянием от до . Лупа помещается перед глазом по возможности ближе к нему, а рассматриваемый предмет на расстоянии, немного меньшем фокусного расстояния лупы. При таком расположении предмета изображение в лупе увеличенное, прямое, мнимое. Это изображение рассматривается глазом. Можно показать, что увеличение лупы , где - расстояние наилучшего зрения, - фокусное расстояние линзы. Из формулы увеличения лупы следует, что, уменьшая фокусное расстояние, можно получить очень большие увеличения. Однако на практике лупы с увеличением больше не применяются, так как существенное уменьшение фокусного расстояния () возможно только при значительном уменьшении диаметра лупы, и применение таких приборов становится невозможно.

Микроскоп. Этот прибор служит для получения больших увеличений. Оптическая система микроскопа состоит из двух частей: объектива и окуляра. Объектив дает промежуточное увеличенное изображение вблизи переднего фокуса окуляра. Это изображение рассматривается через окуляр, как через лупу. Как и лупа, микроскоп дает возможность рассматривать изображение предмета под значительно большим углом, чем это возможно для невооруженного глаза.

Расчет показывает, что увеличение микроскопа равно . Здесь - расстояние наилучшего зрения; - расстояние между объективом и окуляром; - фокусные расстояния объектива и окуляра соответственно. Окуляры и объективы микроскопа делаются сменными, благодаря чему можно быстро менять увеличение системы. Формула увеличения микроскопа показывает, что, уменьшая фокусные расстояния объектива и окуляра, можно получить очень большие увеличения. Существуют оптические микроскопы с увеличением около . Однако, осуществляя большие увеличения, мы можем повысить разрешающую способность микроскопа лишь до известного предела. Это связано с необходимостью учитывать волновые свойства света. Волновая природа света накладывает определенный предел на разрешающую способность всех оптических систем, в том числе и микроскопа. Если две точки объекта находятся одна от другой на расстоянии, меньшем некоторого предела, то мы не сможем их «разрешить»: их изображения всегда будут сливаться между собой, каким бы большим увеличением не обладал микроскоп. Поэтому на практике применяются микроскопы с увеличением не более .

Зрительные трубы. Зрительная труба представляет собой прибор, предназначенный для рассматривания удаленных предметов. Как и микроскоп, она состоит из объектива и окуляра, которые расположены друг относительно друга так, что задний фокус объектива приближенно совпадает с передним фокусом окуляра. Объектив дает действительное уменьшенное обратное изображение бесконечно удаленного предмета в своей задней фокальной плоскости; это изображение рассматривается через окуляр, как через лупу. Объектив зрительной трубы должен быть всегда собирательной системой. Окуляр же может быть как собирательной, так и рассеивающей системой. Зрительная труба с собирающим (положительным) окуляром называется трубой Кеплера; труба с рассеивающим (отрицательным) окуляром - трубой Галилея. Труба Галилея дает прямое изображение предмета, труба Кеплера - перевернутое. Если труба Кеплера используется для земных наблюдений, то ее снабжают оборачивающей системой, в результате чего изображение становится прямым. Примерами использования этих труб могут служить театральный бинокль (труба Галилея) и призменный бинокль (труба Кеплера).

Увеличение зрительной трубы равно отношению фокусных расстояний объектива и окуляра: . Зрительная труба увеличивает размеры изображения удаленного предмета на сетчатке глаза, действуя так, как если бы предмет приблизился к глазу. Это позволяет лучше различать детали предмета. Разрешающая способность зрительной трубы, как и любой другой оптической системы, ограничена волновой природой света.

Телескоп. В астрономии исключительное значение имеют зрительные трубы, которые называются телескопами. Телескоп, в котором объектив представляет собой собирающую оптическую систему, выполненную из линз, называется рефрактором. Если роль объектива играют сферическое или параболическое зеркало, то телескоп называется рефлектором.

Поскольку небесные тела удалены от Земли на очень большие расстояния, то свет от них идет практически параллельным пучком. Этот свет, попадая на зеркало, дает действительное обратное уменьшенное изображение небесного тела в фокальной плоскости. Для того чтобы было удобно рассматривать изображение, вблизи фокуса сферического (или параболического) зеркала устанавливается небольшое плоское зеркало, которое поворачивает лучи в сторону, направляя их в окуляр. Изображение, даваемое сферическим (или параболическим) зеркалом, рассматривают через окуляр, как через лупу. Увеличение телескопа, как и любой зрительной трубы, равно отношению фокусных расстояний объектива и окуляра.

Звезды находятся от нас так далеко, что при наблюдении их даже в самые большие телескопы не удается различить на них детали. Польза от применения телескопа заключается в том, что по сравнению со зрачком глаза поперечное сечение зеркала схватывает гораздо больше света, чем это может сделать невооруженный глаз. Поэтому в телескоп можно наблюдать такие слабые звезды, которые невооруженным глазом не могут быть замечены.

Телескоп дает изображения звезд в виде точек, но он «раздвигает» эти точки, что позволяет наблюдать звезды, которые невооруженному глазу кажутся одной точкой.

Пример 6. Луна видна невооруженным глазом под углом . Под каким углом она видна в телескоп, если фокусное расстояние объектива , а фокусное расстояние окуляра ?

Решение. Увеличение телескопа , где - фокусные расстояния объектива и окуляра. Телескоп как бы приближает небесное тело к глазу, увеличивая угол зрения. Таким образом, угол зрения через телескоп станет равным . Подставляя данные задачи, получаем: .

отражение свет линза преломление

Размещено на Allbest.ru