Момент силы относительно точки на плоскости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Момент силы относительно точки на плоскости

Момент силы относительно точки на плоскости

Моментом силы относительно некоторой точки на плоскости называется произведение модуля силы на ее плечо относительно этой точки, взятое со знаком плюс или минус (рис. 1):

Плечом силы Р относительно точки О называют длину перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы; точка О называется центром момента.

Момент силы относительно точки будем считать положительным, если сила Р стремится повернуть плоскость чертежа вокруг точки О в сторону, противоположную движению часовой стрелки, и отрицательным -- в обратном случае.

Момент силы Р относительно точки О численно равен удвоенной площади треугольника АОВ

где А и В -- начало и конец силы, а О -- центр момента.

Если линия действия силы проходит через точку, т. е. d = 0, то момент силы относительно этой точки равен нулю.

Единица момента равна произведению единицы силы на единицу длины.

Если сила выражена в ньютонах, а плечо в метрах, то момент силы выражается в ньютон-метрах (н * м).

В том случае, если к телу приложено несколько сил, лежащих в одной плоскости, можно вычислить сумму моментов этих сил относительно какой-либо точки О в этой же плоскости (рис.2):

Рис. 1 рис. 2

Момент Мо, равный алгебраической сумме моментов данной системы сил относительно какой-либо точки в той же плоскости, называют главным моментом системы сил относительно этой точки:

Момент силы относительно точки и относительно оси

Момент силы относительно точки как векторное произведение

Момент силы относительно точки в пространстве изображается вектором, модуль которого равен произведению модуля силы на ее плечо относительно этой точки (центра момента):

Вектор момента силы направляется перпендикулярно к плоскости, проходящей через точку О и силу Р, в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть силу Р, стремящейся вращать эту плоскость вокруг точки О против движения часовой стрелки

Рис.3

Модуль момента силы относительно точки может быть также выражен удвоенной площадью треугольника АОВ:

Момент силы относительно точки равен нулю в том случае, если линия действия силы проходит через эту точку, т. е. d = 0.

Если из центра О в точку приложения силы провести радиус-вектор г (рис. 3), то вектор момента силы можно выразить следующим векторным произведением:

-

Как известно из векторной алгебры, вектор, равный векторному произведению rЧP . направлен по перпендикуляру к плоскости векторов-- сомножителей, т. е. к плоскости ?AOB , в такую сторону, чтобы, смотря ему навстречу, видеть совмещение первого множителя г со вторым множителем Р (отложенным из той же точки О) в виде поворота на угол, меньший 180°, против движения часовой стрелки, т. е. направление векторного произведения rЧP дает с направлением момента Мо.

Покажем, что и модуль этого векторного произведения равен модулю момента силы Р относительно точки О. Как известно из векторной алгебры, модуль векторного произведения равен:

Но

а поэтому

точки можно рассматривать как векторное произведение радиуса вектора г, проведенного из центра моментов в точку приложения силы, на вектор силы Р.

Момент силы относительно оси

Кроме момента силы относительно точки, при операциях с силами в пространстве широко применяют момент силы относительно оси.

Чтобы вычислить момент силы Р относительно оси z, следует спроектировать эту силу на плоскость /, перпендикулярную к оси, а затем вычислить момент этой проекции Р₁ относительно точки

О пересечения оси с плоскостью

Рис. 4

силы Р относительно оси z называется взятое со знаком плюс или минус произведение модуля проекции P₁ силы Р на плоскость, перпендикулярную к оси, на ее плечо d₁ относительно точки О пересечения

оси с плоскостью:

считается положительным, если, смотря навстречу оси z, можно видеть проекцию силы Р, стремящейся вращать плоскость / вокруг оси z против движения часовой стрелки.

Момент силы относительно оси изображается отрезком, отложенным по оси z от точки О в положительном направлении, если Mz > 0, и в отрицательном, если Мг < 0.

Значение момента силы относительно оси может быть также выражено удвоенной площадью треугольника A₁OB₁ :

Момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях П если Я =0 т. е. линия действия силы параллельна оси,

2) если й\= 0,' т. е. линия действия силы пересекает ось.

Зависимость между моментом силы относительно точки и моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку

Установим зависимость между моментом ^лы относительно точки и моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку

(рис. 110).

В установлено: и

Так как треугольник A₁OB₁ является проекцией треугольника AOB

на плоскость I перпендикулярную к оси z, то его

Рис. площади треугольника АОВ, умноженной на косинус угла между этими плоскостями.

Известно что между плоскостью треугольника АОВ и плоскостью I равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям, т. е. углу между моментом Мо и осью z.

Поэтому

Умножив обе части этого равенства на два, получим

Или

Проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через ату точку, равна моменту силы относительно оси.

Если сила расположена в плоскости, перпендикулярной к оси,

То

Аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей

Возьмем три взаимно перпендикулярные координатные оси х, у, z, которым соответствуют орты i,j, k.

Момент Мо силы Р относительно начала координат, как известно из, выражается формулой:

где г -- радиус-вектор точки А приложения силы относительно на- чала координат (рис.).

плоскость точка момент сила

Рис.

Разложим вектор Мо на составляющие по осям координат:

где Мх, Му, Мz -- проекции Мо на оси координат.

Из векторной алгебры известно, что векторное произведение г X Р можно представить определителем:

где x, у, z -- проекции вектора г, а X, У, Z -- проекции вектора Р на оси координат.

Приравнивая значения Мо и определителя, разложенного по элементам первой строки, получим

Сопоставляя левые и правые части этого равенства, находим проекции момента Мо на оси координат, равные, согласно, моментам силы Р относительно этих осей.

Главные моменты системы сил относительно точки и относительно оси

Если имеется система сил Р₁, Р2, ..., Рn, произвольно расположенных в пространстве, то можно определить моменты всех сил относительно произвольной точки О:

Построив в точке О многоугольник этих моментов, можно найти их геометрическую сумму.

Момент, равный геометрической сумме моментов всех заданных сил относительно точки О, называется главным моментом системы сил относительно этой точки:

Р₁ ,Р₂ и Р₃ относительно точки О.

Если заданы силы P_1, P₂ Р„, произвольно расположенные в пространстве (рис.), то можно определить моменты всех этих сил относительно произвольной оси z:

Момент, равный алгебраической сумме моментов всех заданных сил относительно оси г, называется главным моментом системы сил относительно оси z:

Главный момент системы сил относительно оси изображается отрезком, отложенным по оси z от любой ее точки О в положительном направлении, если М_Z > 0, и в отрицательном, если Мг < 0.

Зависимость между главными моментами системы сил относительно точки и оси, проходящей через эту точку

На рис. изображен многоугольник моментов сил P₁, P₂ и P₃ относительно точки О.

Проведем через эту точку произвольную ось z и спроектируем на эту ось главный момент Мо, а также моменты ;

Получим

Согласно § 46

Тогда

Распространяя эту зависимость на любое число сил, получаем

Таким образом, проекция главного момента системы сил относительно некоторой точки на ось, проходящую через эту точку, равна главному моменту заданной системы сил относительно этой оси.

Размещено на Allbest.ru