Статика твердого тіла

Размещено на http://www.allbest.ru/

34

Статика твердого тіла

План

1. Статика твердого тіла

1.1 Аксіоми статики вільного твердого тіла

1.2 Дві найпростіші теореми статики

1.3 Вільні і невільні тіла. В'язі і їх реакції

1.4 Аксіоми про в'язі

1.5 Класифікація сил. Метод перерізів

1.6 Системи збіжних сил і умови їх рівноваги

1.7 Теорема Варіньона (терема про момент рівнодіючої збіжної системи сил)

1.8 Довільна просторова система сил і умови її рівноваги

1.8.1 Теорема про паралельний перенос сили

1.8.2 Основна теорема статики (теорема Пуансо)

1.8.3 Залежність головного вектора і головного моменту від вибору центра зведення

1.8.4 Умови рівноваги довільної просторової системи сил

1.9 Окремі випадки рівноваги систем сил

1.9.1 Умови рівноваги просторової системи паралельних сил

1.9.2 Умови рівноваги плоскої системи сил

1.9.3 Умови рівноваги плоскої системи паралельних сил

2. Тертя

2.1 Зчеплення і тертя ковзання

2.2 Рівновага гнучкої нитки на негладкій циліндричній поверхні

2.3 Тертя кочення

3. Центр паралельних сил. Центр ваги тіла

3.1 Рівнодіюча систем двох паралельних сил, які не утворюють пару

3.2 Центр паралельних сил

3.3 Центр ваги твердого тіла

1. Статика твердого тіла

Статика є розділом теоретичної механіки, в якому розглядаються властивості сил, а також умови рівноваги абсолютно твердого тіла або системи таких тіл під дією прикладених до них сил.

Статика - вельми важливий розділ курсу теоретичної механіки не тільки тому, що методи статики широко використовуються в суміжних дисциплінах (механіка матеріалів, теорія механізмів і машин, деталі машин та інш.), але і тому, що методи її покладені в основу розв'язання задач динаміки за допомогою принципу Даламбера (метод кінетостатики).

Математичний апарат статики базується на обмеженій кількості істин (аксіом), частина яких безпосередньо виходить із законів Ньютона.

1.1 Аксіоми статики вільного твердого тіла

Аксіома 1.

Дві сили, прикладені до вільного твердого тіла, взаємно зрівноважуються тоді і тільки тоді, коли вони рівні за величиною і діють вздовж однієї прямої в протилежних напрямах.

Математично аксіома 1 виражається таким чином:

рівність модулів сил: ,

протилежність напрямів: ,

напрям векторів сил вздовж однієї прямої в протилежні сторони забезпечує векторне рівняння рівності за модулем і протилежності знаків моментів даних сил відносно будь-якої точки О, що не лежить на прямій MN (рис.1.1), тобто

.(1.1'')

Потрібно мати на увазі, що ця аксіома справедлива тільки для абсолютно твердого тіла; для тіл, що можуть деформуватися, вона не завжди справедлива.

Рис. 1.1

Аксіома 2.

Дія на тверде тіло системи сил не змінюється від додавання до неї, чи відкидання від неї зрівноваженої системи сил.

Таким чином, згідно з аксіомою 2, стан спокою або характер руху твердого тіла не змінюється при додаванні до цього тіла або відкиданні від нього зрівноваженої системи сил.

Аксіома 3.

Рівнодіюча двох сил, прикладених до однієї точки твердого тіла під кутом одна до одної, визначається за величиною і напрямом діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах цих сил як на сторонах (рис.1.2).



Рис.1.2

Рис.1.3

Ця аксіома може бути застосована до будь-яких тіл, не обов'язково до абсолютно твердих.

Заміна двох сил рівнодіючою за правилом паралелограма є не що інше, як векторне додавання. Тому:

. (1.2)

Модуль рівнодіючої двох сил знаходять за формулою визначення довжини діагоналі паралелограма:

. (1.3)

Висновок з аксіоми 3. Будь-яку силу можна розкласти на складові по двох довільних напрямах за правилом паралелограма (рис.1.3).

.

1.2 Дві найпростіші теореми статики

Теорема 1. Дія сили на абсолютно тверде тіло не змінюється, якщо початок вектора сили, прикладеної до цього тіла, перенести вздовж лінії її дії в будь-яку точку тіла.

Нехай на тверде тіло діє сила , прикладена в точці А (рис.1.4). Оберемо на лінії дії цієї сили довільну точку В в прикладемо до неї зрівноважені сили і , такі, що . Очевидно, сили і також утворюють зрівноважену систему сил, яку на підставі аксіоми 2 можна відкинути. Залишається сила , що і потрібно було довести.

Як відомо з математики, вектор, який можна переносити вздовж лінії його дії, називають ковзним. Таким чином, з доведеної теореми випливає, що сила, яка діє на абсолютно тверде тіло, є ковзним вектором.

Слід також відмітити, що дана теорема стосується тільки абсолютно твердого тіла; для тіл, що деформуються, перенос точки прикладання сили змінює її вплив на тіло.

Теорема 2. Вільне тверде тіло може знаходитися в рівновазі під дією трьох непаралельних сил, що лежать в одній площині, тільки тоді, коли лінії дії цих сил перетинаються в одній точці.

Припустимо, що на тверде тіло діють три непаралельні сили: , які прикладені в точках С, D, В, а лінії дії двох з них, наприклад, і , перетинаються в точці А (рис.1.5). Перенесемо сили і до цієї точки і на підставі аксіоми 3 замінюємо їх рівнодіючою . Тепер на тіло діють тільки дві сили: і , рівновага яких за аксіомою 1 можлива тільки тоді, коли вони будуть рівними за модулем і напрямлені вздовж однієї прямої. А це означає, що лінія дії сили також буде проходити через точку А перетину ліній дії сил і .

Доведену теорему називають теоремою про три сили. Вона дає лише необхідну умову рівноваги тіла під дією трьох сил. Але для рівноваги тіла зовсім не достатньо, щоб лінії дії трьох сил перетиналися в одній точці.

1.3 Вільні і невільні тіла. В'язі і їх реакції

В теоретичній механіці тверде тіло вважається вільним, якщо воно має можливість здійснювати будь-які переміщення в просторі під дією прикладених до нього відповідних сил.

Якщо певні переміщення тіла неможливі через обмеження, накладені з боку інших тіл, то дане тверде тіло називають невільним.

Обмеження, накладені на положення і рух твердого тіла, називають в'язями.

Таким чином, в'язі, що накладаються на тіло, обмежують його рух і відхиляють від того, який був би можливим під дією тих самих прикладених сил, але без в'язей. В статиці розглядаються найпростіші в'язі у формі різноманітних твердих або гнучких тіл.

Між тілом і в'яззю існує механічна взаємодія. Сила, з якою в'язь діє на тіло, називається реакцією в'язі, чи просто реакцією. Реакція в'язі прикладена до тіла. Згідно з третім законом Ньютона дане тіло діє на в'язь з силою, рівною за модулем і протилежно напрямленою реакції в'язі. Цю силу називають силою тиску тіла на в'язь.

За характером обмежень, що накладають в'язі на тіла, їх можна поділити на два види: односторонні чи неутримуючі і двосторонні або утримуючі. В'язі обох видів, в яких відсутні сили тертя, називають ідеальними.

Односторонніми в'язями називають такі в'язі, котрі обмежують свободу руху тіла тільки в одному напрямі. Всередині цього виду розрізняють в'язі односторонні тверді і односторонні гнучкі.

Якщо мати на увазі, що будь-яка в'язь дає реакцію тільки в напрямі, протилежному тому переміщенню, якого вона не дозволяє, то можна дійти до висновку: реакція ідеальної односторонньої твердої в'язі напрямлена вздовж спільної нормалі до поверхонь тіла і в'язі в точці або поверхні їх стикання в бік від в'язі до тіла (рис.1.6).

До гнучких в'язей належать троси, канати, ланцюги, паси, тощо. Особливістю гнучкої в'язі є те, що вона перешкоджає переміщенню тіла тільки в одному напрямі. Реакція ідеальної гнучкої в'язі завжди напрямлена вздовж її геометричної осі, причому від тіла до в'язі. А це означає, що гнучкі в'язі працюють тільки на розтягування (рис. 1.7).

Двосторонніми (утримуючими) називають такі в'язі, котрі обмежують переміщення тіла, як в одному, так і в прямо протилежному напрямах.

Класичними представниками двосторонніх в'язей є нерухомі шарніри. Шарніром називають таке з'єднання двох тіл, яке дає можливість повороту одного тіла навколо певної точки або осі, зв'язаних з другим тілом. Якщо цей поворот здійснюється навколо точки (центра шарніра), то такий шарнір називається кульовим (сферичним).

Рис.1.6

а,б - гладка опорна поверхня; в,г - рухомо-шарнірна опора (коток);
д - гладке ребро

Рис. 1.7

Гнучкі в'язі

Рис. 1.8

а,б - циліндричний шарнір; в - радіальний підшипник; г - сферичний шарнір; д - підп'ятник; е - стержневі в'язі.

Якщо ж поворот можливий тільки навколо однієї певної осі, то шарнір називають циліндричним. Різновидами циліндричного шарніра є радіальні підшипники, а також (за принципом механічної дії) підп'ятник.

В загальному випадку реакції двосторонніх в'язей невідомі за величиною і напрямом. Тому при розв'язанні задач механіки, коли потрібно визначити реакції таких в'язей, їх показують у вигляді складових, напрямлених по координатних осях (рис.1.8).

Якщо опорою тіла є нерухомий ідеальний циліндричний шарнір або радіальний підшипник, то реакція в'язі проходить через повздовжню вісь шарніра (підшипника) і лежить в площині, перпендикулярній до цієї осі. Очевидно, що і складові повної реакції також розташовані у вказаній площині (рис.1.8 а,б,в).

В'язі, що здійснюються за допомогою сферичного шарніра або підп'ятника, дають реакції невідомі ні за величиною, ні за напрямом, але при відсутності в таких опорах тертя ці реакції будуть проходити через центр шарніра чи опорну точку підп'ятника. Для визначення модуля і напряму реакції зручно знаходити їх проекції на три координатні осі (рис. 1.8 г,д).

Найпростішим представником двосторонньої в'язі є в'язь, яка здійснюється за допомогою невагомих жорстких стержнів, що мають на кінцях точкові шарніри (тобто розмірами їх можна нехтувати). При відсутності тертя в шарнірах реакція такої в'язі напрямлена по прямій, що з'єднує кінцеві шарніри. На відміну від гнучких в'язей, стержні працюють як на розтягнення, так і на стиск (рис. 1.8.е).

Найскладнішими статичними в'язями, в розумінні визначення їх реакцій, є так звані повні в'язі, з яких найбільш поширена у практиці жорстка заробка (жорстке защемлення). Така утримуюча в'язь перешкоджає не тільки лінійним переміщенням тіла, але і повороту його навколо точки защемлення О. Ці накладені в'яззю обмеження створюють систему реакцій, яка зводиться до реактивної сили і пари сил з реактивним моментом (момент заробки). Зазначена сукупність сили і пари сил визначається відповідними умовами рівноваги тіла. У випадку, коли на тіло діє плоска система сил, реакцію жорсткої заробки розкладають на дві складові, а невідомий реактивний момент напрямляють перпендикулярно до площини дії зовнішніх сил (рис. 1.9,а). Якщо ж на тіло діє просторова система сил, невідомі і зображають у вигляді складових, які напрямляють вздовж координатних осей (рис.1.9,б).

Рис.1.9

1.4 Аксіоми про в'язі

статика рівновага варіньон пуансо

Фізичні властивості в'язей визначаються системою аксіом. До цієї групи положень теоретичної механіки, насамперед, відноситься третій закон Ньютона, бо існування реакцій в'язей як протидії при русі, або, в частинному випадку, - рівновазі тіла - спирається на цей основний закон механіки. Наступними аксіомами є такі.

1. Аксіома про звільнення від в'язей. Невільне тверде тіло чи механічну систему можна розглядати як вільні, якщо відкинути в'язі і замінити їх дію відповідними реакціями.

Аксіома, яку ще називають принципом звільнення від в'язей, дозволяє формально зводити задачу вивчення умов рівноваги або руху невільних тіл чи механічних систем до задачі дослідження вільних тіл і систем.

2. Аксіома про накладання нових в'язей. Рівновага механічної системи, або твердого тіла не порушується при накладанні на них нових в'язей.

3. Аксіома про затвердіння. Рівновага тіла, що може деформуватися, не порушується, якщо, без зміни прикладених до нього сил, розглядати це тіло як абсолютно тверде.

Аксіома про затвердіння дозволяє методами теоретичної механіки розв'язувати найпростіші задачі статики тіл, що деформуються (пасові передачі, ланцюги, канати).

1.5 Класифікація сил. Метод перерізів

В курсі теоретичної механіки користуються двома способами класифікації сил. При розгляданні умов рівноваги або руху невільних твердих тіл сили поділяють на активні сили і реакції в'язей.

Активними називають сили, які при дії на тіло, що знаходиться у стані спокою, здатні надати йому той чи інший рух, модулі і напрями яких наперед відомі і від інших сил, прикладених до тіла, не залежать.

Реакції в'язей за своєю природою відрізняються від інших сил тим, що вони не сповна визначаються самою в'яззю; модулі, а інколи, і напрями їх залежать від активних сил, які діють на тіло.

За другим способом класифікації, який використовують при дослідженні системи кількох взаємодіючих між собою твердих тіл, розрізняють сили зовнішні і внутрішні.

Зовнішніми називають сили, які є результатом дії на механічну систему тіл, що не належать даній системі.

Внутрішні сили - це сили взаємодії між матеріальними точками або тілами, що входять до складу однієї механічної системи.

Згідно з третім законом Ньютона внутрішні сили розглядають як систему дій і протидій. Отже, кожний внутрішній силі можна поставити у відповідність другу внутрішню силу, рівну першій за величиною, але напрямленою протилежно.

Наприклад, силі , що є дією тіла «k» на тіло «і», відповідає сила дії тіла «і» на тіло «k» - , причому .

Для абсолютно твердих тіл внутрішні сили взаємно зрівноважуються, і при вивченні умов рівноваги твердого тіла або системи твердих тіл враховують тільки зовнішні сили.

Питання визначення внутрішніх сил взагалі виходить за межі теоретичної механіки, але в деяких випадках воно може бути розв'язане на основі методу перерізів.

Суть цього методу полягає в тому, що механічну систему, яка складається з кількох тіл, умовно розділяють в місцях з'єднань на окремі тіла і розглядають рівновагу кожного з них окремо. При цьому внутрішні сили, що діяли між тілами в місцях перерізів, переходять до класу зовнішніх (рис. 1.10).

Рис. 1.10

1.6 Системи збіжних сил і умови їх рівноваги

Зведення до рівнодіючої і геометричні умови рівноваги збіжних сил

Операція геометричного складання векторів будь-якого класу (сил, переміщень, швидкостей і т.п.) зводиться до побудови векторного багатокутника - просторового або плоского. Замикаюча цього багатокутника, яка проведена з початку першого вектора в кінець останнього, називається головним вектором даної системи векторів. Отже, і кожна довільна система сил має головний вектор.

Розглянемо просторову систему збіжних сил , що діють на тверде тіло. Оскільки сили, прикладені до твердого тіла, є ковзними векторами, то можна вважати, що сили даної системи прикладені в одній точці - точці сходу (рис. 1.11а). На цих силах побудуємо силовий багатокутник (рис. 1.11б), замикаюча якого буде головним вектором системи сил .

Рис. 1.11

Для системи збіжних сил на підставі аксіоми про паралелограм сил можна стверджувати, що векторна сума (головний вектор) таких сил визначає одночасно і рівнодіючу їх, тобто:

.(1.4)

Таким чином, система збіжних сил в загальному випадку приводиться до однієї сили - рівнодіючої, яка проходить через точку сходу, а графічно зображується замикаючою стороною багатокутника сил.

Для рівноваги тіла, яке знаходиться під дією певної системи сил, необхідно, щоб ця система була зрівноваженою, тобто еквівалентною нулю. Звідси виходять умови рівноваги збіжної системи сил в геометричній формі:

Для рівноваги збіжної системи сил, прикладених до твердого тіла, необхідно й достатньо, щоб рівнодіюча цієї системи дорівнювала нулю.

. (1.5)

Графічно умова рівноваги вимагає, щоб багатокутник, побудований з цих сил, був замкненим.

Аналітичні умови рівноваги систем збіжних сил

В основу аналітичних умов рівноваги систем сил покладено поняття проекції вектора на вісь.

Оберемо декартову прямокутну систему координат Oxyz, в якій розташована система збіжних сил (рис. 1.12), і спроектуємо на осі Ox, Oy і Oz вектори, що знаходяться в правій і лівій частинах рівняння (1.4).

; , (1.6)

Тут - проекції рівнодіючої на координатні осі х, у, z;

- проекції сили на ті ж осі.

Размещено на http://www.allbest.ru/

34

Рис. 1.12

Рівність нулю вектора рівнодіючої можлива тільки тоді, коли кожна з її проекцій на координатні осі буде дорівнювати нулю, тобто . З цього виходить, що і праві частини рівнянь (1.6) повинні дорівнювати нулю:

; , . (1.7)

Отже, для рівноваги просторової системи збіжних сил, прикладених до матеріальної точки або твердого тіла, необхідно і досить, щоб алгебраїчні суми проекцій всіх сил цієї системи на три взаємно перпендикулярні осі були рівними нулю.

Очевидно, що для рівноваги плоскої системи збіжних сил, розташованих, наприклад, в площині хОу, будемо мати тільки два рівняння:

; . (1.8)

Умови рівноваги (1.7) і (1.8) називають також рівняннями рівноваги, так як вони дозволяють знаходити і невідомі сили, що зрівноважують задані. Потрібно мати на увазі, що кількість невідомих сил не повинна перевищувати кількість рівнянь рівноваги. У противному випадку задача стає статично невизначеною, і розв'язати її методами статики абсолютно твердого тіла неможливо.

1.7 Теорема Варіньона (терема про момент рівнодіючої збіжної системи сил)

Момент рівнодіючої системи збіжних сил відносно довільного просторового центра дорівнює векторній сумі моментів сил складових відносно того ж центра.

Розглянемо просторову систему збіжних сил , лінії дії яких перетинаються в точці С (рис.1.13)

З довільно обраного моментного центра А проведемо до точки сходу С радіус-вектор і підсумуємо моменти кожної сили відносно центра А:

Размещено на http://www.allbest.ru/

34

Рис.1.13

.

Але і тому ,

або ,

що і потрібно було довести.

Теорема Варіньона справедлива не тільки для систем збіжних сил, вона узагальнюється і на будь-яку систему сил, що зводиться до рівнодіючої.

Для плоскої системи збіжних сил теорема формулюється так: момент рівнодіючої відносно точки площини, де розташована система сил, дорівнює алгебраїчній сумі моментів складових відносно тієї ж точки. Тобто:

. (1.9)

Приклад практичного використання теореми Варіньона

Визначити моменти сил і , які розташовані в площині xAy, відносно точок А, В, D плоскої рамної конструкції АВСD, якщо відомі кути ?, ? і розміри а,b,c елементів рами.

Розв'язок.

Розкладемо сили і на складові, напрямлені вздовж координатних осей x і y. Модулі проекцій сил будуть:

,

,

,

.

Згідно з теоремою Варіньона для моментів сили відносно точок А, B і D справедливі рівняння:

Размещено на http://www.allbest.ru/

34

Проаналізуємо ці рівняння. Оскільки лінії дії складових сили перетинають моментну точку А (як і лінія дії самої сили ), то і момент сили відносно точки А .

Якщо за моментну точку взяти точку В, - рівняння (2) -, то складова сили перетинає цю точку і .а .

Таким чином

.

Для моментної точки D (рівняння 3) , , тому .

Пропонується моменти сили відносно точок А, В, D визначити самостійно.

1.8 Довільна просторова система сил і умови її рівноваги

1.8.1 Теорема про паралельний перенос сили

Як вже було доведено раніше, сила, що діє на абсолютно тверде тіло, є ковзним вектором. Виявляється, що можливо знайти таке перетворення, яке дозволяє переносити лінію дії паралельно самій собі. Має місце наступне твердження:

дія сили на тверде тіло не змінюється, якщо цю силу перенести паралельно самій собі в будь-яку точку тіла, приклавши додатково пару сил з моментом, який дорівнює вектор-моменту даної сили відносно обраної точки переносу.

Припустимо, що силу , яка прикладена до точки А твердого тіла, потрібно перенести до точки О цього тіла (рис. 1.14). В точці О прикладемо систему двох взаємо зрівноважених сил і , лінії дії яких паралельні лінії дії заданої сили . Причому . Тоді

.

Система двох рівних за модулем і протилежно напрямлених сил складає пару сил, яку називають приєднаною парою сил.



Рис. 1.14

Таким чином, замість сили , прикладеної в точці А, отримано силу , рівну їй за модулем і напрямом, але прикладену в точці О, і приєднану пару сил (, ), векторний момент якої:

. (1.10)

Процес заміни заданої сили силою і парою сил (, ) називають зведенням сили до обраного центра О.

1.8.2 Основна теорема статики (теорема Пуансо)

Будь-яку довільну систему сил, що діють на абсолютно тверде тіло, в загальному випадку можна звести до однієї сили і пари сил.

Нехай задана довільна система сил , прикладених до твердого тіла. Оберемо певну точку О тіла за центр зведення і кожну силу заданої системи сил зведемо до цього центра (рис.1.15). На підставі теореми про паралельний перенос сили отримаємо:

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

34

Рис. 1.15

Таким чином, система з n сил замінена системою з 3n сил, до складу якої входить система збіжних сил , прикладених в центрі зведення О і система n приєднаних пар сил:

.

Векторні моменти приєднаних пар сил, згідно з формулою (1.10), можна виразити через вектор-моменти заданих сил:

.

Система збіжних сил геометрично дорівнює системі заданих сил, тобто:

.

Але якщо для збіжної системи сил їх геометрична сума є рівнодіючою силою, то для заданої довільної системи сил геометрична сума складових її буде лише головним вектором.

У подальшому головний вектор будь-якої системи сил позначатимемо через . Тоді:

. (1.11)

Систему приєднаних пар сил також можна замінити результуючою парою, яку називають головним моментом:

(1.12)

Тобто, головним моментом довільної системи сил відносно обраного центра зведення називають суму векторних моментів усіх сил системи відносно цього центра.

З урахуванням введених понять основну теорему статики можна сформулювати так: будь-яку систему сил, що діють на тверде тіло, можна звести до сили, яка дорівнює головному вектору цієї системи сил, і пари сил з моментом, рівним головному моменту системи сил відносно точки, обраної за центр зведення.

1.8.3 Залежність головного вектора і головного моменту від вибору центра зведення

Припустимо, що задану довільну систему сил , яка була зведена до центра О і мала головний вектор і головний момент , потрібно звести до іншого центра, наприклад, О₁ (рис.1.16).

Згідно з теоремою про паралельний перенос сили головний вектор заданої системи сил залишиться незмінним, тобто . Але при цьому з'явиться приєднана пара () з моментом, рівним моменту головного вектора відносно нового центра зведення:

(1.13)

Тоді головний момент заданої системи сил відносно нового центра буде таким:

(1.14)

Размещено на http://www.allbest.ru/

34

Рис.1.16

Висновок: при зміні центра зведення головний вектор системи сил не змінюється, а головний момент цієї системи змінюється на величину, що дорівнює моменту головного вектора, прикладеного в старому центрі, відносно нового центра зведення.

1.8.4 Умови рівноваги довільної просторової системи сил

З теореми про зведення довільної системи сил до сили і пари сил можна отримати умови рівноваги просторової системи сил, які діють на тверде тіло. Очевидно, що у випадку, коли система сил знаходиться в рівновазі, то в рівновазі знаходиться і еквівалентна їй система, яка складається з сили і пари сил. Тому для рівноваги довільної системи сил, прикладених до твердого тіла, необхідно й досить, щоб головний вектор і головний момент цієї системи відносно будь-якого центра зведення були рівними нулю. Тобто:

, (1.15)

З векторних умов рівноваги просторової системи сил виходять алгебраїчні умови рівноваги такої системи сил:

1., 4.

2. 5.

3. 6.

Таким чином, для рівноваги довільної просторової системи сил необхідно і досить, щоб алгебраїчні суми проекцій всіх сил на координатні осі, а також алгебраїчні суми моментів цих сил відносно координатних осей були рівними нулю.

1.9 Окремі випадки рівноваги систем сил

1.9.1 Умови рівноваги просторової системи паралельних сил

Розглянемо систему сил , паралельних осі Oz (рис.1.17). Очевидно, що в такому випадку перше і друге рівняння загальних умов рівноваги довільної просторової системи сил (рівняння 1.16) перетворюється на тотожності:

Рис. 1.17

, .

Крім того, тотожно буде дорівнювати нулю і останнє (шосте) рівняння умов рівноваги: . Таким чином, умови рівноваги просторової системи паралельних сил відповідають рівнянням:

; ; (1.17)

Тобто, для рівноваги просторової системи паралельних сил, прикладених до твердого тіла, необхідно й досить, щоб алгебраїчна сума проекцій всіх сил на вісь, паралельну лініям дії даних сил, дорівнювала нулю і алгебраїчні моменти цих сил відносно двох інших координатних осей також були рівними нулю.

1.9.2 Умови рівноваги плоскої системи сил

Припустимо, що система сил розташована в площині Oxy (рис.1.18). Для такої системи сил умови рівноваги можна виразити в трьох рівнозначних формах:

а) ; , або ;

б) ; ; або ; в) ;

; . (1.18)

Рис.1.18

Тобто, для рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і досить, щоб алгебраїчні суми:

а) проекцій всіх сил на координатні осі, які лежать в площині дії цих сил, дорівнювали нулю і алгебраїчна сума моментів цих же сил відносно довільної точки даної площини була рівною нулю;

б) моментів усіх сил відносно будь-яких двох точок даної площини дорівнювали нулю і була рівною нулю алгебраїчна сума проекцій цих сил на вісь, не перпендикулярну до прямої, що проходить через дві обрані точки;

в) моментів усіх сил відносно трьох довільних точок площини, які не належать одній прямій, дорівнювала нулю.

1.9.3 Умови рівноваги плоскої системи паралельних сил

Розглянемо в площині Oxy систему сил , які паралельні осі Oy (рис.1.19). Тоді умова перетворюється в тотожність і перша форма умов рівноваги плоскої системи сил (1.18) для даного випадку набуває вигляду:

, . (1.21)

Рис.1.19

У відповідності з (1.19) рівняння рівноваги паралельної системи сил можна записати також у вигляді:

, . (1.22)

Таким чином, для рівноваги плоскої системи паралельних сил необхідно й досить, щоб:

а)алгебраїчна сума проекцій сил на координатну вісь, паралельну цим силам, і алгебраїчна сума моментів сил відносно довільної точки площини дорівнювали нулю;

б) алгебраїчні суми моментів сил відносно двох певних точок площини, які не лежать на прямій, паралельній лініям дії сил, були рівними нулю.

2. Тертя

З виявленням сил тертя людина стикається кожного разу, коли намагається здійснити переміщення одних матеріальних тіл по поверхням інших.

При прагненні зсунути одне тіло по поверхні іншого в площині їх стикання виникає сила зчеплення, яка гальмує початок руху тіл відносно одне одного. При ковзанні тіла по поверхні іншого також діє сила опору, яка заважає цьому рухові - сила тертя ковзання.

Якщо ж тіло котити (або намагатися котити) по поверхні другого, то через деформації поверхонь тіл виникає пара сил, що перешкоджає коченню.

2.1 Зчеплення і тертя ковзання

Перші дослідження явища тертя сягають до робіт Леонардо да Вінчі. Детальні дослідження законів тертя почав французький механік Г.Амонтон (1663…1705). У 1781 р. Ш.Кулон (1736-1806), французький фізик і механік, опублікував «Теорію простих машин з точки зору їх частин», в якій виклав теорію тертя і сформулював закони тертя.

Розглянемо тверде тіло, що знаходиться у стані спокою на горизонтальній площині (рис.1.20). У випадку, коли тіло і площина є абсолютно гладкими, то реакція в'язі (площини) напрямлена по нормалі до спільної дотичної, тобто перпендикулярно до площини (рис.1.20а), а спроба прикласти до тіла будь-яку, навіть нескінченно малу силу, не перпендикулярну до площини, порушить стан рівноваги - тіло почне рухатись (ковзати) по площині. Зовсім інша картина спостерігається при розгляданні стану рівноваги реальних тіл, поверхні яких є більш чи менш шорсткими. Прикладемо до тіла горизонтальну силу , величину якої будемо поступово збільшувати від нульового значення. На певному інтервалі збільшення сили тіло буде залишатися у стані спокою, що можливо лише при появі протидіючої сили, такої, що зрівноважує силу . Силу, яка виникає в площині стикання тіл, називають силою зчеплення або силою тертя ковзання при стані спокою - (рис.1.20б).

Поява сили зчеплення спричиняє відхилення від нормалі повної реакції площини, і її розглядають як геометричну суму нормальної і тангенціальної складових, причому остання і є силою зчеплення: . Тіло залишається у стані спокою при зміні модуля сили від нуля до певного значення її , при якому починається ковзання. Відповідно і сила зчеплення (сила тертя спокою) зростає від нуля до деякого максимального значення , більше якого вона бути не може (рис.1.20.в).

Размещено на http://www.allbest.ru/

34

Тобто:

. (1.23)

Досвід показує, що максимальне значення сили тертя спокою пропорційне силі нормального тиску тіла на поверхню або за модулем нормальній реакції:

. (1.24)

Коефіцієнт пропорційності називають статичним коефіцієнтом тертя. Він є безрозмірною величиною, яка залежить від матеріалу стичних поверхонь, чистоти їх обробки, температури, тощо. В той же час його можна вважати незалежним від площі контакту тіл.

Умова є умовою граничної рівноваги тіла в стані спокою. При найменшому перевищенні сили своєї граничної величини тіло починає ковзати.

При ковзанні тіла по шорсткій поверхні до нього прикладена сила тертя ковзання. Напрям цієї сили протилежний напряму руху тіла, а модуль сили тертя ковзання визначають за формулою:

, (1.25)

де - коефіцієнт тертя ковзання (динамічний коефіцієнт тертя), величина також безрозмірна і, в певній мірі, залежна від швидкості відносного руху стичних тіл.

В більшості випадків при зростанні відносної швидкості взаємодіючих сил коефіцієнт тертя ковзання спочатку незначно спадає від значення , а потім зберігає майже стале значення.

В наближених технічних розрахунках нехтують деякою різницею коефіцієнтів тертя і приймають .

Якщо під дією прикладених сил тіло знаходиться в рівновазі, то згідно з нерівністю (1.23) в межах зони рівноваги сила тертя може приймати значення від нуля до . Тому при фіксованій величині нормальної реакції повна реакція поверхні також може змінюватися від до свого максимального значення , а кут відхилення реакції від нормалі буде зростати від нуля до певного граничного значення (рис.1.20в).

Кут , який утворює з нормаллю називають кутом зчеплення, або кутом тертя. З рис.1.20в видно, що , а оскільки , то:

. (1.26)

Має місце така особливість області конуса тертя - конуса, описаного лінією дії максимальної повної реакції навколо напряму нормалі до площини стикання тіл - будь-яка за величиною сила , що утворює з нормаллю кут (тобто розташована всередині цієї області) не може надати руху тілу, яке знаходиться в стані рівноваги на шорсткій поверхні (рис.1.21). Саме цим пояснюються відомі в техніці явища заклинювання і самогальмування тіл.

Размещено на http://www.allbest.ru/

34

Рис.1.21

2.2 Рівновага гнучкої нитки на негладкій
циліндричній поверхні

До кінця А нитки, яка перекинута через нерухомий круглий циліндр, прикладена сила . Під дією сили нитка намагається ковзати по поверхні циліндра. Визначимо, яку мінімальну силу потрібно прикласти до другого кінця нитки, щоб утримати її в рівновазі при куті охоплення ? і коефіцієнті тертя нитки об поверхню циліндра . Розглянемо рівновагу елемента DE нитки (рис.1.22), центральний кут якого DOE дорівнює . Різниця натягів елемента нитки в перерізах D і E зрівноважується силою тертя, максимальне значення якої , де - нормальна реакція елемента DE циліндра. Тобто маємо, що:

. (а)

Складемо рівняння рівноваги сил, прикладених до елемента нитки, в проекції на вісь :

.



Рис.1.22

З огляду на мализну кута , можна прийняти, що . Тоді, при нехтуванні малими вищого порядку, отримаємо:

.

З урахуванням цього співвідношення рівняння (а) набуває вигляду:

, або .

Інтегруємо диференціальне рівняння по всій дузі охоплення: від точки В, де і , до точки А, де і :

.

і .

Потрібна утримуюча сила визначається рівнянням, яке називають формулою Ейлера:

. (1.27)

З цієї формули виходить, що утримуюча сила не залежить від діаметра циліндра. Практично важливим є та обставина, що за рахунок збільшення кута охоплення можна значно зменшити утримуючу силу. Наприклад, натяг в 1 кН можна урівноважити силою 2Н, якщо двічі () обернути конопляний канат навколо дерев'яного стовпа.

За формулою Ейлера визначають натяги ведучої () і веденої () частин пасової передачі, яка часто використовується в сільгоспмашинах.

2.3 Тертя кочення

Тертям кочення називають опір, який виникає при коченні одного тіла по поверхні другого.

Нехай круглий циліндричний коток радіусом і вагою знаходиться на горизонтальній шорсткій площині. Прикладемо до осі котка певну силу . Тоді в точці стикання А котка з площиною, крім нормальної реакції повинна виникнути і сила тертя ковзання (), яка буде перешкоджати ковзанню котка по площині (рис.1.23).



Рис.1.23

Але при такій схемі розташування сил утворюється нічим не зрівноважена пара сил (), яка повинна була б викликати кочення при будь-якій малій силі , чого реально не спостерігається.

Справа у тому, що через деформації поверхонь реальних стичних тіл їх торкання відбувається по певній площадці ВАD, причому інтенсивність тиску вздовж якої збільшується від краю В до краю D. В результаті реакція площини, що є рівнодіючою цих тисків, виявляється зміщеною у бік дії сили (рис. 1.24). Таким чином, до котка в стані рівноваги прикладені дві взаємно зрівноважені пари сил () і (). Перша з них прагне зрушити коток, друга - протидіє руху.

Рис.1.24

Доки коток знаходиться у рівновазі збільшення сили , а, відповідно, і пари (), викликає зростання протидіючої пари, момент якої називають моментом опору коченню, або моментом тертя кочення. Очевидно, що зростання момента опору коченню можливе тільки за рахунок збільшення відстані . В стані граничної рівноваги і максимальний момент опору коченню:

, (1.28)

де - нормальна складова повної реакції площини.

Коефіцієнт пропорційності , котрий має лінійну розмірність, називають коефіцієнтом тертя кочення. Його величина залежить від матеріалу тіл, фізичного стану їх поверхонь і визначається експериментально.

Якщо активні сили, що діють на коток, звести до точки контакту А з площиною (деформаціями котка і поверхні нехтуємо), то в загальному випадку дістанемо головний вектор сил і головний момент . Головний вектор прагне змусити коток ковзати, а головний момент - котитися (рис.1.25).

Рис. 1.25

Для того, щоб коток не котився, необхідно виконання умови:

. (1.29)

Для того, щоб коток не ковзав, необхідно, щоб:

або:

.(1.30)

Таким чином, відсутність ковзання і кочення буде зберігатися при одночасному виконанні умов (1.29) і (1.30).

Кочення без ковзання відповідає такому співвідношенню:

. (1.31)

Активні сили, які прикладені до котків у вигляді коліс (рис.1.26), крім сили ваги звичайно складаються із сили , прикладеної до центра колеса, паралельно спільній дотичній в точці А, і пари сил з моментом , що прагне котити колесо.

Колеса, для яких і , називають ведено-ведучими; якщо , то колесо називають веденим; при і колесо є ведучим.



Рис.1.26

3. Центр паралельних сил. Центр ваги тіла

3.1 Рівнодіюча систем двох паралельних сил, які не утворюють пару

Розглянемо систему двох паралельних сил і , напрямлених в одну (рис.1.27а) чи в протилежні (рис.1.27б) сторони.

Размещено на http://www.allbest.ru/

34

Рис.1.27

Доведемо, що така система сил зводиться до рівнодіючої, яка прикладена в певній точці С. Положення цієї точки для кожного із зазначених випадків знайдемо, обчисливши відносно неї момент рівнодіючої: . Згідно з теоремою Варіньона отримаємо:

, звідки:

або . (1.32)

Точка С, через яку проходить лінія дії рівнодіючої, називається центром паралельних сил.

Зі співвідношення (1.32) і рис.1.27 виходить, що лінія дії рівнодіючої двох паралельних, нерівних між собою сил поділяє відстань між точками прикладання цих сил на частини, обернено пропорційні модулям сил - внутрішньо - для сил одного напряму і зовнішньо - для сил з протилежними напрямами.

3.2 Центр паралельних сил

Рис.1.28

Розглянемо паралельні нерівні між собою сили і в системі координат Oxyz, де точки прикладання цих сил А і В визначаються радіусами-векторами і відповідно. Радіус-вектор визначає точку С прикладання рівнодіючої даних сил (рис.1.28). Тоді на підставі рівняння (1.32) можна записати, що . Але і . Отже:

, звідки: .

Якщо узагальнити отриманий результат на систему паралельних сил , то отримаємо, що:

. (1.33)

Рівняння (1.33) визначає положення центра паралельних сил у векторній формі.

Координати центра паралельних сил обчислюють через проекції радіуса-вектора на осі координат:

; ; . (1.34)

3.3 Центр ваги твердого тіла

Центром ваги тіла називають центр системи паралельних сил, яку наближено утворюють сили ваги його елементарних частинок.

Радіус-вектор центра ваги підраховують як радіус-вектор центра паралельних сил (рис.1.29) за формулою:

, (1.35)

де: - радіус-вектор точки прикладання сили ваги елементарної частинки ;

- вага елементарної частинки;

- вага всього тіла.

В граничному випадку, коли число елементарних частинок n прямує до нескінченості, формула (1.35) набуває вигляду:

. (1.36)

У свою чергу і тому:

, (1.36')

де: - густина речовини тіла; - елементарний об'єм частинки тіла; - радіус-векор елементарної частинки.

Рис.1.29

Координати центра ваги тіла визначаються рівняннями:

, , . (1.37)

Якщо тіло є однорідним, то і . В такому випадку

, , , (1.38)

тут - об'єм тіла.

Аналогічні міркування можна провести для тіла, що являє собою однорідну тонку поверхню, і отримати формулу для визначення положення її центра мас:

(1.39)

в якій - площа всієї поверхні.

Для однорідної тонкої пластини, яка розташована, наприклад, в координатній площині , координати центра мас дорівнюють:

, . (1.40)

Інтеграли, що стоять в чисельниках формул (1.40) називають статичними моментами площі пластини (або статичними моментами площі поперечного перерізу тіла) відносно координатних осей і (рис.1.30).



Рис.1.30

Статичний момент площі відносно осі :

(1.41)

відносно осі :

(1.42)

Узагальнення результатів визначення центрів ваги однорідних тіл приводить до висновку: якщо однорідне тіло має площину, вісь або центр симетрії, то центр його ваги розташований відповідно або в площині симетрії, або на осі симетрії, або в центрі симетрії.

Методика визначення центра ваги тіл полягає в наступному. Тіло розбивають на скінчену кількість таких частин, для кожної з котрих положення центра ваги відоме, або може бути попередньо визначено. Далі центр ваги підраховують за загальними формулами. Так, наприклад, координати центра ваги плоскої однорідної фігури визначаються з рівнянь:



у котрих - кількість простих фігур (коло, прямокутник, трикутник), на які розбита задана фігура;

- площа всієї фігури;

- координати центра ваги -ї простої фігури площею .

Коли плоска фігура, центр ваги якої потрібно визначити, має вирізи, то площі таких вирізаних фігур підставляють до формул (1.43) з від'ємним знаком.

Приклад.

Визначити координати центра мас прямокутної пластини площиною , в якій зроблено два вирізи у формі прямокутника площиною і у формі трикутника площиною .

Розв'язання

Позначимо центри ваги прямокутної пластини без вирізів через , вирізаних фігур - через і . Тоді:

;

і

.



Рис.1.31

Размещено на Allbest.ru