Особенности решения обратной задачи в спектроэллипсометрических исследованиях

Сумский государственный университет

Особенности решения обратной задачи в спектроэллипсометрических исследованиях

В.Д. Карпуша, канд. физ.-мат. наук, доц.;

У.С. Швец, асп.

Введение

Особое место в изучении приповерхностных свойств структурно и химически неоднородных объектов занимают оптические методы как высокочувствительные и неразрушающие поверхность [1]. Одним из таких методов является метод эллипсометрии, позволяющий получить информацию о толщине и оптических параметрах приповерхностного слоя исследуемого образца. В большинстве случаев реализация этого метода осуществляется с помощью нулевого метода, характерной особенностью которого является использование фиксированной длины волны света. В свою очередь, метод спектральной эллипсометрии хотя и имеет более высокую погрешность (3-4%), в то же время позволяет получить дисперсионные зависимости оптических параметров, отображающие электронную структуру исследуемых объектов [2 3].

Целью настоящей работы является изучение особенностей применения метода спектральной эллипсометрии в исследовании оптических свойств аморфных металлических сплавов (АМС). Такие сплавы характеризуются изменением по глубине концентрации отдельных атомов и избыточного свободного объема в приповерхностном слое [4, 5], неоднородностью атомной структуры по глубине, а также термической нестабильностью. Такого рода химическая и структурная неоднородность приповерхностного слоя не позволяет говорить о его толщине в терминах эллипсометрической задачи и требует введения такого понятия, как оптическая толщина приповерхностного слоя - оптическая характеристика сплава, соответствующая толщине и оптическим параметрам однородного приповерхностного слоя в эллипсометрической модели “однородная подложка - тонкая однородная пленка”. В свою очередь, определение параметров приповерхностного слоя в такой модели неизбежно приводит к необходимости решения обратной задачи эллипсометрии [6, 7]. Её специфика заключается в неоднозначности и неустойчивости решений к малым изменениям экспериментальных данных (погрешность эксперимента). В случае поиска приближенного решения обратной задачи эллипсометрии без учета ее математической особенности (некорректности) [8] существует большая вероятность получения результатов, не имеющих физического смысла и, следовательно, практического применения. Этот факт исключает формальное использование известных алгоритмов решения обратной задачи эллипсометрии и требует специального исследования поведения решений в условиях спектральных измерений.

Методика эксперимента и построение модели

В работе методом спектральной эллипсометрии Битти-Кона были исследованы АМС Fe80ПМ5B15 (ПМ = Ti, V, Cr, Mn, Fe, Co, Ni), полученные методом спиннингования расплава. Для модели “тонкая однородная пленка - однородная подложка” определены оптические характеристики исследуемых образцов при угле падения света, равном ц = 74, и длине волны падающего света, равной л = 816 нм. Отдельно для образца Fe80Ti5B15 в табл. 1 проведены также спектроэллипсометрические исследования при угле падения света ц = 74° в диапазоне длин волн л = 274,7 - 1670 нм (I90, I45 и I0 - значения интенсивности отраженного и прошедшего через анализатор света при различных его угловых положениях).

Для построения и реализации исследуемой модели было использовано основное уравнение эллипсометрии [7]

,

где Rp, Rs - комплексные коэффициенты отражения p- и s- компонент поляризованного света соответственно;

- сдвиг фаз между ортогональными компонентами вектора поляризации;

- азимут обновленной линейной поляризации.

Оптические характеристики поверхностного слоя и подложки (n1 - показатель преломления поверхностного слоя; 1 - показатель поглощения поверхностного слоя; n2 - показатель преломления подложки, 2 - показатель поглощения подложки; d - оптическая толщина поверхностного слоя) были найдены путем решения обратной задачи эллипсометрии, сущность которого сводилась к минимизации целевого функционала:

где (сi, сi) - рассчитанные на основе данной модели эллипсометрические параметры;

(mi, mi) - эллипсометрические параметры, экспериментально полученные методом Битти-Кона.

Таблица 1 - Экспериментальные данные спектроэллипсометрических измерений АМС Fe80Ti5B15

Исследование решений обратной задачи эллипсометрии на устойчивость в предложенной математической модели было проведено путем отклонения экспериментальных эллипсометрических параметров и на 5%. При этом было исследовано поведение показателя преломления пленки n1 и ее оптической толщины d при таких отклонениях и .

Учитывая априорную информацию о допустимой области возможных решений обратной задачи, также было проанализировано поведение целевого функционала F в этой области.

Полученные результаты и их обсуждение

На рис. 1 на примере сплава Fe80Cr5B15 представлена зависимость целевого функционала F от (n1, d), которая, как видно, имеет сложную структуру. Полученное в результате вычислений значение принадлежит области возможных решений, где оно принимает свое глобальное минимальное значение и, следовательно, является решением данной задачи. Необходимо отметить, что в каждом конкретном случае зависимость целевого функционала различна, что не позволяет использовать единый алгоритм в исследовании таких объектов.

Приведенные зависимости (рис. 2) изменения оптической толщины приповерхностного слоя d и коэффициента преломления n1 при отклонении на 5% подтверждают возможность использования предложенной математической модели для решения обратной задачи в наших условиях эксперимента (погрешность 3-4%). Действительно, возможные погрешности в определении экспериментальных значений Д и Ш не приводят к существенным изменениям вычисленных значений параметров приповерхностного слоя. Области независимости функции от изменения аргумента являются результатом ограничения допустимых значений исследуемых параметров оптической системы, основанного на априорной информации об их физическом смысле.

Рисунок 1 - Зависимость целевого функционала F от показателя преломления n₁ и оптической толщины приповерхностного слоя d

Рисунок 2 - Зависимости показателя преломления n1 и оптической толщины d приповерхностного слоя в решении обратной задачи от изменения экспериментальных параметров Д и

Наиболее детально поведение функционала в области возможных решений с учетом наличия не только глобального минимума - основного решения задачи, а и других локальных минимумов - возможных решений было исследовано на примере сплава Fe80Тi5B15. Полученные результаты (табл. 2) свидетельствуют о существовании наряду с основным решением обратной задачи эллипсометрии (решение 5, табл. 2) еще двух решений (3 и 4, табл. 2), близких к основному. Необходимо отметить, что такая близость значений возможных решений является закономерной и для других исследуемых образцов. Учитывая, что при изменении длины волны света в силу погрешности эксперимента возможен переход к другому глобальному минимуму целевого функционала, актуальным становится задача нахождения решения, соответствующего действительности. Как видно из таб. 2, близко расположенные решения оптической толщины отличаются на 15% и более, в то время как возможное отклонение экспериментальных данных на 5% приводит к максимальному изменению этой же величины на 10%. Таким образом, можно сделать вывод, что экспериментальная погрешность спектроэллипсометрических измерений не приводит к возникновению новых решений обратной задачи, учет корректности которых был бы невозможен.

Таблица 2 - Исследование поведения целевого функционала в области возможных решений

Как пример применения такого алгоритма учета некорректных решений в настоящей работе для образца АМС Fe80Тi5B15 путем решения обратной задачи эллипсометрии были получены спектральные зависимости коэффициента преломления и поглощения поверхностного слоя (n1, 1), подложки (n2, 2), а также оптической толщины поверхностного слоя d. На рис. 3 представлены спектральные зависимости коэффициента поглощения поверхностного слоя 1 (рис. 3а) и толщины оптического слоя d (рис. 3б) от длины волны. Приведенные зависимости получены для решений, в которых целевой функционал имеет глобальный минимум. Из рисунков видно, что с увеличением длины волны падающего света л значение оптической толщины возрастает, что соответствует теоретическим представлениям о взаимодействии электромагнитного излучения с поглощающим веществом. При этом в областях длин волн л = 990, 1020, 1360 и 1398 нм (см. рис. 3б) наблюдаются существенно аномальные, по сравнению с соседними, значения вычисленных величин.

а) б)

Рисунок 3 - Спектральные зависимости показателя поглощения поверхностного слоя 1 и оптической толщины слоя d от длины волны л

Таблица 3 - Решение обратной задачи эллипсометрии для л = 990, 1020 нм

Очевидно, что такие значения обусловлены не свойствами исследуемого объекта, а неоднозначностью решения обратной задачи. Такой вывод подтверждается также анализом поведения целевого функционала при нахождении решений (в качестве примера для длин волн л = 990, 1020 нм (табл. 3, табл. 4). В таблице 3 приведены полученные решения обратной задачи эллипсометрии (как глобальные минимумы функционала F) для соседних точек графика (рис. 3). С учетом описанного выше алгоритма определения некорректных решений представлены возможные решения (табл. 4) для длины волны л = 1020 нм. Как видно из табл. 4, решение 5 принимает наименьшее значение целевого функционала F, и значение оптической толщины d для л = 1020 нм отличается от значения оптической толщины d для л = 990 нм не более чем на 15%. Таким образом, значение оптической толщины d = 2,910-8 м для л = 1020 нм, полученное с помощью данного алгоритма, соответствует спектральной зависимости этой величины.

Таблица 4 - Решение обратной задачи эллипсометрии для л = 990, 1020 нм

Таким образом, на основе выполненных исследований особенностей решения обратной задачи спектральной эллипсометрии аморфных металлических сплавов можно сделать следующие выводы, что применение указанного метода для определения параметров приповерхностных слоев аморфных металлических сплавов связано с необходимостью использования критерия отбора некорректных решений. Одним из таких критериев может быть оценка максимального отклонения определяемого параметра, обусловленного погрешностью эксперимента.

Summary

In the present paper the possibility of application of spectral ellipsometry method for determination of parameters of near-surface layers amorphous metallic alloys is analysed. The selection criterion of incorrect solutions of inverse ellipsometry task is suggested which is based on the evaluation of the maximal caused by an error of the method deviation determined parameters.

Список литературы

1. Азам Р., Башара Н. Эллипсометрия и поляризованный свет. - М.: Мир, 1981. - 548с.

2. Васильев А.Н., Михайлин В.В. Введение в спектроскопию твердого тела. - М.: Изд-во МГУ, 1987. - 192 с.

3. Малышев В.И. Введение в экспериментальную спектроскопию. - М.: Наука, 1979. - 480 с.

4. Бетехтин В.И. и др. Влияние отжига на избыточный свободный объем и прочность аморфных сплавов // Физика твердого тела. - 2000.- Т.42. Вып. 8.- С.1420 - 1424.

5. Бетехтин В.И. и др. Избыточный свободный объем и механические свойства аморфных сплавов // Физика твердого тела.- 1998.- Т.40, №1.- С.85 - 89.

6. Половинкин В.Г., Свиташева С.Н. Определение числа решений обратной задачи эллипсометрии в заданной области параметров // Автометрия.- 1999.- №4.- С. 94 - 103.

7. Основы эллипсометриим / Ржанов А.В., Свиташев К.К. Семененко А.И., Семененко Л.В., Соколов В.К. - Новосибирск: Наука, 1978. - 424 с.

8. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1975. - 224 с.