Волновые движения плавающего ледяного покрова

Севастопольский национальный технический университет

Волновые движения плавающего ледяного покрова

Ю.В. Голод, студ.;

О.И. Журавель, асп.;

И.С. Шаповалова, студ.;

А.А. Ярошенко, канд. физ-мат. наук, доц.

Введение

Лед, плавающий на поверхности моря, существенно изменяет характер поверхностного волнения. С другой стороны, волны во многом определяют процессы, происходящие в ледяном покрове. Изучение колебаний и распространения волн в ледяном покрове представляет интерес, так как с волнами в ледяном покрове связаны некоторые случаи разрушения ледяных полей и взламывания припая. В то же время лед может служить причалом, взлетно-посадочной полосой и др.

Одними из первых исследователей в этой области были Hertz H.R. [1] и Greenhill A.G. [2]. Дальнейшее исследование колебаний плавающего ледяного покрова получило развитие в работах Кобеко П.П., Иванова К.Е. и Шульмана А.Р. [3], Хейсина Д.Е. [4], Тимохова Л.А. и Хейсина Д.Е. [5], Букатова А.Е. [6] и др.

Поверхностные волны в сплошных льдах представляют собой комбинацию изгибной волны в ледяной пластине и гравитационной волны в воде. Эта двойственность вносит существенные изменения в дисперсию волн.

Изучение колебаний плавающего ледяного покрова строится на основе методов гидромеханики, применяемых к описанию волновых движений жидкости [7,8] с привлечением теории изгиба пластин [9-11].

Целью данной работы является исследование дисперсионных зависимостей фазовой и групповой скоростей от волнового числа, а также изучение влияния сжимающих и растягивающих усилий на дисперсионные кривые этих скоростей.

Постановка и решение задачи

Сплошной ледяной покров, плавающий на поверхности жидкости, будем рассматривать как тонкую пластину, лежащую на упругом основании. Для математического описания волновых процессов, происходящих на границе раздела пластина - жидкость, приходится привлекать известные из теории упругости уравнения изгиба пластин, а также уравнения гидродинамики.

Пусть на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины H плавает тонкая упругая изотропная пластина. С учетом малости изгибных колебаний уравнение равновесия ледяной пластины имеет следующий вид:

(), (1)

где - прогиб пластины; - цилиндрическая жесткость пластины; -сжимающее усилие; модуль нормальной упругости, толщина, плотность и коэффициент Пуассона пластины; - система внешних сил; - гидродинамическое давление на нижнюю поверхность пластины.

В случае волн малой амплитуды гидродинамическое давление определяется по формуле

(). (2)

Здесь - плотность жидкости; -потенциал движения жидкости.

Подставляя (2) в уравнение (1), имеем:

().

Исследуем установившийся режим свободных колебаний. В этом случае уравнение свободных колебаний плавающего ледяного покрова записывается так:

(). (3)

Кроме того, потенциал скорости (x, z, t) и прогиб пластины связаны кинематическим условием

(). (4)

Линеаризованное кинематическое условие (4) выражает тот факт, что нормальная компонента скорости жидкости на ее поверхности равняется скорости перемещения пластины.

Рассмотрим случай, когда в сплошном ледяном покрове бесконечной протяженности распространяется плоская монохроматическая волна изгиба

. (5)

Решение для потенциала будем искать в виде

, (6)

удовлетворяющем уравнению Лапласа и условию непроницаемости на дне ().

Изгибной волне в пластине сопутствует гравитационная волна в воде, затухающая с глубиной. Такую комбинацию изгибной и гравитационной волн будем в дальнейшем называть изгибно-гравитационной волной.

Подставляя (5) и (6) с учетом (4) в уравнение (3), получим следующую зависимость между частотой и волновым числом для изгибно-гравитационной волны с учетом сжимающего усилия :

,

для изгибной волны :

,

для гравитационной волны :

.

Фазовая и групповая скорости волн определяются по следующим формулам:

, .

Анализ численных результатов

На рис.1 представлена дисперсионная зависимость частоты колебаний от волнового числа.

Кривая 1 отвечает случаю плавающей ледяной пластины, а кривые 2 и 3 - изгибным колебаниям пластины и свободной жидкости соответственно. На рисунке штриховая кривая отвечает наличию сжимающих усилий ( а штрихпунктирная - растягивающих усилий (). Здесь

; ;

Рисунок 1 - Дисперсионная зависимость частоты колебаний от волнового числа

При сжатии волновые движения могут стать неустойчивыми. Статическое усилие вызывает потерю устойчивости ледяной пластины.

На рис.2 представлены зависимости фазовой (штриховые кривые) и групповой (сплошные кривые) скоростей от волнового числа. Кривые 1 отвечают случаю плавающей упругой пластины, а кривые 2 и 3 - свободной пластине и свободной жидкости соответственно.

Волны с волновым числом соответствуют гравитационной ветви кривой, а волны с волновым числом характерны для изгибных волн. Минимальное значение фазовой скорости разделяет изгибную и гравитационную ветви. Групповая скорость изгибно-гравитационных волн также имеет минимум .

При увеличении длины волны фазовая и групповая скорости волн в плавающем ледяном покрове быстро стремятся к скорости гравитационных волн на чистой воде. Фазовая и групповая скорости гравитационных волн в бассейне конечной глубины H ограничена величиной , как для чистой воды, так и в море с ледяным покровом. Дисперсионные кривые фазовых скоростей изгибно-гравитационных, гравитационных волн на чистой воде и изгибных волн в свободной ледяной пластине пересекаются в одной точке.

На рис. 3 представлены дисперсионные кривые фазовых (штриховая) и групповых (сплошная) скоростей для различных значений сжимающих и растягивающих усилий. Кривые 1 отвечают растягивающему (), а кривые 2 - сжимающему () усилиям.

Рисунок 2 - Дисперсионные кривые фазовой и групповой скорости

Рисунок 3 - Дисперсионные кривые фазовых и групповых скоростей в условиях сжатия и растяжения

Заключение

Минимальное значение фазовой скорости разделяет изгибную и гравитационную ветви.

Для гравитационной ветви кривой групповая скорость, то есть скорость переноса энергии волнами, меньше фазовой, а для изгибной ветви - больше.

Минимальное значение фазовой скорости распространения изгибно-гравитационных волн равно критической скорости V0 перемещения постоянной нагрузки по ледяному покрову.

Точка пересечения дисперсионных кривых фазовых скоростей изгибно - гравитационных волн, гравитационных волн на чистой воде и изгибных волн в свободной ледяной пластине отвечает второй критической скорости V1 перемещения нагрузки по ледяной пластине.

В бассейне конечной глубины H скорость гравитационных волн ограничена величиной , как на чистой воде, так и в море, покрытом льдом. Эта величина является третьей критической скоростью перемещения нагрузки по ледяному покрову.

Summary

Dispersive dependences of phase and group speeds of bending-gravitation waves, bending waves in a plate and gravitational waves on pure water are considered. The influence of compressing and extensible efforts in a floating ice cover on phase and group speed of waves is investigated.

Список литературы

1. Hertz H.R. Uber das Gleichgewicht schwimmender elasticscher Platten//Wiedemann's Annalen der Physik and Chemie. - 1884.- Bd. 22, Ht. 7. - P. 449 - 455.

2. Greenhill A.G. Wave moving in hydrodynamics//Amer. J. Math. - 1887.-9.-№62.- P.449-455.

3. Кобеко П.П., Иванов К.Е., Шульман А.Р. Деформация ледяного покрова при движении грузов//ЖТФ. - 1946. - Т.16, №3. - С. 257 - 268.

4. Хейсин Д.Е. Динамика ледяного покрова.- Л: Гидрометеорологическое изд., 1969. - 215с.

5. Тимохов Л.А., Хейсин Д.Е. Динамика морских льдов. Математические модели. - Л.: Гидрометеоиздат, 1987.- 272 с.

6. Букатов А.Е., Завьялов Д.Д., Букатова О.М., Соломаха Т.А. Влияние ледяного покрова на волновые возмущения в Азовском море// Морской гидрофизический журнал. - 2001. - №4. - С. 11 - 22.

7. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. - М: Наука, 1977. - 816 с.

8. Черкесов Л.В. Гидродинамика волн.- Киев: Наукова думка, 1980. - 257 с.

9. Петренко М.П., Барсук Р.П. Колебания и устойчивость сжатых прямоугольных пластин на упругом основании//Прикл. механика. - 1980. - Т.16, №4. - С. 90 - 94.

10. Селезов I. T. Про поперечнi коливання пластин//Доповiдi АН УРСР. - 1960. - №9. - С.1190-1193.

11. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. - М: Наука, 1967.- 444 с.