Біфуркаційний аналіз динаміки одномодових твердотільних лазерів (огляд)

Біфуркаційний аналіз динаміки одномодових твердотільних лазерів (огляд)

Розроблення нових методів керування лазерними параметрами, збільшення ефективності лазерів, дослідження фізичних процесів, які б самостабілізували певні нерівноважні режими роботи лазерних систем, залишаються актуальними задачами. Однак вирішення названих проблем неможливо без систематичного вивчення та врахування різних ефектів, що обумовлені взаємодією генерованого випромінювання з активним середовищем або іншими елементами лазера, та приводять до автомодуляції добротності резонатора. Ефекти, які пов'язані з автомодуляцією добротності резонатора, можуть впливати на динаміку генерації та характеристики окремих імпульсів в будь-яких режимах роботи лазера, тобто мають універсальний характер. Удосконалення вихідних характеристик лазерного випромінювання потребує детального вивчення нелінійних фізичних процесів, що відбуваються в лазерах під час генерації.

На сучасному етапі основними задачами фундаментальних досліджень в області нелінійної динаміки твердотільних лазерів є дослідження динаміки генерації кільцевих лазерів, лазерів із нелінійними елементами в резонаторі, вивчення нелінійної взаємодії релаксаційних та автомодуляційних коливань, з'ясування причин виникнення, основних характеристик та сценаріїв розвитку динамічного хаосу в автономних та неавтономних лазерах [1-7]. Актуальність дослідження обумовлена також прикладними аспектами, оскільки результати можуть бути використані для вивчення загальних закономірностей у поведінці інших нелінійних систем, при вивченні умов і причин виникнення автоколивань, параметричних процесів, динамічного хаосу.

Теоретичне вивчення генерації базується на аналізі лазерних моделей, якими є системи нелінійних диференціальних рівнянь. Лазерна модель - типова дисипативна система, втрати в якій обумовлені поглинанням випромінювання різними конструктивними елементами, релаксаційними процесами та виходом генерованого променя з резонатора. Різним режимам генерації відповідають різні розв'язки, які можуть бути представлені у вигляді траєкторій у фазовому просторі. Особливу роль при аналізі динаміки лазерної системи відіграють точки біфуркації - значення параметрів, при яких змінюється характер траєкторій через зміну типу або числа станів рівноваги. Зокрема, біфуркація народження циклу визначає умови виникнення періодичних коливань у лазерній моделі [8]. За час розвитку квантової електроніки сформувався певний стереотип розв'язування задач з дослідження генерації лазерів. Оскільки тільки в деяких випадках вдавалось знайти розв'язок нелінійної системи в аналітичному вигляді, то режими генерації лазерів розраховувалися, перш за все, за допомогою чисельних методів. В історії динаміки лазерів, яка нараховує більш ніж тридцять років, окремо виділяють 80-ті роки ХХ ст., коли динаміка генерації лазерних моделей починає досліджуватися через застосування якісних методів теорії нелінійних коливань, що дало можливість отримати важливі результати з перебудови каналів генерації, умов виникнення автоколивань генерації надкоротких імпульсів. Застосування якісних методів дослідження динамічних систем (теорії біфуркації) дозволило вивчати окремі режими генерації, які допускає конкретна лазерна модель, класифікувати їх, отримати інформацію про розв'язки через належність лазерних параметрів окремим областям їх змінювання [9].

У той самий час якісні методи теорії нелінійних коливань, надаючи інформацію про загальну картину генерації, не дозволяють визначити її кількісні характеристики. Зокрема, не одержано аналітичні залежності, які характеризують режим випромінювання за умов існування біфуркації Хопфа. У зв'язку з цим виникає потреба застосування кількісних методів теорії нелінійних коливань, що дозволить отримати аналітичні залежності для параметрів лазерної моделі, аналітичний вигляд розв'язків динамічних систем, через аналіз яких вивчити вплив зміни параметрів лазера на його динаміку, проводити більш цілеспрямований пошук методів керування режимами генерації.

Теоретичні моделі динаміки лазерів

Незважаючи на велику різноманітність типів активних середовищ і методів одержання інверсної заселеності, всі лазери мають три основні частини: активне середовище, систему накачування і резонатор, у зв'язку з чим виникає можливість при дослідженні динаміки генерації лазерів використовувати єдиний підхід. Як відмічалось у Вступі, теоретичне дослідження режимів генерації базується на аналізі класичної (швидкісні рівняння Статца-Демарса) та напівкласичних лазерних моделей. Рівняння подаються у безрозмірній формі, що дозволяє усунути коефіцієнти, які не визначаються під час експерименту. У той самий час, нормування величин має чіткий фізичний зміст: амплітуда поля нормується на насичене значення, а інверсія - на величину, що відповідає порогу генерації лазера. При дослідженні нестаціонарних режимів генерації лазерів, окрім відомої класифікації, використовується класифікація за співвідношеннями між релаксаційними параметрами - швидкістю релаксації інверсії , швидкістю релаксації атомної поляризації , швидкістю згасання поля в резонаторі . Згідно з [10] існують чотири класи лазерів А, В, С, D, що відповідають різним співвідношенням між релаксаційними параметрами. Релаксаційні параметри лазерів класу А задовольняють співвідношення , фазовий портрет - одновимірний, представляється за допомогою точок, перехідні процеси - аперіодичні. До класу А належить більшість атомарних газових лазерів та лазери на розчинах органічних барвників. Для лазерів класу В виконуються співвідношення , динаміка лазерів описується двовимірними моделями, перехідні процеси мають коливальний характер. До лазерів класу В належать твердотільні лазери на слаболегованих кристалах та склі (рубін, неодим, інші рідкоземельні елементи), волоконні, напівпровідникові та деякі молекулярні газові лазери низького тиску. Релаксаційні параметри лазерів класу С мають однаковий порядок: , відповідні динамічні моделі містять більше двох диференціальних рівнянь, при дослідженні моделей не використовується асимптотичне виключення змінних, фазовий портрет може містити дивний атрактор. Найбільш типовими представниками лазерів класу С є газові лазери. До лазерів класу D, релаксаційні параметри яких задовольняють співвідношення , належить найменша кількість лазерів, зокрема, пучкові мазери. Як підкреслюється у [10], найпростіші одномодові моделі відіграють особливу роль у динамічній теорії лазерів, оскільки в них розглядається фундаментальна та неусувна нелінійність, яка супроводжує процес взаємодії поля та активного середовища, та поява якої не обумовлена взаємодією мод, наявністю додаткових нелінійних елементів або зовнішніх керуючих сигналів.

Нижче наводяться існуючі моделі одномодових лазерів, які є предметом дослідження.

Рівняння Статца-Демарса

Серед класичних моделей динаміки твердотільних лазерів найбільшого поширення набула система рівнянь Статца-Демарса, яка в безрозмірній формі має вигляд [11]

(1.1)

де , - відношення часу релаксації різниці заселеностей рівнів до часу життя фотона в резонаторі; - час, віднесений до часу релаксації різниці заселеностей рівнів; - безрозмірна інтенсивність випромінювання на частоті генерації; - відношення густини інверсної заселеності до її порогового рівня; - параметр накачки.

Модель лазера з модулятором добротності резонатора

Як відомо, добротність резонатора визначається як помножене на частоту випромінювання відношення енергії , нагромадженої в резонаторі, до енергії, що втрачається за одиницю часу Якщо скористатися залежністю [11], то перше з рівнянь (1.1) можна подати у вигляді У роботі [12] запропоновано брати добротність як функцію інтенсивності випромінювання. Зокрема, в [13] береться , де безрозмірні параметри керування добротністю, тоді система (1.1) набирає вигляду

(1.2)

Напівкласична балансна модель

Самоузгоджена напівкласична система рівнянь лазера для дворівневого, спектрально однорідного і орієнтаційно упорядкованого середовища використовується в роботі [10], яка шляхом адіабатного виключення трьох швидкісних фазових координат зводиться до балансної моделі одномодового лазера на твердому тілі:

(1.3)

де - нормована інтенсивність поля випромінювання; - нормована різниця заселеності (інверсія); - великий параметр в теорії лазерів класу В; - відношення констант релаксації поля і поляризації атомної системи; - параметр накачки; ; - відносна відстройка власної частоти резонатора від центра спектральної лінії.

Якщо значення параметра наближається до нуля, ним можна знехтувати, тоді система (1.3) набирає вигляду

(1.4)

де .

Модель лазера з фільтром

Як відомо, для керування динамікою лазера в резонатор вміщують додатковий елемент, якій змінює підсилення або втрати в системі. Зазначеними елементами можуть бути фільтр, що просвітлюється - комірка з речовиною, поглинання якої зменшується під впливом генерованого випромінювання, однократний або періодичний модулятор втрат, різні нелінійні елементи. Нелінійний фільтр розміщується всередині резонатора, що приводить до зниження стійкості стаціонарної генерації, а при достатньо високій густині молекул поглинаючого середовища - до виникнення незгасаючих пульсацій. Подібний ефект має місце в твердотільних лазерах з нелінійними фільтрами на основі органічних барвників, у молекулярних газових лазерах з нелінійно поглинаючими газовими комірками. Для стабілізації потужності випромінювання лазера використовують нелінійний елемент, втрати в якому зростають зі збільшенням генерованої потужності. Система рівнянь, яка описує динаміку лазера з фільтром, що просвітлюється, має вигляд [8]

(1.5)

де - густина інтенсивності випромінювання; - інверсія в активному середовищі; - ненасичене поглинання в фільтрі; - відношення часу релаксації заселеності активного середовища до часу згасання фотонів у резонаторі; - параметр накачки;

, ;

- непросвітлене значення коефіцієнта поглинання фільтра; - віддалі від фільтра до кінців резонатора; - довжина резонатора; - визначає пасивні витрати; - коефіцієнти відбиття дзеркал; - відношення густини насичення активного середовища до густини насичення фільтра; - характеризує відношення часу релаксації заселеності фільтра до часу релаксації заселеності активного середовища.

За допомогою застосування адіабатичного виключення змінних можна зменшити число рівнянь системи (1.5). Знехтувавши похідною , отримаємо алгебраїчне рівняння, з якого знаходимо . Після чого система (1.5), що описує динаміку лазера з безінерційним фільтром, набирає вигляду

(1.6)

Якщо в резонатор введено нелінійний елемент, що залежить від інтенсивності поля фотонів і має зведений коефіцієнт нелінійної взаємодії резонатора і елемента, то система (1.5) матиме вигляд

(1.7)

Теоретичне дослідження динаміки лазерних моделей

Лазери класу В, типовими представниками яких є твердотільні лазери, демонструють велику кількість варіантів поведінки. Зокрема, у [10] наводяться численні експериментальні факти, що засвідчують наявність незгасаючих регулярних пульсацій в динаміці твердотільних лазерів. Проведення теоретичного аналізу лазерних моделей дозволяє вивчити різні режими генерації, з'ясувати вплив модуляції добротності, наявності нелінійних елементів на динаміку лазерів, порівняти результати теоретичних розрахунків з експериментальними даними.

Модель Статца-Демарса використовувалася для теоретичного дослідження динаміки одномодового лазера з втратами резонатора, що автоматично регулюються. У роботах [14,15] вивчається динаміка лазера з від'ємним зворотним зв'язком за наявності нелінійного елемента, який введено в резонатор. Відповідна система диференціальних рівнянь набирає вигляду

(2.1)

У зазначених роботах вигляд функції не конкретизується. Рівняння (2.1) лінеаризуються в околі нетривіального стаціонарного розв'язку : ; , після чого знаходяться корені характеристичного рівняння:

, .

Відмічається, що аперіодичний перехідний процес реалізується в тому випадку, коли стаціонарна точка є стійким вузлом, тобто якщо корені характеристичного рівняння дійсні та від'ємні. Врахування великого параметра дозволило авторам отримати умову від'ємності коренів: та умову відсутності пульсацій: . Система (2.1) вивчається у [10], де підкреслюється, що у лазерах з додатним зворотним зв'язком при деяких умовах виникає граничний цикл, тобто потужність випромінювання зазнає періодичних коливань. Зауважимо, що балансна напівкласична модель (1.3) переходить в класичну модель Статца-Демарса, якщо взяти . Системі рівнянь Статца-Демарса присвячено багато досліджень, які стосуються здебільшого вивчення малих коливань моделі під впливом слабої періодичної модуляції параметрів, у тому числі за рахунок введення в резонатор модулятора добротності. Подібні питання розглядаються, наприклад, у роботах [16-21].

З'ясування впливу періодичної модуляції параметрів на режими генерації лазерів класу В проведено в роботах [14,17,18], де досліджуються моделі типу (1.4). У монографії [10] також приділяється увага питанням періодичної модуляції параметрів, узагальнюються результати попередніх досліджень. Аналіз динаміки моделі (1.4) проводиться за умови модуляції втрат резонатора, накачки та параметра . З порівняння коефіцієнтів підсилення модуляції автор доходить висновку, що серед розглянутих способів резонансного збудження пульсацій лазерів на твердому тілі модуляція накачки найменш ефективна. Результат пояснюється тим, що швидкості релаксації заселеності та накачки в лазерах класу В надто поступаються частотою релаксаційних коливань, тому модуляція накачки перетворюється в коливання інверсії із значним послабленням. Дослідження системи (1.4) проведено в роботі [22], що дало можливість пояснити пульсації випромінювання твердотільних лазерів, що довільно винікають, дослідити умови формування гігантських імпульсів.

Вивченню динаміки лазера з фільтром, що просвітлюється, присвячена значна кількість теоретичних та експериментальних досліджень. Результати якісного аналізу балансних рівнянь в моделі некогерентної взаємодії випромінювання з речовиною подано в роботах [9,23,24], де разом з нестійкостями, що існують до досягнення першого порогу, коли втрати перевищують підсилення, вивчаються полістабільність та регулярні динамічні режими. Зокрема, у [9] досліджується модель лазера з безінерційним фільтром шляхом застосування елементів теорії біфуркації, з'ясовано умови виникнення автоколивань, запропоновано формули та алгоритми розрахунків стійких та нестійких циклів, результати якісного аналізу підтверджено чисельними методами. У випадку когерентної взаємодії випромінювання з середовищем у лазері з фільтром, що просвітлюється, не тільки виникають нові стани рівноваги, але й діє обумовлений когерентністю механізм нестійкості, в тому числі нижче, ніж перший лазерний поріг. У роботах [25,26] відмічається, що при зміні параметрів лазерної моделі динаміка генерації зазнає біфуркацій, які приводять до регулярних, квазіперіодичних та хаотичних пульсацій, що дає можливість досліджувати гістерезисні явища, які відрізняються від аналогічних ефектів за умови некогерентної взаємодії. У роботах [13,27] вивчаються стаціонарні розв'язки системи (1.5), умови їх стійкості, досліджуються корені характеристичного рівняння, з'ясовано, що лише у поглинаючому середовищі може порушуватися стійкість стаціонарної генерації, розглядаються області абсолютно стійкої генерації, області нестійкості, наводяться спрощені критерії стійкості.

Фундаментальним питанням нелінійної динаміки лазерів присвячено роботи [28-30]. Теоретичне та експериментальне дослідження фізичних процесів, які самостабілізують певні нерівноважні режими роботи твердотільних лазерів проведено в [31], де значна увага приділяється новим методам керування лазерними параметрами. Режими генерації твердотільних лазерів при модуляції їх параметрів вивчаються в роботах [32,33].

Як показав огляд літературних джерел з динаміки лазерів, саме в роботах мінської школи лазерної фізики при аналізі динаміки лазерних моделей починають застосовуватись методи теорії біфуркації, що дало можливість отримати важливу інформацію про поведінку розв'язків динамічних систем через аналіз належності параметрів лазера певним областям змінювання. Одночасно автори визнають недостатність застосування лише якісних методів. До аналітичних методів дослідники відносять метод Понтрягіна [34], але цей метод дає можливість визначити лише кількість граничних циклів та дослідити їх стійкість, алгоритму побудови самого граничного циклу він не містить. У випадку отримання аналітичних залежностей для параметрів лазерних моделей, аналітичного вигляду розв'язків динамічних систем виникає можливість теоретично дослідити режим неперервної періодичної генерації, вивчити вплив зміни параметрів лазера на його динаміку.

Значна увага вивченню біфуркаційних процесів у лазерних моделях приділяється у монографіях [8,10], де наведені результати теоретичного вивчення динаміки лазерів через аналіз відповідних математичних моделей. У [8] на основі застосування теорії біфуркацій вивчаються фізичні процеси, що породжують нестійкість та приводять до формування регулярних і хаотичних пульсацій. Вплив фізичних механізмів на стійкість стаціонарної генерації, поведінка лазерів в областях нестійкості, сценарії змінювання режимів генерації при різних значеннях параметрів керування досліджуються в [10]. У зазначеній монографії наведені численні експериментальні факти, що демонструють наявність стійких граничних циклів у динаміці лазерів, та неодноразово підкреслюється важливість теоретичного вивчення біфуркації Хопфа - переходу порогу нестійкості системи, при якому відбувається зміна знака дійсної частини комплексного характеристичного кореня та вище якого встановлюється режим незгасаючої автомодуляції випромінювання. Окрема увага приділяється проблемі поставлення обернених задач динаміки лазерів, тобто способів визначення параметрів лазера за особливостями його динамічної поведінки. Автор відмічає, що в цьому напрямку проведено недостатньо досліджень, хоча проблема одержання інформації про параметри лазера та окремі елементи має велике практичне значення. На його думку, для розв'язання зазначеної проблеми необхідно використовувати нові ідеї, що базуються на сучасних концепціях нелінійної динаміки.

Методи біфуркаційного аналізу динаміки лазерних моделей

Відсутність загальних методів інтегрування систем нелінійних диференціальних рівнянь, до яких належать математичні моделі динаміки лазерів, істотно обмежує можливості їх вивчення. Внаслідок цього для одержання аналітичних залежностей між параметрами лазерної моделі необхідно застосовувати адекватні локальні методи. Оскільки лазер є суто дисипативною нелінійною системою, втрати в якій обумовлені поглинанням випромінювання різними конструктивними елементами, релаксаційними процесами та виходом генерованого променя з резонатора, а нелінійність рівнянь його динаміки є продуктом фотонної взаємодії, то виникнення періодичних коливань пов'язується із біфуркацією народження циклу [35]. У цьому підрозділі розглядаються аналітичні методи, які дозволяють дослідити біфуркаційні процеси в лазерних моделях та провести асимптотичне інтегрування відповідних нелінійних систем - алгоритм біфуркації народження циклу [36,37] та метод Джозефа [38]. Слід зазначити, що перехід від класичної до напівкласичної моделей, які враховують нелінійність взаємодії поля з речовиною резонатора, приводить до зростання як кількості параметрів, так і розмірності систем, що істотно збільшує труднощі теоретичних методів аналізу.

Алгоритм біфуркації народження циклу

Теоретичною основою алгоритму біфуркації народження циклу є теорема Хопфа, на основі якої розроблено алгоритм інтегрування систем нелінійних диференціальних рівнянь [36]. Відомо декілька формулювань теореми, але для дослідження наведених лазерних моделей її достатньо сформулювати у спрощеному варіанті [39].

Теорема Е. Хопфа. Нехай система диференціальних рівнянь з параметром

 (3.1)

має нерухому точку при всіх дійсних значеннях , власні значення лінеаризованої системи є суто уявними при . Якщо для дійсної частини власних значень виконується умова трансверсальності ,, стаціонарна точка асимптотично стійка при , тоді

а) є точкою біфуркації для системи;

б) існує інтервал , , такий, що при стаціонарна точка є стійким фокусом;

в) існує інтервал , , такий, що при стаціонарна точка є нестійким фокусом, що оточується граничним циклом, розмір якого збільшується разом із зростанням .

Нижче наводиться алгоритм біфуркації народження циклу відносно системи двох диференціальних рівнянь (3.1), хоча в повному об'ємі алгоритм охоплює системи диференціальних рівнянь.

1 З рівнянь , знаходиться стаціонарний розв'язок системи , .

2 Будується матриця Якобі , .

3 Знаходяться власні значення матриці Якобі

,

де - слід матриці, - визначник матриці .

4 З рівняння визначається біфуркаційне значення одного з параметрів. Іноді виникає потреба розглянути кожен з параметрів як біфуркаційний. Якщо власні значення матриці Якобі комплексно-спряжені при з деякого інтервалу, що містить , виконується умова трансверсальності, , то має місце біфуркація народження циклу.

5 Якщо матриця Якобі при біфуркаційному значенні параметра має вигляд , то необхідно перейти до пункту 6. У протилежному разі будується матриця перетворення , де - власний вектор матриці , що відповідає власному значенню . Вектор доцільно нормувати так, щоб його перша компонента дорівнювала одиниці.

6 У системі рівнянь (3.1) виконується заміна змінних: , після чого система набирає вигляду

, (3.2)

де - матриця, обернена до матриці .

7 У точці обчислюються величини:

(3.3)

8 З одержаних значень (3.3) будується величина

, (3.4)

знаходяться її дійсна та уявна частини, обчислюються величини , .

9 Знаходиться головний доданок показника Флокке , поправка до періоду коливань:

, (3.5)

малий функціональний параметр , за степенями якого записується розв'язок:

, (3.6)

період коливань:

(3.7)

10 Періодичний розв'язок системи (3.1), з точністю до вибору початкової фази, записується у вигляді

, (3.8)

де .

Практика застосування алгоритму біфуркації народження циклу показала, що у випадку системи трьох та більшого з числа диференціальних рівнянь їх зведення до канонічного вигляду приводить до значного зростання громіздкості аналітичних перетворень, що знижує ефективність методу. Більш ефективним для побудови періодичного розв'язку в цьому випадку є метод Джозефа, який дозволяє звести - вимірну задачу до двовимірної.

Метод Джозефа

Головна ідея методу Джозефа полягає в тому, що тривимірна та чотиривимірна задачі зводяться до двовимірної через проектування фазового простору на площину, яка утворюється власними векторами лінійної частини оператора, що відповідають двом уявним власним значенням матриці Якобі, обчисленої в стаціонарній точці. Беручи до уваги, що інші власні значення мають від'ємну дійсну частину, їх внесок в проекцію розв'язку на площину не враховується. Біфуркаційний параметр подається у вигляді суми свого біфуркаційного значення і невідомого збурюючого параметра, який необхідно розвинути в ряд за степенями малого параметра . Невідому частоту коливань та вектор фазових координат також слід розвинути в ряд, що дозволяє від системи нелінійних рівнянь перейти до нескінченної послідовності систем лінійних рівнянь, бо лінійна частина кожної з них буде відомою вектор-функцією, як тільки проінтегрована попередня система. При цьому перша з систем є лінійною і однорідною і має розв'язок у вигляді лінійної комбінації періодичних векторів. Невідомі елементи розвинення в ряд частоти і збурюючого параметра знаходять із алгебраїчної системи лінійних рівнянь, яка отримана за допомогою застосування до правої частини кожної системи альтернативи Фредгольма: розв'язок однорідної спряженої системи повинен бути ортогональним до правої частини відповідної системи. Для з'ясування питання про стійкість періодичного розв'язку застосовується теорема факторизації [38], згідно з якою показник Флокке подається у вигляді добутку двох співмножників, один з яких дорівнює похідній від збурюючого параметра по малому параметру . Однак з'ясування цього питання вимагає додаткового вивчення.

Таким чином, біфуркаційний аналіз динаміки лазерних моделей базується на застосуванні кількісних методів теорії нелінійних коливань: алгоритму біфуркації народження циклу та методу Джозефа. Хоча метод Джозефа має певні переваги при знаходженні періодичного розв'язку системи трьох та більшого числа диференціальних рівнянь, очевидну перевагу при з'ясуванні питання про стійкість граничних циклів при отриманні аналітичних залежностей для параметрів моделей має алгоритм біфуркації народження циклу.

Режим нестаціонарного випромінювання в класичній моделі статца-демарса

Біфуркація Хопфа в моделі лазера з дробово-раціональним модулятором добротності ЗА відсутності навантаження

З метою виявлення періодичних коливань, дослідження їх стійкості та побудови розв'язку для моделі лазера з дробово-раціональним модулятором добротності і відсутності навантаження розглядається система диференціальних рівнянь Статца-Демарса в безрозмірній формі (1.2).

Згідно з [10] характер поведінки динамічної системи визначається стаціонарними розв'язками системи (1.2), з яких один тривіальний, тобто відповідає відсутності генерації, інший не має фізичного змісту, бо приводить до від'ємних значень фазових координат, додатних за фізичною суттю. Єдино прийнятним є третій розв'язок

, (4.1)

.

Для існування додатного кореня при додатних і слід вимагати виконання нерівності , яка вважається далі виконаною. Матриця Якобі системи (4.1), обчислена в стаціонарній точці, має вигляд

, (4.2)

звідки її власні значення дорівнюють

(4.3)

Відповідно до алгоритму біфуркації народження циклу слід знайти таке значення одного з параметрів, при якому власні значення стають суто уявними. Нехай, наприклад, у ролі біфуркаційного взято параметр . Тоді його біфуркаційне значення знаходиться з рівняння , яке визначає як неявно задану функцію. Оскільки пізніше значення знаходиться при певних значеннях інших параметрів, то немає необхідності доводити існування додатної неявно заданої функції . Щоб корені були справді уявними при біфуркаційному значенні , слід вимагати додатності визначника при визначеному значенні , тобто мусить виконуватись нерівність

.

Виконання і цієї нерівності дає підстави вважати величину нульовим наближенням до невідомої частоти модуляції . Нарешті, для можливості виконання АБНЦ слід перевірити умову трансверсальності:

Отже, при дотриманні одержаних обмежень умови теореми Хопфа виконуються.

Перетворення системи до канонічної форми. Власний вектор матриці (4.2), що відповідає власному значенню, має вигляд . З векторів утворюється матриця перетворення

.

Перехід до нових змінних здійснюється за формулою

.

Перетворена система рівнянь має вигляд

, (4.4)

де змінні слід виразити через за вищенаведеними формулами. Для знаходження по (3.3) достатньо залишити в лише нелінійні доданки другого і третього ступенів за сукупністю змінних . Тоді урізані значення , про що свідчать риски зверху, набирають вигляду

У результаті отримуємо

Далі за формулами (3.3) знаходимо

Відповідно до (3.4) маємо

(4.5)

У біфуркаційному значенні параметра виконується співвідношення . Тоді (4.5) набирає вигляду

(4.6)

Зважаючи на те що , можна опустити три перших доданка у фігурних дужках, бо вони не впливають на знак за умови, що достатньо віддалене від нуля (наприклад , що надалі вважається виконаним). Отже, для стійкості періодичного руху достатньо вимагати виконання нерівності

або

. (4.7)

Цей критерій спочатку перевіряється для частинного випадку, коли . Тоді (4.1) дає

Підставлення цього значення в умову приводить до рівняння

, (4.8)

де позначено

Проаналізуємо рівняння (4.8) за критерієм стійкості системи. Якщо взяти параметр , то один із коренів приводить до , що відповідає відсутності генерації, другий приводить до , що не має фізичного сенсу. Третій корінь дає . Але ці значення не задовольняють критерій (4.8). Аналогічний висновок можна зробити в загальному випадку, коли слід розглянути систему

(4.9)

де даються в (4.1). Якщо, вибирати з фізично прийнятого інтервалу, то згідно з першим рівнянням (4.9), в якому , параметр мусить бути малою величиною. Так, значення дають нев'язку порядку , а для другого . Але і в цьому випадку критерій стійкості порушується, і граничний цикл є нестійким.

Більш детально цей випадок розглянуто у [40,41].

Біфуркація Хопфа в динаміці твердотільного лазера з квадратичним навантаженням

У попередньому підрозділі було показано, що граничний цикл, викликаний біфуркацією Хопфа, не задовольняє умови стійкості. У цьому підрозділі розглядається та ж модель, але з додатковим квадратично-нелінійним елементом, який можна розглядати як квадратичне навантаження, тобто розглядається модель (1.6) з попереднім модулятором добротності і навантаженням [40,42]. Для зручності перепишемо (1.6) у вигляді:

(4.10)

Ця система має розв'язки, характер яких заражений на рис. 4.1.

Рисунок 4.1 Біфуркаційні діаграми при (область В відповідає граничному циклу, точка 2 лежить на лінії біфуркації)

Із рисунка бачимо, що в області В граничний цикл є стійким, а в А і С - він відсутній. Фазові портрети, які відповідають точкам 1, 3, 4, показані на рис. 4.2, де можна бачити, що зміна параметрів , і корінним чином змінює топологію фазового портрета: зі зростанням параметра накачки в обмежених зверху і знизу інтервалах зміни параметрів і фокус S із притягуючого стає відштовхуючим і виникає граничний цикл, що охоплює цей фокус. Деталі граничного циклу, який відповідає режиму модуляції вихідного сигналу, показані на рис. 4.3 у різних масштабах зміни фазових змінних , що представляють інтенсивність випромінювання та інверсію.

Найбільш яскраво граничний цикл проявляється на лінії біфуркації, де фазовий портрет має вигляд, забражений на рис. 4.4. Із нього бачимо, що в точці біфуркації, де дійсна частина характеристичних коренів дорівнює нулю, траєкторії системи мають вигляд концентричних еліпсів, що відповідають незатухаючим коливанням. Із віддаленістю від біфуркаційної кривої в область В на рис. 4.1а фокус стає відштовхуючим, і стаціонарна поведінка системи визначається тільки граничним циклом. З подальшим віддаленням в область В граничний цикл втрачає стійкість і випромінювання стає стаціонарним.



Рисунок 4.2 - Типовий вигляд фазових портретів твердотільного лазера з дробово-раціональним модулятором добротності та квадратичним навантаженням (рис. a, c відповідають точкам 1, 4 біфуркаційної діаграми на рис. 4.1, а рис. b - точці 3)

Стаціонарні розв'язки і біфуркаційні значення параметрів

Система (4.10) має 5 параметрів і , кожен з яких можна розглядати як біфуркаційний. У цьому підрозділі буде зосереджена увага на трьох з них: і . Рівняння, що визначають стаціонарний розв'язок, мають вигляд:

(4.11)

З матриці Якобі системи (4.10), обчисленій в стаціонарному розв'язку,

 (4.12)

знаходяться власні значення:

, (4.13)

Для того щоб стаціонарний розв'язок був стійким фокусом, як того вимагає теорема Хопфа, необхідно і достатньо, щоб власні значення були комплексно спряженими, а їх дійсні частини від'ємні. Комплексна спряженість вимагає, у свою чергу, додатності . Як легко бачити, обидві ці вимоги будуть виконані, якщо . У біфуркаційному значенні параметра виконується рівняння

.

Зважаючи на значення параметра , праву частину цього рівняння можна взяти за нуль, тобто записати його у вигляді

. (4.14)

Спочатку візьмемо за біфуркаційний параметр . Тоді друге рівняння (4.11) зручно записати у вигляді

, (4.15)

де параметр береться таким, що дорівнює характерному значенню . Рівняння (4.15) має один нульовий розв'язок, що відповідає відсутності генерації потоку фотонів, один від'ємний, що не має фізичного змісту, і лише один дійсний і додатний:

(4.16)

де передбачається виконання нерівності . Для знаходження біфуркаційного значення параметра слід підставити значення із (4.16) в (4.14), що дає рівняння

. (4.17)

Воно має три зміни знаків коефіцієнтів і за ознакою Декарта серед його коренів міститься щонайменше один додатний. Знаходження коренів рівняння (4.17) для різних значень параметра навантаження доцільно пов'язувати з конкретним кристалом, що використовується в резонаторі лазера. Для рубінового резонатора і рівняння (4.17) набирає вигляду

. (4.18)

Легко показати, що воно має три дійсних корені, розміщених в інтервалах (0; 1), (1; 2), (2; 3) для r з інтервалу (1; 10). Однак корені з інтервалу (0; 1) не задовольняють нерівність , тому відкидаються. У таблиці 4.1 наведені біфуркаційні значення для певних значень параметра , а також відповідні їм значення стаціонарних розв'язків та показник Флокке . Придатність тих чи інших стаціонарних розв'язків і біфуркаційних значень параметрів буде перевірятись в наступних пунктах вимогою стійкості граничного циклу.

Матриця Якобі (4.12) при біфуркаційному значенні параметра має вигляд

. (4.19)

Її визначник дає квадрат першого наближення до частоти модуляції .

Після перевірки умови трансверсальності будується власний вектор матриці (4.19), за допомогою якого вводяться нові змінні , що дозволяє звести систему (4.10) до вигляду

Для застосування алгоритму біфуркації народження циклу в правих частинах нової системи необхідно залишити квадратичні і кубічні доданки по сукупності змінних . При таких обмеженнях праві частини нової системи набирають вигляду

(4.20)

Згідно з (1.17) комплекси дорівнюють

(4.21)

Величина обчислюється із виразу (1.18):

.

Оскільки , то знак визначається доданками, що мають порядок . Тоді доданки порядків можна відкинути, що дає критерій стійкості

(4.22)

У цих формулах визначається залежністю (4.16), а знаходиться з (4.17). Отже, всі компоненти критеріїв залежать від параметрів , для останнього з яких взято значення , що дозволило знайти в аналітичному вигляді. Після вибору і і визначення необхідно перевірити виконання нерівності . Перевірка критерію (4.22) здійснена далі для і деяких значень (див. таблицю 4.1).

Таблиця 4.1 - Залежність параметра біфуркації , стаціонарної інтенсивності та показника Флокке від коефіцієнта нелінійності

0,25	0,8611	-	-
0,5	1,6046	3,0120	-7,245
1	1,6647	2,1737	-14,009
2	1,6899	1,4293	-52,769
3	1,6899	1,0583	-100,382
4	1,6838	0,8250	-173,689
5	1,6813	0,5552	-247,323
6	1,6671	0,5362	-329,971
7	1,6593	0,4381	-401,582
8	1,6499	0,3572	-458,838
10	1,6338	0,2323	-330,646

Рисунок 4 - Граничний цикл, що відповідає точці біфуркації 2 на рис. 4.1 (рис.b і вставка на ньому дають збільшені масштаби граничного циклу)

Для побудови наближеного періодичного розв'язку знайдемо , малий параметр та період модуляції :

(4.23)

Далі за формулами (3.8) записуємо розв'язок системи (4.10)

(4.24)

Потужність випромінювання, що виділяється на корисному навантаженні, розраховується за формулою [5]

 (4.25)

Підставлення в (4.25) першої компоненти розв'язку (4.24) дає

(4.26)

Розрахунки показали, що завдяки модуляції відбувається приріст потужності порівняно з її значенням у стаціонарному режимі в межах 10%, що може знайти практичне застосування.

Перевірка критерію стійкості

Результати перевірки критеріїв стійкості наведені у таблиці 5.1. Для найбільшого кореня рівняння (4.18) в інтервалі зміни від 1 до 10 стійкість відсутня. Найменший корінь цього ж рівняння при кожному не задовольняє нерівності , тому його не внесено у таблицю. Стійкість спостерігається для середнього кореня. У міру зростання коефіцієнта зростає і модуль показника Флокке, що означає зростання стійкості. Однак для зникає відповідний стаціонарний розв'язок , бо починає порушуватися наведена вище нерівність. Але ще раніше, коли стає малою величиною, що знаходяться за межею тих значень , до яких застосовано асимптотичний аналіз показника Флокке. Отже, стійкість періодичного циклу спостерігається для одного з трьох біфуркаційних значень , коли знаходиться в інтервалі (1; 10). У таблиці наведено також два значення для і . У першому випадку, меншому із наведених коренів, відповідає стійкий цикл, більшому - не стійкий. У другому випадку () з трьох коренів два менші одиниці, що не дає дійсного додатного стаціонарного розв'язку. Для третього кореня відповідний розв'язок не стійкий. Отже, для стійкості граничного циклу у випадку квадратичного навантаження зведений коефіцієнт нелінійної взаємодії повинен перевищувати певний рівень. У даному випадку він знаходиться в інтервалі

На рис. 4.5 показана залежність дійсної частини показника і стаціонарного значення інтенсивності від коефіцієнта нелінійності . Як бачимо з першого графіка, найбільша стійкість спостерігається при , далі зі збільшенням коефіцієнта нелінійної взаємодії стійкість поступово зменшується. На другому графіку відображено зменшення інтенсивності випромінювання при зростанні коефіцієнта .

Рисунок 4.5 - Залежність показника і стаціонарного значення від коефіцієнта нелінійності .

Вибір інших біфуркаційних параметрів

При будь-якому виборі біфуркаційного параметра стаціонарний розв'язок знаходиться із рівняння (4.15). Але якщо в ролі біфуркаційного вибрати параметр , то вільними параметрами будуть і , і не можна вибрати довільно, як раніше.

Якщо записати розв'язок через формули Кардана, то його вигляд буде надто громіздким. Тому обмежимося біфуркаційним значенням, тобто виключимо залежність від . Підставлення біфуркаційного значення у друге рівняння (4.11) дає

. (4.28)

Звідси знаходиться стаціонарний розв'язок, обчислений при біфуркаційному значенні :

(4.29)

Одержане значення незручне тим, що воно залежить від . Останнє можна включити, якщо знайти з (4.14) і з (4.29) і прирівняти їх:

.

З одержаного рівняння знаходимо

. (4.30)

Остаточний вигляд критерію отримаємо після підставлення значень і в (4.22). Оскільки залежність від тут виключена, то наступні похідні, необхідні для побудови розв'язку, спрощуються до виразів

Для запису малого параметра є все необхідне, що дозволяє скористатися формулами (4.24) і записати розв'язок. Однак критерій стійкості у цьому випадку має громіздкий вигляд і незручний в користуванні. Значення доцільно підставити в критерій (4.22), після чого він набирає вигляду

(4.31)

З нерівності знаходиться інтервал стійкості для параметра :

(4.32)

Залишається задовольнити рівняння (4.28). Якщо взяти за новий параметр, то можна знайти , або . У першому випадку

(4.33)

Підставлення (4.33) у (4.32) приводить до нерівності, яка задовольняється, якщо параметр взяти з інтервалу

, (4.34)

Для параметра малості одержимо

(4.35)

Розв'язок знаходиться з (4.24), куди слід підставити значення та параметр

. (4.36)

При виборі , що задовольняє нерівність (4.34), знаменник в буде додатним. Розрахунок граничного циклу починається з вибору і , чим визначається відповідно до (4.34) нижня межа для . Вибір і підставлення його значення в (4.33) визначає , що дає змогу знайти біфуркаційне значення .

Якщо до вільних параметрів бажано віднести і , то з рівняння (4.28) знаходимо

(4.37)

Підставлення (4.37) у (4.32) зводить останню нерівність до вигляду

Вона виконується, якщо знаходиться в інтервалі , де

(4.38)

Тепер значення має вигляд

Вираз для слідує із (4.35), а розв'язок з (4.24), куди слід підставити нові значення і

Якщо в ролі біфуркаційного взяти , то знаходиться з того ж рівняння (4.15), де вільними параметрами будуть Тому можна взяти попередню залежність і одержати значення (4.16) для . Його Підставлення в (4.14) приводить до рівняння (4.17), яке записується відносно

Його дійсний додатний розв'язок

(4.39)

існує при виконанні нерівностей

Підставлення рівнянь (4.16) і (4.39) в умову (4.22) дає вираз

з урахуванням якого критерій стійкості набуває вигляду

(4.40)

де вільними є параметри , .

Розглянемо конкретний приклад. Якщо , то . Підставлення цих значень у критерій (4.40) дає від'ємну ліву частину З огляду на умову одержаний результат має звужене значення. Цей недолік можна усунути попереднім способом, а саме, взявши як новий параметр (див. нижче).

Підставлення біфуркаційного значення в рівняння (4.15) перетворює його до вигляду

Звідси знаходимо . Після підставлення значень і отримуємо

(4.41)

У результаті критерій стійкості зводиться до нерівності

де збігається з лівою частиною нерівності, наведеною після (4.37). Отже, критерій виконується, якщо знаходиться в інтервалі (4.38). Значення малого параметра становить

Підставлення знайдених значень , в (4.24) дає відповідний розв'язок. У цьому випадку значення похідних такі:



Якщо біфуркаційним параметром вважати і підставити його значення в (4.15), то з останнього знаходиться . Підставлення значень і в критерій (4.22) приводить його до вигляду:

Виконання нерівності буде гарантовано при виконанні умов Якщо критерій стійкості факторизується, то він зводиться до набору критеріїв, кожен з яких є взаємно незалежним. Якщо, наприклад, то , і ліва частина попередньої нерівності набирає від'ємного значення У системі координат відрізок знаходиться між гіперболами, що проходять в першому квадранті: У системі координат параметр знаходиться над прямою , що проходить в першому і другому квадрантах.

Отже, ми отримали критерії стійкості періодичних коливань інтенсивності поля фотонів в умовах біфуркації Хопфа по одному із параметрів управління; інтервали стійкості для параметрів накачки і стаціонарного значення інтенсивності. Виявлено три види функціонального виходу приладу: модуляція нестійка, стійка з широким інтервалом стійкості, стійка з вузьким інтервалом стійкості. Теоретично підтверджено існування багатьох порогів для параметра накачки і отримана функціональна залежність від інших параметрів.

Нестаціонарні режими генерації у напівкласичних моделях твердотільних лазерів

Застосування алгоритму біфуркації народження циклу дало можливість дослідити біфуркаційні процеси та побудувати періодичний розв'язок класичної моделі Статца-Демарса з різними модуляторами добротності [40]. Перехід від класичної до напівкласичних моделей, які враховують нелінійність взаємодії поля з речовиною резонатора, приводить до зростання як кількості параметрів, так і розмірності систем, що істотно збільшує труднощі теоретичних методів аналізу. Мета дослідження - поширити алгоритм біфуркації народження циклу на клас напівкласичних моделей одномодових твердотільних лазерів. Істотною обставиною є те, що періодичний розв'язок будується не навколо конкретного стаціонарного розв'язку, а навколо стаціонарного розв'язку, що віднесений до параметрів і може набувати різних значень, чим певною мірою компенсується локальність методу. З іншого боку, сам розв'язок стає функцією параметрів лазера, що забезпечує можливість постановлення обернених задач динаміки лазерів.

Як відомо, введення в резонатор лазера нелінійного елемента є одним з найбільш ефективних засобів впливу на динаміку лазера. У монографії [10] підкреслюється, що нелінійність середовищ, які заповнюють резонатор, в окремих випадках має більш істотний вплив на динаміку, ніж нестаціонарність параметрів. Зокрема, цим механізмом пояснюється режим незгасаючих пульсацій випромінювання неодимового лазера. Там само наведено експериментальні дані, які ілюструють наявність стійких коливань в динаміці лазера при різних значеннях структурних параметрів, проаналізовано вплив модулятора добротності резонатора, який залежить від інтенсивності потоку фотонів, на динаміку лазера класичної моделі. Оскільки функціональна залежність не конкретизувалась, то автор обмежився кількома зауваженнями щодо можливих типів коренів характеристичного рівняння і відповідного режиму генерації, виділяючи випадок, коли нестійкий фокус охоплюється стійким граничним циклом. Подальша конкретизація проблеми пов'язана з вивченням біфуркації Хопфа, яка виникає при певних значеннях параметрів. Важливою також є задача встановлення класу допустимих типів моделей, які визначаються кількістю параметрів, з метою проведення їх повного аналізу для з'ясування основних залежностей, що визначають режим стійких коливань сигналу на виході із резонатора.

Режим неперервної періодичної генерації в балансній моделі твердотільного лазера

Вивчається динаміка напівкласичної балансної моделі, яка порівняно з класичною моделлю Статца-Демарса враховує два додаткові параметри - відносну відстройку власної частоти резонатора від центра спектральної лінії та - відношення констант релаксації поля і поляризації атомної системи.

Стійкість стаціонарної генерації.

З метою з'ясування умов виникнення біфуркації Хопфа в балансній моделі одномодового лазера розглядається система (1.3), стаціонарний розв'язок якої знаходиться з рівнянь

(5.1)

Система (1.3) переходить в систему рівнянь Статца-Демарса, якщо знехтувати значенням як малим параметром, та за умови, що центр спектральної лінії збігається з власною частотою резонатора , тобто . За визначених умов стаціонарний розв'язок (5.1) також переходить в стаціонарний розв'язок класичної моделі Статца-Демарса. З аналізу (5.1) випливає, що для забезпечення додатності значень потрібно вимагати виконання нерівності . Для класичної моделі нерівність є умовою збудження генерації потоку фотонів, таким чином, урахування параметра підвищує поріг збудження.

Матриця Якобі системи (5.1), обчислена у стаціонарному розв'язку, має вигляд

,

її власні значення

. (5.2)

Оскільки , набувають додатних значень, , доходимо висновку, що в стаціонарному розв'язку практично завжди знаходиться стійкий фокус, що збігається з класичною моделлю Статца-Демарса. Однак якщо у випадку класичної моделі декремент і частота коливань мали відповідно значення , , то для напівкласичної моделі маємо

,

З аналізу (5.2) випливає, що дійсна частина комплексних коренів не може перетворитися в нуль, тобто коливання будуть згасаючими і біфуркація Хопфа неможлива, що характерно також для класичної моделі лазера Статца-Демарса [11]. Отже, врахування величин і не змінює фазового портрета системи, а лише впливає на деякі його характеристики.

Умови виникнення біфуркації Хопфа.

Система рівнянь (1.3), що описує динаміку лазера, за наявності модулятора добротності має вигляд

(5.3)

де - інтенсивність поля випромінювання фотонів; - різниця заселеності рівнів атомів; - відношення констант релаксації поля і поляризації атомної системи; - параметр накачки; відносна відстройка власної частоти резонатора від центра спектральної лінії , де - швидкість релаксації поляризації атомної системи; - великий параметр в теорії лазерів класу В. Функція задає нелінійні ефекти взаємодії потоку фотонів у модуляторі добротності резонатора за допомогою параметрів керування . Всі величини - параметри, фазові координати і час подано в безрозмірній формі.

Стаціонарний розв'язок динамічної системи (5.3) знаходиться з рівнянь

(5.4)

Матриця Якобі правих частин системи, обчислена у стаціонарному розв'язку, набирає вигляду

, ,

її власні значення є такими:

(5.5)

Згідно з теоремою Хопфа в системі (5.3) виникають періодичні коливання, якщо власні значення матриці Якобі є суто уявними. Власні числа (5.5) є суто уявними при виконанні двох умов, одна з яких зводиться до рівняння

, (5.6)

а друга до нерівності . Наявність великого параметра дозволяє звести рівняння (5.6) до вигляду , звідки знаходиться біфуркаційне значення одного з параметрів моделі. За визначених умов матриця Якобі має суто уявні власні значення

,

чим одночасно знайдено перше наближення до невідомої частоти модуляції .

У роботі [43] проведено біфуркаційний аналіз динамічної системи, що дозволило не тільки з'ясувати умови виникнення біфуркації Хопфа, а також отримати критерій стійкості періодичних коливань інтенсивності:

,

де , - коефіцієнти ряду Маклорена функції при степенях .

Урахування значення

, (5.7)

яке отримано з рівняння (5.4), приводить критерій стійкості до вигляду

 (5.8)

Моделювання модулятора добротності резонатора.

Одержання практично важливих результатів можливо за умов конкретизації функціональної залежності . У роботі розглядається напівкласична балансна модель з нелінійним модулятором, що враховує багатофотонну взаємодію. Лазерна модель досліджується за наявності квадратичного, кубічного та біквадратичного модуляторів добротності з двома параметрами керування, які послідовно розглядаються як біфуркаційні.

У першому випадку розглядається квадратична залежність модулятора добротності , де і - додатні параметри керування.

Елементи , критерію (5.8) знаходяться як коефіцієнти многочлена при степенях і мають вигляд , .

Спочатку в ролі біфуркаційного викорустовують параметр . З рівняння знаходиться його біфуркаційне значення: , тоді . Остання нерівність випливає з вимоги додатності , що накладає обмеження на значення другого параметра керування: . Враховуючи, що умовою стійкості періодичних коливань, згідно з теоремою Хопфа, є від'ємність показника Флокке, після підстановки знайдених значень в залежність (5.8) отримаємо критерій стійкості

. (5.9)

Розв'язуючи нерівність (5.9) та враховуючи обмеження (5.7), отримаємо інтервал стійкості для параметра накачки :

. (5.10)

Необхідна умова існування одержаного інтервалу полягає у виконанні нерівності

, звідки випливає інтервал для параметра керування : , який уточнює попередній: .

У другому випадку як біфуркаційний береться параметр , тоді ,. З останньої нерівності знаходиться обмеження . За допомогою аналогічних перетворень одержуємо інтервал стійкості для параметра накачки

. (5.11)

Умова існування інтервалу (5.11) потребує виконання нерівності , яка уточнює попередню для параметра керування .

Дослідження властивостей моделі чисельними методами.

Отримані аналітичні результати підтверджуються чисельним розв'язком системи (5.3) методом Рунге-Кутта при [44]. У зазначеній роботі для з'ясування впливу керуючих параметрів на режими поведінки лазера розглядається біфуркаційна діаграма на площині , яка визначає області існування від'ємного значення дійсної частини показника Флокке (рис. 5.1). З рисунка бачимо, що при заданому параметрі накачки та відомих і на площині формується замкнена крива, яка відповідає . В області, яка обмежена цією кривою, дійсна частина показника Флокке є від'ємною, тобто всередині області має реалізуватися стабільний коливальний режим. Суттєво важливим є той факт, що при великих інтенсивностях загасання потоку фотонів (великих ) і при будь-яких значеннях інтенсивності генерації фотонів у модуляторі (довільних ) стабільний коливальний режим не реалізується. При малих значеннях і збільшенні значень система здатна перейти у режим стійких коливань внаслідок біфуркації Хопфа. Якщо величина продовжує збільшуватися, то система виходить із режиму стійких коливань, тобто маємо реверсивну біфуркацію Хопфа. Таким чином, виникнення та руйнування стійкого періодичного випромінювання є наслідком однієї причини - зростання інтенсивності виробництва фотонів у модуляторі.