Перетворення Лоренца як наслідок рівнянь Максвелла та принципу відносності

Перетворення Лоренца як наслідок рівнянь Максвелла та принципу відносності

В.П. Олійник, д-р наук, проф.;

П.В. Шелудченко, асп.

НТУУ „КПІ”

Вступ

У зв'язку з тим, що опис просторово-часових зв'язків у світі неможливий без притягнення матеріальних процесів, фізика невіддільна від геометрії [1]. Між законами руху матерії та геометрією простору-часу, у якому відбувається рух матерії, існує глибокий, нерозривний зв'язок, що виявляється у тому, що динаміка залежить від геометричних властивостей простору-часу, а ці останні, впливають на характер фізичних законів. А. Логунову належить загальне твердження: "Якщо для якоїсь форми матерії ми маємо закони її руху у формі диференціальних рівнянь, то ці рівняння містять і уявлення про структуру простору й часу" [2].

Аналіз взаємозв'язку між фізичними та геометричними особливостями фізичних систем є важливим завданням теоретичної фізики. Такий аналіз дозволяє більш глибоко зрозуміти фізичну природу просторово-часових та причинних зв'язків, що керують поведінкою полів і частинок, та уточнити механізм взаємодії між ними.

Відповідно до результатів роботи [2] із рівнянь Максвелла для електромагнітного поля випливає висновок про те, що простір-час утворює чотиривимірний псевдоевклідів простір. У зазначеній роботі на основі методу Фока визначається рівняння характеристики для системи рівнянь Максвелла, із якого потім виводиться вираз для просторово-часового інтервалу та перетворень Лоренца.

Дослідження, проведене в роботі [2], обмежене розглядом вільного електромагнітного поля без урахування взаємодії з електричними струмами та зарядами. Крім того, використаний у [2] метод характеристики враховує тільки електромагнітні хвилі, залишаючи осторонь власні поля заряджених частинок. Тому мета данної роботи -це проведення більш повного і докладного аналізу тієї інформації про простір-час, що міститься в рівняннях Максвелла. Такий аналіз, що узагальнює і доповнює результати роботи [2], і проведений у даній роботі. Тут уточнюється взаємодія електромагнітного поля з електрично зарядженими частинками, причому результати отримані двома незалежними методами - геометричним та аналітичним - без притягнення методу характеристики.

У розділі 1 розв`язується задача отримання перетворень Лоренца геометричним методом з рівнянь Максвелла та принципу відносності в окремому випадку, коли заряджена частинка в одній з інерціальних систем відліку не рухається.

У розділі 2 ця задача розв`язується для загального випадку, коли заряджена частинка рухається довільно.

1. Потенціали, що запізнюються. Перетворення Лоренца (окремий випадок)

Система рівнянь Максвелла для електромагнітного поля у вакуумі, що взаємодіє із струмами та зарядами, має вигляд:

, , (1)

, ,

де - густини заряду та струму; - 4-радіус-вектор.

Із системи (1) випливають хвильові рівняння для потенціалів [3]:

, , (2)

де - оператор Даламбера, потенціали та підпорядковуються умові Лоренца: , поля та

підпорядковуються рівнянням

, .

Розв`язання рівнянь (2) можна виразити через функцію Гріна

, (3)

де - 4-потенціал; - 4-вектор густини струму; функція Гріна підпорядковується рівнянню

. (4)

Необхідно, щоб поле визначалося струмом лише при . Ця вимога (принцип причинності) призводить до того, що функція Гріна G у формулі (3) є функцією, що запізнюється. Функцію Гріна, що запізнюється, можна виразити у вигляді

, (5)

де ; ; .

Розглянемо точковий заряд е з точки зору двох інерціальних систем відліку K і K'. Нехай у момент часу t=t'=0 осі координат систем K та K' збігаються, система К рухається щодо системи К' уздовж осі ОХ із постійною швидкістю V, а осі ОY та ОZ рівнобіжні осям OY' та OZ' відповідно. Вважаємо, що в системі К' заряд нерухомий і має радіус-вектор . Позначимо через радіус-вектор заряду в системі К, а через та радіуси-вектори точки спостереження в системах К і К' відповідно. 4-вектор густини струму в системах К і К' має вигляд:

,

. (6)

Знайдемо залежність між відповідними компонентами 4-потенціалу в системах відліку К і К'. Дані потенціали можна одержати, використовуючи 4-вектори густини струму і та функцію Гріна, що запізнюється (5). Оскільки в системі К' частинка нерухома, то

; , (7)

де. Підстановка (5) і (6) у (3) та подальше інтегрування за об'ємом з урахуванням -функції дає

, (8)

де ; ; , - положення заряду в системі відліку К' у момент часу t=0.

Щоб знайти інтеграл (8), скористаємося співвідношенням [4]:

,

оскільки ,

то

, де ,

звідки одержуємо вираз для потенціалів [5]:

;

Виразимо через , замість . З рис. 1 очевидно, що

.

З OPQ виразимо через :

,

тому що - загальний катет у OMP та OMP1. Тоді одержимо:

, . (9)

Таким чином, отриманий потенціал виражений через положення частинки в даний момент часу. Тепер розглянемо вираз для часу запізнювання в різних системах відліку. У системі відліку К [6]

,



Рисунок 1

з іншого боку, із рис.1 очевидно, що

, звідки випливає

.

Тепер маємо для даного положення частинки і часу запізнювання

.

Позначимо , . Цей вираз в системі К' набуває вигляду

. (10)

Тепер те ж саме для системи К:

. (11)

З двох останніх формул випливають перетворення Галілея

, , , . (12)

У виразі (11) виділимо повний квадрат

,

а потім зробимо підстановку:

; ; ; . (13)

Тоді в нових координатах останній вираз буде мати такий же вигляд, як і (10)-початковий вираз для системи К'. Підставляючи величину Х із (12) у (13), отримаємо перетворення Лоренца:

; ; ; . (14)

Перевіримо отримані вище формули для перетворень Лоренца. Для цього обчислимо потенціали електромагнітного поля в системі К:

, .

Відповідно до перетворень Лоренца

.

Підставляючи останню формулу у вираз для , знаходимо

,

де ,

оскільки ; (див. рис. 1), то

.

З останньої формули та виразу для випливає (9), що свідчить про те, що перетворення (14) правильні.

2. Перетворення Лоренца у випадку довільного руху заряду

Вище ми розглянули окремий випадок, коли частинка в одній з розглянутих систем відліку не рухалась. Тепер розв`яжемо цю задачу в більш загальному вигляді, коли частинка рухається довільно. З рівнянь Максвелла (1) випливають хвильові рівняння для полів та : , . (15)

Рішення рівнянь (15) запишемо за допомогою функції Гріна:

, (16)

.

Відповідно до принципу відносності електродинамічні процеси, що відбуваються в різних інерціальних системах відліку, підпорядковуються однаковим динамічним законам. Стосовно задачі, що розглядається, у системі відліку К' будуть мати місце формули, аналогічні до (16). Наприклад:

і т.д.,

де функція аналогічна до .

Поля і можна виразити через 4-потенціали (див. попередній розоділ). Припустимо, що просторово-часові координати систем К і К' пов'язані між собою лінійними перетвореннями:

, , , , (17)

де - постійні, які слід визначити.

У загальному вигляді перетворення (17) можна виразити в такій формі:

, (18)

де -матриця шуканого перетворення.

4-вектори A(x) і j(x) також повинні перетворюватися аналогічно до (18):

, , (19)

де L-1-обернена матриця перетворення L.

4-потенціал у системі відліку К' має вигляд

, (20)

Рівності (3) і (20) підставимо в другу з рівностей (19)

(21)

У інтегралі, що знаходиться в правій частині, виконаємо заміну змінних інтегрування. З урахуванням рівностей:

, ,

,

,

вираз (21) запишемо у вигляді

або з урахуванням першої з рівностей (19):

.

Принцип відносності буде виконаний за умови

. (22)

Розв`язання рівняння для функції Гріна запишемо у такій формі (див. (4)):

(23)

Врахуємо такі рівності:

(24)

Підставляючи останнє співвідношення у формулу (22) і вважаючи для певності J0, отримаємо

(25)

З рівнянь (25), (24) і рівностей (17) утворюється система чотирьох рівнянь щодо u1,u2, , розв`язання якої має вигляд:

, , .

Вимога, щоб у нерелятивістському наближенні виконувалися перетворення Галілея, дає:

,

таким чином одержуються відомі перетворення Лоренца.

При виведенні перетворень Лоренца були використані співвідношення (19). Перевіримо, чи виконується перше із співвідношень (19) для точкової зарядженої частинки, що рухається довільно. Виберемо 4-вектори густини струму та заряду частинки в системах відліку К і К' відповідно у вигляді:

,

,

де та -швидкості частинки в системах відліку К і К'.

Підставляючи ці вирази в перетворення Лоренца (14), отримуємо рівності:

(26)

де в правих частинах треба припустити: .

Покажемо, що рівності (26) є тотожностями. Неважко перевірити, що підстановка останньой з рівностей (26) у перші три дає відомі правила додавання швидкостей:

; , . (27)

Залишається показати, що остання з рівностей (26) є тотожністю. За допомогою перетворень Лоренца отримуємо

,

де - функція від x (t - деякий параметр).

Рівність визначає x як функцію t: , тому що

,

тоді

. (28)

Вище враховано, що точка , у якій знаходиться частинка в системі відліку K', відповідає точці , у системі К. Підстановка (28) в останню з рівностей (26) дає (з урахуванням перетворень Лоренца (14))

.

З останньої рівності очевидно, що

, . (29)

Щоб переконатися у тому, що останні рівності є тотожностями, зауважимо, що правила додавання для y і z-компонент швидкостей (27) можна записати так:

, .

Звідси , , де -постійні.

Тому що системи відліку К и К' обрані таким чином, що вони збігаються при t=t'=0, то виконується рівність: , що визначає постійні: . Таким чином, рівності (29), дійсно, є тотожностями.

Висновок

У даній роботі двома незалежними методами - геометричним і аналітичним показано, що з рівнянь Максвелла для електромагнітного поля, що взаємодіє із струмами і зарядами та принципа відносності випливають перетворення Лоренца з яких випливає псевдоевклідовість простору-часу. Відзначимо, що обернена задача - виведення рівнянь Максвелла на підставі закона Кулона, принципа суперпозиції полів, закона збереження електричного заряда та принципа відносності, вирішена в роботі [7].

Список літератури

1. Блохинцев Д.И. Пространство и время в микромире. - М.: Наука, 1970.- С. 34,37-38.

2. Логунов А.А. Лекции по теории относительности и гравитации. - М.: Наука, 1987.- С. 16-33.

3. Терлецкий Я.П., Рыбаков Ю. П. Электродинамика.- М.: Высшая школа, 1990. - С. 87.

4. Джексон Дж. Классическая электродинамика.- Пер. с англ. / Под ред. Бурштейна Э. Л. -М.: Мир, 1965. С. 509-513.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика.: В 9 т./ 4-е изд. испр. и доп. - Т. 2. Теория поля.- М.: Физматгиз, 1962. С. 115.

6. Jefimenko O.D. Electromagnetic retardation and theory of relativity. - Star City: Electret Scientific Company, 1997.-P. 137-139.

7. Олійник В.П. Електромагнітне поле. - Київ: КПІ, 1991. С. 39-41.