Решение обратной задачи эллипсометрии оптимизационными методами

У.С. Швец, асп.

Сумский государственный университет

Введение

В настоящей статье проанализированы существующие методы решения обратной задачи эллипсометрии. Рассмотрены проблемы, возникающие при решении данного рода задач. Указаны области применения каждого из них, а также их преимущества и недостатки. Выполнены численные моделирования тестовых задач, основанные на минимизации функционалов.

В настоящее время большое внимание уделяется получению материалов с наперед заданными свойствами. В связи с этим немаловажное значение имеет определение оптических параметров исследуемых образцов. Среди многих существующих методик можно выделить эллипсометрические методы.

Как известно, эллипсометрия - это оптический метод, который измеряет и интерпретирует изменения состояния поляризованного света при отражении его от поверхности. Преимуществом данного метода является его бесконтактность, а следовательно, то, что он представляет собой неразрушающий метод контроля [1-3].

В эллипсометрических исследованиях возникает два рода задач: прямая и непрямая задачи эллипсометрии. Прямая задача состоит в нахождении выходных данных по известным входным параметрам. Суть обратной задачи сводится к восстановлению входных параметров, описывающих оптическую систему, по известным выходным данным. Первый тип задач достаточно прост и не представляет сложностей в своей реализации. Второй же тип задач относится к классу некорректно поставленных, что и является их математической особенностью. Так, при изучении совершенно одинаковых слоев различные исследователи получают результаты, которые могут отличаться друг от друга на 5-50% [4]. Сложившаяся ситуация объясняется тем, что при определении оптических характеристик тонкопленочных систем появляется необходимость в решении обратной задачи эллипсометрии, а также некорректной интерпретацией получаемых результатов.

Понятие корректной и некорректной постановки задач было введено в математической физике Ж. Адамаром. В соответствии с ним задачаназывается корректно поставленной, если она удовлетворяет трем условиям [5]:

- при любом uU ее решение существует;

- решение единственно при каждом uU;

- решение устойчиво при малых вариациях u, т.е. достаточно малые изменения величины u отвечают сколь угодно малым изменениям величины z.

Если задача не удовлетворяет хотя бы одному из указанных выше условий, то она называется некорректно поставленной.

Обратная задача эллипсометрии (ОЗЭ) заключатся в определении неизвестных параметров (n - показателя преломления; - показателя поглощения; d - толщины пленки) исследуемого объекта по измеренным значениям эллипсометрических углов и . При практической реализации ОЗЭ возникающие сложности можно объяснить несоответствием между реальной отражающей системой и математической моделью, описывающей эту систему, а также наличием погрешностей экспериментальных данных [6].

Как известно, до настоящего момента не существует универсальной и надежной методики решения ОЗЭ. Во-первых, в отличие от прямой задачи даже для простейших отражающих систем она не имеет аналитического решения и требует использования различных численных методов оптимизации, во-вторых, при количестве неизвестных больше двух ОЗЭ становится плохо обусловленной. Поэтому в связи с неоднозначностью решений обратной задачи необходима априорная информация о допустимой области значений параметров, которая бы позволяла сузить область возможных решений [5,7].

Все это стимулирует развитие новых подходов и методик к решению данного рода задач. Работы в этом направлении, как правило, подразделяются по применяемым моделям слоя и используемым для решения обратной задачи математическим методам.

Цель данной работы - провести анализ существующий методов решения ОЗЭ с указанием недостатков и возможности применения того или иного метода. На основании тестовых примеров сравнить точность результатов решения ОЗЭ, получаемых при использовании двух видов функций цели.

1. Классификация методов решения ОЗЭ

Как известно, в основе решения ОЗЭ лежит основное уравнение эллисометрии

(1)

где R_p, R_s - комплексные коэффициенты отражения p-, s- компонент поляризованного света соответственно;

- сдвиг фаз между ортогональными компонентами вектора поляризации;

- азимут обновленной линейной поляризации.

Из-за нелинейности и трансцендентности уравнения (1) его аналитическое решение возможно лишь в случаях: чистой поверхности, то есть для модели «среда-подложка» с известным комплексным показателем преломления одной из фаз и соответственно неизвестным комплексным показателем преломления второй; а также для модели «среда-пленка-подложка» с известными комплексными показателями преломления всех слоев и неизвестной толщиной пленки.

Методы решения ОЗЭ делятся на многоугловые и иммерсионные (рис. 1). Первые позволяют производить измерения для толстых пленок в одной среде, но при различных углах падения света. Для пленок толщиной менее 300 они могут оказаться совершенно непригодными. Иммерсионные методы хорошо работают с тонкими пленками при одном угле падения, но в различных иммерсионных средах. Однако наличие различных сред, которые, в свою очередь, взаимодействуют с образцом, нарушает бесконтактность и информативность эллипсометрического метода. Точность многоугловых методов измерений существенно ниже иммерсионных [8].

В зависимости от того, решается ли ОЗЭ, непосредственно основываясь на точном представлении уравнения (1) или на приближенном, существуют различные методики (рис. 1).

К группе приближенных методов относятся методы, базирующиеся на упрощенном представлении основного уравнения эллипсометрии (1).

Так, например, для однослойной модели в случае толщины пленки много меньшей длины волны падающего света (d << ), используется приближение Люси, основанное на разложении в ряд по степеням d/ и пренебрежением членами разложения выше первой степени. Этот метод применим для нахождения значения комплексного показателя преломления поглощающей пленки N₁, нанесенной на известную подложку. Однако вследствие достаточно малых значений толщины пленки целесообразно проводить иммерсионные измерения для разделения вкладов, вносимых показателем преломления n₁ и толщиной пленки d.

Используя приближенные и многоугловые методы, можно также определить показатель преломления подложки N₂, покрытый тонким слоем.

Приближенные методы могут успешно применяться для описания свойств неоднородных слоев [9]. В данной ситуации они позволяют исследовать переходные слои; контролировать качество обработки оптических деталей непосредственно в технологическом процессе или сканировании по поверхности; давать быструю предварительную оценку формы профиля показателя преломления и его параметров; получать «грубое» значение искомых параметров с последующим уточнением их при решении более сложных задач эллипсометрии.

Следует, отметить, что применение приближенных методов решения ОЗЭ явилось результатом стремления упростить решение ОЗЭ. По мере развития возможностей ЭВМ актуальность таких методик снижается.

К группе методов, базирующихся на точном представлении уравнения (1), можно отнести следующие известные из литературы методы [3].

Иммерсионный метод «разных толщин» позволяет определить оптические характеристики подложки, применяемые в случае оптически прозрачных пленок, что ограничивает область его использования. К недостаткам данного метода следует отнести нарушение бесконтактности, громоздкость, неизбежность погрешности, связанной с наличием графического построения.

В рамках однослойной модели функциональная связь эллипсометрических параметров с параметрами исследуемой системы выражается следующим уравнением Друде [2]:

(2)

где ,,, - коэффициенты отражения Френеля для s- и p- омпонент световой волны (индексы 0, 1, 2 соответствуют внешней среде, пленке, подложке соответственно).

. (3)

Для определения толщины d и показателя преломления прозрачной пленки n₁ на известной подложке существует метод номограмм Р. Арчера, основанный на уравнении Друде (2) [3,10]. Весомым недостатком данной методики является то, что она является возможно применимой только для работы с постоянным образцом, так как каждый новый образец требует проведения отдельных серий измерений и построения своей диаграммы, что непосредственно обуславливает наличие погрешности, вызванной графическим представлением данных; а также используется только для толстых оптически прозрачных пленок (50--100 нм).

Для определения толщины прозрачной пленки на известной подложке используется метод Д. Холмса. Сущность метода состоит в том, что в случае прозрачной пленки модуль экспоненты в правой части уравнения (2) всегда равен единице, и уравнение Друде легко представляется в виде квадратного относительно неизвестного .

Метод Малина-Ведама, в отличие от предыдущего, позволяет определить в рамках однослойной модели оптические характеристики поглощающих пленок [3]. На основании квадратного представления уравнения Друде (как и в предыдущем случае) можно вычислить значения комплексного показателя преломления пленки N₁ и соответствующей ей толщины d. Но для выполнения расчетов, из-за того, что число неизвестных параметров пленки больше числа значений эллипсометрических величин, необходимо выполнить многоугловые или иммерсионные измерения.

Следует отметить, что эффективность методов, представленных выше, требующих графической интерпретации результатов, проявляется лишь при массовом контроле однотипных образцов и неизменных условиях измерения.

Обратная задача эллипсометрии ОЗЭ может быть решена с помощью аналитического метода, основанного на понятиях адмиттансов [1,3].

Этот метод позволяет найти толщину d и комплексный показатель преломления N₁ пленки, если известна подложка, или определить значение комплексного показателя преломления подложки N₂ в условиях известной пленки. Метод рекуррентных формул требует определенного подбора и согласования между углами падения света и показателями преломления иммерсионных сред.

В случае необходимости определения оптических характеристик как пленки, так и подложки для использования данных формул следует произвести эллипсометрические измерения в двух различных внешних средах и в каждой среде при двух углах падения [3].

Возможность аналитического решения обратной задачи эллипсометрии для однослойной системы, возникающая при вариации параметров внешней среды, представлена в работах [11-13], где из совокупности возможных решений выбирается такой набор значений (N₁, N₂, d), удовлетворяющий формальным требованиям Re (N) > 0 и Im (N) 0. Однако получение однозначного результата не всегда является возможным. Причиной может послужить влияние вычислительной погрешности на точность определения малого параметра, что наиболее часто проявляется при малых толщинах приповерхностного слоя. Сложившаяся ситуация требует наличия дополнительной априорной информации об исследуемой оптической системе или введения дополнительного критерия отбора решения. Таким критерием может являться либо минимальное отклонение значений толщин, полученных для двух углов преломления [11], либо условие [13].

Предложенный метод может быть также реализован и в случае многослойных покрытий. Тогда обратная задача на каждом этапе решается в рамках однослойной модели. Однако увеличение числа неизвестных определяемых параметров оптической системы требует увеличения числа иммерсионных измерений.

Понятие адмиттансов используется также для нахождения оптических характеристик пленки N=n - ik, нанесенной на многослойную подложку [14]. При этом суммарные оптические характеристики многослойной подложки заменяются эквивалентными значениями N_экв=n_экв - ik_экв, зависящими от i-го угла падения света, и подставляются в уравнение для точного решения.

Эквивалентные значения подложки определяются методом поиска, в результате минимизации целевой функции (4), которая представляет собой требование независимости параметров пленки n_, k_, d и углов падения _i c точностью , , :

(4)

где - количество углов падения с соответствующими n_iэкв и ik_iэкв..

Полученные эквивалентные значения подложки N_экв=n_экв - ik_экв для данного угла падения _i при условии в сочетании с _i, _i дают возможность определить оптические характеристики пленки (n, k, d).

Для описания свойств неоднородных структур можно условно их разбивать на многослойные слои с постоянными свойствами. Однако компьютерные эксперименты для такой модели, построенной на базе адмиттансов, показали, что решение этой задачи неустойчиво [6]. Близкое к правильному решение получается только для одного слоя. Это является следствием рекуррентного характера вычислений. Ошибки при вычислении адмиттансов накапливаются при переходе от одного слоя к другому.

Как результат, приведенный выше метод является следствием объединения аналитических и оптимизационных методов решения ОЗЭ.

Для нахождения оптических параметров однослойной системы, используя коэффициенты Френеля при вариации толщины пленки d_i и угла падения света , можно получить систему уравнений с неизвестными диэлектрическими проницаемостями пленки ₁ и подложки ₂ [15,16]. Полученная система не являлась разрешаемой аналитически относительно этих неизвестных. Для ее решения представляется необходимым использовать численные методы, такие, как - итерационный, ньютоновский итерационный метод, а также их комбинации с целью повышения точности расчетов и быстродействия алгоритма. Следует отметить, что сходимость метода Ньютона-Рафсона обеспечивается при выборе начального приближения, достаточного близкого к искомому решению. При решении практических задач это удается сделать не всегда [17].

Особую подгруппу методов составляют оптимизационные методы. Метод подбора решения некорректно поставленных задач состоит в том, что для элементов z некоторого заранее задаваемого подкласса возможных решений вычисляется оператор , то есть решается прямая задача. В качестве приближенного решения берется такой элемент z₀ из множества М, на котором невязка достигает минимума [5]. В данном случае решение ОЗЭ находится как результат минимизации некоторой целевой функции (выбор вида которой является неоднозначным) в многомерном параметрическом пространстве, где величины, подлежащие определению, являются непосредственно независимыми переменными.

Наиболее распространенной целевой функцией, или функцией ошибки, является [1-3]

(5)

где i - количество иммерсионных или многоугловых измерений;

, - значения эллипсометрических углов при i - измерении;

, - значения эллипсометрических углов при i, рассчитанные по формуле (1).

Также может быть использована следующая целевая функция [3]:

(6)

где , .

Важной проблемой при решении ОЗЭ является соответствие между точностью математической модели и точностью экспериментальных данных . Существует мнение, что выбор численного метода оптимизации и стремление максимально точно найти минимум функционала F не являются основными критериями [18]. Если F_min << , то точность эксперимента не достаточна для выбранной математической модели; если F_min>>, то математическая модель является грубой по отношению к экспериментальным данным. Модель согласуется по точности с экспериментальными данными в случае: F_min . Вопрос оптимизации экспериментальных условий с целью повышения точности измерений, а следовательно, и результатов вычисления рассмотрен в [19].

Для получения корректной математической модели согласно Тихонову А.Н. [5] необходима априорная или дополнительная информация. Так, например, при построении целевой функции F (5) комплексно использовались результаты эллипсометрических и фотометрических измерений [8].

(7)

где , - значения рассчитанных и измеренных коэффициентов пропускания соответственно;

- весовая добавка.

Обратную задачу обычно решают методом пошаговой минимизации функционала. Математические сложности состоят в выборе нулевого приближения, достаточно близкого к истинному решению, фильтрации ложных минимумов функционала, а также в выборе соответствующего критерия остановки при приближении к абсолютному минимуму [20].

Предложен численный метод для решения ОЗЭ, основанный на технике контурного интегрирования [20] при нахождении корней уравнений. Данный метод показывает достаточную точность при исследовании тонких пленок толщиной менее 1-2 нм, с увеличением толщины качество расчетов ухудшается.

Следует отметить, что использование целевой функции является возможной при любом количестве неизвестных параметров оптической системы [21]. Круг задач в этом направлении непрерывно расширяется, что приводит к необходимости изучения все более сложных объектов, корректная интерпретация результатов исследования которых невозможна без моделирования отражающей поверхности. В настоящее время интенсивное развитие вычислительной техники позволяет учитывать все большее множество факторов при таком моделировании. Однако увеличение числа независимых переменных, естественно, влечет за собой увеличение времени счета и требует дополнительной информации, которая бы позволила сузить область возможных решений. Если не учитывать вышеизложенного факта, то существует возможность получения решения, не имеющего реального физического смысла.

2. Оценка точности результатов численных методов

Сравнение результатов вычислений, получаемых оптимизационным методом при использовании различных функционалов, выполнено в ходе повторных решений задач, представленных в работах [2] и [22]. При решении ОЗЭ применялся метод подбора. В качестве тестовых примеров были взяты системы с неизвестными показателем преломления n₁ и толщиной пленки d (табл.1)

Результаты расчетов с использованием целевой функции (5) представлены в табл.2.

По тем же исходным данным (табл.1) решена обратная задача эллипсометрии с использованием выражения (6), результаты расчетов показаны в табл.3. Как видно (табл. 2, 3), значения параметров, установленных при использовании различных функций цели, отличаются незначительно.

Таблица 1 - Исходные данные

Таблица 2 - Решение ОЗЭ с использованием функции цели F