Теплопроводность конструкционных материалов при высоком давлении и температуре

РАСЧЕТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МЕТОДИКА ОпределениЯ теплопроводности конструкционных материалов при высоких давлении и температуре

Для повышения точности моделирования процессов, протекающих в аппаратах высокого давления (АВД), необходимо учитывать совместное влияние высокого давления и температуры на теплопроводность применяемых конструкционных материалов. Отсутствие таких данных для большинства применяемых в технике высоких давлений материалов вынуждает исследователей использовать при расчетах температурные зависимости теплопроводности, полученные при атмосферном давлении, что снижает точность прогнозирования. В настоящей работе представлена методика, которая позволяет расчетным путем определять температурную зависимость коэффициента теплопроводности исследуемого материала при высоком давлении по данным эксперимента.

1. Исходные данные для расчета теплопроводности материалов при нагреве под высоким давлением определяли, используя АВД типа «тороид» (рис. 1).

Рис. 1 Схема (а) (1, 2 - блок-матрицы, 3 - тороидальное кольцо, 4 - втулка; 5 - теплоотводящее кольцо, 6 - заглушка, 7 - нагреватель, 8 - электроизоляционная втулка, 9 - исследуемый образец) и фотография (б) АВД типа «тороид» для измерения теплопроводности образцов из различных материалов при нагреве под высоким давлением.

В каждом эксперименте в полость высокого давления вводили две термопары (хромель-алюмель или платинородий-платина) с диаметром термоэлектродов, равным 0,1 мм, с помощью которых измеряли температуру в точках 1 и 2 исследуемого образца 9 при его нагреве под давлением (см. рис. 1). Термопары располагались на расстояниях от оси образца, равных R₁ и R₂. При измерении температуры учитывали влияние давления на величину термоэлектродвижущей силы применявшихся термопар. В полость высокого давления АВД вводили также два электрода для измерения разности потенциалов между точками 3 и 4, расположенными на нагревателе, расстояние между которыми равнялось l. При нагреве образца фиксировали силу тока, проходящего через нагреватель. При проведении экспериментов давление определяли по установленной при комнатной температуре зависимости между усилием нагружения АВД и давлением.

2. В общем виде, задача состоит в оценке значения коэффициента теплопроводности л в множестве точек по полученному экспериментальным путем набору значений , где T₁ и T₂ - температуры, q - удельная мощность стационарного теплового потока, измеренные в определенных точках образца. Уравнения стационарного теплопереноса имеют вид:

; (1)

второе из уравнений (закон Фурье) содержит л и в случае постоянства градиента температуры вдоль некоторого направления n и независимости л от T может быть непосредственно использовано для оценки теплопроводности материала. Для большинства материалов, однако, теплопроводность существенно зависит от температуры (л = л(T)), а температурное поле в образце, как правило, неоднородно. В таком случае решение обратной задачи теплопроводности, к которым относится задача восстановления свойств материала по известному физическому полю, требует применения соответствующих математических методов. Известно, что такие задачи, как правило, плохо обусловлены, что повышает требования как к точности используемых в качестве входных значений измерений теплового потока и температуры, так и к методу их теоретического анализа.

Один из возможных способов преодоления указанного затруднения состоит в разложении функции л(T) в ряд Тейлора в окрестности интересующей нас точки T_*:

, (2)

где л_k - постоянные коэффициенты, а члены ряда с k > K опущены ввиду их малости. Подстановка (3) в (1) и последующий анализ энергетического баланса дают в итоге

(3)

Соотношения (3) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных л_k, имеющую единственное решение при N = K: например, для использования квадратичной аппроксимации необходимы, как минимум, три измерения.

Следующие методические рекомендации должны быть приняты во внимание при использовании соотношений (3) для определения температурной зависимости л: влияние погрешности входных данных на точность определения л_k растет с увеличением k, поэтому следует избегать использования полиномов степени выше кубической; несмотря на то, что выбор "точки наблюдения" достаточно произволен, лучшая сходимость обеспечивается в случае, когда T_* принадлежит всем используемым для расчета интервалам и это обстоятельство следует учитывать при формировании массива экспериментальных данных. Целесообразен, в частности, выбор в качестве T_* среднего арифметического центральных точек всех используемых температурных интервалов ; в случае, когда погрешность измерений значительна, решения системы (3) для различных наборов данных в окрестности рассматриваемой точки T_* могут существенно отличаться. Одним из способов уменьшения влияния несистематических погрешностей входных данных является решение системы уравнений (3) при N > K. Такое решение, дающее равномерное приближение ко всему имеющемуся в распоряжении массиву экспериментальных данных, вероятнее всего, будет ближе к истинному значению, чем точное решение нескольких уравнений с коэффициентами, имеющими значительную погрешность.

3. Для проверки работоспособности изложенной выше расчетной методики, рассмотрим следующую модельную задачу. Пусть на внутренней поверхности кольца задан постоянный тепловой поток q_r, а на внешней () - условие теплообмена , где T_cp - температура внешней среды, в - коэффициент теплообмена. Для практических расчетов были взяты следующие значения: R₁ = 3,5 мм, R₂ = 6,0 мм, в = 500 Вт/(м² K), q_r = 0,5•10 ⁵ч 0,4•10⁵ Вт/м², T_cp = 290 K. Температурная зависимость коэффициента теплопроводности литографского камня (рис. 2, б, сплошная линия) взята из литературных источников. Данные такого рода (низкая теплопроводность в сочетании с резким ее измерением в зоне высоких температур) наиболее сложны для анализа и поэтому представляют интерес в плане тестирования расчетной методики.

Рис. 2 Восстановленная по соотношениям (3) зависимость л(T).

Значения температур T₁ и T₂ и теплового потока q_r получены численным (МКЭ) методом. Отметим, что при T₁ > 1000 К перепад температуры по образцу составляет 500 и более градусов и сопровождается существенным изменением теплопроводности. Результаты расчетов показаны на рис. 2, где сплошные кривые представляют искомую (эксперимен-тальную) зависимость, а светлые, перечеркнутые и черные кружки соответствуют нулевому, первому и второму порядкам аппроксимирующего полинома. Как видно из рисунка, линей-ная (k = 1) аппроксимация не дает существенного улучшения в сравнении с кусочно-постоян-ной (k = 0), тогда как параболическая (k = 2) практически совпадает с исходной кривой.

Выводы. Представленная расчетная методика позволяет определять температурную зависимости коэффициента теплопроводности по данным измерений, при этом точность прогнозирования определяется лишь достоверностью используемых в расчетах экспериментальных данных. Теоретическое представление поведения материала при высоких давлениях и температурах предполагает, в частности, монотонное убывание теплопроводности с ростом температуры и ее увеличение с ростом давления. Эти два конкурирующие механизма определяют величину коэффициента теплопроводности, а его абсолютные значения могут быть получены только исходя из экспериментальных данных.

Для проверки работоспособности изложенной выше расчетной методики, рассмотрим следующую модельную задачу. Пусть на внутренней поверхности кольца (рис. 3) задан постоянный тепловой поток q_r, а на внешней () - условие теплообмена , где T_cp - температура внешней среды, в - коэффициент теплообмена. Для практических расчетов были взяты следующие значения: R₁ = 3,5 мм, R₂ = 6,0 мм, в = 500 Вт/(м² K), q_r = 0,5E5ч0,4E6 Вт/м², T_cp = 290 K. Температурная зависимость коэффициента теплопроводности (табл. 1 и рис. 3, сплошная линия) есть не что иное как уменьшенные в 100 раз аналогичные данные для кобальта [Чиркин, Материалы для ядерной техники. - М., 1968]. Данные такого рода (низкая теплопроводность в сочетании с резким ее измерением в зоне высоких температур) наиболее сложны для анализа и поэтому представляют интерес в плане тестирования расчетной методики.

Рис. 3 Восстановленная по данным табл. 1 и соотношениям (3.13) зависимость л(T).

Таблица 1 - Температурная зависимость коэффициента теплопроводности

Значения температур T₁ и T₂, полученные численным (МКЭ) методом, приведены в табл. 1 Здесь же для сравнения даны значения T₂, полученные из формулы (3) по известным q_r и T_1. Как видно из таблицы, сравниваемые значения различаются лишь в четвертом знаке, что подтверждает достоверность как численного, так и аналитического решений. Отметим также, что при T₁ > 1000 К перепад температуры по образцу составляет 500 К и более и сопровождается существенным изменением теплопроводности (см. табл. 1).

Результаты расчетов показаны на рис. 3, где сплошная кривая представляет зависимость, заданную табл. 3, а черные, красные и синие точки соответствуют нулевому, первому и второму порядкам аппроксимирующего полинома. Здесь и ниже значения T_* выбираются в соответствием с пунктом 2 изложенных выше методических рекомендаций. Как видно из рисунка, линейная (k = 1) аппроксимация не дает существенного улучшения в сравнении с формулой (3), тогда как параболическая (k = 2) практически совпадает с исходной кривой (см. пункт 1 рекомендаций).

Данные для второго проверочного расчета (табл. 2) взяты из конечно-элементного решения задачи электротеплопроводности для разработанного нами АВД.

Таблица 2 - Решение модельной задачи теплопроводности

Таблица 3 - Решение модельной задачи теплопроводности

Как и в предыдущем случае, на рис. 4 сплошная кривая представляет фактическую зависимость, а сплошные черные, красные и синие точки соответствуют нулевому, первому и второму приближениям, полученному из соотношений (3) по данным табл. 1. Как видно из рисунка, имеет место как качественное, так и (с определенной погрешностью) количественное согласие сравниваемых значений. Погрешность максимальна (13 %) при температуре 215 ^оС и снижается до 5 % при 419 °С и до 2 % при 827 °С. Ее возможной причиной может являться то, что представленные в табл. 3.11 значения теплового потока q_r оценивалась по температурному полю лишь в единичном треугольном конечном элементе с линейной аппроксимацией по температуре, примыкающем к границе исследуемого образца.

Рис. 4 Восстановленная по данным табл. 3.10 и соотношениям (3.13) зависимость л(T).

Заметим, впрочем, что уравнение (3) позволяет восстановить q_r по известным T₁, T₂ и используемой в КЭ-расчете зависимости . Уточненные указанным образом значения q_r приведены в последнем столбце таблицы 1: как легко проверить, его отличие от исходного также составляет 13, 5 и 2 % при 215, 419 и 827 °С соответственно. Рассчитанные же по скорректированному тепловому потоку значения теплопроводности (полые кружки на рис. 4) практически точно совпадают с фактическими, при этом снова наилучшие результаты дает локально-параболическая аппроксимация. Следовательно, имевшая место погрешность была связана лишь с используемыми входными данными.

Таким образом, изложенная расчетная методика обеспечивает надежное определение температурной зависимости коэффициента теплопроводности по данным измерений, при этом точность прогнозирования определяется лишь достоверностью используемых в расчетах экспериментальных данных.

Теоретическое представление поведения материала при высоких давлениях и температурах предполагает, в частности, монотонное убывание коэффициента теплопроводности с ростом температуры и увеличение величины коэффициента теплопроводности с ростом давления. Эти два конкурирующие механизма и определяют величину коэффициента теплопроводности, а его абсолютные значения могут быть получены, очевидно, только исходя из экспериментальных данных.

В качестве примера, рассмотрим результаты, полученные при определении температурной зависимости коэффициента теплопроводности гексагонального нитрида бора при давлениях 2,0 и 3,2 ГПа.

На рис. 4 представлены результаты аппроксимации в экспериментальных данных кусочно-непрерывными (при к = 0), кусочно-линейными (при к = 1) и квадратичными (при к = 2) функциями. Являясь практически идентичными, они были положены в основу обработки экспериментальных данных.

Абсолютные значения температурной зависимости величины коэффициента теплопроводности гексагонального нитрида бора при давлениях 2,0 и 3,2 ГПа представлены на рис. 4. Сравнительный анализ температурной зависимости коэффициента теплопроводности при соответствующих р, Т-параметрах показывает, что структура исследуемого материала соответствует структуре, занимающей промежуточное место, между аморфной и мелкодисперсной кристаллической.

Выводы

В каждом эксперименте в полость высокого давления вводили 2 термопары (хромель-алюмель или платинородий-платина) с диаметром термоэлектродов, равным 0,1 мм, с помощью которых измеряли температуру в исследуемом образце 9 при его нагреве под давлением в точках 1 и 2 (см. рис. 5). Термопары располагались на расстояниях от оси образца, равных R₁ и R₂. При измерении температуры учитывали влияние давления на величину термоэлектродвижущей силы применявшихся термопар.

В полость высокого давления АВД вводили также 2 электрода для измерения разности потенциалов между точками 3 и 4, расположенными на нагревателе, расстояние между которыми равнялось l. При нагреве образца фиксировали силу тока, проходящего через нагреватель.

При проведении экспериментов давление определяли по установленной при комнатной температуре зависимости между усилием нагружения АВД и давлением в полости высокого давления.

Список литературы

[1] А.И.Гусев, А.А.Ремпель Нанокристаллические материалы. ФИЗМАТЛИТ, М. (2001). 224 с.

[2] А.Л.Ивановский, Г.П.Швейкин. Квантовая химия в материаловедении. Неметаллические тугоплавкие соединения и неметаллическая керамика. Екатеринбург. (2000). 179 с.

[3] М.В. Рыжков, А.Л. Ивановский. Электронное строение и химическая связь в в-сиалонах. ЖСХ 43, 139 (2001).