Волны

РЕФЕРАТ

По физике

Волны

1. Возникновение волны. Группа волн

Пожалуй, самыми наглядными являются волны на поверхности воды. Их можно просто увидеть невооруженным взглядом. При каких условиях возникают такие волны? Проще всего бросить камень, скажем, в пруд со спокойной поверхностью воды. От места падения камня начнет распространяться волна, которую можно назвать кольцевой. Ее амплитуда в зависимости от расстояния до точки падения будет изменяться так же, как и у волны цилиндрической. Однако, это не совсем такая волна, о которой мы говорили. Синусоидальная волна не должна иметь начала или конца, чего, конечно, нельзя сказать о волне, возникшей при падении камня в воду.

В этом случае будет распространяться так называемая “группа волн”. Выбрав некоторое направление, мы увидим волну с возрастающей и затем убывающей амплитудой. В оптике такую волну называют цугом. Почему она называется группой должно быть понятно из дальнейшего.

Совсем не обязательно, чтобы такая группа волн имела показанную на рисунке динамику увеличения и уменьшения амплитуды, показанный профиль. Для нас важнее понять, почему волна в этом случае имеет название “группы”. Для этого надо вспомнить возникновение биений, которые наблюдаются при сложении колебаний близких частот. Разность фаз таких колебаний

изменяется достаточно медленно. Между моментами, когда амплитуда суммарных колебаний

со средней частотой обращается в нуль, проходит достаточно много (по сравнению с периодом колебаний) времени:

; ;

,

поскольку разность частот колебаний много меньше средней частоты: . Поэтому мы наблюдаем приблизительно гармонические колебания с медленно изменяющейся амплитудой. Амплитудой в этом случае называется произведение подчеркнутых сомножителей в выписанных выше выражениях.

Предположим теперь, что вдоль некоторого направления распространяются плоские волны с близкими длинами волн. Соответственно и частоты распространяющихся с ними колебаний будут близкими. В каждой точке, например, в точке x = 0 будут наблюдаться биения:

.

С другой стороны, в фиксированный момент времени (пусть t = 0) мы получим такой профиль волны:

.

В этом выражении , k - среднее значение волнового числа. Обратите внимание на сходство выражения, описывающее профиль нашей волны, и выражения, которое описывает процесс биений.

Для произвольных значений времени и координаты мы получим такое выражение:

.

В общем то, мы просто занимались некоторыми тригонометрическими преобразованиями. Но получили весьма любопытный и очень важный результат. Хотя его важность обнаружится еще нескоро.

Зададимся вновь вопросом: чему равна скорость распространения волны? Оказывается, ответ на этот вопрос неоднозначен. Для синусоидальной волны это скорость движения точки с постоянной фазой:

.

Это так называемая фазовая скорость. Но предположим, мы хотим измерить скорость распространения волны. Вообще говоря, для этого создается некоторый импульс (группа волн, волновой пакет, цуг) и измеряется время прохождения им некоторого расстояния. Но тогда мы определим скорость волны как скорость перемещения не точки с постоянной фазой, а точки с постоянной амплитудой (подчеркнутая группа сомножителей в выписанном выражении):

; .

Посмотрим когда и почему эти скорости оказываются различными.

Продифференцируем фазовую скорость, например, по волновому числу k:

.

Волновые пакеты при распространении двух синусоидальных волн с близкими частотами (длинами волн).

Таким образом, фазовая и групповая скорости различаются, если первая зависит от волнового числа (производная отлична от нуля), а поскольку длина волны , можно сказать и иначе: эти скорости различны, если фазовая скорость зависит от длины волны. А если бы мы произвели дифференцирование по частоте, мы бы говорили о зависимости фазовой скорости от этой последней как об условии несовпадения фазовой и групповой скоростей. Собственно, при гидролокации, радиолокации и проч. мы имеем дело именно с групповой скоростью, мы измеряем именно групповую, а не фазовую скорость, так что это очень важное понятие.

Подведем некоторый итог этой части разговора о волнах. Если наблюдается сумма колебаний различных частот, то обнаруживается изменение амплитуды во времени. Справедливо и обратное утверждение: если амплитуда колебаний непостоянна, значит мы имеем дело с суммой нескольких колебаний. Применительно к волне это означает, что при распространении некоторого волнового импульса мы наблюдаем распространение нескольких волн, некоторой их группы. Скорость распространения импульса потому и называется групповой. Количество синусоидальных волн, образующих импульс (волновой пакет, группу волн, цуг) может быть как конечным (минимум - две), так и бесконечным.

Заметим еще, что фазовая скорость может оказаться больше скорости света в вакууме, что невозможно для групповой скорости. При определенных условиях эти скорости вообще могут быть разного знака.

2. Точечный источник волн

Y X

Итак, чтобы получить круговые волны на поверхности воды нам необходимо создать некоторое возмущение в точке, которая будет центром кругов, образованных фронтами. Чтобы эта волна имела определенную (единственную) частоту необходимо непрерывное (периодическое) возмущение. Его можно осуществить с помощью колеблющегося в вертикальном направлении закрепленного на стержне шарика подходящих размеров. Вообще говоря, такая волна все-таки не будет синусоидальной - ее амплитуда будет обратно пропорциональной корню квадратному из расстояния до начала координат, как это следует из закона сохранения энергии. Обратите внимание на очевидное, но весьма важное для дальнейшего обстоятельство: причиной возникновения волны является не само движение шарика, а периодическое возмущение поверхности воды в точке возникновения волны.

Волны на поверхности воды, стоячие волны при колебаниях струны весьма наглядны и разговор о волнах традиционно начинается с этих волн. Но намного важнее для нас другие волны, например, электромагнитные (световые). Непосредственно увидеть их нельзя (несмотря на то, что видим мы именно свет), но для понимания и/или обсчета некоторых оптических явлений важно хорошо представлять себе волны “вообще” независимо от их природы. И поняв нечто применительно к волнам на поверхности воды, мы с большей вероятностью сознательно, а не формально-математически сможем говорить о волнах другой природы.

При каких условиях может возникнуть электромагнитная волна? Электромагнитное излучение пропорционально ускорению заряда. Если ускорение, например, направлено вдоль оси OZ, электрическое поле на перпендикулярной к оси прямой на расстоянии r пропорционально этому ускорению. Соответствующее выражение имеет вид:

.

Доказательство справедливости этого выражения достаточно сложно, и мы заниматься этим не будем. А выписано оно здесь прежде всего для того, чтобы можно было обсудить одно весьма важное обстоятельство.

Прежде всего важно, что множитель при ускорении обратно пропорционально расстоянию r. Это согласуется с выписанным нами ранее выражением для амплитуды сферической волны. Это обеспечивает выполнение закона сохранения энергии. Но особенно любопытна зависимость от времени.

Нас, естественно, интересует значение напряженности электрического поля в определенной точке в определенный момент времени . Но определяется это значение ускорением в некоторый другой, более ранний момент времени . Обусловлено это временной задержкой вызванного ускоренным движением заряда возмущения, связанной с конечностью скорости распространения света c. Эта задержка .

При изучении возникновения и распространения электромагнитных волн большую роль сыграл вибратор (или диполь) Герца. Он представляет собой два стержня с шариками на концах, стержни подключаются к индукционной катушке - источнику высокого напряжения. Когда напряжение между стержнями становится достаточно большим, между шариками проскакивает искра. И существенно, что вольтамперная характеристика искрового разряда имеет отрицательное дифференциальное сопротивление.

Мы с Вами рассматривали задачу о возникновении колебаний в LC - контуре при включении в него элемента с отрицательным дифференциальным сопротивлением. Вибратор Герца можно рассматривать как колебательный контур, “открытый” колебательный контур. Емкостью в таком контуре является емкость между стержнями, преимущественно между их концами, на которых и накапливаются заряды при колебаниях. Сами стержни обладают индуктивностью. Контур называется открытым, поскольку в отличии от “обычного” конденсатора его поле не локализовано в ограниченном пластинами конденсатора объеме, а в окружающем стержни пространстве.

При колебаниях, разумеется, в стержнях происходит ускоренное движение зарядов (электронов), с их движением можно, разумеется, связать электромагнитное излучение. Но понятней представляется такое объяснение. В окружающем вибратор пространстве возникает переменное электрическое поле. В результате возникает изменяющееся во времени вихревое магнитное поле, оно вновь рождает также вихревое электрическое поле и т.д. Возникает электромагнитная волна.

Длина стержня примерно равна четверти длины волны, длина обоих стержней - /2. Вспомним, что при такой некоторой длине струны на ней укладывается также половина длины волны. Удивительное, но не случайное совпадение.

3. Множество точечных источников

Предположим, что волны на поверхности воды возбуждаются колебаниями длинного стержня. Стержень параллелен поверхности воды и совершает колебания в вертикальном направлении. На расстояниях меньше длины стержня в таких условиях будут наблюдаться плоские волны.

Стержень можно представить себе как совокупность тесно друг к другу, непрерывно расположенных точечных источников волны, заменить, например, большим количеством прижатых друг к другу шариков. Вид возникающей при этом волны не изменится, но появляется возможность провести важные рассуждения. Множество точечных источников создает, естественно, множество круговых волн. Как мы видим, при тесном расположении источников получается плоская волна. Каким образом?

При распространении плоской волны происходит движение энергии в направлении нормали к фронту. Поэтому ответ на вопрос, почему волна плоская, заключается в ответе на вопрос, почему энергия не распространяется в каком-то ином направлении, составляющем угол с нормалью к оси стержня. Ответом на этот вопрос мы сейчас и займемся.

Если у нас имеется множество непрерывно расположенных точечных источников (круговых) волн, мы всегда можем выбрать пару источников, расположенных на некотором нужном нам расстоянии друг от друга. Выберем пару источников на таком расстоянии , чтобы выполнялось условие . Далее, на достаточно большом расстоянии от источников малый участок фронта круговой волны можно считать плоским, как это показано на рисунке. И расстояние между гребнями волн двух источников, относящихся к одному моменту времени излучения, будет равно /2. Это означает, что в выделенной области вызванные двумя нашими точечными источниками колебания происходят в противофазе. Амплитуды колебаний примерно одинаковые и при их сложении мы получим нуль. В этом направлении энергия распространяться не будет.

Y

r₀ 2

y+y

y 1

Предположим теперь, что фазы колебаний точечных источников цилиндрических или кольцевых волн неодинаковы, изменяются вдоль стержня, являясь функцией координаты (y). Запишем условие равенства фаз колебаний, приходящих с волной из точек 1 и 2 в удаленную зону наблюдения:

; ;

;

;

.

Стало быть, при изменяющейся вдоль оси OY фазе колебаний (y) излучение будет распространяться в направлении под углом , определяемым выписанным условием. Естественно, при неизменной фазе d/dy = 0 и излучение направлено по нормали - в этом случае = 0.

Периодически расположенные точечные источники волн. Рассмотрим интересный и весьма важный для практики случай, когда точечные источники волн расположены в виде цепочки. Пусть расстояние между источниками d составляет несколько длин волн и разность фаз колебаний равна нулю.

d

Применим ту же технику рассуждений, что и для случая тесного (непрерывного) расположения точечных источников. Рассмотрим сначала нормальное к цепочке направление. На достаточно большом удалении от источников узкий (несколько расстояний между источниками) участок фронта кольцевой волны можно считать плоским (прямолинейным). Колебания от отдельных источников, расстояния до которых примерно одинаковы, будут происходить в выделенной области наблюдения в фазе, усиливая друг друга. В этом направлении будет распространяться плоская волна.

Но есть направления, в которых распространения волны происходить не будет. Попробует догадаться, каким может быть такое направление.

Будем постепенно увеличивать угол . При этом в достаточно удаленной от цепочки источников области наблюдения станет нарастать разность фаз колебаний, вызванных разными источниками. Пусть при некотором значении угла будет выполняться условие

; ,

где N - количество источников в цепочке. Если расстояние между источниками d порядка нескольких и количество источников велико (например, более ста), значение угла будет очень маленьким. На рисунке этот угол показан достаточно большим, правдоподобно маленьким изобразить его нам не удастся.

При этом условии колебания от первого источника волн и от источника с номером N/2 в области наблюдения будут происходить в противофазе, погасят друг друга. Колебания от второго источника будут погашены колебаниями от источника с номером N/2+1 и т.д. Следовательно, такая цепочка будет излучать волну в пределах чрезвычайно малого угла . Мы получим практически плоскую волну.

Однако, при выбранной нами величине расстояния d порядка нескольких длин волн это не будет единственным направлением распространения волны и, соответственно, потока энергии. Действительно, если выполняется условие

,

где k - целое число, то колебания от отдельных источников в области наблюдения будут происходить с разностью фаз 2k, т.е. будут складываться, усиливать друг друга. В этих направлениях, как и в направлении нормали к линии расположения источников ( = 0), будет распространяться примерно плоская волна. Эти направления называют направлениями на главные максимумы k-того порядка.

Большим значениям k соответствуют большие разности расстояний до области наблюдения. Естественно, эта разность (разность хода) не может стать больше чем d. Поэтому максимальное значение порядка максимума k определяется условием

.

Для получения узкого пучка радиоизлучения используется антенна с расположенными в ряд дипольными излучателями. Если создать некоторую разность фаз колебаний соседних осцилляторов, направления главного максимума нулевого порядка будет отличаться от нормали (этот эффект мы обсуждали для тесного, непрерывного расположения точечных источников). Таким способом может быть осуществлено изменение направления радиоизлучения (сканирование) без поворота антенны.

4. Расчет углового распределения потока энергии от системы источников

Непрерывное распределение источников

X

B dx

0

L

В случае возбуждения волн на поверхности воды такое расположение точечных источников, колебания которых происходят в фазе, обеспечивается вертикальными колебаниями параллельного поверхности воды стержня. Рассмотрим излучение, вызванное колебаниями стержня конечной длины, равной b.

Положение точечного источника определяется его координатой x, амплитуда колебаний пропорциональна dx. Чтобы найти амплитуду колебаний в удаленной от стержня области наблюдения необходимо провести сложение колебаний от всех источников (интегрирование по отрезку 0b):

.

У нас получилось довольно громоздкое “многоэтажное” выражение, в смысле которого нам надо разобраться. Во-первых, из этого выражения видно, что, как и должно было быть, в некоторой области (точке) наблюдения происходят колебания с частотой и некоторой начальной фазой. В выражение для амплитуды этих колебаний входит множитель ₀. В принципе, он может быть выражен через амплитуду колебаний вблизи стержня с помощью закона сохранения энергии. Но он не представляет для нас особого интереса, как и начальная фаза колебаний. Нужное же нам угловое распределение потока энергии определяется множителем

.

В числителе этого выражения стоит синус знаменателя. Поэтому, если знаменатель обращается в нуль при = 0, будет A = 1. При изменении в пределах /2 величина периодически принимает нулевое значение и затем достигает максимумов. Величина модуля A в максимуме по мере увеличении модуля уменьшается, поскольку синус от некоторой величины изменяется медленнее, чем сама эта величина. Вид зависимости при разных отношениях b/ представлен на рисунке.

5. Излучение пары точечных источников

Ранее мы рассматривали суммарные колебания от системы точечных источников в некоторой достаточно удаленной области наблюдения. При этом мы не определяли, по сравнению с чем это удаление велико. Собственно, рассматривая параллельные лучи, мы неявно считали, что область наблюдения находится на бесконечности.

Рассмотрим теперь колебания от уединенного источника в точках плоскости, отстоящей от него на большое, но конечное расстояние l. При этом мы ограничимся небольшим по сравнению с l смещением точки наблюдения от точки падения перпендикуляра, проведенного от источника волн S к плоскости, при малых значениях x.

S L

Проведем от источника волн отрезок прямой в точку наблюдения с координатой x и перпендикуляр к оси координат. Величина x_S - это x-координата источника. Мы получили прямоугольный треугольник. Отложим от точки расположения источника вдоль гипотенузы треугольника отрезок длиной l и соединим конец этого отрезка с точкой x_S, точкой падения перпендикуляра. Угол при вершине построенного таким образом равнобедренного треугольника , а основание составляет с осью 0X угол /2. Таким образом, разность хода лучей

.

Соответственно, разность фаз колебаний в этих точках

.

В этом выражении - разность x-координат точки наблюдения и источника волн.

X

x S' d 0 S”

Полученное выражение является для нас вспомогательным. Применим его для решения задачи об амплитуде колебаний, созданных двумя точечными источниками, расположенными на расстоянии d друг от друга и на расстоянии l от плоскости наблюдения.

Разность фаз колебаний, созданных нашими источниками в точке x,

.

В круглых скобках записаны разности x-координат точки наблюдения и источников волн. После возведения в квадрат мы получаем:

.

Произведем сложение этих колебаний с помощью векторной диаграммы. Фаза результирующих колебаний нас не интересует, а амплитуда

принимает максимальные значения 2₀ в точках, отстоящих друг от друга на

(при изменении аргумента косинуса на ). Центральный максимум наблюдается при x = 0.

Излучение цепочки периодически расположенных источников

d

Пусть теперь у нас имеется N точечных источников волн, отстоящих один от другого на расстояние d порядка нескольких длин волн. В достаточно удаленной от цепочки источников области наблюдения вызванные соседними источниками колебания будут происходить с разностью фаз

.

На векторной диаграмме представляющие колебания от соседних источников векторы будут повернуты по отношению друг к другу на такой угол.

/2

Эти векторы образуют ломаную, вписанную в окружность радиуса R. Если амплитуда колебаний от одного источника в области наблюдения равна ₀, то

и для амплитуды суммарных колебаний мы получаем выражение:

.

При = 0 будет = 0 и ₀ = N₀ - векторы расположены вдоль прямой, поскольку разность фаз колебаний от соседних источников равна нулю. Но при больших значениях N уже при малых (и, соответственно, ) амплитуда суммарных колебаний обращается в нуль:

; .

Таким образом, в направлении = 0 будет распространяться практически плоская волна.

Но будут и другие направления распространения практически плоских волн. Для этих направлений должны выполняться условие

; -

разность расстояний до некоторой (любой!) точки достаточно удаленной области наблюдения должна равняться целому числу длин волн. При такой разности хода векторы на фазовой диаграмме вновь выстроятся вдоль прямой.

Этот результат мы получили ранее, но теперь мы можем просто определить направления ближайших к данному максимуму k-того порядка минимумов. Для минимумов должны выполняться условия

.

Эти выражения справедливы при

;

(выполняется первое условие), причем (выполняется второе условие). При таких значениях k' разность хода от соседних источников равна целому числу волн:

, k = 0,1,2 ...

и наблюдаются максимумы излучения.

На рисунке показана зависимость амплитуды колебаний от угла . Линии настолько узки и дополнительные максим столь малы, что их на рисунке не видно. Кривая получена для количества источников N=200 и отношения d/=3,5.

Обратите внимание: при увеличении модуля расстояние между линиями увеличивается. Это обстоятельство в дальнейшем будет для нас существенно.